2017_2018学年高中数学第一章空间几何体章末优化总结课件新人教A版必修2
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高中数学第一章空间几何体章末知识方法专题小结课件新人教A版必修2
[点评] 等积变换法有很广泛的应用，它并不仅仅可 用来求三棱锥的体积．
三、球的问题
[例8] 已知在半径长为2的球面上有A，B，C，D四
点，若AB＝CD＝2，则四面体ABCD的体积的最大值为
()
23 43 A. 3 B. 3
C．2 3
83 D. 3
[解析] 如图，设O为球心，OA，OB，OC，OD四条 线段把四面体ABCD分成四个三棱锥，且三棱锥B－ODC 与A－ODC同底，三棱锥D－AOB与C－AOB同底．在三 棱锥B－ODC和A－ODC中，底面积为 43×22＝ 3，高分
[例5] 棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以
这些线段为棱的八面体的体积为( )
a3
a3
A. 3
B. 4
a3
a3
C. 6
D.12
[解析] 连接正方体各面中心构成的八面体由两个棱长
为 22a的正四棱锥组成，正四棱锥的高为2a ，则八面体的体积 为V＝2×13×( 22a)2·2a＝a63.
[答案] C
∴S上底面＝πx2，S下底面＝π(2x)2＝4πx2，S侧＝π(x＋2x)·2x ＝6πx2.
∴圆台的上底面面积、下底面面积和侧面面积的比为 1:4:6.
[点评] 圆台的轴截面是等腰梯形，作辅助线构造直 角梯形和直角三角形，从而利用直角梯形和直角三角形的 性质求解．
2．空间几何体的体积 空间几何体的体积计算公式在实际生活中有着广泛的 应用，但只记住公式是远远不够的，我们还应把握图形的 内在因素，灵活选择合理的方法加以求解．只有这样才能 把所学到的知识灵活运用到现实生活中，才能有效地解决 一些问题，达到事半功倍的效果． (1)公式法 公式法的思想是：根据题意直接套用体积公式，求出 体积．
高中数学第1章立体几何初步章末总结课件新人教A版必修
• • • • • • • •
[解析] 作AE∥BD交β于E， ∵AC⊥α，l⊂α，∴AC⊥l. 同理可证BD⊥l，∴AE⊥l. ∴l⊥平面ACE. 又∵AB⊥AC，AB⊥BD，AE∥BD， ∴AB⊥平面ACE. 又由于C、D不在l上，因此AB与l不重合． ∴AB∥l.
• 1.截面 • 一个平面与几何体相交所得的几何图形(包 括边界及内部)叫做几何体的截面．截面的 边界叫做截线(或交线)． • 如果一个平面和一个多面体相交，那么截 面是一个平面多边形，这个多边形的边是 平面与多面体的交线，因此 n 面体的截面 多边形的边数最多是n，最少是3.
• 2．常见的截面 • 常见的截面有：对角面、轴截面、直截面、 平行于底面的截面以及其他具有某种特性 的截面(如平行或垂直于棱、规定角度的截 面，以及经过某几个已知点的截面等等)．
• 因此，直线PN、MQ可确定一个平面α. • 同理可证得PQ∥NR，知直线PQ、NP确定 一个平面β. • 因为过两条相交直线 PN 、 PQ 有且只有一 个平面，所以 α 与 β 重合，即 R∈α. 同理可 证S∈α. • 因此，P、Q、R、S、M、N共面．
• 如图所示，已知正三棱锥S－ABC，过B和侧棱SA、SC的 中点E、F作一截面，若这个截面与侧面SAC垂直，求此 三棱锥的侧面积与底面积之比．
• 本章内容由两大部分构成，前一部分主要 介绍了常见的多面体和旋转体的结构特征， 以对几何体的直观认识为主．后一部分在 学生丰富的直观形象基础上系统讨论了空 间点、线、面的位置关系，着重从理论上 研究线线、线面、面面的平行与垂直的位 置关系．从而发展空间想象能力．
• 画空间几何体的直观图与三视图主要依据 它们的概念及画法规则．
• 空间几何体的表面积和体积是立体几何中 的重要知识，与实际问题联系密切，求解 时，要熟练掌握几何的表面积和体积公式， 注意分割与补形的思想，并要把握住几何 体的特点，适当时候可借助轴截面或其他 平面图形处理几何体中的数量关系．
2018_2019学年度高中数学第一章空间几何体章末总结课件新人教A版必修2
5.若一个几何体的三视图都是一样的图形,则这个几何体一定是球.( × ) 6.正方形利用斜二测画法画出的直观图是菱形.( × )
7.圆台的侧面积公式是π (r+R)l,其中r和R分别是圆台的上、下底面半径,l
是其母线长.( √ )
主题串讲
一、空间几何体的结构特征
方法提炼·总结升华
【典例1】 根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称. (1) 由六个面围成 , 其中一个面是正五边形 , 其余各面是有公共顶点的三 角形;
解析:正四棱锥P-ABCD外接球的球心在它的高PO1上,记为O,OP=OA=R,
PO1=4,OO1=4-R, 或OO1=R-4(此时O在PO1的延长线上).
