长春市普通高中届高三质量监测(三) 数学理科(试卷类型A)

高中数学学习材料
金戈铁骑整理制作
长春市普通高中2016届高三质量监测（三） 数学理科（试卷类型A ）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．
是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上） 1. 设集合{|13}A x x =-<<，1
{|
39}3
x B x =<<，则A B = A. (1,2) B . (1,2)- C. (1,3) D. (1,3)-
2. 复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，若12z i =+，则12z z ⋅= A. 5 B. 34i + C. 5- D. 34i --
3. 已知向量21=-（，）a ，01=（，）
b ，则|2|=a +b A. 22
B. 5
C. 2
D. 4
4. 已知函数5log ,0()2,0
x
x x f x x >⎧=⎨⎩≤，则1(())25f f = A. 4 B.
1
4
C. 4-
D. 14
-
5. 已知实数{},1,2,3,4,5,6x y ∈，且7x y +=，则2
x
y ≥
的概率为 A.
13 B. 23 C. 12 D. 56
6. 已知tan 2α=，α为第一象限角，则sin2cos αα+=
A. 5
B. 425
5
+ C. 455+ D. 525-
7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A. 18
B. 14
C. 12
D. 9
8. 将函数()sin(2)(||)2
f x x π
ϕϕ=+<
的图象向右平移
12
π
个单位后的图象关于y 对称，则函数()f x 在[0,]2π
上的最小值为
A. 32
B. 12
C. 12
-
D. 3
2
-
9. 按右图所示的程序框图，若输入110011a =，则输出的b =
A. 51
B. 49
C. 47
D. 45
10. 已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，以2F 为圆心的圆与双曲线的渐近
线相切，若圆2F 和双曲线的一个交点为M , 满足12MF MF ⊥，则双曲线的离心率是
把a 的右数第i 位数字赋给t
是 否
开始 输入a
6?i >
1i i =+
输出b 结束
0b =
1i =
12i b b t -=+⋅
A.
5
2
B. 5
C. 2
D. 2 11. 在ABC ∆中，D 是BC 中点，已知90BAD C ∠+∠=︒,则ABC ∆的形状为
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形 12. 定义在(1,0)
(0,1)-上的偶函数()f x ，满足1
()02
f =，当0x >时，总有
21
()()ln(1)2()x f x x f x x
'-⋅->，则()0f x <的解集为 A. {}|11,0x x x -<<≠且 B. 11|1,122x x x ⎧⎫
-<<-<<⎨⎬⎩⎭
或
C. 11|,022x x x ⎧⎫-<<≠⎨⎬⎩⎭且
D. 11|1,22x x x ⎧
⎫-<<-<<⎨⎬⎩
⎭或0
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—24
题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).
13. 已知实数,x y 满足12
0x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩
≤≤≥≥，则2+x y 的最大值为___________. 14.设函数()1x
f x e =-的图象与x 轴的交点为P ，则曲线()y f x =在点P 处的切线方程为_________.
15. 在椭圆22
1369
x y +=上有两个动点,M N ，点(2,0)K ，满足0KM KN ⋅=，则KM NM ⋅的最大值为__.
16. 如果一个棱锥底面为正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥.已知正四
棱锥P ABCD -内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为___________. 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足1511a =，143(2)n n a a n -≥=-. （1）求证：数列{1}n a +为等比数列；
（2）令2|log (1)|n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和为n S .
18. （本小题满分12分）
某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：cm ）：
71557899
98161845298356170275461241801
119
男
女
男生成绩不低于175cm 的定义为“合格”，成绩低于175cm 的定义为“不合格”；女生成绩不低于165cm 的定义为“合格”，成绩低于165cm 的定义为“不合格”. (1)求女生立定跳远成绩的中位数；
(2)若在男生中按成绩是否合格进行分层抽样，抽取6个人，求抽取成绩“合格”的男生人数；
（3）若从全班成绩“合格”的学生中抽取2人参加选拔测试，用X 表示其中男生的人数，试写出X 的
分布列，并求X 的数学期望. 19. （本小题满分12分）
已知等腰梯形ABCD 如图1所示，其中AB ∥CD ，,E F 分别为AB 和CD 的中点，且2AB EF ==，
6CD =，M 为BC 中点，现将梯形ABCD 按EF 所在直线折起，使平面EFCB ⊥平面EFDA ，如图2所示，N 是线段CD 上一动点，且CN ND λ=.
（1）当1
=
2
λ时，求证：MN ∥平面ADFE ； （2）当=1λ时，求二面角M NA F --的余弦值.
20. （本小题满分12分）
动点P 在抛物线2
=2x y 上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，设2PM PQ =.
