河北省石家庄二中届高考数学二点五模试卷理(含解析)【含答案】

2015年河北省石家庄二中高考数学二点五模试卷（理科）一、选择题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知集合M={x|x2﹣4x＜0}，N={x|m＜x＜5}，若M∩N={x|3＜x＜n}，则m+n等于（）A．9 B．8 C．7 D．62．若复数Z=（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则的值为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．根据如下样本数据得到的回归方程为=bx+a．若a=7.9，则x每增加1个单位，y就（）A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位C．增加1.2个单位D．减少1.2个单位．4．执行如图所示的算法，则输出的结果是（）A．1 B．C．D．25．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）A．[6k﹣1，6k+2]（k∈z）B．[6k﹣4，6k﹣1]（k∈z）C．[3k﹣1，3k+2]（k∈z）D．[3k﹣4，3k﹣1]（k∈z）6．如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0，﹣1），B（π，﹣1），C（π，1），D（0，1），正弦曲线f（x）=sinx和余弦曲线g（x）=cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（）A．B．C．D．7．六名大四学生（其中4名男生、2名女生）被安排到A、B、C三所学校实习，每所学校2人，且2名女生不到同一学校，也不到C学校，男生甲不到A学校，则不同的安排方法共有（）A．9种B．12种C．15种D．18种8．设不等式组，表示的平面区域为D，若圆C：（x+1）2+（y+1）2=r2（r＞0）经过区域D上的点，则r的取值范围是（）A．[2，2] B．（2，3] C．（3，2] D．（0，2）∪（2，+∞）9．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（）A．B．C．1 D．10．已知四面体P﹣ABC中，PA=4，AC=2，PB=BC=2，PA⊥平面PBC，则四面体P﹣ABC的内切球半径与外接球半径的比（）A．B． C． D．11．设函数f（x）=（x﹣a）2+（lnx2﹣2a）2，其中x＞0，a∈R，存在x0使得f（x0）成立，则实数a值是（）A．B．C．D．112．若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为（）A．1 B．C．3 D．413．在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（）A．2 B．3 C．4 D．614．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f（﹣x）=f（x），f（﹣2）=﹣3，数列{a n}满足a1=﹣1，且=2×+1，（其中S n为{a n}的前n项和）．则f（a5）+f（a6）=（）A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2二、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分）15．过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C： +=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M 是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．16．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=（x＞0），则给出以下四个结论：①函数f （x ）的值域为[0，1]； ②函数f （x ）的图象是一条曲线； ③函数f （x ）是（0，+∞）上的减函数； ④函数g （x ）=f （x ）﹣a 有且仅有3个零点时．其中正确的序号为 ．三、解答题（共8小题，满分92分）17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且．（1）求角A 的大小；（2）若a=3，求△ABC 的周长的最大值．18．某高校经济管理学院在2014年11月11日“双11购物节”期间，对[25，55]岁的人群随机抽取了100人进行调查，得到各年龄段人数频率分布直方图．同时对这100人是否参加“商品抢购”进行统计，结果如下表： （1）求统计表中a 和p 的值；（2）从年龄落在（40，50]内的参加“商品抢购”的人群中，采用分层抽样法抽取6人参加满意度调查，在抽取的6人中，有随机的2人感到“满意”，设感到“满意”的2人中年龄在（40，45]内的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．（3）通过有没有95%的把握认为，进行“商品抢购”与“年龄低于40岁”有关？说明你的理由．=19．在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AD=BC ，∠ABC=60°，N 是BC 的中点．将梯形ABCD 绕AB 旋转90°，得到梯形ABC′D′（如图）． （Ⅰ）求证：AC⊥平面ABC′； （Ⅱ）求证：C′N∥平面ADD′； （Ⅲ）求二面角A ﹣C′N﹣C 的余弦值．20．