《理论力学》第二章力系的简化
理论力学 第2章力系的简化习题解答
第二章 力系的简化 习题解答2-1在立方体的顶点A 、H 、B 、D 上分别作用四个力，大小均为F ，其中1F 沿AC ，2F 沿IG ，3F 沿BE ，4F 沿DH 。
试将此力系简化成最简形式。
解：各力均在与坐标平面平行的面内，且与所在平面的棱边成45°角。
将力系向A 点简化，主矢'R F 在坐标轴上的投影为045cos 45cos '21=-=F F F Rx ，FF F F F F Ry 245cos 45cos 45cos 45cos '4321=+-+=，F F F F Rz 245cos 45cos '43=+= 。
用解析式表示为： ()k j F +=F R 2'设立方体的边长为a ，主矩A M 在坐标轴上的投影为 045cos 45cos 32=⋅+⋅-=a F a F M Ax ， Fa a F a F M Ay 245cos 45cos 42-=⋅-⋅-= ，Fa a F a F M Az 245cos 45cos 42=⋅+⋅= 。
用解析式表示为：()k j M +-=Fa A 2。
因为，0'=⋅A R M F ，所以，主矢和主矩可以进一步简化为一个力，即力系的合力。
合力的大小和方向与主矢相同，'R R F F =；合力作用点的矢径为()i MF r a F R R =⨯=2''，所以，合力大小为2F ，方向沿对角线DH 。
2-2三力321,F F ,F 分别在三个坐标平面内，并分别与三坐标轴平行，但指向可正可负。
距离c b a ,,为已知。
问：这三个力的大小满足什么关系时力系能简化为合力？又满足什么关系时能简化为力螺旋？解：这力系的主矢为k j i 321'F F F F R ++=； 对O 点的主矩为k j i a F c F b F M O 213++=。
当主矢与主矩垂直时，力系能简化为合力。
理论力学复习第二章
理论力学· 静力学
例1：(i)求力系对A点的简化结果， (ii)力系对O点的力矩之和。
F1 F2 600N , M 400Nm, l 1m, b 0.5m
F Fi - F1 i - F2 j -600 i j N
i
l M A F1l - F2 - M k 0 3
FO MO ri FC ' rCO O ri MC C rCO FO
Fi
主矢与主矩的点积也是一个不 变量，与简化中心无关。
16
理论力学· 静力学
三、合力矩定理
Varignon(伐里农)合力矩定理
F1 Fi MO F
同一物理的两种思路
' ri Fi rO Fn MO M O M O ' ( F ) M O ' ( Fi )
MO -b i F 300k
Nm
18
理论力学· 静力学
四、空间力系简化的最终结果
1. F 0, MO 0 2. F 0, MO 0
[重点· 难点]
平衡力系 合力
（此时与简化中心有关，换个简化中 心，主矩不为零）
3. F 0, MO 0
4. F 0, MO 0
(1) F MO
合力偶 此时主矩与简化中心的位置无关。(?) F MO 0 F MO F // MO F MO 0 合力
F与MO 不平行也不垂直
19
理论力学· 静力学
M O F d , d
作用在刚体上力为滑移矢量 汇交力系 c F3 d F4 e
《理论力学》第二章力系的简化习题解
第二章力系的简化习题解[习题2-1] 一钢结构节点,在沿OA,OB,OC的方向上受到三个力的作用,已知,,,试求这三个力的合力.解:作用点在O点,方向水平向右.[习题2-2] 计算图中已知,,三个力分别在轴上的投影并求合力. 已知,,.解:合力的大小:方向余弦:作用点:在三力的汇交点A.[习题2-3] 已知,,,,求五个力合成的结果(提示:不必开根号,可使计算简化).解:合力的大小: 方向余弦:作用点:在三力的汇交点A.[习题2-4] 沿正六面体的三棱边作用着三个力,在平面OABC内作用一个力偶. 已知,,,.求力偶与三个力合成的结果.解:把,,向平移,得到:主矢量:的方向由E指向D.主矩:方向余弦:[习题2-5] 一矩形体上作用着三个力偶,,.已知,,,,求三个力偶合成的结果.解:先把在正X面上平行移动到x轴.则应附加力偶矩:把沿轴上分解:主矩:方向余弦:[习题2-6] 试求图诸力合成的结果.解:主矢量:竖向力产生的矩顶面底面斜面-0.76 0.2 0.75 主矩:方向余弦:[习题2-7] 柱子上作有着,,三个铅直力, 已知,,,三力位置如图所示.图中长度单位为,求将该力系向点简化的结果.解:主矢量:竖向力产生的矩3.5 1.7 0主矩:方向余弦:[习题2-8] 求图示平行力系合成的结果(小方格边长为)解:主矢量:ABCD8.4 -4.35主矩:方向余弦:[习题2-9] 平板OABD上作用空间平行力系如图所示,问应等于多少才能使该力系合力作用线通过板中心C.解:主矢量:由合力矩定理可列出如下方程:[习题2-10] 一力系由四个力组成。
已知F1＝60Ｎ，F2＝400Ｎ，F3＝500Ｎ，F4＝200Ｎ，试将该力系向Ａ点简化(图中长度单位为mm)。