在Rt△AO1O中,R2=8+(R-4)2得R=3,
所以球的表面积S=36π. 答案:36π
规律方法 (1)与球有关的组合体,一种是内切,一种是外接,解题时要认
1 (6+8)× 17 =7 17 . 2
从而此正四棱台的侧面积是 28 17 .
【典例6】 一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的表面积为 m3.
错解:由三视图可以得到原几何体是一个圆柱与圆锥的组合体,其表面积是
2 2 S=2π×1×4+π×1 +π×2×2 2 +π×2
=8π+π+4 2 π+4π =(13π+4 2 π)(m3).
1 13 26 于是仓库的容积 V=V 柱+V 锥=a2·4h+ a2·h= a2h= (36h-h3), 3 3 3
0<h<6,从而 V′=
26 2 2 (36-3h )=26(12-h ). 3
7.圆台的侧面积公式是π (r+R)l,其中r和R分别是圆台的上、下底面半径,l
是其母线长.( √ )
主题串讲
一、空间几何体的结构特征
方法提炼·总结升华
【典例1】 根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称. (1) 由六个面围成 , 其中一个面是正五边形 , 其余各面是有公共顶点的三 角形;
解析:正四棱锥P-ABCD外接球的球心在它的高PO1上,记为O,OP=OA=R,
PO1=4,OO1=4-R, 或OO1=R-4(此时O在PO1的延长线上).
在Rt△AO1O中,R2=8+(R-4)2得R=3,
所以球的表面积S=36π. 答案:36π
规律方法 (1)与球有关的组合体,一种是内切,一种是外接,解题时要认
1 (6+8)× 17 =7 17 . 2
从而此正四棱台的侧面积是 28 17 .
【典例6】 一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的表面积为 m3.
错解:由三视图可以得到原几何体是一个圆柱与圆锥的组合体,其表面积是
2 2 S=2π×1×4+π×1 +π×2×2 2 +π×2
=8π+π+4 2 π+4π =(13π+4 2 π)(m3).
1 13 26 于是仓库的容积 V=V 柱+V 锥=a2·4h+ a2·h= a2h= (36h-h3), 3 3 3
0<h<6,从而 V′=
26 2 2 (36-3h )=26(12-h ). 3
2018版高中数学第一章空间几何体1.31.3.2球的体积和表
规律方法 1.已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和 体积. 2.已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径.
【训练1】在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的 球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是 ()
A．4π
B.92π
C．6π
D.323π
解析 由题意知，底面三角形的内切圆直径为 4.三棱柱的
1.直径为6的球的表面积和体积分别是( )
A.36π，144π C.144π，36π
B.36π，36π D.144π，144π
解析 球的半径为 3，表面积 S＝4π·32＝36π，体
积 V＝43π·33＝36 的( )
A.2倍
答案 1或7
类型三 球的组合体与三视图 【例3】 某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面 积和体积.
