全等三角形中等腰三角形证明题专训

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全等三角形经典题型50题(含答案)

全等三角形经典题型50题(含答案)

全等三角形证明经典50 题(含答案)1. 已知: AB=4, AC=2, D 是 BC 中点, AD 是整数,求ADAB CD延伸 AD 到 E,使 DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中 ,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又 AD 是整数 ,则 AD=512. 已知: D 是 AB 中点,∠ ACB=90°,求证:CD AB2ADC B3.已知: BC=DE,∠ B=∠ E,∠ C=∠ D, F 是 CD中点,求证:∠ 1=∠ 2A21B EC F D证明:连结 BF 和 EF。

由于 BC=ED,CF=DF,∠ BCF=∠ EDF。

因此三角形 BCF 全等于三角形 EDF(边角边 )。

因此 BF=EF,∠ CBF=∠ DEF。

连结 BE。

在三角形BEF 中 ,BF=EF。

因此∠ EBF=∠ BEF。

又由于∠ ABC=∠AED。

因此∠ABE=∠AEB。

因此 AB=AE。

在三角形 ABF 和三角形 AEF中, AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ ABE+∠ EBF=∠ AEB+∠ BEF=∠ AEF。

因此三角形 ABF 和三角形 AEF全等。

因此∠ BAF=∠ EAF (∠ 1=∠ 2)。

A4. 已知:∠ 1=∠ 2, CD=DE, EF//AB,求证: EF=AC 1 2证明:过 E 点,作 EG//AC,交 AD 延伸线于 G 则∠ DEG=∠ DCA,F ∠DGE=∠ 2又∵CD=DE∴ ⊿ADC≌ ⊿ GDE(AAS)∴EG=AC∵ EF//AB∴∠ DFE=∠ 1∵ ∠ 1=∠ 2∴ ∠ DFE=∠ DGE∴ EF=C EG∴ EF=AC DEB5.已知:AD均分∠ BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠C ACB D证明:在 AC上截取AD=AD∴ ⊿ AED≌ ⊿ ABD AE=AB,连结(SASED∵ AD)均分∠ BAC∴ ∠∴ ∠ AED=∠ BEAD=∠ BAD 又∵ AE=AB,,DE=DB∵ AC=AB+BDAC=AE+CE∴ CE=DE∴ ∠ C=∠ EDC∵∠ AED=∠ C+∠ EDC=2∠ C∴∠ B=2∠C6. 已知: AC 均分∠ BAD,CE⊥ AB,∠ B+∠ D=180°,求证:AE=AD+BE证明:在AE上取F,使EF=EB,连结 CF 由于 CE⊥AB 因此∠CEB=∠ CEF= 90 °由于 EB= EF, CE= CE,所以△CEB≌△CEF 所以∠B =∠ CFE 由于∠ B+∠ D= 180 ,°∠CFE+∠ CFA= 180°因此∠ D=∠ CFA 由于AC 均分∠ BAD 因此∠ DAC=∠ FAC 又由于AC= AC因此△ ADC≌ △ AFC( SAS)因此 AD= AF 因此 AE= AF+ FE= AD+ BE12.如图,四边形 ABCD 中, AB∥ DC, BE、 CE 分别均分∠ ABC、∠ BCD,且点 E 在 AD 上。

