力学基础第4章 空间力系分解
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工程力学-第四章-空间力系
即：
g X F s i cn o F x c s y o F c sc oo s s
g Y F s i sn iF x n s y iF n cs ois n
g Z F co F s sin
⒋ 力沿坐标轴分解
若以 Fx ,Fy ,Fz 表示力沿
直角坐标轴的正交分量，则：
FFxFyFz
⒈ 力矩的大小 ； ⒉ 力矩的转向 ； ⒊ 力的作用线与 矩心所组成的平面的 方位 。
[例] 力P1， P2 ， P3 对汽车反镜 绕球铰链O点的 转动效应不同
二、力对点的矩的矢量表示 在平面问题中，力对点的矩是代数量；而在空间问题中， 由空间力对点的矩的三要素知，力对点的矩是矢量。
⒈ 力矩矢的表示方法
⒈ 若 R'0,MO0则力系可合成为一个合力，力系合力R 等于主矢 R ' ，合力 R 通过简化中心O点。（此时主矩与简 化中心的位置有关，换个简化中心，主矩不为零)
⒉ 若 R'0,MO0 , R'MO 时， 可进一步简化，将MO变成( R'',R) 使R'与R'‘ 抵消只剩下R
(MORd) 由于做 M O R d, dM R OM R O ' , 合 R 力 F i
g 方向： com sx(F ), co s m y(F ), co m sz(F )
m O (F )
m O (F )
m O (F )
§4-4 空间一般力系向一点简化
把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的 简化问题，但须把平面坐标系 扩充为空间坐标系。
设作用在刚体上有 空间一般力系 F1,F2,Fn
定理:
RxXi RyYi RzZi
第4章空间力系分解
合力的大小
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
Fx 方向余弦 cos( FR , i ) FR
Fy Fz cos( FR , j ) cos( FR , k ) FR FR
7
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 线通过汇交点.
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。
25
力偶系的合成（与汇交力系的计算完全相同）
合力偶矩矢
M Mi
M x Mix M y Miy Mz Miz
M M xi M y j Mzk
合矢量投影定理：Βιβλιοθήκη 合力偶矩矢的大小和方向余弦:
M
M M M
2 2 ix iy iz
2
M ix cos M
cos
M iy M
M iz cos M
26
空间力偶系平衡的充分必要条件是：合力偶矩矢等于零。
为代数量
z
即：力对轴之矩，等于力在垂直于
该轴的平面上的投影对轴与平面交 点之矩。 O x
y
特殊情况：
1、力与轴平行，矩为零。 2、力与轴相交，矩为零。
即： 力与轴位于同一平面内时，力对轴之矩为零。 16
合力矩定理
空间任意力系的合力对于任一轴的矩等于力系中所有各 力对于该轴的矩的代数和。（用于求力矩）
B
F
F
rBA rA
A
M rBA F
rB
O
23
2、空间力偶等效定理
作用在同一刚体上的两个力偶，如果力偶矩矢相等， 则它们彼此等效。
理论力学 第四章 空间力系
r FR = 0
∑F = 0
x
∑F = 0
y
称为空间汇交力系的平衡方程. 称为空间汇交力系的平衡方程. 空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有 空间汇交力系平衡的充要条件： 充要条件 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零. 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.
例 题 1
求： 绳的拉力和墙体的约束反力 。
=
=
F = F′ = F2 1 1
= F2′ = F3 = F3′
= =
定位矢量 滑移矢量 自由矢量 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡. 力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
3．空间力偶系的合成与平衡条件
=
=
r r r r r r r r r M 1 = r1 × F1 , M 2 = r2 × F2 ,......, M n = rn × Fn
A
P
c a y
i
j k
O
MO ( P ) = r × P = 0 b 0 0 0 P = Pbi
（2）利用力矩关系
x
α
b
M OA ( P ) = M O ( P ) cos α = Pab a 2 + b2 + c 2
MO(P)
例 题 4
已知：OA=OB=OC =b, OA⊥OB⊥OC. 已知： 求： F 对OA边的中点 之矩在 方向的投影。 边的中点D之矩在 方向的投影。 力 边的中点 之矩在AC方向的投影
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 r r r r M x ( F ) = M x ( Fx ) + M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = Fz ⋅ y − Fy ⋅ z
第四章：空间力系
第四章空间力系一、要求1、能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。
2、对空间力偶的性质及其作用效应要有清晰的理解。
3、了解空间力系向一点简化的方法和结果。
4、能应用平衡条件求解空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡问题。
