2007-2008-2线性代数期末试卷(B)参考答案

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2007-2008-2线性代数试卷(肖)解答

2007-2008-2线性代数期考试卷B 参考答案和评分标准一、单项选择题（每题3分，共30分）1．D 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D 7．B 8．C 9．D 10. A 。

二、填空题（每题4分，共20分）1. 0； 2. 3 ； 3. n+a ，()1,1, (1)n R ∈； 4. 2221232y y y -++，222123z z z -++； 5. n 。

三、解答题（每题10分，共40分）1．解：系数矩阵初等变换过程如下：121323(1)(1)(1)11111111110110121121000E E E λλλμλμλμμλμμ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， ——-（4分）当0μ≠而且1λ≠时，齐次线性方程组只有零解。

——-（7分）当0μ=或者1λ=时，齐次线性方程组有非零解。

——-（10分）2．解：()()()322001112442113λλλλλλλ----=--+=---， ——-（3分） 2λ=是3重特征值。

——-（4分） 000000111111111000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，得两个线性无关的特征向量 ()11,1,0T x =，()20,1,1Tx =。

——-（8分）矩阵A 的属于特征值2的特征向量为 1122x k x k x =+，其中12,k k 不全为零。

——————————-（10分）3．解：（1）()123123100101,,,,,110012111110αααβββ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭—————（2分） 1β在基{}123,,ααα的坐标是()1,1,1T -；2β在基{}123,,ααα的坐标是()0,1,2T -；3β在基{}123,,ααα的坐标是()1,1,2T -。

基{}123,,ααα到基{}123,,βββ的过渡矩阵为101111122⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭———————————-（7分）（2）()()123123231231232222223ααααβββββββββββ=-+=-+--++-=-+ 所求的坐标为()2,2,3T -。

07-08线代BA卷答案

2007-2008学年第二学期期末试卷-A 卷线性代数B课程号： 11020063B 课序号： 01-13 开课系：数学与数量经济学院一、填空题（每小题3分，共15分）1．6427811694143211111= 12 。

2．设 A 为3阶可逆矩阵，1=A ，则=-*1)(A 1 。

3. 设321,,ααα线性无关,则321211,,αααααα+++线性____无 ___关。

4. 设A 为4阶方阵，且()3=A r ，则齐次线性方程组*0A X =（*A 是A 的伴随矩阵）的基础解系所包含的线性无关向量的个数为 3 。

5．设T T T ===),3,1(,)3,2,1(,)1,1,1(321t ααα，若向量组321,,ααα线性相关，则=t 5 。

二、单项选择题(每小题2分，共10分)1．非齐次线性方程组AX B =中未知量的个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则 B 。

（A ）r = m 时，方程组AX B =有解（B ）r = n 时，方程组AX B =有唯一解（C ）m = n 时，方程组AX B =有唯一解（D ）r 〈 n 时，方程组AX B =有无穷多解2．设A 为n 阶矩阵，且0A =，则A 的列向量中C 。

（A ）必有两个向量对应分量成比例（B ）必有一个向量为零向量（C ）必有一个向量是其余向量的线性组合（D ）任一向量是其余向量的线性组合3．设A 为n 阶单位矩阵，则矩阵A 的特征值为 B。

（A ）0λ= （B ）1λ= （C ）2λ= （D ）3λ=4．下面结论不正确的是C 。

（A ）相似矩阵有相同的特征值（B ）相似矩阵有相同的行列式（C ）相似矩阵的秩一定不相同（D ）实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的5．123(2,1,3),(3,1,1),(1,1,2)ααα==-=-，则向量组1α，2α，3α是A。

（A ）线性无关（B ）线性相关（C ）1α可以由2α，3α线性表示（D ）3α可以由1α，2α线性表示三（10分）计算下列n 阶行列式 ab b b a b bb a D n==1[(1)]()n a n b a b -+-- 四（10分）解矩阵方程 A 2X AX =+，其中A = 3 0 1 1 1 00 1 4⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 5 -2 -2 4 -3 -2 -2 2 3X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭五（10分）已知向量组()5,4,3,11-=α，()9,7,2,22-=α，()12,9,3,33=α试求这个向量组的一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表示。

2007-2008-2线性代数期末试卷(A)参考答案

2008年春线性代数期末试卷(A)解答与参考评分标准一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.B A ,为n 阶矩阵，满足0=AB ，则必有（ C ）A. 0A = 或 0B =;B. 0A B +=;C. 0A = 或 0B =;D. 0A B +=.2. 关于矩阵下列说法正确的是（ B ）A. 若A 可逆，则A 与任何矩阵可交换，;AB BA =B. 若A 可逆，则T A 也可逆；C. 若A 可逆，B 也可逆，则A B ±也可逆；D. 若A 可逆，B 也可逆，则AB 不一定可逆；3. 已知21)(,)(r B R r A R ==，则)(AB R 为（ D ）A. 12();R AB r r =⨯B. 12();R AB r r =+C. 21();R AB r r ≤-D. 12()min(,);R AB r r ≤。

4. 已知12,,,n ααα 线性无关，则（ C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++ 必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++ 线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++ 线性相关；D. 以上都不对。

5. 实二次型()2322212132132,,x tx x x x x x x f +++=，当=t （ B ）时，其秩为2 A. 0; B. 1;C. 2;D. 3. 二、填空题（每小题3分，共15分）6．设A 为矩阵，B 为44⨯矩阵，且A ＝1，2=B ，则=A B 87．设矩阵112212433A -⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭，则()1A -*=112212433-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭8．矩阵1213001224181200A -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭的秩＝ 39．若21,αα线性无关，而321,,ααα线性相关，则向量组3213,2,ααα的最大无关组为212,αα10．设A 为实对称矩阵，T )3,1,1(1=α与T a ),5,4(2=α分别属于A 的相异特征值为12λλ，的特征向量，则=a -3三、计算题（每小题10分，共50分）11. 计算行列式2151130602121476D ---=-- 解： 07513751313062120212771207712D ----==----- ……………………………………..… .(5分) 3533301072772---=--=----…………… ………………………… ………..(8分) ＝27……………………………………………………………………….(10分)12．解矩阵方程X B AX +=,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=021531201,201301012B A 。

2007-2008学年第1学期线性代数B期终考试试卷A

西南交通大学2007－2008 学年第(一)学期考试试卷课程代码 2100024 课程名称线性代数B 考试时间 120 分钟阅卷教师签名：注意：1．答题前，请在密封线内清楚、正确地填写班级、学号、姓名；2．请将填空题和选择题的答案填写在指定的位置，写在其它地方不得分。

一、填空题（每空4分，共24分）1．设(111),(111)T T αβ==-，则T βα= ； 2．设{}V =X |AX =0，则V （是/不是）向量空间； 3．已知 3 阶方阵A 有特征值 -1，1，2，则2*2A A E +-= ； 4．设矩阵1234(,,,),A =αααα其中234,,ααα线性无关，且12332ααα=-，1234=+++βαααα，则 AX β= 的通解为：；5．设3250326120531614A ⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，则A 的列向量组的一个最大线性无关组为：， ()A R = 。

二、选择题（每小题4分，共24分）班级学号姓名密封装订线密封装订线密封装订线6．行列式 001100010020100003A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭求1A -=（）（A ） 100010121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）1001002103⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ） 001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ） 00110021003⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭7．设 21201123()132013x x x f x x x x--=，则()f x 中3x 的系数为( )。

(A) -1 ； (B) 1 ； (C) -17 ； (D) 17 。

8．设 A B 、均为 n 阶可逆方阵，下列各式正确的是( )。

(A) ||||A A λλ=； (B) 111()AB B A ---=； (C) ()T T T AB A B =； (D)||||||A B A B +=+。

线性代数期末考试(B卷)及答案

北京师范大学XX 分校2007-2008学年第一学期期末考试（B 卷）开课单位：应用数学系课程名称：线性代数任课教师：__ __ 考试类型：_ 闭卷_ 考试时间：__120 __分钟学院___________ 姓名___________ 学号______________ 班级____________试卷说明：（本试卷共4页，满分100分）------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空（每空3分，共30分）1、行列式123345__0____567= 2、行列式sin cos cos sin _______+-=-1313113xxxx 3、设行列式 -5 11 1 31 0 2D =1，则______-+=21222350A A A4、设A ，B 均为三阶方阵且||,||A B ==45，则||______=20A B5、设A 为3阶方阵，且A =2，则A-=12 46、设矩阵A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12311102103，则A 的秩()R A = 37、已知3阶矩阵A 的伴随矩阵的行列式A *=9，则=A 38、向量组,,,αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1234111322023001线性相关还是无关线性相关试卷装订线9、设向量()(),,,,,x αα==1232963线性相关，则___1____=x10、设5元方程组=0A x 的系数矩阵A 的秩为3，则其解向量的秩应为 2二、选择题（每小题3分，共15分）1、行列式13632196233418第2行第2列元素的代数余子式A =22（ D ）（A ）6；（B ）9；（C ）12；（D ）15。