解:主矢量计算表0 0 600 200 0300 546.41 -140方向余弦:-110.564 120 0 主矩大小:方向余弦:[习题2-11]一力系由三力组成，各力大小、作用线位置和方向见图。
理论力学第二章(力系的等效与简化)
z
x c
F
b
o
o x
a
M y ( F ) M o ( F ) Fc
F
M z ( F ) M o ( F ) Fa
15
2019年4月16日星期二
《理论力学》
3、力对点之矩与力对通过 该点的轴之矩的关系 （转动效果的度量）
z
Fz F
y
x A
o
y
力对点之矩矢：
M o (F ) r F
Fx Fxy cos Fx F sin cos
Fy
F
O Fx x
Fy Fxy sin
y F y F sin sin
Fxy
2019年4月16日星期二
Fz F cos
6
力的分解：
F Fx Fy Fz
力F在直角坐标系中的
Fz z
F
O x
Fy
解析式
Fx
2019年4月16日星期二
力矩的符号
M O F
2019年4月16日星期二
力偶矩的符号
M
27
《理论力学》
力偶系和力偶系的合成
MR =M1+M2+…+Mn
M
力偶系
2019年4月16日星期二 28
《理论力学》
§2-3 力系等效定理
1.力系的主矢和主矩 Fn 。 设刚体上作用一平面任意力系F 1 、F 2 · · · · · ·
的夹角可为任意值。 的夹角为90o。
36
在平面任意力系， M与 R
2019年4月16日星期二
思考： 主矢,主矩与简化中心的位置有无关系?
主矢：作用在简化中心，大小和方向却与中心的位 置无关； 主矩：作用在该刚体上，大小和方向一般与中心的 位置有关。
理论力学第二章(2)
合力FR 的大小等于原力系的主矢
合力FR 的作用线位置
MO FR
小结：平面任意力系简化结果讨论
主矢
FR 0
FR 0
主矩
MO 0
MO 0 MO 0
MO 0
最后结果
说明
合力 合力作用线过简化中心
合力 合力偶
合力作用线距简化中心M O FR
与简化中心的位置无关
平衡
与简化中心的位置无关
21
简化为一个力：
c os (FR
,
i)
Fx FR
,
cos(FR ,
j)
Fy FR
原力系的主矢与简化中心O的位置无关
主矩： 原力系中各力对简化中心O之矩的代数和称为原力
系对点O的主矩。
n
M O M O (F1) M O (F2 ) ...... M O (Fn ) M o (Fi ) i 1
主矩与简化中心的选择有关
称点O为简化中心 F1’、F2’、….Fn’平面汇交力系，合力为FR’
M1、M2、….Mn平面力偶系，合力偶矩为MO
10
1、主矢和主矩
FR’=F1’+F2’+….+Fn’=F ’= F
主矢：量（简平称面为力主系矢中）所有各力的矢量和FR′称为该力系的主矢
主矢FR′的大小和方向余弦为：
FR (Fx )2 (Fy )2
11
平面任意力系向作用面内一点简化
一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系
（复杂力系）
（两个简单力系）
汇交力系 力偶系
力，FR‘(主矢) ， (作用在简化中心)
力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
华北电力大学理论力学第二章 力系简化理论
第二章力系简化理论◆力的平移定理◆力系的主矢和主矩◆力系向一点简化◆力系简化结果分析§2–2 主矢和主矩·力系向一点的简化∑∑⨯==ii i O O F r )F (M M R i ix iy ix F F F i F j F k'==++∑∑∑∑ 称为该力系对O 点的主矩（principal moment ）称为该力系的主矢（principal vector ）式中， 分别表示各力对x ，y ，z 轴的矩。
(),(),()x y z M F M F M F空间任意力系的n 个力的矢量和1. 力系的主矢、主矩取任意点O ， n 个力对O 点之矩的矢量和kF M j F M i F M M i z i y i x O ∑∑∑++=)()()(由F 1、F 2组成的空间力系，已知：F 1 = F 2 = F 。
试求力系的主矢F R 以及力系对O 、A 、E 三点的主矩。
1. 计算力系主矢令i 、j 、k 为x 、y 、z 方向的单位矢量，则力系中的二力可写成力系的主矢为：)43(51j i F +=F)43(52j i F -=FiF F F F F i i R 562121=+==∑= 例：求主矢、主矩解：解： 2. 计算主矩应用矢量叉乘方法，力系对O 、A 、E 三点的主矩分别为：()2211M M F r F O O i i i i i ====⨯∑∑2211F r F r ⨯+⨯=)43(53j i k +⨯=F )43(54j i j -⨯+F)12912(5k j i -+-=F)43(51j i F +=F)43(52j i F -=F∑=⨯+⨯=⨯=2121i EC EA i i E F r F r F r M )12912(5k j i ---=F)12912(k j i +--=F)43(5)34(j i k j -⨯-=F )43(53)43(54j i k j i j -⨯-+⨯-=FF 2210F r F r M ⨯+=⨯=∑=AC i i i A 对O 点对A 三点对E 点其中，各 ，各i iF F '= ()i o i M M F =该汇交力系与力偶系与原任意力系等效。
