北京海淀育新学校2017届高三上学期12月月考数学理试题

2016-2017育新学校高三数学（理）12月月考试卷
一、选择题（共8小题；共40分）
1．复数
3
1i
i +（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B 【解析】复数31i
i(1i)1i i
+=+=-+，其在复平面上对应的点为(1,1)-，该点位于第二象限． 故选B ．
2．“在(,)a b 内()0f x '>”是“()f x 在(,)a b 内单调递增”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不
必要条件 【答案】A
【解析】∵在(,)a b 内()0f x '>，则()f x 在(,)a b 内单调递增， 反过来，若()f x 在(,)a b 内单调递增，则()0f x '≥，
∴“在(,)a b 内()0f x '>”是“()f x 在(,)a b 内单调递增”的充分不必要条件． 故选A ．
3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）．
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
【答案】C
【解析】2S =，1n =，
1S =-，2n =，
1
2
S =
，4n =， 2S =，8n =输出8n =． 故选C ．
4．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）． A
B ．3
C
D ．
92
【答案】A
【解析】如图，由抛物线定义，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点1,02F ⎛⎫
⎪⎝⎭
的距离，
则PA d PA PF AF +=+=≥ 当且仅当点P 为AF 当抛物线的交点时取得等号．故选A ．
x=
1
5．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．
（注：结余=收入支出）
A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1
B ．结余最高的月份是7月份
C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D ．前6个月的平均收入为40万元 【答案】D
【解析】由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3:1，故A 项正确；
结余最高为7月份，为802060-=，故B 项正确；
1至2月份的收入的变化率为4至5月份的收入的变化率相同，故C 项正确；
前6个月的平均收入为1
(406030305060)456
+++++=万元，故D 项错误．
综上，故选D ．
6．若2n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等，则直线y nx =与曲线2y x =围
成的封闭区域的面积为（ ）． A ．223
B ．12
C ．323
D ．36
【答案】C
【解析】2n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭展开式中第2项与第4项的二项式系数相等，
所以13
C C n n =，解得
4n =，那么4y x =与2y x =围成的封闭圆形区域的面积为 4
22323041132(4)d 22440333S x x x x x ⎛⎫=-=-=⨯-⨯= ⎪⎝
⎭⎰．故选C ．
7．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积（单位：2cm ）为（ ）．
(单位：cm)
主视图左视图俯视图
A
．48+
B
．48+
C
．36+
D
．36+【答案】A
【解析】由三视图可得，该几何体为三棱锥D ABC -，如图所示，面DBC ⊥面ABC ，
AC AB ⊥，DA DB DC ==，取BC 中点M ，AC 中点N ，DM ⊥面ABC ，
1
32
MN AB =
=，4DM =，利用勾股定理得5DN =， ABC DAC DAB DBC S S S S S =+++△△△△
1111
6665654482222=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+ 故选A ．
D
A
B C M
N
8．已知偶函数()()f x x ∈R ，当(2,0]x ∈-时
，()(2)f x x x =-+，当[2,)x ∈+∞时，()(2)()(f x x a x a =--∈R ．关于偶函数()f x 的图象G 和直线:()l y m m =∈R 的3个命题如
下：
①当4a =时，存在直线l 与图象G 恰有5个公共点；
②若对于[0,1]m ∀∈，直线l 与图象G 的公共点不超过4个，则2a ≤；
③(1,)m ∀∈+∞，(4,)a ∃∈+∞，使得直线l 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等． 其中正确命题的序号是（ ）． A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
【答案】D
【解析】根据偶函数的图象关于y 轴对称，利用已知中的条件作出偶函数，
()()f x x ∈R 的图象，利用图象得出：
①当4a =时，偶函数()()f x x ∈R 的图象如下：
存在直线l ，如0y =，与图象G 恰有5个公共点，故①正确． ②若对于[0,1]m ∀∈，由于偶函数()()f x x ∈R 的图象如下：
直线l 与图象G 的公共点不超过4个，则2a ≤，故②正确． ③(1,)m ∀∈+∞，偶函数()()f x x ∈R 的图象如下：
(4,)a ∃∈+∞，使得直线l 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等，故③正确；
因此正确命题的序号是①②③．故选D ．
二、填空题（共6小题；共30分）
9．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果FB 与该比曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为__________．
【解析】由题意知(,0)F c ，(0,)B b ，所以1b b
c a
-⋅=-．
又222a b c +=，则222b ac c a ==-
，解得e =．
10．给出下列结论：
①一条直线垂直于一个平面，则这条直线就和这个平面内的任何直线垂直； ②过平面外一点有只有一个平面和这个平面垂直； ③过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；
