2013高考数学人教B版课后作业2-1函数及其表示

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人教版B版高中数学必修1：2.1.1 函数

年份
生产总值/亿元
1998 1999 2000 2001
78345 82067 89442 95933
1998 1999 2000 2001
2002
78345 82067
89442 95933
102398
2002
102398
在一个变化过程中有两个变量年份x和生产总值y，若x在某一范围内每取一个值都有唯一确定的y值与两个变量t和h，若t在某一范围内每取一个值都有唯一确定的h值与它对应.
A={t|0≤t≤26} 集合A中任意数t
都有唯一确定的数h与它对应
初中函数定义：
下列图中能表示函数关系的是？
o
o
A
B
1
o
o
C
D
所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域.
辽宁省大连市第一中学张伟
实例一下图的兰色曲线记录的是某天自上午9：30至下午3：00上海证券交易所的股票指数的情况,股票指数是时间的函数吗？
在一个变化过程中有两个变量时间t和股票指数y，若t在某一范围内每取一个值都有唯一确定的y值与它对应.
实例二下表列出了我国从1998年到2002年，每年的国内生产总值：
确定函数的要素：定义域、对应法则
定义域：R 定义域：R 定义域：
变量表达形式不同，但对应法则相同
作业

高中数学必修1人教b版课后习题答案

人教B 版高中数学必修1课后习题答案第一章集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页） 1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A ，美国_______A ，印度_______A ，英国_______A ；（2）若2{|}A x x x ==，则1-_______A ；（3）若2{|60}B x x x =+-=，则3_______B ；（4）若{|110}C x N x =∈≤≤，则8_______C ，9.1_______C ．1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===．（3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-．（4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉． 2．试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合；（2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；（4）不等式453x -<的解集．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-；（2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；（3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．写出集合{,,}a b c 的所有子集．1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ；取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．用适当的符号填空：（1）a ______{,,}a b c ；（2）0______2{|0}x x =；（3）∅______2{|10}x R x ∈+=；（4）{0,1}______N ；（5）{0}______2{|}x x x =；（6）{2,1}______2{|320}x x x -+=．2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==；（3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅；（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集；（5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==；（6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．判断下列两个集合之间的关系：（1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；（2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈；（3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以A B ；（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+，即B 是A 的真子集，BA ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．设{3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==，求,A B A B ．1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==，{3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==．2．设22{|450},{|1}A x x x B x x =--===，求,AB A B ．2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=，方程210x -=的两根为121,1x x =-=，得{1,5},{1,1}A B =-=-，即{1},{1,1,5}A B A B =-=-．3．已知{|}A x x =是等腰三角形，{|}B x x =是直角三角形，求,A B A B ．3．解：{|}A B x x =是等腰直角三角形，{|}AB x x =是等腰三角形或直角三角形．4．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==，求(),()()U U U A B A B ． 4．解：显然{2,4,6}UB =，{1,3,6,7}UA =，则(){2,4}U A B =，()(){6}U U A B =．1．1集合习题1．1 （第11页） A 组 1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）237_______Q ；（2）23______N ；（3）π_______Q ；（4_______R ；（5Z ；（6）2_______N ．1．（1）237Q ∈ 237是有理数；（2）23N ∈ 239=是个自然数；（3）Q π∉ π是个无理数，不是有理数；（4R 是实数；（5Z3=是个整数；（6）2N ∈ 25=是个自然数．2．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，用 “∈”或“∉” 符号填空：（1）5_______A ；（2）7_______A ；（3）10-_______A ．2．（1）5A ∈；（2）7A ∉；（3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-；3．用列举法表示下列给定的集合：（1）大于1且小于6的整数；（2）{|(1)(2)0}A x x x =-+=；（3）{|3213}B x Z x =∈-<-≤．3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求；（3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求．4．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（2）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合；（3）不等式342x x ≥-的解集．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-；（2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠；（3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥．5．选用适当的符号填空：（1）已知集合{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥，则有：4-_______B ； 3-_______A ； {2}_______B ； B _______A ；（2）已知集合2{|10}A x x =-=，则有：1_______A ； {1}-_______A ； ∅_______A ； {1,1}-_______A ；（3）{|}x x 是菱形_______{|}x x 是平行四边形；{|}x x 是等腰三角形_______{|}x x 是等边三角形．5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； B A ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；（2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ；2{|10}{1,1}A x x =-==-；（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．设集合{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-，求,AB A B ．6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥，则{|2}A B x x =≥，{|34}A B x x =≤<．7．设集合{|9}A x x =是小于的正整数，{1,2,3},{3,4,5,6}B C ==，求AB ，AC ，()A B C ，()A B C ． 7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数，则{1,2,3}A B =，{3,4,5,6}A C =，而{1,2,3,4,5,6}B C =，{3}B C =，则(){1,2,3,4,5,6}AB C =，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =．8．学校里开运动会，设{|}A x x =是参加一百米跑的同学，{|}B x x =是参加二百米跑的同学，{|}C x x =是参加四百米跑的同学，学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：（1）A B ；（2）A C ．8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，即为()AB C =∅．（1）{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学；（2）{|}AC x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．设{|}S x x =是平行四边形或梯形，{|}A x x =是平行四边形，{|}B x x =是菱形，{|}C x x =是矩形，求BC ，A B ，S A ．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}B C x x =是正方形，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，即{|}AB x x =是邻边不相等的平行四边形，{|}SA x x =是梯形．10．已知集合{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<，求()RA B ，()RA B ，()R A B，()R A B ．10．解：{|210}A B x x =<<，{|37}A B x x =≤<，{|3,7}RA x x x =<≥或，{|2,10}RB x x x =≤≥或，得(){|2,10}R A B x x x =≤≥或，(){|3,7}RA B x x x =<≥或，(){|23,710}R A B x x x =<<≤<或，(){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥或或．B 组1．已知集合{1,2}A =，集合B 满足{1,2}A B =，则集合B 有个．1．4 集合B 满足AB A =，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集．2．在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看，集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示什么？集合,C D 之间有什么关系？2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合，即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得D C ．3．设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,A B A B ．3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==，当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},A B A B ==∅；当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}AB A B ==；当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}AB A B ==；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},AB a A B ==∅．4．已知全集{|010}U AB x N x ==∈≤≤，(){1,3,5,7}U A B =，试求集合B ．4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U AB =，得UB A ⊆，即()U UA B B =，而(){1,3,5,7}U A B =，得{1,3,5,7}UB =，而()UU B B =，即{0,2,4,6,8.9,10}B =．第一章集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．求下列函数的定义域：（1）1()47f x x =+；（2）()1f x =．1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-，得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-；（2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤．2．已知函数2()32f x x x =+，（1）求(2),(2),(2)(2)f f f f -+-的值；（2）求(),(),()()f a f a f a f a -+-的值．2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=，同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+，同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-，则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数21305h t t =-和二次函数21305y x x =-；（2）()1f x =和0()g x x =．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >；（2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠．1．2．2函数的表示法练习（第23页）1．如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm ，面积为2ycm ，把y 表示为x 的函数．1．解：显然矩形的另一边长为2250x cm -，222502500y x x x x =-=-，且050x <<，即22500(050)y x x x =-<<．2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；O离开家的距离时间（A ） O离开家的距离时间（B ） O离开家的距离时间（C ） O离开家的距离时间（D ）图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．3．画出函数|2|y x =-的图象．3．解：2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示．{|},{0,1}A x x B ==是锐角，从A 到B 的映射是“求正弦”，与A 中元素604．设相对应B 中的元素是什么？与B 中的元素22相对应的A 中元素是什么？的4．解：因为3sin 602=，所以与A 中元素60相对应的B 中的元素是32；因为2sin 452=，所以与B 中的元素22相对应的A 中元素是45．1．2函数及其表示习题1．2（第23页）1．求下列函数的定义域：（1）3()4xf x x =-；（2）2()f x x =；（3）26()32f x x x =-+；（4）4()1x f x x -=-．1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠，得该函数的定义域为{|4}x x ≠；（2）x R ∈，2()f x x =都有意义，即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠，得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠，得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且．2．下列哪一组中的函数()f x 与()g x 相等？（1）2()1,()1x f x x g x x=-=-；（2）24(),()()f x x g x x ==；（3）326(),()f x x g x x ==．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()()g x x =的定义域为{|0}x x ≥，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（3）对于任何实数，都有362x x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域．（1）3y x =；（2）8y x=；（3）45y x =-+；（4）267y x x =-+．3．解：（1）义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；定（2）定义域是(,0)(0,)-∞+∞，值域是(,0)(0,)-∞+∞；（3）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．已知函数2()352f x x x =-+，求(2)f -，()f a -，(3)f a +，()(3)f a f +．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(2)3(2)5(2)2852f -=⨯--⨯-+=+，即(2)852f -=+；同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++，即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++，即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+，即2()(3)3516f a f a a +=-+．5．已知函数2()6x f x x +=-，（1）点(3,14)在()f x 的图象上吗？（2）当4x =时，求()f x 的值；（3）当()2f x =时，求x 的值．5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-，即点(3,14)不在()f x 的图象上；（2）当4x =时，42(4)346f +==--，即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-，即14x =．6．若2()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f ==，求(1)f -的值．6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根，即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=，即(1)f -的值为8．7．画出下列函数的图象：（1）0,0()1,0x F x x ≤⎧=⎨>⎩；（2）()31,{1,2,3}G n n n =+∈．7．图象如下：8．如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x ，宽为y ，对角线为d ，周长为l ，那么你能获得关于这些量的哪些函数？8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x=>，10(0)x y y =>，由对角线为d ，即22d x y =+，得22100(0)d x x x =+>，由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x=+>，另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，得22222()22220(0)l x y x y xy d d =+=++=+>，即2220(0)l d d =+>．9．一个圆柱形容器的底部直径是dcm ，高是hcm ，现在以3/vcm s 的速度向容器内注入某种溶液．求溶液内溶液的高度xcm 关于注入溶液的时间ts 的函数解析式，并写出函数的定义域和值域．9．解：依题意，有2()2d x vt π=，即24v x t dπ=，显然0x h ≤≤，即240vt h d π≤≤，得204h d t v π≤≤，得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ．10．设集合{,,},{0,1}A a b c B ==，试问：从A 到B 的映射共有几个？并将它们分别表示出来．10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．函数()r f p =的图象如图所示．（1）函数()r f p =的定义域是什么？（2）函数()r f p =的值域是什么？（3）r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应？1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-；（2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．2．画出定义域为{|38,5}x x x -≤≤≠且，值域为{|12,0}y y y -≤≤≠的一个函数的图象．（1）如果平面直角坐标系中点(,)P x y 的坐标满足38x -≤≤，12y -≤≤，那么其中哪些点不能在图象上？（2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[ 3.5]4-=-，[2.1]2=．当( 2.5,3]x ∈-时，写出函数()f x 的解析式，并作出函数的图象．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一个城镇．（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度是5/km h ，t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离．请将t 表示为x 的函数．（2）如果将船停在距点P 4km 处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h ）？4．解：（1）驾驶小船的路程为222x +，步行的路程为12x -，得2221235x xt +-=+，(012)x ≤≤，即241235x xt +-=+，(012)x ≤≤．（2）当4x =时，2441242583()3535t h +-=+=+≈．第一章集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值练习（第32页）1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．整个上午(8:0012:00)天气越来越暖，中午时分(12:0013:00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.画出这一天8:0020:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数．4．证明函数()21f x x =-+在R 上是减函数.4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->，即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．设()f x 是定义在区间[6,11]-上的函数.如果()f x 在区间[6,2]--上递减，在区间[2,11]-上递增，画出()f x 的一个大致的图象，从图象上可以发现(2)f -是函数()f x 的一个 .5．最小值．1．3．2单调性与最大（小）值练习（第36页）1．判断下列函数的奇偶性：（1）42()23f x x x =+；（2）3()2f x x x =-（3）21()x f x x+=；（4）2()1f x x =+.1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-，所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x -++-==-=--，所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=，所以函数2()1f x x =+为偶函数.2.已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，试将下图补充完整.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的；()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3A 组1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数()y f x =的单调区间，以及在各单调区间上函数()y f x =是增函数还是减函数.（1）256y x x =--；（2）29y x =-.1．解：（1）5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增；函数在（2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.2.证明：（1）函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数.2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-，由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=，由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数.3.探究一次函数()y mx b x R =+∈的单调性，并证明你的结论.3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数，令()f x mx b =+，设12x x <，而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）.4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5.某汽车租赁公司的月收益y 元与每辆车的月租金x 元间的关系为21622100050x y x =-+-，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？5．解：对于函数21622100050x y x =-+-，当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元），即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元．6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.画出函数()f x的图象，并求出函数的解析式.6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.B 组1.已知函数2()2f x x x =-，2()2([2,4])g x x x x =-∈.（1）求()f x ，()g x 的单调区间；（2）求()f x ，()g x 的最小值.1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数，函数()g x 的单调区间为[2,4]，且函数()g x 在[2,4]上为增函数；（2）当1x =时，min ()1f x =-，因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2.如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m ，那么宽x （单位：m ）为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ，则23033(10)22x x x S x --==-，当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．3.已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下：设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-，又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题A 组1．用列举法表示下列集合：（1）2{|9}A x x ==；（2）{|12}B x N x =∈≤≤；（3）2{|320}C x x x =-+=.1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-；（2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =．2．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？（1）{|}P PA PB =(,)A B 是两个定点；（2）{|3}P PO cm =()O 是定点.2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆．3.设平面内有ABC ∆，且P 表示这个平面内的动点，指出属于集合{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是什么.3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线，集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4.已知集合2{|1}A x x ==，{|1}B x ax ==.若B A ⊆，求实数a 的值.4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==，当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =；当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a=，得1a =-，或1a =，综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5.已知集合{(,)|20}A x y x y =-=，{(,)|30}B x y x y =+=，{(,)|23}C x y x y =-=，求AB ，AC ，()()A B B C .5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B =；集合20(,)|23x y AC x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅；集合3039(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭；则39()(){(0,0),(,)}55AB BC =-.6.求下列函数的定义域：（1）y =（2）||5y x =-.6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞．7.已知函数1()1xf x x-=+，求：（1）()1(1)f a a +≠-；（2）(1)(2)f a a +≠-.7．解：（1）因为1()1xf x x -=+，所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++，即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++，即(1)2af a a +=-+．8.设221()1x f x x+=-，求证：（1）()()f x f x -=；（2）1()()f f x x=-.8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---，即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x +=-，所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---，即1()()f f x x=-.9.已知函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，求实数k 的取值范围.9．解：该二次函数的对称轴为8k x =，函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，则208k ≥，或58k≤，得160k ≥，或40k ≤，即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．已知函数2y x -=，（1）它是奇函数还是偶函数？（2）它的图象具有怎样的对称性？（3）它在(0,)+∞上是增函数还是减函数？（4）它在(,0)-∞上是增函数还是减函数？10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称；（3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数；（4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人，则158143328x ++---=，得3x =，只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人．2.已知非空集合2{|}A x R x a =∈=，试求实数a 的取值范围.2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥．3.设全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，(){1,3}UA B =，(){2,4}U A B =，求集合B .3．解：由(){1,3}UA B =，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =，集合AB 里除去()U A B ，得集合B ，所以集合{5,6,7,8,9}B =.4.已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.求(1)f ，(3)f -，(1)f a +的值.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=；当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩．5.证明：（1）若()f x ax b =+，则1212()()()22x x f x f x f ++=；（2）若2()g x x ax b =++，则1212()()()22x x g x g x g ++≤. 5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x af a b x x b ++=+=++，121212()()()222f x f x ax b ax b ax x b ++++==++，所以1212()()()22x x f x f x f ++=；（2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++，22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++2212121()()22x x x x a b +=+++，因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+，所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6.（1）已知奇函数()f x 在[,]a b 上是减函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？（2）已知偶函数()g x 在[,]a b 上是增函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >，所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-，又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >，所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7.《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算：某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得由25004000x <≤，25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =，所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．。