5、能正确地画出各种常见空间约束的约束反力。
二、重点、难点1、本章重点：力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。
空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡方程的应用。
各种常见的空间约束及约束反力。
2、本章难点：空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体图。
三、学习指导1、空间力系的基本问题及其研究方法空间力系研究的基本问题仍然是静力学的三个基本问题，即：物体的受力分析、力系的等效替换和力系的平衡条件。
空间力系是力系中最普遍的情形，其它各种力系都是它的特殊情形。
按由浅入深、由特殊到一般的认识规律研究空间力系，是从理论上对静力学作一个系统而完整的总结。
与平面力系的研究方法相似，这里也采用力向一点平移的方法将空间任意力系分解为空间汇交力系和空间力偶系，再应用这两个力系的合成方法来简化原力系，然后根据简化结果推导出平衡条件。
由于空间力系各力作用线分布在空间，因而使问题复杂化。
出现了力在坐标轴上的二次投影法、力对轴的矩以及用向量表示力对点的矩和力偶矩等新问题，简化的结果和平衡方程也复杂了。
2、各类力系的平衡方程各类力系的独立的平衡方程的数目不变。
但是平衡方程的形式可以改变。
上表列出的是一般用形式。
解题指导1、对于解力在直角坐标轴上投影或力沿直角坐标轴分解这类问题，重要的是确定力在空间的位置。
一般解题的思路如下：（1）认清题意，仔细查看结构（或机构）的立体图，它由哪些部件组成，各部件在空间的位置，以及它们和坐标轴的关系。
（2）认清力的作用线在结构（或机构）的哪个平面内，寻找它与坐标面的交角，然后找力与坐标平面的夹角及力与坐标轴的夹角。
（3）考虑用一次投影或二次投影的方法求解。
理论力学 第4章 空间力系的简化和平衡
28
3
FR 0
M 0 FR M
FR
Mo
MO
FR
FR
FR
O’
oo M M
FR
FR
合力 o
如果一个力与一个力系等效，称该力是这个 力系的合力！
29
4 FR 0
5 FR 0
M 0
M 0
R // M
力螺旋 o
FR
垂直于z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，
F1=3N， F2=5N，构件自重不计，求A,B两处的约束反力。
解：取整体为研究对象。
Mx 0 Mz 0
20
§4-4 空间一般力系的合成与平衡
一，空间力系向一点的简化 把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的
简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。 设作用在刚体上有
解：各杆均为二力杆,取球铰O为研究对象
Fix 0
Fiy 0
Fiz 0
10
§4-2 力对点的矩与力对轴的矩
一、力对点的矩的矢量表示 在平面中：力对点的矩是代数量。 在空间中：力对点的矩是矢量。
mO (F ) Fd 2AOB面积
如果r 表示A点的矢径，则：
T1 546(kN)
36
由B点：
X 0, T2cos cos45T3cos cos450
Y 0, T1sin60T2cos cos45T3cos cos450
Z 0, N2 T1cos60T2sin T3sin 0
cos 4 4, sin 3
力螺旋 o
工程力学基础第4章空间任意力系
因
（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内 任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶 臂的长短，对刚体的作用效果不变。
=
=
=
M
(
F1
,
F1)
rBA
F1
(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面 移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的 作用效果不变。
=
=
F1 F1 F2
(4-2)
称为空间汇交力系的平衡方程。
§4–2 力对点的矩和力对轴的矩
1、 力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素：
(1）大小:力F与力臂的乘积
(2)方向:转动方向 (3)作用面：力矩作用面。
又 则
（4–3）
力对点O的矩
在
三个坐标轴上的投影为
（4–5）
（4–4）
动画
第5章 空间任意力系
力对点的矩
例题
空间任意力系
例题1
解：
由图示可以求出力F 在 各坐标轴上的投影和力F 作 用点C 的坐标分别为：
x= a = 4 m
y= b = 6 m z= c =－3 m
例题
空间任意力系
例题1
则可求得力F 对坐标轴之矩 以及对原点O之矩的大小和方向。
力F 对坐标轴之矩为：
力F 对原点O之矩大小：
称为力系的主矢 空间力偶系的合力偶矩
称为空间力偶系的主矩 由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
式中，各分别表示各
力
对 ， ， ,轴的矩。
动画
第5章 空间任意力系
空间力向任一点的简化
动画
第5章 空间任意力系
空间力系向任一点的简化
（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内 任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶 臂的长短，对刚体的作用效果不变。
=
=
=
M
(
F1
,
F1)
rBA
F1