理论力学02平面力系的简化和平衡
第二章
平面力系的简化和平衡
2.1力的合成与分解： 1.平行四边形法则： 作用于物体上同一点的两个力可合成 一个合力，此合力也作用于该点，合力的 大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的 平行四边形的对角线来表示。
④ R ≠0, MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简 化为一个合力 R 。
合力R 的大小等于原力系的主矢 合力R 的作用线到简化中心的距离
MO d R
结论：
平面任意力系的简化结果 ：①合力偶MO ； ②合力 合力矩定理：由于主矩 而合力对O点的矩
R
M O mO ( Fi )
主矩：
M O M O ( F ) 3F1 1.5P 1 3.9P 2 2355kN m
（2）求合力及其作用线位置：
d x 3.514m 0 0 cos 90 70.84
（3）求合力作用线方程：
MO MO
' ' FR x FRy y FRx x FRy y FRx
二、汇交力系的合成 由几何法知合力等于各分力的矢量和，即
R F Fn F i 1 F 2 F 3
又 由于
Fi X ii Yi j Zi k Fxii Fyi j Fzi k
代入上式得 R
F i F
xi
yi
j Fzi k
根据合矢量投影定理得合力在坐标轴的投影
理论力学2力矩的概念和力系的等效与简化
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
力对点之矩：力使物体绕某一点转动效应的度量。
（1）矢量表示式 F r ——矢径
MO F r F
MO Fd
MO y
O
d
zr
F x
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
（2）解析表示式
y z
Fz
F
Fx
r
Fy
x
F ＝ Fxi+Fyj+Fzk
r = x i+ y j+ z k i jk
i1
力对轴之矩： M Ox (FR ) n M Ox (Fi ) M Oy (FR ) n M Oy (Fi )
n i1
i 1
M Oz (FR ) M Oz (Fi )
i 1
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
例 题2
已知：支架受力F 作用,
l1, l2 , l3 , 尺寸已知；
求：MO(F)。
x
n
n
MO ＝ MO Fi ＝ ri Fi
i 1
i 1
z
主矩的分量式为
MOx＝
n i 1
MO
Fi
x
n
Mx
i 1
Fi
MOz＝ n MO Fi n M z Fi
力系主矩的特点： i1
z i1
MOy＝
n i 1
MO
Fi
y
n
My
i 1
Fi
力系主矩MO与矩心( O )的位置有关（不确定）； 力系主矩是定位矢量，其作用点为矩心。
od
Fxy 正负号。 逆时针＋，顺时针－
M z dFxy
注意：由于力对轴之矩是标量（代数量），只需用正负号 表示即可。
理论力学常见问题解答：第2章
理论力学常见问题及解答第2单元：力系的简化1. 任意力系亦可由力平行四边形法则（或力多边形法则）得到简化结果吗？ 解答：不能。
因为平行四边形法则（或力多边形法则）只能应用于汇交力系。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995关键词：任意力系，力的平行四边形法则，力的多边形法则，汇交力系2. 如何应用力的平移定理解释偏心力对立柱的作用效果？解答：将力平移到立柱的轴线上，得到一个力和一个附加力偶，该力使立柱产生受压变形，而该力偶使立柱产生弯曲变形。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004(美)施皮格尔（M.R.Spiegel ）. 《理论力学 • 理论和习题》，科学出版社1983关键词：力的平移定理，立柱，作用效果3. 如何理解力系的两个不变量？解答：主矢量'R 和主矢量与主矩的标量积O M R '均与简化中心O 无关，是力系的固有属性，因此称为力系的不变量。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版） 关键词：力系的不变量，主矢量，主矩，简化中心4.如何从力系简化，理解固定端约束反力的表达方法？解答：固定端约束的反力是空间分布力系，将该力系向梁与基础连接点简化，得到一个力（主矢量）和一个力偶（主矩），将该力和力偶矩矢量向三个方向正交分解，得到固定端约束反力的表达方式，如图。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版）(美)施皮格尔（M.R.Spiegel）. 《理论力学•理论和习题》，科学出版社1983关键词：固定端，反力，力系简化5.当力系第二不变量为零时，共有几种简化结果？解答：共3种：力系平衡，力，力偶。