人教b版高一数学必修一：2.1.2《函数的表示方法(1)》学案(含答案)

对点讲练
知识点一认识函数的三种表示法
例 1 已知完成某项任务的时间 t 与参加完成此项任务的人数 x 之间适合关系式 t＝ ax＋
bx，当 x＝ 2 时， t ＝100；当 x＝ 14 时， t ＝28，且参加此项任务的人数不能超过
20 人．
(1)写出函数 t 的解析式；
(2)用列表法表示此函数；
2.1.2 函数的表示方法 ( 一 )
自主学习学习目标 1．掌握函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法，体会三种表示方法的特点． 2．掌握函数图象的画法及解析式的求法 .
自学导引表示函数的方法常用的有： (1)解析法 —— 用 ________表示两个变量之间的对应关系； (2)图象法 —— 用 ________表示两个变量之间的对应关系； (3)列表法 —— 列出 ________来表示两个变量之间的对应关系．
二、填空题
6．一水池有 2 个进水口， 1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天该水池的蓄水量如图丙所示． (至少打开一个水口 )
0 点到 6 点，
给出以下 3 个论断：① 0 点到 3 点只进水不出水；② 3 点到 4 点不进水只出水；③ 4 点
到 6 点不进水不出水．则一定能确定正确论断的序号是
y
1
0
－1
1－ x2
1
3．若 f(1－ 2x)＝ x2 (x≠0)，那么 f 2 等于 (
)
A．1
B． 3
C． 15
D． 30
4．已知 f(x)是一次函数， 2f(2) － 3f(1)＝ 5,2f(0) － f(－ 1)＝ 1，则 ( )
A ． f(x)＝ 3x＋ 2
B ． f(x)＝ 3x－ 2

【走向高考】高考数学总复习 2-1函数及其表示课后作业北师大版

【走向高考】2013年高考数学总复习 2-1函数及其表示课后作业北师大版一、选择题1．(文)(2011·江西文，3)若f (x )＝1log 122x ＋1，则f (x )的定义域为( )A ．(－12，0)B ．(－12，＋∞)C ．(－12，0)∪(0，＋∞)D ．(－12，2)[答案] C[解析] 本题主要考查函数的基本性质，利用对数函数的基本性质．要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>02x ＋1≠1所以⎩⎪⎨⎪⎧x >－12x ≠0.(理)(2011·江西理，3)若f (x )＝1log 122x ＋1，则f (x )的定义域为( )A ．(－12，0)B ．(－12，0]C ．(－12，＋∞)D ．(0，＋∞)[答案] A[解析] 本题主要考查对数函数的定义与性质．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>02x ＋1<1，解得－12<x <0，故函数的定义域为(－12，0)，故选A.2．已知f (x )＝π(x ∈R)，则f (π2)等于( ) A ．π2B ．π C.π D ．不确定[答案] B[解析] f (x )＝π为常数函数，所以f (π2)＝π. 3．(文)下列各组函数中表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x 与g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |与g (x )＝3x 3C ．f (x )＝x |x |与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x >0－x 2x <0D ．f (x )＝x 2－1x －1与g (t )＝t ＋1(t ≠1)[答案] D[解析] A 中定义域不同，B 中解析式不同，C 中定义域不同． (理)下列对应法则f 为A 上的函数的个数是( ) ①A ＝Z ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝x 2②A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x ③A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] B[解析] 对于①，当0∈A 时，y ＝0∉B ，故①所给的对应法则不是A 到B 的映射，当然它不是A 上的函数关系；对于②，当2∈A 时，y ＝2∉B ，故②所给的对应法则不是A 到B 的映射，当然它不是A 上的函数关系；对于③，对于A 中的任一个数，按照对应法则，在B 中都有唯一元素0和它对应，故③所给的对应法则是A 到B 的映射，这两个数集之间的关系是集合A 上的函数关系．4．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1x ≤0－2xx >0，使函数值为5的x 的值是( )A ．－2B ．2或－ 52C ．2或－2D ．2或－2或－52[答案] A[解析] 由题意有x 2＋1＝5，得x ＝±2，又x ≤0，所以x ＝－2；或－2x ＝5，得x ＝－52，又x >0，舍去．5．(2012·茂名一模)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1， x <2，log 3x 2－1， x ≥2，则f [f (2)]的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] ∵f (2)＝log 3(22－1)＝1，又f (1)＝2·e 0＝2，∴f [f (2)]＝2.6．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x ＋3，f (m )＝6，则m 等于( ) A.14 B ．－14C.32 D ．－32[答案] B[解析] 令2x ＋3＝6，得x ＝32，则m ＝12x －1＝12×32－1＝－14.故选B.二、填空题7．已知函数f (x )、g (x )分别由下表给出则f [g (1)]的值为________；满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是________． [答案] 2；2[解析] f [g (1)]＝f (3)＝2.故f [8．已知f (0)＝1，且对任意实数a ，b 总有f (a －b )＝f (a )－b (2a －b ＋1)，则f (x )＝________. [答案] x 2＋x ＋1[解析] 令a ＝0，则f (－b )＝f (0)－b (－b ＋1)＝1＋b (b －1)＝b 2－b ＋1 再令－b ＝x ，即得：f (x )＝x 2＋x ＋1.[点评] 赋值法的关键环节是“赋值”，赋值的方法灵活多样，既要照顾到已知条件的运用和待求结论的产生，又要考虑所给关系式的结构特点．如本题另解：令b ＝a ，则1＝f (0)＝f (a )－a (2a －a ＋1) ＝f (a )－a (a ＋1)＝f (a )－a 2－a ，∴f (a )＝a 2＋a ＋1，∴f (x )＝x 2＋x ＋1. 三、解答题9．已知f (x )是定义在[－6,6]上的奇函数，它在[0,3]上是一次函数，在[3,6]上是二次函数，且当x ∈[3,6]时，f (x )≤f (5)＝3，f (6)＝2，求f (x )的解析式．[解析] ∵x ∈[3,6]时，y ＝f (x )是二次函数，f (6)＝2且f (x )≤f (5)＝3∴当x ＝5时，二次函数有最大值3，当x ∈[3,6]时可设f (x )＝a (x －5)2＋3，由f (6)＝2，a ＋3＝2，得a ＝－1∴当x ∈[3,6]时，f (x )＝－(x －5)2＋3 则f (3)＝－1，由y ＝f (x )为奇函数，∴f (0)＝0当x ∈[0,3]时，y ＝f (x )为一次函数，由f (0)＝0，f (3)＝－1，得f (x )＝－13x ，由y ＝f (x )为奇函数知，当x ∈[－3,0]时，f (x )＝－f (－x )＝－13x .当x ∈[－6，－3]时，f (x )＝－f (－x )＝(x ＋5)2－3∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －52＋3，3≤x ≤6－13x ，－3≤x <3x ＋52－3，－6≤x <－3.一、选择题1．(2011·福建文，8)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[答案] A[解析] 本题考查分段函数求值．∵f (1)＝21＝2，∴由f (a )＋f (1)＝0知 f (a )＝－2. 当a >0时 2a ＝－2不成立．当a <0时a ＋1＝－2，a ＝－3. 2．(文)设f (x )＝1＋x1－x，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1,2，…，则f 2013(x )＝( )A.1＋x1－xB.x －1x ＋1 C．x D ．－1x[答案] A[解析] 由已知条件得到f 2(x )＝f [f 1(x )]＝1＋f 1x 1－f 1x ＝1＋1＋x 1－x 1－1＋x 1－x＝－1x， f 3(x )＝f [f 2(x )]＝1＋f 2x1－f 2x＝1－1x 1＋1x＝x －1x ＋1， f 4(x )＝f [f 3(x )]＝1＋f 3x 1－f 3x ＝1＋x －1x ＋11－x －1x ＋1＝x ， f 5(x )＝f [f 4(x )]＝1＋x1－x，易知f n (x )是以4为周期的函数，而2013＝503×4＋1，所以f 2013(x )＝f 1(x )＝1＋x1－x. (理)如图所示，单位圆中弧AB ︵的长为x ，f (x )表示弧AB ︵与弦AB 所围成的弓形(阴影部分)面积的2倍，则函数y ＝f (x )的图像是( )[答案] D[解析] 如图所示，设∠AOB＝θ，则x＝θ.则弓形面积＝S扇形－S△AOB＝12x×1－2×12sinθ2cosθ2＝12(x－sinθ)＝12(x－sin x)．当x∈[0，π]时，sin x≥0，则x－sin x≤x，其图像位于y＝x下方．当x∈(π，2π]时，sin x≤0，则x－sin x≥x，其图像位于y＝x上方．所以只有D项符合题意．二、填空题3．(文)已知g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝1－x2x2(x≠0)，那么f⎝⎛⎭⎪⎫12等于________．[答案] 15[解析] 令g (x )＝12，即1－2x ＝12，所以x ＝14，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142÷⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝15.(理)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，1221－x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，定义f n (x )＝f (f n －1(x ))，其中f 1(x )＝f (x )，则f 2013⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝________.[答案] 45[解析] 依次计算：f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝710，f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝35，f 3⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝45，f 4⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝25，f 5⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝910，f 6⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝15， f 7⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝710，可知f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15的最小正周期为6，即得f n ＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，所以f 2013⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝f 3⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝45.[点评] 该题考查分段函数的知识，解题的关键是发现函数具有周期性，再将f 2013⎝ ⎛⎭⎪⎫15转化为f 3⎝ ⎛⎭⎪⎫15即可．4．(文)(2011·四川文，16)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A ，且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R)是单函数，下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R)是单函数； ②指数函数f (x )＝2x(x ∈R)是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________(写出所有真命题的编号) [答案] ②③④[解析] 该题为信息考查题，考查学生迁移知识的能力，考查“单函数”的意义．由x 21＝x 22，未必有x 1＝x 2，故①不正确；对于f (x )＝2x，当f (x 1)＝f (x 2)时一定有x 1＝x 2，故②正确；当f (x )为单函数时，有f (x 1)＝f (x 2)⇒x 1＝x 2，则其逆否命题f (x )为单函数时，x 1≠x 2⇒f (x 1)≠f (x 2)为真命题，故③正确；当函数在其定义域上单调时，一定有f (x 1)＝f (x 2)⇒x 1＝x 2，故④正确．(理)(2011，四川理，16)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A ，且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R)是单函数，下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R)是单函数；②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象； ④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )一定是单函数．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号) [答案] ②③[解析] 当f (x )＝x 2时，不妨设f (x 1)＝f (x 2)＝4，有x 1＝2，x 2＝－2，此时x 1≠x 2，故①不正确；由f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2可知，当x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)，故②正确；若b ∈B ，b 有两个原象时，不妨设为a 1，a 2，可知a 1≠a 2，但f (a 1)＝f (a 2)，与题中条件矛盾，故③正确；函数f (x )在某区间上具有单调性时在整定义域上不一定单调，因而f (x )不一定是单函数，故④不正确．故答案为②③.三、解答题5．(文)求下列函数的定义域： (1)y ＝25－x 2＋lgcos x ； (2)y ＝log 12x 2－1； (3)y ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x.[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧25－x 2≥0，cos x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧－5≤x ≤5，2k π－π2<x <2k π＋π2k ∈Z .∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－5，－32π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，5.(2)由log 12(x 2－1)≥0，得0<x 2－1≤1，∴－2≤x <－1或1<x ≤ 2.∴函数的定义域为{x |－2≤x <－1或1<x ≤2} (3)由1－1x>0，得x >1或x <0，∴函数的定义域为{x |x >1或x <0}．(理)函数f (x )的定义域为R ，且满足下面两个条件：①存在x 1≠x 2，使f (x 1)≠f (x 2)；②对任意的x 、y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )．(1)求f (0)；(2)证明对任意的x 、y ∈R ，f (x )>0恒成立．[解析] (1)∵f (0＋0)＝f (0)·f (0)，∴f (0)＝0或f (0)＝1.若f (0)＝0，则存在x ≠0，使对任意的x ∈R 有f (x ＋0)＝f (x )·f (0)＝0，即f (x )＝0，与条件矛盾，∴f (0)＝1.(2)f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22≥0，若存在x 0使f (x 0)＝0，则对任意的x ∈R ，f (x )＝f [(x －x 0)＋x 0]＝f (x 0)·f (x －x 0)＝0，与条件矛盾，∴f (x )>0恒成立．6．已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且f (x )最小值是－1，函数g (x )与f (x )的图像关于原点对称．(1)求f (x )和g (x )的解析式；(2)若h (x )＝f (x )－λg (x )在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围． [解析] (1)依题意，设f (x )＝ax (x ＋2)＝ax 2＋2ax (a >0)．f (x )图像的对称轴是x ＝－1，∴f (－1)＝－1，即a －2a ＝－1，∴a ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x . ∵函数g (x )的图像与f (x )的图像关于原点对称， ∴g (x )＝－f (－x )＝－x 2＋2x .(2)由(1)得h (x )＝x 2＋2x －λ(－x 2＋2x )＝(λ＋1)x 2＋2(1－λ)x . ①当λ＝－1时，h (x )＝4x 满足在区间[－1,1]上是增函数； ②当λ<－1时，h (x )图像对称轴是x ＝λ－1λ＋1，则λ－1λ＋1≥1，又λ<－1，解得λ<－1； ③当λ>－1时，同理需λ－1λ＋1≤－1，又λ>－1，解得－1<λ≤0.综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]．7．等腰梯形ABCD 的两底分别为AD ＝2a ，BC ＝a ，∠BAD ＝45°，作直线MN ⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N ，记AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，并写出函数的定义域．[解析] 作BH ⊥AD ，H 为垂足，CG ⊥AD ，G 为垂足，依题意，则有AH ＝a 2，AG ＝32a .(1)当M 位于点H 的左侧时，N 在AB 上，由于AM ＝x ，∠BAD ＝45°. ∴MN ＝x . ∴y ＝S △AMN ＝12x 2⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤a 2. (2)当M 位于H 、G 之间时，由于AM ＝x ， ∴MN ＝a2，BN ＝x －a2.∴y ＝S 直角梯形AMNB ＝12 · a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝12ax －a28⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<x ≤32a .(3)当M 位于点G 的右侧时，由于AM ＝x ，MN ＝MD ＝2a －x . ∴y ＝S 梯形ABCD －S △MDN＝12 · a 2(2a ＋a )－12(2a －x )2＝3a 24－12(4a 2－4ax ＋x 2) ＝－12x 2＋2ax －5a 24 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a <x ≤2a . 综上：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 212ax －a28 x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤a 2，32a －12x 2＋2ax －5a 24 x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32a ，2a。

