理论力学(大学)课件8.1 空间任意力系向一点的简化及结果分析
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理论力学L4-4 空间力系简化
c ) 一般主矢和主矩矢既不平行也不垂直 由共点矢量知，它们在同一平面内， 假设两矢量正向夹角为α。 ' FR 1) 将 M O分解为垂直于 ' ' ' 的 及平行于 F M R MO MO O " 的 MO ， ' ' O M O 的大小： " FR ' MO M O M O sin
' b) 若主矢平行于主矩：FR // M o
O
MO
' 由一个力和一个力偶(且力 FR 垂直于力偶作用面)组成的
力系，称为力螺旋。 力和力偶都是基本力学量， 力螺旋不能再简化。
力偶矩矢与力矢同方向的称为右螺旋(力偶的转 向与力的方向符合右手关系)；反之称左螺旋。 但一般主矢和主矩矢既不平行也不垂直。
§4-4 空间任意力系向一点简化
一、空间任意力系向一点简化 与平面任意力系向一点简化相似，空间任意力 系也是利用力的平移定理将各力平移到简化中 心 O 处，并附加矢量表示的空间力偶，则原力 系与空间汇交力系＋空间力偶系等效。
MO m m1 n
F2 F’2
F’R
O
F’n
Fn
F’1 m2
F 又由于力偶矩矢是自由矢量，再将平行于 的 R '' 力偶矩矢 M o 平行移动与FR 重合，成为力螺旋。 一般情况下，空间力系简化结果是一个力螺旋。
约束类型
约束反力
数量
空 间 约 束 类 型 和 约 束 反 力
3
4
5 6
MO
F’R
对于空间汇交力系的合 ' 力FR ：
O
' FR 等于该力系各力的矢量和， 称其为该力系的主矢； 对于空间力偶系的合力偶，其力偶矩矢 M O等于 各附加力偶矩的矢量和，也是力系中各力对点O 力矩矢的矢量和： MO mi mO ( Fi ) 称为该力系对简化中心O点的主矩。
讲空间任意力系资料
MO
FR
MO d FR MO (FR ) MO (F)
合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢 量和.
合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和. （2）合力偶
当 FR 0,MO 0 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化 中心无关。
（3）力螺旋
当 FR 0, MO 0, FR ∥MO 时
M AB F 0 M AE F 0
F6
a
a 2
P
0
F6
P 2
F5 0
M AC F 0
F4 0
MEF F 0
F6
a
a 2
P
F1
ab 0 a2 b2
MFG F 0
Fb
b 2
P
F2b
0
MBC F 0
F2
b
b 2
P
F3
cos
45
b
0
F1 0 F2 1.5P
F3 2 2P
Fr 0.36F , R 50mm, r 30mm
各尺寸如图
求： (1) Fr , F（2）A、B处约束力 （3）O 处约束力
解：研究对象1：主轴及工件，受力图如图
Fx 0
Fy 0
F FBx FAx Fx 0 FBy Fy 0
Fz 0
F FBz FAz Fz 0
MOy —偏航力矩
MOz —俯仰力矩
飞机向前飞行
飞机上升 飞机侧移 飞机绕x轴滚转 飞机转弯 飞机仰头
2． 空间任意力系的简化结果分析（最后结果） 1） 合力
当 FR 0, MO 0最后结果为一个合力.
合力作用点过简化中心.
