偏导与积分复习
高考积分,导数知识点精华总结
高考积分,导数知识点精华总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN定积分一、知识点与方法： 1、定积分的概念设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=……把区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上取任一点(1,2,,)i i n ξ=…作和式1()nn i i I f x ξ==∆∑（其中x ∆为小区间长度），把n →∞即0x ∆→时，和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：⎰b adx x f )(，即⎰badx x f )(＝1lim ()ni n i f x ξ→∞=∆∑。
这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式。
(1)定积分的几何意义：当函数()f x 在区间[,]a b 上恒为正时，定积分()ba f x dx⎰的几何意义是以曲线()y f x =为曲边的曲边梯形的面积。
(2)定积分的性质①⎰⎰=b abadx x f k dx x kf )()(（k 为常数）；②⎰⎰⎰±=±ba ba ba dx x g dxx f dxx g x f )()()()(；③⎰⎰⎰+=ba c abc dx x f dx x f dx x f )()()(（其中a c b <<)。
2、微积分基本定理如果()y f x =是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么:()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰3、定积分的简单应用(1) 定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积由三条直线,()x a x b a b ==<，x 轴及一条曲线()(()0)y f x f x =≥围成的曲边梯的面积⎰=ba dx x f S )(。
定积分、偏导数、二重积分
1、求定积分 (1) 20131dx x +⎰ (2) 1
240(1)x x dx +⎰ (3) 22
10x xe dx -+⎰
2、(1) 已知32244341z x xy y y =-+-+-，求xx z ，xy z ．
（2）已知y x e
y x f 32),(+=，求(1,1)xy f ，yy f ． 3、求二重积分D xdxdy ⎰⎰
，D 是由2,y x y x ==围成的平面区域. 4、二元函数极值的应用
（1）某工厂生产A ，B 两种型号的产品，A 型产品的售价为1000元/件，B 型产品的售价为900元/件，生产x 件A 型产品和y 件B 型产品的总成本为223330020040000y xy x y x +++++元，求A ，B 两种产品各生产多少时，企业利润最大？最大利润是多少？
（2）设甲、乙两种商品的需求函数分别为21128p p Q +-=，2125210p p Q -+=，总成本函数为10023),(2121++=Q Q Q Q C 元，其中1p 、2p 、1Q 、2Q 分别为甲、乙两种产品的价格和需求量，问两种商品的销售价格分别为多少时，企业利润最大？此时两种商品的需求量分别为多少？。
微积分第2周讲课提纲(偏导数、全微分、复合函数微分法)
f (a) dy lim f (a h) f (a) ，
dx xa h0
h
其几何意义是曲线 y f (x) 在点 (a, f (a)) 处切线的斜率，切向量为 T (1, f (a)) / /(dx, df (a)) ．
1．偏导数的定义
定义：设函数 f (x, y) 在点 (a,b) 及其附近有定义，考虑函数 z f (x,b) 在点 x a 的导数，
xy
yx
例
2： u
sin(x
y
z)
，求
2u yx
，
2u xy
，
3u x2z
．
解： 2u sin(x y z) ； 2u sin(x y z) ； 3u cos(x y z) ．
yx
xy
x2z
Note：是否存在函数 f (x, y) 及其定义域中的点 (a,b) ，使得 2 f (a,b) 2 f (a,b) ？
量为
T
(0,1,
f
(a, b)
)
．
y
微积分 B(2)
第 2 周讲课提纲（By Huzm）（大约需要 5 学时）(By Huzm)
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二、高阶偏导数
1. 高阶偏导数的概念
偏导函数： f (x, y) , f (x, y) ；
x
y
二阶偏导数：
2
f (x, x2
y)
x
f
(x, x
xy
yx
例如：对于函数
x2 y2
f
(x,
y)
xy
x2
y2
,
0,
x2 y2 0, 因为
x2 y2 0,
微积分 B(2)
高考数学总复习讲义11：导数与积分
高三数学总复习讲义——导数概念与运算知识清单 1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim 。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3．几种常见函数的导数: ①0;C '= ②()1;nn x nx-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();x x e e '=⑥()ln x xa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫ ⎝⎛v u ‘=2''vuv v u -（v ≠0）。
《微积分二》复习要点整理(基本层次要求)
