四川省绵竹中学2020届高三上学期期中考试 数学(理)试题

绵竹中学2019-2020学年度高三上学期期中考试理科数学试题第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1.已知集合}1)3(log |{2<+=x x A ,}24|{-<<-=x x B ,则=⋃B AA.}23|{-<<-x xB.}14|{-<<-x xC.}1|{-<x xD.}4|{->x x 2.“34=m ”是“直线024=-+-m my x 与圆422=+y x 相切”的 A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 4.双曲线的焦距是A.B.C.D.5.在下面四个[,]x ππ∈-的函数图象中，函数sin 2y x x =的图象可能是A. B. C. D.6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，721S =，则4a = A. 0B. 2C. 3D. 67.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D.8.将函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间5[,]1212ππ-上单调递增B. 在区间511[,]1212ππ上单调递增C. 在区间[,]63ππ-上单调递增D. 在区间5[,]36ππ上单调递增9.已知，则取到最小值时A.B.C.D.10.己知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，直线l 过焦点且倾斜角为4π，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为A.3B.3C.3D.311.设()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，当0x >时，()ln f x x x =，则()f x 在(1,(1))f --处的切线方程为 A. 01=--y x B. 10x y +-= C. 10x y -+=D. 10x y ++=12.在三棱锥A BCD -中，60BAC BDC ∠=∠=︒，二面角A BC D --的余弦值为13-，当三棱锥A BCD -的体积的最大值为4A. 5πB. 6πC. 7πD. 8π第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.在边长为6的等边三角形ABC 中，23BD BC =．则AB AD ⋅=_____⋅ 14.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡、若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有 _____ 种． 15.函数有极值，则的取值范围是______．16.下列关于函数()2sin cos f x x x =+的描述中，正确的是_____.（填写正确命题的序号） ①π是()f x 的一个周期；②()f x 是偶函数；③1()f x ≤≤()y f x =，],0[π∈x 与2y =有且只有2个公共点.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.（本大题满分12分） 如图，在单位圆上，∠AOB ＝α()，∠ BOC ＝ ，且△AOC 的面积等于．（ I ）求 sin α 的值； （ II ）求 2cos()sin)18.（本大题满分12分）某市疾控中心流感监测结果显示，自年月起，该市流感活动一度出现上升趋势，尤其是月以来，呈现快速增长态势，截止目前流感病毒活动度仍处于较高水平，为了预防感冒快速扩散，某校医务室采取积极方式，对感染者进行短暂隔离直到康复．假设某班级已知位同学中有位同学被感染，需要通过化验血液来确定感染的同学，血液化验结果呈阳性即为感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定感染同学为止；方案乙：先任取个同学，将它们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明感染同学为这位中的位，后再逐个化验，直到能确定感染同学为止；若结果呈阴性则在另外位同学中逐个检测；（1）求依方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；（2）表示依方案甲所需化验次数，表示依方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑那种化验方案最佳．19.（本大题满分12分） 如图所示，四面体中，是正三角形，是直角三角形，是的中点，且.（1）求证：平面； （2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值.20.（本大题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为()23,0F ，离心率为e .（1）若e =（2）设直线y kx =与椭圆相交于,A B 两点， ,M N 分别为线段22,AF BF 的中点，若坐标原点O 在以MN e <≤，求k 的取值范围.21.（本大题满分12分） 已知函数，其中为实数.（1）若函数的图像关于点对称，求的解析式； （2）若，且，为函数的极小值点，求的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）写出直线l 的直角坐标方程； （2）设点M 的坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，若点M 是曲线C 截直线l 所得线段的中点，求l 的斜率.23.（1）解不等式；（2）设a ，b ，且不全相等，若，证明：．理科数学试题答案1-5:BCDDC 6-10:CDADD 11-12:DB13.24 14.20 15.16.①②③17.（I），∴，∴，=（II）∵=，∴==.18.（1）设分别表示依方案甲需化验为第次；表示依方案乙需化验为第次；表示方案甲所需化验次数等于依方案乙所需化验次数．，（2）的可能取值为．的可能取值为．（次），∴（次），∴故方案乙更佳．19.（1）如图所示，因为为等边三角形，所以， 由，得，所以，即为等腰直角三角形，从而为直角，又为底边中点，所以.令，则，易得，所以，从而，又为平面内两相交直线，所以平面.（2）由题意可知，即到平面的距离相等，所以点为的中点，以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系. 设，则，易得.设平面的法向量为，平面的法向量为，则，取；，取，设二面角的大小为，易知为锐角，则，所以二面角的余弦值为.20.由题意得3,c c a ==∴a =又∵222a b c =+， ∴23b =.∴椭圆的方程为221123x y +=.（2）由22221,{ ,x y a by kx +== 得()2222220b a k x a b +-=. 设()()1122,,,A x y B x y .所以2212122220,a b x x x x b a k-+==+， 依题意， OM ON ⊥，易知，四边形2OMF N 为平行四边形，所以22AF BF ⊥. ∵()2113,F A x y =-， ()2223,F B x y =-， ∴()()()22212121233190F A F B x x y y k x x⋅=--+=++=.即()()()22222291909a a k a k a --++=+-，将其整理为 4222424218818111818a a k a a a a-+==---+-.∵22e <≤∴a < 21218a ≤<.∴218k ≥，即,,44k ⎛⎛⎤∈-∞-⋃+∞ ⎥ ⎝⎦⎝⎦. 21.（1）设为图像上的任意一点，则点关于点的对称点为，即，所以，对所有实数成立， 从而. ，求得：，从而. （2），由知设，则，即，因为，所以，因为极小值存在，所以. ①若，则，所以.②若，则，所以，令，则，则在上为减函数，在上为增函数，又，故，综上所述，的取值范围为；22.（1）当2πα=时，直线l 的直角坐标方程为0x =；当2πα≠时，直线l 的直角坐标方程为tan 1y x α=+.（2）点M 的直角坐标为(0,1)，曲线C 的直角坐标方程为22230x y x ++-=，把cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩代入曲线C 的直角坐标方程，化简得22(sin cos )20t t αα++-= 点M 是曲线C 截直线l 所得线段的中点 则l ，即0cos sin =+αα 化简可得tan 1α=-， 所以直线l 的斜率为-1. 23.解：原不等式等价于或或，解得：或或，故原不等式的解集是；证明：，，，，同理，，又a，b，且不全相等，故上述三式至少有1个不取“”，故．。