2013高考数学第一轮基础复习课后作业 2-1 函数及其表示新人教B版

2-1 函数及其表示1.(2011·浙江嘉兴一中模拟)设集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是( )[答案] B[解析] 函数的定义要求定义域内的任一变量都有唯一的函数值与之对应，A 中x ∈(0,2]时没有函数值，C 中函数值不唯一，D 中的值域不是N ，所以选B.2．(文)(2011·广州市综合测试)函数y ＝1－2x 的定义域为集合A ，函数y ＝l n (2x ＋1)的定义域为集合B ，则A ∩B 等于( )A ．(－12，12]B ．(－12，12)C ．(－∞，－12)D ．[12，＋∞)[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ≥02x ＋1>0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12，x >－12.∴－12<x ≤12，故A ∩B ＝(－12，12]．(理)(2010·湖北文，5)函数y ＝1log 0.5x －的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪(1，＋∞) [答案] A[解析] log 0.5 (4x －3)>0＝log 0.51，∴0<4x －3<1， ∴34<x <1. 3．(2011·山东潍坊模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，x ≥3，f x ＋，x <3，则f (log 23)的值是( )A.112 B.124C ．24D ．12 [答案] A[解析] ∵1<log 23<2，∴3<log 23＋2<4， ∴f (log 23)＝f (log 23＋1) ＝f (log 23＋2)＝f (log 212) ＝(12)log 212＝112. 4．(2011·福建文，8)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 [答案] A[解析] ∵f (1)＝21＝2，∴由f (a )＋f (1)＝0知 f (a )＝－2. 当a >0时 2a＝－2不成立．当a <0时a ＋1＝－2，a ＝－3.5．(文)(2010·广东六校)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ∈－∞，2]log 2x x ∈，＋，则满足f (x )＝4的x 的值是( )A ．2B ．16C ．2或16D ．－2或16 [答案] C[解析] 当f (x )＝2x时.2x＝4，解得x ＝2. 当f (x )＝log 2x 时，log 2x ＝4，解得x ＝16. ∴x ＝2或16.故选C.(理)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x－ 1x lg x x，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(10，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(－1,10)D ．(0,10) [答案] A[解析] 由⎩⎨⎧x 0<121－x 0－1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥1lg x 0>1⇒x 0<0或x 0>10.6．(2010·山东肥城联考)已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程g [f (x )]＝x 的解集为( ) A ．{1} B ．{2} C ．{3} D ．∅[答案] C[解析] g [f (1)]＝g (2)＝2，g [f (2)]＝g (3)＝1；g [f (3)]＝g (1)＝3，故选C.7．(文)(2011·济南模拟)已知函数f (x )＝x －1x ＋1，则f (x )＋f (1x)＝________. [答案] 0[解析] ∵f (1x )＝1x －11x＋1＝1－x1＋x，∴f (x )＋f (1x )＝x －1x ＋1＋1－x1＋x＝0.(理)若f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝1，则ff＋f f＋f f＋…＋f f＝________.[答案] 2011 [解析] 令b ＝1，则f a ＋f a＝f (1)＝1，∴f f＋f f＋f f＋…＋f f＝2011.8．(2011·武汉模拟)已知f (2x＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.[答案] lg2x －1(x >1) [解析] 令2x ＋1＝t ，∵x >0，∴t >1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，f (x )＝lg 2x －1(x >1)． 9．(文)(2011·广东文，12)设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________. [答案] －9[解析] 令g (x )＝x 3cos x ，则f (x )＝g (x )＋1，g (x )为奇函数．f (a )＝g (a )＋1＝11，所以g (a )＝10，f (－a )＝g (－a )＋1＝－g (a )＋1＝－9.(理)(2011·安徽省淮南市高三第一次模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )·f (x ＋2)＝13，若f (1)＝2，则f (2011)＝________.[答案]132[解析] ∵f (x ＋4)＝13f x ＋＝1313f x＝f (x )， ∴函数f (x )的周期为4，所以f (2011)＝f (4×502＋3)＝f (3)＝13f＝132. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12，－1<x <0e x －1 x ≥0，若f (1)＋f (a )＝2，求a 的值．[解析] ∵f (1)＝e 1－1＝1，又f (1)＋f (a )＝2，∴f (a )＝1.若－1<a <0，则f (a )＝a 2＋12＝1，此时a 2＝12，又－1<a <0，∴a ＝－22. 若a ≥0，则f (a )＝ea －1＝1，∴a ＝1.综上所述，a 的值是1或－22.11.(文)(2011·天津一中)若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，34)C ．(34，＋∞)D ．[0，34)[答案] D[解析] ①m ＝0时，分母为3，定义域为R.②由⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ<0得0<m <34.综上得0≤m <34.(理)(2011·黑龙江哈尔滨模拟)如果函数f (x )对于任意实数x ，存在常数M ，使得不等式|f (x )|≤M |x |恒成立，那么就称函数f (x )为有界泛涵．下面有4个函数：①f (x )＝1;②f (x )＝x 2；③f (x )＝(sin x ＋cos x )x;④f (x )＝xx 2＋x ＋1.其中有两个属于有界泛涵，它们是( ) A ．①② B ．②④ C ．①③ D ．③④ [答案] D[解析] 由|f (x )|≤M |x |对x ∈R 恒成立，知|f xx|max ≤M . ①中|f x x |＝|1x |∈(0，＋∞)，故不存在常数M 使不等式恒成立； ②中|f xx|＝|x |∈[0，＋∞)，故不存在常数M 使不等式恒成立；③中|f x x |＝|sin x ＋cos x |＝2|sin(x ＋π4)|≤2，故存在M 使不等式恒成立； ④中|f x x |＝|1x 2＋x ＋1|＝|1x ＋122＋34|≤43，故存在M 使不等式恒成立．[点评] 作为选择题判断①后即排除A 、C ，判断②后排除B ，即可选出D.12．(文)(2011·海南海口模拟)对a ，b ∈R ，记min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧aa <b ，b a ≥b ，函数f (x )＝min{12x ，－|x －1|＋2}(x ∈R)的最大值为________．[答案] 1[解析] y ＝f (x )是y ＝12x 与y ＝－|x －1|＋2两者中的较小者，数形结合可知，函数的最大值为1.(理)(2011·山东烟台模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x K ，K ， f x K .取函数f (x )＝a－|x |(a >1)．当K ＝1a时，函数f K (x )在下列区间上单调递减的是( )A ．(－∞，0)B ．(－a ，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)[答案] D[解析] 当K ＝1a 时，f K(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －|x |，a －|x |≤1a ，1a ，a －|x |>1a＝⎩⎪⎨⎪⎧1a |x |，x ≤－1或x ≥1，1a ，－1<x <1.∵a >1，∴0<1a<1，如图，作出函数f K (x )的图象可得其单调减区间为(1，＋∞)．13．(文)(2011·上海交大附中月考)函数f (x )＝x 2x 2＋1，则f (14)＋f (13)＋f (12)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝________.[答案] 72[解析] f (1)＝12，f (x )＋f (1x )＝x 2x 2＋1＋1x 21x2＋1＝x 2x 2＋1＋11＋x 2＝1，则f (14)＋f (13)＋f (12)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝3＋12＝72.(理)(2011·襄樊检测)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] 法一：若x ≤0，则f (x )＝x 2＋bx ＋c . ∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋b －＋c ＝c ，－2＋b－＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0.当x ≤0时，由f (x )＝x ，得x 2＋4x ＋2＝x ，解得x ＝－2，或x ＝－1；当x >0时，由f (x )＝x ，得x ＝2. ∴方程f (x )＝x 有3个解．法二：由f (－4)＝f (0)且f (－2)＝－2，可得f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f (x )的简图(如图所示)．方程f (x )＝x 的解的个数就是函数y ＝f (x )的图象与y ＝x 的图象的交点的个数，所以有3个解．14．(2011·洛阳模拟)已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个．[答案] 5 [解析] 由0≤4|x |＋2－1≤1，即1≤4|x |＋2≤2得 0≤|x |≤2，满足条件的整数数对有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)共5个．[点评] 数对(a ，b )的取值必须能够使得|x |的取值最小值为0，最大值为2，才能满足f (x )的值域为[0,1]的要求．15．(文)已知函数f (x )＝xax ＋b(ab ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．[解析] 由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得xax ＋b＝x ，变形得x (1ax ＋b－1)＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba，又因方程有唯一解，∴1－b a＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴f (x )＝2x x ＋2. (理)(2011·广东普宁模拟)已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．[解析] (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋ax >0，a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)． a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}，0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2>0恒成立，∴g (x )＝x ＋ax－2在[2，＋∞)上是增函数． ∴f (x )＝lg(x ＋a x －2)在[2，＋∞)上是增函数．∴f (x )＝lg(x ＋ax －2)在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． ∴a >3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－(x －32)2＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数，∴h (x )max ＝h (2)＝2，∴a >2.16．(2010·深圳九校)某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为1206t 吨，(0≤t ≤24)．(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．[解析] (1)设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨，则y ＝400＋60t －1206t (0≤t ≤24) 令6t ＝x ，则x 2＝6t 且0≤x ≤12，∴y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40(0≤x ≤12)；∴当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨． (2)依题意400＋10x 2－120x <80，得x 2－12x ＋32<0，解得4<x <8，即4<6t <8，∴83<t <323；∵323－83＝8，∴每天约有8小时供水紧张．1．(2011·江西文，3)若f (x )＝,则f (x )的定义域为( )A ．(－12，0)B ．(－12，＋∞)C ．(－12，0)∪(0，＋∞)D ．(－12，2)[答案] C[解析] 要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>02x ＋1≠1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >－12x ≠0.故选C.2．(2010·浙江宁波十校联考)值域为{2,5,10}，对应关系为y ＝x 2＋1的函数个数为( )A ．1B ．8C ．27D ．39 [答案] C[解析] 本题的关键是寻找满足条件的定义域有多少种情况．当y ＝2，即x 2＝1时，x ＝1，－1或±1有三种情况，同理当y ＝5,10时，x 的值各有三种情况，由分步乘法计数原理知，共有3×3×3＝27种可能．故选C.3．(2010·陕西理，5)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12B.45C ．2D ．9 [答案] C[解析] f (0)＝20＋1＝2，f (2)＝4＋2a ＝4a ，∴a ＝2.4．(2010·天津理，8)设函数f (x )＝若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) [答案] C[解析] 解法1：由图象变换知函数f (x )图象如图，且f (－x )＝－f (x )，即f (x )为奇函数，∴f (a )>f (－a )化为f (a )>0，∴当x ∈(－1,0)∪(1，＋∞)，f (a )>f (－a )，故选C.解法2：当a >0时，由f (a )>f (－a )得，log 12 og 2a >log 12 a ，∴a >1；当a <0时，由f (a )>f (－a )得，log 12(－a )>log 2(－a )，∴－1<a <0，故选C.5．a 、b 为实数，集合M ＝{ba，1}，N ＝{a,0}，f 是M 到N 的映射，f (x )＝x ，则a ＋b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1 [答案] C[解析] ∵f (x )＝x ，∴f (1)＝1＝a ，若f (b a )＝1，则有b a＝1，与集合元素的互异性矛盾， ∴f (b a)＝0，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1.6．(2011·温州十校二模)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10]B ．y ＝[x ＋310] C ．y ＝[x ＋410] D ．y ＝[x ＋510][答案] B[解析] 当x 除以10的余数为0,1,2,3,4,5,6时，由题设知y ＝[x 10]，且易验证此时[x10]＝[x ＋310]．当x 除以10的余数为7,8,9时，由题设知y ＝[x10]＋1，且易验证知此时[x10]＋1＝[x ＋310]．综上知，必有y ＝[x ＋310]．故选B.7．设函数f (x )、g (x )的定义域分别为F 、G ，且F G .若对任意的x ∈F ，都有g (x )＝f (x )，且g (x )为偶函数，则称g (x )为f (x )在G 上的一个“延拓函数”．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≤0)，若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函数，则函数g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2|x |B ．g (x )＝log 2|x |C ．g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |D ．g (x )＝log 12|x |[答案] A[解析] 由延拓函数的定义知，当x ≤0时，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，当x >0时，－x <0，∴g (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2x ， ∵g (x )为偶函数，∴g (x )＝2x，故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x x ≤02x x >0，即g (x )＝2|x |.8．(2011·广东揭阳一模)函数f (x )＝x 22－x－lg(x －1)的定义域是( )A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，1)[答案] B[解析] 要使函数有意义，须满足⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0x －1>0，∴1<x <2，∴函数的定义域为(1,2)．9．(2011·合肥模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2－x ，x ≤0，f x －＋1，x >0，则f (2011)等于( )A ．2008B ．2009C ．2010D ．2011 [答案] D[解析] 当x >0时，f (x )－f (x －1)＝1，∴f (2011)＝[f (2011)－f (2010)]＋[f (2010)－f (2009)]＋…＋[f (1)－f (0)]＋f (0)＋f (0)＝2011＋log 21＝2011.10.如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f(l)的图象大致是( )[答案] C[解析] 函数在[0，π]上的解析式为 d ＝12＋12－2×1×1×cos l ＝2－2cos l ＝4sin 2l2＝2sin l 2.在[π，2π]上的解析式为d ＝2－2cos π－＝2sin l2，故函数的解析式为d ＝2sin l2，l∈[0,2π]．[点评] 这类题目解决的基本方法通过分析变化趋势或者一些特殊的点，采用排除法；或求函数解析式．11．(2010·广东六校)某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持，已知每投入x 万元，可获得纯利润P ＝－1160(x －40)2＋100万元(已扣除投资，下同)，当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资，其中在前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，公路5年建成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获纯利润Q ＝－159160(60－x)2＋1192·(60－x)万元，问仅从这10年的累积利润看，该规划方案是否可行？[解析] 在实施规划前，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元，则10年的总利润为W 1＝100×10＝1000(万元)实施规划后的前5年中，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100知，每年投入30万元时，有最大利润P max ＝7958(万元)前5年的利润和为7958×5＝39758(万元)设在公路通车的后5年中，每年用x 万元投资于本地的销售，而剩下的(60－x)万元用于外地区的销售投资，则其总利润为W 2＝[－1160(x －40)2＋100]×5＋(－159160x 2＋1192x)×5＝－5(x －30)2＋4950.当x ＝30时，W 2＝4950(万元)为最大值，从而10年的总利润为39758＋4950(万元)．∵39758＋4950>1000， ∴该规划方案有极大实施价值．。