三角形中的五种常见证明类型

三角形中的五种常见证明类型

专训一:三角形中的五种常见证明类型名师点金:学习了全等三角形及等腰三角形的性质和判定后,与此相关的几何证明题的类型非常丰富,常见的类型有:证明数量关系、位置关系,线段的和差关系、倍分关系、不等关系等.证明数量关系题型1证明线段相等1.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,E、F分别是AB、AC 上的点,且AE=AF,求证:DE=DF.(第1题)题型2证明角相等2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为AC的中点,AE⊥BD 于F交BC于E.求证:∠ADB=∠CDE.(第2题)证明位置关系3.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在边BC,AB,AC上,且BD=CF,BE=CD,点G是EF的中点,求证:DG⊥EF.(第3题)证明倍分关系4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD,BE是△ABC的高,AD,BE相交于点H,且AE=BE,求证:AH=2BD.(第4题)证明和、差关系5.如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,AD平分∠BAC.求证:AB+BD=AC.(第5题)证明不等关系6.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,P是AD上的任意一点,且AB >AC,求证:AB-AC>PB-PC.(第6题)专训二:构造全等三角形的六种常用方法名师点金:在进行几何题的证明或计算时,需要在图形中添加一些辅助线,辅助线能使题目中的条件比较集中,能比较容易找到一些量之间的关系,使数学问题得以较轻松地解决.常见的辅助线作法有:构造法、平移法、旋转法、翻折法、加倍折半法和截长补短法,目的都是构造全等三角形.构造基本图形法1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D为BC的中点,CE⊥AD于点E,其延长线交AB于点F,连接DF.求证:∠ADC=∠BDF.(第1题)翻折法2.如图,在△ABC中,BE是∠ABC的平分线,AD⊥BE,垂足为D.求证:∠2=∠1+∠C.(第2题)旋转法3.如图,在正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE +DF=EF,求∠EAF的度数.(第3题)平移法4.在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于点P,BQ平分∠ABC交AC于点Q,且AP与BQ相交于点O.求证:AB+BP=BQ+AQ.(第4题)加倍折半法5.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,求∠C的度数.(第5题)截长补短法6.如图所示,AB∥CD,BE、CE分别为∠ABC、∠BCD的平分线,点E 在AD上.求证:BC=AB+CD.(第6题)专训三:分类讨论思想在等腰三角形中的应用名师点金:分类讨论思想是解题的一种常用方法,在等腰三角形中,往往会遇到条件或结论不唯一的情况,此时就需要分类讨论.通过正确地分类讨论,可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答.其解题策略为:先分类,再画图,后计算.当顶角和底角不确定时,分类讨论1.若等腰三角形中有一个角等于40°,则这个等腰三角形的顶角度数为()A.40°B.100°C.40°或70°D.40°或100°2.已知等腰三角形ABC中,AD⊥BC于D,且AD=12BC,则等腰三角形ABC的底角的度数为()A.45°B.75°C.45°或75°D.65°3.若等腰三角形的一个外角为64°,则底角的度数为________.当底和腰不确定时,分类讨论4.(2015·荆门)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4,则该等腰三角形的周长为()A.8或10B.8C.10D.6或125.等腰三角形的两边长分别为7和9,则其周长为________.6.若实数x,y满足|x-5|+(10-y)2=0,则以x,y的值为边长的等腰三角形的周长为________.当高的位置关系不确定时,分类讨论7.等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°,求这个三角形的各个内角的度数.由腰的垂直平分线引起的分类讨论8.在三角形ABC中,AB=AC,AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°,求∠B的度数.由腰上的中线引起的分类讨论9.等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm,一腰上的中线BD把其分为周长差为3 cm的两部分.求腰长.点的位置不确定引起的分类讨论10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2BC,在直线BC或AC上取一点P,使得△PAB为等腰三角形,则符合条件的点P共有()(第10题)A.7个B.6个C.5个D.4个11.如图,已知△ABC中,BC>AB>AC,∠ACB=40°,如果D,E是直线AB上的两点,且AD=AC,BE=BC,求∠DCE的度数.(第11题)专训四:三角形中常见的热门考点名师点金:本章主要学习了互逆命题与互逆定理,全等三角形的性质与判定,等腰三角形,线段垂直平分线与角平分线等常见的轴对称图形的性质与判定.本章的考点较多,也是中考的重点考查内容.互逆命题、基本事实、互逆定理1.下列命题是真命题的是()A.无限小数是无理数B.相反数等于它本身的数是0和1C.对顶角相等D.等边三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形2.下列命题及其逆命题是互逆定理的是()A.全等三角形的对应角相等B.若两个角都是直角,则它们相等C.同位角相等,两直线平行D.若a=b,则|a|=|b|全等三角形的性质与判定3.如图所示,AB∥EF∥CD,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中的全等三角形有()A.3对B.2对C.1对D.0对(第3题)(第4题)4.如图,在△ABC中,AC=5,F是高AD和BE的交点,AD=BD,则BF的长是()A.7 B.6 C.5 D.45.(2015·杭州)如图,在△ABC中,已知AB=AC,AD平分∠BAC,点M,N分别在AB,AC边上,AM=2MB,AN=2NC,求证:DM=DN.(第5题)等腰三角形的判定与性质6.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,E,F分别为垂足,则下列四个结论:(1)∠DEF=∠DFE;(2)AE=AF;(3)DA平分∠EDF;(4)AD垂直平分EF.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个(第6题)(第7题)(第8题)7.如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=60°,BC=6,把△ABC沿直线AD折叠,点C落在C′处,连接BC′,则BC′的长为________.8.如图所示,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,过点O作MN∥BC,分别交AB,AC于点M,N.若AB=6 cm,AC=9 cm,则△AMN 的周长为________.9.(中考·淄博)如图,AD∥BC,BD平分∠ABC.求证:AB=AD.(第9题)尺规作图10.如图,已知线段a,h,作等腰三角形ABC,使AB=AC,且BC=a,BC边上的高AD=h.张红的作法如下:(1)作线段BC=a;(2)作线段BC的垂直平分线MN,MN与BC相交于点D;(3)在直线MN上截取线段h;(4)连接AB,AC.△ABC即为所要求作的等腰三角形.上述作法的四个步骤中,你认为有错误的一步是()(第10题)A.(1) B.(2) C.(3) D.(4)线段垂直平分线与角平分线11.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线DE交AC 于点D,交AB于点E,则下列结论错误的是()A.BD平分∠ABCB.△BCD的周长等于AB+BCC.AD=BD=BCD.点D是线段AC的中点(第11题)(第12题)12.如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D,∠ADC=130°,那么∠CAB的大小是()A.80°B.50°C.40°D.20°13.如图,已知C是∠MAN的平分线上一点,CE⊥AB于E,点B,D分别在AM,AN上,且AE=12(AD+AB).问:∠1和∠2有何关系?并说明理由.(第13题)思想方法a.分类讨论思想14.等腰三角形的一个外角等于110°,则这个三角形的顶角度数为________.15.(2014·安顺)已知等腰三角形的两边长分别为a,b,且a,b满足2a-3b+5+(2a+3b-13)2=0,则此等腰三角形的周长为() A.7或8 B.6或10C.6或7 D.7或10b.方程思想16.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB,求∠A的度数.(第16题)c.转化思想17.如图,已知在△ABC中,∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线,BE⊥AD于E,求证:BE=12(AC-AB).(第17题)答案专训一1.证明:连接AD.∵AB =AC ,D 是BC 的中点,∴∠EAD =∠FAD.在△AED 和△AFD 中,⎩⎨⎧AE =AF ,∠EAD =∠FAD ,AD =AD ,∴△AED ≌△AFD(S .A .S .).∴DE =DF.2.证明:过点C 作CG ⊥AC 交AE 的延长线于G ,则CG ∥AB ,∴∠BAF =∠G.又∵AF ⊥BD ,AC ⊥CG ,∴∠BAF +∠ABF =90°,∠CAG +∠G =90°.∴∠ABF =∠CAG.在△ABD 和△CAG 中,⎩⎨⎧∠ABF =∠CAG ,AB =AC ,∠BAD =∠ACG =90°,∴△ABD ≌△CAG(A .S .A .).∴AD =CG ,∠ADB =∠G.又∵D 为AC 的中点,∴AD =CD ,∴CD =CG.∵AB =AC ,∴∠ABC =∠ACB.又∵AB ∥CG ,∴∠ABC =∠GCE.∴∠ACB =∠GCE.又∵CE =CE ,∴△CDE ≌△CGE(S .A .S .).∴∠G =∠CDE.∴∠ADB =∠CDE.(第3题)3.证明:如图,连接ED ,FD.∵AB =AC ,∴∠B =∠C.在△BDE 和△CFD 中,⎩⎨⎧BD =CF ,∠B =∠C ,BE =CD ,∴△BDE ≌△CFD(S .A .S .).∴DE =DF.又∵点G 是EF 的中点,∴DG ⊥EF.4.证明:∵AD ,BE 是△ABC 的高,∴∠ADB =∠AEB =90°,又∵∠BHD =∠AHE ,∴∠EBC =∠EAH.在△BCE 和△AHE 中,⎩⎨⎧∠EBC =∠EAH ,BE =AE ,∠BEC =∠AEH =90°,∴△BCE ≌△AHE(A .S .A .).∴AH =BC.又∵AB =AC ,AD ⊥BC ,∴BC =2BD ,∴AH =2BD.5.证明:如图,延长CB 至E ,使BE =BA ,则∠BAE =∠E.∵∠ABC =2∠C =2∠E ,∴∠E =∠C ,∴AE =AC.∵AD 平分∠BAC ,∴∠BAD =∠DAC.∵∠BAE =∠E ,∠E =∠C ,∴∠BAE =∠C.又∵∠EAD =∠BAE +∠BAD ,∠EDA =∠C +∠DAC ,∴∠EAD =∠EDA.∴AE =DE.∴AC =DE =BE +BD =AB +BD.(第5题)(第6题)6.证明:如图,在AB 上截取AE ,使AE =AC ,连接PE.∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠BAD =∠CAD.在△AEP 和△ACP 中,⎩⎨⎧AE =AC ,∠BAD =∠CAD ,AP =AP ,∴△AEP ≌△ACP(S .A .S .),∴PE =PC.在△PBE 中,BE >PB -PE ,∴AB -AC >PB -PC.专训二1.证明:如图,过点B 作BG ⊥BC 交CF 的延长线于点G.∵∠ACB =90°,∴∠2+∠ACF =90°.∵CE ⊥AD ,∴∠AEC =90°,∴∠1+∠ACF =180°-∠AEC =180°-90°=90°.∴∠1=∠2.在△ACD 和△CBG 中,⎩⎨⎧∠1=∠2,AC =CB ,∠ACD =∠CBG =90°,∴△ACD ≌△CBG(A .S .A .).∴∠ADC =∠G ,CD =BG.∵点D 为BC 的中点,∴CD =BD.∴BD =BG.又∵∠DBG =90°,∠DBF =45°,∴∠GBF =∠DBG -∠DBF =90°-45°=45°.∴∠DBF =∠GBF.在△BDF 和△BGF 中,⎩⎨⎧BD =BG ,∠DBF =∠GBF ,BF =BF ,∴△BDF ≌△BGF(S .A .S .).∴∠BDF =∠G.∴∠ADC =∠BDF.点拨:本题运用了构造基本图形法,通过作辅助线构造△CBG 、△BGF 是解题的关键.(第1题)(第2题)2.证明:如图,延长AD 交BC 于点F.(相当于将AB 边向下翻折,与BC 边重合,A 点落在F 点处,折痕为BE)∵BE 平分∠ABC ,∴∠ABE =∠CBE.∵BD ⊥AD ,∴∠ADB =∠BDF =90°.在△ABD 和△FBD 中,⎩⎨⎧∠ABD =∠FBD ,BD =BD ,∠ADB =∠FDB =90°,∴△ABD ≌△FBD(A .S .A .).∴∠2=∠DFB.又∵∠DFB =∠1+∠C ,∴∠2=∠1+∠C.(第3题)3.解:如图,延长CB 到点H ,使得BH =DF ,连接AH.∵∠ABE =90°,∠D =90°,∴∠ABH =∠D =90°.在△ABH 和△ADF 中,⎩⎨⎧AB =AD ,∠ABH =∠D =90°,BH =DF ,∴△ABH ≌△ADF.∴AH =AF ,∠BAH =∠DAF.∴∠BAH +∠BAF =∠DAF +∠BAF ,即∠HAF =∠BAD =90°. ∵BE +DF =EF ,∴BE +BH =EF ,即HE =EF.在△AEH 和△AEF 中,⎩⎨⎧AH =AF ,AE =AE ,EH =EF ,∴△AEH ≌△AEF.∴∠EAH =∠EAF.∴∠EAF =12∠HAF =45°.点拨:图中所作辅助线,相当于将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°,使AD 边与AB 边重合,得到△ABH.4.证明:过点O 作OD ∥BC 交AB 于点D ,∴∠ADO =∠ABC. ∵∠BAC =60°,∠C =40°,∴∠ABC =80°.∴∠ADO =80°.∵BQ 平分∠ABC ,∴∠QBC =40°.∴∠AQB =∠C +∠QBC =80°.∴∠ADO =∠AQB.易知∠DAO =∠QAO ,OA =OA ,∴△ADO ≌△AQO.∴OD =OQ ,AD =AQ.∵OD ∥BP ,∴∠PBO =∠DOB ,又∵∠PBO =∠DBO ,∴∠DBO =∠DOB.∴BD =OD.∴BD =OQ.∵∠BAC =60°,∠ABC =80°,BQ 平分∠ABC ,AP 平分∠BAC , ∴∠BAP =30°,∠ABQ =40°,∴∠BOP =70°.∵∠BAP =30°,∠ABC =80°,∴∠APB =70°.∴∠BOP =∠APB ,∴BO =BP.∴AB +BP =AD +DB +BP =AQ +OQ +BO =BQ +AQ.5.解:在DC 上截取DE =BD ,连接AE ,∵AD ⊥BC ,BD =DE ,∴AD 是线段BE 的垂直平分线,∴AB =AE ,∠B =∠AEB.∵AB +BD =CD ,DE =BD ,∴AB +DE =CD.而CD =DE +EC ,∴AB =EC ,∴AE =EC.故设∠EAC =∠C =x ,∵∠AEB 为△AEC 的外角,∴∠AEB =∠EAC +∠C =2x ,∴∠B =2x ,∠BAE =180°-2x -2x =180°-4x.∵∠BAC =120°,∴∠BAE +∠EAC =120°,即180°-4x +x =120°,解得x =20°,则∠C =20°.6.证法一:用截长法,如图①所示,在BC 上截取BF =AB ,连接EF.(第6题)因为BE 平分∠ABC ,CE 平分∠BCD ,所以∠ABE =∠FBE ,∠FCE =∠DCE.在△ABE 和△FBE 中,因为⎩⎨⎧AB =FB ,∠ABE =∠FBE ,BE =BE ,所以△ABE ≌△FBE.所以∠A =∠EFB.因为AB ∥CD ,所以∠A +∠D =180°.因为∠BFE +∠EFC =180°,所以∠EFC =∠D.在△EFC 和△EDC 中,因为⎩⎨⎧∠FCE =∠DCE ,∠EFC =∠D ,EC =EC ,所以△EFC ≌△EDC.所以FC =DC.所以BC =BF +FC =AB +CD.证法二:用补短法,如图②所示,延长BE 交CD 的延长线于点G.因为AB ∥CD ,所以∠ABE =∠G.因为BE 平分∠ABC ,所以∠ABE =∠CBE.所以∠CBE =∠G.因为CE 平分∠BCD ,所以∠BCE =∠GCE.在△BEC 和△GEC 中,因为⎩⎨⎧∠CBE =∠G ,∠BCE =∠GCE ,CE =CE ,所以△BEC ≌△GEC.所以BC =GC ,BE =GE.在△ABE 和△DGE 中,因为⎩⎨⎧∠ABE =∠G ,∠AEB =∠DEG ,BE =GE ,所以△ABE ≌△DGE.所以AB =DG.所以BC =CG =GD +DC =AB +CD.专训三1.D 2.C 3.32°4.C 5.23或25 6.257.解:设等腰三角形ABC 中,AB =AC ,BD ⊥AC 于D.(1)当高与底边的夹角为25°时,高一定在△ABC 的内部,如图①,∵∠DBC =25°,∴∠C =90°-∠DBC =90°-25°=65°,∴∠ABC =∠C =65°,∠A =180°-2×65°=50°.(第7题)(2)当高与另一腰的夹角为25°时,如图②,高在△ABC 的内部时,∵∠ABD =25°,∴∠A =90°-∠ABD =65°,∴∠C =∠ABC =(180°-∠A)÷2=57.5°;如图③,高在△ABC 的外部时,∵∠ABD =25°,∴∠BAD =90°-∠ABD =90°-25°=65°,∴∠BAC=180°-65°=115°,∴∠ABC=∠C=(180°-115°)÷2=32.5°,故三角形各内角的度数为:65°,65°,50°或65°,57.5°,57.5°或115°,32.5°,32.5°.点拨:由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”,因此必须进行分类讨论,另外,还要结合图形,分高在三角形内还是在三角形外.8.解:此题分两种情况:(1)如图①,AB边的垂直平分线与AC边交于点D,∠ADE=40°,则∠A=50°,∵AB=AC,∴∠B=(180°-50°)÷2=65°.(2)如图②,AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D,∠ADE=40°,则∠DAE=50°,∴∠BAC=130°.∵AB=AC,∴∠B=(180°-130°)÷2=25°.故∠B的大小为65°或25°.(第8题)9.解:∵BD为AC边上的中线,∴AD=CD.(1)当(AB+AD)-(BC+CD)=3 cm时,则AB-BC=3 cm,∵BC=5 cm,∴AB=8 cm;(2)当(BC+CD)-(AB+AD)=3 cm时,则BC-AB=3 cm,∵BC=5 cm,∴AB=2 cm;但是当AB=2 cm时,三边长为2 cm,2 cm,5 cm,而2+2<5,不符合三角形三边关系,故舍去,故腰长为8 cm.10.B11.解:(1)当点D,E在点A的同侧,且都在BA的延长线上时,如图①,(第11题)∵BE=BC,∴∠BEC=(180°-∠ABC)÷2,∵AD=AC,∴∠ADC=(180°-∠DAC)÷2=∠BAC÷2,∵∠DCE=∠BEC-∠ADC,∴∠DCE=(180°-∠ABC)÷2-∠BAC÷2=(180°-∠ABC-∠BAC)÷2=∠ACB÷2=40°÷2=20°.(2)当点D,E在点A的同侧,且点D在D′的位置,点E在E′的位置时,如图②,与(1)类似地可以求得∠D′CE′=∠ACB÷2=20°.(3)当点D,E在点A的两侧,且点E在E′的位置时,如图③,∵BE′=BC,∴∠BE′C=(180°-∠CBE′)÷2=∠ABC÷2,∵AD=AC,∴∠ADC=(180°-∠DAC)÷2=∠BAC÷2,又∵∠DCE′=180°-(∠BE′C+∠ADC),∴∠DCE′=180°-(∠ABC+∠BAC)÷2=180°-(180°-∠ACB)÷2=90°+∠ACB÷2=90°+40°÷2=110°.(4)当点D,E在点A的两侧,且点D在D′的位置时,如图④,∵AD′=AC,∴∠AD′C=(180°-∠BAC)÷2,∵BE=BC,∴∠BEC=(180°-∠ABC)÷2,∴∠D′CE=180°-(∠D′EC+∠ED′C)=180°-(∠BEC+∠AD′C)=180°-[(180°-∠ABC)÷2+(180°-∠BAC)÷2]=(∠BAC+∠ABC)÷2=(180°-∠ACB)÷2=(180°-40°)÷2=70°.综上所述,∠DCE的度数为20°或110°或70°.专训四1.C 2.C 3.A 4.C5.证明:∵AM=2MB,AN=2NC,∴AM=23AB,AN=23AC.又∵AB=AC,∴AM=AN.∵AD平分∠BAC,∴∠MAD=∠NAD.又∵AD=AD,∴△AMD≌△AND(S.A.S.).∴DM=DN.6.D7.38.15 cm9.证明:∵AD∥BC,∴∠DBC=∠ADB.又∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,∴∠ABD=∠ADB,∴AB =AD.10.C 11.D 12.D(第13题)13.解:∠1与∠2互补.理由:作CF ⊥AN 于F(如图),∵AC 平分∠MAN ,∴∠3=∠4,又∵CE ⊥AM ,CF ⊥AN ,∴CF =CE ,∠CFA =∠CEA =90°,∴Rt △ACF ≌Rt △ACE ,∴AF =AE.∵AE =12(AD +AB)=12(AF -DF +AE +BE)=AE +12(BE -DF),∴BE -DF =0,∴BE =DF ,又CE =CF ,∠CEB =∠CFD ,∴△DFC ≌△BEC(S .A .S .),∴∠5=∠2,∵∠1+∠5=180°,∴∠1+∠2=180°.即∠1与∠2互补.14.70°或40° 点拨:本题运用了分类讨论思想,将已知条件外角等于110°分为底角处的外角和顶角处的外角两种情况进行讨论,解题时要防止漏解.15.A 点拨:∵2a -3b +5+(2a +3b -13)2=0,∴⎩⎨⎧2a -3b +5=0,2a +3b -13=0,解得⎩⎨⎧a =2,b =3. 当a 为底边长时,三角形的三边长为2,3,3,则周长为8;当b 为底边长时,三角形的三边长为2,2,3,则周长为7.综上所述,此等腰三角形的周长为7或8.16.解:设∠ABD 的度数为x.∵AD =DE =EB ,∴∠A =∠AED =2∠ABD =2x.∵BC =BD ,∴∠C =∠BDC =∠ABD +∠A =3x.∵AB =AC ,∴∠ABC =∠C =3x.∴∠A +∠C +∠ABC =8x =180°.∴x =22.5°.∴∠A =2x =45°.17.证明:如图,延长BE 交AC 于F.∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠BAE =∠FAE.(第17题)在△ABE 和△AFE 中,⎩⎨⎧∠BAE =∠FAE ,AE =AE ,∠AEB =∠AEF =90°,∴△ABE ≌△AFE(A .S .A .).∴∠ABF =∠AFB ,BE =FE ,AB =AF.∴BE =12BF.∠ABC =∠ABF +∠FBC=∠AFB +∠FBC =∠C +∠FBC +∠FBC =∠C +2∠FBC ,又∵∠ABC =3∠C ,∴3∠C =∠C +2∠FBC.∴∠C =∠FBC.∴BF =CF.∴BE =12CF.∵CF =AC -AF =AC -AB ,∴BE =12(AC -AB).点拨:本题运用了转化思想,通过添加辅助线构造等腰三角形,然后利用等腰三角形的性质将AC 与AB 的差转化为AC 与AF 的差是解题的关键.。