当
FR 0, MO 0, FR MO
《工程力学(静力学)》全套精品课件第5章-空间任意力系
F2
A FAy
y
FAx
B
xW
C FC
谢传锋:工程力学(静力学)
7
静力学
§2 空间任意力系的平衡条件
方法二：六矩式方程
M Cy 0 FAz M x 0 F2 M z 0 FC M y 0 F1 M Dz 0 FAx
M Cz 0 FAy
谢传锋:工程力学(静力学)
z
n
n
•主矢 FR Fi Fi '
i1
i1
n
n
•主矩 MO Mi ri Fi
i1
i1
谢传锋:工（程与力简学(静化力点学无) 关）
（与简化点有关）
4
静力学
§2 空间任意力系的平衡条件
一、空间任意力系的平衡条件
空间任意力系简化 {F1, F2 ,, Fn} {FR , MO}
平衡
FR 0, MO 0
n
n
FR Fi ' Fi
i1
i1
n
n
MO Mi ri Fi
i1
i1
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2 MO ( MOx )2 ( MOy )2 ( MOz )2
空间任意力系平衡的条件：
FR 0
Fx 0
Fy 0 MO 0
M Ox (F ) 0 M Oy (F ) 0
谢传锋:工程力学(静力学)
x
Fz M
0 x (F
)
0
M y (F ) 0
z
2
A
By
W
C
6
静力学
§2 空间任意力系的平衡条件
z
解：取板为研究对象 画受力图
空间任意力系的简化结果分析
FT
6 P 100 6
6N (拉力)
Mil1 0
FAx 4 FT1
4 20 20
FAx
30பைடு நூலகம்6
FT
2 100N 20
Mil2 0
FAx 4 FAy 2 0
FAy 2FAx 200 N
z
E FAz
2m
FAx
A
0时，空间力系为平衡力系
7
§3–2 空间力系的平衡
平衡力系所要满足的条件称为力系的平衡条件。
1.空间力系的平衡条件
任意空间力系平衡的充要条件是：力系的主矢 定点O的主矩 M O 全为零。
FR
和对任一确
即
n
FR Fi 0
i 1
n
（7.1）
M O M O (Fi ) 0
sin BC
42 32
0.8944
AB
42 32 2.52
cos 0.4472
sin CD
4
0.8
BC
42 32
cos BD
3
0.6
BC
42 32
z 4m
600
F2
F1
F3
x
Fx F sin cos 1500 0.8944 0.6 805N
3
主矢和主矩的计算
主矢—通过投影法
先计算得到主矢在 各轴上的投影
根据它们，可得到 主矢的大小和方向
n
FRx
Fxi
i 1
n
FRy
理论力学课件 力系简化理论
2012-3-1
或 x
MO 3.514m FRy
例题 2-6 在边长为a的正方形顶点O、F、C和E处分别作用有大小都等于F 的力，方向如图所示，求此力系的最终简化结果。
解：
首先，将各力表示成矢量的形式
F1 F 2 (i j ) 2
F2 F
2 ( i j ) 2
简化的最终结果是一平面力偶 ，大小为 3 Fa。
2012-3-1
例题2-6：重力坝
重力坝受力如图(a)所示。设 求主动力系的合力。
y
解： （1）先将力系向O点简化，求主矢 FR′和主矩MO
先求主矢FR′在x 、y 轴上的投影
F x F1 F2 con 232.9 FRx
主矩的大小 主矩的方向余弦
M M x M y M z 251.86N m
My M
2
2
2
M cos cos
Mz 0.7943 M
2012-3-1
§2–3
力系的简化结果
1）合力的情况 0, M O 0 最后结果为一个过简化中心的合力. 当 FR
如图以a端为原点建立坐标载荷集度函数的一般表达式为合力的大小根据合力矩定理合力的作用位置201231常见分布载荷计算分布载荷的强度常用单位长度面积体积上载荷总量表示称为载荷集度q
第二章
力 系 简 化 理 论
2012-3-1
§2–1
力的平移定理
将作用在刚体上一点A点的力F向刚体上任意点B平移而不改变对刚体 的作用，必须同时附加一力偶，其力偶矩等于原来的力对新作用点B 之矩，即
2012-3-1
因为
MO 0 FR
所以
或 x
MO 3.514m FRy
例题 2-6 在边长为a的正方形顶点O、F、C和E处分别作用有大小都等于F 的力，方向如图所示，求此力系的最终简化结果。
解：
首先，将各力表示成矢量的形式
F1 F 2 (i j ) 2
F2 F
2 ( i j ) 2