已知椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为：1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的右焦点，T 为直线x=t （t ∈R ，t≠2）上纵坐标不为0的任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ．（ⅰ）若OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点），求t 的值； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T 的坐标．21．设函数g （x ）=x 2﹣2x+1+mlnx ，（m ∈R ）（Ⅰ）当m=1时，求过点P（0，1）且与曲线y=g（x）﹣（x﹣1）2相切的切线方程（Ⅱ）求函数y=g（x）的单调增区间（Ⅲ）若函数y=g（x）有两个极值点a，b，且a＜b，记[x]表示不大于x的最大整数，试比较sin与cos[g（a）][g（b）]的大小．22．如图，⊙O1和⊙O2公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO1与⊙O1与E、G两点，直线DO2交⊙O2与F、H两点．（1）求证：△DEF～△DHG；（2）若⊙O1和⊙O2的半径之比为9：16，求的值．23．长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，，点P的轨迹为曲线C．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 T的极坐标方程为ρ=﹣4sinθ．（ I）以直线AB的倾斜角α为参数，求曲线C的参数方程；（Ⅱ）若D为曲线 T上一点，求|PD|的最大值．24．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．2015年河北省石家庄二中高考数学二点五模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知集合M={x|x2﹣4x＜0}，N={x|m＜x＜5}，若M∩N={x|3＜x＜n}，则m+n等于（）A．9 B．8 C．7 D．6【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：M={x|x2﹣4x＜0}={x|0＜x＜4}，∵N={x|m＜x＜5}，∴若M∩N={x|3＜x＜n}，则m=3，n=4，故m+n=3+4=7，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．若复数Z=（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则的值为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数是纯虚数，求出a，然后利用复数的幂运算求解，化简分母为实数即可．【解答】解：Z=（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，可得a=1，则====﹣i．故选：D．【点评】本题考查复数的基本概念，复数的基本运算，考查计算能力．3．根据如下样本数据得到的回归方程为=bx+a．若a=7.9，则x每增加1个单位，y就（）A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位C．增加1.2个单位D．减少1.2个单位．【考点】线性回归方程．【专题】概率与统计．【分析】由题意可得和，由回归直线过点（，）可得b值，可得答案．【解答】解：由题意可得=（3+4+5+6+7）=5，=（4+2.5﹣0.5+0.5﹣2）=0.9，∵回归方程为=bx+a．若a=7.9，且回归直线过点（5，0.9），∴0.9=5b+7.9，解得b=﹣1.4，∴x每增加1个单位，y就减少1.4个单位，故选：B．【点评】本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算和回归方程的性质，属基础题．4．执行如图所示的算法，则输出的结果是（）A ．1B ．C ．D ．2【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n ，M ，S 的值，当S=1时，满足条件S ∈Q ，退出循环，输出S 的值为1．【解答】解：模拟执行程序框图，可得 S=0，n=2n=3，M=，S=不满足条件S ∈Q ，n=4，M=，S=+不满足条件S ∈Q ，n=5，M=，S=++=1满足条件S ∈Q ，退出循环，输出S 的值为1． 故选：A ．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．5．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）A．[6k﹣1，6k+2]（k∈z）B．[6k﹣4，6k﹣1]（k∈z）C．[3k﹣1，3k+2]（k∈z）D．[3k﹣4，3k﹣1]（k∈z）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】由图象可求函数f（x）的周期，从而可求得ω，继而可求得φ，利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的递增区间．【解答】解：|AB|=5，|y A﹣y B|=4，所以|x A﹣x B|=3，即=3，所以T==6，ω=；∵f（x）=2sin（x+φ）过点（2，﹣2），即2sin（+φ）=﹣2，∴sin（+φ）=﹣1，∵0≤φ≤π，∴+φ=，解得φ=，函数为f（x）=2sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，得6k﹣4≤x≤6k﹣1，故函数单调递增区间为[6k﹣4，6k﹣1]（k∈Z）．