④如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面． 其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①④
【解析】①由直线与平面垂直的定义可知①正确； ②过平面外一点有无数个平面和这个平面垂直，故②错误； ③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行，故③错误； ④由面面平行的性质定理可知④正确．
综上，正确的是①④．
11．若不同两点P 、Q 的坐标分别为(,)a b ，(3,3)b a --，则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为__________，圆22(2)(3)1x y -+-=关于直线l 对称的圆的方程为__________． 【答案】1-；22(1)1x y +-=
【解析】313PQ a b
k b a
--=
=--，故直线l 的斜率为1-，
由点斜式可是l 的方程为3y x =-+，圆心(2,3)关于直线3y x =-+
的对称点为(0,1)，故所求圆的方程为22(1)1x y +-=．
12．已知实数x 、y 满足1
|1|y y x ⎧⎨-⎩≤≥，则2x y +的最大值是__________．
【答案】4
【解析】在坐标系中作出不等式组1
|1|y y x ⎧⎨-⎩≤≥的可行域，
三个顶点分别是(0,1)A ，(1,0)B ，(2,1)C ，由图可知， 当2x =，1y =时，2x y +的值最大是4．
13．甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行讲笑话比赛，决出了第一到第五的名次，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”．从这个回答分析，5人的名次排列共__________（用数字作答）种不同情况 【答案】54
【解析】先排乙，有3种排法；再排甲，也有3种排法，余下3个有33A 种排法， 故5人的名次排列共有3333A 54⨯⨯=种不同情况．
14．ABC △的外接圆圆心为O ，且3450OA OB OC ++=，则C ∠等于__________． 【答案】45︒
【解析】∵ABC △的外接圆圆心为O ，且3450OA OB OC ++=， ∴||||||OA OB OC ==，1
(34)5
OC OA OB =-+，
∴2222
192416||(34)||||25252525
OC OC OC OA OB OA OA OB OB ⋅==+=+⋅+
224
||25
OC OA OB =+⋅，
∴24
025
OA OB ⋅=，∴90AOB =︒∠， 外接圆中OA OB =，∴D 为AC 中点，
∵90B =︒∠，∴45C =︒∠．
三、解答题（共5小题；共80分）
15．贵广高速铁路自贵阳北站起，黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终至广州南站．其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛水西站、广州南站共
6个站，记者对广东省内的6个车站随机抽取3个进行车站服务满意度调查．
Ⅰ求抽取的车站中含有佛山市内车站（包括三水南站和佛山西站）的概率．
Ⅱ设抽取的车站中含有肇庆市内车站（包括怀集站、广宁站、肇庆车站）个数为X ，求X 的
分布列及其均值（即数学期望）． 【答案】见解析
【解析】Ⅰ设“抽取的车站中含有佛山市山站”为事件A ，
则2112
2424
3
6C C C C 4()C 5
P A +==． ⅡX 的可能取值为0，1，2，3，
033336C C 1(0)C 20P X ===，1233
36C C 9(1)C 20P X ===，
213336C C 9(2)C 20P X ===，3033
36C C 1(3)C 20
P X ===
∴X 的分布列为
X
的数学期望1()0123202020202
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=．
16．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若tan 21tan A c
B b
+=． Ⅰ求角A 的大小．
Ⅱ若函数2π()2sin 24f x x x ⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，在x B =处取到最大值a ，求ABC △的面积． 【答案】见解析 【解析】Ⅰ∵sin cos 2sin 1cos sin sin A B C A B B
+⋅=， ∴
sin 2sin cos C
C A
=， 又∵sin 0C ≠，
∴1cos 2
A =，故π
3A =．
Ⅱ∵2ππ()2sin 212sin 243f x x x x ⎛
⎫⎛⎫=+-=+-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
∴当ππ232x -
=，即5π
12x =时，max
()3f x =，此时5π12
B =，π
4C
=，3a =， ∵sin sin a c
A C
=， ∴723sin 273sin 2
a c C A
⨯
=== 则11sin 22S ac B =
==．
17．如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ，CD AB ∥，BC CD ⊥，EA ED ⊥，
4AB =，2BC CD EA ED ====．
Ⅰ证明：BD AE ⊥．
Ⅱ求平面ADE 和平面CDE 所成角（锐角）的余弦值．
D
A
C
E
【答案】见解析
【解析】Ⅰ∵BC CD ⊥，2BC CD ==
，∴BD =， 同理EA ED ⊥，2EA ED ==
，∴AD =
又∵4AB =，∴由勾股定理可知222BD AD AB +=，BD AD ⊥，
又∵平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD 平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥平面AED ， 又∵AE ⊂平面AED ， ∴BD AE ⊥．
Ⅱ解：取AD 的中点O ，连结OE ，则OE AD ⊥，
∵平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD 平面ABCD AD =， ∴OE ⊥平面ABCD ，
取AB 的中点F ，连结DF BD ∥，
以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，
则(D
，(C -
，E
，(DC =
，(2,0,DE =， 设平面CDE 的法向量为(,,)n x y z =，