2007-2008第二学期线性代数及答案工科36学时

武汉大学数学与统计学院2007－2008第二学期《线性代数D 》（A 卷，工科36学时）学院专业学号姓名注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。

一、(10分)设123,,ααα均为三维向量，记三阶矩阵123123123123(,,),(,24,39).A B αααααααααααα==++++++ 已知1A =，求B ．二、(10分) 设211120212-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,023214014-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B ，-=+AC E B C ,求矩阵C ．三、（15分）已知向量组123418210:2,4,1,53826A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξξ求向量组A 的秩及一个最大无关组，并把其它的向量用最大无关组表示出来．四、(15分）设线性方程组为123123123(2)2212(5)4224(5)31x x x x x x x x x λλλλ++-=⎧⎪++-=⎨⎪--++=+⎩问λ为何值时，该方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求其解.五、(15分）已知1，1，－1是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，向量T 1(1, 1, 1)α＝，T2(2, 2, 1)α＝是A 的对应于121λλ＝＝的特征向量，1）能否求得A 的属于31λ＝－的特征向量？若能，试求出该特征向量，若不能，则说明理由。

2）能否由此求得实对称阵A ？若能，试求之，若不能则说明理由。

六、(15分) 设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，E 是n 阶单位矩阵().n n ⨯已知,BA E = 试判断A的列向量组是否线性相关？为什么？七、(20分)设二次型的矩阵为5212233a b a b cc c --⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，,,a b c 为常数，则（1).写出二次型),,321x x x f （的具体形式；(2).求A 的全部特征值与特征向量；(3).求一个正交变换X PY =,把二次型f 化为标准形；(4).在1x =的条件下，求二次型f 的最大值和最小值。

2008-2009第二学期线性代数试卷及标答(B卷)

12n n n b b b ；12312⎛⎫ ⎪，2⎛武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数（ A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、2A E +；2、1；3、4；4、3；5、 0.二、选择题（每小题3分，共15分）1、C2、C3、A4、D 5 、B三、解答题（每小题7分，共35分）1、 2212111nn nn i i n b b a b b D a b b a b =+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦+∑ ………………………………………………………（3分） 11n i iaa b a =⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑ ………………………………………………………………（6分）11n n i i a b a -=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑…………………………………………………………………………………（7分） 2、因为()123240,312402231024A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭……………………………………………………………（2分） 553100444333010444131001222r r ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪−−→−−→- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭………………………………………………（6分）所以 X=55313334262-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭………………………………………………………………（7分） 3、因 22|3|3||T AA A =29||A = ……………………………………………………（5分）2229()a b =+。

……………………………………………………（7分）4、设10,T X α= 即123220x x x ++= ……………………………………… （2分）解得基础解系12221,001ηη--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

……………………………………… （4分）Schmidt 正交化12,ηη，得到222132222252[,]41,[,]501ηααηαηααα⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭即为所求。

线性代数的B卷参考答案

课程考试标准答案和评分标准一、（填空题32分，每空4分） 1． 162. -2433. 124. -25. 16. 1()3A E -7. -2 8. 1233(2)x k ξξξξ=+-+或者11117063x k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭k 为任意常数。

计算题中的计算题和证明题有多种方法，老师可以根据学生做的实际情况酌情给分。

下面的给分情况仅作参考。

二、（计算题20分，每题10分）1.3691218455643120312341234611184506113334111756430411170311230031===---------- (5分) 6216234401733(6408)69644001--=--=-=-⨯-=--- (5分)2. 1111111111111111a a a a++++4111411141114111a a a a a a a ++++=+++ (2分) 11111111(4)11111111aa a a ++=++ (2分) 111100(4)0000a a aa a a a+-=+-- (2分)430(4)0400a aa a a a a a-=+-=+- （4分）三．解答题 (10分)解：11121023310114X ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2分）12103101⎛⎫ ⎪⎝⎭121012103105310155⎛⎫⎛⎫ ⎪→→ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭121055310155⎛⎫- ⎪→ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭（2分） 14012310--⎛⎫ ⎪-⎝⎭14010512--⎛⎫→ ⎪--⎝⎭1401120155--⎛⎫ ⎪→ ⎪- ⎪⎝⎭431055120155⎛⎫-⎪→ ⎪⎪- ⎪⎝⎭（2分）所以11121023310114X ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭12431055553101125555⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪-⎛⎫=⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2125251172525⎛⎫--⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭（4分）四．解答题 (10分)解：()111111111111111111111111A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭（2分）211111111111111111111111111111111A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪----⎪⎪= ⎪⎪---- ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭4444444444444444--⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭411111111(4)11111111--⎛⎫ ⎪-- ⎪=- ⎪-- ⎪--⎝⎭411111111411111111--⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭44A = （4分）所以由递推法可得：4(1)4n n A A -= （4分）五．解答题 (12分)解：()1234,,,αααα11321326151103142--⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭213141311320214064120458r r r r r r -----⎛⎫⎪--- ⎪−−−→ ⎪- ⎪-⎝⎭424321()2113210122064120000r r r r r --⨯---⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭32361()711321012200100000r r r -⨯---⎛⎫⎪ ⎪−−−→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2313121231000010200100000r r r r r r --+⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭所以1α，2α，3α是一个极大线性无关组。

2007线性代数考试试题B

,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《线性代数－2007》试卷B1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；．考试形式：开（闭）卷；本试卷共五大题，满分100分，考试时间120分钟单项选择题（每小题2分，共40分）。

．设矩阵22, B 23, C 32A ⨯⨯⨯为矩阵为矩阵为矩阵，则下列矩阵运算无意义的是【】A . BAC B. ABC C . BCA D. CAB设n 阶方阵A 满足A 2 ＋E =0，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有【】A. 矩阵A 不是实矩阵B. A=-EC. A=ED. det(A)=1设A 为n 阶方阵，且行列式det(A)=1 ,则det(-2A)= 【】A. 2－B. ()n2－ C. n 2－ D. 1设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A 的行向量组中【】A.必存在一个行向量为零向量B.必存在两个行向量，其对应分量成比例C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合．设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是【】A ．133221,,a a a a a a --- B. 212132,,a a a a - C. 32322,2,a a a a + D. 1321,,a a a a －6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件是【】A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k 使7．设a 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是【】A ．A 的行向量组线性相关B . A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关8.设i a 、i b 均为非零常数（i =1，2，3），且齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++00332211332211x b x b x b x a x a x a的基础解系含2个解向量，则必有【】 A.03221= b b a a B.02121≠ b b a a C.332211b a b a b a == D.02131= b b a a9.方程组12312312321 21 3 321x x x x x x x x x a ++=⎧⎪++=⎨⎪++=+⎩有解的充分必要的条件是【】A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=110. 设η1，η2，η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是【】A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组B. 与η1，η2，η3等秩的向量组C.η1－η2，η2－η3，η3－η1D. η1，η1-η3，η1-η2-η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则【】A. 方程组有无穷多解B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解C. 方程组有唯一解或无穷多解D. 方程组无解12.n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个【】A.互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的是【】A. }0|),,,{(2121=a a a a a nB. }0|),,,{(121∑==ni i n a a a aC. },,2,1,|),,,{(21n i z a a a a i n =∈D. }1|),,,{(121∑==n i i n a a a a 14.若2阶方阵A 相似于矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3- 20 1B ,E 为2阶单位矩阵,则方阵E –A 必相似于矩阵【】A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 10 1B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 1 0 1-C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 2-0 0 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 2-0 1-15.若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8020001 a a A 正定,则实数a 的取值范围是【】A ．a < 8 B. a ＞4 C ．a ＜-4 D ．-4 ＜a ＜4二、填空题（每小题2分，共20分）。

《线性代数》期末复习大纲及参考答案(最新)

07-08(1) 线性代数总期末考试复习大纲及复习题：期末考试题型：判断(约占30%)与选择(约占70%) 期末考试形式：开卷期末复习各章重点第一章知道行列式的定义并会用定义计算简单的行列式；熟悉并会用行列式的性质计算行列式，掌握行列式的依行依列展开定理。

第二章掌握向量线性相关与线性无关的定义并会用定义判断向量组相关与无关；会求向量组的极大无关组以及用极大无关组表示其余的向量；熟悉线性方程组解的一般理论，掌握矩阵的初等变换并会用初等变换求解线性方程组；会用初等变换求矩阵的秩.第三章熟悉矩阵的运算性质，特别是矩阵乘法的特殊性（不满足交换律），知道分块矩阵；掌握逆矩阵的定义、伴随矩阵的概念以及关系式E A A A AA ==**，会用伴随矩阵和初等变换求矩阵的逆矩阵；了解初等矩阵及其性质,会解简单的矩阵方程。