微积分（II ）复习要点（共11页）（此提纲主要针对基础较薄弱的同学使用 建议按照提纲罗列顺序进行复习）Ch6+Ch7两章第一部分 计算偏导与全微分（以二元函数为主）()()().yz,x z yz ,xz,y ,x f z .10000y ,x y ,x ∂∂∂∂∂∂∂∂=或偏导函数求解偏导数具体形式已知初等函数问题()()().xz,x x 3,dxdz 2,y ,x f ,y y 1xz0000y ,x 000y ,x ∂∂==∂∂即得所求最后代入）一元函数的导数利用上学期方法求上述）函数则原二元函数变为一元代入）步骤如下：求具体点偏导解法：*().yz,00y ,x ∂∂可求出类似()().yzy ,x y ,x f ,*.x z ,x z 2,y y ,x f 1xz∂∂∂∂∂∂求导即得对视为常数中的将类似所得结果即为的导数对利用上学期方法求）视为常数中的将）步骤如下：求偏导函数 配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！前提——熟记第三章P63导数公式、P60“四则运算”求导法则、P64复合函数求导之链式法则！P251 Ex8 2) 1) 4), Ex9 3) 2)().dz ,y ,x f z .2求全微分已知问题=.dy yzdx x z dz ,yz ,x z 为所求则的具体结果—先分别求出—系利用全微分与偏导的关解法：∂∂+∂∂=∂∂∂∂配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P253 Ex13 2) 7) 3)().yz,x y z ,y x z,x z ,y ,x f z .3222222∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=求解二阶偏导数具体形式已知初等函数问题().y x z ,x z y ,x f z :y x z .P225,*2的偏导再求此新函数关于）（即然后针对求出的结果求出首先针对比如求偏导—按照符号的定义逐阶—求法相关定义和记号参见二阶偏导的含义务必准确识别以上四个∂∂∂∂=∂∂∂ 配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P253 Ex12 1) 2).,)107(P219,..4分结果再进一步具体算出各部）公式（如写出链式法则根据题目实际情况熟练“路线图”借助要点：（偏导）复合函数求导问题- 配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P254 Ex16 1) 4)两例的法一即可！学会套用即可公式二元隐函数偏导一元隐函数导数公式熟记要点：（偏导或全微分）隐函数求导问题P224~P223.),167(P224),157(P223..5-- 配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P254 Ex18 1) 3), Ex19 2) 1)第二部分 求二元函数的极值和条件最值()()()./8.7P229,3z ,z ,z ,z 2y ,x ,,y ,x ,,0z 0z ,z ,z 1y ,x f z .1yy yx xy xx k k 11y x y x 极小极大结论判定极值与否、定理逐个利用针对以上各驻点）求出）如解此方程组得所有驻点并令求出）解法步骤：的极值求二元初等函数问题''''''''⎪⎩⎪⎨⎧='='''= .32P230*解答过程、例例学会配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P254 Ex20 1) 4)()()()()()()()().y ,x ,,y ,x 30y ,x F 0f F 0f F ,F 2y ,x y ,x f ,y ,x F 1.0y ,x y ,x f z .200000y y yx x x 为所求条件最值点则唯一若以上驻点）即解下列方程组：的驻点求）令）解法步骤：下的条件最值在条件二元初等函数（尤其经济背景）求具有实际背景问题令令令λ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=ϕ='=ϕ'λ+'='=ϕ'λ+'='λϕ+=λ=ϕ=λ该部分课本相应例题解答均有问题，建议参考相关课堂笔记！并依照以上步骤做以下练习：()()()式：之间的关系如下经验公万元费用及报纸广告万元与电台广告费用万元销售收入统计资料据商品的广告报纸两种方式做销售某某公司通过电台、）例y x R ,. 22y 10x 2xy 8y 32x 1415R ---++=.,5.1 求相应的最优广告策略万元且用尽为若提供的广告费用5.1y ,0x Key ==：第三部分 定积分相关要点基本前提：熟记P119~P120及P131~P132不定积分公式！()()()()()()()().a Fb F x F dx x f 2,x F x f ,1.dx x f ,x f .1b a ba ba -==⎰⎰从而）的一个原函数求出利用求不定积分的方法）莱布尼兹公式：—牛顿主要方法）求解定积分具体形式已知问题()[].,,f f f ,c ,b ,a x f *bc ca ba 再进行计算均取明确形式使得右端每个被积函数性质“拆区间”定积分的则需利用为分段点比如以上的分段函数是若重点：⎰⎰⎰+= 配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P187 Ex11 1) 2) 3) 4) 8) 10)⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰为偶函数为奇函数有公式如下：定积分称时当积分区间关于原点对特殊方法）f ,f 2f ,0f f ,a 0aa -aa -().1100.1xdx 2dx x 2dx x ,x .0dx x 1x xdx sin x ,x 1x ,x sin x .dx x x 1x x sin x .101011112112221122=++=====∴=-=∴-+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰----从而原式为偶函数均有奇函数）特点！（务必注意积分区间的解：求解例()()()()()()[]()[]()()()()[]()[]()()[]().,Hospital 'L ,2.x v x v f x u x u f dt t f x u x u f dt t f .x f x dt t f x 1.2x u x v x u axa 可求解某些极限法则结合利用以上求导公式）进一步有公式：的求导公式：熟记函数）要点）变限积分的求导及应用问题⎪⎩⎪⎨⎧'-'=''⋅='=Φ'=Φ⎰⎰⎰配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！