中国大学生2011年第三届数学竞赛预赛(非数学类)

1( 2
f
(1)
f
(2 ))
3.
3
………………………15 分
华而知考研：中国大学生２００１９１年第一三届数学竞赛预赛（非数学类）
四、（15 分）在平面上, 有一条从点 (a,0) 向右的射线,线密度为 . 在点 (0, h) 处（其中 h > 0）有一质
量为 m 的质点. 求射线对该质点的引力.
证： x2 z y2 z 0 x y
和
x3
2z x2
xy( x
y)
2z xy
y3
2z y2
0
解：对方程两边求导， ( z x
1 x2
)F1
z x
F2
0 ， z y
F1
( z y
1 y2
)F2
0.
……5 分
由此解得， z
1
, z
1
x x2 (F1 F2 ) y y2 (F1 F2 )
所以， x2 z y2 z 0 x y
n n
………………………………………12 分
从而 lim a(n1) pi lim
n
a(n1) pi
n (n 1) p i n (n 1) p i n
p
m `, n, p, i ` ， (0 i p 1) ，使得 m np i ，且当 m 时， n .
所以， lim am . m m p
由
lim
n
(an
p
an
)
，知
lim
n
A(i) n
，从而 lim n
A( i ) 1
A( i ) 2
"
A( i ) n
n
.
而
A(i) 1
A(i ) 2
"
A(i) n
a(n1) pi
a
pi
.所以，
lim
n
a( n 1)
pi
n
api
.
由 lim api 0 .知 lim a(n1) pi .
n n
2n
n1
x
0
S (t )dt
n1
x 0
2n 2n
1
t
2
n2
dt
n1
x 2 n 1 2n
x 2
n1
x2 2
n1
x 2 x2
.
…………………2 分
于是， S (x)
x 2 x2
2 x2 (2 x2)2
，
x (
2,
2) .
…………………………4 分
n1
2n 1 22n1
Gm d (x2 ) 2 a (h2 x2 )3/2
Gm(h2
x2 )1/ 2
a
Gm h2 a2
……10 分
而 dF
在竖直方向的分量为 dFy
Gm hdx (h2 x2 )3 2
,
故
Fy
Gmhdx a (h2 x2 )3/
2
/2 arctan a
Gmh2 sec2 h3 sec3 t
…………………2 分
当它们不全为零时, 可知：原点到平面 ax by cz d 0 的距离是
|d |
.
a2 b2 c2
…………………………5 分
设平面 Pu : u
ax by cz a2 b2 c2
，其中 u 固定.
则
|u |
是原点到平面 Pu 的距离，从而
1 u 1.
…………………………8 分
六、（15 分）设函数 f (x) 连续， a, b, c 为常数， 是单位球面 x 2 y 2 z 2 1. 记第一型曲面积分
1
I f (ax by cz)dS . 求证： I 2 f ( a 2 b2 c 2 u)du
1
解：由 的面积为 4 可见：当 a, b, c 都为零时，等式成立.
1 22
sin
2n2
1
sin 2n
=
sin
2n
sin
2n
这时,
lim
n
an
lim
n
sin
2n
sin
2n
sin
.
………………………4 分 ………………………6 分
1
华而知考研：中国大学生２００１９１年第一三届数学竞赛预赛（非数学类）
3. 求 sgn(xy 1)dxdy ，其中 D {(x, y) | 0 x 2, 0 y 2} D
………………………10 分
由于 f (x)在闭区间[1,1] 上连续，因此 f (x) 在闭区间[2 ,1 ]上有最大值 M 最小值 m，从而
m
1( 2
f
(1)
f
(2 ))
M
…………………………………13 分
再由连续函数的介值定理，至少存在一点 x0 [2 ,1 ] (1,1) ，使得
f
(x0 )
ln(1
x))
=
2 ln(1 x)
ex
e2 (1
ln(1
x))
,
x
x
lim e2 ln(1 x) e2 ,
x0
x
………………………………………………3 分
2 ln(1 x)
lim e x
e2
2 ln(1 x)2
e2 lim e x
1
e2 lim
2 ln(1 x) 2 x
x0
x
x0
x
x0
lim an . n n p
证明：1.
由
lim
n
an
a ， M
0 使得| an
|
M
，且
0, N1 ` ，当 n > N1
时，
|
an
a
|
2
.
因为 N2
N1 ，当 n > N2
时，
N1(M | a |) n
. 2
……………………………………4 分
于是， a1 " an a N1(M | a |) (n N1) ,
D
D3
D2 D3
……………………………2 分 ………………………4 分 ………………………6 分
4.
求幂级数 2n 1x2n2 的和函数，并求级数
2n
n 1
n 1
2nn2 ，则其的定义区间为 ( 2, 2) . x ( 2, 2) ，
华而知考研：中国大学生２００１９１年第一三届数学竞赛预赛（非数学类）
第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷
参考答案及评分标准
（非数学类，2011）
一、（本题共 4 小题，每题 6 分，共 24 分）计算题
2
1. lim (1 x) x e2 (1 ln(1 x)) .
x0
x
解：因为
(1
2
x) x
e2
(1
两平面 Pu 和 Pudu 截单位球 的截下的部分上, 被积函数取值为
f a2 b2 c2 u .
…………………………10 分
这部分摊开可以看成一个细长条. 这个细长条的长是 2 1 u 2 ，宽是 du ，它的面积是 2du ，故 1u2
我们得证.
…………………………15 分
5
…………………………………………………………16 分
三、（15 分）设函数 f (x)在闭区间[1,1] 上具有连续的三阶导数，且 f (1) 0 ， f (1) 1， f (0) 0 .
求证：在开区间 (1,1) 内至少存在一点 x0 ，使得 f ( x0 ) 3
证. 由马克劳林公式，得
f (x) f (0) 1 f (0)x2 1 f ( )x3 ， 介于 0 与 x 之间， x 1, 1 …3 分
n1
2n 1 2n
1 2
2n2
S
1 2
10 9
.
………………………………6 分
二、（本题
2
两问，每问
8
分，共
16
分）设
{an
} n0
为数列，
a,
为有限数，求证：
1.
如果
lim
n
an
a ，则 lim a1 a2 " an
n
n
a;
2. 如果存在正整数 p，使得 lnim(an p an ) ，则
解：设
D1
{(x,
y)
|
0
x
1 2
,0
y
2}
D2
{( x,
y)
|
1 2
x
2, 0
y
1} x
D3
{(x,
y) |
1 2
x
2,
1 x
y
2} .
dxdy 1 2 dx 1 2 ln 2 ， dxdy 3 2 ln 2 .
D1 D2
1x
D3
2
sgn(xy 1)dxdy dxdy dxdy 2 4 ln 2 .
…………………………10 分
将上式再求导， x2 2 z y2 2 z 2x z ， x2 2 z y2 2 z 2 y z
x2
yx
x
xy y2
y
相加得到，
x3
2z x2
xy(x
y)
2z xy
y3
2z y2
0
4
…………………………15 分
华而知考研：中国大学生２００１９１年第一三届数学竞赛预赛（非数学类）
n
n 2 n2
2
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