故选B【点评】本题考查由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查复合三角函数的单调性，属于中档题．6．如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A （0，﹣1），B （π，﹣1），C （π，1），D （0，1），正弦曲线f （x ）=sinx 和余弦曲线g （x ）=cosx 在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型． 【专题】概率与统计．【分析】利用定积分计算公式，算出曲线y=sinx 与y=cosx 围成的区域包含在区域D 内的图形面积为S=2π，再由定积分求出阴影部分的面积，利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率． 【解答】解根据题意，可得曲线y=sinx 与y=cosx 围成的区域， 其面积为（sinx ﹣cosx ）dx=（﹣cosx ﹣sinx ）|=1﹣（﹣）=1+；又矩形ABCD 的面积为2π，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是；故选B ．【点评】本题给出区域和正余弦曲线围成的区域，求点落入指定区域的概率．着重考查了定积分计算公式、定积分的几何意义和几何概型计算公式等知识，属于中档题．7．六名大四学生（其中4名男生、2名女生）被安排到A 、B 、C 三所学校实习，每所学校2人，且2名女生不到同一学校，也不到C 学校，男生甲不到A 学校，则不同的安排方法共有（ ） A ．9种 B ．12种 C ．15种 D ．18种 【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题．【分析】由题意确定2名女生在A、B学校个一人，A、B学校选男生个一人，C学校2名男生，然后求解即可．【解答】解：因为六名大四学生（其中4名男生、2名女生）被安排到A、B、C三所学校实习，每所学校2人，且2名女生不到同一学校，也不到C学校，男生甲不到A学校，所以2名女生在A、B学校各一人，A、B学校选男生各一人，C学校2名男生，不同的安排方法：=18种．故选D．【点评】本题考查排列组合的综合应用，注意有限制条件的排列组合问题的处理方法，有限制条件需要首先安排的原则．8．设不等式组，表示的平面区域为D，若圆C：（x+1）2+（y+1）2=r2（r＞0）经过区域D上的点，则r的取值范围是（）A．[2，2] B．（2，3] C．（3，2] D．（0，2）∪（2，+∞）【考点】简单线性规划；圆的标准方程．【专题】数形结合．【分析】由约束条件作出可行域，求出圆C：（x+1）2+（y+1）2=r2的圆心坐标，数形结合可得r的取值范围．【解答】解：由约束条件作出平面区域如图，由C：（x+1）2+（y+1）2=r2，得圆心C（﹣1，﹣1），联立，得A（1，1），联立，得B（2，2），联立，得D（1，3）．由图可知，半径r的最小值为|OA|=，半径r的最大值为|OD|=．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是正确作出可行域，是中档题．9．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（）A．B．C．1 D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥，根据三视图判断相关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥，其中三棱柱的高为2，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，∴几何体的体积V=×1×1×2﹣××1×1×2=．故选：A．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．10．已知四面体P﹣ABC中，PA=4，AC=2，PB=BC=2，PA⊥平面PBC，则四面体P﹣ABC的内切球半径与外接球半径的比（）A．B． C． D．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】确定△PBC为等边三角形，△ABC为等腰三角形，分别求出四面体P﹣ABC的内切球半径与外接球半径，即可得出结论．【解答】解：由题意，已知PA⊥面PBC，PA=4，PB=BC=2，AC=2所以，由勾股定理得到：AB=2，PC=2所以，△PBC为等边三角形，△ABC为等腰三角形等边三角形PBC所在的小圆的直径PD==4那么，四面体P﹣ABC的外接球直径2R==4，所以，R=2V P﹣ABC=S△PBC•PA=••12•4=4表面积S=•2•4•2+•12+•2•5=16设内切球半径为r，那么4=•16r，所以r=，所以四面体P﹣ABC的内切球半径与外接球半径的比=．故选：C．【点评】本题考查四面体P﹣ABC的内切球半径与外接球半径，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．设函数f（x）=（x﹣a）2+（lnx2﹣2a）2，其中x＞0，a∈R，存在x0使得f（x0）成立，则实数a值是（）A．B．C．D．1【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】数形结合；导数的综合应用．【分析】把函数看作是动点M（x，lnx2）与动点N（a，2a）之间距离的平方，利用导数求出曲线y=2lnx 上与直线y=2x平行的切线的切点，得到曲线上点到直线距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于，然后由两直线斜率的关系列式求得实数a的值．