全等三角形练习(基础证明题)

全等三角形练习(基础证明题)

全等三角形的判定训练1.已知AD是⊿ABC的中线,BE⊥AD,CF⊥AD,问BE=CF吗?说明理由。

2.已知AC=BD,AE=CF,BE=DF,问AE∥CF吗?3.已知AB=CD,BE=DF,AE=CF,问AB∥CD吗?4.已知在四边形ABCD中,AB=CD,AD=CB,问AB∥CD吗?说明理由。

5.已知∠BAC=∠DAE,∠1=∠2,BD=CE,问ABD≌⊿ACE.吗?为什么?6.已知CD∥AB,DF∥EB,DF=EB,问AF=CE吗?说明理由。

AB CDFEA C DE FDCFEA BAB CADEB C1 2AD CEFB7.已知BE=CF,AB=CD,∠B=∠C.问AF=DE吗?8.已知AD=CB,∠A=∠C,AE=CF,问EB∥DF吗?说明理由。

9.已知,M是AB的中点,∠1=∠2,MC=MD,问∠C=∠D吗?说明理由。

10.已知,AE=DF,BF=CE,AE∥DF,问AB=CD吗?说明理由。

11.已知∠1=∠2,∠3=∠4,问AC=AD吗?说明理由。

12.已知∠E=∠F,∠1=∠2,AB=CD,问AE=DF吗?说明理由。

13.已知ED⊥AB,EF⊥BC,BD=EF,问BM=ME吗?说明理由。

ACDB1234A B C DE F1 2ACDB E FBA DFECMA BC D1 2DCFEA B14.在⊿ABC 中,高AD 与BE 相交于点H ,且AD =BD ,问⊿BHD ≌⊿ACD ,为什么?15.已知∠A =∠D ,AC ∥FD ,AC =FD ,问AB ∥DE 吗?说明理由。

16.已知AC =AB ,AE =AD , ∠1=∠2,问∠3=∠4吗?17.已知EF ∥BC ,AF =CD ,AB ⊥BC ,DE ⊥EF ,问⊿ABC ≌⊿DEF 吗?说明理由。

18.已知AD =AE ,∠B =∠C ,问AC =AB 吗?说明理由。

A B C EH DACME F B D A B C E FD AB C ED F ADE AD E B C 1 23 419.已知AD⊥BC,BD=CD,问AB=AC吗?20.已知∠1=∠2,BC=AD,问⊿ABC≌⊿BAD吗?21.已知AB=AC,∠1=∠2,AD=AE,问⊿ABD≌⊿ACE.说明理由。

北师版八下第1章三角形的证明方法专训等腰三角形中作辅助线的八种常用方法【习题课件】

北师版八下第1章三角形的证明方法专训等腰三角形中作辅助线的八种常用方法【习题课件】
又∵AB=AC,AC=BF,∴BF=BD. CB=CB,
在△CBF 和△CBD 中,∠CBF=∠CBD, BF=BD,
∴△CBF≌△CBD(SAS).∴CF=CD. ∴CD=2CE.
阶段方法专训 6.如图,在等腰直角三角形 ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,
BF 平分∠ABC,CD⊥BF,且 CD 交 BF 的延长线于点 D.求 证:BF=2CD.
【点拨】由∠ABC=2∠C,AD⊥BC,延长 CB 构造等腰三角形, 利用等腰三角形的性质解决问题.
阶段方法专训 证明:如图,延长 CB 到点 E, 使 BE=BA,连接 AE,则∠E=12∠ABC. ∵∠ABC=2∠C,即∠C=12∠ABC, ∴∠E=∠C.∴AE=AC. ∵AD⊥BC,∴CD=DE.
阶段方法专训 OA=OC,
在△OAM 和△OCN 中,∠OAM=∠C=45°, AM=CN,
∴△OAM≌△OCN(SAS).
∴OM=ON,∠AOM=∠CON.
又∵∠CON+∠AON=90°,
∴∠AOM+∠AON=90°,即∠MON=90°.
∴△MON 是等腰直角三角形.
阶段方法专训 2.如图,在△ABC 中,AB=AC,BD⊥AC 于点 D.
证明:∵DB=DE,DG⊥BC, ∴BG=EG.
阶段方法专训 5.如图,CE,CB 分别是△ABC,△ADC 的中线,且 AB=AC.
求证:CD=2CE.
【点拨】本题运用了倍长中线法,通过延长中线构造全等三角形 解决问题.
阶段方法专训
证明:如图,延长 CE 到点 F, 使 EF=CE,连接 FB,则 CF=2CE. ∵CE 是△ABC 的中线,∴AE=BE.
=60°,∠ACD=60°.求证:BD+DC=AB. 【点拨】本题运用截长补短法构造等腰三角 形,利用等腰三角形的性质与判定解决问题.