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高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作函数的表示一、选择题1．已知f (2x ＋1)＝1－2x ，则f (1)的值为( )A ．－1B ．3C ．1D ．02．函数y ＝－1x －1＋1的图象是下列图象中的( )3．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：每间房定价 100元 90元 80元 60元住房率65%75%85%95%要使每天的收入最高，每间房的定价应为( )A ．100元B ．90元C ．80元D ．60元4．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式为( )A ．2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋75．已知g (x )＝1-2x ，f (g (x ))＝1－x 2x2(x ≠0)，则f (0)等于( )A ．－3B ．－32 C.32 D ．36．某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎡⎦⎤x 10B ．y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋310C ．y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋5107．若集合A ＝{x |x ≤1，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则A ∩B ＝( )A ．{x |－1≤x ≤1}B．{x |x ≥0} C ．{x |0≤x ≤1} D ．∅二、填空题1．已知函数f (x )＝x 2－2x ，则函数f (x ＋1)＝________.2．已知f (x )＝x 1＋x ，则2f (1)＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝________.三、解答题1．已知二次函数f (x )满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求函数f (x )的解析式．。

【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)2.1函数及其表示课件理新人教B版

【规范解答】(1)选B.①当-1≤x＜0时，0＜-x≤1，此时f(x)=-x-1，f(-x)=(-x)+1=x+1,
≨f(x)-f(-x)＞-1化为-2x-2＞-1，
得x＜- 1 , 则-1≤x＜- 1 .
2
2
②当0＜x≤1时，-1≤-x＜0，此时，f(x)=-x+1， f(-x)=-(-x)-1=x-1, ≨f(x)-f(-x)＞-1化为-x+1-(x-1)＞-1, 解得x＜
2
综上可知，x=-1或 3.
答案：(1)
3 2
(2)-1或
3
求函数的定义域、值域【方法点睛】 1.求函数的定义域的方法 (1)若已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组) 求解. (2)实际问题：
由实际意义及函数解析式，列不等式(组)求解.
(3)求抽象函数的定义域： ①若已知函数f(x)的定义域为［a,b］，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出. ②若已知函数f(g(x))的定义域为［a,b］，则f(x)的定义域为 g(x)在x∈［a,b］时的值域. 2.求简单函数值域的方法
k b 1 解得 k 1. , b2 b 2
≧点(1,1)在抛物线上， ≨a+2=1,a=-1, ≨1≤x≤3时，函数的解析式为 y=-x2+4x-2(1≤x≤3),
1 x 2, x＜综上，函数的解析式为y= x 2 4x 2,1 x 3. x 2, x＞3
5 2
【解题指南】求解该题，需知道f(x),f(x+1)满足的关系式，
将f(x+1)用f(x)表示，然后再给x赋值，先求出f( 5 )，再求

新教材人教B版高中数学必修第一册练习-函数及其表示方法答案含解析

3.1.1函数及其表示方法第三章函数3.1 函数的概念与性质3.1.1函数及其表示方法课时1 函数的概念考点1函数的概念1.下列说法正确的是()。

A.函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B.函数的定义域和值域可以是空集C.函数的定义域和值域一定是数集D.函数的定义域和值域确定后,函数的对应法则也就确定了答案：C解析：由函数的定义可知,函数的定义域和值域为非空的数集。

2.下列四个图形中,不是以x为自变量的函数的图像是()。

图3-1-1-1-1答案：C解析：根据函数定义,知对自变量x的任意一个值,都有唯一确定的实数(函数值)与之对应。

显然选项A,B,D 满足函数的定义,而选项C不满足。

故选C。

3.(2018·河北衡水中学高一月考)下列四组函数中,表示同一函数的是()。

3 B.y=1与y=x0A.y=√x2与y=√x3C.y=2x+1与y=2t+1D.y=x与y=(√x)2答案：C3=x,它们的对应关系不同,不是同一函数;对于B,y=1(x∈R),y=x0=1(x≠0),它们的解析：对于A,y=√x2=|x|,y=√x3定义域不同,不是同一函数;对于C,y=2x+1与y=2t+1,它们的定义域相同,对应关系也相同,是同一函数;对于D,y=x(x∈R),y=(√x)2=x(x≥0),它们的定义域不同,不是同一函数。

【易错点拨】考查同一函数的问题,注意把握同一函数的定义,必须保证是三要素完全相同,才是同一函数。

4.(2019·西安高一检测)下列式子中不能表示函数y=f(x)的是()。

A.x=y2B.y=x+1C.x+y=0D.y=x2答案：A5.给出下列两个集合间的对应关系:①A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:A中的数的平方;②A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数的开方;③A=Z,B=Q,f:A中的数的倒数;④A=R,B={正实数},f:A中的数取绝对值;⑤A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},f:A中的数的2倍。

2013年数学高考总复习重点：2-1函数及其表示 133张

第二章
函
数
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() 理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画 3 出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． () 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重 4 要的函数模型．
第二章
函
数
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第二章
函
数
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3．函数与方程、函数的应用主要考查： () 零点与方程实数解的关系． 1 () 函数的概念、性质、图象的综合问题． 2 () 导数与零点的结合；方程、不等式、数列与函数的综 3 合问题． () 函数与解析几何知识的综合问题． 4 () 二次函数、三次函数、导数、零点的结合． 5 () 实际应用问题． 6
第二章
函
数
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重点训练：①求函数的定义域，特别是幂、指、对、一次、二次、三角的复合问题；②求函数的值(或值域)，特别是幂、指、对、一次、二次与分段函数、函数的奇偶、周期结合的题目；③指数函数、对数函数的图象、性质与分类讨论、数形结合、字母运算结合的题目；④函数的单调性、极值与导数结合的题目；⑤函数、导数、数列的小综合，函数、导数、不等式的小综合．
第二章
第一节
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() 实际问题或几何问题给出的函数的定义域：这类 3 问题除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义． (4)如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合． (5)求定义域的一般步骤： ①写出函数式有意义的不等式(组)； ②解不等式(组)； ③写出函数的定义域．

高中数学(人教B版)必修第一册：函数及其表示方法【精品课件】

常见错误：
把函数化为 g x
x x 1
再求定义域
例2.已知函数 f x x2 2x 3 .
⑴求f(0), f(1), f(3)的值； ⑵当x∈[0,3]时，求f(x)的值域. 解：⑴由已知可得
f 0 02 2 0 3 3, f 1 12 21 3 2, f 3 32 23 3 6.
例4.定义运算
a
b
a, b,
a a
b, b.
若函数
f
(x)=x²*(2x+3).
⑴ f (－2)= 4 , f (1)= 5 ;
⑵ f (x)的值域为
.
解：由定义
f
x
x2 , x2 2x
2 x
3,
x2
3 2x
= 3
x2 , x 1或x 3， 2x 3, 1 x 3.
f (x)=x²*(2x+3) y
如果用t表示测量的时间，v表示测量的指标值，则v是t的函数吗？如果是，这个函数可以用一个解析式表示吗？
二、函数概念：一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于
集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数.
其中对应关系f具有不同的数学形式，有的是一个解析式，有的是一个表格，有的是一个图像.
说明：在表示函数时，如果不会产生歧义，函数的定义域通常省略不写，此时约定：函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合. 如函数f(x)=2x+1, 其定义域就是R.
四、例题选讲例1.求下列函数的定义域：
⑴ f x 1 x 20；
x 1
解：因为函数有意义当且仅当

数学人教B版必修1课后训练：2-1-2 函数的表示方法含

课后训练基础巩固1．下列图形是函数y ＝－|x |(x ∈[－2,2])的图象的是( )2．已知函数f (x )A ．－1B 3．已知f (x 3－1)＝x ＋1，则f (7)的值为( )A 1B 1C ．3D ．24．已知21,0,()=(2),0,x x f x f x x ⎧-≤⎨->⎩则f (f (1))的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．25．若1=1x f x x ⎛⎫⎪-⎝⎭，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )＝( ) A ．1xB ．11x -C ．11x -D ．11x-6．设函数2,0,()=,0,x x f x x x -≤⎧⎨>⎩若f (a )＝4，则实数a ＝( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2 能力提升 7．如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，A (1,2)，(3,1)，则13f f ⎛⎫⎪()⎝⎭的值等于______．8．已知函数21,0,()=2,0.x x f x x x ⎧+≤⎨->⎩若f (x )＝10，则x ＝______. 9．已知实数a ≠0，函数2,1,()=2, 1.x a x f x x a x +<⎧⎨--≥⎩若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为______．10．已知f (x ＋1)＝x 2＋2x ，则f (x －1)＝________.11．设函数20,()=2,0,x bx c x f x x ⎧++≤⎨>⎩，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．12．已知函数f (x )在[－1,2]上的图象如图所示，则f (x )的解析式为________． 13．若定义运算ab ＝,,,,b a b a a b ≥⎧⎨<⎩则函数f (x )＝x(2－x )的值域是______．14．某市区住宅电话通话费为前3分钟0.20元，以后每分钟0.10元(不足3分钟按3分钟计，以后不足1分钟按1分钟计)．在直角坐标系内，画出接通后通话在6分钟内(不包括0分钟，包括6分钟)的通话费y (元)关于通话时间t (分钟)的函数图象，并写出函数解析式及函数的值域．15．画出下列函数的图象：(1)y ＝x 2－2|x |－1；(2)222,0,=2,0.x x x y x x x ⎧-≥⎨--<⎩16．已知函数f (x )对任意的实数x ，y ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋2y (x ＋y )，且f (1)＝1，求f (x )的解析式.参考答案1．B点拨：y＝－|x|＝,02,,20,x xx x-≤≤⎧⎨-≤<⎩注意端点的取舍．2．D点拨：表格中第一行给出了函数f(x)自变量的取值，第二行是相应的函数值，易知f(3)＝－4.3．C点拨：∵令x3－1＝7，得x3＝8，∴x＝2.∴f(7)＝2＋1＝3.4．A点拨：∵f(1)＝f(－1)＝(－1)2－1＝0，∴f(f(1))＝f(0)＝02－1＝－1.5．B点拨：令1=tx，则1=xt，∴11 ()==111tf ttt--.∴1 ()=1 f xx-.6．B点拨：当a≤0时，f(a)＝－a＝4，得a＝－4；当a＞0时，f(a)＝a2＝4，得a＝2.所以a＝－4或a＝2.7．2点拨：由题中图象知f(3)＝1，1(3)ff⎛⎫⎪⎝⎭＝f(1)＝2.8．－3点拨：分两种情况：当x≤0时，由f(x)＝x2＋1＝10，得x＝－3或x＝3(舍去)；当x＞0时，由f(x)＝－2x＝10得x＝－5(舍去)，综上可知x＝－3.9．34-点拨：首先讨论1－a,1＋a与1的关系，当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以－1－a＝3a＋2，所以3 =4 a-.当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1，所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1.因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以2－a＝－3a－1，所以3=2a-(舍去)．综上，满足条件的3 =4 a-.10．x2－2x点拨：∵f(x＋1)＝(x＋1)2－1，∴f(x)＝x2－1，∴f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x.11．3点拨：由函数解析式可得f(－4)＝(－4)2＋b×(－4)＋c＝16－4b＋c，f(0)＝02＋b×0＋c＝c，f(－2)＝(－2)2＋b×(－2)＋c＝4－2b＋c.∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，∴16－4b＋c＝c，且4－2b＋c＝－2，即b＝4，c＝2.∴2420 ()=20.x x xf xx⎧++≤⎨>⎩，，，当x≤0时，由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x，即x2＋3x＋2＝0，∴x＝－1或x＝－2. 当x＞0时，由f(x)＝x，得x＝2.综上可知，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为3.12．110()=1022x x f x x x +-≤≤⎧⎪⎨-<≤⎪⎩，，，点拨：设y 轴左侧函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ＞0，－1≤x ≤0)，把点(－1,0)，(0,1)的坐标代入上式得=0=1k b b -+⎧⎨⎩，，所以=1=1k b ⎧⎨⎩，，即y ＝x ＋1(－1≤x ≤0)．同理可得y 轴右侧函数的解析式为1=2y x -(0＜x ≤2)．13．(－∞，1] 点拨：由题意，得1()=2 1.x x f x x x <⎧⎨-≥⎩，，，画函数f (x )的图象，如图所示．由图象得函数f (x )的值域是(－∞，1]． 14．解：函数图象如图所示．这个函数解析式为0.2(03]0.3(34]04(45]0.5(56].t t y t t ∈⎧⎪∈⎪=⎨∈⎪⎪∈⎩，，；，，；，，，；，，函数的值域为{0.2,0.3,0.4,0.5}．15．解：(1)y ＝x 2－2|x |－1＝2221,0,21,0x x x x x x ⎧--≥⎨+-<⎩的图象如图1所示．(2)222,0,=2,0x x xyx x x⎧-≥⎨--<⎩的图象如图2所示．16．解：f(x＋y)＝f(x)＋2y(x＋y)对任意x，y∈R都成立，可令x＝0，y＝1，得f(1)＝f(0)＋2×1×(0＋1)，由f(1)＝1，解得f(0)＝－1.再令x＝0，y＝x，得f(x)＝f(0)＋2x(0＋x)＝－1＋2x2，即f(x)＝2x2－1.。

