东平县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

东平县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 给出下列两个结论：
①若命题p ：∃x 0∈R ，x 02+x 0+1＜0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2+x+1≥0；
②命题“若m ＞0，则方程x 2+x ﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x 2+x ﹣m=0没有实数根，则m ≤0”；
则判断正确的是（ ） A ．①对②错
B ．①错②对
C ．①②都对
D ．①②都错 2． A 是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
3． 已知函数f （2x+1）=3x+2，且f （a ）=2，则a 的值等于（ ） A ．8
B ．1
C ．5
D ．﹣1
4． 在数列{a n }中，a 1=3，a n+1a n +2=2a n+1+2a n （n ∈N +），则该数列的前2015项的和是（ ） A ．7049 B ．7052 C ．14098
D ．14101
5． 已知直线l
的参数方程为1cos sin x t y t α
α
=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），以原点O 为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin()3
π
ρθ=+
，直线l 与圆C 的两个交点为,A B ，当||AB 最小时，α的值为（ ）
A ．4
π
α=
B ．3
π
α=
C ．34
πα=
D ．23
π
α= 6． 在△ABC 中，sinB+sin （A ﹣B ）=sinC 是
sinA=的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也非必要条件 7． 设函数f （x ）
=
则不等式f （x ）＞f （1）的解集是（ ）
A ．（﹣3，1）∪（3，+∞）
B ．（﹣3，1）∪（2，+∞）
C ．（﹣1，1）∪（3，+∞）
D ．（﹣∞，
﹣3）∪（1，3）
8．已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支
有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）
A．（1，2] B．（1，2） C．[2，+∞）D．（2，+∞）
9．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为（）
A．60°B．90°C．45°D．以上都不正确
10．垂直于同一条直线的两条直线一定（）
A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能
11．如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是（）
A
．B
．C
．D
．
12．设F1，F2
是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等
于（）
A
． B
． C．24 D．48
二、填空题
13．定义在R上的可导函数()
f x，已知
()
f x
y e
=′的图象如图所示，则()
y f x
=的增区间是▲．
16x
=交于A，B两点，且与x轴负半轴相交，若O为坐标原点，则
直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查分析问题以及解决
5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是．
16．若实数,,,a b c d 满足24ln 220b a a c d +-+-+=，则()()22
a c
b d -+-的最小值为 ▲ ． 17．已知函数f （x ）=，若关于x 的方程f （x ）=k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范
围是 ．
18．已知函数21,0
()1,0
x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，()21x g x =-，则((2))f g = ，[()]f g x 的值域为 ．
【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.
三、解答题
19．已知函数
且f （1）=2．
（1）求实数k 的值及函数的定义域；
（2）判断函数在（1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．
20．在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题可获得分，答对问题可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题．答题终止后，获得的总分决定获奖的等次．若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对
问题的概率分别为
．
（Ⅰ）记甲先回答问题再回答问题得分为随机变量，求的分布列和数学期望； （Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由．
21．（本小题12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，
5313a b +=.111]
（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n
n
a b 的前项和n S .