简化的最终结果是一平面力偶 ，大小为 3 Fa。
2012-3-1
例题2-6：重力坝
重力坝受力如图(a)所示。设 求主动力系的合力。
y
解： （1）先将力系向O点简化，求主矢 FR′和主矩MO
先求主矢FR′在x 、y 轴上的投影
F x F1 F2 con 232.9 FRx
主矩的大小 主矩的方向余弦
M M x M y M z 251.86N m
My M
2
2
2
M cos cos
Mz 0.7943 M
2012-3-1
§2–3
力系的简化结果
1）合力的情况 0, M O 0 最后结果为一个过简化中心的合力. 当 FR
如图以a端为原点建立坐标载荷集度函数的一般表达式为合力的大小根据合力矩定理合力的作用位置201231常见分布载荷计算分布载荷的强度常用单位长度面积体积上载荷总量表示称为载荷集度q
第二章
力 系 简 化 理 论
2012-3-1
§2–1
力的平移定理
将作用在刚体上一点A点的力F向刚体上任意点B平移而不改变对刚体 的作用，必须同时附加一力偶，其力偶矩等于原来的力对新作用点B 之矩，即
2012-3-1
因为
MO 0 FR
所以
理论力学—空间力系(可用)
z MO O x F'R y
空间力偶系可合成为一合力偶，其矩矢MO：
M O M O ( Fi )
力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和称为力系对简化 中心的主矩。主矩与简化中心的位置有关。
1 空间力系向一点的简化 结论：空间力系向任一点O简化，可得一力和一力 偶，这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通 过简化中心O；这个力偶的矩矢等于该力系对简化中心 的主矩。 .2 空间任意力系的简化结果分析 空间任意力系向一点简化的结果可能出现四种情况： (1) F'R＝0，MO≠0 ; (2) F'R ≠ 0，MO ＝ 0 ; (3) F'R ≠ 0，MO≠0 ;
z
60
B
D
G
C
60
45 45
3m
2m
A
y
P
H
x
解：以立柱和臂杆组成的系统为研究对象，受力如 图，建立如图所示的坐标。
列平衡方程：
X 0 : X A TH cos 60 sin 45 TG cos 60 sin 45 0 Y 0 : YA TH cos 60 cos 45 TG cos 60 cos 45 0
Fx 0,
Fy 0,
Fz 0
M x ( F ) 0, M y ( F ) 0, M z ( F ) 0
空间任意力系平衡的必要与充分条件为：力系中各力 在三个坐标轴上投影的代数和等于零，且各力对三个 轴的矩的代数和也等于零。上式即为空间任意力系的 平衡方程。
这时得一与原力系等效的合力，合力的作用线过简 化中心O，其大小和方向等于原力系的主矢。
2 空间任意力系的简化结果分析
空间力偶系可合成为一合力偶，其矩矢MO：
M O M O ( Fi )
力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和称为力系对简化 中心的主矩。主矩与简化中心的位置有关。
1 空间力系向一点的简化 结论：空间力系向任一点O简化，可得一力和一力 偶，这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通 过简化中心O；这个力偶的矩矢等于该力系对简化中心 的主矩。 .2 空间任意力系的简化结果分析 空间任意力系向一点简化的结果可能出现四种情况： (1) F'R＝0，MO≠0 ; (2) F'R ≠ 0，MO ＝ 0 ; (3) F'R ≠ 0，MO≠0 ;
z
60
B
D
G
C
60
45 45
3m
2m
A
y
P
H
x
解：以立柱和臂杆组成的系统为研究对象，受力如 图，建立如图所示的坐标。
列平衡方程：
X 0 : X A TH cos 60 sin 45 TG cos 60 sin 45 0 Y 0 : YA TH cos 60 cos 45 TG cos 60 cos 45 0
Fx 0,
Fy 0,
Fz 0
M x ( F ) 0, M y ( F ) 0, M z ( F ) 0
空间任意力系平衡的必要与充分条件为：力系中各力 在三个坐标轴上投影的代数和等于零，且各力对三个 轴的矩的代数和也等于零。上式即为空间任意力系的 平衡方程。
这时得一与原力系等效的合力，合力的作用线过简 化中心O，其大小和方向等于原力系的主矢。
2 空间任意力系的简化结果分析