【解答】解：函数f（x）可以看作是动点M（x，lnx2）与动点N（a，2a）之间距离的平方，动点M在函数y=2lnx的图象上，N在直线y=2x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=2lnx得，y'==2，解得x=1，∴曲线上点M（1，0）到直线y=2x的距离最小，最小距离d=，则f（x）≥，根据题意，要使f（x0）≤，则f（x0）=，此时N恰好为垂足，由k MN=，解得a=．故选：A．【点评】本题考查利用导数求曲线上过某点切线的斜率，考查了数形结合和数学转化思想方法，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．12．若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为（）A．1 B．C．3 D．4【考点】二项式定理的应用．【专题】二项式定理．【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求出x3项的系数为20，得到ab关系，然后利用基本不等式求解最小值即可．【解答】解：（ax2+）6的展开式的通项公式为 T r+1=•a6﹣r•b r•x12﹣3r，令12﹣3r=3，求得r=2，故（ax2+）6的展开式中x3项的系数为•a4•b2=20，∴a4•b2=，即 b2=，∴a 2+b 2 =a 2+=++≥3=，当且仅当a 6=时等号成立．故选：B ．【点评】本题考查二项式定理的应用，基本不等式的应用，考查计算能力．13．在△ABC 中，C=90°，且CA=CB=3，点M 满足等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题． 【分析】由•=（）•，再利用向量和的夹角等于45°，两个向量的数量积的定义，求出•的值．【解答】解：由题意得 AB=3，△ABC 是等腰直角三角形， •=（）•=+=0+||•||cos45°=×3×3×=3，故选B ．【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，注意向量和的夹角等于45°这一条件的运用．14．已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数且满足f （﹣x ）=f （x ），f （﹣2）=﹣3，数列{a n }满足a 1=﹣1，且=2×+1，（其中S n 为{a n }的前n 项和）．则f （a 5）+f （a 6）=（ ） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．3D ．2【考点】数列与函数的综合；函数的周期性．【专题】综合题；压轴题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】先由函数f （x ）是奇函数，f （﹣x ）=f （x ），推知f （3+x ）=f （x ），得到f （x ）是以3为周期的周期函数．再由a 1=﹣1，且S n =2a n +n ，推知a 5=﹣31，a 6=﹣63计算即可． 【解答】解：∵函数f （x ）是奇函数 ∴f（﹣x ）=﹣f （x ） ∵f（﹣x ）=f （x ）， ∴f（﹣x ）=﹣f （﹣x ）∴f（3+x）==﹣f（）=﹣f[]=﹣f（﹣x）=f（x）∴f（x）是以3为周期的周期函数．∵数列{a n}满足a1=﹣1，且=2×+1，∴a1=﹣1，且S n=2a n+n，∴a5=﹣31，a6=﹣63∴f（a5）+f（a6）=f（﹣31）+f（﹣63）=f（2）+f（0）=f（2）=﹣f（﹣2）=3故选C．【点评】本题主要考查函数性质的转化与应用以及数列的通项及求和公式，在函数性质综合应用中相互结合转化中奇偶性，对称性和周期性之间是一个重点．二、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分）15．过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C： +=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C的离心率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，∵M是线段AB的中点，∴=1， =1，∵直线AB的方程是y=﹣（x﹣1）+1，∴y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C： +=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即，∴a=b，∴=b，∴e==．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．16．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=（x＞0），则给出以下四个结论：①函数f（x）的值域为[0，1]；②函数f（x）的图象是一条曲线；③函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；④函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时．其中正确的序号为④．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】通过举特例，可得①、②、③错误；数形结合可得④正确，从而得出结论．