(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面 移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的 作用效果不变。
=
=
F1 F1 F2
(4-2)
称为空间汇交力系的平衡方程。
§4–2 力对点的矩和力对轴的矩
1、 力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素：
(1）大小:力F与力臂的乘积
(2)方向:转动方向 (3)作用面：力矩作用面。
又 则
（4–3）
力对点O的矩
在
三个坐标轴上的投影为
（4–5）
（4–4）
动画
第5章 空间任意力系
力对点的矩
例题
空间任意力系
例题1
解：
由图示可以求出力F 在 各坐标轴上的投影和力F 作 用点C 的坐标分别为：
x= a = 4 m
y= b = 6 m z= c =－3 m
例题
空间任意力系
例题1
则可求得力F 对坐标轴之矩 以及对原点O之矩的大小和方向。
力F 对坐标轴之矩为：
力F 对原点O之矩大小：
称为力系的主矢 空间力偶系的合力偶矩
称为空间力偶系的主矩 由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
式中，各分别表示各
力
对 ， ， ,轴的矩。
动画
第5章 空间任意力系
空间力向任一点的简化
动画
第5章 空间任意力系
空间力系向任一点的简化
空间力系分解课件
定性。
科学研究
在物理、化学、生物等领域中，需 要进行空间力系的解析分解，以研 究受力对物质运动和变化的影响。
日常生活
在日常生活中，许多设备和工具都 需要考虑力的作用和影响，如车辆 、家具、玩具等，因此也需要进行 空间力系的解析分解。
04
CATALOGUE
空间力系分解的实例分析来自实例一：斜拉桥的受力分析
平衡法
根据力的平衡条件，将空 间力系分解为若干个平衡 的子力系，然后分别进行 分析。
02
CATALOGUE
空间力系的几何分解
空间力系的几何表示
空间力系
在三维空间中，力系是由多个力矢量组成的系统。这些力矢量具有大小、方向 和作用点，并且遵循牛顿第三定律。
几何表示
空间力系可以用矢量图来表示，其中每个力矢量由一个箭头表示，箭头的长度 代表力的大小，箭头的指向代表力的方向，箭头的起点代表力的作用点。
在空间力系分解时，需要明确力的方向， 以确保分力是唯一的。
力系分解的发展趋势与展望
智能化与自动化
随着人工智能和机器学习技术的发展，未来空间力系分解将更加智能 化和自动化，能够自动识别和选择最佳的分解方法。
多学科交叉融合
空间力系分解将进一步与数学、物理、工程等多个学科交叉融合，推 动相关领域的发展。
空间力系
在三维空间中，力系由三个互相垂直 的主矢和三个互相垂直的主矩组成， 主矢描述力的大小和方向，主矩描述 力矩的大小和方向。
力系分解的意义
01
02
03
简化问题
通过将复杂的力系分解为 简单、易于处理的子力系 ，可以简化问题的分析和 计算。
便于分析
分解后的力系可以更好地 揭示力的作用效果和相互 关系，便于对问题进行深 入分析。
科学研究
在物理、化学、生物等领域中，需 要进行空间力系的解析分解，以研 究受力对物质运动和变化的影响。
日常生活
在日常生活中，许多设备和工具都 需要考虑力的作用和影响，如车辆 、家具、玩具等，因此也需要进行 空间力系的解析分解。
04
CATALOGUE
空间力系分解的实例分析来自实例一：斜拉桥的受力分析
平衡法
根据力的平衡条件，将空 间力系分解为若干个平衡 的子力系，然后分别进行 分析。
02
CATALOGUE
空间力系的几何分解
空间力系的几何表示
空间力系
在三维空间中，力系是由多个力矢量组成的系统。这些力矢量具有大小、方向 和作用点，并且遵循牛顿第三定律。
几何表示
空间力系可以用矢量图来表示，其中每个力矢量由一个箭头表示，箭头的长度 代表力的大小，箭头的指向代表力的方向，箭头的起点代表力的作用点。
在空间力系分解时，需要明确力的方向， 以确保分力是唯一的。
力系分解的发展趋势与展望
智能化与自动化
随着人工智能和机器学习技术的发展，未来空间力系分解将更加智能 化和自动化，能够自动识别和选择最佳的分解方法。
多学科交叉融合
空间力系分解将进一步与数学、物理、工程等多个学科交叉融合，推 动相关领域的发展。
空间力系
在三维空间中，力系由三个互相垂直 的主矢和三个互相垂直的主矩组成， 主矢描述力的大小和方向，主矩描述 力矩的大小和方向。
力系分解的意义
01
02
03
简化问题
通过将复杂的力系分解为 简单、易于处理的子力系 ，可以简化问题的分析和 计算。
便于分析
分解后的力系可以更好地 揭示力的作用效果和相互 关系，便于对问题进行深 入分析。
理论力学 第四章 空间力系
方向：右手螺旋法则，与Z轴正方向一致时为正，反之为负。
12
单位：N·m
2.力对轴的矩
力对轴之矩合力矩定理：各力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的 代数和。
例：将Fxy再分解为Fx、Fy，根据合力矩定理则有：
Mz( F ) MO( Fxy ) MO( Fx ) MO( Fy ) xFy yFx
即：FR Fi 0
FR
Fx2 Fy2 Fz2
空间汇交力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0
Fz 0
6
例题
如图所起重机，已知CE=EB=DE,角α=30o ，CDB平面与水平面 间的夹角∠EBF= 30o ,重物G=10 kN。如不计起重杆的重量,试求起 重杆所受的力和绳子的拉力。
XYZ
mO (F) (yZ zY ) i (zX xZ) j (xY yX) k
11
§4.3力对轴的矩
１.当力作用面 Ｚ轴时： MZ(F ) M0 F F h
Ｚ
２.当力作用面 Ｚ轴时： M z (F) Mo (Fxy ) Fxy h
Ｆ
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零.