《理论力学》第二章 力系的简化
MO x
y
三、平面任意力系向一点的简化 平面任意力系向一点的简化 任意力系向一点的
HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY
空间平行力系
几何法
解析法
（合力） §2-1 汇交力系的简化 合力）
HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY
HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY
r r r r FR = F1 + F2 + L + Fn
试求该力系的合力。 例1：已知 1= F2 = F3= F4=100N,试求该力系的合力。 ：已知F 试求该力系的合力 解： FR y 4 FRx = F1 cos 60° − F2 cos 45° − F3 + F4 F 2 5 F1 = −40.71N 60° x 45° 3 FRy = F1 sin 60° + F2 sin 45° − F4 5 F3 O 3 4 F4 = 97.31N
理论力学PPT课件第1章 力系的简化
故
M A FR M0 FR
——第二不变量
力系主矢与主矩的点积不随简化中心变化
2019/2/4
36
2.力系的最简形式 (1) FR 0 ， M 0 0 与零力系等效，平衡 (2) FR 0 , M 0 0 简化为一力偶
(3) FR 0 , M 0 0 简化为一合力 (4) FR 0 , M 0 0
力的三要素：大小，方向，作用点
力的单位： 国际单位制： 牛顿(N) ;千牛顿(kN)
F
集中力与分布力
工程中常用载荷集度表示分布力的强弱程度, 用q 表示. 单位有: kN/m3 ,kN/m2,kN/m (三种)。
2019/2/4 3
力系及其分类: 力系—作用在物体上的一群力. 空间力系、平面力系 汇交力系、平行力系、一般力系 等效力系—作用效果相同的力系 平衡力系—作用在平衡物体上的全部力 二. 刚体的概念 三. 平衡的概念
2 2 2
Fy Fx F cos , cos , cos z . F F F
[投影与分量的矢量表示]
2019/2/4 15
2. 二次投影法（间接投影法） 先将 F 投影到 xoy 平面上，
然后再投影到x、y轴上，即:
Fx Fxy cos F cos cos
静力学篇
几何静力学 —用矢量方法研究物体的平衡规律
研究内容 —力系的简化（理论基础） —力系的平衡 公理化理论体系 分析静力学(虚功原理)
2019/2/4
1
第1章 力系的简化
2019/2/4
2
§1.1 静力学基本概念与公理 一、力的概念 定义：力是物体之间的相互机械作用。 力的效应: 运动效应(外效应);变形效应(内效应)。
理论力学空间任意力系
(M
zi
)2
cos(M , i) M x cos(M , j) M y cos(M , k) M z
M
M
M
平衡条件
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :
M 0合力偶矩矢等于零
M ( M xi )2 ( M yi )2 (M zi )2
平衡方程
M ix M iy
0 0
M iz
M 2 M 2 sin
j M 2 cos
k
3 5
F
20.2
j
4 5
F
20.2k
合力偶矩矢 M M1 M 2 60i 12 j 16k
大小： M 602 122 162 63.25(N m)
（1）研究多个力偶的合成或力偶系的平衡，只要用力偶矩矢 进行运算即可；
（2）求合力偶矩矢时，一般只需求得其沿各坐标轴的分量即可。 也可进一步分析合力偶矩矢的大小及其方位角。
力与轴平行或与轴相交——即力与轴在同一平面内 时，力对该轴的矩为零。
Mz (F ) MO (Fxy) Fxy d M z (F) Mo (Fxy ) Fxy h
力对轴之矩等于力在该轴垂直面上的投影对该轴和 投影面的交点之矩
3、力对点之矩与力对过该点的轴之矩的关系
r
r
rrr
已知：力 F及r 力 F在三根坐标轴上的分力 ，Fx ，Fy， Fz
四、空间任意力系
1、空间任意力系向一点的简化
F1 F1 , F2 F2 , , Fn Fn M1 MO (F1), M2 MO (F2 ), , Mn MO (Fn )
n
FR F1 F2 F3 F1 F2 F3 Fi i 1 n
M O M1 M 2 M 3 M O F1 M O F2 M O F3 M O Fi