则00DC n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即00x z x y +=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1z =-，1y =，
∴平面CDE 的法向量(1,1,1)n =-， 又平面ADE 的一个法向量为1(0,1,0)n =， 设平面ADE 和平面CDE 所成角（锐角）为θ， 则1113
cos |cos ,|||||
n n n n n n θ⋅=<>=
=⋅，
∴平面ADE 和平面CDE ．
C
18．设函数1
()ln ()f x x a x a x
=-
-∈R ． Ⅰ讨论函数()f x 的单调性．
Ⅱ若()f x 有两个极值点1x 和2x ，记过点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 的直线斜率为k ．问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析
【解析】解：Ⅰ由题意得()f x 的定义域为(0,)+∞，
222
11()1a x ax f x x x x -+'=+-=， 令2()1g x x ax =-+，其判别式24a ∆=-．
①当||2a ≤时，0∆≤，()0f x '≥恒成立，故()f x 在(0,)+∞上单调递增． ②当2a <-时，0∆>，()g x 的两根都小于0，
所以在(0,)+∞上，()0f x '>，故()f x 在(0,)+∞单调递增．
③当2a >时，0∆>，()0g x =
的两根为1x
，2x =，
当10x x <<时，()0f x '>，当12x x x <<时，()0f x '<， 当2x x >时，()0g x '>，
故()f x 要1(0,)x 和2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减． Ⅱ由Ⅰ知，2a >， ∵12
12121212
()()()(ln ln )x x f x f x x x a x x x x --=-+--， ∴斜率1212121212
()()ln ln 1
1f x f x x x k a x x x x x x --=
=+-⋅--，
又由Ⅰ知，121x x =，于是12
12
ln ln 2x x k a x x -=-⋅-，
若存在a ，使得2k a =-，则有12
12
ln ln 1x x x x -=-，即1212ln ln x x x x -=-，
又∵121x x =，∴222211ln
ln x x x x -=-，即2222
12ln 0(1)x x x x --=>①， 再由Ⅰ知，函数1
()2ln h t t t t
=--在(0,)+∞上单调递增，而21x >，
∴22211
2ln 12ln101
x x x -
->-=，这与①式矛盾， 故不存在a ，使得2k a =-．
19．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x
，它的一个顶点恰好在抛物线28x y =的准线上． Ⅰ求椭圆C 的标准方程．
Ⅱ点P
，(2,Q 在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点． （i ）若直线AB
APBQ 面积的最大值． （ii ）当A ，B 运动时，满足APQ BPQ =∠∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】解：Ⅰ设椭圆C 的标准方程为22
21(0)x y a b a b
2+=>>，
∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线28x y =的准线2y =-上，
∴2b -=-，即2b =，
又∵
c a =，222a b c =+， ∴4a =
，c =
故椭圆C 的标准方程为22
1164
x y +
=． Ⅱ（i ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB
的方程为y t =+，
联立22416y t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩
，得223120x t +-=， 由0∆>
，计算得出t <<
∴12x x +=，212312x x t =-，
∴12||x x -==
∴四边形APBQ
的面积121||2
S x x =⨯-= 当0t =时，max 12S =．
（ii ）∵APQ BPQ =∠∠，则PA ，PB 的斜率互为相反数，可设直线PA 的斜率为k ， 则PB 的斜率为k -，直线PA
的方程为：(2)y k x =-，
联立22(2)416
y k x x y ⎧-⎪⎨+=⎪⎩
，得222(14)82)2)160k x k k x k +++-=，
∴12x +=
同理可得：22x +=
=， ∴2122
16414k x x k -+=+
，12x x -=
12121212()4AB y y k x x k k x x x x -+-==--， ∴直线AB
．
20．设数列{}n a 的首项1()a a a =∈R ，且13,34,3n n n n
n a a a a a +->⎧=⎨-+⎩≤时，1m =，2，3，．
Ⅰ若01a <<，求2a ，3a ，4a ，5a ．
Ⅱ若04n a <<，证明：104n a +<<．
ⅡⅠ若02a <≤，求所有的正整数k ，使得对于任意*n ∈N ，均有n k n a a +=成立．
【答案】见解析
【解析】解：Ⅰ∵1(0,1)a a =∈得2(3,4)a ∈，∴2144a a a =-+=-+， ∵3(0,1)a ∈，∴3231a a a =-=-+， 4(3,4)a ∈，∴4343a a a =-+=+，
5(0,1)a ∈，∴543a a a =-=．
Ⅱ证明：①当03n a <≤时，14n n a a +=-+，∴114n a +<≤， ②当34n a <<，13n n a a +=-，∴101n a +<<，
综上，04n a <<时，104n a +<<．
ⅡⅠ解：①若01a <<，由Ⅰ知51a a =，所以4k =，
∴当4(*)k m m =∈N 时，对所有的*n ∈N ，n k n a a +=成立． ②若12a <≤，则24a a =-+，且2(2,3]a ∈，
3214(4)4a a a a a =-+=-++==，∴2k =，
∴当2(*)k m m =∈N 时，对所有的*n ∈N ，n k n a a +=成立， ③若2a =，则2342a a a ===，∴1k =，
∴(*)k m m =∈N 时，对所有的*n ∈N ，n k n a a +=成立， 综上，若01a <<，则4k m =，*m ∈N ，
若12a <≤，则2k m =，*m ∈N ， 若2a =，则k m =，*m ∈N ．。