人教版高一数学必修一 集合
完整版)人教版高一数学必修一集合知识点以及习题
完整版)人教版高一数学必修一集合知识点以及习题高一数学必修第一章集合1.集合的概念集合是指一定范围内、确定的、可区别的事物，将其作为一个整体来看待，就叫做集合，简称集。
其中的各事物叫作集合的元素或简称元。
集合的元素具有三个特性：确定性、互异性和无序性。
确定性指元素是明确的，如世界上最高的山。
互异性指元素是不同的，如由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}。
无序性指元素的排列顺序不影响集合的本质，如{a,b,c}和{a,c,b}是同一个集合。
集合可以用大括号{…}表示，如{我校的篮球队员}、{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}。
集合也可以用拉丁字母表示，如A={我校的篮球队员}，B={1,2,3,4,5}。
集合的表示方法有列举法和描述法。
常用的数集及其记法有：非负整数集（即自然数集）记作N，正整数集记作N*或N+，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R。
2.集合间的关系集合间有包含关系和相等关系。
包含关系又称为“子集”，表示一个集合的所有元素都属于另一个集合。
如果集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，记作A⊆B。
如果A和B是同一集合，则称A是B的子集，记作A⊆B。
反之，如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含于集合A，则记作A⊈B或B⊈A。
相等关系表示两个集合的元素完全相同，记作A=B。
真子集是指如果A⊆B，且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作A⊂B（或B⊃A）。
如果XXX且B⊆C，则A⊆C。
如果XXX且B⊆A，则A=B。
空集是不含任何元素的集合，记为Φ。
规定空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
3.集合的运算集合的运算包括交集、并集和补集。
交集是由所有属于A 且属于B的元素所组成的集合，记作A∩B。
并集是由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B。
补集是由S中所有不属于A的元素所组成的集合，记作A的补集。
如果S是一个集合，A是S的一个子集，则A的补集为由S中所有不属于A的元素组成的集合。
人教版,数学,高一,必修一,集合的含义与表示
练 习
1. 下面的各组对象能否构成集合？ （1）小于2004的数； （2）和2004非常接近的数.
2.再看下列对象: （1） 2，4，6，8，10，12； （2）我校的篮球队员； （3）满足x－3＞2 的实数； （4）我国四大名著； （5）抛物线y=x2上的点．
2、元素与集合的关系
通常用大写的拉丁字母 A，B，C，…表示集合， 小写的拉丁字母 a,b,c,…表示集合中的元素. 如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A， 记作 a∈A；如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 a A.
作业
活页：提能演练一
第2课时 集合的表示
回顾复习
1．集合与元素的定义; 2．集合元素的特征性质： 确定性，互异性，无序性； 3．元素与集合的关系
4. 数集及有关符号；
集合的表示
“我国的直辖市”组成的集合表示为 {北京，天津，上海，重庆} 把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }” 括起来表示集合的方法叫做列举法.
1.1.1 集合的含义与表示
“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为:
许多的人或物聚在一起。
康托尔（G.Cantor,1845～1918）.德 国数学家，集合论创始人，他于1895
年谈到“集合”一词.
在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言， 我们怎样理解数学中的“集合”？
通知 8月27日上午8时，高一年级的学生 在体育馆集合进行军训动员. 校长室
例1：已知A由： 2,(a 1) a
2
, a 3a 3
2
三元素构成且 1 A ，求实数a的值
变.已知集合A含有三个元素1、0、x， 若 x 2 A ，求实数x的值。
高一数学必修一知识点之集合的有关概念
高一数学必修一知识点之集合的有关概念（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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人教版高中数学必修1课件：第一章__集合与函数概念_章末归纳总结课件
①方程(※)有两不等实根⇔Δ>0，方程(※)有两相等
实根⇔Δ＝0，方程(※)无实根⇔Δ<0，方程(※)有实数解
⇔Δ≥0.
②方程(※)有零根⇔c＝0.
Δ≥0 ③ 方 程 (※) 有 两 正 根 ⇔ x1＋x2>0
x1x2>0
⇔较小的根 x＝
－b－ 2a
Δ >0 (a>0)
⇔－f(02)b>a>00
.