第四章知道向量空间的定义，掌握基变换公式和向量坐标变换公式。

第五章掌握矩阵的特征值与特征向量的概念以及矩阵能够对角化的条件，会判断一个矩阵能否对角化；掌握相似矩阵的概念及其性质。

第六章掌握二次型的概念，掌握二次型与矩阵的对应关系，掌握合同矩阵的概念，会判断简单矩阵的合同，掌握二次型正定负定的条件并会判定二次型是否正定。

复习题1．若三阶行列式1231122331232226a a a b a b a b a c c c ---=，则 123123123a a ab b bc c c = 3 （对） 2．若方程组123123123000tx x x x tx x x x tx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则t=1或-2 。

（对）3．已知齐次线性方程组32023020x y x y x y z λ+=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则λ≠ 0（对）4．已知三阶行列式D=123312231，则元素12a =2的代数余子式12A = -1 ；（错）5.若n 阶矩阵A 、B 、C 满足ABC=E （其中E 为n 阶可逆阵），则BCA=E 。

《线性代数》期末考试题及详细答案(本科A、B试卷)

XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案（本科A 、B 试卷）A 卷一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）。

1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12DD OO=_____________。

2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。

3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。

4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。

5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。

二、单项选择题（每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每小题2分，共20分）。

1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是：课程代码：适用班级：命题教师：任课教师：（A ）-2或3；（B ）-3或2；（C ）-2或-3；（D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为：（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+； B ）()()22A B A+B =A B --；（C ）()()2A E=A E A+E --；（D ）()222AB =A B ； 3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A=？（A ）A E ；（B ）A ；（C ）nA A ；（D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵：（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭；（B ）100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；（C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；（D ）010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是：（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关；（B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关；（D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。

2007-2008第二学期线代试卷B及答案

武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数（ B 卷）一、选择题（每小题3分，共12分）1、 B2、 A3、 A4、 C 二、填空题（每小题3分，共12分）1、 6006⎛⎫⎪⎝⎭； 2、. 1201113002A --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭； 3、（1，1，-1）； 4、 6；三、1、121000121000(1)2121000121121n n n x x n xn x n n D x x n n x xn nn n-+-++⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦+-+--………………………（6分） (1)12(1)(1)2n n n n n x x --+⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦…………………………………………………………………………………（9分） 2、记1200A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则1111200A A A ---⎛⎫= ⎪⎝⎭， ……………………………………………………………（2分）又*11211,10A A ⎛⎫==⎪-⎝⎭，故112110A -⎛⎫=⎪-⎝⎭…………………………………………………………（4分）*21211,31A A -⎛⎫=-=⎪-⎝⎭，故122131A --⎛⎫=⎪-⎝⎭………………………………………………………（6分）所以1210010000021031A-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭。

…………………………………………………………………（9分） 3、记()1234,,,A αααα=，对A 进行行初等变换，将其化为行最简形：1211241012213631A -⎛⎫ ⎪- ⎪=⎪--- ⎪-⎝⎭～121100320032064-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭～12110032000000-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭～11203200130000000⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭…………………（5分）()2R A =，又显然13,αα线性无关，所以13,αα即为原向量组的一个最大无关组；………………………（7分）且212αα=，4131233ααα=--。

线性代数B期末试卷及答案

2008 -2009学年第二学期《线性代数 B 》试卷量组1，2，，m ，的秩为5. 设A 为实对称阵，且AI M 0,则二次型f =x T A x 化为f =y T A -1 y 的线性变换是x= __________ .T6. 设 R 3 的两组基为 a 11,1,1 ，a 2 1,0, 1 ，a 3 1,0,1 ；2,3,4 , 3 3,4,3 ，则由基 a !,a 2,a 3到基 1, 2, 3的过渡矩阵为、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18 分）一一一-二二 -三四五六总分(共 0 0 12. A 为n 阶方阵,AA T = E 且A 0,则A E |.3•设方阵A1 2 24 t 3 , B 为三阶非零矩阵，且AB=O,则t 3114.设向量组m线性无关，向量不能由它们线性表示，贝U 向1(1,2,1,)T ，22009年6月22日6小题，每小题3分，满分18分）、填空题 1 0 0 10 01.设D n 为n 阶行列式，则D n = 0的必要条件是[]. (A) D n 中有两行元素对应成比例； (B) D n 中各行元素之和为零； (C) D n 中有一行元素全为零；(D)以D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解.2.若向量组，，线性无关，，，线性相关，则[](A)必可由，，线性表示； (B)必可由，，线性表示； (C)必可由，，线性表示； (D)必可由，，线性表示.3.设3阶方阵A 有特征值0,— 1,1，其对应的特征向量为P i , P 2,P 3, 令1 亠( P 1, P 2, P 3)，则 P —1AP =[ ].1 0 00 0 0(A) 01 0 ；(B) 01 0 ；0 0 0 0 0 10 01 0(C) 0 10 ；(D) 0 00 .0 0 —10 0—14. 设 a 1, a, a 线性无关，则下列向量组线性相关的是[](A) a, a, a - a ；(B) a 1,a + a, a 1+ a ；(C) a +( 也， a + a, a + a ； (D) a 1- a, a - a, a - a .5. 若矩阵A a x 4有一个3阶子式不为0,则A 的秩R ( A )=[]. (A) 1； (B) 2; (C) 3；(D) 4.6. 实二次型f 二X T A X 为正定的充分必要条件是[].(A) A 的特征值全大于零； (B) A 的负惯性指数为零；(C)AI > 0 ；(D) R(A) = n .、解答题(共5小题，每道题8分，满分40分)。

08-09年第二学期《线性代数Ⅱ》课程考试试卷B答案

2008─2009学年第二学期《线性代数Ⅱ》课程考试试卷B 答案注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟一、单选题 (每小题 2 分，共 20 分)1.设A 为n 阶方阵，且2,n ≥则5A -等于（ A ）；(A ) (5)n A -； (B ) 5A -； (C ) 5A ； (D ) 5nA .2.设,,A B C 为同阶方阵，则()T ABC 等于 ( B )；(A ) T T T A B C ； (B ) T T T C B A ； (C ) T T T C A B ； (D ) T T T A C B .3.设矩阵1122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则和A 等价的矩阵是( B )；(A ) 1022A ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(B ) 1313A ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(C ) 111222A ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(D ) 112222A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭. 4.若向量组s ααα,...,,21，(2s )线性无关的充要条件是（ D ）； (A ) s ααα,...,,21 均不为零向量；(B ) s ααα,...,,21中任意两个向量不成比例； (C ) s ααα,...,,21任意s-1个向量线性无关；(D ) s ααα,...,,21中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示.5.已知12,ββ为非齐次线性方程组Ax b =两个不同的解，12,αα为其导出组0Ax =的一个基础解系，12,c c 为任意常数，则Ax b =的通解可以表示为（ A ）；(A ) )()(212121121αααββ++++c c ；(B ) )()(212121121αααββ+++-c c ；(C ) )()(212121121ββαββ-+++c c ；(D ) )()(212121121ββαββ+++-c c . 6.设A 为n 阶方阵，且032=-+E A A则=+-1)2(E A （ A ）；(A ) E A -；(B ) E A +；(C ))(31E A -；（D ）)(31E A +. 7．设n 阶可逆方阵A 有一个特征值为3，对应的特征向量为x, 则下列等式中不正确的是（ B ）；()3A Ax x = 1()3B A x x -= 11()3C A x x -= 2()9D A x x =.8.写出二次型1231213(,,)22f x x x x x x x =+的规范形（ C ）；（A ）221222y y -；（B ）221222y y +；（C ）2212y y -；（D ）2212y y +. 9.设3阶矩阵A 与B 相似,A 的特征值为4,2,3. 则B 等于（ D ）；1()24A ； 1()9B ； ()9C ； ()24D .10.二次型212311323(,,)44f x x x x x x x x =++的矩阵为（ D ）；(A ) 104004440⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；(B ) 1022002000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；(C ) 1002000220⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；(D ) 102002220⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.二、计算下列行列式 (每小题6分，共12分)1．123233249499367677=02．1115115115115111=512三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名…………………….………….………………试题不要超过密封线………….………………………………三、计算矩阵 (共20分)设111210101A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，123120001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求（1）A AB 23-；(5分) （2）B A T；（5分）（3）判断矩阵A 是否可逆？若可逆，求1-A .（10分）解：（1）242126124AB ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ (2)2421114108323126221018181241011610AB A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (5)（2）12112336411012000310*******TA B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭………10 （3）40A =-≠，故A 可逆，……………………13 并且**1111222, (17)113111111222444113111 (204)222113444A A A A ----⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪===- ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭四、(每小题4分，共16分)已知向量组13125α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21112α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭32013α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭41101α⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(1)若123430αααβ+--=，求β；(2)求向量组的秩),,,(4321ααααR ；(3)求向量组4321,,,αααα的一个最大无关组； (4)将其余向量组用此最大无关组线性表示.解：（1）1135383193β⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (4)（2）31211011110101122110000052310000A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪=→⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭向量组的秩),,,(4321ααααR =2 (8)（3）向量组4321,,,αααα的一个最大无关组为12,αα (12)（4）312412,2αααααα=-=- (16)三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名…………………….………….………………试题不要超过密封线………….………………………………五、(共15分)求下列非齐次线性方程组的通解及对应的齐次方程组的基础解系：123451234523451234513235226254337x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-⎧⎪+++-=-⎪⎨+++=⎪⎪+++-=-⎩ 解111111101153321135012262012262000000543317000000-----⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→⎪ ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭因R(A)=R(A,b)=2 5.故有无穷解. (5)原方程组的同解方程组为13452345532262x x x x x x x x =++-⎧⎨=---+⎩ (7)特解*32,000η-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (9)齐次的基础解系123115226,,100010001ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (13)通解为*112233k k k ηηξξξ=+++(123,,k k k 为任意常数) (15)六、(共17分) 设矩阵100032023A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.(1)求矩阵A 的特征值和特征向量；（2）求一正交矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵.解：（1）10032(1)(1)(5)0023A E λλλλλλλ--=-=---=- 得A 的特征值为1231,5λλλ===……………4 对应121λλ==，解方程0)(=-x E A 得特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1101ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012ξ (8)1ξ，2ξ为对应于121λλ==的特征向量.对应53=λ，解方程0)5(=-x E A 得特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1103ξ (10)3ξ为对应于53=λ的特征向量.(2)将321,,ξξξ单位化有,11021,001,11021321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P P P ......... (12)令),,(321P P P P =（不唯一）有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-5000200011AP P (15)三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名…………………….………….………………试题不要超过密封线………….………………………………。

