历届全国大学生数学竞赛预赛试卷

全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分）

1．

计算()ln(1)

d y

x y x y ++=⎰⎰，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.

2．设)(x f 是连续函数，且满足22

()3()d 2f x x f x x =--⎰

，则()f x =.

3．曲面2

222

x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.

4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且

1≠'f ，则=22d d x

y

.

二、（5分）求极限x e

nx x x x n

e e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x

f 连续，10()()

g x f xt dt =⎰，且A x x f x =→)

(lim 0，A 为常数，求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.

四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：

（1）⎰⎰-=---L

x y L

x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；

（2）2sin sin 2

5d d π⎰≥--L

y y x ye y xe .

五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3

1.试确定

c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n n u x u x x e n -'=+=L ，且n

e u n =)1(，求

函数项级数∑∞

=1

)(n n x u 之和.

八、（10分）求-

→1x 时，与∑∞

=0

2

n n x 等价的无穷大量.

2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、（25分，每小题5分）

（1）设2

2(1)(1)(1)n

n x a a a =+++L ，其中||1,a <求lim .n n x →∞

（2）求2

1lim 1x x x e x -→∞

⎛⎫

+ ⎪⎝

⎭

. （3）设0s >，求0(1,2,)sx n n I e x dx n ∞

-==⎰L .

（4）设函数

()f t 有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ⎛⎫

== ⎪⎝⎭

，求

2222g g

x y

∂∂+∂∂. （5）求直线10

:0

x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213:421x y z l ---==--的距离.

二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且()0f x ''>，

lim ()0x f x α→+∞

'=>，

lim ()0x f x β→-∞

'=<，且存在一点0x ，使得0()0f x <. 证明：方程()0f x =在

(,)-∞+∞恰有两个实根.

三、（15

分）设函数()y f x =由参数方程2

2(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨

=⎩

所确定，且22d 3

d 4(1)

y x t =+， 其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=与2

2

13

2t u y e du e

-=+

⎰在1t =出相切，求函数()t ψ.

四、（15分）设1

0,n

n n k k a S a =>=∑，证明：

（1）当1α>时，级数1n

n n

a S α+∞

=∑

收敛；

（2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1n n n

a S α+∞

=∑

发散.

五、（15分）设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，（其中2221)αβγ++=的直线，均匀椭球

222

222

1x y z a b c ++≤（其中0c b a <<<，密度为1）绕l 旋转.

（1）求其转动惯量；

（2）求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值. 六、(15分)设函数()x ϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分42

2d ()d 0L

xy x x y

x y ϕ+=+⎰Ñ的值为常数.

（1）设L 为正向闭曲线22(2)1x y -+=，证明42

2d ()d 0L xy x x y

x y

ϕ+=+⎰Ñ； （2）求函数()x ϕ；

（3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求42

2d ()d C xy x x y

x y ϕ++⎰Ñ.