理论力学-2-力矩的概念和力系的等效与简化
在刚体上作用三个相互平行的力，这三个力是等效的，即 它们可以互相替换而不改变刚体的运动状态。
04
CATALOGUE
刚体的转动
刚体的定轴转动
定义
刚体绕某一固定轴线旋转的转动称为定轴转动 。
描述参数
定轴转动的角速度、角加速度和转动惯量。
运动特点
刚体上任意一点到旋转轴的距离保持不变，刚体上各点的线速度大小相等，但 方向不同。
刚体的平面运动
描述参数
刚体的平动和绕某轴的转动。
定义
刚体的运动轨迹位于一个平面内，称为平面 运动。
运动特点
刚体上任意一点的速度方向与平面平行，刚 体上各点的速度大小相等。
刚体的定点运动
定义
刚体绕通过某固定点O的轴线旋转的转动称为定点转动。
描述参数
刚体的角速度、角加速度和转动惯量。
运动特点
刚体上任意一点到定点O的距离保持不变，刚体上各点的线速度 大小相等，但方向不同。
国际单位制中，力矩的单位是牛顿米（N·m ）。
力矩的几何意义
表示方法
力矩的几何意义可以通过向量点积来 表示，即M=r×F，其中r表示从转动 轴到作用点的矢量，×表示向量点积 。
方向
力矩的方向与力臂的方向垂直，遵循 右手定则，即右手握拳，四指指向转 动方向，大拇指指向即为力矩的方向 。
力矩的物理意义
转动效果
力矩描述了力对物体转动的效应，它决定了物体转动 的角速度和角加速度。
转动平衡
在转动平衡状态下，合外力矩为零，即物体不发生转 动。
转动惯量
力矩和转动惯量共同决定了物体的转动效果，转动惯 量越大，物体对力矩的响应越慢。
02
CATALOGUE
力系的简化
力系的简化
第 1节 力系的分类
例如，某些船闸上采用的人字形闸门，其受 力即为一空间任意力系
图2-6 人字形闸门及受力图
力系的简化
第 1节 力系的分类
平面力系是工程上常见的一种力系，很多实际问题都可简 化成为平面力系问题。 例如，厂房建筑中常采用刚架结构，取其中一个刚架来考 察，作用于其上的 力可以简化为平面力系，如图所示。
60
O
45
45
x
F3
49.01
F4
40.99
力系的简化
第 3节 力系的简化
二、 力偶系的简化 空间两个力偶M1和M2的合成。 设在平面Ⅰ内有一力偶M1 ，其矩的大小为M1 ； 在平面Ⅱ内有一力偶M2 ，其矩的大小为M2。 在两平面的交线上 取一线段AB。以AB作为 两力偶的力偶臂，命两 力偶的力分别为F1、F‘1 及F2 、F’2 ，并使其中两 个力F1、F2作用于A点， 另两个力F‘1 、 F’2作用 于B点。
图2-3 滑轮A受力图
力系的简化
第 1节 力系的分类
二、 力偶系
作用在物体上的一群力偶称为力偶系。若力偶系中的各 力偶都位于同一平面内，则为平面力偶系，否则为空间 力偶系。
图2-4
平面力偶系
图2-5
空间力偶系
力系的简化
第 1节 力系的分类
三、 任意力系 若力系中各力的作用线既不汇交于一点，又不全部 相互平行，则该力系称为任意力系。如各力作用线还位 于同一平面内，则称为平面任意力系，简称平面力系； 否则称为空间任意力系，简称空间力系。 空间力系是物体受力的最一般的情况。在工程中， 有许多问题都属于这种情况。
力系的简化
第 3节 力系的简化
可见，原来的两个力偶可合成为一合力偶，其矩 等于原来两个力偶矩之矢量和。 若有更多的力偶，可以同样处理，最后得到
理论力学第2版范钦珊陈建平主编第二章力系的等效与简化
MO(F) (r F) (xi yj zk )(Fxi Fy j Fzk ) (yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k 力对点 O的矩在三个坐标轴上的投影为
MOx (F) yFz zFy
MOy (F) zFx xFz MOz (F) xFy yFx
M F rBA sin F d
（2） 方向：转动方向；
与rBA转到F方向一致。
（3） 作用面：力偶作用面。
也是rBA和F所在的平面。
rBA
二、力偶的表示方法：
1、用组成力偶的两个力F, F。
2、用力偶矩矢 M。 3、用力偶作用面内的旋转箭头。
无论用哪种方法表示，都应该能 清楚的反映出力偶的三个要素。
MOz (F) xFy yFx
方法二：
设作用在刚体上的力F 的作用点为A，将力 F分解为两个力，其中 Fz // oz ，另一分力 Fxy
在过A且垂直于oz轴的平面xy内，则：
M z (F) Mo (Fxy ) Fxyd
方法三
先将空间力向直角坐标系的各坐标轴投影，将这些投影视为分 力，分别确定这些分力对同一坐标轴之矩，然后取其代数和。
新作F用点 的矩. B
MB MB (F) rBA F
F′
B
F″ B
F＝
F＝
A
A
说 明：
F′ MB
A
①力平移的条件是附加一个力偶m。
②力的平移定理是力系简化的理论基础。
力向一点的平移定理实例
（a）
（b）
三.一般力系的简化
Fi Fi Mi MO (Fi )
汇交力系与力偶系等效代替一般任意力系.