P186 Ex5 1), Ex4 1) 2).:4P1631P1621.3积分变量状选择适当的注意针对不同的区域形例例典型例—求平面图形面积）—几何应用一）要点）济应用定积分的几何应用与经问题+配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P189 Ex22 1) 3) 4)..21624619,6226P1662转体体积运用以上两公式求解旋及其适用的图）（熟记公式及其适用的图）（公式熟记—求旋转体体积）—几何应用二）----.236P166.,.*即运用了此原理）（式例如实心体积所求体积转化为若干则只能间接利用公式将若考察空心旋转体体积特征的旋转体体积“实心”于求解具有以上两公式只能直接用注意：-配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P189 Ex29 3) 5)()()()().9P170,8P169.286~266169~P168.a ,dt t F a F x F ,x F 3xa 例例典型例：）（）（公式熟记为选定的常数其中莱布尼兹公式可得—则由牛顿若已知原理：—已知边际求总量）—经济应用）--'+='⎰ 配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P190 Ex33, Ex34第四部分 二重积分相关要点().,y x D ,7.7P238,y x D 3x y 227,y )b (277P239D ;y x 217,x )a (277P239D D 2D 1.dxdy y ,x f ,D .1D果再分别写出累次积分结区域型”“或型”“划分为若干标准的将）性质（则需利用分块积分法则型”“或型”“并非标准的若）形式的累次积分”内“外写出）（公式则运用区域型”“之图为若形式的累次积分”内“外写出）（公式则运用区域型”“之图为若的形状：判断）的草图出在平面直角坐标系中画）解法步骤）累次积分次序表达为两种将二重积分具体形式已知区域问题----------⎰⎰2P241例典型例：配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P255 Ex30 3) 1)().1,,dxdy y ,x f 2,D 1..2D”“问题方法同积分按要求写出另一种累次对于）的形状区域根据题目形式写出积分）要点）积分次序将给定的累次积分交换问题⎰⎰3P241例典型例：配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P255 Ex31 1) 3) 4) 2)()()()()().)257(),267(~)247(P245~P244,r ,rdrd rsin ,rcos f ,rsin y ,rcos x ,,xyy x y ,x f ,*.,3,y ,x f D 2,D 1.dxdy y ,x f ,D y ,x f .322D即可熟记重点公式具体结果见的累次积分关于内层、外层关于再将此新二重积分化为化为将原积分即令标系计算则上述过程宜采用极坐的形式或为关于且扇形等环、若区域形状为圆、最终求出原二重积分上述累次积分由内层至外层逐层计算）积分次序表达的形式选择适当的累次的形状及根据）的草图画出积分区域）要点）计算的具体形式和积分区域已知问题---θθθθθ=θ=+⎰⎰⎰⎰8P246,5,64,P242例例例例）：（建议按以下顺序复习典型例配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P255 Ex32 3) 4), Ex33 2) 1)()()().3.dxdy y x,f V .D y ,x f z .D xy ,y ,x f z .4D中方法求此二重积分再利用问题则平面区域的“底”及作为的函数“顶”由题意准确识别出作为要点：的曲顶柱体体积为底平面上某区域为顶求以非负曲面问题⎰⎰=== 配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P256 Ex35 1) 2)第五部分 其它要点摘录()()()()()()()142x 0ab.z f x,y ,f x,y .2.P147 6.3P186Ex21)2)4).3.e dx .dx,dx,f x dx dx b +∞-∞+∞∞-∞==∈⎰⎰⎰⎰⎰+a-a理清偏导函数连续、可微、偏导存在、连续的关系理清的极值点、驻点的关系熟用性质并练习熟记概率积分按定义判定无穷限积分f x f x 的敛散性；能识别瑕积分,并按定义判定瑕积分f x （三类：分别a 、、c a,b 为瑕点）的敛散性。
导数与积分复习建议——区简版.doc
已知函数/（工）= 2x-b(x — l)- ,求导函数f\x）,并确定yCx）的单调区间.导敬与枳分复习建议一、导数的要求考试内容要求层次A B C导数及其应用导数的概念与几何意义导数的概念V导数的几何意义V导数的运算根据导数定义求函数y=c,y=x,y = x2,y = x3,y = —,y = 的导数XV导数的四则运算V简单的复合■函数（仅限于f（ax+b）形式）V导数公式表V导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次）V函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）V利用导数解决某些实际问题V定积分与微积分基本定理定积分的概念V微积分基本定理V二、近年导数题在北京高考试题中的位置（2007年北京19——13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2尸，短半轴长为,，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底A8是半椭【员|的短轴，上底的端点在椭圆上，记CD = 2x,梯形面积为S・（I）求面积S以尤为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积S的最大值.(2008年北京18——13分)（2009年北京11——5分）.设f（x）是偶函数，若曲线y = /（A）在点（1,/（1））处的切线的斜率为1,则该曲线在（-!,/（-!））处的切线的斜率为.(2009年北京18——13分)设函数f(x) = x/(k。
