26.2圆心角(2)
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F G
∴OA⊥CD，OB⊥EF OA⊥CD，
②
∴△AFM≌△BGN（SAS） AFM≌△BGN（SAS） ∴OF=OG ∴DC=EF
Ｏ
Ｐ Ｄ
Ｃ
⑷若⊙O的半径为r,求等边ABC三角形的边长？ 的半径为r,求等边ABC三角形的边长？ r,求等边ABC三角形的边长 ⑸若等边三角形ABC的边长r,求⊙O的半径为多少？ 若等边三角形ABC的边长r,求 ABC的边长r, 的半径为多少？ 当r 时求圆的半径? = 2 3时求圆的半径?
解（3）四边形BDCO是菱形，理由如下： 四边形BDCO是菱形，理由如下： BDCO是菱形 ∵AB=BC=CA ∴∠AOB=∠BOC=∠COA=1200 同理： 同理：∠COD=600 Ａ
A C
F
E
•O D
B
例1、如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC． 如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC． ABC内接于 连结OA,OB,OC COB、 AOC分别为多少度 分别为多少度？ ⑴ ∠AOB 、∠COB、 ∠AOC分别为多少度？ Ａ ⑵延长AO，分别交BC于点P，BC于 延长AO，分别交BC于点P BC于 AO BC于点 点D,连结BD,CD.判断三角形ＯＢＤ D,连结BD,CD.判断三角形ＯＢＤ 连结BD,CD.判断三角形 是哪一种特殊三角形？ 是哪一种特殊三角形？ ⑶判断四边形BDCO是哪一种特殊四 Ｂ 判断四边形BDCO是哪一种特殊四 BDCO 边形，并说明理由。 边形，并说明理由。
分析： 联想到“角平分线的性质”，作弦心距OM、ON， 分析： 联想到“角平分线的性质” OM、 要证AB=CD ，只需证OM=ON 要证AB=CD 只需证OM=ON
证明: 垂足分别为M 证明 作OM ⊥ AB , ON ⊥ CD , 垂足分别为 、 N 。
Q ∠MPO = ∠NPO OM ⊥ AB ON ⊥ CD
条件
在同圆或等圆中 如果圆心角相等
结论
圆心角所对的弧相等
那么
圆心角所对的弦相等 圆心角所对的弦的弦心距相等
请说出定理的逆命题
1.逆命题 在同圆或等圆中， 1.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弧所对 的圆心角相等，所对的弦相等， 的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦的 弦心距相等。 弦心距相等。 2.逆命题 在同圆或等圆中， 2.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弦所对 的圆心角相等，所对的弧相等， 的圆心角相等，所对的弧相等，弦的弦心距 相等。 相等。 3.逆命题 在同圆或等圆中， 3.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弦心距 对应弦相等,弦所对的圆心角相等， 对应弦相等,弦所对的圆心角相等，所对的弧 相等。 相等。
(2)如果 ＝OF，那么 如果OE＝ ， 如果 ( ),( ),( );
(3)如果 ＝CD，那么 如果AB＝ ， 如果
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、
两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等， 有一组量相等 两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量都分别相等。 所对应的其余各组量都分别相等。
（3）圆心角相等，所对的弦相等。( ）圆心角相等，所对的弦相等。
练一练
2、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、 已知：如图，AB、CD是 的两条弦，OE、OF为AB、 CD的弦心距 根据定理及推论填空： 的弦心距， CD的弦心距，根据定理及推论填空：
⌒ ⌒ 如果AB=CD 那么_______,_______,_______。 AB=CD， _______,_______,_______。 （1）如果AB=CD，那么∠AOB=∠COD OE=OF AB=CD _______,_______,_______ ⌒ ⌒ _______,________,________。 （2）如果OE=OF，那么_______,________,________。 如果OE=OF，那么∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD OE=OF _______,________,________ ⌒ ∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF （3）如果AB=CD，那么_______,________,_______。 如果AB=CD，那么_______,________,_______。 AB=CD _______,________,_______