【解答】解：由于符号[x]表示不超过x的最大整数，函数f（x）=（x＞0），取x=﹣1.1，则[x]=﹣2，∴f（x）=＞1，故①不正确．由于当0＜x＜1，[x]=0，此时f（x）=0；当1≤x＜2，[x]=1，此时f（x）=；当2≤x＜3，[x]=2，此时f（x）=，此时＜f（x）≤1，当3≤x＜4，[x]=3，此时f（x）=，此时＜g（x）≤1，当4≤x＜5，[x]=4，此时f（x）=，此时＜g（x）≤1，故f（x）的图象不会是一条曲线，且 f（x）不会是（0，+∞）上的减函数，故排除②、③．函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时，函数f（x）的图象和直线y=a有且仅有3个交点，此时，，故④正确，故答案为：④．【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．三、解答题（共8小题，满分92分）17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．（1）求角A的大小；（2）若a=3，求△ABC的周长的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）利用两角和的正弦函数公式及三角形内角和定理化简已知等式可得sinB=2sinBcosA，sinB≠0，解得：，又结合范围A∈（0，π），即可求A的值；（2）由（1）及正弦定理可解得：，从而化简a+b+c=6sin（B+）+3，结合B的范围，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵，∴acosC=2bcosA﹣ccosA，∴acosC+ccosA=2bcosA，∴sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA， ∴sin（A+C ）=2sinBcosA ，sinB≠0， ∴解得：，又A ∈（0，π），所以A=．….5分（2）∵由（1）及正弦定理可解得：，…10分所以当时，周长最大为9．…12分【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，三角形内角和定理，考查了正弦函数的图象和性质，熟练掌握公式及定理是解题的关键，属于中档题．18．某高校经济管理学院在2014年11月11日“双11购物节”期间，对[25，55]岁的人群随机抽取了100人进行调查，得到各年龄段人数频率分布直方图．同时对这100人是否参加“商品抢购”进行统计，结果如下表： （1）求统计表中a 和p 的值；（2）从年龄落在（40，50]内的参加“商品抢购”的人群中，采用分层抽样法抽取6人参加满意度调查，在抽取的6人中，有随机的2人感到“满意”，设感到“满意”的2人中年龄在（40，45]内的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．（3）通过有没有95%的把握认为，进行“商品抢购”与“年龄低于40岁”有关？说明你的理由．=【考点】独立性检验的应用．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（1）根据频率、频数与样本容量的关系，利用频率分布直方图和频率分布表，求出a、p 的值；（2）依题意，求出X的可能取值，计算对应的概率，即得X的分布列，计算数学期望值E（X）；（3）画出2×2列联表，计算观测值K2，对照数值表即可得出统计结论．【解答】解：（1）因为总人数为100，所以在[40，45）岁的人数为100×5×0.03=15，所以a=15×0.4=6；因为年龄在[30，35）岁的人数的频率为1﹣5×（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）=0.3，所以年龄在[30，35）岁的人数为100×0.3=30，所以p==0.6；（2）依题意，抽取年龄在[40，45）岁之间4人，抽取年龄在[45，50）岁之间2人，X可以取0，1，2；P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==；所以X的分布列为所以E（X）=0×+1×+2×=；（3）可得2×2列联表为计算K2=，因此有95%的把握认为，进行“商品抢购”与“年龄低于40岁”有关．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了独立性检验的应用问题，是综合性题目．19．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∠ABC=60°，N是BC的中点．将梯形ABCD绕AB旋转90°，得到梯形ABC′D′（如图）．（Ⅰ）求证：AC⊥平面ABC′；（Ⅱ）求证：C′N∥平面ADD′；（Ⅲ）求二面角A﹣C′N﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）由梯形的性质和N是BC的中点可得四边形ANCD是平行四边形，得到AN=DC；利用等腰梯形可得AN=AB，又∠ABC=60°，得到△ABN是等边三角形，于是AN=BN=NC，由出可得△ABC是直角三角形，即AC⊥AB，再利用面面垂直的性质即可得到结论；（Ⅱ）由已知可得：AD∥BC，AD′∥BC′，利用面面平行的判定定理即可得出；（Ⅲ）如图所示的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用法向量的夹角即可得到二面角的一余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵，N是BC的中点，∴AD=N C，又AD∥BC，∴四边形ANCD是平行四边形，∴AN=DC．又∵等腰梯形，∴AN=AB．又∠ABC=60°，∴△ABN是等边三角形．