《理论力学》第二章力系的简化
理论力学 第2章力系的简化习题解答
第二章 力系的简化 习题解答2-1在立方体的顶点A 、H 、B 、D 上分别作用四个力，大小均为F ，其中1F 沿AC ，2F 沿IG ，3F 沿BE ，4F 沿DH 。
试将此力系简化成最简形式。
解：各力均在与坐标平面平行的面内，且与所在平面的棱边成45°角。
将力系向A 点简化，主矢'R F 在坐标轴上的投影为045cos 45cos '21=-=F F F Rx ，FF F F F F Ry 245cos 45cos 45cos 45cos '4321=+-+=，F F F F Rz 245cos 45cos '43=+= 。
用解析式表示为： ()k j F +=F R 2'设立方体的边长为a ，主矩A M 在坐标轴上的投影为 045cos 45cos 32=⋅+⋅-=a F a F M Ax ， Fa a F a F M Ay 245cos 45cos 42-=⋅-⋅-= ，Fa a F a F M Az 245cos 45cos 42=⋅+⋅= 。
用解析式表示为：()k j M +-=Fa A 2。
因为，0'=⋅A R M F ，所以，主矢和主矩可以进一步简化为一个力，即力系的合力。
合力的大小和方向与主矢相同，'R R F F =；合力作用点的矢径为()i MF r a F R R =⨯=2''，所以，合力大小为2F ，方向沿对角线DH 。
2-2三力321,F F ,F 分别在三个坐标平面内，并分别与三坐标轴平行，但指向可正可负。
距离c b a ,,为已知。
问：这三个力的大小满足什么关系时力系能简化为合力？又满足什么关系时能简化为力螺旋？解：这力系的主矢为k j i 321'F F F F R ++=； 对O 点的主矩为k j i a F c F b F M O 213++=。
当主矢与主矩垂直时，力系能简化为合力。
理论力学复习第二章
理论力学· 静力学
例1：(i)求力系对A点的简化结果， (ii)力系对O点的力矩之和。
F1 F2 600N , M 400Nm, l 1m, b 0.5m
F Fi - F1 i - F2 j -600 i j N
i
l M A F1l - F2 - M k 0 3
FO MO ri FC ' rCO O ri MC C rCO FO
Fi
主矢与主矩的点积也是一个不 变量，与简化中心无关。
16
理论力学· 静力学
三、合力矩定理
Varignon(伐里农)合力矩定理
F1 Fi MO F
同一物理的两种思路
' ri Fi rO Fn MO M O M O ' ( F ) M O ' ( Fi )
MO -b i F 300k
Nm
18
理论力学· 静力学
四、空间力系简化的最终结果
1. F 0, MO 0 2. F 0, MO 0
[重点· 难点]
平衡力系 合力
（此时与简化中心有关，换个简化中 心，主矩不为零）
3. F 0, MO 0
4. F 0, MO 0
(1) F MO
合力偶 此时主矩与简化中心的位置无关。(?) F MO 0 F MO F // MO F MO 0 合力
F与MO 不平行也不垂直
19
理论力学· 静力学
M O F d , d
作用在刚体上力为滑移矢量 汇交力系 c F3 d F4 e
《理论力学》第二章力系的简化习题解
第二章力系的简化习题解[习题2-1] 一钢结构节点,在沿OA,OB,OC的方向上受到三个力的作用,已知,,,试求这三个力的合力.解:作用点在O点,方向水平向右.[习题2-2] 计算图中已知,,三个力分别在轴上的投影并求合力. 已知,,.解:合力的大小:方向余弦:作用点:在三力的汇交点A.[习题2-3] 已知,,,,求五个力合成的结果(提示:不必开根号,可使计算简化).解:合力的大小: 方向余弦:作用点:在三力的汇交点A.[习题2-4] 沿正六面体的三棱边作用着三个力,在平面OABC内作用一个力偶. 已知,,,.求力偶与三个力合成的结果.解:把,,向平移,得到:主矢量:的方向由E指向D.主矩:方向余弦:[习题2-5] 一矩形体上作用着三个力偶,,.已知,,,,求三个力偶合成的结果.解:先把在正X面上平行移动到x轴.则应附加力偶矩:把沿轴上分解:主矩:方向余弦:[习题2-6] 试求图诸力合成的结果.解:主矢量:竖向力产生的矩顶面底面斜面-0.76 0.2 0.75 主矩:方向余弦:[习题2-7] 柱子上作有着,,三个铅直力, 已知,,,三力位置如图所示.图中长度单位为,求将该力系向点简化的结果.解:主矢量:竖向力产生的矩3.5 1.7 0主矩:方向余弦:[习题2-8] 求图示平行力系合成的结果(小方格边长为)解:主矢量:ABCD8.4 -4.35主矩:方向余弦:[习题2-9] 平板OABD上作用空间平行力系如图所示,问应等于多少才能使该力系合力作用线通过板中心C.解:主矢量:由合力矩定理可列出如下方程:[习题2-10] 一力系由四个力组成。