经典理论力学课件
M M2
MC M1
结论
FO M1 MO
q
rCO
FC M1 M C
M
O
M2
C M2
力 M O 0 系 FO 0
=
可找
M O FO 0 到简
F1
P1
F3
P3
F1
M1
F3
M FO
O P2
=
M2
M3 =
O
O
F2
F2
(F1, F2, F3)
3 3
FO Fi Fi
i 1
i 1
(F1, F2 , F3 )
一般力系
汇交力系（O）
+ (M1, M2, M3)
r4
O
F4
r1 r2
y
x FO
M1
~r1F1
0 b
b
M i
b
0 M0 O
b F 0
00(Fi
0
0)
riFFbbFi
0 b 0 F 0
M3
~r3F3
C n
FO FC FR Fi i 1
2019年5月31日 理论力学CAI 静力学
同一力系向不同简化中心的简化力
均等于主矢，只是作用点不同
16
力系的简化/力系的简化的最简的结果
•
简化力偶的关系
(
F1
,
F2
,,
Fn
理论力学：空间任意力系的简化
O’
Od
O’
(A) FR 0, MO 0, FR MO (不过简化点O)
(B) FR 0, MO 0 (过简化点O)
3
理论力学
§2-3 空间一般力系简化
(2) FR 0, MO 0, FR MO
MO FR
O
M O1 FR
O MO2
力螺旋 (wrench)
M O1
FR
FR
o d O’
理论力学
• 空间任意力系的简化与平衡条件
2020/12/9
1
理论力学 BUAA
空间任意力系的简化
三、空间任意力系简化结果的讨论
空间任意力系 {F1, F2,, Fn} {FR , MO} 简化结果
1、 FR 0, MO 0 2、 FR 0, MO 0
平衡力系 合力 (过简化点O)
3、 FR 0, MO 0
F3
F2
F1 平面椭圆A
F1
F3 F5
F2
F4
正方体A
F3
F2
F1
平面椭圆B
F2 F3
F1
F5
F4 正方体B
6
理论力学
§2-3 空间一般力系简化
例：求力系｛Fi｝向O点简化的结果。
z
解：1、 Fi Fix i Fiy j Fiz k
ri xii yi j zik
F1
c
n
2、 FR Fi
0
M
A
1 2
ql 2
2020/12/9
19
理论力学
§2-4 各类力系平衡条件
例：重为W 的均质正方形板 水平支承在铅垂墙壁上，求 绳1、2的拉力, BC杆的内力
理论力学(大学)课件8.2 空间任意力系的平衡方程及常见的空间约束
2、空间任意力系的平衡方程及常见的空间约束空间任意力系平衡的充要条件：空间任意力系的平衡方程:00xy z F FF ===ååå00xyzMMM===ååå空间任意力系平衡的充要条件：力系中各力在任一坐标轴上的投影的代数和等于零，以及各力对每一个坐标轴的力矩的代数和也等于零.该力系的主矢、主矩分别为零.(1) 空间任意力系的平衡方程(基本式)常见的空间约束00xy z F FF===ååå00xyzM M M ===ååå空间任意力系的平衡方程(基本式)平衡方程除了基本式之外，还有四矩式、五矩式、六矩式。
有几个力矩平衡方程，称之为几矩式。
各种形式应该根据实际情况灵活运用。
基本式以外的方程形式，通常不再给限定条件，一般的情况下只要列出的方程能求解出未知量即是未违反限制条件。
常见的空间约束00zxyF MM===ååå空间平行力系的平衡方程各种力系的独立平衡方程个数空间任意力系6个空间汇交力系3个空间平行力系3个空间力偶系3个平面任意力系3个平面汇交力系2个平面平行力系2个平面力偶系2(1)个最一般情形：空间、任意一级特殊情形（包含一种特殊情况）：空间问题+特殊力系，或者任意力系+平面情形二级特殊情形（包含两种特殊情况）：平面问题+特殊力系。
2、空间任意力系的平衡方程及常见的空间约束(2) 空间常见约束类型柔索二力杆2、空间任意力系的平衡方程及常见的空间约束2、空间任意力系的平衡方程及常见的空间约束径向轴承圆柱铰链铁轨蝶铰链球铰链导向轴承带有销子的夹板导轨空间任意力系及重心的计算f. 6个未知约束量空间固定端约束分析实际的约束时，需要忽略一些次要因素，抓住主要因素，做一些合理的简化。
比如导向轴承和径向轴承之间的区别；蝶铰链和止推轴承之间的区别。
如果刚体只受平面力系的作用，则垂直于该平面的约束力和绕平面内两轴转动的约束力偶都应该为零，相应减少了约束量的数目。
理论力学-第2章 力系的等效与简化
力系的简化
空间一般力系的简化
一般力系简化的结果