∴，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°．∴AC⊥AB．∵平面C′BA⊥平面ABC，∴AC⊥平面ABC′．（Ⅱ）证明：∵AD∥BC，AD′∥BC′，AD′∩AD=A，BC∩BC′=B，∴平面ADD′∥平面BCC′，∴C′N∥平面ADD′．（Ⅲ）∵AC⊥平面ABC′，同理AC′⊥平面ABC，建立如图如示坐标系设AB=1，则B（1，0，0），C，，，则，．设平面C′NC的法向量为，则，即，令z=1，则x=，y=1，得．∵AC′⊥平面ABC，∴平面C′AN⊥平面ABC．又BD⊥AN，平面C′AN∩平面ABC=AN，∴BD⊥平面C′AN，设BD与AN交于点O，O则为AN的中点，O．所以平面C′AN的法向量．∴=．由图形可知二面角A﹣C′N﹣C为钝角．所以二面角A﹣C′N﹣C的余弦值为．【点评】熟练掌握等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形及直角三角形的判定与性质、面面垂直与平行的判定及性质、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求空间角是解题的关键．20．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为：1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（t∈R，t≠2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．（ⅰ）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由已知可得，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）（ⅰ）设直线PQ的方程为x=my+2．将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得（m2+3）y2+4my ﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出t=3．（ⅱ）T点的坐标为（3，﹣m）．，|PQ|=．由此能求出当最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，﹣1）．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，解得a2=6，b2=2．所以椭圆C的标准方程是．（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标为（2，0）．由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为x=my+2．将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得（m2+3）y2+4my﹣2=0，其判别式△=16m2+8（m2+3）＞0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．于是．设M为PQ的中点，则M点的坐标为．因为TF⊥PQ，所以直线FT的斜率为﹣m，其方程为y=﹣m（x﹣2）．当x=t时，y=﹣m（t﹣2），所以点T的坐标为（t，﹣m（t﹣2）），此时直线OT的斜率为，其方程为．将M点的坐标为代入，得．解得t=3．（ⅱ）由（ⅰ）知T点的坐标为（3，﹣m）．于是，====．所以==．当且仅当，即m=±1时，等号成立，此时取得最小值．故当最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，﹣1）．【点评】本题考查椭圆C的标准方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，查满足条件的点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、弦长公式的合理运用．21．设函数g（x）=x2﹣2x+1+mlnx，（m∈R）（Ⅰ）当m=1时，求过点P（0，1）且与曲线y=g（x）﹣（x﹣1）2相切的切线方程（Ⅱ）求函数y=g（x）的单调增区间（Ⅲ）若函数y=g（x）有两个极值点a，b，且a＜b，记[x]表示不大于x的最大整数，试比较sin与cos[g（a）][g（b）]的大小．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求出曲线y=lnx，设切点为（x0，lnx0），这样曲线的斜率为，所以能表示出过点P（0，1）的切线方程，再根据切线过切点即可求出x0，从而求得切线方程．（Ⅱ）求g′（x），解g′（x）≥0，通过讨论m即可求得该函数的单调增区间．（Ⅲ）令g′（x）=0，便得2x2﹣2x+m=0，该方程的根便是a，b，且b=，（＜b＜1），并通过求g′（b），判断g′（x）的符号，从而判断该函数在（）上的单调性，求得g（b）的取值范围，根据取值范围便能求得[g（b）]；用同样的办法求出[g（a）]，求出sin与cos[g（a）][g（b）]，即可比较二者的大小．【解答】解：（Ⅰ）曲线方程为y=lnx，设切点为（x0，lnx0）；由得切线的斜率，则切线方程为；∵切线过点P（0，1），∴1﹣lnx0=﹣1，即x0=e2；∴所求切线方程为e﹣2x﹣y+1=0．（Ⅱ）函数y=g（x）的定义域为（0，+∞），．令g′（x）＞0，并结合定义域得2x2﹣2x+m＞0；对应一元二次方程的判别式△=4（1﹣2m）．①当△≤0，即时，g′（x）≥0，则函数g（x）的增区间为（0，+∞）；②当时，函数g（x）的增区间为（0，；③当m≤0时，函数g（x）的增区间为．（Ⅲ），令g′（x）=0得2x2﹣2x+m=0；由题意知方程有两个不相等的正根a，b（a＜b），则解得0＜，解方程得，则．