(2)集合 A 是直线 y＝x 上的点的集合，集合 B 是抛物线 y＝x2 的图象上点的集合，∴A∩B 是方程组yy＝ ＝xx2 的解为坐 标的点的集合，∴A∩B＝{(0,0)，(1,1)}．
2．熟练地用数轴与Venn图来表达集合之间的关系 与运算能起到事半功倍的效果．
[例2] 集合A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}， 若B A，则实数p的取值范围是________．
当 a≠0 时，应有 a＝1a，∴a＝±1.故选 D.
二、函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值 及应用
1．解决函数问题必须第一弄清函数的定义域
[ 例 1] 函 数 f(x) ＝ x2＋4x 的 单 调 增 区 间 为 ________．
[解析] 由x2＋4x≥0得，x≤－4或x≥0，又二次函数u ＝x2＋4x的对称轴为x＝－2，开口向上，故f(x)的增区间为 [0，＋∞)．
人教版高中数学必修一第一章知识点
第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.（8）交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈（1）A A A=（2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2）A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集U A{|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0)ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O 一元二次方程20(0)ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=（其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0)ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．yxo〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减） （4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()ug x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a 、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。
人教版高中数学必修1《集合的概念》PPT课件
• 题型二 元素与集合的关系 • 【学透用活】
• 元素与集合的关系解读
a∈A与a∉A取决于a是不是集合A中的元素，只 唯一性
有属于和不属于两种关系 符号“∈”“∉”具有方向性，左边是元素， 方向性 右边是集合
[典例 2] (1)满足“a∈A 且 4－a∈A，a∈N 且 4－a∈N ”，有且只有 2
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法
N _________
_N_*_或N_＋_
_Z__
_Q__
_R__
• [微思考] N与N*有何区别？
• 提示：N*是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的 正整数组成的集合，所以N比N*多一个元素0.
(二)基本知能小试
1．给出下列关系：①13∈R ；② 5∈Q ；③－3∉Z ；④－ 3∉N ，其中正确的个
数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：13是实数，①正确； 5是无理数，②错误；－3 是整数，③错误；－ 3
是无理数，④正确．故选 B. 答案：B
2．已知集合 M 有两个元素 3 和 a＋1，且 4∈M，则实数 a＝________.
解析：由题意可知 a＋1＝4，即 a＝3. 答案：3
• 知识点三 集合的表示方法
• [方法技巧] • 用列举法表示集合的3个步骤
• (1)求出集合的元素．
• (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
• (3)用花括号括起来．
• 提醒：二元方程组的所有实数解组成的集合、函数图象 上的所有点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对 的形式，元素与元素之间用“，”隔开，如{(2,3)，(5，－ 1)}．
人教版高一数学必修一-第一章-知识点与习题讲解
必修1第一章集合与函数基础知识点整理第1讲 §1。
1。
1 集合的含义与表示¤知识要点：1。
把一些元素组成的总体叫作集合(set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种:列举法，即把集合的元素一一列举出来,并用花括号“｛ ｝”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈},既要关注代表元素x ,也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3。
通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R 。
4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to )，分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈,2N -∉.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合:（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数。