7
例题
解： 1. 取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。
zD
F2
E
C F 30o
B
F1
α
FA G
A
y
x
其侧视图为
z
E F1
F 30o
B
α
FA G
A
y
8
例 题 4-3
2. 列平衡方程。
zD
F2
E
C F 30o
B
F1
Fx 0,
F1 sin 45 F2 sin 45 0
12
单位：N·m
2.力对轴的矩
力对轴之矩合力矩定理：各力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的 代数和。
例：将Fxy再分解为Fx、Fy，根据合力矩定理则有：
Mz( F ) MO( Fxy ) MO( Fx ) MO( Fy ) xFy yFx
即：FR Fi 0
FR
Fx2 Fy2 Fz2
空间汇交力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0
Fz 0
6
例题
如图所起重机，已知CE=EB=DE,角α=30o ，CDB平面与水平面 间的夹角∠EBF= 30o ,重物G=10 kN。如不计起重杆的重量,试求起 重杆所受的力和绳子的拉力。
XYZ
mO (F) (yZ zY ) i (zX xZ) j (xY yX) k
11
§4.3力对轴的矩
１.当力作用面 Ｚ轴时： MZ(F ) M0 F F h
Ｚ
２.当力作用面 Ｚ轴时： M z (F) Mo (Fxy ) Fxy h
Ｆ
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零.
7
例题
解： 1. 取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。
zD
F2
E
C F 30o
B
F1
α
FA G
A
y
x
其侧视图为
z
E F1
F 30o
B
α
FA G
A
y
8
例 题 4-3
2. 列平衡方程。
zD
F2
E
C F 30o
B
F1
Fx 0,
F1 sin 45 F2 sin 45 0
理论力学——第4章 空间力系
MO (F )z
M z (F)
例题2 解：
已知：F、 a、b、、
求： MO(F)
i jk
MO(F) r F x y z
xa
Fx Fy Fz
yb
z0
Fx F cos sin Fy F cos cos Fz F sin
MO (F ) Fbsin i Fasin j (Fbsin sin Fasin cos ) k
MO (F )z
M z (F)
MO (F) 2OAB
Mz(F) = MO(Fxy) = ±2 △Oab
OAB cos Oab
MO (F) cos M z (F)
MO (F )z M z (F )
Mz(F)
(x,y,z)）
Fxy
M O M O
(F (F
)x )y
M x(F) M y (F)
cos(M , j) M y
M
cos(M , k) M z M
平衡条件
n
Mi 0
i 1
平衡方程
M ix M iy
0 0
M iz
0
4-5 空间任意力系向一点简化
z
F2
BA O C
M3
F1
F2
M2
y
z
M1
F1
O
y
z
MO
O
FR
y
x
F3
x
F3
x
F1 F1 , F2 F2 , , Fn Fn
M1
A
解：取曲杆为研究对象
a
FA
z
FA
y
z
Fx 0,
FDx 0
B
M y (F ) 0, FAz a M 2 0
静力学：第四章-空间力系(1)
M O sin FR
钻头钻孔时施加的力螺旋
4.5 空间任意力系的平衡方程
1.空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充要条件： 力系的主矢，主矩都等于零. 即：所有各力在每一个坐标轴上投影的代数和以及各力对每 一个坐标轴之矩的代数和都等于零. 一般形式： Fx 0
F
y
0
y
F
y
M O ( F ) xFy yFx M z ( F ) z
例4.2 已知：设曲杆ABCE位于XY平面内，且BC垂直 于AB，CE垂直于BC 。在曲杆D点上作用一位于与CE 垂直面内的力F，且F与竖直方向成θ角。
求： F分别对各直角坐标轴的矩。
解：把力 F 分解如图
M x F F l a cos
z
B
y
C D c
F Fk
rD ai ck
O
F a
b
x
M O ( F ) Fa j
M OC ( F ) [ M O ( F )]OC Fa cos Fa b a 2 b2 c2
4.3 空间力偶
空间力偶对物体作用效应取决于以下
三个因素： 力偶矩大小：力与力偶臂的乘积 力偶在作用面内的转向 力偶作用面方位 空间力偶可以用矢量表示：力偶矩矢 大小：矢量长度 方位：作用面法线方位 指向：右手螺旋法则
2.力偶系的合成与平衡条件 =
M Mi
=
合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和.
空间力偶系平衡的充分必要条件是:合力偶矩矢等于零.M 0 或者：力偶系中所有力偶矩矢在三个坐标轴上的投影的代数 和等于零.