(1)求点M 的轨迹E 的方程;
(2) 设点(4,4)N -,过点(4,5)H 的直线交轨迹E 于,A B （不同于点N ）两点，设直线,NA NB 的斜率分别为12,k k ，求12||k k -的取值范围. 21. （本小题满分12分） 已知函数1()(cos )()x
f x e
a x a -=-+∈R .
（1）若函数()f x 存在单调递减区间，求实数a 的取值范围；
（2）若0a =，证明： 1[1,]2
x ∀∈-，总有(1)2()cos(1)0f x f x x '--+⋅+>.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.
已知四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，且BC CD =，其对角线AC 与BD 相交于点M ，过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P .
（1）求证：AB MD AD BM ⋅=⋅；
(2) 若CP MD CB BM ⋅=⋅，求证：AB BC =. 23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.
已知直线l 的参数方程为2222
x m t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
2
2
2
cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上. （1）若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点，求||||FA FB ⋅的值； （2）若曲线C 的内接矩形的周长的最大值.
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲. 已知0x ∃∈R 使不等式|1||2|x x t ---≥成立. (1)求满足条件的实数t 的集合T ；
(2) 若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式33log log m n t ⋅≥恒成立，求m n +的最小值.
长春市普通高中2016届高三质量监测（三）
数学(理科)参考答案及评分参考
一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)
1. B
2. C
3. B
4. B
5. B
6. C
7. A
8. D
9. A 10. B 11. D 12. B 简答与提示：
1. B 【命题意图】本题主要考查集合的化简与交运算，属于基础题.
【试题解析】B 由题意可知{|12}B x x =-<<，所以{|12}A B x x =-<<. 故选B. 2. C 【命题意图】本题考查复数的乘法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题.
【试题解析】C 复数22z i =-+，所以12(2)(2)5z z i i ⋅=+-+=-. 故选C. 3. B 【命题意图】本题主要考查平面向量的运算性质.
【试题解析】B 由2(2,1),a b +=得|2|5a b +=，故选B.
4. B 【命题意图】本题考查分段函数及指数、对数运算，是一道基础题.
【试题解析】B
11
(
)2,(2)254
f f =--=. 故选B. 5. B 【命题意图】本题考查古典概型，属于基础题.
【试题解析】B 由题意，(,)x y 的所有可能为(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)
共6种，其中满足2x y ≥
的有4种，故概率为2
3
. 故选B.
6. C 【命题意图】本题考查三角函数定义及恒等变换.
【试题解析】C 由三角函数定义255
sin ,cos 55αα=
=，故45
sin 2cos 2sin cos cos 5
ααααα++=+=. 故选C.
7. A 【命题意图】本题主要考查四棱锥的体积，考查空间想象能力，属于基础题.
【试题解析】A 该几何体可以看成由两个四棱锥组成，每个四棱锥的底面面积为9，高为3，故其体积为9，所以整个几何体体积为18. 故选A.
8. D 【命题意图】本题主要考查三角函数的图象及性质，是一道基础题.
【试题解析】D 由题可知，3
π
ϕ=-
，从而()sin(2)3f x x π
=-
，则该函数在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的最小值为32-. 故选D.
9. A 【命题意图】本题考查程序框图及进位制，属基础题.
【试题解析】A 经计算得0
1
2
3
4
5
12120202121251b =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选A. 10. B 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质与圆切线的性质，是一道中档题.
【试题解析】B 由题可知，212||,||||22MF b MF MF a b a ==+=+，由12MF MF ⊥，有
22212||||4MF MF c +=，整理得2b a =，所以离心率5e =. 故选B.
11. D 【命题意图】本题主要考查解三角形正弦定理的应用，是一道中档题.
【试题解析】D 如图，由题可知，90BAD C B CAD ∠+∠=∠+∠=︒，在ABD ∆中，
sin sin cos BD AD BD BAD B C ==∠，在ADC ∆中，sin sin cos CD AD CD CAD C B ==∠，所以sin sin cos cos B C
C B =
，即sin 2sin 2B C =，所以B C =或22B C π+=，则此三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选D.
12. B 【命题意图】本题考查函数导数运算、导数与单调性关系、奇偶性等综合应用，是一道较难题.
【试题解析】B 由题可知当(0,1)x ∈时，2
2
2()ln(1)()1x
f x x f x x
'->
-，从而222
2(()ln(1))()ln(1)()01x
f x x f x x f x x
''⋅-=--
>-，有函数2()ln(1)y f x x =⋅-在(0,1)上单调递增，由函数2
()ln(1)y f x x =⋅-为偶函数，所以其在(1,0)-上单调递减，由于(1,0)(0,1)x ∈-时
2ln(1)0x -<，所以()0f x <等价于2()ln(1)0y f x x =⋅->，由1
()02
f =，故()0f x <的解集为
1{|1,2x x -<<-或1
1}2x <<. 故选B.