解：（1）用描述法表示为：2{|(23)0}x R x x x ∈--=； 用列举法表示为{0,1,3}-.(2）用描述法表示为:{|27}x Z x ∈<<； 用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈,{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B 。
解：由3217k +=,解得5k Z =∈，所以17A ∈;由325k +=-，解得73k Z =∉，所以5A -∉;由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈。
【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2, P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； (2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3)反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合。
数学人教版高中一年级必修1 元素与集合、集合与集合的关系
第一周 元素与集合、集合与集合的关系重点知识梳理1．集合元素的三个特性：确定性，互异性，无序性． ①确定性：集合中的元素必须是明确的，不能含糊不清；②互异性：一个集合中的元素是唯一的，不能有相同元素，相同元素只能出现一次； ③无序性：即一个集合中的元素出现没有顺序，只要两个集合的元素完全相同，这两个集合就是相同的．2．元素与集合的关系：集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，元素与集合是从属关系，如a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ，a 不属于集合A ，记作a ∉A . 3．集合间的基本关系(1)子集：如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B . (2)真子集：如果A ⊆B 且A ≠B ，那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B .(3)相等：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，即A ＝B . (4)常用结论①任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A ；②空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集； ③如果A ⊆B ，B ⊆C ，那么A ⊆C ； ④如果A ⊆B ，同时B ⊆A ，那么A ＝B .典型例题剖析例1 已知集合A ＝{x |ax 2－2x －1＝0，x ∈R }，若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．【方法指导】集合A 中至多有一元素，即为对应方程至多只有一根，这样通过讨论方程根的情况来求a 的取值范围即可．【解析】(1)当a ＝0时，方程只有一个根－12，则a ＝0符合题意；(2)当a ≠0时，关于x 的方程ax 2－2x －1＝0是一元二次方程，则该方程有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝4＋4a ≤0，解得a ≤－1，所以实数a 的取值范围是{a |a ≤－1}． 综上所述，实数a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≤－1}． 【提示】以下解法是错误的：由于集合A 中至多有一个元素，则一元二次方程ax 2－2x －1＝0有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝4＋4a ≤0，解得a ≤－1，所以实数a 的取值范围是{a |a ≤－1}．错误原因 方程ax 2－2x －1＝0不一定是一元二次方程，若方程不是一元二次方程，则不能利用判别式Δ判断其实根的个数．淘出优秀的你2【小结】本题体现了转会与化归的思想，解答时将问题转化为关于x 的方程ax 2－2x －1＝0的实数根的个数问题，这样就容易解决了．同时，要注意若方程的二次项系数含有字母，则需对其是否为零进行讨论．变式训练 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A 是单元素集(只含有一个元素的集合)，求a 的值及集合A ； (2)求集合P ＝{a ∈R |a 使得A 至少含有一个元素}． 【解析】(1)当a ＝0时，A ＝{23}，符合题意；当a ≠0时，要使方程有两个相等的实根，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝98，此时A ＝{43}．综上所述，当a ＝0时，A ＝{23}；当a ＝98时，A ＝{43}．(2)由(1)知，当a ＝0时，A ＝{23}含有一个元素，符合题意．由a ≠0时，要使方程有实根，则Δ＝9－8a ≥0，即a ≤98.综上所述，P ＝{a ∈R |a 使得A 至少含有一个元素}＝{a |a ≤98}．例2 已知－3∈A ，A 中含有的元素有a －3,2a －1，a 2＋1，求a 的值． 【解析】由－3∈A 且a 2＋1≥1，可知a －3＝－3或2a －1＝－3， 当a －3＝－3时，a ＝0； 当2a －1＝－3时，a ＝－1. 经检验，0与－1都符合要求． ∴a ＝0或a ＝－1.