3i
4
j
12k 9 j 12i
理论力学-第2章 力系的等效与简化
力系的简化
空间一般力系的简化
一般力系简化的结果
力系的主矢不随简化中心的改变而改变， 所以称为力系的不变量。主矩则随简化中心 的改变而改变。
力系的简化
空间一般力系的简化
例题2
由F1、F2组成的空间力系，已 知：F1 = F2 = F。试求力系的主矢FR
力系的简化
力向一点平移定理
力向一点平移
-F
F
F
F
力系的简化
力向一点平移定理
力向一点平移
z
-F F
F
M
F
Mx My
F
力系的简化 空间一般力系的简化
力系的简化
空间一般力系的简化
一般力系的简化
M1
F1
F2
Mn
Fn
Fn
M2
F2 F1
力系的简化
空间一般力系的简化
一般力系的简化
MnMO M1
= (Fzy-Fyz) i +(Fxz-Fzx) j+(Fyx-Fxy) k
x
y
力对点之矩与力对轴之矩
力对点之矩
力矩矢量的方向
M
F
O
r
按右手定则 M= r F
力对点之矩与力对轴之 矩
力对轴之矩
力对点之矩与力对轴之
矩
力对轴之矩
力对轴之矩实例
F Fz Fy
Fx F
力对点之矩与力对轴之
矩
力偶与力偶系
力偶的性质
力偶的性质
性质一 :力偶无合力，即主矢FR=0。 力偶对刚体的作用效应，只取决于力偶矩矢量。
力偶与力偶系
力偶的性质
性质二：只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用 面内任意移动和转动，其对刚体的作用效果不变。
理论力学 第二章 平面力系的等效简化
y
MO R'
Ox
简化结果：主矢 R ，主矩 MO 。
1. R' 0 , MO 0
2 . R' 0 , MO 0
3 . R' 0 , MO 0
4 . R' 0 , MO 0 力系平衡。
1. R' 0 , MO 0
F1 F2
AB
I
Fi
y
MO Ox
1. R ' = 0,MO≠0 简化结果
系，否则为空间平行力系。
6
五、 任意力系（一般力系） 若力系中各力的作用线既不汇交于一点，又不全部相互
平行，则该力系称为任意力系。 如各力作用线还位于同一平面内，则称为平面任意力系，
简称平面力系；否则称为空间任意力系，简称空间力系。
空 间 力 系
7
平面力系 P26.图2.6
8Байду номын сангаас
§2.２ 力的平移定理
这种合成方法叫力系向O点简化，O称为简化中心。
17
y
MO
AB
R'
主矢： R' F 'i
OI x
大小：R' R'x2 R'y2 ( Fx)2 ( Fy)2
主矢 R
方向：
arccosRx R
arccos Fx F
与简化中心位置无关.