《全等三角形》证明题题型归类训练

《全等三角形》证明题题型归类训练

《全等三角形》证明题题型归类训练题型1:全等+等腰性质1、如图,在△ABE 中,AB =AE,AD =AC,∠BAD =∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证:(1) △ABC ≌△AED ; (2) OB =OE 。

2、已知:如图,B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上,AB =DC ,BE =CF ,∠B =∠C . 求证:OA =OD .题型2:两次全等1、AB=AC ,DB=DC ,F 是AD 的延长线上的一点。

求证:BF=CFFDCBA2、已知如图,E 、F 在BD 上,且AB =CD ,BF =DE,AE =CF,求证:AC 与BD 互相平分O C E BDAA B E O F D C3、如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC=90°DE ⊥AC 于点F ,交BC 于点G ,交AB 的延长线于点E ,且AE=AC.求证:BG=FG题型3:直角三角形全等(余角性质)1、如图,在等腰Rt △ABC 中,∠C =90°,D 是斜边上AB 上任一点,AE ⊥CD 于E ,BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ,CH ⊥AB 于H 点,交AE 于G . 求证:BD =CG .2、如图,将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上,且过A,B 两点分别作直线的垂线,垂足分别为D,E ,请你在图中找出一对全等三角形,并写出证明它们全等的过程.3、如图,∠ABC =90°,AB =BC ,D 为AC 上一点,分别过A 、C 作BD 的垂线,垂足分别为E 、F 求证:EF =CF -AEAFCBDEGA BC FD E4、在△ABC 中,︒=∠90ACB ,BC AC =,直线MN 经过点C ,且MN AD ⊥于D ,MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时, 求证: ①ADC ∆≌CEB ∆;②BE AD DE +=;(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,说明理由.5、如图:BE ⊥AC,CF ⊥AB ,BM=AC,CN=AB 。