解 由三视图可知该几何体的下部是棱长为 2 的正方体，上部 是半径为 1 的半球，该几何体的表面积为 S＝12×4π ×12＋6×22－π ×12＝24＋π . 该几何体的体积为：V＝23＋12×43π ×13＝8＋2π3 .
规律方法 有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将 问题转化为平面中圆的有关问题解决.
【训练2】 已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为 6π和8π，则这两个截面间的距离为________. 解析 若两个平行截面在球心同侧，如图(1)，则两个截面间 的距离为 52－32－ 52－42＝1； 若两个平行截面在球心异侧，如图(2)，则两个截面间的距离 为 52－32＋ 52－42＝7.
高为 3，所以球的最大直径为 3，V 的最大值为92π.
答案 B
类型二 球的截面问题(互动探究)
【例 2】 平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1.球心 O
高中数学第一章 空间几何体章末复习提升课课件 新人教A版必修2
S＝2r·x＝2·2－x3·x＝－23x2＋4x(0<x<6)．
(2)S＝－23x2＋4x＝－23(x2－6x)＝－23(x－3)2＋6(0<x<6)， 所以当 x＝3 时，S 取最大值 6.
几何体的截面问题
一个平面与几何体相交所得到的几何图形(包括边界及内部)叫 做几何体的截面．常见的截面有对角面、轴截面、直截面、平行 于底面的截面以及其他具有某种特性的截面(如平行或垂直于棱、 规定角度的截面等等)．我们可以利用截面把立体几何中的元素 集中到平面图形中来，利用“降维”的思想，实现立体几何问题 向平面几何问题的转化．在解有关截面问题时要注意：(1)截面 的位置；(2)截面的形状及有关性质；(3)截面的元素及其相互关 系；(4)截面的有关数量．
几何体中的内外切接问题
根据几何体的内外切接关系，利用数形结合与转化化归思想， 使问题变成平面几何问题和代数问题．
一个圆锥的底面半径为 2，高为 6，在它的内部有一个高 为 x 的内接圆柱． (1)用 x 表示圆柱的轴截面面积 S； (2)当 x 为何值时，S 最大？ [解] 画出圆柱和圆锥的轴截面，如图所示． 设圆柱的底面半径为 r， 则由三角形相似可得x6＝2－2 r，解得 r＝2－x3. (1)圆柱的轴截面面积为
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1
第一章 空间几何体
章末复习提升课
空间几何体的三视图与直观图
三视图是立体几何中的基本内容，能根据三视图识别其所表示的 立体模型，并能根据三视图与直观图所提供的数据解决问题．
空间几何体的面积和体积 面积和体积的计算是本章的重点，熟记各种简单几何体的表面积 和体积公式是基础，复杂几何体常用割补法、等积法求解，具体 问题具体分析，灵活转化是解题策略．
(2)S＝－23x2＋4x＝－23(x2－6x)＝－23(x－3)2＋6(0<x<6)， 所以当 x＝3 时，S 取最大值 6.