2007年-2008年-自考-线性代数-经管类-真题详细答案

全国2007年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）参考答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A 为3阶方阵,且2||=A ，则=-|2|1A （ D ） A ．—4 B ．—1 C ．1D ．44218||2|2|131=⨯==--A A ． 2．设矩阵A =(1，2），B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321，C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛654321，则下列矩阵运算中有意义的是（ B ) A ．ACBB ．ABCC ．BACD ．CBA3．设A 为任意n 阶矩阵,下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ） A ．A ＋A TB ．A －A TC ．AA TD ．A T A)()()(T T T T T T T A A A A A A A A --=-=-=-，所以A －A T 为反对称矩阵．4．设2阶矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d cb a,则A ＊=( A ） A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb dB ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a bc d C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb dD ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a bc d5．矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0133的逆矩阵是（ C ）A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3310B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3130C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13110D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01311 6．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--500043200101，则A 中（ D ）A ．所有2阶子式都不为零B ．所有2阶子式都为零C ．所有3阶子式都不为零D ．存在一个3阶子式不为零7．设A 为m×n 矩阵,齐次线性方程组Ax =0有非零解的充分必要条件是（ A ） A ．A 的列向量组线性相关 B ．A 的列向量组线性无关 C ．A 的行向量组线性相关D ．A 的行向量组线性无关Ax =0有非零解⇔n A r <)(⇔ A 的列向量组线性相关．8．设3元非齐次线性方程组Ax=b 的两个解为T )2,0,1(=α，T )3,1,1(-=β，且系数矩阵A 的秩r （A ）=2，则对于任意常数k , k 1, k 2，方程组的通解可表为（ C ） A ．k 1（1，0，2)T +k 2（1,-1，3)T B ．(1,0，2)T +k (1,—1，3)T C ．(1,0,2）T +k （0,1,-1）TD ．(1，0，2）T +k （2，-1,5）TT )2,0,1(=α是Ax=b 的特解，T )1,1,0(-=-βα是Ax =0的基础解系，所以Ax=b 的通解可表为=-+)(βααk (1，0,2)T +k （0,1,—1)T ．9．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111111的非零特征值为（ B )A ．4B ．3C ．2D ．1111111111)3(111111333111111111||-------=---------=---------=-λλλλλλλλλλλλA E )3(0000111)3(2-=-=λλλλλ,非零特征值为3=λ．10．4元二次型413121214321222),,,(x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ C ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000000001110000100000000000111100001000100011111A ，秩为2．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．若,3,2,1,0=≠i b a i i 则行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =__0__．行成比例值为零．12．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则行列式｜A TA |=__4__．4)2(4321||||||||222=-====A A A A A TT．13．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解,则其系数行列式的值为__0__．14．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020101，矩阵E A B -=,则矩阵B 的秩r(B ）= __2__．E A B -==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010100，r(B )=2．15．向量空间V=｛x =（x 1，x 2,0)｜x 1，x 2为实数｝的维数为__2__．16．设向量)3,2,1(=α，)1,2,3(=β，则向量α，β的内积),(βα=__10__．17．设A 是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax =0只有零解，则矩阵A 的秩r(A )= __3__．18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax =b 的增广矩阵A 经初等行变换化为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→1)1(0021201321a a a A ，若方程组无解,则a 的取值为__0__．0=a 时，2)(=A r ，3)(=A r ．19．设3元实二次型),,(321x x x f 的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形是232221y y y -+．秩3=r ，正惯性指数2=k ，则负惯性指数123=-=-k r ．规范形是232221y y y -+．20．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-300021011a 为正定矩阵，则a 的取值范围是1<a ．011>=∆，0121112>-=-=∆a a,0)1(33000210113>-=-=∆a a ⇒1<a ．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分,共54分)21．计算3阶行列式767367949249323123．解：0760300940200320100767367949249323123==．22．设A =　⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--523012101，求1-A ．解：　⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100010001523012101→　⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---103012001220210101→　⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---127012001200210101 →　⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---127012002200210202→　⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----127115125200010002→　⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/112/71152/112/5100010001， =-1A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/112/71152/112/5． 23．设向量组T )1,2,1,1(1-α,T )2,4,2,2(2--α,T )1,6,0,3(3-α，T )4,0,3,0(4-α．（1）求向量组的一个极大线性无关组；(2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合．解：=),,,(4321αααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----4121064230210321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4440000033000321 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000330044400321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000110011100321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000110000103021→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000110000103001．（1）321,,ααα是一个极大线性无关组；（2）=4α32103ααα++-．24．求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=++000543321521x x x x x x x x x 的基础解系及通解．解:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111000*********A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111001010010011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010001010010011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010001010010011，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==--=55453225210x x x x x x x x x x , 基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00011，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10101，通解为T T k k )1,0,1,0,1()0,0,0,1,1(21--+-=η．25．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1221，求正交矩阵P ,使AP P 1-为对角矩阵．解：)3)(1(324)1(1221||22-+=--=--=----=-λλλλλλλλA E ，特征值11-=λ，32=λ．对于11-=λ,解齐次线性方程组0)(=-x A E λ:⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-00112222A E λ，⎩⎨⎧=-=2221x x x x ，基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111α，单位化为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==21211121||1111ααβ；对于32=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-00112222A E λ，⎩⎨⎧==2221x x x x ，基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=112α，单位化为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==21211121||1222ααβ．令⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21212121P ，则P 是正交矩阵，使⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-30011AP P ． 26．利用施密特正交化方法,将下列向量组化为正交的单位向量组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00111α， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01012α．解：正交化，得正交的向量组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==001111αβ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=012/12/10011210101||),(1211222βββααβ；单位化，得正交的单位向量组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==002/12/1001121||1111ββp ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==06/26/16/1012/12/162||1222ββp ．四、证明题（本大题6分）27．证明:若A 为3阶可逆的上三角矩阵,则1-A 也是上三角矩阵．证：设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=33232213121100a a a a a a A ，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==*-3323133222123121111||1||1A A A A A A A A A A A A A ，其中000332312=-=a a A ，00002213=-=a A ，00121123=-=a aA ，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-3332223121111||1A A A A A A A A 是上三角矩阵．全国2007年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A 是3阶方阵，且|A ｜=21-,则|A -1｜=（ A ） A ．—2B ．21- C ．21D ．22．设A 为n 阶方阵,λ为实数，则=||A λ（ C ） A ．||A λB ．||||A λC ．||A n λD ．||||A n λ3．设A 为n 阶方阵，令方阵B =A +A T ，则必有（ A ) A ．B T =BB ．B =2AC ．B B T -=D ．B =0B A A A A A A A A B T T T T T T T T =+=+=+=+=)()(．4．矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111的伴随矩阵A ＊=（ D ) A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111 C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11115．下列矩阵中，是初等矩阵的为（ C ）A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001 B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100101110 C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0013000106．若向量组)0,1,1(1+=t α，)0,2,1(2=α，)1,0,0(23+=t α线性相关，则实数t =（ B ）A ．0B ．1C ．2D ．30)1)(1(2111)1(100021011222=-+=++=++t t t t t t ⇒1=t ．7．设A 是4×5矩阵，秩(A )=3,则（ D ) A ．A 中的4阶子式都不为0 B ．A 中存在不为0的4阶子式 C ．A 中的3阶子式都不为0D ．A 中存在不为0的3阶子式8．设3阶实对称矩阵A 的特征值为021==λλ，23=λ,则秩(A )=（ B ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3A 相似于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=200000000D ，秩(A ）= 秩（D ）=1．9．设A 为n 阶正交矩阵，则行列式=||2A （ C )A ．-2B ．-1C ．1D ．2A 为正交矩阵，则E A A T =，==22||||A A 1||||||==A A A A T T ． 10．二次型2.2),,(y x z y x f -=的正惯性指数p 为（B ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1121，则行列式=||TAA __1__． 1)1(1121||||||||22=-====A A A AA T T ．12．行列式1694432111中)2,3(元素的代数余子式=32A __—2__．2421132-=-=A ． 13．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21，则=B A T__5__． 521)2,1(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B A T ．14．已知βααα=+-32125，其中)1,4,3(1-=α，)3,0,1(2=α，)5,2,0(-=β，则=3α⎪⎭⎫ ⎝⎛-211,1,1．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=+---=211,1,1)11,2,2(21)]3,0,1(5)1,4,3()5,2,0[(213α 15．