已知F1＝60Ｎ，F2＝400Ｎ，F3＝500Ｎ，F4＝200Ｎ，试将该力系向Ａ点简化(图中长度单位为mm)。
解:主矢量计算表0 0 600 200 0300 546.41 -140方向余弦:-110.564 120 0 主矩大小:方向余弦:[习题2-11]一力系由三力组成，各力大小、作用线位置和方向见图。
理论力学第二章(力系的等效与简化)
z
x c
F
b
o
o x
a
M y ( F ) M o ( F ) Fc
F
M z ( F ) M o ( F ) Fa
15
2019年4月16日星期二
《理论力学》
3、力对点之矩与力对通过 该点的轴之矩的关系 （转动效果的度量）
z
Fz F
y
x A
o
y
力对点之矩矢：
M o (F ) r F
Fx Fxy cos Fx F sin cos
Fy
F
O Fx x
Fy Fxy sin
y F y F sin sin
Fxy
2019年4月16日星期二
Fz F cos
6
力的分解：
F Fx Fy Fz
力F在直角坐标系中的
Fz z
F
O x
Fy
解析式
Fx
2019年4月16日星期二
力矩的符号
M O F
2019年4月16日星期二
力偶矩的符号
M
27
《理论力学》
力偶系和力偶系的合成
MR =M1+M2+…+Mn
M
力偶系
2019年4月16日星期二 28
《理论力学》
§2-3 力系等效定理
1.力系的主矢和主矩 Fn 。 设刚体上作用一平面任意力系F 1 、F 2 · · · · · ·
的夹角可为任意值。 的夹角为90o。
36
在平面任意力系， M与 R
2019年4月16日星期二
思考： 主矢,主矩与简化中心的位置有无关系?
主矢：作用在简化中心，大小和方向却与中心的位 置无关； 主矩：作用在该刚体上，大小和方向一般与中心的 位置有关。
理论力学第二章(2)
合力FR 的大小等于原力系的主矢
合力FR 的作用线位置
MO FR
小结：平面任意力系简化结果讨论
主矢
FR 0
FR 0
主矩
MO 0
MO 0 MO 0
MO 0
最后结果
说明
合力 合力作用线过简化中心
合力 合力偶
合力作用线距简化中心M O FR
与简化中心的位置无关
平衡
与简化中心的位置无关
21
简化为一个力：
c os (FR
,
i)
Fx FR
,
cos(FR ,
j)
Fy FR
原力系的主矢与简化中心O的位置无关
主矩： 原力系中各力对简化中心O之矩的代数和称为原力
系对点O的主矩。
n
M O M O (F1) M O (F2 ) ...... M O (Fn ) M o (Fi ) i 1
主矩与简化中心的选择有关
称点O为简化中心 F1’、F2’、….Fn’平面汇交力系，合力为FR’
M1、M2、….Mn平面力偶系，合力偶矩为MO
10
1、主矢和主矩
FR’=F1’+F2’+….+Fn’=F ’= F
主矢：量（简平称面为力主系矢中）所有各力的矢量和FR′称为该力系的主矢
主矢FR′的大小和方向余弦为：
FR (Fx )2 (Fy )2
11
平面任意力系向作用面内一点简化
一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系
（复杂力系）
（两个简单力系）
汇交力系 力偶系
力，FR‘(主矢) ， (作用在简化中心)
力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
华北电力大学理论力学第二章 力系简化理论
第二章力系简化理论◆力的平移定理◆力系的主矢和主矩◆力系向一点简化◆力系简化结果分析§2–2 主矢和主矩·力系向一点的简化∑∑⨯==ii i O O F r )F (M M R i ix iy ix F F F i F j F k'==++∑∑∑∑ 称为该力系对O 点的主矩（principal moment ）称为该力系的主矢（principal vector ）式中， 分别表示各力对x ，y ，z 轴的矩。