)(I )求曲线> =/(尤)在点(0,/(0))处的切线方程；(II)求函数/'(同的单调区间；(III)若函数/(局在区间(-1,1)内单调递增，求k的取值范围.(2010年北京18——13分)k己知函数/ (x)=In(l+x)-x + -J2 (Z:>0)o(I)当4=2时,求曲线y=/(x)在点(1, /⑴)处的切线方程;(II)求单调区间。
三、第一轮导数复习建议明确考试说明的要求。
应对：1、熟练基本求导公式，正确求导、明确概念；(1)几个常用的特例：(五)，=：, (4。
一些数学复习(经济中的偏导及微分公式)
经济中的运用
二阶偏导数
• 偏导数的偏导数被称作 二阶偏导数
(f / xi ) x j
2f x j xi
fij
Young’s 定理
• 在一般条件下, 计算二阶偏导数的偏微分顺 序不重要
fij fji
利用二阶偏导数
• 二阶偏导数在许多经济定理中起到了了 重要作用
• 一个最重要的是一个变量自身的二阶偏 导数, fii
• 在点 q = q1 的导数值可以记做
• 例如,
d 0
dq Байду номын сангаас q1
d dq
q q1
d 0
dq q q3
d 0 dq q q*
二阶导数
• 导数的导数被称为 二阶导数 • 二阶导数可以记做
d 2 或者 d 2 f 或者 f "(q)
dq2
dq2
求导数的一些法则
1. 如果 b 是一个常数, 那么 db 0 dx
最大值的一阶条件
• 对于一个单变量函数，为了获得某个最大 值点, 这点的导数一定是0
df 0
dq q q*
多变量函数
• 经济参与人的大多数目标依赖于多个变 量
– 必须进行权衡
• 一个变量 (y) 依赖于一系列其他变量 (x1,x2,…,xn) 可以记做
y f (x1, x2,..., xn)
偏导数
1 x2
2x
2 x
不定积分表（1）
不定积分表（2）
x dx 1 x1
1
exdx ex C
a
x dx
ax ln a
C
a
0,
a
1
dx xa
ln
x
导数及定积分知识点总结及练习(经典)
导数的应用及定积分（一）导数及其应用1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是limΔx →0ΔyΔx ＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝limΔx →0ΔyΔx ＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 。
2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，就是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率 ，即k ＝f ′(x 0)＝limΔx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.3．函数的导数对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数．当x 变化时，f ′(x )便是一个关于x 的函数，我们称它为函数y ＝f (x )的导函数(简称为导数)，即f ′(x )＝y ′＝limΔx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.4．函数y ＝f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x)在点x ＝x 0处的函数值，即f ′(x 0)＝f ′(x)|x ＝x 0。
5．常见函数的导数(x n )′＝__________.(1x )′＝__________.(sin x )′＝__________.(cos x )′＝__________.(a x )′＝__________.(e x )′＝__________.(log a x )′＝__________.(ln x )′＝__________. （1）设函数f (x )、g (x )是可导函数，则：(f (x )±g (x ))′＝________________；(f (x )·g (x ))′＝_________________． （2）设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，⎝⎛⎭⎫f (x )g (x )′＝___________________.（3）复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为yx ′＝y u ′·u x ′.即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．6．函数的单调性设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内可导，(1)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)>0，则f(x)在此区间单调__________； (2)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)<0，则f(x)在此区间内单调__________．(2)如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化较__________，其图象比较__________．7．函数的极值x ，如果都有________，则称函数f(x)在点x 0处取得________，并把x 0称为函数f(x)的一个_________；如果都有________，则称函数f(x)在点x 0处取得________，并把x 0称为函数f(x)的一个________．极大值与极小值统称为________，极大值点与极小值点统称为________．8．函数的最值假设函数y ＝f(x)在闭区间[a ，b]上的图象是一条连续不断的曲线，该函数在[a ，b]上一定能够取得____________与____________，若该函数在(a ，b)内是__________，该函数的最值必在极值点或区间端点取得．9．生活中的实际优化问题（1）在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中__________的取值范围．