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-613101的行向量组的秩=__2__．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-613101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-603001→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-003001,秩=2． 16．已知向量组)1,1,1(1=α，)0,2,1(2=α，)0,0,3(3=α是3R 的一组基，则向量)3,7,8(=β在这组基下的坐标是)1,2,3(．设332211αααβx x x ++=，即)0,0,3()0,2,1()1,1,1()3,7,8(321x x x ++=，得⎪⎩⎪⎨⎧==+=++37283121321x x x x x x ,解得⎪⎩⎪⎨⎧===123321x x x ． 17．已知方程组⎩⎨⎧=+-=-0202121tx x x x 存在非零解，则常数t =__2__．02211=-=--t t，2=t ．18．已知3维向量T )1,3,1(-=α，T )4,2,1(-=β,则内积=),(βα__1__．19．已知矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x 01010101的一个特征值为0，则x =__1__．0|0|=-A E ，所以0||=A ,即0111101010101=-==x xx，1=x ．20．二次型323121232221321822532),,(x x x x x x x x x x x x f +-+++=的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--541431112．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式D=210121012的值．解：4)26(2123210121230210121012=+--=---=--=．22．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3512，B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛0231，求矩阵方程XA =B 的解X ．解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=252610022501101220016101210013512),(E A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→25131001，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-25131A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-26512251302311BA X ． 23．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---a 363124843121，问a 为何值时，（1）秩(A ）=1；（2）秩(A ）=2．解:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---a 363124843121→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--900000003121a →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000090003121a ． (1）9=a 时,秩（A )=1；（2)9≠a 时，秩(A ）=2．24．求向量组1α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111，2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531，3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛626，4α=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-542的秩与一个极大线性无关组．解:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--565142312611→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3126028402611→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142014202611→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000014202611，秩为2，1α,2α是一个极大线性无关组．25．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++362232234232132321x x x x x x x x 的通解．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=362232203421A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---322032203421→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000032203421→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000032200201→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00002/31100201，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=333231232x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11202/30k ．26．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1630310104A ，求可逆矩阵P 及对角矩阵D ，使得D AP P =-1．解:2)1)(2(31104)1(1630310104||-+=--+-=-----+=-λλλλλλλλλA E ，特征值21-=λ，132==λλ．对于21-=λ,解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-00013050300013001531300000511210510513630510102A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→0003/1103/501，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=3332313135x x x x x x ,基础解系为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=13/13/51α；对于132==λλ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000000210210210210630210105A E λ,⎪⎩⎪⎨⎧==-=3322212x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0122α,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1003α．令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=101013/1023/5P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010002D ，则P 是可逆矩阵，使D AP P =-1．四、证明题（本大题6分)27．设向量组1α,2α线性无关，证明向量组211ααβ+=,212ααβ-=也线性无关．证:设02211=+ββk k ，即0)()(212211=-++ααααk k ，0)()(221121=-++ααk k k k ．由1α，2α线性无关,得⎩⎨⎧=-=+002121k k k k ，因为021111≠-=-，方程组只有零解，所以1β,2β线性无关．全国2007年10月高等教育自学考试线性代数（经管类)试题答案课程代码:04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（ D ） A ．—3B ．-1C ．1D ．3222111c b a c b a ++=2211b a b a +2211c a c a =1+2=3．2．设A 为3阶方阵，且已知2|2|=-A ，则=||A （ B ) A ．-1B ．41-C ．41 D ．12|2|=-A ，2||)2(3=-A ，41||-=A ．3．设矩阵A ,B ，C 为同阶方阵，则=T ABC )(（ B ） A ．A T B T C TB ．C T B T A TC ．C T A T B TD ．A T C T B T4．设A 为2阶可逆矩阵,且已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-4321)2(1A ，则A =( D ）A ．2⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛432121C ．214321-⎪⎪⎭⎫⎝⎛D ．1432121-⎪⎪⎭⎫⎝⎛ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-4321)2(1A ，143212-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ，1432121-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A ． 5．设向量组s ααα,,,21 线性相关,则必可推出（ C ） A ．s ααα,,,21 中至少有一个向量为零向量 B ．s ααα,,,21 中至少有两个向量成比例C ．s ααα,,,21 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D ．s ααα,,,21 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合6．设A 为m×n 矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（ A ） A ．A 的列向量组线性无关 B ．A 的列向量组线性相关 C ．A 的行向量组线性无关D ．A 的行向量组线性相关Ax=0仅有零解⇔n A r =)(⇔ A 的列向量组线性无关．7．已知21,ββ是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解,21,αα是其导出组Ax =0的一个基础解系，21,C C 为任意常数，则方程组Ax =b 的通解可以表为（ A ） A ．)()(212121121ααC αC ββ++++ B ．)()(212121121ααC αC ββ+++-C ．)()(212121121ββC αC ββ-+++ D ．)()(212121121ββC αC ββ+++- )(2121ββ+是Ax =b 的特解，211,ααα+是Ax =0的基础解系． 8．设3阶矩阵A 与B 相似，且已知A 的特征值为2，2，3,则=-||1B （ A )A ．121 B ．71 C ．7 D ．12B 相似于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛300020002，12300020002||==B ，121||||11==--B B ．9．设A 为3阶矩阵，且已知0|23|=+E A ，则A 必有一个特征值为( B ）A ．23-B ．32-C ．32 D ．23 0|23|=+E A ⇒032=--A E ⇒A 必有一个特征值为32-． 10．二次型312123222132142),,(x x x x x x x x x x f ++++=的矩阵为( C ） A ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛104012421B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010421C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛102011211D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛120211011二、填空题（本大题共10小题,每小题2分，共20分）11．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100012021，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310120001，则A+2B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛720252023．12．设3阶矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002520310,则=-1)(T A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--002/1130250．→),(E A T⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010001053021200→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001100010200053021→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--001130010200010021 →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---001130250200010001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--002/1130250100010001，=-1)(T A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--002/1130250．13．设3阶矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333022001,则A *A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛600060006．==*E A A A ||⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==6000600066333022001E E ．14．设A 为m ×n 矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，则矩阵B =AC 的秩为__r__． B =AC ，其中C 可逆，则A 经过有限次初等变换得到B ,它们的秩相等．15．设向量)1,1,1(=α，则它的单位化向量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛31,31,31．16．设向量T )1,1,1(1=α，T )0,1,1(2=α，T )0,0,1(3=α,T )1,1,0(=β,则β由321,,ααα线性表出的表示式为3210αααβ-+=．设332211αααβk k k ++=，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001011111110321k k k ,⎪⎩⎪⎨⎧==+=++110121321k k k k k k ，⎪⎩⎪⎨⎧-===101321k k k ．17．已知3元齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+0320320321321321x x x ax x x x x x 有非零解，则a =__2__．02412141121200132132111=-=+=+=-a a a a ，2=a ．18．设A 为n 阶可逆矩阵，已知A 有一个特征值为2，则1)2(-A 必有一个特征值为41． 2=λ是A 的特征值，则41)2(1=-λ是1)2(-A 的特征值．19．若实对称矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a 000103为正定矩阵，则a 的取值应满足30<<a ．031>=∆,031322>-==∆a a a，0)3(00010323>-==∆a a aa a ⇒30<<a ． 20．二次型2221212122),(x x x x x x f -+=的秩为__2__．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301112111112A ，秩为2．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．求4阶行列式1111112113114111的值．解：6300102010011000100010011020130011111112113114111===．22．设向量)4,3,2,1(=α，)0,2,1,1(-=β，求(1）矩阵βαT ；（2)向量α与β的内积),(βα．解：(1)()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=08440633042202110,2,1,14321βαT ；(2）50621),(=++-=βα． 23．设2阶矩阵A 可逆，且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-21211b ba a A ，对于矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102P ,令21AP P B =,求1-B ．解:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-102111P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-011012P ，111121----=P A P B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121b b a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1021=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2121a ab b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1021=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--12112122a a a b b b ．