几何体的截面问题
一个平面与几何体相交所得到的几何图形(包括边界及内部)叫 做几何体的截面．常见的截面有对角面、轴截面、直截面、平行 于底面的截面以及其他具有某种特性的截面(如平行或垂直于棱、 规定角度的截面等等)．我们可以利用截面把立体几何中的元素 集中到平面图形中来，利用“降维”的思想，实现立体几何问题 向平面几何问题的转化．在解有关截面问题时要注意：(1)截面 的位置；(2)截面的形状及有关性质；(3)截面的元素及其相互关 系；(4)截面的有关数量．
几何体中的内外切接问题
根据几何体的内外切接关系，利用数形结合与转化化归思想， 使问题变成平面几何问题和代数问题．
一个圆锥的底面半径为 2，高为 6，在它的内部有一个高 为 x 的内接圆柱． (1)用 x 表示圆柱的轴截面面积 S； (2)当 x 为何值时，S 最大？ [解] 画出圆柱和圆锥的轴截面，如图所示． 设圆柱的底面半径为 r， 则由三角形相似可得x6＝2－2 r，解得 r＝2－x3. (1)圆柱的轴截面面积为
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第一章 空间几何体
章末复习提升课
空间几何体的三视图与直观图
三视图是立体几何中的基本内容，能根据三视图识别其所表示的 立体模型，并能根据三视图与直观图所提供的数据解决问题．
空间几何体的面积和体积 面积和体积的计算是本章的重点，熟记各种简单几何体的表面积 和体积公式是基础，复杂几何体常用割补法、等积法求解，具体 问题具体分析，灵活转化是解题策略．
人教A版数学选择性必修第一册 第一章章末总结(课件PPT)
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2．利用空间向量证明平行、垂直位置关系 用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂 直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量， 利用向量的共线和垂直进行证明． 3．利用向量法计算距离 空间距离的计算思路 (1)点 P 到直线 l 的距离：已知直线 l 的单位方向向量为 u，A 是直线 l 上的定点，P 是直线 l 外一点，设向量A→P＝a，则点 P 到直线 l 的距离为 a2－a·u2(如图)．
第13页
新教材 •数学(RA) 选择性必修• 第一册
解：(1)∵2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5，5)， ∴|2a＋b|＝ 02＋－52＋52＝5 2. (2)设存在满足题意的点 E(x，y，z)，则有A→E∥A→B，且O→E·b＝0. ∵A→E＝(x＋3，y＋1，z－4)，A→B＝(1，－1，－2)，
第9页
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[典例 1] 如图所示，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c.M 是 C1D1 的中点，点 N 是 CA1 上的点，且 CN∶NA1＝4∶1.用 a，b，c 表示以下向量：
(1)A→M； →
(2)AN.
谢谢观看！
第31页
第15页
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[典例 2] 如图，四边形 ABCD 为正方形，PD⊥平面 ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝12PD ＝1.
(1)证明：平面 PQC⊥平面 DCQ； (2)证明：PC∥平面 BAQ.
第16页
新教材 •数学(RA) 选择性必修• 第一册
高中数学 第一章 空间几何体章末专题整合课件 新人教A版必修2
面积是( )
A．3( 2＋ 5＋3)
B．2 2＋9
3 2＋ 5 C. 2
3 D.
2＋ 2
5＋9
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7
解析：从三视图可以得到该几何体为四棱锥，设此四棱锥为 P－
ABCD，从正视图和侧视图可以看出该四棱锥的底面为正方形且边长
为 3，从侧视图可得该四棱锥的高为 1，作 PO⊥平面 ABCD，利用勾
股定理计算出各个侧面的斜高，分别为 2， 2， 5， 5，则 S△PAB＝
S△PAD＝12×3× 2＝3 2 2，S△PBC＝S△PCD＝12×3× 5＝3 2 5，又 SABCD＝9，
所以该四棱锥的表面积为：S 表＝3
2＋ 2
5＋9，故选 D.
答案：D
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8
【专题突破】 1.2014·四川高考一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的 直观图可以是( )
(2)给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆
柱的母线；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是
圆锥；
④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角
坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，
图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．
答案：(1)C (2)166a2
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6
热点三 空间几何体的表面积、体积 例 3 某四棱锥的三视图如图所示(单位：cm)，则该四棱锥的表
A．3( 2＋ 5＋3)
B．2 2＋9
3 2＋ 5 C. 2
3 D.
2＋ 2
5＋9
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7
解析：从三视图可以得到该几何体为四棱锥，设此四棱锥为 P－
ABCD，从正视图和侧视图可以看出该四棱锥的底面为正方形且边长
为 3，从侧视图可得该四棱锥的高为 1，作 PO⊥平面 ABCD，利用勾
股定理计算出各个侧面的斜高，分别为 2， 2， 5， 5，则 S△PAB＝
S△PAD＝12×3× 2＝3 2 2，S△PBC＝S△PCD＝12×3× 5＝3 2 5，又 SABCD＝9，
所以该四棱锥的表面积为：S 表＝3
2＋ 2
5＋9，故选 D.