M
x
0
M
力学第四章空间力系
例4-3 如图所示的折杆，已知在其自由端A处受到 力F的作用。试求折杆固定端O的约束力。
§4－3 空间任意力系的平衡方程
解 取折杆为研究对象，画受力图如图所示,选直角坐 标系0xyz，列平衡方程
Fx = 0
FOx = 0
Fy = 0
FOy = 0
Fz = 0
FOz F = 0
Mx F = 0 MOx Fb = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
平衡基本方程
空间任意力系平衡的充分必要条件：
各力在各坐标轴上的投影代数和分别等于零； 各力对各坐标轴的矩的代数和分别等于零
即：
Fx = 0
Fy = 0
Fz = 0
MxF = 0 M y F = 0 Mz F = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
§4－3 空间任意力系的平衡方程
例4-5 用空间平衡力系的平面解法重解例4-4 解 重物匀速上升,鼓轮作匀速转动,即处于平衡姿态。取鼓轮为研究 对象。将力G和Q平移到轴线上，分别作垂直平面、水平平面和侧垂直
平面(图a、b、c)的受力图。
a)
c) b)
§4－3 空间任意力系的平衡方程
由(图a、b、 c)，列平衡方程。
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符规定：
§4－2 力对轴之矩
例4-1 图示力F作用在圆轮的平面内,设力F作用线距z轴 距离为d。试计算力F对z轴之矩。
符号规定：从投影的起点到终点的方向与相应坐标轴 正向一致的就取正号；反之，就取负号。
§4－3 空间任意力系的平衡方程
解 取折杆为研究对象，画受力图如图所示,选直角坐 标系0xyz，列平衡方程
Fx = 0
FOx = 0
Fy = 0
FOy = 0
Fz = 0
FOz F = 0
Mx F = 0 MOx Fb = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
平衡基本方程
空间任意力系平衡的充分必要条件：
各力在各坐标轴上的投影代数和分别等于零； 各力对各坐标轴的矩的代数和分别等于零
即：
Fx = 0
Fy = 0
Fz = 0
MxF = 0 M y F = 0 Mz F = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
§4－3 空间任意力系的平衡方程
例4-5 用空间平衡力系的平面解法重解例4-4 解 重物匀速上升,鼓轮作匀速转动,即处于平衡姿态。取鼓轮为研究 对象。将力G和Q平移到轴线上，分别作垂直平面、水平平面和侧垂直
平面(图a、b、c)的受力图。
a)
c) b)
§4－3 空间任意力系的平衡方程
由(图a、b、 c)，列平衡方程。
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符规定：
§4－2 力对轴之矩
例4-1 图示力F作用在圆轮的平面内,设力F作用线距z轴 距离为d。试计算力F对z轴之矩。
符号规定：从投影的起点到终点的方向与相应坐标轴 正向一致的就取正号；反之，就取负号。
哈工大理论力学第四章
∑F =0
z
FOA sin 45 −P = 0
（拉） F = −1414N F = F = 707N OA OB OC
例4-4 已知： F, l, a,θ 求： x ( F ) , My ( F ) , Mz ( F ) M 解：把力 F 分解如图
Mx F = −F ( l + a) cosθ My F = −Fl cosθ
∑F = 0
FA = 8.66kN
例4-3 已知：P=1000N ,各杆重不计. 求：三根杆所受力. 解：各杆均为二力杆，取球铰O， 画受力图。
∑F =0 ∑F =0
x
y
FOB sin 45 − FOC sin 45 = 0
− FOB cos 45 − FOC cos 45 − FOA cos 45 = 0
空间平行力系的平衡方程
∑F = 0 ∑M
z
x
=0
பைடு நூலகம்
∑M
y
=0
2.空间约束类型举例 2.空间约束类型举例 3.空间力系平衡问题举例 3.空间力系平衡问题举例
§4–6 重 心 6
1．计算重心坐标的公式
P ⋅ xC = P ⋅ x1 + P2 ⋅ x2 + .... + Pn ⋅ xn 1 = ∑ Pi ⋅ xi
M = rBA × F
2、力偶的性质 (1） (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改 力偶对任意点取矩都等于力偶矩， 变而改变。 变而改变。
M O ( F , F ′) = M O ( F ) + M O ( F ′) = rA × F + rB × F ′
理论力学 第4章-空间力系
mx (P) m y (P) mz (P)
6. 空间力矩的平衡:
M
o
(R) 0 m m m
x
0 0 0
空间力矩的平衡方程
y
z
§4-4 空间一般力系的简化和合成
1. 空间一般力系向一点O简化:
1) O点的空间汇交力系: ( P , P , P , P ); 2) 空间附加力偶系: ( m ( P ), m ( P ), m ( P ), m
2. 力偶系的合成:
1) 合力偶矩定理:空间上力偶系的合力偶矩等于各 (几何法) 个分力偶矩的矢量和 I l
2) 合力偶矩投影定理: 空间上力偶系的合力偶矩在 (解析法) 一根轴上的投影等于各个合力偶矩在同 一 轴上的投影的代数和
Lx Ly Lz
l l l
x
y
z
3. 力偶系的平衡