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)
13. 4
14. y x =-
15. 64
16.
4
3
简答与提示：
13. 4【命题意图】本题主要考查线性规划问题，是一道常规题. 从二元一次方程组到可行域，再结合目标
函数的几何意义，全面地进行考查.
【试题解析】令2z x y =+，根据可行域及z 的几何意义，可确定最优解为(2,0)，从而2x y +的最大值为4.
14. y x =-【命题意图】本题考查导数的几何意义，是一道中档题.
【试题解析】由题意(0,0)P ，(),(0)1x
f x e f ''=-=-，从而曲线在点P 处的切线方程为y x =-. 15. 64【命题意图】本题考查椭圆的简单几何性质和平面向量的基本运算，考查数形结合思想，是一道中档
题.
【试题解析】由题意NM KM KN =-，由0KM KN ⋅=，有2
KM NM KM ⋅=，从椭圆的简单几何性质可得，当M 点为(6,0)-时2
KM 最大，故KM NM ⋅的最大值为64.
16. 43
【命题意图】本题涉及球内接四棱锥体积运算，需要借助导数进行运算求解，是一道较难题.
【试题解析】由球的几何性质可设四棱锥高为h ，从而23222
[1(1)](2)33
P ABCD V h h h h -=
--=-+，有222(34)(34)33P
ABCD V h h h h -'=-+=-+，可知当4
3
h =时，P ABCD V -体积最大. 三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)
17. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查数列递推关系、等比数列、等差数列前n 项和，对考生的化归与转化能力有较高要求.
【试题解析】解：(1) 证明：由43411-=-n n a a 知)1(4
1
11+=+-n n a a ， 由，01≠+n a 41
111=++-n n
a a ，则数列{}1+n a 是以512为首项，4
1为公比的等比数列.
(6分)
(2) 由(1)知n a n 211)1(log 2-=+，设{})1(log 2+n a 的前n 项和为n T ，2
10n n T n -=
2|log (1)|n n b a =+，
当5≤n 时，2
210,0)1(log n n T S a n n n -==>+，
当6≥n 时，
50
102)()1(log )1(log 2
5552625+-=-=--=+--+-=n n T T T T T a a T S n n n n
综上得⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-=6
,50105
,1022
n n n n n n S n .
(12分)
18. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，包括茎叶图、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法. 本题主要考查学生对数据处理的能力.
【试题解析】(1) 女生立定跳远成绩的中位数
5.1662
168
165=+cm ． （3分） (2) 男生中成绩“合格”和“不合格”人数比为4:8，用分层抽样的方法抽取6个人，则抽取成绩“合
格”人数为4人；
（6分）
(3) 依题意，X 的取值为0，1，2，则
175)0(21821008===C C C X P ，15380
)1(2181
1018===C C C X P ，153
28)2(2
1801028===C C C X P ， 因此，X 的分布列如下：
X
0 1
2 P 17
5
153
80 153
28 ∴9
81532821538011750)(=⨯+⨯+⨯=X E ．
（12分）
19. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.
【试题解析】解：(1) 过点M 作EF MP ⊥于点P ，过点N 作FD NQ ⊥于点Q ，连接PQ . 由题意，平
面⊥EFCB 平面EFDA ，所以⊥MP 平面EFDA 且22
=+=
CF
BE MP ，因为EF DF EF CF ⊥⊥,，所以⊥EF 平面CF D ，所以EF NQ ⊥，由
FD NQ ⊥，所以⊥NQ 平面EFDA ，又1
2
CN ND =
，所以232==CF NQ ，即NQ MP NQ MP =,//，
则MN //PQ ，由MN ⊄平面ADFE ，PQ ⊂平面ADFE ，所以MN //平面ADFE
（6分）
(2) 以F 为坐标原点，FE 方向为x 轴，FD 方向为y 轴，FC 方向为z 轴，建立如图所示坐标系. 由题意，)2
3,23,0(),0,3,0(),3,0,0(),0,0,0(),0,1,2(),2,0,1(N D C F A M 平面AMN 的法向量为平面ABCD 的法向量， 即)1,1,1(1=n ，在平面FAN 中，
)2
3
,23,0(),0,1,2(==FN FA ，即)2,2,1(2-=n
则9
3cos =θ，所以二面角M NA F --的余弦值为93
.
(12分)
20. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线的方程，直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.
【试题解析】解：(1) 设),(y x M ，有)2,(y x P ，将P 代入y x 22=，得y x 42=，从而点M 的轨迹E
的方程为y x 42=.