(),(),()x y z M F M F M F空间任意力系的n 个力的矢量和1. 力系的主矢、主矩取任意点O ， n 个力对O 点之矩的矢量和kF M j F M i F M M i z i y i x O ∑∑∑++=)()()(由F 1、F 2组成的空间力系，已知：F 1 = F 2 = F 。
试求力系的主矢F R 以及力系对O 、A 、E 三点的主矩。
1. 计算力系主矢令i 、j 、k 为x 、y 、z 方向的单位矢量，则力系中的二力可写成力系的主矢为：)43(51j i F +=F)43(52j i F -=FiF F F F F i i R 562121=+==∑= 例：求主矢、主矩解：解： 2. 计算主矩应用矢量叉乘方法，力系对O 、A 、E 三点的主矩分别为：()2211M M F r F O O i i i i i ====⨯∑∑2211F r F r ⨯+⨯=)43(53j i k +⨯=F )43(54j i j -⨯+F)12912(5k j i -+-=F)43(51j i F +=F)43(52j i F -=F∑=⨯+⨯=⨯=2121i EC EA i i E F r F r F r M )12912(5k j i ---=F)12912(k j i +--=F)43(5)34(j i k j -⨯-=F )43(53)43(54j i k j i j -⨯-+⨯-=FF 2210F r F r M ⨯+=⨯=∑=AC i i i A 对O 点对A 三点对E 点其中，各 ，各i iF F '= ()i o i M M F =该汇交力系与力偶系与原任意力系等效。
理论力学02平面力系的简化和平衡
第二章
平面力系的简化和平衡
2.1力的合成与分解： 1.平行四边形法则： 作用于物体上同一点的两个力可合成 一个合力，此合力也作用于该点，合力的 大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的 平行四边形的对角线来表示。
④ R ≠0, MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简 化为一个合力 R 。
合力R 的大小等于原力系的主矢 合力R 的作用线到简化中心的距离
MO d R
结论：
平面任意力系的简化结果 ：①合力偶MO ； ②合力 合力矩定理：由于主矩 而合力对O点的矩
R
M O mO ( Fi )
主矩：
M O M O ( F ) 3F1 1.5P 1 3.9P 2 2355kN m
（2）求合力及其作用线位置：
d x 3.514m 0 0 cos 90 70.84
（3）求合力作用线方程：
MO MO
' ' FR x FRy y FRx x FRy y FRx
二、汇交力系的合成 由几何法知合力等于各分力的矢量和，即
R F Fn F i 1 F 2 F 3
又 由于
Fi X ii Yi j Zi k Fxii Fyi j Fzi k
代入上式得 R
F i F
xi
yi
j Fzi k
根据合矢量投影定理得合力在坐标轴的投影
理论力学2力矩的概念和力系的等效与简化
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
力对点之矩：力使物体绕某一点转动效应的度量。
（1）矢量表示式 F r ——矢径
MO F r F
MO Fd
MO y
O
d
zr
F x
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
（2）解析表示式
y z
Fz
F
Fx
r
Fy
x
F ＝ Fxi+Fyj+Fzk
r = x i+ y j+ z k i jk
i1
力对轴之矩： M Ox (FR ) n M Ox (Fi ) M Oy (FR ) n M Oy (Fi )
n i1
i 1
M Oz (FR ) M Oz (Fi )
i 1
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
例 题2
已知：支架受力F 作用,
l1, l2 , l3 , 尺寸已知；
求：MO(F)。
x
n
n
MO ＝ MO Fi ＝ ri Fi
i 1
i 1
z
主矩的分量式为
MOx＝
n i 1
MO
Fi
x
n