x0 y0 z0 N A B c o s c o s T1 0 N A B c o s sin T 2 0 N A B sin Q 0
3. 求解 :
cos s in cos 80
2
60
2
145 105 145 80 100 4 5 ;
方向余弦; 方向余弦;
Lx Ly Lz
3. 空间一般力系的再生成:
合成为合力:
当 R 0 , L 0 或 R L 时 大 小: 方向: 作 用 线 : 由 空 间 作 用 线 函 数 方 程 确 定 ; 或 简 单 地 在 L 作 用 面 内 , 以 d=| L R | 及 L 转 向 来 确 定 作 用 线 位 于 R 左 侧 或 右 侧 的 位 置 . R=R 可合为一合力
理论力学 第四章 空间力系
第四章空间力系本章将研究空间力系的简化和平衡条件。
工程中常见物体所受各力的作用线并不都在同一平面内，而是空司分布的，例如车床主轴、起重设备、高压输电线塔和飞机的起落架等结构。
设计这些结构时，需用空间力系的平衡条件进行计算。
与平面力系一样，空间力系可以分为空间汇交力系、空司力偶系和空间任意力系来研究。
§4-1 空间汇交力系1.力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解若已知力F与正交坐标系Oxyz三轴间的夹角分别为α、β、γ，如图4-1所示，则力在三个轴上的投影等于力F的大小乘以与各轴夹角的余弦，即X=cosαY=cosβ (4-1)Z=cosγ当力与坐标轴Ox、Oy间的夹角不易确定时，可把力先投影到坐标平面Oxy上，得到力，然后再把这个力投影到x、y轴上。
在图4-2中，已知角γ和，则力在三个坐标轴上的投影分别为X=sinγcosY=sinγsin (4-2)Z=cosγ若以、、表示力F沿直角坐标轴x、y、z的正交分量，以i、j、k分别表示沿x、y、z坐标轴方向的单位矢量，如图4-3所示，则图4-2=++=X i+Y j+Z k (4-3)由此，力在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的正交分矢量间的关系可表示为:=X i，=Y j，=Z k (4-4)如果己知力F在正交轴系Oxyz的三个投影，则力F的大小和方向余弦为=cos(,i)=cos(,j)= (4-5)cos(,k)=例4-1图4-4所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力的作用。
已知斜齿轮的齿倾角(螺旋角) β和压力角α，试求力沿x、y和z轴的分力。
解:先将力向z轴和Oxy平面投影，得Z=-sinα=cosα再将力向x、y轴投影，得X=-sinβ=-cosαsinβY=-cosβ=-cosαcosβ则沿各轴的分力为=-cosαsinβi，=-cosαcosβj，=-sinαk式中i、j、k为沿x、y、z轴的单位矢量，负号表明各分力与轴的正向相反。
理论力学第四章空间力系
→
→ →
→
→
→
→
→
→
AB × F ')
→
力偶矩矢与矩心无关 力偶矩矢无须确定矢的初端位置，故为自由矢量。 力偶矩矢无须确定矢的初端位置，故为自由矢量。 自由矢量
21
结论： 结论：
空间力偶对刚体的作用效果决定于下列三个因素： 空间力偶对刚体的作用效果决定于下列三个因素： ①力偶矩的大小 M = Fd = 2 A∆ABC ②力偶矩的方位——与力偶作用面法线方向相同 力偶矩的方位——与力偶作用面法线方向相同 转向——遵循右手螺旋规则 ③转向——遵循右手螺旋规则
xi
yi
——空间汇交力系的平衡方程 ——空间汇交力系的平衡方程
8
已知： CE=EB=DE； [例1] 已知： 物重P=10kN，CE=EB=DE；θ = 30 ，
0
求：杆受力及绳拉力 解：画受力图如图， 画受力图如图， 列平衡方程
∑F
x
=0
F sin 45o − F sin 45o = 0 1 2
→ → → → → → → →
= [ m O ( F )] x i + [ m O ( F )] y i + [ m O ( F )] z k
[mO (F )]x = yFZ − zFy [mO (F )]y = zFx − xFZ [mO (F )]z = xFy − yFx
→ → → → → →
[mO (F )]x = yFZ − zFy [mO (F )]y = zFx − xFZ [mO (F )]z = xFy − yFx
→ →
→ → → → → →
M x ( F ) = yFz − zF y M y ( F ) = zF x − xFz M Z ( F ) = xF y − yFx
力学基础 空间力系
最终结果
平衡
说
明
合力偶 主矩与简化中心无关
MO 0
合力 合力作用线通过简化中心
合力作用线距简化中心
R 0
MO 0
RMO 合力 R // MO 力螺旋
d MO R
力螺旋中心线过简化中心
MO 0
R与MO
成角
力螺旋
力螺旋中心线距简化中心
d MO sin
R
五.空间任意力系的合力矩定理 若空间力系能合成一个合力，则
1. mo (R) mo (Fi ) 2. mz (R) mz (Fi )
§4.5 空间任意力系的平衡方程
一、空间任意力系的平衡方程 空间任意力系处于平衡的必要和充分条件是：这力系的主矢 和对于任一点的主矩都等于零，即
R 0 , Mo 0
写成空间任意力系的平衡方程
Fix 0 mx (Fi ) 0
主矢
n
Rx Fix i 1 n
Ry Fiy i 1
n
Rz Fiz i 1
R Fi
亦即主矢在各坐标轴上的投影等于各 分力矢在同一轴上投影的代数和。
回顾：力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系