（2）实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值点就是__________点． （二）定积分1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x ＝a 、x ＝b(a≠b)、y ＝0和曲线________所围成的图形称为曲边梯形．(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a ，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些_______________； ①近似代替：对每个小曲边梯形“___________”，即用__________的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的________；①求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值________；①取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个________，即为曲边梯形的面积．2．求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v(t)，那么也可以采用________、________、________、________的方法，求出它在a≤t≤b 内所作的位移s.3．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑=ni 1f(ξi )Δx＝_____________(其中Δx 为小区间长度)，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的_________，记作⎰baf (x )dx ，即⎰baf (x )dx ＝_________．________，x 叫做________，f(x)dx 叫做________．4．定积分的几何意义如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有___________，那么定积分⎰baf (x )dx 表示由_________________________，y ＝0和_____________所围成的曲边梯形的面积．5．定积分的性质 ①⎰bakf(x )dx ＝__________________(k 为常数)；②⎰ba(x )]dx f±(x )[f 21＝________________；③⎰baf (x )dx ＝⎰caf (x )dx ＋_______________(其中a <c <b )．6．微积分（1）微积分基本定理如果F (x )是区间[a ，b ]上的________函数，并且F ′(x )＝________，那么⎰baf (x )dx ＝___________．（2）用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，即找被积函数的________，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F (x )．（3）被积函数的原函数有很多，即若F (x )是被积函数f (x )的一个________，那么F (x )＋C (C 为常数)也是被积函数f (x )的________．但是在实际运算时，不论如何选择常数C (或者是忽略C )都没有关系，事实上，以F (x )＋C 代替式中的F (x )有⎰baf (x )dx ＝[F (b )＋C ]－[F (a )＋C ]＝F (b )－F (a )．（4）求定积分的方法主要有：①利用定积分的________；②利用定积分的___________；③利用_______________。
偏导与积分复习
y0
故f 在 (0,0) 连续;
又因 f (x,0) f (0, y) 0, 所以 f x (0,0) f y (0,0) 0
6
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而
f
(0,0)
[
(x)2 ( y)2 (x)2 (y)2
3
]
2
当x 0，y 0 时,
f (0,0) (x)2 (y)2
22
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例13.求函数 解: 第一步 求驻点.
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
23
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在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
不是极值;
在点(3,0) 处
AC B2 12 6 0,
不是极值;
在点(3,2) 处
AC B2 12 (6) 0, A 0,
x
z 2 z 2 z
y
, y2
,. xy
解
z y
x3 ( f1 x
f2
1 x
)
x4
f1 x2
f2,
2z y 2
x4 (
f11 x
f12
1) x
x2 (
微积分下册总复习
z
lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x ( x0, y0 ) x0
x
lim f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x x0
x x0
z f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0)
z Ax By o( ) ( 0),
D
b
dx
2( x) f ( x, y对x的二次积分
y
y 2(x)
D
y 1(x)
Oa
bx
第20页/共107页
D {( x, y)c y d,1( y) x 2( y)},
其中函数1( y)、 2( y) 在区间[c, d]上连续.
f ( x, y)d
1( )
A
rdrd 极坐标系中的面积元素
第23页/共107页
D {( x, y) ,0 r ( )}
其中函数 ( )在区间[ , ]上连续.
( )
f ( x, y)d d 0 f (r cos ,r sin )rdr;
D
r ( )
D
O
A
第24页/共107页
D {( x, y)0 2π,0 r ( )} 其中函数 ( )在区间[ , ]上连续.