主矩MO
大小：MO mO (Fi )
方向：方向规定
+,
为一合力偶,MO=M 与简化中心 O 无关。
20
2 R' 0 , MO 0
F1 F2
AB
I
Fi
y
R'
Ox
理论力学 第二章 力系的等效简化(20P) (2)
矩形均布载荷： 矩形均布载荷：
Fq = ql
三角形分布载荷： 三角形分布载荷：
1 Fq = ql 2
AB的分布载荷对 例7：如图所示，求作用于悬臂梁AB的分布载荷对A点 ：如图所示，求作用于悬臂梁AB的分布载荷对A 的矩。 的矩。 解：
L 2L M A = − Fq1 − Fq 2 2 3 1 2 = − (q1 + 2q2 )L 6
V
A
A 积分法 A A 均质细杆： 长度L×截面积A) 均质细杆：P=γLS, (比重γ ×长度 ×截面积 比重
∫ =
A
xd A
∫ =
A
yd A
∫ =
A
zd A
xc=∑Li xi/L ∑
yc=∑Li yi/L ∑
zc=∑Li zi/L ∑
∫ =
L
xd L L
积分法
∫ =
L
ydL L
∫ =
L
L
zdL L
OO′ = d = FR × M O
2 FR
2、平面任意力系的简化
F1 A1 A2 An
主矢： 主矢： 主矢， 主矢，主矩
F2 Fn
F1 M1
=
简化中心
M2 F2 Mn O
Fn
=
附加力偶
FR MO
F R = Σ Fi
FRx = ∑ Fix FRy = ∑ Fiy
FRX FRY cos α = , sin α = FR FR
合力： 合力：
Fq = ∫ q ( x )d x
b
作用点： 作用点：
xc
∫a q( x )dx ⋅ x =
Fq
a b
∫a xq( x )dx = b ∫a q( x )dx
理论力学：第2章 力系的简化
2-3 沿着直棱边作用五个力，如题 2－3 图所示。已知 F1＝F3＝F4＝F5＝F，F2＝ 2 F，
OA＝OC＝a，OB＝2a。试将此力系简化。
解：将所有力向 O 点简化
Fy＝0 Fz＝F2sin45F4＝0
Fx＝F1F2cos45＝0
M ox | OC | F | OB | F 3aF
Si xi Si
4
2
2.5
0.75
6.25
11 6
4 2.5 6.25
1.67(m)
yc
Si yi Si
4
0.5
2.5
3.5
6.25
8 3
4 2.5 6.25
2.15(m)
所以有 xC 1.67 m, yC 2.15 m 。
2-12 题 2－12 图所示由正圆柱和半球所组成的物体内挖去一正圆锥，求剩余部分物体 的重心。
6)
圆锥： V3
1 3
π
5 2
2
4
题 2-12 图
zc
Vi zi Vi
2 3
5 2
3 10.9375源自 5 2
2
(4
6)
5
5 2
2
4 3
2 3
5 2
3
5 2
2
(4
此力系简化结果。
理论力学第二版第二章答案 罗特军
w.
kh
da
w.
三角形 EAB
1 aymax 2
co
正方形 ABCD
a2
静力学习题及解答—力系的简化
2.12 求图示均质混凝土基础重心的位置(图中长度单位为 m )
魏
体积 Si mm3 图形 1 图形 2 图形 3 图形形心：xC 10.08 2.40 1.89
泳
形心坐标 x mm 1.8 4.6 0.9 1.0 1.0 2.5
静力学习题及解答—力系的简化
2.6 底面为正方形的长方体棱边上作用有 8 个大小均等于 FP 的力，如图所示。试 求该力系的简化结果。
魏
泳
涛
m
因此，原力系合力为 4 FP k ，作用线过正方形中点。
课
后
答
四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛
案
网
ww
w.
kh
子力系 3： F7 和 F8 构成的力偶，力偶矩矢量为 FP ak 。
S 0
魏
π
y sin x
0
dy sin xdx 2
0
泳
π
涛
da w. co m
yC
π y sin x 1 1 π 2 π y d x d y d x y d y sin xdx 0 0 0 S S 2S 8
由对称性， xC
π 2
课
后
答
四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛
w.
co
静力学习题及解答—力系的简化
2.11 在图示变长为 a 的均质正方形薄板 ABCD 中挖去等腰三角形 EAB ， 试求 E 点 y 坐标的最大值 ymax ，使剩余薄板的重心仍在板内。
第二章力系简化
例 在图示长方体的顶点B处作 用一力F，F=700N。分别求力F 对各坐标轴之矩，并写出力F对 点O之矩矢量Mo(F)。 解1：力F矢量作用点坐标为： B( x, y, z ) B(2,3,0) 力F矢量在三个坐标轴的投影为：
( Fx , Fy , Fz ) ( 100 14,150 14,50 14)
F2
z
M1 M3
45°
F2 F3 O F1
y
M2
F3 F1
O
45°
y
x
x
M x M 1x M 2 x M 3 x 0
M y M 1 y M 2 y M 3 y 11.2 N m
M z M 1z M 2 z M 3 z 41.2 N m
3. 平面力偶系的合成与平衡
作为空间力偶系的特例，平面力偶系合成的结果 是位于各分力偶作用平面内的一个合力偶， 该合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。即
M M1 M 2 M n M i
代数和
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：各分力偶 的代数和等于零。即
M Mi 0
[ M O ( F )]x M x ( F ) [ M O ( F )] y M y ( F ) [ M O ( F )]z M z ( F )
力矩关系定理： 力对点之矩矢量 在过该点之轴上 的投影等于该力 对该轴之矩.