mo (Fi ) mx (Fi )i my (Fi ) j mz (Fi )k
x、y、z三坐标轴的投影，以及对三坐标轴的矩
和对O点的矩。(长度单位为m)
解：
z
k iO j x
4
1、先求F的三个方向余弦
3 F 5 A(4,9,5)
cos(F , i)
4
4
32 42 52 5 2
cos(F , j)
5
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第四章 空间力系
主要内容
§4.1 空间汇交力系 §4.2 空间力偶理论 §4.3 力对点的矩与力对轴的矩 §4.4 空间任意力系的简化.合力矩定理 §4.5 空间任意力系的平衡方程
§4.6 重心
§4.1 空间汇交力系
一.力在空间的表示 1.直接投影法
2.二次投影法
Fx F cos
Fz Fx
F1
x
F3 F1
刚体平衡，还需要施加怎样一个
空间汇交力系的合力投影定理： 空间汇交力系的合力 在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
Rx Fix
R cos( R, i ) x R
Ry Fiy
Rz Fiz
R cos( R, k ) z R
2 2 R Rx Ry Rz2 ( Fix )2 ( Fiy )2 ( Fiz )2
Fy F cos
F
z
Fx F sin cos
Fy F sin sin
Fz F cos
Fz F cos
o
Fy
y
力的解析表示可写为 F Fxi Fy j Fz k
x
Fxy
空间力在轴上的投影
动画
空间力在平面上的投影
这是一空间汇交力系，作直角坐标系Axy，
FCD
60
FBC
把力系中各力投影到Axy平面和Az轴上。 先列出对Az轴的投影方程 Fz 0,
cos60 FAC FCD cos FCE cos 0 FBC
C
FCE
FAC
FCD
45
A y
45
FCE
FBC
F
m
d
F
作用方位不同的力偶矩矢量
2.力偶矩矢量是自由矢量
m
3.空间力偶等效的充要条件
它们的力偶矩矢量相等
§4.2 空间力偶理论
二.空间力偶系的合成与平衡 1.合成 空间力偶系可以合成一个合力偶,合力偶矩矢等于各分 力偶矩矢的矢量和,即 m mi 将上式投影到直角坐标轴上得
解得
y
FAB cos60 FBC cos30 0
FAB sin 60 FBC sin30 G 0
0,
60
FBC
30
FAB
G
FBC G 20 kN,
FAB 3G 34.6 kN
§4.1 空间汇交力系 例 题 4-1
z
2. 再选取C点为研究对象，它的受力图如图所示。
FCD
60
C
FBC
F F
x
0, 0,
sin 45 FCD sin 45 0 FCE
x
FCD cos 45 FCE cos 45 0 FBC
FBC sin 60 15.9 kN 2sin 50.2 cos 45
由此解得 FAC
FCD FCE
FCE
cos60 10.4 kN FAC 2FCD cos50.2 FBC
FCD
45
A
y
所求结果如下：
FAB 34.6 kN FAC 10.4 kN
45
FCE
FBC
x
FCD FCE 15.9kN
§4.2 空间力偶理论
一.空间力偶 1.力偶矩矢量
动画
二次投影法
动画
斜齿轮啮合运动
动画
斜齿轮啮合力Fn的分解
动画
斜齿轮受力分析1
动画
斜齿轮受力分析2
动画
§4.1 空间汇交力系
二.空间汇交力系的合成与平衡 1.合成 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和,合力的作 作用线通过力系的汇交点,即
R F1 F2 Fn Fi
§4.1 空间汇交力系 例 题 4-1
B
C
30
D
60
5m
G E
45
45
A
桅杆式起重机可简化为如 图所示结构。AC为立柱，BC， CD 和 CE 均为钢索， AB 为起重 杆。A端可简化为球铰链约束。 设 B 点滑轮上起吊重物的重量 G=20 kN，AD=AE=6 m，其余 尺寸如图。起重杆所在平面 ABC 与对称面 ACG 重合。不计 立柱和起重杆的自重，求起重 杆 AB 、立柱 AC 和钢索 CD ， CE 所受的力。
x
此力系在Axy平面上投影为一平面汇交 力系，其中： AD 6 arctan arctan 50.2
AC FBC sin 60 FBC 5
FCD sin 50.2 FCD
FCE sin50.2 FCE
§4.1 空间汇交力系 例 题 4-1
z
列平衡方程
§4.1 空间汇交力系 例 题 4-1
B C
解： 1. 先取滑轮 B 为研究对象。注意，
起重杆AB为桁架构件，两端铰接，不
计自重，它是一个二力构件，把滑轮 B 简化为一点，它的受力图如图所示。
30
D
60
5m
G E
45 45
这是一平面汇交力系，列平衡方程
A
y B x
Fx 0,
F
R cos( R, j ) y R
合力投影定理
动画
§4.1 空间汇交力系
2.平衡 空间汇交力系平衡的充分必要条件是:该力系的合力 等于零,即 R Fi 0
投影到三个直角坐标轴上得空间汇交力系的平衡方程
Fix 0 Fiy 0 F 0 iz
my miy 0
mz miz ຫໍສະໝຸດ 0空间力偶系的合成 动画
§4.2 空间力偶理论 例 题 4-2
图示的三角柱刚体是正方体
z
的一半。在其中三个侧面各自作 用着一个力偶。已知力偶（F1 ，
F3
F2
F2
O y
F 1）的矩M1=20 N· m；力偶（F2， F 2 ）的矩M2=20 N· m；力偶 （F3 ，F 3）的矩M3=20 N· m。 试求合力偶矩矢M。又问使这个
mx mix my miy mz miz