D
d
dy
2( y)
f ( x, y)dx
c
1( y)
y
d D
x 1( y)
c
x 2( y)
先对x 后对y的二次积分. O
x
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交换积分次序的步骤
(1) 利用已给的二次积分的积分限得出 相应的二重积分的积分区域, 并画出草图;
偏导和重积分综合客观题
偏导和重积分综合客观题一、偏导数1. 偏导数的定义偏导数是一个函数在某一点处沿着某个坐标轴方向的变化率，而其他坐标轴方向上的变化率被视为常数。
2. 偏导数的计算方法对于一个函数f(x,y)，它在点(x0,y0)处关于x的偏导数可以表示为：∂f/∂x = lim┬(h→0)〖(f(x0+h,y0)-f(x0,y0))/h〗同样地，它在点(x0,y0)处关于y的偏导数可以表示为：∂f/∂y = lim┬(h→0)〖(f(x0,y0+h)-f(x0,y0))/h〗3. 偏导数存在的条件如果一个函数在某一点处关于某个坐标轴方向上存在偏导数，那么它必须满足以下条件：（1）该点存在；（2）该点处函数连续；（3）该点处函数沿着该坐标轴方向有限。
4. 高阶偏导数类似于求一元函数的高阶导数，我们也可以求多元函数的高阶偏导数。
例如，对于一个二元函数f(x,y)，它的二阶混合偏导数可以表示为：∂²f/∂x∂y = lim┬(h→0)〖(f(x0+h,y0+h)-f(x0+h,y0)-f(x0,y0+h)+f(x0,y0))/h²〗二、重积分1. 重积分的定义重积分是对二元函数在一个区域上的积分，它表示该函数在该区域内的总体积或总质量等物理量。
2. 重积分的计算方法对于一个二元函数f(x,y)，它在区域D上的重积分可以表示为：∬D f(x,y)dxdy其中，dxdy表示对x和y进行累次积分。
根据Fubini定理，我们可以将累次积分转化为二重积分，即：∬D f(x,y)dxdy =∫_(y=b)^(y=a)▒[∫_(x=g(y))^(x=h(y))▒f(x,y)dxdy]其中，a和b是区域D在y轴上的边界，g(y)和h(y)是区域D在直线y=k（a≤k≤b）处与x轴交点的横坐标。
3. 重积分存在的条件如果一个函数在某一区域上可积，那么它必须满足以下条件：（1）该区域有限；（2）该函数在该区域上连续或几乎处处连续；（3）该函数在该区域上有界。
偏导和重积分综合题
偏导和重积分综合题
摘要：
1.偏导和重积分的概念
2.偏导和重积分的关系
3.偏导和重积分的综合题解题方法
4.偏导和重积分综合题的实例解析
正文：
一、偏导和重积分的概念
偏导数是多元函数微分学的基础概念，它研究了多元函数在某一点处的局部性质。
重积分则是多元函数积分学的基础概念，它研究的是多元函数在某一区域内的累积效应。
二、偏导和重积分的关系
偏导和重积分有着密切的关系。
重积分可以看作是偏导的推广，偏导是重积分的基础。
在解决一些实际问题时，常常需要将偏导和重积分结合起来进行研究。
三、偏导和重积分的综合题解题方法
解决偏导和重积分的综合题，通常需要以下步骤：
1.确定问题的求解目标，即求解偏导数还是重积分。
2.根据问题的实际背景，建立数学模型，即确定偏导数或重积分的表达式。
3.利用偏导数或重积分的性质，进行计算。
4.对计算结果进行分析，得出问题的解。
四、偏导和重积分综合题的实例解析
例如，求解一个球体的表面积，就需要用到偏导和重积分的知识。
首先，我们需要求出球体的表面积公式，这是一个重积分。
然后，我们需要求出球体在某一点的切线，这是一个偏导。
最后，我们将这两个结果结合起来，就可以求出球体的表面积。
总的来说，偏导和重积分是多元函数中的重要概念，它们在解决实际问题中起着关键的作用。
高考积分,导数知识点精华总结
定积分一、知识点与方法： 1、定积分的概念设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=……把区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上取任一点(1,2,,)i i n ξ=…作和式1()nn i i I f x ξ==∆∑（其中x ∆为小区间长度），把n →∞即0x ∆→时，和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：⎰badx x f )(，即⎰badx x f )(＝1lim ()nin i f x ξ→∞=∆∑。
这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式。
(1)定积分的几何意义：当函数()f x 在区间[,]a b 上恒为正时，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是以曲线()y f x =为曲边的曲边梯形的面积。
(2)定积分的性质 ①⎰⎰=ba badxx f k dx x kf )()(（k 为常数）；②⎰⎰⎰±=±ba ba ba dx x g dxx f dxx g x f )()()()(；③⎰⎰⎰+=bacabc dx x f dx x f dx x f )()()(（其中a c b <<)。
2、微积分基本定理如果()y f x =是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么:()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰3、定积分的简单应用(1) 定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积由三条直线,()x a x b a b ==<，x 轴及一条曲线()(()0)y f x f x =≥围成的曲边梯的面积⎰=badx x f S )(。
