数理统计茆诗松第二章自测题

《数理统计》第二章自测题

时间：120分钟，卷面分值：100分

一、填空题：（每题2分，共10分） 得分 1．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，X 1, X 2, …, X n 是取自X 的随机样本，其均值和方差

分别为X 和2S ，如果2

ˆ(23)aX a S λ

=+-是λ的无偏估计，则a = 。 2．设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<≥=--，，θθθθx x e x f x ,

0,),()(，n X X X ,,,21 为来自该总体的一

个简单随机样本，则参数θ的矩估计量为 。

3．已知1ˆθ,2ˆθ为未知参数θ的两个无偏估计，且1ˆθ与2ˆθ不相关，12ˆˆ()4()D D θθ=。如果 312ˆˆˆa b θθθ=+也是θ的无偏估计，且是1ˆθ,2

ˆθ的所有同类型线性组合中方差最小的，则 a = ，b = 。

4．设X 是在一次随机试验中事件A 发生的次数，进行了n 次试验得一组样本X 1, X 2, …, X n ， 其中事件A 发生了k 次，则事件A 发生的概率为p ，p 2的最大似然估计为 ；p(1-p)的矩估计为 。

5.设总体X~N (μ,σ2), μ,σ2均为未知参数，X 1,X 2，⋯X n （n ≥3）为来自总体X 的一个样本,当用2X ̅−X 1，X ̅及0.2X 1+0.3X 2+0.5X 3作为μ的估计时，最有效的是 。

二、选择题：（每题3分，共24分） 得分 1. 设总体X 服从[a,b](a

（A ）a ̂2=[max 1≤i≤n

X i ]2,b ̂2=[min 1≤i≤n

X i ]2 （B ）a ̂2=[min 1≤i≤n

X i ]2,b

̂2=[max 1≤i≤n

X i ]2 （C ）a ̂2=[X ̅−S]2,b ̂2=[X ̅+S]2 （D ）a ̂2=[X ̅+S]2,b ̂2=[X ̅−S]2 2．设总体X 的概率分布为

其中θ(0<θ<1/2)是未知参数，从总体X 中抽取容量为8的一组样本，其样本值为3，1，3，0，3，1，2，3，则参数θ的矩估计值为( )。

(A) 1/3；(B)1/4；(C)1/2；(D) 1/8。

3. 设1ˆθ和2ˆθ是总体参数θ的两个估计量，说1ˆθ比2ˆθ更有效，是指( )。

(A)2121,)ˆ()ˆ(θθθθθ<==且E E ； (B))ˆ()ˆ(2

1θθE E <；

(C))ˆ()ˆ(2

1θθD D < ；

(D))ˆ()ˆ(,)ˆ()ˆ(2

121θθθθθD D E E <==且。 4. 设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，D(X)=σ2

，，X ̅和∑=--=n

i i n X X S 1

2

2

1)(，分别为样本均值和样本方差，则（ ）。

（A ）S 是σ的无偏估计 （B ）S 是σ的最大似然估计

(C) S 是σ的相合估计 （D ）S 与X

̅相互独立 5. 设Y n 同时满足lim n→∞

E [Y n ]=θ,lim n→∞

D [Y n ]=0, 则下列结论正确的是

（A ）Y n 是θ的有效估计量 （B ）Y n 是θ的无偏估计量 （C ）Y n 是θ的相合估计量 (D)A 和C 同时正确

6. 设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，E(X)= μ，D(X)=σ2，则可以作为σ2的无偏估计量 的是( )。

(A)当μ为已知时，∑=-n

i i n X 1

2

)(μ； (B)当μ为已知时，∑=--n

i i n X 121)(μ；

(C)当μ为未知时，∑=-n i i n

X 1

2)(μ； (D)当μ为未知时，∑=--n

i i n X 1

21

)(μ。

7．设θ

ˆ是参数θ的无偏估计量，且0)ˆ(>θD ，则2ˆθ|( )是2θ的无偏估计量。 (A)一定；

(B)不一定；

(C)一定不； (D)可能。

8. 设用普通的最小二乘方法去估计线性模型，E[X]=M θ, 要使得参数估计为最好线性无偏估计需要满足（ ）

(A) M 列满秩，Var(X)=σ2V (V 对称的正定阵) （B ）Var(X)=σ2I (I 单位矩阵) （C ）M 列满秩，Var(X)=σ2I (I 单位矩阵) （D ）（A ）和（C ）都对

三、判断题：（每题1.5分，共15分） 得分 1.( )设总体X~N(μ,σ2)，μ, σ2均未知，X 1, X 2, …, X n 是来自X 的样本，则

∑=-=n

i i n X X S 1

2

2

)(是σ2的UMVUE 。 2.( )未知参数的矩估计量和最大似然估计量都是无偏估计量。 3.( )对C -R 正则族，一致最小方差无偏估计一定是有效估计。 4.( )用最大似然估计法求出的估计量是不唯一的。

5. ( )用矩估计法和最大似然估计法求出的估计量一定不同。

6. ( )未知参数的无偏估计为相合估计。

7.( )费希尔信息量总是存在的。

8.( ) 对C -R 正则族，无偏估计的方差下界可以任意小。

9. ( )参数的一致最小方差无偏估计必然为完备充分统计量的函数。

10.( )在贝叶斯统计中，对给定的总体，参数是随机的；参数估计由先验信息决定。