解：如图，所得的四边形是矩形，理由如下： 如图，所得的四边形是矩形，理由如下： ∵AC，BD是 ∵AC，BD是⊙O的直径 ∴AO=OC=OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形 四边形ABCD是平行四边形 ABCD 又∵AC=BD ∴四边形ABCD是矩形 四边形ABCD是矩形 ABCD 当AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形 AC⊥BD时 四边形ABCD是正方形 ABCD ∵AC=BD=30cm ∴AO=BO=15cm
2 2 2 2
答：等边三角形ABC的边长为 等边三角形ABC的边长为 ABC
3r
做一做
3、 如图，已知点 是∠EPF 的平分线上一点，P点在 、 如图，已知点O是 的平分线上一点， 点在 圆外， 的两边分别相交于A 圆外，以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于 、 为圆心的圆与 B和C、D。 求证：AB=CD 和 。 求证：
Ｂ Ｄ M Ｃ N • O B D A C
· Ｏ
Ａ
2、如图M、N为AB、CD的中点,且AB=CD. 如图M AB、CD的中点, 的中点 求证： AMN＝ 求证：∠AMN＝∠CNM
这节课我们主要学习了哪些内容
拓展提高
如图，A、B分别为CD和⌒ 的中点，AB分别交CD、EF于点 如图， 分别为⌒ EF的中点，AB分别交CD、EF于点 CD和EF的中点 CD 分别交CD M、N，且AM=BN。求证：CD=EF AM=BN。求证：
证明：连结OA、OB，设分别与CD、EF交于点F 证明：连结OA、OB，设分别与CD、EF交于点F、G OA CD 交于点 ∵A为CD中点， ∵A为CD中点，B为EF中点 中点 EF中点 故∠AFC=∠BGE=90°① AFC=∠BGE=90°① 又由OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA 又由OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA OA=OB 且AM=BN ③ ∴AF=BG
（4）如果∠AOB=∠COD， 如果∠AOB=∠COD，
⌒ ⌒ OE=OF AB=CD AB=CD 那么____ __。 那么____ __,___ __,___ __。
已知AB和CD是 已知AB和CD是⊙O的两条弦，OE和OF分别是AB和CD的弦 AB 的两条弦，OE和OF分别是AB和CD的弦 分别是AB 心距，如果AB＞CD,那么那么OE和OF有什么关系？为什么？ AB 那么OE 有什么关系
圆的轴对称性 （圆是轴对称图形） 圆是轴对称图形）
垂径定理 及其推论
圆的对称性
圆的中心对称性 （旋转不变性） 旋转不变性） 圆心角定理
圆心角定理：在同圆和等圆中， 圆心角定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所
对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
已知：如图，AB、CD是 的两条弦，OE、OF为AB、 已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、 CD的弦心距 CD的弦心距
A C （1）如果AB=CD，那么 ）如果 ， ( F E •O B D ( ),( ),( ); (4)如果∠AOB＝∠COD,那么 如果∠ 如果 ＝ 那么 ( ),( ),( ). ),( ),( );
∴∠BOD=1800-∠AOB=600 又∵OB=OD 同理： 同理：OC=CD ∴OB=OD=BD
∴OB=OC=BD=CD Ｂ
Ｏ
Ｐ Ｄ
∴四边形BDCO是菱形 四边形BDCO是菱形 BDCO
Ｃ
（4）由菱形的性质，可得OP=1/2OD=1/2r 由菱形的性质，
3 r ∴BP= OB −OP = r −(0.5r) = 2 ∴BC=2BP= 3r
AB=CD
B OM=ON P C N A M
E
.
O D
F
变式练习： 变式练习：
如图， 点在圆上， 如图，P点在圆上，PB=PD吗？
P点在圆内，AB=CD吗？ 点在圆内，
B M P N E B C P A D F M N D F E
.
O
.