数学人教B版必修1教案：2-1-2-1 函数的表示方法含解析精品

示范教案2．1.2.1函数的表示方法整体设计教学分析课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：列表法，图象法，解析法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．三维目标1．了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法)，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，树立应用数形结合的思想．2．会用描点法画一些简单函数的图象，培养学生应用函数的图象解决问题的能力．重点难点教学重点：函数的三种表示方法．教学难点：分段函数的表示及其图象的初步认识．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag！西班牙文中称iFeliz CumpleaRos！印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun！荷兰文的生日快乐为Van Harte Gefeliciteerd met jeverj aardag！在俄语中则是С днем рождения！……那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？引出课题：函数的表示法．思路2.我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题)．推进新课新知探究提出问题初中学过的三种表示法：列表法、图象法和解析法各是怎样表示函数的？讨论结果：(1)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法．(2)图象法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数的图象，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法．(3)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫作解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式．应用示例思路1例1作函数y＝x的图象．分析：已知函数的定义域是[0，＋∞)，在直角坐标系中，由函数y＝x所确定的有序实数对有无限多个．可以想象，当自变量x在区间[0，＋∞)上从0开始连续无限增大时，相应的点(x，y)会形成一条连续不断的曲线．我们不可能作出一个定义在无穷区间内函数的完整图象，只能画出它在有限区间上的图象．也不可能作出函数图象上的无限多个点，但可以画出有限个坐标为(x，y)的点．现在的问题是，如何选取x值，通过描点、连线较准确地画出这个函数的图象．解：在这个函数的定义域内，从0开始适当地取若干个x的值：0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5，….算出对应的函数值，列出函数的对应值表(精确到0.1)：以这11个有序数对(x，y)为坐标，在直角坐标系中画出所对应的11个点，由这些点连成的一条光滑曲线就是函数y＝x的图象，如下图所示．点评：“数形结合”是我们研究函数的重要方法，画函数的图象是学习数学必须掌握的一个重要技能．在学习中要养成画图的习惯，并会利用函数的图象来理解函数的性质．例2某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元，试用三种表示法表示函数y＝f(x)．活动：学生思考函数的表示法的规定．注意本例的设问，此处“y＝f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．本题的定义域是有限集，且仅有5个元素．解：这个函数的定义域是{1,2,3,4,5}，用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．用列表法可将函数y＝f(x)表示为用图象法可将函数y＝f(x)表示为如下图所示．思路2例1设x是任意的一个实数，y是不超过x的最大整数，试问x和y之间是否是函数关系？如果是，画出这个函数的图象．解：对每一个实数x，都能够写成等式：x＝y＋α，其中y是整数，α是一个小于1的非负数．例如，6．48＝6＋0.48,6＝6＋0，π＝3＋0.141 592…，－1.35＝－2＋0.65，－12.52＝－13＋0.48，….由此可以看到，对于任一个实数x，都有唯一确定的y值与它对应，所以说x和y之间是函数关系．这个“不超过x的最大整数”所确定的函数通常记为y＝[x]．这个函数的定义域是实数集R，值域是整数集Z.例如，当x＝6时，y＝[6]＝6；当x＝π时，y＝[π]＝3；当x＝－1.35时，y＝[－1.35]＝－2.这个函数的图象，如下图所示．点评：本题中的函数通常称为取整函数，记为y＝[x]，x∈R.例2已知函数y＝f(n)，满足f(0)＝1，且f(n)＝nf(n－1)，n∈N＋.求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)．分析：这个函数用两个等式定义，第一个等式首先给出自变量的初始值对应的函数值，然后由这个函数值用第二个等式依次递推地计算下一个函数值．解：因为f(0)＝1，所以f(1)＝1·f(1－1)＝1·f(0)＝1，f(2)＝2·f(2－1)＝2·f(1)＝2×1＝2，f(3)＝3·f(3－1)＝3·f(2)＝3×2＝6，f(4)＝4·f(4－1)＝4·f(3)＝4×6＝24，f(5)＝5·f(5－1)＝5·f(4)＝5×24＝120.点评：例题中的函数定义所用到的运算，通常叫做递归运算．这种定义函数的方法在计算机语言中经常使用.知能训练1．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰长x的函数，则()A．y＝10－x(0＜x≤10)B．y＝10－x(0＜x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5＜x＜10)解析：根据等腰三角形的周长列出函数解析式．∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x.则20－2x＞0.∴x＜10.由构成三角形的条件(两边之和大于第三边)可知2x＞20－2x，得x＞5，∴函数的定义域为{x|5＜x＜10}．∴y＝20－2x(5＜x＜10)．答案：D2．定义在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则y＝f(x＋1)的值域为()A．[a，b] B．[a＋1，b＋1]C．[a－1，b－1] D．无法确定解析：将函数y＝f(x)的图象向左平移一个单位得函数y＝f(x＋1)的图象，由于定义域均是R，则这两个函数图象上点的纵坐标的取值范围相同，所以y＝f(x＋1)的值域也是[a，b]．答案：A3．函数f(x)＝11＋x2(x∈R)的值域是()A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]解析：(观察法)定义域是R，由于x2≥0，则1＋x2≥1，从而0＜11＋x2≤1.答案：B4．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，集合B＝{2,4,6,8}．集合A中的元素乘2.若A中的元素为自变量，B中的元素为因变量，能形成函数吗？解：不能．因为A中的元素5的2倍为10，并没有在集合B中．5．在矩形中，若面积值作为自变量，其中一边长为因变量，能形成函数吗？解：不能．因为面积一定时，其中一边的长不确定．6．某人骑车的速度是20千米/时．他骑1.5小时，走的路程是多少？你能写出时间与路程的函数吗？解：1.5小时走的路程是20×1.5＝30(千米)．设时间为t，路程为s，则s＝20t(t≥0)．7．由下列式子是否能确定y是x的函数？(1)x 2＋y 2＝2；(2)x －1＋y －1＝1； (3)y ＝x －2＋1－x.解：(1)由x 2＋y 2＝2，得y ＝±2－x 2，因此由它不能确定y 是x 的函数． (2)由x －1＋y －1＝1，得y ＝(1－x －1)2＋1，所以当x 在{x|x≥1}中任取一值时，由它可以确定一个唯一的y 与之对应，故由它可以确定y 是x 的函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，1－x≥0得x ∈∅，故x 无值可取，y 不是x 的函数．拓展提升问题：画函数图象时，除去描点法外，还有其他方法吗？解答：还有变换法作图．变换法画函数的图象有三类： 1．平移变换：(1)将函数y ＝f(x)的图象向左平移a(a ＞0)个单位得函数y ＝f(x ＋a)的图象； (2)将函数y ＝f(x)的图象向右平移a(a ＞0)个单位得函数y ＝f(x －a)的图象； (3)将函数y ＝f(x)的图象向上平移b(b ＞0)个单位得函数y ＝f(x)＋b 的图象； (4)将函数y ＝f(x)的图象向下平移b(b ＞0)个单位得函数y ＝f(x)－b 的图象．简记为“左加(＋)右减(－)，上加(＋)下减(－)”． 2．对称变换：(1)函数y ＝f(x)与函数y ＝f(－x)的图象关于直线x ＝0即y 轴对称； (2)函数y ＝f(x)与函数y ＝－f(x)的图象关于直线y ＝0即x 轴对称； (3)函数y ＝f(x)与函数y ＝－f(－x)的图象关于原点对称． 3．翻折变换：(1)函数y ＝|f(x)|的图象可以将函数y ＝f(x)的图象位于x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留y ＝f(x)的x 轴上方部分即可得到．(2)函数y ＝f(|x|)的图象可以将函数y ＝f(x)的图象y 轴右边部分翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留y ＝f(x)在y 轴右边部分图象即可得到．函数的图象是对函数关系的一种直观、形象的表示，可以直观地显示出函数的变化状况及其特性，它是研究函数性质时的重要参考，也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础．另一方面，函数的一些特性又能指导作图，函数与图象是同一事物的两个方面，是函数的不同表现形式．函数的图象可以比喻成人的相片，观察函数的图象可以解决研究其性质．当然，也可以由函数的性质确定函数图象的特点．借助函数的图象来解决函数问题，函数的图象问题是高考的热点之一，应引起重视．课堂小结本节课学习了：函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数．作业课本本节练习B 2、3.设计感想本节教学设计容量较大，尽量借助于信息技术来完成．本节的设计重点是函数的三种表示方法，提出了表示法的应用．备课资料[备选例题]例1车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每次一辆0.3元．(1)若设自行车停放的辆次数为x ，总的保管费收入为y 元，试写出y 关于x 的函数关系式；(2)若估计前来停放的3 500辆次中，电动车的辆次不小于25%，但不大于40%，试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围．活动：让学生审清题意读懂题．求解析式时不要忘记函数的定义域，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．然后再根据解析式列不等式求解．总的保管费＝自行车保管费＋电动车保管费．解：(1)由题意得y ＝0.3x ＋0.5(3 500－x)＝－0.2x ＋1 750，x ∈N ＋且0≤x≤3 500. (2)若电动车的辆次不小于25%，但不大于40%，则3 500×(1－40%)≤x≤3 500×(1－25%)，即2 100≤x≤2 625，画出函数y ＝－0.2x ＋1 750(2 100≤x≤2 625)的图象，可得函数y ＝－0.2x ＋1 750(2 100≤x≤2 625)的值域是[1 225,1 330]，即收入在1 225元至1 330元之间．点评：本题主要考查函数的解析式和值域，以及应用函数知识解决实际问题的能力．解函数应用题的步骤是①审清题意读懂题；②恰当设未知数；③列出函数解析式，并指明定义域；④转化为函数问题，并解决函数问题；⑤将数学问题的答案还原为实际答案．例2水池有2个进水口，1个出水口，每个水口进出水的速度如下图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如下图丙所示(至少打开一个水口)．给出以下三个论断：①0点到3点只进水不出水； ②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水；其中一定正确的论断是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③解析：由上图甲可看出，如果进水口与出水口同时打开，每个进水口的速度为出水口速度的一半，即v 进水＝12v 出水．由图丙可看出在0点到3点之间蓄水量以速度2匀速增加，所以在此时间段内一定是两个进水口均打开，出水口关闭，故①正确．由图丙可看出在3点到4点之间蓄水量以速度1匀速减少，所以在此时间段内一定是一个进水口打开，出水口打开，故②不正确．由图丙可看出在4点到6点之间蓄水量不变，所以在此时间段内一定是两个进水口打开，出水口打开，或者两个进水口关闭，出水口关闭，故③不正确．综上所述，论断仅有①正确．答案：A(设计者：张新军)。