22．为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名
95%的把握认为“歌迷”与性别有关？
“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌21
3.841 6.635
附：K 2
=
．
23．（本小题满分12分）
已知函数()
23cos cos 2
f x x x x =++
. （1）当6
3x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，时，求函数()y f x =的值域；
（2）已知0ω>，函数()212x g x f ωπ⎛⎫=+
⎪⎝⎭，若函数()g x 在区间23
6π
π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，求ω的最大值．
24．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 为⊙O 上的点，CA 是∠BAF 的角平分线，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于D 点，CM ⊥AB ，垂足为点M ． （1）求证：DC 是⊙O 的切线； （2）求证：AM •MB=DF •DA ．
东平县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：①命题p是一个特称命题，它的否定是全称命题，￢p是全称命题，所以①正确．
②根据逆否命题的定义可知②正确．
故选C．
【点评】考查特称命题，全称命题，和逆否命题的概念．
2．【答案】B
【解析】解：在圆上其他位置任取一点B，设圆半径为R，
则B点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR，
其中满足条件AB的长度大于等于半径长度的对应的弧长为2πR，
则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P==．
故选B．
【点评】本题考查的知识点是几何概型，其中根据已知条件计算出所有基本事件对应的几何量及满足条件的基本事件对应的几何量是解答的关键．
3．【答案】B
【解析】解：∵函数f（2x+1）=3x+2，且f（a）=2，令3x+2=2，解得x=0，
∴a=2×0+1=1．
故选：B．
4．【答案】B
【解析】解：∵a n+1a n+2=2a n+1+2a n（n∈N+），∴（a n+1﹣2）（a n﹣2）=2，当n≥2时，（a n﹣2）（a n﹣1﹣2）=2，
∴，可得a n+1=a n﹣1，
因此数列{a n}是周期为2的周期数列．
a1=3，∴3a2+2=2a2+2×3，解得a2=4，
∴S2015=1007（3+4）+3=7052．
【点评】本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于中档题．
5． 【答案】A
【解析】解析：本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程及其直线与圆的位置关系．在直角坐标系中，圆C
的方程为22((1)4x y +-=，直线l 的普通方程为tan (1)y x α=-，直线l 过定点M ，∵
||2MC <，∴点M 在圆C 的内部．当||AB 最小时，直线l ⊥直线MC ，1MC k =-，∴直线l 的斜率为1，∴
4
π
α=，选A ．
6． 【答案】A
【解析】解：∵sinB+sin （A ﹣B ）=sinC=sin （A+B ）， ∴sinB+sinAcosB ﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB ， ∴sinB=2cosAsinB ， ∵sinB ≠0，
∴cosA=，
∴A=，
∴sinA=，
当sinA=，
∴A=
或A=
，
故在△ABC 中，sinB+sin （A ﹣B ）=sinC 是sinA=的充分非必要条件，
故选：A
7． 【答案】A
【解析】解：f （1）=3，当不等式f （x ）＞f （1）即：f （x ）＞3 如果x ＜0 则 x+6＞3可得 x ＞﹣3，可得﹣3＜x ＜0．
如果 x ≥0 有x 2
﹣4x+6＞3可得x ＞3或 0≤x ＜1
综上不等式的解集：（﹣3，1）∪（3，+∞） 故选A ．
8． 【答案】C
【解析】解：已知双曲线
的右焦点为F ，
若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，
∴≥，离心率e2=，
∴e≥2，故选C
【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．
9．【答案】B
【解析】解：∵E是BB1的中点且AA1=2，AB=BC=1，
∴∠AEA1=90°，
又在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，
∴A1D1⊥AE，
∴AE⊥平面A1ED1，
故选B
【点评】本题考查线面角的求法，根据直线与平面所成角必须是该直线与其在这个平面内的射影所成的锐角，还有两个特殊角，而立体几何中求角的方法有两种，几何法和向量法，几何法的思路是：作、证、指、求，向量法则是建立适当的坐标系，选取合适的向量，求两个向量的夹角．
10．【答案】D
【解析】解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．
故选D
【点评】本题主要考查在空间内两条直线的位置关系．
11．【答案】A
【解析】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，
则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：=，
∵a2=b2+c2，∴c=，
∴椭圆的离心率为：e==．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力．
12．【答案】C
【解析】解：F 1（﹣5，0），F 2（5，0），|F 1F 2|=10，
∵3|PF 1|=4|PF 2|，∴设|PF 2|=x ，则，
由双曲线的性质知，解得x=6．
∴|PF 1|=8，|PF 2|=6， ∴∠F 1PF 2=90°，
∴△PF 1F 2的面积=． 故选C ．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．
二、填空题
13．【答案】（﹣∞，2） 【解析】 试题分析：由()
21()0f x x e
f x '≤
≥⇒≥′时，()21()0f x
x e f x '><⇒<′时，所以()y f x =的
增区间是（﹣∞，2） 考点：函数单调区间
14．【
解
析
】
15．【答案】 甲 ．
【解析】解：【解法一】甲的平均数是=（87+89+90+91+93）=90，
方差是=[（87﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（93﹣90）2]=4；
乙的平均数是=（78+88+89+96+99）=90，
方差是=[（78﹣90）2+（88﹣90）2+（89﹣90）2+（96﹣90）2+（99﹣90）2]=53.2；
∵＜，∴成绩较为稳定的是甲．
【解法二】根据茎叶图中的数据知，
甲的5个数据分布在87～93之间，分布相对集中些，方差小些；
乙的5个数据分布在78～99之间，分布相对分散些，方差大些；
所以甲的成绩相对稳定些．
故答案为：甲．
【点评】本题考查了平均数与方差的计算与应用问题，是基础题目．
16．【答案】5
【解析】
考
点：利用导数求最值
【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′（x）＞0或f′（x）＜0求单调区间；第二步：解f′（x）＝0得两个根x1、x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．
17．【答案】（0，1）．
【解析】解：画出函数f（x）的图象，如图示：
令y=k，由图象可以读出：0＜k＜1时，y=k和f（x）有3个交点，
即方程f（x）=k有三个不同的实根，
故答案为（0，1）．
【点评】本题考查根的存在性问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．
-+∞.