力系的主矢不随简化中心的改变而改变， 所以称为力系的不变量。主矩则随简化中心 的改变而改变。
力系的简化
空间一般力系的简化
例题2
由F1、F2组成的空间力系，已 知：F1 = F2 = F。试求力系的主矢FR
力系的简化
力向一点平移定理
力向一点平移
-F
F
F
F
力系的简化
力向一点平移定理
力向一点平移
z
-F F
F
M
F
Mx My
F
力系的简化 空间一般力系的简化
力系的简化
空间一般力系的简化
一般力系的简化
M1
F1
F2
Mn
Fn
Fn
M2
F2 F1
力系的简化
空间一般力系的简化
一般力系的简化
MnMO M1
= (Fzy-Fyz) i +(Fxz-Fzx) j+(Fyx-Fxy) k
x
y
力对点之矩与力对轴之矩
力对点之矩
力矩矢量的方向
M
F
O
r
按右手定则 M= r F
力对点之矩与力对轴之 矩
力对轴之矩
力对点之矩与力对轴之
矩
力对轴之矩
力对轴之矩实例
F Fz Fy
Fx F
力对点之矩与力对轴之
矩
力偶与力偶系
力偶的性质
力偶的性质
性质一 :力偶无合力，即主矢FR=0。 力偶对刚体的作用效应，只取决于力偶矩矢量。
力偶与力偶系
力偶的性质
性质二：只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用 面内任意移动和转动，其对刚体的作用效果不变。
理论力学-第二章力系的简化PPT课件
2）三角形载荷 1
F 2 q0l
d 2l 3
-
44
§2–3 空间一般力系的简化
例2 在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：
F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN（如图），试求以上四个 力构成的力系对O点的简化结果，以及该力系的最后合成结
果。
y
F2
A 60°
B
F3
2m
的力系也应是一个空间力系。但可根据空间力系的简 化结果向某一点简化，得到一个力和一个力偶，由于 力和力偶矩矢的大小和方向都未知，可投影到三个坐 标轴上，用分量来表示。
-
39
§2–3 空间一般力系的简化
-
图
40
§2–3 空间一般力系的简化
-
图
41
§2–3 空间一般力系的简化
-
42
图
§2–3 空间一般力系的简化
F
F
F
2）M O 主矩M 的O 计x2 算M O y2M O z2M MO Oxy
[ [
MOz [
MO(Fi)]x MO(Fi)]y MO(Fi)]z
Mx(Fi ) My(Fi ) Mz (Fi )
cos'M O x,cos'M O y,cos'M O z
M O
- M O
M O
21
§2–3 空间一般力系的简化
简化结果和简化中心有关。
-
34
§2–3 空间一般力系的简化
4、若 F0,MO0，力系可合成为一合力。 合力不过简化中心，平移的距离为d=Mo / F , 合力的 大小和方向由主矢确定 。
合力作用线F 方程
F F
理论力学：空间任意力系的简化
理论力学
• 空间任意力系的简化与平衡条件
2020/12/9
1
理论力学 BUAA
空间任意力系的简化
三、空间任意力系简化结果的讨论
空间任意力系 {F1, F2,, Fn} {FR , MO} 简化结果
1、 FR 0, MO 0 2、 FR 0, MO 0
平衡力系 合力 (过简化点O)
3、 FR 0, MO 0
2020/12/9
10
理论力学
§2-4 各类力系平衡条件
例：结构如图所示，不计构件自重。已知主动力F（作用于杆 的中点），确定铰链O、B约束力的方向并比较其大小。
FA A
F O
1、研究OA杆 B
2、研究AB杆
A
FA
F
B
O
FB
FO FA
（A）
FB
F
FO FB FA FO
FO
（B）
FB
FB FA FO
F
2020/12/9
11
理论力学
§2-4 各类力系平衡条件
二、空间任意力系的平衡条件
空间任意力系简化 {F1, F2 ,, Fn} {FR , MO}
平衡
FR 0, MO 0
n
n
FR Fi ' Fi
i 1
i 1
n
n
MO Mi ri Fi
i1
i1
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2 MO ( MOx )2 ( MOy )2 ( MOz )2
二力平衡原理
作用于刚体上的二力为平衡力系的充分必要条件是此 二力等值、反向、共线。
三力平衡定理