答案：D
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8
【专题突破】 1.2014·四川高考一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的 直观图可以是( )
(2)给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆
柱的母线；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是
圆锥；
④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角
坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，
图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．
答案：(1)C (2)166a2
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6
热点三 空间几何体的表面积、体积 例 3 某四棱锥的三视图如图所示(单位：cm)，则该四棱锥的表
高中数学 第一章 空间几何体章末总结课件 新人教A版必修2
第二十二页，共28页。
(2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方 体的对角面得截面．如图(2)所示．有 2r2＝ 2a，r2＝ 22a，所 以 S2＝4πr22＝2πa2.
(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面 得截面．如图(3)所示．有 2r3＝ 3a，r3＝ 23a，所以 S3＝4πr23＝ 3πa2.综上，S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.
第二十四页，共28页。
如下图 1 所示，已知三棱柱 ABC－A′B′C′， 侧面 B′BCC′的面积是 S，点 A′到侧面 B′BCC′的距离是 a，求证：三棱柱 ABC－A′B′C′的体积 V＝12Sa.
第二十五页，共28页。
[分析] 本题有两种证法，即利用(lìyòng)“分割”和“补 形”来解决．
[证法 1] 如图 2 所示，连接 A′B，A′C，这样就把三棱 柱分割成了两个棱锥．
设所求体积为 V，显然三棱锥 A′－ABC 的体积是13V， 而四棱锥 A′－BCC′B′的体积为13Sa， 故有13V＋13Sa＝V， 所以 V＝12Sa.
第二十六页，共28页。
[证法 2] 如右图所示，将三棱柱 ABC － A′B′C′ 补 成 一 个 四 棱 柱 ABDC－A′B′D′C′，
第二十八页，共28页。
第七页，共28页。
专题突破
第八页，共28页。
专题一 几何体的三视图和直观图 空间几何体的三视图、直观图以及两者之间的转化是本章 的难点，也是重点．解题需要依据它们的概念及画法规则，同 时还要注意空间想象能力的运用． 三视图和直观图是空间几何体的两种不同的表现形式．这 两种不同的表现形式能够帮助我们从不同侧面、不同角度认识 几何体的结构特征，进而研究几何体的有关(yǒuguān)性质．三 视图和直观图联系密切，由空间几何体的直观图可以画出它的 三视图，同样由空间几何体的三视图可以想象并画出这个几何 体的直观图．
(2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方 体的对角面得截面．如图(2)所示．有 2r2＝ 2a，r2＝ 22a，所 以 S2＝4πr22＝2πa2.
(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面 得截面．如图(3)所示．有 2r3＝ 3a，r3＝ 23a，所以 S3＝4πr23＝ 3πa2.综上，S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.
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如下图 1 所示，已知三棱柱 ABC－A′B′C′， 侧面 B′BCC′的面积是 S，点 A′到侧面 B′BCC′的距离是 a，求证：三棱柱 ABC－A′B′C′的体积 V＝12Sa.
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[分析] 本题有两种证法，即利用(lìyòng)“分割”和“补 形”来解决．
[证法 1] 如图 2 所示，连接 A′B，A′C，这样就把三棱 柱分割成了两个棱锥．
设所求体积为 V，显然三棱锥 A′－ABC 的体积是13V， 而四棱锥 A′－BCC′B′的体积为13Sa， 故有13V＋13Sa＝V， 所以 V＝12Sa.
第二十六页，共28页。
[证法 2] 如右图所示，将三棱柱 ABC － A′B′C′ 补 成 一 个 四 棱 柱 ABDC－A′B′D′C′，
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第七页，共28页。
专题突破
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专题一 几何体的三视图和直观图 空间几何体的三视图、直观图以及两者之间的转化是本章 的难点，也是重点．解题需要依据它们的概念及画法规则，同 时还要注意空间想象能力的运用． 三视图和直观图是空间几何体的两种不同的表现形式．这 两种不同的表现形式能够帮助我们从不同侧面、不同角度认识 几何体的结构特征，进而研究几何体的有关(yǒuguān)性质．三 视图和直观图联系密切，由空间几何体的直观图可以画出它的 三视图，同样由空间几何体的三视图可以想象并画出这个几何 体的直观图．
高中数学第一章空间几何体章末总结课件新人教A版必修2
第六页，共16页。
(2)(2015山西忻州高二期中)如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个
底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面(píngmiàn)图形的面积
是
.