高三数学(北师大)配套作业：2-1函数及其表示法.pdf

第2章第1节 1．下列各组函数是相同函数的是( ) A．y＝与y＝2 B．y＝|x－1|与y＝ C．y＝|x|＋|x－1|与y＝2x－1 D．y＝与y＝x 【解析】　y＝＝排除A项； y＝|x－1|＝排除B项； y＝|x|＋|x－1|＝排除C项．【答案】　D 2．已知f()＝，则f(x)的解析式是( ) A. B．－C. D．－【解析】　令t＝，得x＝，f(t)＝＝，f(x)＝. 【答案】　C 3．(2012·江西高考)若函数f(x)＝，则f(f(10))＝( )A．lg 101 B．2 C．1 D．0【解析】　f(10)＝lg 10＝1，所以 f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2，选B. 【答案】　B 4．函数f(x)＝的定义域为________．【解析】　要使函数有意义，必须且只须即解得：－1＜x＜1. 因此f(x)的定义域为(－1,1)．【答案】　(－1,1) 5．设f(x)＝ax＋b同时满足条件f(0)＝2和对任意xR都有f(x＋1)＝2f(x)－1成立．求函数f(x)的解析式．【解】　由f(x)＝ax＋b，且f(0)＝2，得a0＋b＝2， b＝1. 又f(x＋1)＝2f(x)－1. ax＋1＋1＝2(ax＋1)－1，即ax(a－2)＝0. 由ax＞0，a＝2. 因此f(x)＝2x＋1. 课时作业【考点排查表】考查考点及角度难度及题错题记录基础中档稍难函数与映射的概念29求函数的定义域13,1113函数的表示方法4,76,105,8,12一、选择题 1．函数y＝＋ln(2－x)的定义域是( ) A．[1，＋∞) B．(－∞，2) C．(1,2) D．[1,2) 【解析】　要使函数有意义，只须，即， 1≤x<2. 【答案】　D 2．下列各图形中，是函数图象的是( ) 【解析】　由函数的概念知：D正确．【答案】　D 3．(2012·瑞安高三考试)若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是( ) A．(0，) B．(－∞，0)(0，＋) C．(－∞，0][，＋∞) D．[0，) 【解析】　依题意，函数的定义域为R，即mx2＋4mx＋3≠0恒成立．当m＝0时，得3≠0，故m＝0适合，可排除A、B. 当m≠0时，16m2－12m<0，得0<m<，综上可知0≤m0时，不等式f(x)≥x2化为－x＋2≥x2，即，所以00}＝{x|x>}， N＝{x|1－≥0}＝{x|≥0}＝{x|x≥3，或x<1}； (2)M∩N＝{x|x≥3}，MN＝{x|x} (理)记函数f(x)＝的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为B. (1)求A； (2)若BA，求实数a的取值范围．【解】　(1)2－≥0，得≥0，x0，得(x－a－1)(x－2a)<0. a2a，B＝(2a，a＋1)． B?A，2a≥1或a＋1≤－1，即a≥或a≤－2，而a<1， ≤a<1或a≤－2，故当BA时，实数a的取值范围是(－∞，－2][，1)． 12．某摩托车生产企业上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？【解】　(1)由题意，本年度每辆摩托车的成本为1＋x(万元)，而出厂价为1.2×(1＋0.75x)(万元)，销售量为 1 000×(1＋0.6x)(辆)．故利润 y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1000(1＋0.6x)(0＜x＜1)．整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有则解得0＜x＜. 投入成本增加的比例应在(0，)范围内．四、选做题 13．(文)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，yR)，f(1)＝2，则f(－3)等于( ) A．2 B．3 C．6 D．9 【解析】　令x＝－3，y＝1，则f(－2)＝f(1)＋f(－3)－6. 又f(1)＝2，f(－3)＝f(－2)＋4. 令x＝－2，y＝1，则f(－1)＝f(1)＋f(－2)－4. f(－2)＝f(－1)＋2. 令x＝－1，y＝1，f(0)＝f(－1)＋f(1)－2，又x＝y＝0时，f(0)＝0，f(－1)＝0， f(－3)＝f(－2)＋4＝f(－1)＋6＝6.故选C. 【答案】　C (理)(2013·江南十校联考)函数f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2D，当x1＜x2时，都有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)在D上为非减函数．设函数f(x)在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件： f(0)＝0；f(1－x)＋f(x)＝1；f＝f(x)．则f＋f的值为________．【解析】　由f(0)＝0及f(1－x)＋f(x)＝1得f(1)＝1，有f＝f(1)＝，f＝1－f＝. 令≤x≤，由f(x)为非减函数得f≤f(x)≤f. 即当≤x≤时，有f(x)＝，又，则f＝，故f＋f＝1. 【答案】　1。

2013版高二数学人教B版选修2-1课件1-1-1命题

• [正解] 在①中，α∥β，m⊂α，n⊂β，由面面平行的性质，只有当m，n是第三个与 α，β相交的平面与α，β交线时，才有m∥n；在②中，由面面平行的判定定理，只有当 m，n相交时，才能有α∥β.③④正确．
• 故真命题序号为③④.
• [答案] ③④
一、选择题
1．下列语句中命题的个数为
() ①平行四边形不是梯形；② 10是有理数；③请坐！；
• 本章难点：含有一个量词的命题的否定；含有逻辑联结词的命题的真假判断．
• ●学法探究
• 1．这部分内容相对比较抽象，不易理解，学习中要注意多结合实例去理解概念．另外，用符号语言表述数学命题也增加了学习的难度，要逐步提高数学语言、符号语言的转换能力．
• 2．要学会类比的方法，将有关概念进行类比，以便更好地理解和运用．同时，还要用联系的观点去认识相关知识．如逻辑联结词“且”、“或”、“非”与集合的交、并、补的联系；充分条件、必要条件、充要条件与四种命题的联系．
• [分析] 因命题为真，故直接解不等式．
[解析] (1)由 x2＋2>3x，得 x2－3x＋2>0，所以(x－ 2)(x－1)>0，所以 x>2 或 x<1；
(2)由|5x－2|≥3，得 5x－2≥3 或 5x－2≤－3，所以 x≥1 或 x≤－15；
(3)由2xx－－11>1，得x－x 1>0，所以 x>1 或 x<0； (4)由(x－2)(x＋3)>6，使 x2＋x－12>0，所以 x>3 或 x<－4.
[解析] (1)假命题．当 a＝b＝0 时，a＋ 6b＝0 为有理数． (2)假命题．如数列 20,17,14,11,8,5,2，它的公差为－3. (3)真命题．当 m>14时，由于方程 mx2－x＋1＝0 的 Δ＝1－ 4m<0，因此方程无实数根． (4)假命题．如数 6，能被 2 整除，但不能被 4 整除．

【金牌精品】高考数学(文)一轮复习：2-1函数及其表示

课后课时作业[A 组·基础达标练]1．已知f ：x →－sin x 是集合A (A ⊆[0,2π])到集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12的一个映射，则集合A 中的元素个数最多有( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个答案 B解析当－sin x ＝0时sin x ＝0，x 可取0，π，2π；当－sin x ＝12时，sin x ＝－12，x 可取7π6，11π6，故集合A 中的元素最多有5个，故选B.2．如果函数f (x )＝ln (－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 D解析 ∵－2x ＋a >0，∴x <a 2，∴a2＝1，∴a ＝2.3．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2014]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[－1,2013]B ．[－1,1)∪(1,2013]C ．[0,2014]D ．[－1,1)∪(1,2014] 答案 B解析令t ＝x ＋1，则由已知函数y ＝f (x )的定义域为[0,2014]，可知f (t )中0≤t ≤2014，故要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2014，解得－1≤x ≤2013，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1,2013]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎨⎧－1≤x ≤2013，x －1≠0，解得－1≤x <1或1<x ≤2013.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2013]．4．定义a ⊕b ＝⎩⎨⎧a ×b ，a ×b ≥0，ab ，a ×b <0.设函数f (x )＝ln x ⊕x ，则f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( ) A ．4ln 2 B ．－4ln 2 C ．2 D ．0答案 D解析由题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x ，x ≥1，ln xx ，0<x <1，所以f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2ln 2＋2ln 12＝0.5．[2016·武汉质检]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0.若f (－a )＋f (a )≤0，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C ．[0,2]D ．[－2,2]答案 D解析依题意可得⎩⎨⎧a ≥0，a 2－2a ＋(－a )2＋2(－a )≤0或⎩⎨⎧a <0，(－a )2－2(－a )＋a 2＋2a ≤0，解得a ∈[－2,2]，故选D.6．[2015·石家庄一模]已知f (x )为偶函数，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f (4)＝( )A ．－3＋2B ．1C ．3 D.3＋2答案 D解析因为f ⎝⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin π3＝3，f (4)＝log 24＝2，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫－π3＋f (4)＝3＋2，故选D.7．[2015·日照模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >3，2x －3＋1，x ≤3满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( ) A ．log 23 B.1716 C.32 D ．1答案 C解析当a >3时，log 2(a ＋1)＝3，得a ＝7.当a ≤3时，2a －3＋1＝3，得a ＝4(舍去)，所以f (a －5)＝f (7－5)＝f (2)＝22－3＋1＝32.8．[2015·浙江高考]存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin2x )＝sin x B ．f (sin2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|答案 D解析对于A ，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝1，这与函数的定义不符，故A 错．在B 中，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝π24＋π2，与函数的定义不符，故B 错．在C 中，令x ＝1，得f (2)＝2；令x ＝－1，得f (2)＝0，与函数的定义不符，故C 错．在D 中，变形为f (|x ＋1|2－1)＝|x ＋1|，令|x ＋1|2－1＝t ，得t ≥－1，|x ＋1|＝t ＋1，从而有f (t )＝t ＋1，显然这个函数关系在定义域(－1，＋∞)上是成立的，选D.9．[2013·福建高考]已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.答案－2解析 ∵π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 10．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意的实数x ，y 都有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，则f (x )＝________.答案 x 2＋x ＋1解析由f (0)＝1，f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，令y ＝x ，得f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)，∴f (x )＝x 2＋x ＋1.11．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义； (2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解 (1)点A 表示无人乘车时收支差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价． (3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元． 12．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1. (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x 2－2)的值域．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意可知⎩⎨⎧c ＝0，a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝ax 2＋bx ＋c ＋x ＋1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ≠0，a ＋b ＝1，c ＝0，解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12，c ＝0.∴f (x )＝12x 2＋12x .(2)由(1)知y ＝f (x 2－2)＝12(x 2－2)2＋12(x 2－2)＝12(x 4－3x 2＋2)＝12⎝⎛⎭⎪⎫x 2－322－18，当x 2＝32时，y 取最小值－18，故函数值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－18，＋∞.[B 组·能力提升练]1．[2015·湖北高考]已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a >1)，则( )A ．sgn[g (x )]＝sgn xB ．sgn[g (x )]＝－sgn xC ．sgn[g (x )]＝sgn[f (x )]D ．sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )] 答案 B解析 ∵f (x )是R 上的增函数，a >1， ∴当x >0时，x <ax ，有f (x )<f (ax )，则g (x )<0；当x ＝0时，g (x )＝0；当x <0时，x >ax ，有f (x )>f (ax )，则g (x )>0.∴sgn[g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x <0，0，x ＝0，－1，x >0，∴sgn[g (x )]＝－sgn x ，故选B.2．[2016·西安八校联考]设[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[2.6]＝2，[－2.6]＝－3.设g (x )＝a xa x ＋1(a >0且a ≠1)，那么函数f (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (x )－12＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (－x )－12的值域为( ) A ．{－1,0,1} B ．{0,1} C ．{1，－1} D ．{－1,0}答案 D解析 ∵g (x )＝a x a x ＋1，∴g (－x )＝1a x ＋1，∴0<g (x )<1,0<g (－x )<1，g (x )＋g (－x )＝1. 当12<g (x )<1时，0<g (－x )<12，∴f (x )＝－1；当0<g (x )<12时，12<g (－x )<1，∴f (x )＝－1；当g (x )＝12时，g (－x )＝12，∴f (x )＝0. 综上，f (x )的值域为{－1,0}，故选D. 3．[2015·浙江高考]已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2x－3， x ≥1，lg (x 2＋1)， x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．答案 0 22－3解析 ∵－3<1，∴f (－3)＝lg [(－3)2＋1]＝lg 10＝1，∴f (f (－3))＝f (1)＝1＋21－3＝0.当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3(当且仅当x ＝2时，取“＝”)；当x <1时，x 2＋1≥1，∴f (x )＝lg (x 2＋1)≥0.又∵22－3<0，∴f (x )min ＝22－3.4．如果对∀x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2. (1)求f (2)，f (3)，f (4)的值；(2)求f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2010)f (2009)＋f (2012)f (2011)＋f (2014)f (2013)的值．解 (1)∵∀x ，y ∈R ，f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2， ∴f (2)＝f (1＋1)＝f (1)·f (1)＝22＝4， f (3)＝f (1＋2)＝f (1)·f (2)＝23＝8， f (4)＝f (1＋3)＝f (1)·f (3)＝24＝16.(2)由(1)知f (2)f (1)＝2，f (4)f (3)＝2，f (6)f (5)＝2，…，f (2014)f (2013)＝2，故原式＝2×1007＝2014.另解：(2)对∀x 、y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝2，令x ＝n ，y ＝1，则f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝2，故f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2014)f (2013)＝2，故原式＝2×1007＝2014.。

2013版高二数学(人教B版)选修2-1课件1章归纳总结

[例 4] 设 p：x2－x－20>0，q：|1x－|－x22<0，则 p 是 q 的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] p 中，则 x2－x－20>0，即(x－5)(x＋4)>0 得 x< －4 或 x>5.q 中，由|1x－|－x22<0 得
[例2] 对于函数①f(x)＝lg(|x－2|＋1)；②f(x)＝(x－2)2；
③f(x)＝cos(x＋2)，判断如下三个命题的真假：
命题甲：f(x＋2)是偶函数；
命题乙：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是
增函数；
命题丙：f(x＋2)－f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
能使命题甲、乙、丙均为真的所在函数的序号是( )
①选项 A 中，如图满足 a⊥α，b∥β，α⊥β，但 a∥b，
∴排除 A.
②选项 B 中 a⊥α，b⊥β，α∥β⇒a∥b.排除 B.
③选项 C 中， bα⊥∥ββ⇒ ba⊥ ⊂αα⇒b⊥a.
充分性成立．反之若 a⊥b
选项 C.必要性不成
立．故选 C.
这一部分为新增内容，为体现新课标精神，高考中一
命题的逆命题、否命题、逆否命题之间的关系，在高考中时有涉及，有时作为叙述考题的工具，有时考查命题结构的变化、更多的时候是利用其等价关系(原命题与逆否命题、逆命题与否命题)判断命题真假或进行证明．
[例1] 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：
(1)如果a＝b，则a2＝b2； (2)如果|2x＋1|≥1，则x2＋x>0； (3)如果△ABC≌△PQR，则S△ABC＝S△PQR.

