#2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4能力提升：1-2-2 同角三角函数的基本关系

能 力 提 升
一、选择题
1．已知sin α－cos α＝－5
4，则sin α·cos α等于( )
A.74 B ．－916
C ．－932
D.932
[答案] C
[解析] 将所给等式两边平方，得1－2sin αcos α＝25
16，故sin αcos α
＝－932
.
2．已知A 为锐角，lg(1＋cos A )＝m ，lg 1
1－cos A ＝n ，则lgsin A
的值为( )
A ．m ＋1
n B ．m －n C.12(m ＋1n ) D.1
2(m －n ) [答案] D
[解析] ∵m －n ＝lg(1＋cos A )＋lg(1－cos A ) ＝lg(1－cos 2A )＝lgsin 2A ＝2 lgsin A ， ∴lgsin A ＝1
2
(m －n )．
3．函数y ＝1－sin 2x cos x ＋1－cos 2x
sin x 的值域是( )
A ．{0,2}
B ．{－2,0}
C ．{－2,0,2}
D ．{－2,2}
[答案] C
[解析] 化简得y ＝|cos x |cos x ＋|sin x |
sin x ，当x 的终边分别在第一、二、
三、四象限时分类讨论符号即可．
4．如果sin x ＋cos x ＝1
5，且0<x <π，那么tan x 的值是( )
A ．－43
B ．－43或－34
C ．－34
D.43或－34
[答案] A
[解析] 将所给等式两边平方，得sin x cos x ＝－1225
， ∵0<x <π，∴sin x >0，cos x <0， ∴sin x ＝45，cos x ＝－35，∴tan x ＝－4
3
.
5．若非零实数m 、n 满足tan α－sin α＝m ，tan α＋sin α＝n ，则cos α等于( )
A.n －m
m ＋n B.m －n 2
C.m ＋n 2
D.m －n n ＋m
[答案] A [解析]
已知两等式联立，得⎩⎨
⎧
tan α－sin α＝m ，
tan α＋sin α＝n ，
解得tan α＝
m ＋n 2，sin α＝n －m 2，则cos α＝sin αtan α＝n －m
n ＋m
.
6．化简(1sin α＋1
tan α)(1－cos α)的结果是( )
A ．sin α
B ．cos α
C ．1＋sin α
D ．1＋cos α
[答案] A 二、填空题
7．在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则∠A ＝________. [答案] 60°
[解析] ∵2sin 2A ＝3cos A ，∴2(1－cos 2A )＝3cos A ，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，∴cos A ＝1
2
，cos A ＝－2(舍去)，∴A ＝60°.
8．已知tan α＝cos α，那么sin α＝________. [答案] －1＋5
2
[解析] 因为tan α＝
sin α
cos α
＝cos α，则sin α＝cos 2α，所以sin α＝1－sin 2
α，解得sin α＝－1±5
2
.
又sin α＝cos 2
α≥0，所以sin α＝－1＋5
2
.
三、解答题
9．已知cos α＝－35，且tan α>0，求tan αcos 3α
1－sin α的值．
[解析] ∵cos α＝－3
5，且tan α>0，
∴α是第三象限角，
∴sin α＝－
1－cos 2
α＝－4
5
，
tan αcos 3
α1－sin α＝sin αcos αcos 3
α1－sin α＝sin (1－sin 2α)1－sin α
＝sin α(1＋sin α)＝－45×(1－45)
＝－4
25
.
10．已知2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝1， 求(1)tan α； (2)2sin α－3cos α4sin α－9cos α. [解
析
]
(1)2cos 2α
＋
3cos αsin α
－
3sin 2α
＝
2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α
sin 2α＋cos 2
α
＝2＋3tan α－3tan 2α1＋tan 2
α， 则2＋3tan α－3tan 2α1＋tan 2
α＝1， 即4tan 2α－3tan α－1＝0. 解得tan α＝－1
4
或tan α＝1.
(2)原式＝2sin αcos α－
3cos α
cos α4sin αcos α－
9cos αcos α
＝2tan α－3
4tan α－9
，
当tan α＝－14时，原式＝7
20；
当tan α＝1时，原式＝1
5
.
11．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α(1＋1tan α)＝1sin α＋1
cos α.
[证明] 左边＝sin α(1＋sin αcos α)＋cos α(1＋cos αsin α ＝sin α＋sin 2α
cos α＋
cos α＋cos 2α
sin α
＝sin 2α＋cos 2αsin α＋sin 2α＋cos 2αcos α
＝
1sin α＋1cos α
＝右边． 即原等式成立．。