24．求向量组T )3,1,1,1(1=α，T )1,5,3,1(2--=α，T )4,1,2,3(3-=α，T )2,10,6,2(4--=α的秩和一个极大线性无关组．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----24131015162312311→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------85401246041202311→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------0700070041202311→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------0000070041202311，秩为3，321,,ααα是一个极大线性无关组．25．给定线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321ax x x x ax x a x x x ．(1)问a 为何值时，方程组有无穷多个解;（2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（用一个特解和导出组的基础解系表示)．解:（1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2112113111a a a A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----a a a a a 110010103111，1=a 时，方程组有无穷多解;(2）1=a 时，A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000002111,⎪⎩⎪⎨⎧==---=33223212x x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10101100221k k ． 26．求矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------011101110的全部特征值及对应的全部特征向量．解:100010111)2(1111111)2(1212112111111||--+=+=+++==-λλλλλλλλλλλλλλλA E)2()1(2+-=λλ，特征值21-=λ，132==λλ．对于21-=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-000330211330330211112121211211121112A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→000110101000110211，⎪⎩⎪⎨⎧===333231x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111α,对应的全部特征向量为αk （k 是任意非零常数）；对于132==λλ,解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000000111111111111A E λ，⎪⎩⎪⎨⎧==--=3322321x x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1012α，对应的全部特征向量为2211ααk k +(21,k k 是不全为零的任意常数）．四、证明题（本大题6分)27．设A 是n 阶方阵，且0)(2=+E A ，证明A 可逆．证：由0)(2=+E A ,得022=++E A A ，E A A =+-)2(2，E A E A =+-)2(．所以A 可逆，且)2(1E A A +-=-．16全国2008年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A 为三阶方阵且2||-=A 则=|3|A A T （ D ） A ．—108B ．—12C ．12D ．108108)2(27||3|3|223=-⨯==A A A T ．2．如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则k =（ B )A ．-2B ．—1C ．1D ．20)1(1241434014013=+=-=--k kkk ，1-=k ．3．设A 、B 为同阶方阵,下列等式中恒正确的是（ D ） A ．BA AB =B ．111)(---+=+B A B AC ．||||||B A B A +=+D ．T T T B A B A +=+)(4．设A 为四阶矩阵，且2||=A ，则=*||A （ C ) A ．2B ．4C ．8D ．12=*||A 82||||331===-A A n ．5．设β可由向量)0,0,1(1=α，)1,0,0(2=α线性表示,则下列向量中β只能是( B )A ．)1,1,2(B ．)2,0,3(-C ．)0,1,1(D ．)0,1,0(-),0,(212211k k k k =+=ααβ．6．向量组s ααα,,,21 的秩不为s (2≥s )的充分必要条件是（ C ） A ．s ααα,,,21 全是非零向量 B ．s ααα,,,21 全是零向量C ．s ααα,,,21 中至少有一个向量可由其它向量线性表出D ．s ααα,,,21 中至少有一个零向量s ααα,,,21 的秩不为s ⇔s ααα,,,21 线性相关．177．设A 为m n ⨯矩阵，方程AX =0仅有零解的充分必要条件是( C ) A ．A 的行向量组线性无关 B ．A 的行向量组线性相关 C ．A 的列向量组线性无关D ．A 的列向量组线性相关AX =0仅有零解⇔n A r =)(⇔A 的列向量组线性无关．8．设A 与B 是两个相似n 阶矩阵，则下列说法错误．．的是（ D ） A ．||||B A =B ．秩(A )=秩（B)C ．存在可逆阵P ，使B AP P =-1D ．BE A E -=-λλ9．与矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010001相似的是（ A ）A ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020001B ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010011C ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200011001D ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020101有相同特征值的同阶对称矩阵一定(正交）相似．10．设有二次型232221321),,(x x x x x x f +-=，则),,(321x x x f （ C )A ．正定B ．负定C ．不定D ．半正定当0,0,1321===x x x 时，0>f ；当0,1,0321===x x x 时0<f ．总之，f 有正有负．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分,共20分） 11．若0211=k ，则k =21． 012211=-=k k ，21=k ． 12．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023，B =⎢⎣⎡⎥⎦⎤010201，则AB =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡241010623． AB =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023⎢⎣⎡⎥⎦⎤010201=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡241010623．1813．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤220010002，则=-1A ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-2/110010002/1． ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100010001220010002→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-120010001200010002→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-2/110010002/1100010001． 14．设A 为33⨯矩阵,且方程组Ax =0的基础解系含有两个解向量,则秩（A ）= __1__．秩（A )=123=-=-r n ．15．已知A 有一个特征值2-，则E A B 22+=必有一个特征值__6__．2-=λ是A 的特征值,则62)2(222=+-=+λ是E A B 22+=的特征值．16．方程组0321=-+x x x 的通解是T T k k )1,0,1()0,1,1(21+-．⎪⎩⎪⎨⎧==+-=3322321x x x x x x x ，通解是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10101121k k ． 17．向量组)0,0,1(1=α，)0,1,1(2=α,)0,2,5(3-=α的秩是__2__．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000010001025011001,秩是2． 18．矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200020002的全部特征向量是T T T k k k )1,0,0()0,1,0()0,0,1(321++不全为零）（321,,k k k ．2321===λλλ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000000000A E λ，⎪⎩⎪⎨⎧===332211x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100． 19．设三阶方阵A 的特征值分别为1,1,2-，且B 与A 相似，则=|2|B __—16__． =|2|B 16)2(810001000223-=-⨯=-．1920．矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-301012121所对应的二次型是3121232221321243),,(x x x x x x x x x x f +++-=．三、计算题(本大题共6小题,每小题9分，共54分）21．计算四阶行列式1002210002100021的值．解：151500021000210002118002100021000211040210021000211002210002100021-=-==-=．22．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤101111123，求1-A ．解：⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100010001101111123→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤001010100123111101→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---301110100220010101 →⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤----121110100200010101→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤----121110200200010202→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-----121110121200010002→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---2/112/11102/112/1100010001，1-A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---2/112/11102/112/1．23．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-200200011,B =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤300220011，且A ，B ，X 满足E X B A B E T T =--)(1，求X ，1-X ．解：由E X B A B E T T =--)(1，得E X A B E B T =--)]([1，即E X A BB BE T =--)(1,20E X A B T =-)(，=-1X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-100020002100020002)(TT A B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10002/10002/1X ． 24．求向量组)4,2,1,1(1-=α，)2,1,3,0(2=α，)14,7,0,3(3=α，)6,5,1,2(4=α，)0,2,1,1(5-=α 的一个极大线性无关组．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--021165121470321304211→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4002130213021304211→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4004000000021304211→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0004000000021304211， 421,,ααα是一个极大线性无关组．25．求非齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=+++-=-+++=++++12334523622232375432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解．解：=A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----12133452362210231123711111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------236281023622102362210711111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------0006000000002362210711111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------0000000006002362210711111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000001002362210711111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000001002362010711011→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---00000000010023620101651001， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===--=++-=5544354254106223516x x x x x x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1006501021000231621k k ．2126．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤----020212022，求P 使AP P 1-为对角矩阵．解：λλλλλλλλλ4)2(4)2)(1(2021222||-----=--=-A E 86323+--=λλλ )2(3)42)(2()2(3)8(23+-+-+=+-+=λλλλλλλλ)4)(1)(2()45)(2(2--+=+-+=λλλλλλ，特征值21-=λ,12=λ，43=λ．对于21-=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-220220012220232012220232024A E λ→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000220012 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000110012→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000110102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0001102/101,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===33323121x x x x xx ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112/11α；对于12=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-120120021120101021120202021A E λ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000120021→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000120101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0002/110101，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=33323121x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12/112α；对于43=λ,解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000210022420210022420232022A E λ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000210011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000210201，22⎪⎩⎪⎨⎧=-==33323122xx x x x x ,基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1223α．