Mx
i 1
Fi
MOz＝ n MO Fi n M z Fi
力系主矩的特点： i1
z i1
MOy＝
n i 1
MO
Fi
y
n
My
i 1
Fi
力系主矩MO与矩心( O )的位置有关（不确定）； 力系主矩是定位矢量，其作用点为矩心。
od
Fxy 正负号。 逆时针＋，顺时针－
M z dFxy
注意：由于力对轴之矩是标量（代数量），只需用正负号 表示即可。
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§2–2 力偶系的简化
一、空间力偶系的合成
空间力偶系：
M , M ,
1 2
, Mn
空间力偶系可合成 为一力偶。合力偶的力 偶矩矢等于各分力偶矩 矢的矢量和。
12
§2–2 力偶系的简化
合力偶大小：
M 合力偶方向：
M cos M
M Mi
M M M
M O ( F ) M O ( Fi )
M z ( F ) M z ( Fi )
25
§2–3 空间一般力系的简化
2） F / / MO —力系合成为一力螺旋 力螺旋： 由一力和在该力垂直的平面 内的一力偶组成的力系。 力、力偶和力螺旋是力学的基本量。 右旋力螺旋：图a 左旋力螺旋：图b
iz
2）主矩的计算
M Ox [ M O ( Fi )]x M x ( Fi ) 2 2 2 M M O M Ox M Oy M Oz Oy [ M O ( Fi )] y M y ( Fi ) M Oz [ M O ( Fi )]z M z ( Fi ) M Oy M Ox M cos ' ,cos ' ,cos ' Oz 21 MO MO MO
22
§2–3 空间一般力系的简化
4、若 F 0, MO 0 1） F M O 力系可合成为一个合力，合力大小方向由主矢确定， 作用线不过简化中心O,偏离的距离 d MO F
23
§2–3 空间一般力系的简化
空间一般力系的合力矩定理： 空间力系向O点简化后得主矢 F 和主矩 M O , 若 F MO 0 ，可进一步合成为一个作用在新 简化中心O'点的合力 F 。
17
§2–3 空间一般力系的简化
1、简化的一般结果 1）根据力的平移定理，将各力平行移到O点，
空间汇交力系 (F '1, F2 ', Fn ') 2）空间一般力系 空间力偶系 (M1, M2 , Mn )
F Fi Fi 空间汇交力系简化结果：合力 过汇交点 3） 空间力偶系简化结果：合力偶 M M i M O ( Fi )
i 1
n
M z F M z Fi
i 1
n
平面汇交力系的合力矩定理：
平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于 各个分力对同一点矩的代数和。
M O F M O Fi
i 1
n
10
§2–1 汇交力系的合成
例1：力F作用于支架上的点C如图所示，设F100N,
所以得： M O F
n
r Fi M O Fi 其中：
O i
r Fn
M F
9
§2–1 汇交力系的合成
汇交力系的合力矩定理： 汇交力系的合力对任一点的力矩矢等于各分力对 同一点之力矩矢的矢量和；合力对任一轴之矩等于 各个分力对同一轴之矩的代数和。
M O F M O Fi
§2–3 空间一般力系的简化
三、空间一般力系简化的最后结果
1、若F 0, MO 0,则该力系平衡（下章专门讨论）。 2、若 F 0, MO 0,则力系可合成一个合力偶，其矩 等于原力系对于简化中心的主矩 M O 。
此时简化结果与简化中心的位置无关。
3、若 F 0, MO 0，则力系可合成为一个合力，合力通 过简化中心O点，合力大小和方向由力系的主矢确定。 此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零。
一、合成的几何法
F1
F1 A
A F2
F4 F3 F1
A B
F2 F3
F4
F2
C
F3
D
F
F4
E
4
§2–1 汇交力系的合成
F1
A
B
F2
C
F3
D
F1
A
B
F2
C
F3
D
F
F4
F
F4
由力的三角形法则，得
F F1 F2 F3 F4 分力矢 F 和合力矢 F 构成了封闭四边形 1、F 2、F 3、F 4
32
§2–3 空间一般力系的简化
4、若 F 0, M O 0 ，力系可合成为一合力。 合力不过简化中心，平移的距离为d=Mo / F , 合力的 大小和方向由主矢确定 。
合力作用线方程 F