M O ( F ) M x ( F )i M y ( F ) j M z ( F )k
M D
30 30
B R C
A
E
解: 1.研究AB杆
M i 0
M FD AD 3R FD
M D
《理论力学》第二章-力系的简化试题及答案
第2章 力系的等效简化2-1 一钢结构节点，在沿OC 、OB 、OA 的方向受到三个力的作用，已知F 1＝1kN ，F 2＝2kN ，F 3＝2kN 。
试求此力系的合力。
解答 此平面汇交力学简化为一合力，合力大小可由几何法，即力的多边形进行计算。
作力的多边形如图（a ），由图可得合力大小kN F R 1=，水平向右。
2-2 计算图中1F 、2F 、3F 三个力的合力。
已知1F ＝2kN ，2F ＝1kN ，3F ＝3kN 。
解答 用解析法计算此空间汇交力系的合力。
kN F F F F ix Rx 424.26.0126.0222221=´´+=´´+=S =kN F F F iy Ry 566.08.018.022222=´´=´´=S =kN F F F F iz Rz 707.313222223=´+=´+=S =kN F F F F Rz Ry Rx R 465.4222=++=合力方向的三个方向余弦值为830.0cos ,1267.0cos ,5428.0cos ======RRz R Ry R Rx F FF F F F g b a2-3已知 N F N F N F N F 24,1,32,624321====，F 5＝7N 。
求五个力合成的结果(提示：不必开根号，可使计算简化)。
解答 用解析法计算此空间汇交力系的合力。
N F F F F F ix Rx 0.460cos 45cos 537550043=´´++-=S =N F F F F F iy Ry 0.460sin 45cos 547550042=´´+-=S =N F F F F F iz Rz 0.445sin 7625041=´++-=S =N F F F F Rz Ry Rx R 93.634222==++=合力方向角：4454),(),(),(¢°=Ð=Ð=Ðz F y F x F R R R 。
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§2–2 力偶系的简化
一、空间力偶系的合成
空间力偶系：
M , M ,
1 2
, Mn
空间力偶系可合成 为一力偶。合力偶的力 偶矩矢等于各分力偶矩 矢的矢量和。
12
§2–2 力偶系的简化
合力偶大小：
M 合力偶方向：
M cos M
M Mi
M M M
M O ( F ) M O ( Fi )
M z ( F ) M z ( Fi )
25
§2–3 空间一般力系的简化
2） F / / MO —力系合成为一力螺旋 力螺旋： 由一力和在该力垂直的平面 内的一力偶组成的力系。 力、力偶和力螺旋是力学的基本量。 右旋力螺旋：图a 左旋力螺旋：图b
iz
2）主矩的计算
M Ox [ M O ( Fi )]x M x ( Fi ) 2 2 2 M M O M Ox M Oy M Oz Oy [ M O ( Fi )] y M y ( Fi ) M Oz [ M O ( Fi )]z M z ( Fi ) M Oy M Ox M cos ' ,cos ' ,cos ' Oz 21 MO MO MO
22
§2–3 空间一般力系的简化
4、若 F 0, MO 0 1） F M O 力系可合成为一个合力，合力大小方向由主矢确定， 作用线不过简化中心O,偏离的距离 d MO F
23
§2–3 空间一般力系的简化
空间一般力系的合力矩定理： 空间力系向O点简化后得主矢 F 和主矩 M O , 若 F MO 0 ，可进一步合成为一个作用在新 简化中心O'点的合力 F 。
17
§2–3 空间一般力系的简化
1、简化的一般结果 1）根据力的平移定理，将各力平行移到O点，
空间汇交力系 (F '1, F2 ', Fn ') 2）空间一般力系 空间力偶系 (M1, M2 , Mn )
F Fi Fi 空间汇交力系简化结果：合力 过汇交点 3） 空间力偶系简化结果：合力偶 M M i M O ( Fi )
i 1
n
M z F M z Fi
i 1
n
平面汇交力系的合力矩定理：
平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于 各个分力对同一点矩的代数和。
M O F M O Fi
i 1
n
10
§2–1 汇交力系的合成
例1：力F作用于支架上的点C如图所示，设F100N,
所以得： M O F
n
r Fi M O Fi 其中：
O i
r Fn
M F
9
§2–1 汇交力系的合成
汇交力系的合力矩定理： 汇交力系的合力对任一点的力矩矢等于各分力对 同一点之力矩矢的矢量和；合力对任一轴之矩等于 各个分力对同一轴之矩的代数和。
M O F M O Fi
§2–3 空间一般力系的简化
三、空间一般力系简化的最后结果
1、若F 0, MO 0,则该力系平衡（下章专门讨论）。 2、若 F 0, MO 0,则力系可合成一个合力偶，其矩 等于原力系对于简化中心的主矩 M O 。
此时简化结果与简化中心的位置无关。