第七页，共16页。
第八页，共16页。
规律方法 (1)由三视图还原几何体时,要根据几何体的正视图、侧视图、俯 视图的几何特征,想象(xiǎngxiàng)整个几何体的特征,从而判断三视图所描述 的几何体. (2)有关直观图的计算问题,关键是把握直观图与原图形的联系.
第九页，共16页。
第十页，共16页。
第十一页，共16页。
第十二页，共16页。
第十三页，共16页。
规律方法 由几何体的三视图求几何体的体积、表面积问题,一般情况下先确定 几何体的结构特征,再由三视图中的数据(shùjù)确定几何体中的相关数据 (shùjù),代入公式求解即可.
第十四页，共16页。
章末总结(zǒngjié)
第一页，共16页。
网络(wǎngluò)建 构
主题(zhǔtí)串讲
第二页，共16页。
网络 (wǎngluò)建 构
网络点拨 1.一个思路:空间问题平面化 2.一种思想:转化与化归思想 3.两个图形(túxíng):三视图与直观图 4.两种题型:表面积与体积 5.两种方法:侧面展开与割补
第三页，共16页。
主题(zhǔtí) 串讲
一、空间几何体的结构特征 【典例1】 根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称. (1)由六个面围成,其中一个面是正五边形,其余(qíyú)各面是有公共顶点的三角 形; (2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所 围成的图形; (3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体.
(2)(2015山西忻州高二期中)如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个
底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面(píngmiàn)图形的面积
是
.
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规律方法 (1)由三视图还原几何体时,要根据几何体的正视图、侧视图、俯 视图的几何特征,想象(xiǎngxiàng)整个几何体的特征,从而判断三视图所描述 的几何体. (2)有关直观图的计算问题,关键是把握直观图与原图形的联系.
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规律方法 由几何体的三视图求几何体的体积、表面积问题,一般情况下先确定 几何体的结构特征,再由三视图中的数据(shùjù)确定几何体中的相关数据 (shùjù),代入公式求解即可.
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章末总结(zǒngjié)
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网络(wǎngluò)建 构
主题(zhǔtí)串讲
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网络 (wǎngluò)建 构
网络点拨 1.一个思路:空间问题平面化 2.一种思想:转化与化归思想 3.两个图形(túxíng):三视图与直观图 4.两种题型:表面积与体积 5.两种方法:侧面展开与割补
第三页，共16页。
主题(zhǔtí) 串讲
一、空间几何体的结构特征 【典例1】 根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称. (1)由六个面围成,其中一个面是正五边形,其余(qíyú)各面是有公共顶点的三角 形; (2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所 围成的图形; (3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体.
高中数学第1章空间几何体章末综合提升课件新人教A版必修
题
识
型
整
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不
探
合
好哦~
究
· ·
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18
[跟进训练] 2．如图所示，已知三棱柱 ABC-A′B′C′，侧面 B′BCC′的面积是 S， 点 A′到侧面 B′BCC′的距离是 a，求三棱柱 ABC-A′B′C′的体积．
19
[解] 连接 A′B，A′C，如图所示，这样就把三棱柱分割成了两 个棱锥．
14
(1)D
1 (2)3
[(1)∵在梯形 ABCD 中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC
＝2AD＝2AB＝2，∴将梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而形成的
曲面所围成的几何体是一个底面半径为 AB＝1，高为 BC＝2 的圆柱减
去一个底面半径为 AB＝1，高为 BC－AD＝2－1＝1 的圆锥的组合体，
C．841π
D．16π
(2)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果这
个球的体积是332π，那么这个三棱柱的体积是( )
A．96 3 B．16 3 C．24 3 D．48 3
21
(1)B (2)D [(1)如图，设 PE 为正四棱锥 P-ABCD 的高，则正四 棱锥 P-ABCD 的外接球的球心 O 必在其高 PE 所在的直线上，延长 PE 交球面于一点 F，连接 AE，AF.