变式训练 已知互异的两数a ，b 满足ab ≠0，集合{a ，b }＝{a 2，b 2}，则a ＋b 等于( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 【答案】D【解析】由{a ，b }＝{a 2，b 2}，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝a 2b ＝b 2① 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2b ＝a 2，② 由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝1b ＝0或b ＝1，∵ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0，即a ＝1，b ＝1，此时集合{1,1}不满足条件． 由②两式相减得a 2－b 2＝b －a ，∵两数a ，b 互异，∴b －a ≠0，即a ＋b ＝－1，故选D.例3 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围． 【解析】A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}， 且B ⊆A .①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，解得m <2， 此时有B ⊆A ；②若B ≠∅，则m ＋1≤2m －1，即m ≥2， 由B ⊆A ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2m ＋1≥－22m －1≤5，解得2≤m ≤3. 由①②得m ≤3.∴实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．【小结】对于这类含有字母参数的集合的包含关系，应注意空集是任何集合的子集，如本题中，应讨论集合B 为空集的情形．变式训练 已知集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，集合Q ＝{x |ax ＋1＝0}，且Q ⊆P ，求实数a 的取值构成的集合A .【解析】∵x 2＋x －6＝0， ∴(x ＋3)(x －2)＝0， 即x ＝－3或x ＝2. ∴P ＝{－3,2}． 又∵Q ＝{x |ax ＋1＝0}， 当a ＝0时，Q ＝∅，满足Q ⊆P ； 当a ≠0时，有－1a ＝－3或－1a ＝2，∴a ＝13或a ＝－12，故a ＝0或a ＝13或a ＝－12.∴A ＝{－12，0，13}．跟踪训练1．若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}其中只有一个元素，则a 等于( ) A ．4 B ．2 C ．0 D ．0或42．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *|12x ∈Z 中含有的元素个数为( )淘出优秀的你4A ．4B ．6C ．8D ．123．若集合A ＝{x |ax 2＋(a －6)x ＋2＝0}是单元素集合，则实数a 等于( ) A ．2或18 B ．0或2 C ．0或18D ．0或2或184．已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，那么a 为( ) A ．2 B ．2或4 C ．4 D ．05．集合A 满足关系式(a ，b )⊆A ⊆{a ，b ，c ，d ，e }，则集合A 的个数是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．86．若非空数集A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |3≤x ≤22}，则能使A ⊆B 成立的所有a 的集合是( ) A ．{a |1≤a ≤9} B ．{a |6≤a ≤9} C ．{a |a ≤9}D ．∅7．若集合A ＝{x |x 2－5x ＋6≤0}，集合B ＝{x |ax －2＝0，a ∈Z }，且B ⊆A ，则实数a ＝________.8．若集合M ＝{}1，m 2，集合N ＝{2,4}，M ∪N ＝{1,2,4}，则实数m 的值的个数是________．9．如果有一集合含有三个元素1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________________． 10．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，则有序实数对(a ，b )的值为________． 11．设集合A ＝{3,3m 2}，B ＝{3m,3}，且A ＝B ，则实数m 的值是________．12．已知集合A ＝{x |2a －2<x ≤a ＋2}，B ＝{x |－2≤x <3}且A ⊆B ，求实数a 的取值范围． 13．已知由实数构成的集合A 满足条件：若a ∈A ，则1＋a1－a∈A (a ≠0且a ≠±1)，则集合A 中至少有几个元素？证明你的结论．参考答案1．A 当a ＝0时，方程为1＝0不成立，不满足条件；当a ≠0时，Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4. 故选A.2．B 由题意，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *|12x ∈Z 中的元素满足x 是正整数，且12x 是整数，由此列出下表根据表格，可得符合条件的x 共有6个，即集合⎩⎨⎭⎬x ∈N *|12x ∈Z 中有6个元素，故选B.3．D a ＝0时，－6x ＋2＝0，x ＝13，只有一个解，集合A ＝{13}，满足题意．a ≠0时，方程ax 2＋(a －6)x ＋2＝0有两个相等实根． 判别式Δ＝0， Δ＝(a －6)2－8a ＝0， a 2－20a ＋36＝0， 解得a ＝2或a ＝18， ∴实数a 为0或2或18. 故选D.4．B 集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ， a ＝2∈A,6－a ＝4∈A ，∴a ＝2， 或者a ＝4∈A,6－a ＝2∈A ，∴a ＝4， 综上所述，a ＝2,4. 