作用于刚体上的三个力若为平衡力系，则这三个力的 作用线共面，或汇交于一点或彼此相互平行。
• 空间任意力系的简化与平衡条件
2020/12/9
1
理论力学 BUAA
空间任意力系的简化
三、空间任意力系简化结果的讨论
空间任意力系 {F1, F2,, Fn} {FR , MO} 简化结果
1、 FR 0, MO 0 2、 FR 0, MO 0
平衡力系 合力 (过简化点O)
3、 FR 0, MO 0
2020/12/9
10
理论力学
§2-4 各类力系平衡条件
例：结构如图所示，不计构件自重。已知主动力F（作用于杆 的中点），确定铰链O、B约束力的方向并比较其大小。
FA A
F O
1、研究OA杆 B
2、研究AB杆
A
FA
F
B
O
FB
FO FA
（A）
FB
F
FO FB FA FO
FO
（B）
FB
FB FA FO
F
2020/12/9
11
理论力学
§2-4 各类力系平衡条件
二、空间任意力系的平衡条件
空间任意力系简化 {F1, F2 ,, Fn} {FR , MO}
平衡
FR 0, MO 0
n
n
FR Fi ' Fi
i 1
i 1
n
n
MO Mi ri Fi
i1
i1
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2 MO ( MOx )2 ( MOy )2 ( MOz )2
二力平衡原理
作用于刚体上的二力为平衡力系的充分必要条件是此 二力等值、反向、共线。
三力平衡定理
作用于刚体上的三个力若为平衡力系，则这三个力的 作用线共面，或汇交于一点或彼此相互平行。
理论力学3-2 空间力系
10
§3-5 空间任意的平衡方程
例 4 -4
水平传动轴上装有两个胶带 轮C和D，半径分别是r1=0.4 m ，
r2=0.2 m . 套在C 轮上的胶带是
铅垂的，两边的拉力F1=3400N， F2=2000 N，套在D轮上的胶带与
铅垂线成夹角α=30o，其拉力
F3=2F4。求在传动轴匀速转动时， 拉力F3和F4以及两个径向轴承处 约束力的大小。
二维 xC
dA C O
A
xdA A
, yC
A
ydA A
1 2 2 x R cos θ, dA R dθ 2 3
xC
A
xdA
4R xC 半圆： 3
A 2 sin R 3
2 1 2 R cos R d 3 2 R 2
22
§3-6
② 组合法求重心
将物体分成n 部分，设第i 部分重为Pi ，坐标为（xi，
yi，zi），则由(*)式得重心的坐标（xC，yC，zC）为：
xC
Px , P
i i i
yC
Py , P
i i i
zC
Pz P
i
i i
17
§3-6
重心
2、重 心
重心的坐标为：
xC
Px , P
i i i
i i
其投影式为:
xC Fx Fx , F F
R
yC
Fy , F
i i
zC
i i
(*)
16
§3-6 2、重 心
xC
i i
重心
i i i
§3-5 空间任意的平衡方程
例 4 -4
水平传动轴上装有两个胶带 轮C和D，半径分别是r1=0.4 m ，
r2=0.2 m . 套在C 轮上的胶带是
铅垂的，两边的拉力F1=3400N， F2=2000 N，套在D轮上的胶带与
铅垂线成夹角α=30o，其拉力
F3=2F4。求在传动轴匀速转动时， 拉力F3和F4以及两个径向轴承处 约束力的大小。
二维 xC
dA C O
A
xdA A
, yC
A
ydA A
1 2 2 x R cos θ, dA R dθ 2 3
xC
A
xdA
4R xC 半圆： 3
A 2 sin R 3
2 1 2 R cos R d 3 2 R 2
22
§3-6
② 组合法求重心
将物体分成n 部分，设第i 部分重为Pi ，坐标为（xi，
yi，zi），则由(*)式得重心的坐标（xC，yC，zC）为：
xC
Px , P
i i i
yC
Py , P
i i i
zC
Pz P
i
i i
17
§3-6
重心
2、重 心
重心的坐标为：
xC
Px , P
i i i
i i
其投影式为:
xC Fx Fx , F F
R
yC
Fy , F
i i
zC
i i
(*)
16
§3-6 2、重 心
xC
i i
重心
i i i
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空间任意力系及重心的计算
c. 简化为合力偶
⑤ FR′= 0, MO≠0
一个合力偶 与简化中心无关。 d. 平衡
⑥ FR′= 0, MO= 0
平衡