体；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③侧棱垂直于底面两条边的
平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六
面体. 其中真命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( )
高中数学 第一章空间几何体期末知识梳理 新人教A版必修2
1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''E D C B A P -几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台'''''E D C B A P -几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
高中数学第一章空间几何体章末复习课件aa高一数学课件
类型一 几何体的结构特征 例1 下列说法正确的是__①___.(填序号) ①棱柱的侧棱长都相等； ②棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面； ③夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体； ④棱台的侧面是等腰梯形. 解析 ②不正确，例如六棱柱的相对侧面； ③不正确，如图； ④不正确，侧棱长可能不相等.
旋 所围成的旋转
转12/13/2021
1
3 1
S侧＝πrl，r 3
为底面半 V＝1 Sh＝
径，h为高， π3rS上2hS下
l为母线
13π(r21＋r22
以半圆的直径
半
_圆_面_________ 旋 所在直线为旋
转 球 转轴，___
体 _____旋转一
周形成的旋转
12/13/2021
4 3
S球面＝4πR2，V＝ R为球的半
第一章 空间几何体
章末复习
12/13/2021
学习目标
1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识. 2.能熟练画出几何体的直观图或三视图，能熟练地计算空间几何体的 表面积和体积，体会通过展开图、截面图化空间为平面的方法.
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内容 达标检测
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跟踪训练3 如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1， 且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为
√A. 123
C. 126
3 B. 4
D.
6 4
V V V V 解析
三 棱 锥 B 1 － A B C 1 三 棱 柱 A B C － A 1 B 1 C 1 三 棱 锥 A － A 1 B 1 C 1 三 棱 锥 C 1 － A B C
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B′B＝ ＝
OO′2＋ OB－ O′B′2
172＋ 8 2－ 2 2 2＝ 19(cm)．
在直角梯形 O′OEE′中， EE′＝ OO′2＋ OE－ O′E′2 ＝ 172＋ 8－ 22＝ 5 13(cm)．
1．一个圆台的母线长为 12 cm，两底面面积分别为 4π cm2 和 25π cm2. 求： (1)圆台的高； (2)截得此圆台的圆锥的母线长．
答案：B
专题三 空间几何体表面积与体积计算 1．等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可作底面来处 理，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解． 2．割补法：像求平面图形的面积一样，割补法是求几何体的体积的一 个重要方法，“割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体或它 们的组合体；“补”就是通过补形，使它转化为熟悉的几何体．总之， 割补法的核心思想是将不熟悉的几何棱或母线展开成平面图形，这样便 把空间问题转化为平面问题，可以有效地解决简单空间几何体的表面积 问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题． 4．构造法：对于某些几何体性质的探究较困难时，我们可以将它放置 在我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称性比较好的几何体，以此 来研究所求几何体的性质．
则由 AB＝ 1， AC＝ 3，得 AO1＝ 3r， CO2＝ 3R，
∴ r＋ R＋ 3(r＋ R)＝ 3，∴ R＋ r＝
3－ 3 3 ＝ . 2 3＋ 1
专题二
三视图与直观图
三视图和直观图是空间几何体的两种不同的表现形式．这两种不同 的表现形式能够帮助我们从不同侧面、不同角度认识几何体的结构特 征，进而研究几何体的有关性质．三视图和直观图联系密切，由空间几 何体的直观图可以画出它的三视图，同样由空间几何体的三视图可以想 象并画出这个几何体的直观图．
解析：(1)如图所示，设圆台的轴截面是等腰梯形 ABCD，作 AM⊥ BC 于 M，延长 BA， CD 交于 S.由已知得上底面半径 O1A＝ 2 cm，下底面 半径 OB＝ 5 cm，且腰长 AB＝ 12 cm，
∴圆台的高 AM＝ 122－ 5－ 22 ＝ 3 15(cm)．
l－ 12 (2)设截得此圆台的圆锥的母线长为 l cm， 则由△ SAO1∽△SBO， 得 l 2 ＝ ， 5 解得 l＝ 20. 即截得此圆台的圆锥的母线长为 20 cm.