华师版初中数学八年级上册专训:三角形中的五种常见证明类型

华师版初中数学八年级上册专训:三角形中的五种常见证明类型

专训一:三角形中的五种常见证明类型名师点金:学习了全等三角形及等腰三角形的性质和判定后,与此相关的几何证明题的类型非常丰富,常见的类型有:证明数量关系、位置关系,线段的和差关系、倍分关系、不等关系等.证明数量关系题型1证明线段相等1.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,E、F分别是AB、AC 上的点,且AE=AF,求证:DE=DF.(第1题)题型2证明角相等2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为AC的中点,AE⊥BD 于F交BC于E.求证:∠ADB=∠CDE.(第2题)证明位置关系3.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在边BC,AB,AC上,且BD=CF,BE=CD,点G是EF的中点,求证:DG⊥EF.(第3题)4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD,BE是△ABC的高,AD,BE相交于点H,且AE=BE,求证:AH=2BD.(第4题)5.如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,AD平分∠BAC.求证:AB+BD=AC.(第5题)6.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,P是AD上的任意一点,且AB>AC,求证:AB-AC>PB-PC.(第6题)专训二:构造全等三角形的六种常用方法名师点金:在进行几何题的证明或计算时,需要在图形中添加一些辅助线,辅助线能使题目中的条件比较集中,能比较容易找到一些量之间的关系,使数学问题得以较轻松地解决.常见的辅助线作法有:构造法、平移法、旋转法、翻折法、加倍折半法和截长补短法,目的都是构造全等三角形.构造基本图形法1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D为BC的中点,CE⊥AD于点E,其延长线交AB于点F,连接DF.求证:∠ADC=∠BDF.(第1题)翻折法2.如图,在△ABC中,BE是∠ABC的平分线,AD⊥BE,垂足为D.求证:∠2=∠1+∠C.(第2题)旋转法3.如图,在正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE +DF=EF,求∠EAF的度数.(第3题)平移法4.在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于点P,BQ平分∠ABC交AC于点Q,且AP与BQ相交于点O.求证:AB+BP=BQ+AQ.(第4题)加倍折半法5.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,求∠C的度数.(第5题)截长补短法6.如图所示,AB∥CD,BE、CE分别为∠ABC、∠BCD的平分线,点E 在AD上.求证:BC=AB+CD.(第6题)专训三:分类讨论思想在等腰三角形中的应用名师点金:分类讨论思想是解题的一种常用方法,在等腰三角形中,往往会遇到条件或结论不唯一的情况,此时就需要分类讨论.通过正确地分类讨论,可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答.其解题策略为:先分类,再画图,后计算.当顶角和底角不确定时,分类讨论1.若等腰三角形中有一个角等于40°,则这个等腰三角形的顶角度数为()A.40°B.100°C.40°或70°D.40°或100°2.已知等腰三角形ABC中,AD⊥BC于D,且AD=12BC,则等腰三角形ABC的底角的度数为()A.45°B.75°C.45°或75°D.65°3.若等腰三角形的一个外角为64°,则底角的度数为________.当底和腰不确定时,分类讨论4.(2015·荆门)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4,则该等腰三角形的周长为()A.8或10B.8C.10D.6或125.等腰三角形的两边长分别为7和9,则其周长为________.6.若实数x,y满足|x-5|+(10-y)2=0,则以x,y的值为边长的等腰三角形的周长为________.当高的位置关系不确定时,分类讨论7.等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°,求这个三角形的各个内角的度数.由腰的垂直平分线引起的分类讨论8.在三角形ABC中,AB=AC,AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°,求∠B的度数.由腰上的中线引起的分类讨论9.等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm,一腰上的中线BD把其分为周长差为3 cm的两部分.求腰长.点的位置不确定引起的分类讨论10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2BC,在直线BC或AC上取一点P,使得△PAB为等腰三角形,则符合条件的点P共有()(第10题)A.7个B.6个C.5个D.4个11.如图,已知△ABC中,BC>AB>AC,∠ACB=40°,如果D,E是直线AB上的两点,且AD=AC,BE=BC,求∠DCE的度数.(第11题)专训四:三角形中常见的热门考点名师点金:本章主要学习了互逆命题与互逆定理,全等三角形的性质与判定,等腰三角形,线段垂直平分线与角平分线等常见的轴对称图形的性质与判定.本章的考点较多,也是中考的重点考查内容.互逆命题、基本事实、互逆定理1.下列命题是真命题的是()A.无限小数是无理数B.相反数等于它本身的数是0和1C.对顶角相等D.等边三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形2.下列命题及其逆命题是互逆定理的是()A.全等三角形的对应角相等B.若两个角都是直角,则它们相等C.同位角相等,两直线平行D.若a=b,则|a|=|b|全等三角形的性质与判定3.如图所示,AB∥EF∥CD,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中的全等三角形有()A.3对B.2对C.1对D.0对(第3题)(第4题)4.如图,在△ABC中,AC=5,F是高AD和BE的交点,AD=BD,则BF的长是()A.7 B.6 C.5 D.45.(2015·杭州)如图,在△ABC中,已知AB=AC,AD平分∠BAC,点M,N分别在AB,AC边上,AM=2MB,AN=2NC,求证:DM=DN.(第5题)等腰三角形的判定与性质6.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,E,F分别为垂足,则下列四个结论:(1)∠DEF=∠DFE;(2)AE=AF;(3)DA平分∠EDF;(4)AD垂直平分EF.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个(第6题)(第7题)(第8题)7.如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=60°,BC=6,把△ABC沿直线AD折叠,点C落在C′处,连接BC′,则BC′的长为________.8.如图所示,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,过点O作MN∥BC,分别交AB,AC于点M,N.若AB=6 cm,AC=9 cm,则△AMN 的周长为________.9.(中考·淄博)如图,AD∥BC,BD平分∠ABC.求证:AB=AD.(第9题)尺规作图10.如图,已知线段a,h,作等腰三角形ABC,使AB=AC,且BC=a,BC边上的高AD=h.张红的作法如下:(1)作线段BC=a;(2)作线段BC的垂直平分线MN,MN与BC相交于点D;(3)在直线MN上截取线段h;(4)连接AB,AC.△ABC即为所要求作的等腰三角形.上述作法的四个步骤中,你认为有错误的一步是()(第10题)A.(1) B.(2) C.(3) D.(4)线段垂直平分线与角平分线11.如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠A =36°,AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ,交AB 于点E ,则下列结论错误的是( )A .BD 平分∠ABCB .△BCD 的周长等于AB +BCC .AD =BD =BCD .点D 是线段AC 的中点(第11题)(第12题)12.如图,已知在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC 和∠ACB 的平分线相交于点D ,∠ADC =130°,那么∠CAB 的大小是( )A .80°B .50°C .40°D .20°13.如图,已知C 是∠MAN 的平分线上一点,CE ⊥AB 于 E ,点B ,D 分别在AM ,AN 上,且AE =12(AD +AB).问:∠1和∠2有何关系?并说明理由.(第13题)思想方法a .分类讨论思想14.等腰三角形的一个外角等于110°,则这个三角形的顶角度数为________.15.(2014·安顺)已知等腰三角形的两边长分别为a ,b ,且a ,b 满足2a -3b +5+(2a +3b -13)2=0,则此等腰三角形的周长为( )A .7或8B .6或10C .6或7D .7或10b .方程思想16.如图,在△ABC 中,AB =AC ,BC =BD ,AD =DE =EB ,求∠A 的度数.(第16题)c .转化思想17.如图,已知在△ABC 中,∠ABC =3∠C ,AD 是∠BAC 的平分线,BE ⊥AD于E ,求证:BE =12(AC -AB).(第17题)答案专训一1.证明:连接AD.∵AB =AC ,D 是BC 的中点,∴∠EAD =∠FAD.在△AED 和△AFD 中,⎩⎨⎧AE =AF ,∠EAD =∠FAD ,AD =AD ,∴△AED ≌△AFD(S .A .S .).∴DE =DF.2.证明:过点C 作CG ⊥AC 交AE 的延长线于G ,则CG ∥AB ,∴∠BAF =∠G .又∵AF ⊥BD ,AC ⊥CG ,∴∠BAF +∠ABF =90°,∠CAG +∠G =90°.∴∠ABF =∠CAG .在△ABD 和△CAG 中,⎩⎨⎧∠ABF =∠CAG ,AB =AC ,∠BAD =∠ACG =90°,∴△ABD ≌△CAG(A .S .A .).∴AD =CG ,∠ADB =∠G .又∵D 为AC 的中点,∴AD =CD ,∴CD =CG .∵AB =AC ,∴∠ABC =∠ACB.又∵AB ∥CG ,∴∠ABC =∠GCE.∴∠ACB =∠GCE.又∵CE =CE ,∴△CDE ≌△CGE(S .A .S .).∴∠G =∠CDE.∴∠ADB =∠CDE.(第3题)3.证明:如图,连接ED ,FD.∵AB =AC ,∴∠B =∠C.在△BDE 和△CFD 中,⎩⎨⎧BD =CF ,∠B =∠C ,BE =CD ,∴△BDE ≌△CFD(S .A .S .).∴DE =DF.又∵点G 是EF 的中点,∴DG ⊥EF.4.证明:∵AD ,BE 是△ABC 的高,∴∠ADB =∠AEB =90°,又∵∠BHD =∠AHE ,∴∠EBC =∠EAH.在△BCE 和△AHE 中,⎩⎨⎧∠EBC =∠EAH ,BE =AE ,∠BEC =∠AEH =90°,∴△BCE ≌△AHE(A .S .A .).∴AH =BC.又∵AB =AC ,AD ⊥BC ,∴BC =2BD ,∴AH =2BD.5.证明:如图,延长CB 至E ,使BE =BA ,则∠BAE =∠E.∵∠ABC =2∠C =2∠E ,∴∠E =∠C ,∴AE =AC.∵AD 平分∠BAC ,∴∠BAD =∠DAC.∵∠BAE =∠E ,∠E =∠C ,∴∠BAE =∠C.又∵∠EAD =∠BAE +∠BAD ,∠EDA =∠C +∠DAC ,∴∠EAD =∠EDA.∴AE =DE.∴AC =DE =BE +BD =AB +BD.(第5题)(第6题)6.证明:如图,在AB 上截取AE ,使AE =AC ,连接PE.∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠BAD =∠CAD.在△AEP 和△ACP 中,⎩⎨⎧AE =AC ,∠BAD =∠CAD ,AP =AP ,∴△AEP ≌△ACP(S .A .S .),∴PE =PC.在△PBE 中,BE >PB -PE ,∴AB -AC >PB -PC.专训二1.证明:如图,过点B 作BG ⊥BC 交CF 的延长线于点G .∵∠ACB =90°,∴∠2+∠ACF =90°.∵CE ⊥AD ,∴∠AEC =90°,∴∠1+∠ACF =180°-∠AEC =180°-90°=90°.∴∠1=∠2.在△ACD 和△CBG 中,⎩⎨⎧∠1=∠2,AC =CB ,∠ACD =∠CBG =90°,∴△ACD ≌△CBG(A .S .A .).∴∠ADC =∠G ,CD =BG .∵点D 为BC 的中点,∴CD =BD.∴BD =BG .又∵∠DBG =90°,∠DBF =45°,∴∠GBF =∠DBG -∠DBF =90°-45°=45°.∴∠DBF =∠GBF.在△BDF 和△BGF 中,⎩⎨⎧BD =BG ,∠DBF =∠GBF ,BF =BF ,∴△BDF ≌△BGF(S .A .S .).∴∠BDF =∠G .∴∠ADC =∠BDF.点拨:本题运用了构造基本图形法,通过作辅助线构造△CBG 、△BGF 是解题的关键.(第1题)(第2题)2.证明:如图,延长AD 交BC 于点F.(相当于将AB 边向下翻折,与BC 边重合,A 点落在F 点处,折痕为BE)∵BE 平分∠ABC ,∴∠ABE =∠CBE.∵BD ⊥AD ,∴∠ADB =∠BDF =90°.在△ABD 和△FBD 中,⎩⎨⎧∠ABD =∠FBD ,BD =BD ,∠ADB =∠FDB =90°,∴△ABD ≌△FBD(A .S .A .).∴∠2=∠DFB.又∵∠DFB =∠1+∠C ,∴∠2=∠1+∠C.(第3题)3.解:如图,延长CB 到点H ,使得BH =DF ,连接AH.∵∠ABE =90°,∠D =90°,∴∠ABH =∠D =90°.在△ABH 和△ADF 中,⎩⎨⎧AB =AD ,∠ABH =∠D =90°,BH =DF ,∴△ABH ≌△ADF.∴AH =AF ,∠BAH =∠DAF.∴∠BAH +∠BAF =∠DAF +∠BAF ,即∠HAF =∠BAD =90°.∵BE +DF =EF ,∴BE +BH =EF ,即HE =EF.在△AEH 和△AEF 中,⎩⎨⎧AH =AF ,AE =AE ,EH =EF ,∴△AEH ≌△AEF.∴∠EAH =∠EAF.∴∠EAF =12∠HAF =45°.点拨:图中所作辅助线,相当于将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°,使AD 边与AB 边重合,得到△ABH.4.证明:过点O 作OD ∥BC 交AB 于点D ,∴∠ADO =∠ABC.∵∠BAC =60°,∠C =40°,∴∠ABC =80°.∴∠ADO =80°.∵BQ 平分∠ABC ,∴∠QBC =40°.∴∠AQB =∠C +∠QBC =80°.∴∠ADO =∠AQB.易知∠DAO =∠QAO ,OA =OA ,∴△ADO ≌△AQO.∴OD =OQ ,AD =AQ.∵OD ∥BP ,∴∠PBO =∠DOB ,又∵∠PBO =∠DBO ,∴∠DBO =∠DOB.∴BD =OD.∴BD =OQ.∵∠BAC =60°,∠ABC =80°,BQ 平分∠ABC ,AP 平分∠BAC ,∴∠BAP =30°,∠ABQ =40°,∴∠BOP =70°.∵∠BAP =30°,∠ABC =80°,∴∠APB =70°.∴∠BOP =∠APB ,∴BO =BP.∴AB +BP =AD +DB +BP =AQ +OQ +BO =BQ +AQ.5.解:在DC 上截取DE =BD ,连接AE ,∵AD ⊥BC ,BD =DE ,∴AD 是线段BE 的垂直平分线,∴AB =AE ,∠B =∠AEB.∵AB +BD =CD ,DE =BD ,∴AB +DE =CD.而CD =DE +EC ,∴AB =EC ,∴AE =EC.故设∠EAC =∠C =x ,∵∠AEB 为△AEC 的外角,∴∠AEB =∠EAC +∠C =2x ,∴∠B =2x ,∠BAE =180°-2x -2x =180°-4x.∵∠BAC =120°,∴∠BAE +∠EAC =120°,即180°-4x +x =120°,解得x =20°,则∠C =20°.6.证法一:用截长法,如图①所示,在BC 上截取BF =AB ,连接EF.(第6题)因为BE 平分∠ABC ,CE 平分∠BCD ,所以∠ABE =∠FBE ,∠FCE =∠DCE.在△ABE 和△FBE 中,因为⎩⎨⎧AB =FB ,∠ABE =∠FBE ,BE =BE ,所以△ABE ≌△FBE.所以∠A =∠EFB.因为AB ∥CD ,所以∠A +∠D =180°.因为∠BFE +∠EFC =180°,所以∠EFC =∠D.在△EFC 和△EDC 中,因为⎩⎨⎧∠FCE =∠DCE ,∠EFC =∠D ,EC =EC ,所以△EFC ≌△EDC.所以FC =DC.所以BC =BF +FC =AB +CD.证法二:用补短法,如图②所示,延长BE 交CD 的延长线于点G .因为AB ∥CD ,所以∠ABE =∠G .因为BE 平分∠ABC ,所以∠ABE =∠CBE.所以∠CBE =∠G .因为CE 平分∠BCD ,所以∠BCE =∠GCE.在△BEC 和△GEC 中,因为⎩⎨⎧∠CBE =∠G ,∠BCE =∠GCE ,CE =CE ,所以△BEC ≌△GEC.所以BC =GC ,BE =GE.在△ABE 和△DGE 中,因为⎩⎨⎧∠ABE =∠G ,∠AEB =∠DEG ,BE =GE ,所以△ABE ≌△DGE.所以AB =DG .所以BC =CG =GD +DC =AB +CD.专训三1.D 2.C 3.32°4.C 5.23或25 6.257.解:设等腰三角形ABC 中,AB =AC ,BD ⊥AC 于D.(1)当高与底边的夹角为25°时,高一定在△ABC 的内部,如图①,∵∠DBC =25°,∴∠C =90°-∠DBC =90°-25°=65°,∴∠ABC =∠C =65°,∠A =180°-2×65°=50°.(第7题)(2)当高与另一腰的夹角为25°时,如图②,高在△ABC 的内部时,∵∠ABD =25°,∴∠A =90°-∠ABD =65°,∴∠C =∠ABC =(180°-∠A)÷2=57.5°;如图③,高在△ABC 的外部时,∵∠ABD =25°,∴∠BAD =90°-∠ABD =90°-25°=65°,∴∠BAC =180°-65°=115°,∴∠ABC =∠C =(180°-115°)÷2=32.5°,故三角形各内角的度数为:65°,65°,50°或65°,57.5°,57.5°或115°,32.5°,32.5°.点拨:由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”,因此必须进行分类讨论,另外,还要结合图形,分高在三角形内还是在三角形外.8.解:此题分两种情况:(1)如图①,AB边的垂直平分线与AC边交于点D,∠ADE=40°,则∠A=50°,∵AB=AC,∴∠B=(180°-50°)÷2=65°.(2)如图②,AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D,∠ADE=40°,则∠DAE=50°,∴∠BAC=130°.∵AB=AC,∴∠B=(180°-130°)÷2=25°.故∠B的大小为65°或25°.(第8题)9.解:∵BD为AC边上的中线,∴AD=CD.(1)当(AB+AD)-(BC+CD)=3 cm时,则AB-BC=3 cm,∵BC=5 cm,∴AB=8 cm;(2)当(BC+CD)-(AB+AD)=3 cm时,则BC-AB=3 cm,∵BC=5 cm,∴AB=2 cm;但是当AB=2 cm时,三边长为2 cm,2 cm,5 cm,而2+2<5,不符合三角形三边关系,故舍去,故腰长为8 cm.10.B11.解:(1)当点D,E在点A的同侧,且都在BA的延长线上时,如图①,(第11题)∵BE=BC,∴∠BEC=(180°-∠ABC)÷2,∵AD=AC,∴∠ADC=(180°-∠DAC)÷2=∠BAC÷2,∵∠DCE=∠BEC-∠ADC,∴∠DCE=(180°-∠ABC)÷2-∠BAC÷2=(180°-∠ABC-∠BAC)÷2=∠ACB÷2=40°÷2=20°.(2)当点D,E在点A的同侧,且点D在D′的位置,点E在E′的位置时,如图②,与(1)类似地可以求得∠D′CE′=∠ACB÷2=20°.(3)当点D,E在点A的两侧,且点E在E′的位置时,如图③,∵BE′=BC,∴∠BE′C=(180°-∠CBE′)÷2=∠ABC÷2,∵AD=AC,∴∠ADC=(180°-∠DAC)÷2=∠BAC÷2,又∵∠DCE′=180°-(∠BE′C+∠ADC),∴∠DCE′=180°-(∠ABC+∠BAC)÷2=180°-(180°-∠ACB)÷2=90°+∠ACB÷2=90°+40°÷2=110°.(4)当点D,E在点A的两侧,且点D在D′的位置时,如图④,∵AD′=AC,∴∠AD′C=(180°-∠BAC)÷2,∵BE=BC,∴∠BEC=(180°-∠ABC)÷2,∴∠D′CE=180°-(∠D′EC+∠ED′C)=180°-(∠BEC+∠AD′C)=180°-[(180°-∠ABC)÷2+(180°-∠BAC)÷2]=(∠BAC+∠ABC)÷2=(180°-∠ACB)÷2=(180°-40°)÷2=70°.综上所述,∠DCE的度数为20°或110°或70°.专训四1.C 2.C 3.A 4.C5.证明:∵AM=2MB,AN=2NC,∴AM=23AB,AN=23AC.又∵AB=AC,∴AM=AN.∵AD平分∠BAC,∴∠MAD=∠NAD.又∵AD=AD,∴△AMD≌△AND(S.A.S.).∴DM=DN.6.D7.38.15 cm9.证明:∵AD∥BC,∴∠DBC=∠ADB.又∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD.10.C11.D12.D(第13题)13.解:∠1与∠2互补.理由:作CF ⊥AN 于F(如图),∵AC 平分∠MAN ,∴∠3=∠4,又∵CE ⊥AM ,CF ⊥AN ,∴CF =CE ,∠CFA =∠CEA =90°,∴Rt △ACF ≌Rt △ACE ,∴AF =AE.∵AE =12(AD +AB)=12(AF -DF +AE +BE)=AE +12(BE -DF),∴BE -DF =0,∴BE =DF ,又CE =CF ,∠CEB =∠CFD ,∴△DFC ≌△BEC(S .A .S .),∴∠5=∠2,∵∠1+∠5=180°,∴∠1+∠2=180°.即∠1与∠2互补.14.70°或40° 点拨:本题运用了分类讨论思想,将已知条件外角等于110°分为底角处的外角和顶角处的外角两种情况进行讨论,解题时要防止漏解.15.A 点拨:∵2a -3b +5+(2a +3b -13)2=0,∴⎩⎨⎧2a -3b +5=0,2a +3b -13=0,解得⎩⎨⎧a =2,b =3.当a 为底边长时,三角形的三边长为2,3,3,则周长为8;当b 为底边长时,三角形的三边长为2,2,3,则周长为7.综上所述,此等腰三角形的周长为7或8.16.解:设∠ABD 的度数为x.∵AD =DE =EB ,∴∠A =∠AED =2∠ABD =2x.∵BC =BD ,∴∠C =∠BDC =∠ABD +∠A =3x.∵AB =AC ,∴∠ABC =∠C =3x.∴∠A +∠C +∠ABC =8x =180°.∴x =22.5°.∴∠A =2x =45°.17.证明:如图,延长BE 交AC 于F.∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠BAE =∠FAE.(第17题)在△ABE 和△AFE 中,⎩⎨⎧∠BAE =∠FAE ,AE =AE ,∠AEB =∠AEF =90°,∴△ABE ≌△AFE(A .S .A .).∴∠ABF=∠AFB,BE=FE,AB=AF.∴BE=12BF.∠ABC=∠ABF+∠FBC=∠AFB+∠FBC=∠C+∠FBC+∠FBC=∠C+2∠FBC,又∵∠ABC=3∠C,∴3∠C=∠C+2∠FBC.∴∠C=∠FBC.∴BF=CF.∴BE=12CF.∵CF=AC-AF=AC-AB,∴BE=12(AC-AB).点拨:本题运用了转化思想,通过添加辅助线构造等腰三角形,然后利用等腰三角形的性质将AC与AB的差转化为AC与AF的差是解题的关键.。

