第二章力系的简化理论

力螺旋。
z
F1
O
x F2
A
F3 y
2.某平面力系对不共线的三个简化中心主矩相同，
该力系最简形式?
37
力偶或平衡。
2-4-3 力系的简化结果 试将下图分布力简化。
q
l
ql
l2
38
q0
l 1 2 q0l
l3
梯形分布力如何简化？
38
2-4-3 力系的简化结果
39
3.试求图示平面力系向O点简化结果及最简形式。
Gc
F1 O
F3
C
b
y
xA a
B
MO (Fa Fc)i Fbj
15
2-3 力偶
16
1. 力在轴上投影是代数量,力对轴之矩是代数量。
2. 刚体上的力是滑移矢量； 力对点之矩是定位矢量； 力偶矩矢是自由矢量。
16
2-3 力偶
17
作业：P7 2；P8 5
17
18
2-4 力系的简化理论
23
1.空间一般力系向任一点简化 （1）过程: 选O点为简化中心
z
z
Fn
rn r2 F2
O r1 F1
y
x
z
MOn
MO2
F2
Fn O
F1
y
MO1
x
空间汇交力系： Fi Fi
FR
空间力偶系： MOi MO (Fi )
O MO
y
合力 FR Fi Fi
x
23
力偶 MO MOi MO(Fi )
O
2-3 力偶
11
M
A
F
d
F
B