将正方体如图(1)所示截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何 体，则该几何体的侧视图为( )
[ 解析 ] 还原正方体后，将 D1， D， A 三点分别向正方体右侧面作垂 线．D1A 的射影为 C1B，且为实线， B1C 被遮挡应为虚线．
[答案] B
3．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图和俯视图均为全等的等腰 直角三角形，如果等腰直角三角形的直角边长为 1，那么这个几何体的 体积为( )
[解析] 设棱台两底面的中心分别是 O′和 O，B′C′、BC 的中点分 别是 E′ 、 E.连接 O′O、 E′E、 O′B′ 、 OB、 O′E′ 、 OE，则 OBB′O′、 OEE′O′都是直角梯形． 在正方形 ABCD 中， BC＝ 16 cm，则 OB＝ 8 2 cm， OE＝ 8 cm.在正方 形 A′B′C′D′中， B′C′＝ 4 cm， 则 O′B′＝ 2 2 cm， O′E′＝ 2 cm. 在直角梯形 O′OBB′中，
2．在棱长为 1 的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切，求 两球半径之和．
解：此题的关键在于作截面．球不可能与边 AB、CD 相切，一个球在正 方体内，一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对 角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图所示的截面图．球心 O1 和 O2 在 AC 上，过 O1、 O2 分别作 AD、 BC 的垂线交于 E、F 两点．设小 球半径为 r，大球半径为 R.
如图所示，已知三棱柱 ABCA′ B′C′，侧 面 B′ BCC′的面积是 S， 点 A′到侧面 B′BCC′的 1 距离是 a， 求证： 三棱柱 ABCA′ B′ C′的体积 V＝ 2 Sa.
[证明]
证法一 连接 A′B， A′C，如图所示，这样就把三棱柱分割
成了两个棱锥．
1 设所求体积为 V，显然三棱锥 A′ABC 的体积是 V， 3 1 而四棱锥 A′BCC′B′的体积为 Sa， 3 1 1 1 故有 V＋ Sa＝ V，即 V＝ Sa. 3 3 2
A.
1 6
1 B. 3
1 C. 2
D．1
解析：由这个几何体的三视图可知，这个几何体是一个三棱锥，其底面 1 是直角边长为 1 的等腰直角三角形， 其高是 1， 故这个几何体的体积为 3 1 1 × ×1×1×1＝ . 2 6
答案：A
4．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( A．1 B． 2 C. 3 D．2
)
解析：四棱锥的直观图如图所示：
由三视图可知， SC⊥平面 ABCD， SA 是四棱锥最长的棱， SA＝ SC2＋ AC2＝ SC2＋ AB2＋ BC2＝ 3.
答案：C
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( A．8＋ 2 2 C．14＋2 2 B．11＋2 2 D．15
)
解析：由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底 面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为 12＋ 12＝ 2，所以底面周长为 4＋ 2，侧面积为 2×(4＋ 2)＝ 8＋ 1 2 2，两底面的面积和为 2× ×1× (1＋ 2)＝ 3，所以该几 2 何体的表面积为 8＋ 2 2＋ 3＝11＋ 2 2.
章末优化总结
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专题 归纳整合
章末检测
专题一
空间几何体的结构特征
每一种简单几何体都有区别于其他几何体的特征， 这一结构特征是 区分几何体的标准，我们尤其要注意特殊几何体的特征，如正棱锥、正 棱台等，并且要注意几何体分类和包含关系，因为这种包含关系体现了 相近几何体的区别与联系．
如图所示，正四棱台 AC′的高是 17 cm，两底面的边长分别是 4 cm 和 16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高．