（4分）
(2) 设),(),,(2211y x B y x A ，联立⎩⎨⎧=+-=y
x x k y 45
)4(2 ，得0201642=-+-k kx x ，
则⎩⎨⎧-==+20
1642121k x x k x x ，因为44
,44222111+-=+-=x y k x y k ，所以 |16
)(4)
)(81(||414414|||212121221121+++--=++--++-=-x x x x x x k x k kx x k kx k k
因为,A B 不同于点N ，所以8
1≠k ，则1)2(||2
21+-=-k k k
故21k k -的取值范围是),1[+∞. (12分)
21. (本小题满分12分)
【命题意图】本题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值等情况. 对考生的逻辑推理与运算求解能力有较高要求.
【试题解析】解(1) 由题意得1()(sin cos )
x
f x e a x x -'=--++，若函数()f x 存在单调减区间，则1()(sin cos )0x
f x e a x x -'=--++≤即sin cos 0a x x -++≥存在取值区间，即2sin()4
a x π
≤+
存在
取值区间，所以2a <. (6分)
(2) 当0a =时，11()cos ,()(sin cos )x
x f x e x f x e x x --'==-+
21(1)2()cos(1)cos(1)[22sin()]4
x x f x f x x x e e x π
+-'--+⋅+=+⋅-⋅+
由11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有310,[0,]22x π
⎡⎤+∈⊆⎢⎥⎣⎦
，从而cos(1)0x +>，
要证原不等式成立，只要证2
122sin()04x x e
e x π+--⋅+>对⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-∈∀21,1x 恒成立，
首先令)22()(1
2+-=+x e
x g x ，由22)(12-='+x e x g ，可知， 当),21(+∞-∈x 时)(x g 单调递增，当)2
1
,(--∞∈x 时)(x g 单调递减，
M
F
D
E
C
A
B N
x y z
所以0)21
()22()(1
2=-≥+-=+g x e
x g x ，有2212+≥+x e x
构造函数)4sin(2222)(π+-+=x x x h ，⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-∈21,1x ，
因为)4
cos(222)(π
+-='x x h ))4cos(22(22π+-=x ， 可见，在[]0,1-∈x 时，0)(≤'x h ，即)(x h 在[]0,1-上是减函数，
在⎥⎦⎤ ⎝⎛∈21,0x 时，0)(>'x h ，即)(x h 在⎥⎦
⎤
⎝⎛21,0上是增函数，
所以,在⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
-21,1上，0)0()(min ==h x h ，所以0)(≥x g .
所以，22)4
sin(22+≤+x x π
，等号成立当且仅当0=x 时，
综上21
2222sin()4
x e x x π
+≥+≥+，由于取等条件不同，
故21
22sin()04
x e
x π
+-+>，所以原不等式成立.
(12分)
22. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到切割线定理以及三角形 相似等内容.
本小题重点考查考生对平面几何推理能力.
【试题解析】解(1) 由BC CD =可知，BAC DAC ∠=∠，在△ABD 中，则
AB AD
BM DM
=
，因此AB MD AD BM ⋅=⋅；
(5分)
(2) 由CP MD CB BM ⋅=⋅可知
CP BM CB MD =，又由(1)可知BM AB MD AD =，则CP AB
CB AD
=
，由题意BAD PCB ∠=∠，可得△BAD ∽△PCB ，则ADB CBP ∠=∠，又ADB ACB ∠=∠，即CBP ACB ∠=∠，
又PB 为圆O 的切线，则CBP CAB ∠=∠，因此ACB CAB ∠=∠， 即AB AC =. (10分)
23. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.
【试题解析】解(1) 已知曲线C 的标准方程为
22
1124
x y +=， 则其左焦点为(22,0)-，则22m =-，
将直线l 的参数方程222222
x t y t
⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩与曲线C 的方程
221124x y +=联立， 得2
220t t --=，则12||||||2FA FB t t ⋅==. (5分) (2) 由曲线C 的方程为
22
1124
x y +=，可设曲线C 上的定点(23cos ,2sin )P θθ 则以P 为顶点的内接矩形周长为4(23cos 2sin )16sin()(0)3
2
π
π
θθθθ⨯+=+<<
，
因此该内接矩形周长的最大值为16.
(10分)
24. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及 不等式证明等内容.
本小题重点考查考生的化归与转化思想.
【试题解析】(1) 令1,1()|1||2|23,121,2x f x x x x x x -≤⎧⎪
=---=-<<⎨⎪≥⎩
，则1()1f x -≤≤，
由于0x ∃∈R 使不等式|1||2|x x t ---≥成立，有{|1}t T t t ∈=≤. (5分)
(2) 由(1)知，33log log 1m n ⋅≥，
根据基本不等式3333log log 2log log 2m n m n ≥+≥ 从而2
3mn ≥当且仅当3m n ==时取等号，
再根据基本不等式26m n mn +≥≥当且仅当3m n ==时取等号，
所以m n +的最小值为6.
(10分)。