O
例2、如图, AB、CD是⊙O的两条直径。 的两条直径。 如图, AB、CD是 (1)顺次连结点 (1)顺次连结点A、C、B、D，所得的四边形是什么特 顺次连结点A 殊四边形？为什么？ 殊四边形？为什么？ (2)若直径为10cm， (2)若直径为10cm，∠AOB=1200，求四边形ACBD的周长 若直径为10cm 求四边形ACBD ACBD的周长 和面积。 和面积。 (3)四边形ACBD有可能为正方形吗 若有可能, AB、 四边形ACBD有可能为正方形吗？ (3)四边形ACBD有可能为正方形吗？若有可能,当AB、CD 有何位置关系时，四边形ACBD为正方形？为什么？ 有何位置关系时，四边形ACBD为正方形？为什么？ ACBD为正方形
练一练
1、判断： 、判断： （1）等弦所对的弧相等。 ）等弦所对的弧相等。 （2）等弧所对的弦相等。 ）等弧所对的弦相等。 （× ） （√ ）
×） （4）弦相等，所对的圆心角相等。（×） ）弦相等，所对的圆心角相等。（ 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等（ （5）在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等（ × ）
Ａ Ｃ
Ｏ
Ｄ Ｂ
（4）如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截 如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截 30cm 面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？ 面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？ 最大横截面面积是多少？ 最大横截面面积是多少？ （5）如果这根原木长15m，问锯出地木材地体积为 如果这根原木长15m 15m， 多少立方米（树皮等损耗略去不计）？ 多少立方米（树皮等损耗略去不计）？
在同圆或等圆中 如果弧相等 弧所对的圆心角相等 那么 弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等 弦所对的圆心角相等 在同圆或等圆中 如果弦相等 在同圆或等圆中 如果弦心距相等 那么 弦所对的弧（指劣弧） 弦所对的弧（指劣弧）相等 弦的弦心距相等 弦心距所对应的圆心角相等 那么 弦心距所对应的弧相等 弦心距所对应的弦相等
D O A
C
B
4=450（ =4.5× ∴S正方形ABCD=15×15÷2×4=450（cm2）=4.5×10-2（m2） 正方形ABCD=15×15÷ ∴V=4.5× 15=0.675（ ∴V=4.5×10-2×15=0.675（m3）
练一练
1、已知：如图，在⊙Ｏ中，弦ＡＢ＝ＣＤ． 已知：如图， 求证：ＡＤ＝ＢＣ 求证：ＡＤ＝ＢＣ
∴OA⊥CD，OB⊥EF OA⊥CD，
②
∴△AFM≌△BGN（SAS） AFM≌△BGN（SAS） ∴OF=OG ∴DC=EF
Ｏ
Ｐ Ｄ
Ｃ
⑷若⊙O的半径为r,求等边ABC三角形的边长？ 的半径为r,求等边ABC三角形的边长？ r,求等边ABC三角形的边长 ⑸若等边三角形ABC的边长r,求⊙O的半径为多少？ 若等边三角形ABC的边长r,求 ABC的边长r, 的半径为多少？ 当r 时求圆的半径? = 2 3时求圆的半径?
解（3）四边形BDCO是菱形，理由如下： 四边形BDCO是菱形，理由如下： BDCO是菱形 ∵AB=BC=CA ∴∠AOB=∠BOC=∠COA=1200 同理： 同理：∠COD=600 Ａ
A C
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•O D
B
例1、如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC． 如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC． ABC内接于 连结OA,OB,OC COB、 AOC分别为多少度 分别为多少度？ ⑴ ∠AOB 、∠COB、 ∠AOC分别为多少度？ Ａ ⑵延长AO，分别交BC于点P，BC于 延长AO，分别交BC于点P BC于 AO BC于点 点D,连结BD,CD.判断三角形ＯＢＤ D,连结BD,CD.判断三角形ＯＢＤ 连结BD,CD.判断三角形 是哪一种特殊三角形？ 是哪一种特殊三角形？ ⑶判断四边形BDCO是哪一种特殊四 Ｂ 判断四边形BDCO是哪一种特殊四 BDCO 边形，并说明理由。 边形，并说明理由。
分析： 联想到“角平分线的性质”，作弦心距OM、ON， 分析： 联想到“角平分线的性质” OM、 要证AB=CD ，只需证OM=ON 要证AB=CD 只需证OM=ON
证明: 垂足分别为M 证明 作OM ⊥ AB , ON ⊥ CD , 垂足分别为 、 N 。
Q ∠MPO = ∠NPO OM ⊥ AB ON ⊥ CD
条件
在同圆或等圆中 如果圆心角相等
结论
圆心角所对的弧相等
那么
圆心角所对的弦相等 圆心角所对的弦的弦心距相等
请说出定理的逆命题