高考数学总复习 2-1函数及其表示新人教B版

2-1函数及其表示基础巩固强化1.a 、b 为实数，集合M ＝{b a，1}，N ＝{a,0}，f 是M 到N 的映射，f (x )＝x ，则a ＋b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1 [答案] C[解析] ∵f (x )＝x ，∴f (1)＝1＝a ，若f (b a )＝1，则有b a＝1，与集合元素的互异性矛盾，∴f (b a)＝0，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1.2．(文)(2012·江西文，3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1.则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.139[答案] D[解析] 本题考查分段函数求值问题，由条件知f (3)＝23，f (f (3))＝f (23)＝(23)2＋1＝139.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，f x －3 ，x >0，则f (2014)等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．3[答案] C[解析] f (2014)＝f (2011)＝f (2008)＝……＝f (1)＝f (－2)＝2×(－2)＋1＝－3. 3．若函数f (x )的定义域是[0,4]，则函数g (x )＝f 2xx的定义域是( ) A ．[0,2] B ．(0,2) C ．(0,2] D ．[0,2)[答案] C[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤4，x ≠0.∴0<x ≤2，故选C.4．已知函数f (x )是奇函数，且定义域为R ，若x >0时，f (x )＝x ＋2，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x ＋2B ．f (x )＝|x |＋2C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 x >0x －2 x <0D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 x >00 x ＝0x －2 x <0[答案] D[解析] ∵f (x )为奇函数，且定义域为R ， ∴f (0)＝0.设x <0，则－x >0，则f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )＋2] ＝x －2.5．(文)函数f (x )＝22x－2的值域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0)∪(0，＋∞) C ．(－1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)[答案] D [解析] 1f x＝2x －1－1>－1，结合反比例函数的图象可知f (x )∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)．(理)(2011·茂名一模)若函数y ＝f (x )的值域是[12，3]，则函数F (x )＝f (x )＋1f x 的值域是( )A ．[12，3]B ．[2，103]C ．[52，103]D ．[3，103][答案] B[解析] 令t ＝f (x )，则12≤t ≤3，由函数g (t )＝t ＋1t 在区间[12，1]上是减函数，在[1,3]上是增函数，且g (12)＝52，g (1)＝2，g (3)＝103，可得值域为[2，103]，选B.6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ≤1，log 12x x >1.则函数y ＝f (2－x )的图象可以是( )[答案] A[分析] 可依据y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，及y ＝f (2－x )可由y ＝f (－x )的图象向右平移两个单位得到来求解，也可直接求出y ＝f (2－x )的解析式取特值验证．[解析] 由函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称得到y ＝f (－x )的图象，再把y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位得到y ＝f (2－x )的图象，故选A.7．(文)函数y ＝log 2 4－x 的定义域是________． [答案] (－∞，3][解析] 要使函数有意义，应有log 2(4－x )≥0， ∵4－x ≥1，∴x ≤3.(理)(2011·安徽文，13)函数y ＝16－x －x2的定义域是________．[答案] (－3,2)[解析] 由6－x －x 2>0，得x 2＋x －6<0，即{x |－3<x <2}．8．(文)如果函数f (x )＝1－x 21＋x 2，那么f (1)＋f (2)＋…f (2012)＋f (12)＋f (13)＋…＋f (12012)的值为________．[答案] 0[解析] 由于f (x )＋f (1x )＝1－x 21＋x ＋1－ 1x 21＋ 1x2＝1－x 21＋x ＋x 2－1x ＋1＝0，f (1)＝0，故该式值为0.(理)规定记号“⊕”表示一种运算，且a ⊕b ＝ab ＋a ＋b ＋1，其中a 、b 是正实数，已知1⊕k ＝4，则函数f (x )＝k ⊕x 的值域是________．[答案] (2，＋∞)[解析] 1⊕k ＝k ＋k ＋2＝4，解之得k ＝1，∴f (x )＝x ＋x ＋2，由于“⊕”的运算对象是正实数，故x >0，∴f (x )>2. 9．(2011·洛阳模拟)已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a 、b ∈Z )，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个．[答案] 5 [解析] 由0≤4|x |＋2－1≤1，即1≤4|x |＋2≤2得 0≤|x |≤2，满足条件的整数数对有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)共5个．[点评] 数对(a ，b )的取值必须能够使得|x |的取值最小值为0，最大值为2，才能满足f (x )的值域为[0,1]的要求．10．(2012·北京海淀期中)某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：元)与日产量x (单位：t)满足函数关系式C ＝10 000＋20x ，每日的销售额R (单位：元)与日产量x 的函数关系式为R ＝⎩⎪⎨⎪⎧－130x 3＋ax 2＋290x ，0<x <120，20 400，x ≥120.已知每日的利润y ＝R －C ，且当x ＝30时，y ＝－100. (1)求a 的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值． [解析] (1)∵当x ＝30时，y ＝－100，∴－100＝－130×303＋a ×302＋270×30－10 000，∴a ＝3.(2)当0<x <120时，y ＝－130x 3＋3x 2＋270x －10 000.令y ′＝－110x 2＋6x ＋270＝0，可得：x 1＝90，x 2＝－30(舍去)，所以当x ∈(0,90)时，原函数是增函数，当x ∈(90,120)时，原函数是减函数． ∴当x ＝90时，y 取得极大值14 300. 当x ≥120时，y ＝10 400－20x ≤8 000.所以当日产量为90t 时，每日的利润可以达到最大值14 300元.能力拓展提升11.(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x，x ≤0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．4或1 [答案] C[解析] ∵f (1)＝0，∴f (a )＝2，∴log 2a ＝2(a >0)或2a＝2(a ≤0)，解得a ＝4或a ＝1(舍)，故选C.(理)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx 2－1<x <0 ，e x －1x ≥0 .若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( )A ．1B ．1，－22C ．－22D ．1，22[答案] B [解析] f (1)＝1，当a ≥0时，f (a )＝e a －1，∴1＋ea －1＝2，∴a ＝1，当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)， ∴1＋sin(πa 2)＝2， ∴πa 2＝π2＋2k π(k ∈Z )，∵－1<a <0，∴a ＝－22，故选B. 12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －4a x <1 ，log a x x ≥1 .是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[35，3)D ．(1,3)[答案] D[解析] 解法1：由f (x )在R 上是增函数，∴f (x )在[1，＋∞)上单增，由对数函数单调性知a >1，① 又由f (x )在(－∞，1)上单增，∴3－a >0，∴a <3，②又由于f (x )在R 上是增函数，为了满足单调区间的定义，f (x )在(－∞，1]上的最大值3－5a 要小于等于f (x )在[1，＋∞)上的最小值0，才能保证单调区间的要求，∴3－5a ≤0，即a ≥35，③由①②③可得1<a <3.解法2：令a 分别等于35、0、1，即可排除A 、B 、C ，故选D.[点评] f (x )在R 上是增函数，a 的取值不仅要保证f (x )在(－∞，1)上和[1，＋∞)上都是增函数，还要保证x 1<1，x 2≥1时，有f (x 1)<f (x 2)．13．(2012·丽水模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，x 12，x >0，若f (x 0)＝1，则x 0的值为________．[答案] －1或1[解析] 当x 0≤0时，f (x 0)＝2－x 0－1，∵f (x 0)＝1，∴2－x 0－1＝1，∴2－x 0＝2，∴x 0＝－1；当x 0>0时，f (x 0)＝x 120，∵f (x 0)＝1，∴x 120＝1，∴x 0＝1.综上可得x 0的值为－1或1.14．(2013·四川省内江市第一次模拟)设函数f (x )＝|x |x ＋bx ＋c ，则下列命题中正确命题的序号有________．①函数f (x )在R 上有最小值；②当b >0时，函数在R 上是单调增函数； ③函数f (x )的图象关于点(0，c )对称；④当b <0时，方程f (x )＝0有三个不同实数根的充要重要条件是b 2>4|c |； ⑤方程f (x )＝0可能有四个不同实数根． [答案] ②③④[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x ≥0－x 2＋bx ＋c x <0取b ＝0知，①⑤错；容易判断②，③正确；b <0时，方程f (x )＝0有三个不同实数根，等价于c －b 24<0且c ＋b 24>0，∴b 2>4c 且b 2>－4c ，∴b 2>4|c |，故填②、③、④.15．(文)函数f (x )＝x 2＋x －14.(1)若定义域为[0,3]，求f (x )的值域；(2)若f (x )的值域为[－12，116]，且定义域为[a ，b ]，求b －a 的最大值．[解析] ∵f (x )＝(x ＋12)2－12，∴对称轴为x ＝－12.(1)∵3≥x ≥0>－12，∴f (x )的值域为[f (0)，f (3)]，即[－14，474]；(2)∵x ＝－12时，f (x )＝－12是f (x )的最小值，∴x ＝－12∈[a ，b ]，令x 2＋x －14＝116，得x 1＝－54，x 2＝14，根据f (x )的图象知当a ＝－54，b ＝14时，b －a 取最大值14－(－54)＝32.(理)已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1. (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x 2－2)的值域．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .(2)由(1)知y ＝f (x 2－2)＝12(x 2－2)2＋12(x 2－2)＝12(x 4－3x 2＋2)＝12(x 2－32)2－18，当x 2＝32时，y 取最小值－18.∴函数y ＝f (x 2－2)的值域为[－18，＋∞)．16．(文)某地区预计2011年的前x 个月内对某种商品的需求总量f (x )(万件)与月份x 的近似关系式是f (x )＝175x (x ＋1)(19－x )，x ∈N *,1≤x ≤12，求：(1)2011年的第x 月的需求量g (x )(万件)与月份x 的函数关系式． (2)求第几个月需求量g (x )最大．[解析] (1)第x 月的需求量为g (x )＝f (x )－f (x －1)＝175x (x ＋1)(19－x )－175(x －1)x (20－x )＝125x (13－x )．(2)g (x )＝125(－x 2＋13x )＝－125[42.25－(x －6.5)2]，因此当x ＝6或7时g (x )最大．第6、7月需求量最大．(理)某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系如图所示：该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的关系如表所示：(1)根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P 与时间t 的函数关系式； (2)在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t ，Q )的对应点，并确定日销售量Q 与时间t 的一个函数关系式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)[解析] (1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20 0<t <25，t ∈N *，－t ＋100 25≤t ≤30，t ∈N *.(2)图略，Q ＝40－t (t ∈N *)． (3)设日销售金额为y (元)，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800 0<t <25，t ∈N *，t 2－140t ＋4000 25≤t ≤30，t ∈N *.即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－ t －10 2＋900 0<t <25，t ∈N *， t －70 2－900 25≤t ≤30，t ∈N *.若0<t <25(t ∈N *)，则当t ＝10时，y max ＝900；若25≤t ≤30(t ∈N *)，则当t ＝25时，y max ＝1125. 由1125>900，知y max ＝1125，∴这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大．1．设a <b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )的图象可能是( )[答案] C[解析] x >b 时，y >0，排除A 、B ；又x ＝b 是变号零点，x ＝a 是不变号零点，排除D ，故选C.2．(2011·北京东城综合练习)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧8x －8，x ≤1，0，x >1， g (x )＝log 2x ，则f (x )与g (x )两函数图象的交点个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] C[解析] 如图，函数g (x )的图象与函数f (x )的图象交于两点，且均在函数y ＝8x －8(x ≤1)的图象上．故选C.3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x－1 x <1 ，lg x x ≥1 .若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(10，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(－1,10)D ．(0,10) [答案] A[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧x 0<1，21－x 0－1>1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥1，lg x 0>1.∴x 0<0或x 0>10.4．(2012·东北三校二模)函数y ＝x ln(－x )与y ＝x ln x 的图象关于( ) A ．直线y ＝x 对称 B ．x 轴对称 C ．y 轴对称 D ．原点对称[答案] D[解析] 若点(m ，n )在函数y ＝x ln x 的图象上，则n ＝m ln m ，所以－n ＝－m ln[－(－m )]，可知点(－m ，－n )在函数y ＝x ln(－x )的图象上，反之亦然，而点(m ，n )与点(－m ，－n )关于原点对称，所以函数y ＝x ln x 与y ＝x ln(－x )的图象关于原点对称，故选D.5．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如下图所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图象是( )[答案] A[解析] ∵f (x )＝(x －a )(x －b )的两个零点为a 和b 且a >b ，由图象知0<a <1，b <－1，∴g (x )＝a x＋b 单调减，且g (0)＝1＋b <0，故选A.6．函数f (x )＝|log 12x |的定义域是[a ，b ]，值域为[0,2]，对于区间[m ，n ]，称n －m为区间[m ，n ]的长度，则[a ，b ]长度的最小值为( )A.154B ．3C ．4 D.34[答案] D[解析] 令f (x )＝0得，x ＝1，令f (x )＝2得，log 12x ＝±2，∴x ＝14或4，∴当a ＝14，b ＝1时满足值域为[0,2]，故选D.7．如图，动点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体表面相交于M 、N .设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )[解析]解法1：取AA1、CC1的中点E、F，EF交BD1于O，则EF∥AC，∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面BDD1B1，∴EF⊥平面BDD1B1，∴平面BED1F⊥平面BDD1B1，过点P作MN∥EF，则MN⊥平面BDD1B1，MN 交BE 、BF 于M 、N ，则BP BO ＝MN EF ，∴MN ＝EFBO·BP ，不难看出当P 在BO 上时，y 是x 的一次增函数，当P 在OD 1上时，y 是x 的一次减函数，故选B.解法2：连接AC ，A 1C 1，则MN ∥AC ∥A 1C 1，当且仅当P 为BD 1的中点Q 时，MN ＝AC 取得最大值，故答案A ，C 错，又当P 为BQ 中点时，MN ＝12AC ，故答案D 错，所以选B.8．已知函数f (x )的值域为[0,4]，(x ∈[－2,2])，函数g (x )＝ax －1，x ∈[－2,2]，∀x 1∈[－2,2]，总∃x 0∈[－2,2]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，则实数a 的取值范围是______．[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞[解析] 只需要函数f (x )的值域是函数g (x )值域的子集即可． (1)当a >0时，g (x )＝ax －1单调递增，∵x ∈[－2,2]，∴－2a －1≤g (x )≤2a －1，要使条件成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧－2a －1≤02a －1≥4，∴a ≥52.(2)当a <0时，g (x )＝ax －1单调递减．∵x ∈[－2,2]，∴2a －1≤g (x )≤－2a －1，要使条件成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≤0－2a －1≥4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12a ≤－52，∴a ≤－52.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞. 9．(2011·安徽省淮南市高三第一次模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )·f (x ＋2)＝13，若f (1)＝2，则f (2015)＝________.[答案]132[解析] ∵f (x ＋4)＝13f x ＋2 ＝1313f x＝f (x )，∴函数f (x )的周期为4，所以f (2015)＝f (4×503＋3)＝f (3)＝13f 1 ＝132.。