令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=11122/11212/1P ，则P 是可逆矩阵，使=-AP P 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-400010002．四、证明题（本大题6分）27．设321,,ααα是齐次方程组Ax =0的基础解系，证明1α,21αα+，321ααα++也是Ax =0的基础解系．证：(1）Ax =0的基础解系由3个线性无关的解向量组成．（2）321,,ααα是Ax =0的解向量,则1α,21αα+,321ααα++也是Ax =0的解向量．（3）设0)()(321321211=+++++ααααααk k k ，则0)()(332321321=+++++αααk k k k k k ，由321,,ααα线性无关，得⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k ，系数行列式01100110111≠=,只有零解0321===k k k ,所以1α，21αα+，321ααα++线性无关．由（1）（2）（3）可知,1α,21αα+，321ααα++也是Ax =0的基础解系．23全国2008年4月高等教育自学考试线性代数(经管类）试题答案课程代码:04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设行列式D =333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ C ） A ．—15B ．-6C ．6D ．15D 1=620222555333231232221131211333131232121131111=+=+D a a a a a a a a a a a a a a a a a a ． 2．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+d b a 04=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-32c b a ，则( C ) A ．3,1,1,3==-==d c b a B ．3,1,3,1===-=d c b a C ．3,0,1,3==-==d c b aD ．3,0,3,1===-=d c b a3,0,4,2===-=+d c b a b a ⇒3,0,1,3==-==d c b a ．3．设3阶方阵A 的秩为2,则与A 等价的矩阵为( B ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000111B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000110111C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000222111D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3332221114．设A 为n 阶方阵，2≥n ，则=-|5|A （ A ） A ．||)5(A n -B ．||5A -C ．||5AD ．||5A n5．设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则=*||A （ B ）A ．-4B ．—2C ．2D ．424321||||||121-====--*A A A n ． 6．向量组s ααα,,,21 (2>s ）线性无关的充分必要条件是（ D ) A ．s ααα,,,21 均不为零向量B ．s ααα,,,21 中任意两个向量不成比例C ．s ααα,,,21 中任意1-s 个向量线性无关D ．s ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量线性表示247．设3元线性方程组b Ax =，A 的秩为2,1η，2η,3η为方程组的解，T )4,0,2(21=+ηη，T )1,2,1(31-=+ηη，则对任意常数k ，方程组b Ax =的通解为（ D ）A ．T T k )1,2,1()2,0,1(-+B ．T T k )4,0,2()1,2,1(+-C ．T T k )1,2,1()4,0,2(-+D ．T T k )3,2,1()2,0,1(+取b Ax =的特解：T )2,0,1()(2121=+=ηηη； 0=Ax 的基础解系含一个解向量：T )3,2,1()()(312132=+-+=-=ηηηηηηα．8．设3阶方阵A 的特征值为2,1,1-，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（ D ） A ．A E -B ．A E --C ．A E -2D ．AE --22-不是A 的特征值，所以0|2|≠--A E ,A E --2可逆．9．设λ=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵12)(-A 必有一个特征值等于（ A ） A ．41 B ．21 C ．2 D ．42=λ是A 的特征值，则41)(12=-λ是12)(-A 的特征值．10．二次型432423222143212),,,(x x x x x x x x x x f ++++=的秩为( C ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00001100001000011100110000100001A ，秩为3．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分,共20分)11．行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =__0__．行成比例值为零．12．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321,P =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011，则=T AP ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4723． =TAP ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101=⎪⎪⎭⎫⎝⎛4723．2513．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111110100，则=-1A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--001011110．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010001111110100→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100100110111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--001011101100010011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--001011110100010001． 14．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛54332221t ,若齐次线性方程组Ax =0有非零解，则数t =__2__． 02121412014022154332221||=-=----=----==t t t t A ,2=t ．15．已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1212α,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=113t α的秩为2，则数t =__-2__．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11212111t →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--123013011t t t →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--20013011t t t ，秩为2，则2-=t ． 16．已知向量T )3,0,1,2(=α，T k ),1,2,1(-=β，α与β的内积为2,则数k =32．2),(=βα，即23022=++-k ，3/2=k ．17．设向量Tb ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21,21,α为单位向量,则数b =__0__． 112121||22=+=++=b b α，0=b ． 18．已知λ=0为矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----222222220的2重特征值,则A 的另一特征值为__4__．021==λλ,220321++=++λλλ，所以43=λ．19．二次型32212322213212452),,(x x x x x x x x x x f +--+=的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---510122021．2620．已知二次型232221321)2()1()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定，则数k 的取值范围为2>k ．⎪⎩⎪⎨⎧>->->+020101k k k ，⎪⎩⎪⎨⎧>>->211k k k ,2>k ．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式D =4001030100211111的值．解：2202100111011112200210111011113110121011111114001030100211111-=----=----=------=．22．已知矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210011101,B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛410011103，(1）求A 的逆矩阵1-A ；(2）解矩阵方程B AX =．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001210011101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100011001210110101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111011001100110101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111122112100010001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111122112100010001,1-A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111122112；（2）==-B A X 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111122112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410011103=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----322234225．23．设向量)1,1,1,1(--=α,)1,1,1,1(--=β,求(1)矩阵βαT A =；（2）2A ．27解：（1）βαT A ===--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--)1,1,1,1(1111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------111111*********1; （2)2A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------111111*********1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------111111*********1=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------4444444444444444． 24．设向量组T )4,2,1,1(1-=α,T )2,1,3,0(2=α,T )14,7,0,3(3=α，T )0,2,1,1(4-=α,求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=01424271210311301),,,(4321αααα→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4220011003301301→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2110011001101301→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2000000001101301→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000000001101301→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000100001101301，向量组的秩为3，421,,ααα是一个极大线性无关组，=3α42103ααα++．25．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+--=+ax x x x x x x x 32132131522312 ，（1)求当a 为何值时,方程组无解、有解；（2）当方程组有解时，求出其全部解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)．解:=),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----a 51223111201→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---211011101201a →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--300011101201a ．（1)3-≠a 时，方程组无解，3-=a 时,方程组有解;(2)3-=a 时，),(b A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000011101201，⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=333231121x x x x x x ，全部解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-112011k ．2826．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛2178，(1）求矩阵A 的特征值与对应的全部特征向量；（2）判定A 是否可以与对角阵相似,若可以，求可逆阵P 和对角阵Λ，使得Λ=-AP P 1．解：)9)(1(9102178||2--=+-=----=-λλλλλλλA E ，特征值11=λ，92=λ．对于11=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-00111177A E λ，⎩⎨⎧=-=2221x x x x ，基础解系为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111α，对应的全部特征向量为11αk （1k 是任意非零常数）；对于92=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-00717171A E λ，⎩⎨⎧==22217x x x x ,基础解系为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=172α，对应的全部特征向量为22αk （2k 是任意非零常数）．令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1171P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ9001，则P 是可逆矩阵，使得Λ=-AP P 1．四、证明题(本题6分）27．设n 阶矩阵A 满足A A =2，证明A E 2-可逆,且A E A E 2)2(1-=--．证：由A A =2,得E A A E A A E A E A E =+-=+-=--4444)2)(2(2，所以A E 2-可逆，且A E A E 2)2(1-=--．29全国2008年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设3阶方阵],,[321ααα=A ，其中i α（3,2,1=i )为A 的列向量，且2||=A ，则=+=|],,3[|||3221ααααB （ C ）A ．-2B ．0C ．2D ．6333231232221131211||a a a a a a a a a A =，2||333||333232312322222113121211==+++=A a a a a a a a a a a a a B ． 2．若方程组⎩⎨⎧=-=+002121x kx x x 有非零解,则k =（ A )A ．—1B ．0C ．1D ．201111||=--=-=k k A ，1-=k ．3．设A ,B 为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是（ C ) A ．||||||B A AB =B ．111)(---=A B ABC ．111)(---+=+B A B AD ．T T T A B AB =)(反例：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1001B ． 4．设A 为三阶矩阵，且2||=A ,则=-*|)(|1A （ A ) A ．41 B ．1 C ．2 D ．441||1||1||1|)(|211====-*-*A A A A n ． 5．已知向量组A :4321,,,αααα中432,,ααα线性相关，那么( B ) A ．4321,,,αααα线性无关B ．4321,,,αααα线性相关C ．1α可由432,,ααα线性表示D ．43,αα线性无关部分相关⇒全体相关．。