1.逆命题 在同圆或等圆中， 1.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弧所对 的圆心角相等，所对的弦相等， 的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦的 弦心距相等。 弦心距相等。 2.逆命题 在同圆或等圆中， 2.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弦所对 的圆心角相等，所对的弧相等， 的圆心角相等，所对的弧相等，弦的弦心距 相等。 相等。 3.逆命题 在同圆或等圆中， 3.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弦心距 对应弦相等,弦所对的圆心角相等， 对应弦相等,弦所对的圆心角相等，所对的弧 相等。 相等。
(2)如果 ＝OF，那么 如果OE＝ ， 如果 ( ),( ),( );
(3)如果 ＝CD，那么 如果AB＝ ， 如果
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、
两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等， 有一组量相等 两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量都分别相等。 所对应的其余各组量都分别相等。
（3）圆心角相等，所对的弦相等。( ）圆心角相等，所对的弦相等。
练一练
2、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、 已知：如图，AB、CD是 的两条弦，OE、OF为AB、 CD的弦心距 根据定理及推论填空： 的弦心距， CD的弦心距，根据定理及推论填空：
⌒ ⌒ 如果AB=CD 那么_______,_______,_______。 AB=CD， _______,_______,_______。 （1）如果AB=CD，那么∠AOB=∠COD OE=OF AB=CD _______,_______,_______ ⌒ ⌒ _______,________,________。 （2）如果OE=OF，那么_______,________,________。 如果OE=OF，那么∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD OE=OF _______,________,________ ⌒ ∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF （3）如果AB=CD，那么_______,________,_______。 如果AB=CD，那么_______,________,_______。 AB=CD _______,________,_______
解：如图，所得的四边形是矩形，理由如下： 如图，所得的四边形是矩形，理由如下： ∵AC，BD是 ∵AC，BD是⊙O的直径 ∴AO=OC=OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形 四边形ABCD是平行四边形 ABCD 又∵AC=BD ∴四边形ABCD是矩形 四边形ABCD是矩形 ABCD 当AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形 AC⊥BD时 四边形ABCD是正方形 ABCD ∵AC=BD=30cm ∴AO=BO=15cm
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答：等边三角形ABC的边长为 等边三角形ABC的边长为 ABC
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做一做
3、 如图，已知点 是∠EPF 的平分线上一点，P点在 、 如图，已知点O是 的平分线上一点， 点在 圆外， 的两边分别相交于A 圆外，以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于 、 为圆心的圆与 B和C、D。 求证：AB=CD 和 。 求证：
Ｂ Ｄ M Ｃ N • O B D A C
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2、如图M、N为AB、CD的中点,且AB=CD. 如图M AB、CD的中点, 的中点 求证： AMN＝ 求证：∠AMN＝∠CNM
这节课我们主要学习了哪些内容
拓展提高
如图，A、B分别为CD和⌒ 的中点，AB分别交CD、EF于点 如图， 分别为⌒ EF的中点，AB分别交CD、EF于点 CD和EF的中点 CD 分别交CD M、N，且AM=BN。求证：CD=EF AM=BN。求证：
证明：连结OA、OB，设分别与CD、EF交于点F 证明：连结OA、OB，设分别与CD、EF交于点F、G OA CD 交于点 ∵A为CD中点， ∵A为CD中点，B为EF中点 中点 EF中点 故∠AFC=∠BGE=90°① AFC=∠BGE=90°① 又由OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA 又由OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA OA=OB 且AM=BN ③ ∴AF=BG
（4）如果∠AOB=∠COD， 如果∠AOB=∠COD，