故选B.5．D 由题意知集合A 中的元素a ，b 必取，另外可从c ，d ，e 中取，满足题意的集合A 的个数等于集合{c ，d ，e }的子集个数，因为{c ，d ，e }的子集个数为23＝8，则集合A 的个数是8. 故选D. 6．B 7．0或1 8．49．x ≠0,1,2，1±52解析 由集合元素的互异性可得x ≠1，x 2－x ≠1，x 2－x ≠x ，解得x ≠0,1,2，1±52.淘出优秀的你610．(0,1)或(14，12)解析 ∵M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2b ＝2a ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14b ＝12，当a ＝0，b ＝0时，集合M ＝{2,0,0}不成立， ∴有序实数对(a ，b )的值为(0,1)或(14，12)故答案为(0,1)或(14，12)．11．0解析 依题意，3m ＝3m 2，所以m ＝0或m ＝1.当m ＝1时，违反元素互异性(舍去)． 12．解析 由已知A ⊆B 可得， (1)当A ＝∅时，有2a －2≥a ＋2⇒a ≥4. (2)当A ≠∅时，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ＋2，2a －2≥－2，a ＋2<3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <4，a ≥0，⇒0≤a <1a <1. 综合(1)(2)，实数a 的取值范围是{a |a ≥4或0≤a <1}． 13．解析 ∵a ∈A ，则1＋a1－a ∈A ，∴1＋1＋a 1－a 1－1＋a1－a ＝－1a ∈A ，进而有1＋⎝⎛⎭⎫－1a 1－⎝⎛⎭⎫－1a ＝a －1a ＋1∈A ，∴又有1＋a －1a ＋11－a －1a ＋1＝a ∈A .∵a ∈R ，∴a ≠－1a.假设a ＝1＋a1－a ，则a 2＝－1，矛盾，∴a ≠1＋a 1－a.类似方法可得a 、1＋a 1－a 、－1a 和a －1a ＋1四个数互不相等，故集合A 中至少有四个元素．。
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1~20以内的所有素数 ｛1，2，3，5，7，11，13，17，19｝
元 素
集合
1、集合中的元素必须是确定的。（确定性） 2、一个集合中的元素是互不相同的。（互异性） 3、两个集合的元素一样（不考虑顺序），这两 个集合相等。
集合的表示
A，B，C，··· a，b，c，···
表示集合 表示集合中的元素
A∩A=A A∩ =
◎补集
U A
U：包含所研究问 题中涉及的所有元 素，称“全集”
UA
UA =｛x | x∈U，且x∈A｝
例：设U＝｛x | x是小于9的正整数｝
A=｛1，2，3｝
B=｛3，4，5，6｝
求
=｛4，5，6，7，8｝
=｛1，2，7，8｝
读作“集合 A的补集”
摩根定律
U（A∩B）=（ UA）U（ UB）
a属于集合A a不属于A
a∈A a∈A
A=｛1，2，3，5，7，11，13，17，19｝
3∈A 4∈A
描述集合
用自然语言： 非负整数集（自然数集）： 全体非负整数组成的集合 N 正整数集：所有正整数组成的集合 N*或N+ 整数集：全体整数组成的集合 Z 有理数集：全体有理数组成的集合 Q 实数集：全体实数组成的集合 R
集合A是集合B的真子集 A B或 B A
空集
不含任何元素的集合
空集是任何集合的子集，任何 非空集合的真子集。
集合的基本运算
◎并集 ◎交集 ◎补集
◎并集
A
B
AUB=｛x | x∈A,或x∈B｝ 读作“A并
B”
并集包含了集合A和集合B的所有元素， 重复的元素只能算一个
例：A=｛4，5，6，8｝ B=｛3，5，7，8｝ 求AUB
列举法
A=｛1，2，3，5，7，11，13，17，19｝
表示不等式x-7<3的解集
描述法
不等式x-7<3的解集：D=｛x∈R | x<10｝
用描述法表示所有奇数的集合
E= x∈Z | x=2k+1，k∈Z E={x|x=2k+1，k∈Z}
表示由直线y=x上所有点组成的集合。 A=｛(x R，y R) | y=x｝ A=｛(x ，y) | y=x｝
U（AUB）=（ UA）∩（ UB）
例：设全集U=｛1，2，3，4，5｝， A=｛1，3，5｝，B=｛2，4，5｝，则
=、｛1，5｝ D、｛2，5｝
集合间的基本关系
包含关系
集合A中的任意一个元素都是集合B的元素， 则集合A和集合B有包含关系，称集合A为 集合B的子集。
A=｛1，2，3｝
AB
B=｛1，2，3，4，5｝
A 或B
B （A包含于B） A （B包含A）
任何一个集合是它本身的子集。 AA
对于集合A，B，C，如果A B， 且B C，那么A C
当集合中有n个元素时，它的子集 个数是2n 个，真子集有2 n-1个
相等关系
集合A中的任何一个元素都是集合B中的元 素，同时集合B中的元素也都是集合A中的 元素，则集合A和集合B相等。
A=｛x | x是两条边相等的三角形｝ B=｛x | x是等腰三角形｝
A=B
相等：A B且B A
不相等：A
B，但存在元素x∈B且 x∈A
AUB=｛4，5，6，8｝U｛3，5，7，8｝ =｛3，4，5，6，7，8｝
A=｛x | -1<x<2｝,B=｛x | 1<x<3｝,求AUB
AUB=｛x | -1<x<2｝U｛x | 1<x<3｝ =｛x | -1<x<3｝
-1
0
12
3
x
AUA=A AU =A
◎交集
A A∩B B
A∩B=｛x | x∈A,且x∈B｝ 读作“A交
B”
交集包含的元素即属于集合A，又属于集合B
例：A=｛4，5，6，8｝ B=｛3，5，7，8｝ 求A∩B
A∩B=｛4，5，6，8｝∩｛3，5，7，8｝ =｛5，8｝
A=｛x | -1<x<2｝,B=｛x | 1<x<3｝,求A∩B
A∩B=｛x | -1<x<2｝∩｛x | 1<x<3｝ =｛x | 1<x<2｝