18．【答案】2，[1,)
【解析】
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）f（1）=1+k=2；
∴k=1，，定义域为{x∈R|x≠0}；
（2）为增函数；
证明：设x1＞x2＞1，则：
=
=；
∵x1＞x2＞1；
∴x1﹣x2＞0，，；
∴f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在（1，+∞）上为增函数．
20．【答案】
【解析】【知识点】随机变量的期望与方差随机变量的分布列
【试题解析】（Ⅰ）的可能取值为．
，
，
分布列为：
（Ⅱ）设先回答问题，再回答问题得分为随机变量，则的可能取值为．
，
，
，
分布列为：
．
应先回答所得分的期望值较高．
21．【答案】（1）2,2==q d ；（2）1
2326-+-
=n n n S . 【解析】
（2）
12
12--=n n n n b a ，………………6分 12212
1223225231---+-++++=n n n n n S ，① n
n n n n S 212232252321211321-+-++++=- .②……………8分 ①-②得n n n n n S 2122222222212`1221--+++++=-- 23112222211222222n n n n S --=++++-，…………10分
所以1
2326-+-=n n n S .………………12分 考点：等差数列的概念与通项公式，错位相减法求和，等比数列的概念与通项公式.
【方法点晴】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式以及数列的求和，通过设}{n a 的公差为d ，}{n b 的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，联立方程求得d 和，进而可得}{n a ，}{n b 的通项公式；（2）数列}a {n
n b 的通项公式由等差数列和等比数列对应项相乘构成，需用错位相减法求得前项和n S . 22．【答案】 100人中，“歌迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：
K 2==≈3.030
因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关．…
（Ⅱ）由统计表可知，“超级歌迷”有5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω={（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 2，a 3），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（b 1，b 2）}其中a i 表示男性，i=1，2，3，b i 表示女性，i=1，2．
Ω由10个等可能的基本事件组成．…
用A 表示“任选2人中，至少有1个是女性”这一事件，则A={（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（
a 3，
b 1），（a 3，b 2），（b 1，b 2） }，事件A 由7个基本事件组成．
∴P （A ）= (12)
【点评】本题考查独立性检验的运用及频率分布直方图的性质，列举法计算事件发生的概率，涉及到的知识点较多，有一定的综合性，难度不大，是高考中的易考题型．
23．【答案】（1）332⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，；（2）． 【解析】
试题分析：（1）化简()sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合取值范围可得1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭⇒值域为332⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，；（2）易得()sin 22123x g x f x ωππω⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和233363x πωππωππω⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，，由()g x 在23
6ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数⇒222Z 336322k k k ωππωππππππ⎡⎤⎡⎤-++⊆-++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，，，⇒ 2233226
32k k ωππππωππππ⎧-+≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩⇒534112k k ωω⎧≤-⎪⎨⎪≤+⎩⇒151212k -<<，Z k ∈⇒0k =⇒1ω≤⇒ω的最大值为.
考点：三角函数的图象与性质.
24．【答案】
【解析】证明：（1）连接OC，∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA，
∵CA是∠BAF的角平分线，
∴∠OAC=∠FAC
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC∥AD．…
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线．…
（2）连接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM2=AM•MB．
又∵DC是⊙O的切线，∴DC2=DF•DA．
∵∠MAC=∠DAC，∠D=∠AMC，AC=AC
∴△AMC≌△ADC，∴DC=CM，
∴AM•MB=DF•DA…
【点评】几何证明选讲重点考查相似形，圆的比例线段问题，一般来说都比较简单，只要掌握常规的证法就可以了．。