⌒ ⌒ OE=OF AB=CD AB=CD 那么____ __。 那么____ __,___ __,___ __。
已知AB和CD是 已知AB和CD是⊙O的两条弦，OE和OF分别是AB和CD的弦 AB 的两条弦，OE和OF分别是AB和CD的弦 分别是AB 心距，如果AB＞CD,那么那么OE和OF有什么关系？为什么？ AB 那么OE 有什么关系
圆的轴对称性 （圆是轴对称图形） 圆是轴对称图形）
垂径定理 及其推论
圆的对称性
圆的中心对称性 （旋转不变性） 旋转不变性） 圆心角定理
圆心角定理：在同圆和等圆中， 圆心角定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所
对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
已知：如图，AB、CD是 的两条弦，OE、OF为AB、 已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、 CD的弦心距 CD的弦心距
A C （1）如果AB=CD，那么 ）如果 ， ( F E •O B D ( ),( ),( ); (4)如果∠AOB＝∠COD,那么 如果∠ 如果 ＝ 那么 ( ),( ),( ). ),( ),( );
∴∠BOD=1800-∠AOB=600 又∵OB=OD 同理： 同理：OC=CD ∴OB=OD=BD
∴OB=OC=BD=CD Ｂ
Ｏ
Ｐ Ｄ
∴四边形BDCO是菱形 四边形BDCO是菱形 BDCO
Ｃ
（4）由菱形的性质，可得OP=1/2OD=1/2r 由菱形的性质，
3 r ∴BP= OB −OP = r −(0.5r) = 2 ∴BC=2BP= 3r
AB=CD
B OM=ON P C N A M
E
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O D
F
变式练习： 变式练习：
如图， 点在圆上， 如图，P点在圆上，PB=PD吗？
P点在圆内，AB=CD吗？ 点在圆内，
B M P N E B C P A D F M N D F E
.
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例2、如图, AB、CD是⊙O的两条直径。 的两条直径。 如图, AB、CD是 (1)顺次连结点 (1)顺次连结点A、C、B、D，所得的四边形是什么特 顺次连结点A 殊四边形？为什么？ 殊四边形？为什么？ (2)若直径为10cm， (2)若直径为10cm，∠AOB=1200，求四边形ACBD的周长 若直径为10cm 求四边形ACBD ACBD的周长 和面积。 和面积。 (3)四边形ACBD有可能为正方形吗 若有可能, AB、 四边形ACBD有可能为正方形吗？ (3)四边形ACBD有可能为正方形吗？若有可能,当AB、CD 有何位置关系时，四边形ACBD为正方形？为什么？ 有何位置关系时，四边形ACBD为正方形？为什么？ ACBD为正方形
练一练
1、判断： 、判断： （1）等弦所对的弧相等。 ）等弦所对的弧相等。 （2）等弧所对的弦相等。 ）等弧所对的弦相等。 （× ） （√ ）
×） （4）弦相等，所对的圆心角相等。（×） ）弦相等，所对的圆心角相等。（ 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等（ （5）在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等（ × ）
Ａ Ｃ
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Ｄ Ｂ
（4）如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截 如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截 30cm 面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？ 面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？ 最大横截面面积是多少？ 最大横截面面积是多少？ （5）如果这根原木长15m，问锯出地木材地体积为 如果这根原木长15m 15m， 多少立方米（树皮等损耗略去不计）？ 多少立方米（树皮等损耗略去不计）？
在同圆或等圆中 如果弧相等 弧所对的圆心角相等 那么 弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等 弦所对的圆心角相等 在同圆或等圆中 如果弦相等 在同圆或等圆中 如果弦心距相等 那么 弦所对的弧（指劣弧） 弦所对的弧（指劣弧）相等 弦的弦心距相等 弦心距所对应的圆心角相等 那么 弦心距所对应的弧相等 弦心距所对应的弦相等
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4=450（ =4.5× ∴S正方形ABCD=15×15÷2×4=450（cm2）=4.5×10-2（m2） 正方形ABCD=15×15÷ ∴V=4.5× 15=0.675（ ∴V=4.5×10-2×15=0.675（m3）
练一练
1、已知：如图，在⊙Ｏ中，弦ＡＢ＝ＣＤ． 已知：如图， 求证：ＡＤ＝ＢＣ 求证：ＡＤ＝ＢＣ