《线性代数》练习题库参考答案

《线性代数》练习测试题库一.选择题1、=-0000000000121nn a a a a （ B ）A. n n a a a 21)1(-B. n n a a a 211)1(+-C. n a a a 212、n 阶行列式0000000000a a a a= （ B ）A.na B. (1)2(1)n n n a -- C. (1)n n a -3、n21＝（ B ）A. (1)!nn - B. (1)2(1)!n n n -- C. 1(1)!n n +-4、 A 是n 阶方阵，m, l 是非负整数，以下说法不正确的是（ C ）. A. ()m l mlA A = B. mlm lA A A+⋅= C. m m mB A AB =)(5、A 、B 分别为m n ⨯、s t ⨯矩阵, ACB 有意义的条件是（ C ） A. C 为m t ⨯矩阵； B. C 为n t ⨯矩阵； C. C 为n s ⨯矩阵6、下面不一定为方阵的是（C ）A.对称矩阵.B.可逆矩阵.C. 线性方程组的系数矩阵.7、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1021 的伴随矩阵是（A ） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1021 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1201 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1021 8、分块矩阵 00A B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（其中A 、B 为可逆矩阵）的逆矩阵是（ A ）A. 1100A B --⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 00BA ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1100B A --⎡⎤⎢⎥⎣⎦9、线性方程组Ax b = 有唯一解的条件是（ A ）A.()()r A r A b A ==的列数B.()()r A r A b = .C.()()r A r A b A ==的行数10、线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211a ax x x a x ax x x x ax 有唯一解的条件是（A ）A. 2,1-≠aB. 21-==a a 或.C. 1≠a11、的是则下面向量组线性无关），，，＝（），，，＝（)6,2,4(054312--=--γβα（B ）A. 0，，βα B. γβ， C. γα， 12、设A 为正交矩阵，下面结论中错误的是（ C ）A. A T 也为正交矩阵.B. A -1也为正交矩阵.C. 总有 1A =-13、二次型()233221214321342,,,,x x x x x x x x x x f --+=的矩阵为（ C ）A 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---340402021B 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---320201011 C 、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0000032002010011 14、设r 是实二次型),,,(21n x x x f 的秩，p 是二次型的正惯性指数，q 是二次型的负惯性指数，s 是二次型的符号差，那么（ B ）A. q p r -=；B. q p r +=；C. q p s +=； 15、下面二次型中正定的是（ B ）A. 21321),,(x x x x x f =B.2322213212),,(x x x x x x f ++= C.22213212),,(x x x x x f +=二、判断题1、若行列式主对角线上的元素全为0，则此行列式为0. （ ⨯ ）2、A 与B 都是3×2矩阵，则A 与B 的乘积也是3×2矩阵。

《线性代数、概率统计》期末考试试卷及详细答案二

《线性代数、概率论》期末考试试卷答案一、选择题（每小题后均有代号分别为A, B, C, D的被选项, 其中只有一项是正确的, 将正确一项的代号填在横线上，每小题2分，共40分）：1．行列式G的某一行中所有元素都乘以同一个数k得行列式H，则------------C-------------;(A) G=H ；(B) G= 0 ；(C) H=kG ；(D) G=kH 。

2．在行列式G中，A ij是元素a ij的代数余子式，则a1j A1k+ a2j A2k+…+a nj A nk--------D------;(A) ≠G (j=k=1,2,…,n时) ；(B) =G（j, k=1,2,…,n; j≠k时) ；(C) =0 (j=k=1,2,…,n时) ；(D) =0（j, k=1,2,…,n ;j≠k时) 。

3．若G，H都是n⨯ n可逆矩阵，则----------B------------；(A) (G+H)-1=H-1+G-1；(B) (GH)-1=H-1G-1；(C) (G+H)-1=G-1+H-1；(D) (GH)-1=G-1H-1。

4．若A是n⨯ n可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵, 则--------A----------；(A) |A*|=|A|n-1；(B) |A*|=|A|n ；(C) |A*|=|A|n+1；(D) |A*|=|A|。

5．设向量组α1, α2,…,αr (r>2)线性相关, 向量β与α1维数相同，则------------C----------- (A) α1, α2,…,αr-1 线性相关；(B) α1, α2,…,αr-1 线性无关；(C) α1, α2,…,αr ,β线性相关；(D) α1, α2,…,αr ,β线性无关。

6．设η1, η2, η3是5元齐次线性方程组AX=0的一组基础解系, 则在下列中错误的是D-------------------(A) η1, η2, η3线性无关；(B) X=η1+η2+ η3是AX=0的解向量；(C) A的秩R(A)=2；(D) η1, η2, η3是正交向量组。

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2008年春线性代数期末试卷(B)
解答与参考评分标准
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1.行列式2
2
22111a ab
b a a b b +=（A ）
A. ()3
a b -; B. ()3
b a -; C. ()3
a b +; D. ()2
a b -.
2. 设n 阶方阵,,A B C 满足关系式ABC E =，其中E 是n 阶单位阵，则必有（D ） A. ACB E =； B. CBA E =； C. BAC E =； D. BCA E =.
3. 对于齐次线性方程组，以下说法正确的是（ D ）
A. 若0AX =有解，则必有0A ≠；
B. 若0AX =无解，则必有0A =；
C. 若0AX =有非零解，则必有0A ≠；
D. 若0AX =唯有零解，则必有0A ≠。

4. 已知()()()1232,6,12,4,2,1,2,1,1,3,6,2,T
T
T
ααα==-=-
()43,5,10,2,T α=()52,1,2,10T
α=- ，则该向量组得秩为（ D ） A. 2； B. 1； C. 4； D. 3
5. 实二次型()2
3
2221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t （ B ）. A. 1 ; B. 4; C. 3; D. 2.
二、填空题（每小题3分，共15分）
6．设A 为33⨯矩阵，且A ＝2，则=*A A 32
7．设矩阵020003400A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则1A -=
10
0410021003
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
8．设矩阵110211301A -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭，则齐次线性方程组0AX =的自由向量的个数为 1 个；
9．矩阵1234234534564567A ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，则A 的秩为 2 10．实二次型()2
22121212,tx x x x x x f ++=正定，则t 应满足不等式1>t .
三、计算题（每小题10分，共50分）
11. 计算行列式11111111
11111111x x D y y
+-=+-
解：1111111111
0111110
00
01111100
00111110000111110
0x x
D x x y y y y
+-+==---+-+--- 5分
1111
111110000000
0000
0x x y y
x
x y
y
+
-+-+=
-+- 9分
22x y = 10分
12．解矩阵方程100301120121023X ⎛⎫⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭ ⎪⎝⎭
解：1
100301120121023X -⎛⎫
⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪
⎝⎭ 2分
＝10030111
012122
1113
33⎛⎫ ⎪ ⎪
⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪-
⎝⎭ 7分＝10113331213
33⎛⎫- ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭ 10分
13. 求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=--+=+-+=+-1
341321230
2432143214
321421x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。

解：对其增广矩阵()b A 作初等变换可得：
()11020110203211105151~23111051511413105151A b ⎛-⎫⎛-⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ …………….. 5分 111015511011~550000000000⎛⎫- ⎪ ⎪
⎪-- ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
…………………………………………….7分取34,x x 为自由向量，原方程组可化为：
134
23411551155x x x x x x ⎧=+-⎪⎪⎨
⎪=++⎪⎩
………………………………………………………………9分所以方程组的通解为：
1212341115511155001100x x k k x x ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
其中12
,k k 为任意常数。

…………………….10分
14．已知向量组()()()()T
T T T a a a 2,4,0,3,0,,1,6,6,3,2,2,14321-====α，求出它的一
个最大无关组。

解：由于122122366000~103021042042⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭122000~02100
0⎛⎫
⎪ ⎪
⎪- ⎪⎝⎭
……………………….6分因此该向量组的秩为2，它的一个最大无关组的个数为2。

……………………..8分由于31,αα线性无关，所以是它的一个最大无关组。

……………………………10分
15.利用施密特正交化向量组123111211
,,112021ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

解：先将321,,ααα正交化，1112,10βα⎛⎫
⎪
⎪== ⎪ ⎪
⎝⎭
()()2122111131,,
3,132αββαβββ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪- ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭…………….7分
再将其单位化可得0
⎫⎪
⎪⎪
⎪ ⎪⎝
⎭…………………………………………10分四、解答题（14分）
16. 已知方阵100212312A -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，求m A
解：首先求A 的特征值，由()()1300,1,3A E λλλλλ-=+-=⇒=-……..5分
而后求对应的特征向量，
当0λ=时，对应的特征向量为()10,2,1T
ξ=-………………………..7分当1λ=-时，对应的特征向量为()11,0,1T
ξ=-………………………..9分当3λ=时，对应的特征向量为()10,1,1T
ξ=……………………….11分
令010201111P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭,则有1013A P P -⎛⎫ ⎪
=-
⎪ ⎪⎝⎭
……………………..12分所以()111100010333120111
0031113212333m
m m
m A P P -⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()111
111110023323123323m
m m m m m m m ---+---⎛⎫- ⎪=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪-+⨯⨯⎝⎭
…………………………………14分
五、证明题（6分）
17. 设方阵A 有一个特征值为2=λ，证明：方阵E A A B 22+-=有一个特征值为4。

证明：因为A 有一个特征值为2，假设x 为其对应的特征向量，则有x Ax 2=..1分等式两边同乘以A ,则有x x Ax x A 42222===……………………………3分因此 ()
x x x x Ex Ax x A x E A A Bx 42242222=+-=--=+-=…………5分有特征值的定义可得，方阵E A A B 22+-=有一个特征值为4……………..6分。