MO
F
F
F
MO 由平面内力对点之矩的解析表达式： F A O O
=
=
MO F
O
A
M O ( F ) Fy x - Fx y M O
1
第二章 力系的简化
§2–1 汇交力系的简化 §2–2 力偶系的简化 §2–3 空间一般力系的简化 §2–4 重心
2
§2–1 汇交力系的合成
汇交力系：各力作用线汇交于一点的力系
平面汇交力系 汇交力系 空间汇交力系
作用在刚体上的力为滑移矢量 汇交力系
沿作用线移动
共点力系
3
§2–1 汇交力系的合成
19
§2–3 空间一般力系的简化
空间一般力系简化实例
20
§2–3 空间一般力系的简化
2、主矢和主矩的计算 1）主矢的计算
F Fx2 Fy2 Fz2 ( Fix )2 ( Fiy )2 ( Fiz )2
F cos F
ix
F , cos F
iy
F , cos F
当主动力为一平面力系时，物体在固嵌部分所受 的力系也应是一个平面力系。同理根据平面力系的简 化结果向某一点简化，得到一个力和一个力偶，大小 方向都未知的力用一对正交力表示，力偶由平面力偶 表示。
FAx
FAy
36
§2–3 空间一般力系的简化
2）空间固定端约束 当主动力为一空间力系时，物体在固嵌部分所受 的力系也应是一个空间力系。但可根据空间力系的简 化结果向某一点简化，得到一个力和一个力偶，由于 力和力偶矩矢的大小和方向都未知，可投影到三个坐 标轴上，用分量来表示。
称为力多边形，由力多边形求合力的方法称为力多边形法则。 力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力 矢折线链，合力矢是封闭边，其方向为第一个力矢的起点 指向最后一个力矢的终点。
5
§2–1 汇交力系的合成
可推广到一般，求 n 个力组成的汇交力系的合力。
空间汇交力系是否可以用力的多边形法则求合力？
37
§2–3 空间一般力系的简化
38
§2–3 空间一般力系的简化
39
§2–3 空间一般力系的简化
40
§2–3 空间一般力系的简化
2、分布平行力系的简化
取O点为简化中心， 将力系向O点简化。 主矢量： dF q (x)dx
F q x dx 0 主 矩：dM O xq x dx M O xq x dx
0 l
l
d MO F xq x dx
0 l
F MO，力系可进一步简 化为一合力，其作用线距 O点的距离为：
q x dx
0
41
l
§2–3 空间一般力系的简化
1）均布载荷
F ql d l 2
2）三角形载荷
1 2 F q0l d l 2 3 3）梯形载荷 F1 q1l d1 l 2 1 2 F2 q2 - q1 l d 2 l 2 3
28
§2–3 空间一般力系的简化
力螺旋工程实例
29
§2–3 空间一般力系的简化
力螺旋工程实例
30
§2–3 空间一般力系的简化
31
§2–3 空间一般力系的简化
四、平面力系简化的最后结果
1、若 F 0, M O 0 则力系平衡。 2、若 F 0, M O 0 则力系可合成为一合力偶。 力偶的力偶矩由主矩确定 。 简化结果和简化中心无关。 3、若 F 0, M O 0 则力系可合成为一合力。 合力过简化中心，合力大小方向由主矢确定。 简化结果和简化中心有关。
等于原力对新作用点的矩。
14
§2–3 空间一般力系的简化
工程实例
15
§2–3 空间一般力系的简化
二、空间一般力系向一点简化
空间一般力系：各力的作用线不在同一平面内，且 既不汇交一点又不相互平行的力系。
F , F , F
1 2
3
Fn
刚体内任选一点O，
O
力系向O点简化
O点称为简化中心
16
§2–3 空间一般力系的简化
42
§2–3 空间一般力系的简化
i 1
Fy Fiy
i 1
n
Fz Fiz
i 1
n
合力投影定理： 合力在任一轴上的投影等于各分力 在同一轴上投影的代数和。
合力的大小： F
F cos 合力的方向： F
F F F
2 2 ix iy iz
ix
2
F cos F
MO ( F ) r F MO
又由于 M O M O ( Fi )
M O ( F ) M O ( Fi ) 同理M z ( F ) M z ( Fi )
24
§2–3 空间一般力系的简化
合力矩定理的一般形式
(1).力系如有合力，则合力对任一点的矩等于力系
中各力对同一点的矩的矢量和。 (2).力系如有合力，则合力对任一轴的矩等于力系 中各力对同一轴的矩的代数和。