3、若 F 0, MO 0，则力系可合成为一个合力，合力通 过简化中心O点，合力大小和方向由力系的主矢确定。 此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零。
一、合成的几何法
F1
F1 A
A F2
F4 F3 F1
A B
F2 F3
F4
F2
C
F3
D
F
F4
E
4
§2–1 汇交力系的合成
F1
A
B
F2
C
F3
D
F1
A
B
F2
C
F3
D
F
F4
F
F4
由力的三角形法则，得
F F1 F2 F3 F4 分力矢 F 和合力矢 F 构成了封闭四边形 1、F 2、F 3、F 4
32
§2–3 空间一般力系的简化
4、若 F 0, M O 0 ，力系可合成为一合力。 合力不过简化中心，平移的距离为d=Mo / F , 合力的 大小和方向由主矢确定 。
合力作用线方程 F
MO
F
F
F
MO 由平面内力对点之矩的解析表达式： F A O O
=
=
MO F
O
A
M O ( F ) Fy x - Fx y M O
1
第二章 力系的简化
§2–1 汇交力系的简化 §2–2 力偶系的简化 §2–3 空间一般力系的简化 §2–4 重心
2
§2–1 汇交力系的合成
汇交力系：各力作用线汇交于一点的力系
平面汇交力系 汇交力系 空间汇交力系
作用在刚体上的力为滑移矢量 汇交力系
沿作用线移动
共点力系
3
§2–1 汇交力系的合成
19
§2–3 空间一般力系的简化
空间一般力系简化实例
20
§2–3 空间一般力系的简化
2、主矢和主矩的计算 1）主矢的计算
F Fx2 Fy2 Fz2 ( Fix )2 ( Fiy )2 ( Fiz )2
F cos F
ix
F , cos F
iy
F , cos F
当主动力为一平面力系时，物体在固嵌部分所受 的力系也应是一个平面力系。同理根据平面力系的简 化结果向某一点简化，得到一个力和一个力偶，大小 方向都未知的力用一对正交力表示，力偶由平面力偶 表示。
FAx
FAy
36
§2–3 空间一般力系的简化
2）空间固定端约束 当主动力为一空间力系时，物体在固嵌部分所受 的力系也应是一个空间力系。但可根据空间力系的简 化结果向某一点简化，得到一个力和一个力偶，由于 力和力偶矩矢的大小和方向都未知，可投影到三个坐 标轴上，用分量来表示。
称为力多边形，由力多边形求合力的方法称为力多边形法则。 力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力 矢折线链，合力矢是封闭边，其方向为第一个力矢的起点 指向最后一个力矢的终点。
5
§2–1 汇交力系的合成
可推广到一般，求 n 个力组成的汇交力系的合力。
空间汇交力系是否可以用力的多边形法则求合力？
37
§2–3 空间一般力系的简化
38
§2–3 空间一般力系的简化
39
§2–3 空间一般力系的简化
40
§2–3 空间一般力系的简化
2、分布平行力系的简化
取O点为简化中心， 将力系向O点简化。 主矢量： dF q (x)dx
F q x dx 0 主 矩：dM O xq x dx M O xq x dx
0 l
l
d MO F xq x dx
0 l
F MO，力系可进一步简 化为一合力，其作用线距 O点的距离为：
q x dx
0
41
l
§2–3 空间一般力系的简化
1）均布载荷
F ql d l 2
2）三角形载荷
1 2 F q0l d l 2 3 3）梯形载荷 F1 q1l d1 l 2 1 2 F2 q2 - q1 l d 2 l 2 3
28
§2–3 空间一般力系的简化
力螺旋工程实例
29
§2–3 空间一般力系的简化
力螺旋工程实例
30
§2–3 空间一般力系的简化
31
§2–3 空间一般力系的简化
四、平面力系简化的最后结果
1、若 F 0, M O 0 则力系平衡。 2、若 F 0, M O 0 则力系可合成为一合力偶。 力偶的力偶矩由主矩确定 。 简化结果和简化中心无关。 3、若 F 0, M O 0 则力系可合成为一合力。 合力过简化中心，合力大小方向由主矢确定。 简化结果和简化中心有关。
等于原力对新作用点的矩。
14
§2–3 空间一般力系的简化
工程实例
15
§2–3 空间一般力系的简化
二、空间一般力系向一点简化
空间一般力系：各力的作用线不在同一平面内，且 既不汇交一点又不相互平行的力系。
F , F , F
1 2
3
Fn
刚体内任选一点O，
O
力系向O点简化
O点称为简化中心
16
§2–3 空间一般力系的简化
42
§2–3 空间一般力系的简化
i 1
Fy Fiy
i 1
n
Fz Fiz
i 1
n
合力投影定理： 合力在任一轴上的投影等于各分力 在同一轴上投影的代数和。
合力的大小： F
F cos 合力的方向： F
F F F
2 2 ix iy iz
ix
2
F cos F
MO ( F ) r F MO
又由于 M O M O ( Fi )
M O ( F ) M O ( Fi ) 同理M z ( F ) M z ( Fi )
24
§2–3 空间一般力系的简化
合力矩定理的一般形式
(1).力系如有合力，则合力对任一点的矩等于力系
中各力对同一点的矩的矢量和。 (2).力系如有合力，则合力对任一轴的矩等于力系 中各力对同一轴的矩的代数和。