即：合力偶矩矢在坐标轴上的投影等于各分力偶矩矢 在同一轴上投影的代数和。 2.平衡
空间力偶系平衡的充分必要条件是:合力偶矩矢为零. m mi 0
§4.2 空间力偶理论
将上式投影到直角坐标轴上得
mx mix 0
主要内容
§4.1 空间汇交力系 §4.2 空间力偶理论 §4.3 力对点的矩与力对轴的矩 §4.4 空间任意力系的简化.合力矩定理 §4.5 空间任意力系的平衡方程
§4.6 重心
§4.1 空间汇交力系
一.力在空间的表示 1.直接投影法
2.二次投影法
Fx F cos
Fz Fx
F1
x
F3 F1
刚体平衡，还需要施加怎样一个
空间汇交力系的合力投影定理： 空间汇交力系的合力 在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
Rx Fix
R cos( R, i ) x R
Ry Fiy
Rz Fiz
R cos( R, k ) z R
2 2 R Rx Ry Rz2 ( Fix )2 ( Fiy )2 ( Fiz )2
Fy F cos
F
z
Fx F sin cos
Fy F sin sin
Fz F cos
Fz F cos
o
Fy
y
力的解析表示可写为 F Fxi Fy j Fz k
x
Fxy
空间力在轴上的投影
动画
空间力在平面上的投影
这是一空间汇交力系，作直角坐标系Axy，
FCD
60
FBC
把力系中各力投影到Axy平面和Az轴上。 先列出对Az轴的投影方程 Fz 0,
cos60 FAC FCD cos FCE cos 0 FBC
C
FCE
FAC
FCD
45
A y
45
FCE
FBC
F
m
d
F
作用方位不同的力偶矩矢量
2.力偶矩矢量是自由矢量
m
3.空间力偶等效的充要条件
它们的力偶矩矢量相等
§4.2 空间力偶理论
二.空间力偶系的合成与平衡 1.合成 空间力偶系可以合成一个合力偶,合力偶矩矢等于各分 力偶矩矢的矢量和,即 m mi 将上式投影到直角坐标轴上得
解得
y
FAB cos60 FBC cos30 0
FAB sin 60 FBC sin30 G 0
0,
60
FBC
30
FAB
G
FBC G 20 kN,
FAB 3G 34.6 kN
§4.1 空间汇交力系 例 题 4-1
z
2. 再选取C点为研究对象，它的受力图如图所示。
FCD
60
C
FBC
F F
x
0, 0,
sin 45 FCD sin 45 0 FCE
x
FCD cos 45 FCE cos 45 0 FBC
FBC sin 60 15.9 kN 2sin 50.2 cos 45
由此解得 FAC
FCD FCE
FCE
cos60 10.4 kN FAC 2FCD cos50.2 FBC
FCD
45
A
y
所求结果如下：
FAB 34.6 kN FAC 10.4 kN
45
FCE
FBC
x
FCD FCE 15.9kN
§4.2 空间力偶理论
一.空间力偶 1.力偶矩矢量
动画
二次投影法
动画
斜齿轮啮合运动
动画
斜齿轮啮合力Fn的分解
动画
斜齿轮受力分析1
动画
斜齿轮受力分析2
动画
§4.1 空间汇交力系
二.空间汇交力系的合成与平衡 1.合成 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和,合力的作 作用线通过力系的汇交点,即
R F1 F2 Fn Fi
§4.1 空间汇交力系 例 题 4-1
B
C
30
D
60
5m
G E
45
45
A
桅杆式起重机可简化为如 图所示结构。AC为立柱，BC， CD 和 CE 均为钢索， AB 为起重 杆。A端可简化为球铰链约束。 设 B 点滑轮上起吊重物的重量 G=20 kN，AD=AE=6 m，其余 尺寸如图。起重杆所在平面 ABC 与对称面 ACG 重合。不计 立柱和起重杆的自重，求起重 杆 AB 、立柱 AC 和钢索 CD ， CE 所受的力。
x
此力系在Axy平面上投影为一平面汇交 力系，其中： AD 6 arctan arctan 50.2
AC FBC sin 60 FBC 5
FCD sin 50.2 FCD
FCE sin50.2 FCE
§4.1 空间汇交力系 例 题 4-1
z
列平衡方程
§4.1 空间汇交力系 例 题 4-1
B C
解： 1. 先取滑轮 B 为研究对象。注意，
起重杆AB为桁架构件，两端铰接，不
计自重，它是一个二力构件，把滑轮 B 简化为一点，它的受力图如图所示。
30
D
60
5m
G E
45 45
这是一平面汇交力系，列平衡方程
A
y B x
Fx 0,
F
R cos( R, j ) y R
合力投影定理
动画
§4.1 空间汇交力系
2.平衡 空间汇交力系平衡的充分必要条件是:该力系的合力 等于零,即 R Fi 0
投影到三个直角坐标轴上得空间汇交力系的平衡方程
Fix 0 Fiy 0 F 0 iz
my miy 0
mz miz ຫໍສະໝຸດ 0空间力偶系的合成 动画
§4.2 空间力偶理论 例 题 4-2
图示的三角柱刚体是正方体
z
的一半。在其中三个侧面各自作 用着一个力偶。已知力偶（F1 ，
F3
F2
F2
O y
F 1）的矩M1=20 N· m；力偶（F2， F 2 ）的矩M2=20 N· m；力偶 （F3 ，F 3）的矩M3=20 N· m。 试求合力偶矩矢M。又问使这个
mx mix my miy mz miz
即：合力偶矩矢在坐标轴上的投影等于各分力偶矩矢 在同一轴上投影的代数和。 2.平衡
空间力偶系平衡的充分必要条件是:合力偶矩矢为零. m mi 0
§4.2 空间力偶理论
将上式投影到直角坐标轴上得
mx mix 0