M
rA rB
O
uuur
uuur
MO F ,F AB F BA F M
显然：力偶矩矢与矩心O位置无关，称为自由矢量.
三要素:
大小： F d
d:力偶臂
方位： 垂直于力偶作用面
指向： 用右手螺旋法则来判断
平面力系中，力偶矩矢可以用代数量来表示。
M z (F ) [MO (F )]z 力对点之矩在通过该点的某轴上的投影等于力 对该轴之矩。
7
2-2 力矩
8
4. 合力矩定理
(1)对点
FR Fi
MO(FR ) r FR r Fi r Fi MO(Fi )
(2)对轴
Mx (FR ) Mx (Fi )
合力对任一点（轴）之矩等于各分力对 同一点（轴）之矩的矢量（代数）和。
8
2-3 力偶
9
1.力偶的概念
1)定义: 两个等值、反向、不共线平行力，记为 (F , F )
F
2)实例: F
力偶不能合成为一个力，也不能与一个力平 衡，是产生转动效果的度量，是一个基本力学量。
A MA
9
M A 端受力如何?
(3)解析表达式
(4)平面力系中，
i j k 力对点之矩可以
MO F r F x y z
用代数量来描述。
Fx Fy Fz
5
2-2 力矩
2.力对轴之矩是代数量
(1)定义
M z (F ) Fxy d
6
d为Fxy到z轴的距离。
(2)性质 当力的作用线与轴平行或相交时， 力对该轴之矩等于零。
6
2-2 力矩
7
(3)解析表达式
M z (F ) xFy yFx
i jk
MO F r F x y z
Fx Fy Fz
M x (F ) yFz zFy
[M O (F )]x i
M y (F ) zFx xFz
[MO (F )]y j
3.力对点之矩与力对轴之矩的关系 [M O (F )]z k
2-3 力偶
10
F
M
静止时力偶M 与F 平衡吗?
不平衡。
F 2.力偶矩矢
定 义: MO F ,F rA F rB F
uuur
而
rA AB rB , F F '
uuur
uuur
MO F ,F AB F BA F M
10
A
F
d
rA
F
B
rB
力在轴上的投影等于该力与该轴单位矢的点积。
4
2-2 力矩
5
1.力对点之矩是矢量(定位矢量)
zB
(1)定义
MO (F )
F
d
Mo(F ) r F
r
O
Ay
(2)三要素
d:为力臂
x
大小： | Mo (F ) | F d 即三角形OAB面积的两倍
方位： 垂直于力矩作用面
指向： 用右手螺旋法则来判断
空间一般力系向任一点简化，可以得到一个力
和一个力偶，该力作用在简化中心，其大小和方向
与原力系主矢相同，该力偶矩矢等于原力系对简化
中心的主矩。
z
z
Fn
rn r2 F2
O r1 F1
y
x
25
FR
O MO
y
x
2-4-2 一般力系向一点简化
26
3)解析表达式
主矢
FR FRxi FRy j FRzk
M x (F ) yFz zFy 2 (5) 10N m
M y (F) zFx xFz 45 3 1(5) 39.64N m Mz (F) xFy yFx 25 3 17.32N m MO (F ) 10i 39.64 j 17.32k
如何确定力对点的矩的大小和方向？
14
2-3 力偶
15
2.图示长方体沿三个不相交又不平行的棱作用三力
F1、F2、F3，棱长为a、b、c。若F1=F2=F3=F， 求该力系对
O点的矩。
建立图示坐标
M x F2c F3a Fa Fc My Fb Mz 0
D z F2
H
E
Fxi Fy j Fzk
主矢大小 FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
主矢方向
z
cos(FR, i)
Fx FR
cos(FR, j)
Fy FR
Fn
rn r2 F2
O r1 F1
y
26
cos(FR, k)
11
2-3 力偶
12
3.力偶的性质
力偶是构成力系的基本要素。
力偶对任意点之矩等于力偶矩矢，力偶对任意轴之矩 等于力偶矩矢在该轴上的投影。
两力偶等效的条件是力偶矩矢相等。
12
2-3 力偶Байду номын сангаас
13
1. 在与z轴垂直的平面N上作用一力F，大小为10N，位置 如图所示。试求力F 对x、y、z 的矩以及对O点的矩。
空间力系的最简形式有平衡，合力、力偶和
力螺旋4种情形。
32
2-4-3 力系的简化结果
33
33
2-4-3 力系的简化结果
34
34
2-4-3 力系的简化结果
35
35
2-4-3 力系的简化结果
36
2.平面力系的简化结果
(1) FR 0,M O 0 与零力系等效，平衡 。 (2) FR 0,M O 0 简化为一力偶 。 (3) FR 0,M O 0 简化为一合力 。 (4) FR 0,M O 0 进一步简化为一合力 。
cos(MO , j)
My , MO
Fn
rn r2 O r1
F2 F1
y
cos(MO ,k)
Mz MO
x
27
z
FR
O MO
y
x
2-4-2 一般力系向一点简化
28
3.平面一般力系向任一点简化
主矢
FR FRxi FRy j
Fxi Fy j
主矩(代数量)
MO MO(F) MO
39
2-4-3 力系的简化结果
40
主矩：
MO MO (F)
5000.8 80 100 2 300 2.6
100N m
OO M O 100 1m FR 100
y
500 N
0.8 m 80 N m 100 N
O 1m
200 N
x
1m
0.6 m 3 500 N
28
2-4-2 一般力系向一点简化
插入端(固定端)的受力分析
q
A
F
B
A
q
29
F
B
FAx
A
q
MA
FAy
29
F
B
2-4-3 力系的简化结果
30
1.空间力系的简化结果
(1) FR 0, MO 0 与零力系等效，平衡 。
(2) FR 0, MO 0 简化为一力偶 。 (3) FR 0, MO 0 简化为一合力 。 (4) FR 0,MO 0
a) FR M O时, 进一步简化为一合力。
MO
O
FR
O1 h FR
O
FR FR
O1 h •
FR
O
30
FR FR FR ,
h | M 0 | FR
h表示O点到合力作用线的距离。
2-4-3 力系的简化结果
31
b)FR与MO平行时，即为力螺旋
FR
M0
O
FR
M0
O
h MO /F
1.求力的投影和力的作用点
Fx F cos 300 10
3 5 2
3N
Fy 0
Fz