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2-1 函数及其表示1.(2011·浙江嘉兴一中模拟)设集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是( )[答案] B[解析] 函数的定义要求定义域内的任一变量都有唯一的函数值与之对应，A 中x ∈(0,2]时没有函数值，C 中函数值不唯一，D 中的值域不是N ，所以选B.2．(文)(2011·广州市综合测试)函数y ＝1－2x 的定义域为集合A ，函数y ＝l n (2x ＋1)的定义域为集合B ，则A ∩B 等于( )A ．(－12，12]B ．(－12，12)C ．(－∞，－12)D ．[12，＋∞)[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ≥02x ＋1>0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12，x >－12.∴－12<x ≤12，故A ∩B ＝(－12，12]．(理)(2010·湖北文，5)函数y ＝1log 0.5x －的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪(1，＋∞) [答案] A[解析] log 0.5 (4x －3)>0＝log 0.51，∴0<4x －3<1， ∴34<x <1. 3．(2011·山东潍坊模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，x ≥3，f x ＋，x <3，则f (log 23)的值是( )A.112 B.124C ．24D ．12 [答案] A[解析] ∵1<log 23<2，∴3<log 23＋2<4， ∴f (log 23)＝f (log 23＋1) ＝f (log 23＋2)＝f (log 212) ＝(12)log 212＝112. 4．(2011·福建文，8)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 [答案] A[解析] ∵f (1)＝21＝2，∴由f (a )＋f (1)＝0知 f (a )＝－2. 当a >0时 2a＝－2不成立．当a <0时a ＋1＝－2，a ＝－3.5．(文)(2010·广东六校)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ∈－∞，2]log 2x x ∈，＋，则满足f (x )＝4的x 的值是( )A ．2B ．16C ．2或16D ．－2或16 [答案] C[解析] 当f (x )＝2x时.2x＝4，解得x ＝2. 当f (x )＝log 2x 时，log 2x ＝4，解得x ＝16. ∴x ＝2或16.故选C.(理)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x－ 1x lg x x，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(10，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(－1,10)D ．(0,10) [答案] A[解析] 由⎩⎨⎧x 0<121－x 0－1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥1lg x 0>1⇒x 0<0或x 0>10.6．(2010·山东肥城联考)已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程g [f (x )]＝x 的解集为( ) A ．{1} B ．{2} C ．{3} D ．∅[答案] C[解析] g [f (1)]＝g (2)＝2，g [f (2)]＝g (3)＝1；g [f (3)]＝g (1)＝3，故选C.7．(文)(2011·济南模拟)已知函数f (x )＝x －1x ＋1，则f (x )＋f (1x)＝________. [答案] 0[解析] ∵f (1x )＝1x －11x＋1＝1－x1＋x，∴f (x )＋f (1x )＝x －1x ＋1＋1－x1＋x＝0.(理)若f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝1，则ff＋f f＋f f＋…＋f f＝________.[答案] 2011 [解析] 令b ＝1，则f a ＋f a＝f (1)＝1，∴f f＋f f＋f f＋…＋f f＝2011.8．(2011·武汉模拟)已知f (2x＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.[答案] lg2x －1(x >1) [解析] 令2x ＋1＝t ，∵x >0，∴t >1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，f (x )＝lg 2x －1(x >1)． 9．(文)(2011·广东文，12)设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________. [答案] －9[解析] 令g (x )＝x 3cos x ，则f (x )＝g (x )＋1，g (x )为奇函数．f (a )＝g (a )＋1＝11，所以g (a )＝10，f (－a )＝g (－a )＋1＝－g (a )＋1＝－9.(理)(2011·安徽省淮南市高三第一次模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )·f (x ＋2)＝13，若f (1)＝2，则f (2011)＝________.[答案]132[解析] ∵f (x ＋4)＝13f x ＋＝1313f x＝f (x )， ∴函数f (x )的周期为4，所以f (2011)＝f (4×502＋3)＝f (3)＝13f＝132. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12，－1<x <0e x －1 x ≥0，若f (1)＋f (a )＝2，求a 的值．[解析] ∵f (1)＝e 1－1＝1，又f (1)＋f (a )＝2，∴f (a )＝1.若－1<a <0，则f (a )＝a 2＋12＝1，此时a 2＝12，又－1<a <0，∴a ＝－22.若a ≥0，则f (a )＝ea －1＝1，∴a ＝1.综上所述，a 的值是1或－22.11.(文)(2011·天津一中)若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，34)C ．(34，＋∞)D ．[0，34)[答案] D[解析] ①m ＝0时，分母为3，定义域为R.②由⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ<0得0<m <34.综上得0≤m <34.(理)(2011·黑龙江哈尔滨模拟)如果函数f (x )对于任意实数x ，存在常数M ，使得不等式|f (x )|≤M |x |恒成立，那么就称函数f (x )为有界泛涵．下面有4个函数：①f (x )＝1;②f (x )＝x 2；③f (x )＝(sin x ＋cos x )x;④f (x )＝xx 2＋x ＋1.其中有两个属于有界泛涵，它们是( ) A ．①② B ．②④ C ．①③ D ．③④ [答案] D[解析] 由|f (x )|≤M |x |对x ∈R 恒成立，知|f xx|max ≤M . ①中|f x x |＝|1x |∈(0，＋∞)，故不存在常数M 使不等式恒成立； ②中|f xx|＝|x |∈[0，＋∞)，故不存在常数M 使不等式恒成立； ③中|f x x |＝|sin x ＋cos x |＝2|sin(x ＋π4)|≤2，故存在M 使不等式恒成立；④中|f x x |＝|1x 2＋x ＋1|＝|1x ＋122＋34|≤43，故存在M 使不等式恒成立．[点评] 作为选择题判断①后即排除A 、C ，判断②后排除B ，即可选出D.12．(文)(2011·海南海口模拟)对a ，b ∈R ，记min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧aa <b ，b a ≥b ，函数f (x )＝min{12x ，－|x －1|＋2}(x ∈R)的最大值为________．[答案] 1[解析] y ＝f (x )是y ＝12x 与y ＝－|x －1|＋2两者中的较小者，数形结合可知，函数的最大值为1.(理)(2011·山东烟台模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x K ，K ， f x K .取函数f (x )＝a－|x |(a >1)．当K ＝1a时，函数f K (x )在下列区间上单调递减的是( )A ．(－∞，0)B ．(－a ，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)[答案] D[解析] 当K ＝1a 时，f K(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －|x |，a －|x |≤1a ，1a ，a －|x |>1a＝⎩⎪⎨⎪⎧1a |x |，x ≤－1或x ≥1，1a ，－1<x <1.∵a >1，∴0<1a<1，如图，作出函数f K (x )的图象可得其单调减区间为(1，＋∞)．13．(文)(2011·上海交大附中月考)函数f (x )＝x 2x 2＋1，则f (14)＋f (13)＋f (12)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝________.[答案] 72[解析] f (1)＝12，f (x )＋f (1x )＝x 2x 2＋1＋1x 21x2＋1＝x 2x 2＋1＋11＋x 2＝1，则f (14)＋f (13)＋f (12)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝3＋12＝72.(理)(2011·襄樊检测)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] 法一：若x ≤0，则f (x )＝x 2＋bx ＋c . ∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋b －＋c ＝c ，－2＋b－＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0.当x ≤0时，由f (x )＝x ，得x 2＋4x ＋2＝x ，解得x ＝－2，或x ＝－1；当x >0时，由f (x )＝x ，得x ＝2. ∴方程f (x )＝x 有3个解．法二：由f (－4)＝f (0)且f (－2)＝－2，可得f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f (x )的简图(如图所示)．方程f (x )＝x 的解的个数就是函数y ＝f (x )的图象与y ＝x 的图象的交点的个数，所以有3个解．14．(2011·洛阳模拟)已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个．[答案] 5 [解析] 由0≤4|x |＋2－1≤1，即1≤4|x |＋2≤2得 0≤|x |≤2，满足条件的整数数对有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)共5个．[点评] 数对(a ，b )的取值必须能够使得|x |的取值最小值为0，最大值为2，才能满足f (x )的值域为[0,1]的要求．15．(文)已知函数f (x )＝xax ＋b(ab ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．[解析] 由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得xax ＋b＝x ，变形得x (1ax ＋b－1)＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba，又因方程有唯一解，∴1－b a＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴f (x )＝2x x ＋2. (理)(2011·广东普宁模拟)已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．[解析] (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋ax >0，a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)． a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}，0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2>0恒成立，∴g (x )＝x ＋ax－2在[2，＋∞)上是增函数． ∴f (x )＝lg(x ＋a x －2)在[2，＋∞)上是增函数．∴f (x )＝lg(x ＋ax －2)在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． ∴a >3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－(x －32)2＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数，∴h (x )max ＝h (2)＝2，∴a >2.16．(2010·深圳九校)某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为1206t 吨，(0≤t ≤24)．(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．[解析] (1)设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨，则y ＝400＋60t －1206t (0≤t ≤24) 令6t ＝x ，则x 2＝6t 且0≤x ≤12，∴y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40(0≤x ≤12)；∴当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨． (2)依题意400＋10x 2－120x <80，得x 2－12x ＋32<0，解得4<x <8，即4<6t <8，∴83<t <323；∵323－83＝8，∴每天约有8小时供水紧张．1．(2011·江西文，3)若f (x )＝,则f (x )的定义域为( )A ．(－12，0)B ．(－12，＋∞)C ．(－12，0)∪(0，＋∞)D ．(－12，2)[答案] C[解析] 要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>02x ＋1≠1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >－12x ≠0.故选C.2．(2010·浙江宁波十校联考)值域为{2,5,10}，对应关系为y ＝x 2＋1的函数个数为( )A ．1B ．8C ．27D ．39 [答案] C[解析] 本题的关键是寻找满足条件的定义域有多少种情况．当y ＝2，即x 2＝1时，x ＝1，－1或±1有三种情况，同理当y ＝5,10时，x 的值各有三种情况，由分步乘法计数原理知，共有3×3×3＝27种可能．故选C.3．(2010·陕西理，5)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12B.45 C ．2 D ．9 [答案] C[解析] f (0)＝20＋1＝2，f (2)＝4＋2a ＝4a ，∴a ＝2.4．(2010·天津理，8)设函数f (x )＝若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) [答案] C[解析] 解法1：由图象变换知函数f (x )图象如图，且f (－x )＝－f (x )，即f (x )为奇函数，∴f (a )>f (－a )化为f (a )>0，∴当x ∈(－1,0)∪(1，＋∞)，f (a )>f (－a )，故选C.解法2：当a >0时，由f (a )>f (－a )得，log 12 og 2a >log 12 a ，∴a >1；当a <0时，由f (a )>f (－a )得，log 12(－a )>log 2(－a )，∴－1<a <0，故选C.5．a 、b 为实数，集合M ＝{ba，1}，N ＝{a,0}，f 是M 到N 的映射，f (x )＝x ，则a ＋b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1 [答案] C[解析] ∵f (x )＝x ，∴f (1)＝1＝a ，若f (b a )＝1，则有b a＝1，与集合元素的互异性矛盾， ∴f (b a)＝0，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1.6．(2011·温州十校二模)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10]B ．y ＝[x ＋310] C ．y ＝[x ＋410] D ．y ＝[x ＋510][答案] B[解析] 当x 除以10的余数为0,1,2,3,4,5,6时，由题设知y ＝[x 10]，且易验证此时[x10]＝[x ＋310]．当x 除以10的余数为7,8,9时，由题设知y ＝[x10]＋1，且易验证知此时[x10]＋1＝[x ＋310]．综上知，必有y ＝[x ＋310]．故选B.7．设函数f (x )、g (x )的定义域分别为F 、G ，且F G .若对任意的x ∈F ，都有g (x )＝f (x )，且g (x )为偶函数，则称g (x )为f (x )在G 上的一个“延拓函数”．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≤0)，若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函数，则函数g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2|x |B ．g (x )＝log 2|x |C ．g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |D ．g (x )＝log 12|x |[答案] A[解析] 由延拓函数的定义知，当x ≤0时，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，当x >0时，－x <0，∴g (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2x ， ∵g (x )为偶函数，∴g (x )＝2x，故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x x ≤02x x >0，即g (x )＝2|x |.8．(2011·广东揭阳一模)函数f (x )＝x 22－x－lg(x －1)的定义域是( )A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，1) [答案] B[解析] 要使函数有意义，须满足⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0x －1>0，∴1<x <2，∴函数的定义域为(1,2)．9．(2011·合肥模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2－x ，x ≤0，f x －＋1，x >0，则f (2011)等于( )A ．2008B ．2009C ．2010D ．2011 [答案] D[解析] 当x >0时，f (x )－f (x －1)＝1，∴f (2011)＝[f (2011)－f (2010)]＋[f (2010)－f (2009)]＋…＋[f (1)－f (0)]＋f (0)＋f (0)＝2011＋log 21＝2011.10.如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f(l)的图象大致是( )[答案] C[解析] 函数在[0，π]上的解析式为 d ＝12＋12－2×1×1×cos l ＝2－2cos l＝4sin 2l2＝2sin l 2.在[π，2π]上的解析式为d ＝2－2cos π－＝2sin l2，故函数的解析式为d ＝2sin l2，l∈[0,2π]．[点评] 这类题目解决的基本方法通过分析变化趋势或者一些特殊的点，采用排除法；或求函数解析式．11．(2010·广东六校)某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持，已知每投入x 万元，可获得纯利润P ＝－1160(x －40)2＋100万元(已扣除投资，下同)，当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资，其中在前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，公路5年建成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获纯利润Q ＝－159160(60－x)2＋1192·(60－x)万元，问仅从这10年的累积利润看，该规划方案是否可行？[解析] 在实施规划前，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元，则10年的总利润为W 1＝100×10＝1000(万元)实施规划后的前5年中，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100知，每年投入30万元时，有最大利润P max ＝7958(万元)前5年的利润和为7958×5＝39758(万元)设在公路通车的后5年中，每年用x 万元投资于本地的销售，而剩下的(60－x)万元用于外地区的销售投资，则其总利润为W 2＝[－1160(x －40)2＋100]×5＋(－159160x 2＋1192x)×5＝－5(x －30)2＋4950.当x ＝30时，W 2＝4950(万元)为最大值，从而10年的总利润为39758＋4950(万元)．∵39758＋4950>1000，∴该规划方案有极大实施价值．。