平面任意力系简化的最后结果
只能是合力、合力偶、平衡三种情况，不可能出现力螺旋。
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
空间任意力系及重心的计算
中心轴过简化中心的力螺旋
力螺旋 由一个力和一个力偶组成的力系, 并且力垂直于力 偶的作用面。
MO O F'R
F'R O
右螺旋
F'R O
F'R O
MO
左螺旋
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
空间任意力系及重心的计算
钻头钻孔时施加的力螺旋
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
空间任意力系及重心的计算
å å å 方向 cos(FR¢ , i) =
Fix FR¢
cos(FR¢ , j) =
Fix FR¢
cos(FR¢ , k) =
Fiz FR¢
作用点: 一般令其作用于简化中心上
空间任意力系及重心的计算
空间力偶系的合力偶矩
å å MO = Mi = MO (Fi )
主矩
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
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空间任意力系及重心的计算
汇交力系的合力
FR¢ = å Fi = å Fxi + å Fy j + å Fzk
主矢
F1¢
M2
M1
FR¢ F2¢
Fn¢ M n
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
å å å 主矢大小 FR¢ = ( Fix )2 + ( Fiy )2 + ( Fiz )2 (与简化中心无关)
Mx MO
cos(MO , j) =
My MO
cos(MO , k) =
Mz MO
作用位置: 刚体上任意位置
空间任意力系及重心的计算
向一点简化的实际意义
x
MO
FR¢ MOx
FR' x
M Oy FR' y
y
FR' z
M Oz
z
— 有效升力 — 有效推进力 — 侧向力 — 偏航力矩 — 滚转力矩 — 俯仰力矩
MO
O F''R d
F'R FR
å MO = d ´ FR = MO (FR ) = MO (Fi )
合力矩定理
合力对某点(轴）之矩等于各分力对同一点（轴）之矩的矢量和
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
空间任意力系及重心的计算
b. 简化为力螺旋 ③ FR ' ¹ 0, MO ¹ 0, FR ' // MO
å å å MO = M x (Fi )i + M y (Fi ) j + M z (Fi )k
MO M 及结果分析
å å å 主矩大小 M O = ( M x )2 + ( M y )2 + ( M z )2 (一般与简化中心有关)
å å å 方向 cos(MO, i) =
本讲主要内容
1、空间任意力系向一点的简化及结果分析 2、空间任意力系的平衡方程及常见的空间约束 3、重心的计算
空间任意力系及重心的计算
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
空间任意力系及重心的计算
(1) 空间任意力系向一点简化·主矢和主矩
F1
F1¢
M2
M1 F2
F2¢
Fn¢ M n
Fn
Fi¢ = Fi Mi = MO (Fi )
飞机上升 飞机向前飞行 飞机侧移 飞机转弯 飞机绕纵轴滚转 飞机俯仰
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
空间任意力系及重心的计算
(2) 空间任意力系向一点简化的结果
a. 简化为合力
① FR′≠0, MO=0
过简化中心合力
② FR′≠0, MO≠0，FR′⊥ MO
合力 合力作用线距简化中心为 d = M O FR¢
b. 简化为力螺旋
④ FR ' ¹ 0, MO ¹ 0, FR '与MO 既不垂直也不平行
力螺旋
中心轴距简化中心为
d
=
MO sinq FR¢
MO
F'R
FR
M'O
θO
M''O
d
F''R
MO¢ = MO cosq
MO¢¢ = MO sinq
d
=
M O¢¢ FR
=
MO sinq FR¢
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析