F
sin 300

10
1 2

5N
x 1, y 2, z 4
1m 1m
2m
x
z BF
300
2m A
4m
y
O
13
2-3 力偶
14
2.求力矩
Fx 5 3N m，Fy 0，Fz 5Nm；x 1, y 2, z 4
Fz FR
x
z
FR
O MO
y
x
2-4-2 一般力系向一点简化
27
主矩
Mo M oxi M oy j M ozk
Mxi M y j Mzk
主矩大小 MO Mx 2 M y 2 Mz 2
主矩方向
z
cos(MO ,i)
Mx , MO
Mo
•
FR O
O1 h FR
FR
FR O
O1 h
FR
O
FR FR FR ,
36
h | M 0 | ，h表示O点到合力作用线的距离。
FR
2-4-3 力系的简化结果
37
结论： 平面力系的最简形式有平衡，合力、力偶3种情形。
1.图示力系沿正方体棱边作用， F1=F2=F3=F,其向O点简化结果是什么?
3
2-1-2 力的投影
4
1.力在平面上投影是矢量 Fxy | Fxy | F cos
2.力在轴上投影是代数量
(1)直接投影 (2)二次投影
Fx F cos Fx Fx Fcos cos x
z
F

k
y
O
ij

Fxy
(3)力的坐标表示 F Fx i Fy j Fz k 其中 Fx F i
19
2-4-1 力的平移定理
20
20
2-4-1 力的平移定理
21
1.单手攻丝为何不正确?
F

M F
F易使丝锥折断。
21
2-4-1 力的平移定理
2.力F平移可行吗?
F

22
FM
改变外力与变形
F
A
B
a
C A
B
F
C
M Fa
改变BC段受力与变形 (材料力学内容)
22
2-4-2 一般力系向一点简化
1
第二章 力系的简化
2-1 力的分解和力的投影
2-2 力矩 2-3 力偶 2-4 力系的简化理论 2-5 物体的重心
1
2
2-1 力的分解和力的投影
2-1-1 力的分解 2-1-2 力的投影
2
2-1-1 力的分解
3
1.理论依据： 力的平行四边行法则
F 1
A●
FR
F 2
F F F
R
1
2
分力是矢量。
2-4-1 力的平移定理 2-4-2 一般力系向一点简化 2-4-3 力系的简化结果
18
2-4-1 力的平移定理
19
1.力的平移定理
o●
F A

F
o●
F d
F A
M MO( F )
F F F
M Fd

F F
o
A
可以把作用于刚体上某一点的力平移到刚体内任意其它点， 但是必须同时附加一力偶，这个附加力偶的力偶矩矢等于 原力对新作用点的矩。
F'
FR
F
h
力螺旋是由一个力和一个力偶组成的力系， 其中力垂直于力偶作用面。
力螺旋是力系的最简形式
力学基本参量。
31
2-4-3 力系的简化结果
32
c)FR与M O斜交时，进一步简化得力螺旋
A
FR
MO //
MO
O
F M O // R
O
O
MO //
FR
O
O
MO
B
结论：
FR FR
OO M O FR
4
y
MO
O
FR x
y FR O
O
FR
x
FR
y
O
x
O
FR
最简结果为作用于 O' 点的一个合力： FR 100 i
40
2-4-3 力系的简化结果
41
4.图示长方体沿三个不相交又不平行的棱作用三力
F1、F2、F3，棱长为a、b、c。若F1=F2=F3=F， 求该力系向
O点的简化结果； 如何选择棱长，简化为一个合力。
2-4-2 一般力系向一点简化
24
（2）主矢与主矩——原力系的特征量
1)定义
主矢 FR Fi Fi ，与简化中心无关
主矩 MO MO(Fi )，与简化中心有关
z
z
MOn Fn O
x
MO2 F2
F1 MO1
24
FR
y
O MO
y
x
2-4-2 一般力系向一点简化
25
2)简化结论
y
500 N
0.8 m 80 N m 100 N
O 1m
200 N
x
1m
0.6 m 3 500 N
4
选点O为简化中心，建立图示坐标系 主矢：
Fx 5005000.8 100N
Fy 200100 5000.6 0N
FR 100 i (FR 100 N)