偏导和重积分综合题
偏导和重积分综合题摘要：一、偏导数概念及性质1.偏导数的定义2.偏导数的性质二、重积分概念及性质1.重积分的定义2.重积分的性质三、偏导数与重积分的关系1.偏导数与重积分的关系2.偏导数在重积分中的应用四、偏导数与重积分综合例题解析1.例题1：求函数在某点的偏导数2.例题2：求函数在某区域的重积分3.例题3：求函数在闭区域上的偏导数和重积分的关系五、偏导数与重积分的实际应用1.物理应用：求力场的势能2.工程应用：求电磁场的电势3.经济学应用：求市场需求函数的偏导数和重积分正文：一、偏导数概念及性质1.偏导数的定义：设函数f(x,y)在区域D上有连续偏导数，则函数在点(x0,y0)处的偏导数定义为：f_x(x0,y0) = lim_(h->0) [f(x0+h, y0) - f(x0, y0)] / hf_y(x0, y0) = lim_(h->0) [f(x0, y0+h) - f(x0, y0)] / h2.偏导数的性质：(1) 偏导数具有线性性(2) 偏导数具有微分性质(3) 常数、幂函数、指数函数、对数函数的偏导数(4) 反函数的偏导数二、重积分概念及性质1.重积分的定义：设函数f(x,y,z)在空间域D上有连续函数，则重积分定义为：∫∫∫_D f(x,y,z) dV2.重积分的性质：(1) 线性性质(2) 交换积分次序(3) 重积分与面积、体积的乘积有关(4) 重积分与偏导数的关系三、偏导数与重积分的关系1.偏导数与重积分的关系：偏导数是求函数在某点或某一方向上的局部性质，而重积分是求函数在某一区域上的全局性质。
偏导数是重积分的基础，重积分可以看作是多个偏导数的综合应用。
2.偏导数在重积分中的应用：在重积分中，我们可以通过求解偏导数来简化积分过程，将复杂的重积分问题转化为简单的偏导数问题。
四、偏导数与重积分综合例题解析1.例题1：求函数f(x,y)=x^2+y^2在点(1,1)处的偏导数。
偏导数复习题
偏导数复习题偏导数复习题在微积分学中，偏导数是研究多元函数的重要工具。
它用于描述函数在某一点上沿着不同方向的变化率。
在本文中，我们将通过一些复习题来巩固对偏导数的理解。
1. 设函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，求 f(x, y) 在点 (1, 2) 处关于 x 的偏导数。
解答：对于 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，我们可以将 y 视为常数，然后对 x 求导。
因此，f(x, y) 在点 (1, 2) 处关于 x 的偏导数为：∂f/∂x = 2x + 2y = 2(1) + 2(2) = 62. 设函数 g(x, y, z) = x^3 + 2xyz + yz^2，求 g(x, y, z) 在点 (1, 2, 3) 处关于 y 的偏导数。
解答：对于 g(x, y, z) = x^3 + 2xyz + yz^2，我们将 x 和 z 视为常数，然后对 y求导。
因此，g(x, y, z) 在点 (1, 2, 3) 处关于 y 的偏导数为：∂g/∂y = 2xz + z^2 = 2(1)(3) + (3)^2 = 12 + 9 = 213. 设函数 h(x, y, z) = e^x + ln(y) + sin(z)，求 h(x, y, z) 在点(0, 1, π/4) 处关于 z的偏导数。
解答：对于 h(x, y, z) = e^x + ln(y) + sin(z)，我们将 x 和 y 视为常数，然后对 z求导。
因此，h(x, y, z) 在点(0, 1, π/4) 处关于 z 的偏导数为：∂h/∂z = cos(z) = cos(π/4) = √2/24. 设函数 f(x, y) = x^2 + y^2，求 f(x, y) 在点 (2, 3) 处的梯度。
解答：梯度是一个向量，由函数的偏导数组成。
对于 f(x, y) = x^2 + y^2，梯度为：∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (2x, 2y)在点 (2, 3) 处，梯度为：∇f(2, 3) = (2(2), 2(3)) = (4, 6)5. 设函数 g(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2，求 g(x, y, z) 在点 (1, 1, 1) 处的梯度。
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u x
f1
f3 (
2u xy
f12
f13
(
1)
x y
1 )
x y
xyz xt xy
f32
f33
(2x
sin
t
x2 x
cos y
t
)
f3
2
x
cos
t
x
1
y
x2
(x y) cos t 1
x
z 2 z 2 z
y
, y2
,. xy
解
z y
x3 ( f1 x
f2
1 x
)
x4
f1 x2
f2,
2z y 2
x4 (
f11 x
f12
1) x
x2 (
f21 x
f22
1) x
x5 f11 2x3 f12 x f22 ,
1
1 x
0
此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 第二步
未考虑分母变化的所有情况,
例如,
y
xx1时,
1 y
1 x
1,
此时极限为 1 .