又由2b2﹣2b+m=0得m=﹣2b2+2b，所以g（b）=b2﹣2b+1+mlnb=b2﹣2b+1+（﹣2b2+2b）lnb；．当时，g′（b）＞0，即函数g（b）是上的增函数；所以，故g（b）的取值范围是．则[g（b）]=﹣1．同理可求，g（a）=a2﹣2a+1+（﹣2a2+2a）lna；a，，即函数g（a）是上的减函数；∴，故g（a）的取值范围是则[g（a）]=﹣1或[g（a）]=0；当[g（a）]=﹣1时，＞cos（[g（a）][g（b）]）；当[g（a）]=0时，＜cos（[g（a）][g（b）]）．【点评】本题考查函数在函数曲线上一点处的导数和过该点的切线的斜率的关系，函数导数的符号和函数单调性的关系，函数的极值点和函数导数的关系．对于第三问，能正确求出a，b的取值范围是求解本问的关键．22．如图，⊙O1和⊙O2公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO1与⊙O1与E、G两点，直线DO2交⊙O2与F、H两点．（1）求证：△DEF～△DHG；（2）若⊙O1和⊙O2的半径之比为9：16，求的值．【考点】圆的切线的性质定理的证明；相似三角形的判定．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）欲求证：△DEF～△DHG，根据AD是两圆的公切线得出线段的乘积式相等，再转化成比例式相等，最后结合角相等即得；（2）连接O1A，O2A，AD是两圆的公切线结合角平分线得到：AD2=O1A×O2A，设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，利用AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，分别用x表示出DE和DF，最后算出即可．【解答】解：（1）证明：∵AD是两圆的公切线，∴AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，∴DE×DG=DF×DH，∴，又∵∠EDF=∠HDG，∴△DEF∽△DHG．（2）连接O1A，O2A，∵AD是两圆的公切线，∴O1A⊥AD，O2A⊥AD，∴O1O2共线，∵AD和BC是⊙O1和⊙O2公切线，DG平分∠ADB，DH平分∠ADC，∴DG⊥DH，∴AD2=O1A×O2A，设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，则AD=12x，∵AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，∴144x2=DE（DE+18x），144x2=DF（DF+32x）∴DE=6x，DF=4x，∴．【点评】本题主要考查了圆的切线的性质定理的证明、相似三角形的判定，考查计算能力和逻辑推理能力．23．长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，，点P的轨迹为曲线C．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 T的极坐标方程为ρ=﹣4sinθ．（ I）以直线AB的倾斜角α为参数，求曲线C的参数方程；（Ⅱ）若D为曲线 T上一点，求|PD|的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】数形结合；转化思想；坐标系和参数方程．【分析】利用即可把：（1）设P（x，y），由题设可知，则，，即可得出参数方程；（2）利用即可把曲线 T的极坐标方程ρ=﹣4sinθ即ρ2=﹣4ρsinθ，化为直角坐标方程，再利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：（1）设P（x，y），由题设可知，则，，∴曲线C的参数方程为（α为参数，）．（2）由曲线 T的极坐标方程为ρ=﹣4sinθ，化为ρ2=﹣4ρsinθ，可得：直角坐标方程为x2+y2=﹣4y，即x2+（y+2）2=4，是圆心为A（0，﹣2）半径为2的圆，故|PA|2=（﹣2cosα）2+（sinα+2）2=4cos2α+sin2α+4sinα+4=．当时，|PA|取得最大值．∴|PD|的最大值为+2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、椭圆的参数方程、圆的标准方程、两点之间的距离公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．【考点】不等式的证明；带绝对值的函数．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）将函数写成分段函数，再利用f（x）＜4，即可求得M；（Ⅱ）利用作差法，证明4（a+b）2﹣（4+ab）2＜0，即可得到结论．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x﹣1|=当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（x）=2＜4；当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．所以M=（﹣2，2）．…（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即﹣2＜a，b＜2，∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，∴4（a+b）2＜（4+ab）2，∴2|a+b|＜|4+ab|．…【点评】本题考查绝对值函数，考查解不等式，考查不等式的证明，解题的关键是将不等式写成分段函数，利用作差法证明不等式．31。