解法2 令 y kx,
此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 例如 y x2 x 时
4
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解法3 令 x r cos , y r sin ,
3. 偏导数
f x (x0 ,
y0 )
lim
x0
f
( x0
x,
y0 ) x
f
(x0 ,
y0 )
1
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4. 偏导数计算：复合函数求偏导，隐函数求偏导， 及其高阶导数
5. 微分
z
o()
(x)2 (y)2
dz f x (x, y)dx f y (x, y)d y
9
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例4
(1) z x f ( y2 ) : x
2y f
2y f
(
y x
2 2
)
2y3 x2
f
(2) z f (x y2 ) : x
2y x2
f
2y x
f
(1
y2 x2)源自2 xy2
f
2y x
(1
y2 x2
)
f
10
此法忽略了 的任意性,
极限不存在 !
由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证
自变量在定义域内以任意方式趋于原点 .同时还可看 到,本题极限实际上不存在 . 特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限,
但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的.
5
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例2. 证明:
[
(x)2 ( y)2 (x)2 (y)2
]2
0
所以 f 在点(0,0)不可微 !
而当 y x 0 ,
(x)2( y)2 [ (x)2 ( y)2
]2
1 4
0
7
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例3 设 z x3 f (xy, y ), ( f 有二阶连续偏导数), 求
x f f xf
F2
F1
xf 1
F2 F3
xF1 f x F2 f f F2 x f F3 F2
(x f F3 F2 0) 13
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例8.设
有二阶连续偏导数, 且
求 u , 2u .
u
x xy
解:
设
x2
y2
z2
4z
0,求
2z x2
.
设 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z
则 Fx 2x , Fz 2z 4
z Fx x x x Fz z 2 2 z
两边对 x 求偏导
2z x2
x
( 2
x
) z
(2
f
(
x,
y)
(
x
2
x2
y y
2 2
)
3
2
,
0
,
x2 y2 0 x2 y2 0
在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 .
证: 利用 2xy x2 y2 , 知
f (x, y)
1
(x2
y2)
1 2
4
lim f (x, y) 0 f (0, 0)
连续性
偏导数存在
方向导数存在
(以后讲)
可微性
偏导数连续
2
例1. 讨论二重极限
时, 下列算法是否正确?
解法1
原式
lim
x0
y0
1 y
1
1 x
0
解法2 令 y kx ,
解法3 令 x r cos , y r sin ,
3
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分析:
解法1
lim
x0
y0
1 y
第八章 多元函数微分法
1. 极限
lim f (P) A
P P0
ε 0,δ 0, 当0 PP0 δ 时， 有 f (P) A ε
• 证明极限不存在的方法：路径法
• 求极限的方法（坐标变换法）
2. 连续
lim
( x, y )( x0 , y0 )
f (x, y)
f (x0, y0 )
x0
y0
故f 在 (0,0) 连续;
又因 f (x,0) f (0, y) 0, 所以 f x (0,0) f y (0,0) 0
6
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而
f
(0,0)
[
(x)2 ( y)2 (x)2 (y)2
3
]
2
当x 0，y 0 时,
f (0,0) (x)2 (y)2
8
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2z 2z xy yx
x
(x4
f1
x2
f2)
4x3
f1
x4
[
f11
y
f12
(
y x2
)]
2x
f
2
x2
[
f21
y
f22
(
y x2
)]
4x3 f1 2x f2 x4 y f11 y f22 .
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例5. 设 及
有连续的一阶偏导数 , 又函数 分别由下两式确定
ex y xy 2,
ex
xz sin t dt
0t
求
( 2001考研 ）
答案:
du dx
f1
y x
f 2
1 ex (x z)
sin( x z)
f3
11
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例6.
z)2 (2 z)3
x
2
12
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例7. 设
其中 f 与F分别具
有一阶导数或偏导数, 求 (99 考研)
解；方程两边对 x 求导, 得
(用隐函数求导公式)
xf d y dz f xf dx dx
F2
d d
y x
F3
d d
z x
F1
dz dx