(完整版)全等三角形证明经典50题(含答案)

(完整版)全等三角形证明经典50题(含答案)

证明:连接 BF 和 EF T BC=ED,CF=DF, / BCF= / EDF 三角形BCF 全等于三角形 EDF (边角边)1.已知:AB=4 , AC=2 , D 是BC 中点,AD 是整数,求 ADD • BF=EF, / CBF= / DEF 连接 BE 在三角形 BEF 中,BF=EF • / EBF= / BEF 。

: / ABC= / AED 。

二 / ABE= / AEB 。

• AB=AE 。

在三角形 ABF 和三角形 AEF 中AB=AE,BF=EF, / ABF= / ABE+ / EBF= / AEB+ / BEF= / AEF • 三角形 ABF 和三角形 AEF 全等。

•/ BAF= / EAF ( /仁/ 2)4.已知:/ 1 = / 2, CD=DE , EF//AB ,求证:EF=AC解:延长 AD 到E,使AD=DE •/ D 是BC 中点二BD=DC 在厶 ACD 和^ BDE 中 AD=DE / BDE= / ADCBD=DC /•△ ACD ◎△ BDE ••• AC=BE=2 •••在△ ABE 中 AB-BE V AE V AB+BE •/ AB=4 即 4-2 V 2AD V 4+21 V AD V 3 • AD=21 2.已知:D 是 AB 中点,/ ACB=90 °,求证:CD —AB 2A CG// EF ,可得,/• △ EFD ^A CGD•,/ EFD =Z 1过C 作CG // EF 交AD 的延长线于点GEFD = CGDDE = DC / FDE =Z GDC (对顶角) EF = CG / CGD =Z EFD 又,EF // AB / 1= / 2 •/ CGD =Z 2 • △ AGC 为等腰三角形, AC = CG 又 EF = CG 「. EF = AC 延长CD 与P ,使D 为CP 中点。

连接 AP,BP •/ DP=DC,DA=DB • ACBP 为平行四边形又/ ACB=90 •平行四边形 ACBP 为矩形 • AB=CP=1/2AB 3.已知:BC=DE ,/ B= / E ,Z C=Z D , F 是 CD 中点,求证:/ 1 = / 2 5.已知:AD 平分/ BAC , AC=AB+BD ,求证:/ B=2 / C证明:延长 AB 取点E ,使AE = AC ,连接DE •/ AD 平分/ BAC• / EAD =Z CAD•/ AE = AC , AD = AD • △ AED 也厶 ACD ( SAS )•••/ E = Z C•/ AC = AB+BD •AE = AB+BD•/ AE = AB+BE •BD = BE •••/ BDE =Z E •••/ ABC =Z E+ / BDE •••/ ABC = 2 / E •••/ ABC = 2 / C ••• AE = AF + FE = AD + BE12.如图,四边形ABCD中,AB 在AD上。

三角形全等证明题60题(有答案)

三角形全等证明题60题(有答案)

全等三角形证明题专项练习60题(有答案)1.已知如图,△ABC≌△ADE,∠B=30°,∠E=20°,∠BAE=105°,求∠BAC的度数.∠BAC=_________.2.已知:如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC.求证:△ABD≌△CDB.3.如图,点E在△ABC外部,点D在边BC上,DE交AC于F.若∠1=∠2=∠3,AC=AE,请说明△ABC≌△ADE 的道理.4.如图,△ABC的两条高AD,BE相交于H,且AD=BD.试说明下列结论成立的理由.(1)∠DBH=∠DAC;(2)△BDH≌△ADC.5.如图,在△ABC中,D是BC边的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,且DE=DF,则AB=AC,并说明理由.6.如图,AE是∠BAC的平分线,AB=AC,D是AE反向延长线的一点,则△ABD与△ACD全等吗?为什么?7.如图所示,A、D、F、B在同一直线上,AF=BD,AE=BC,且AE∥BC.求证:△AEF≌△BCD.8.如图,已知AB=AC,AD=AE,BE与CD相交于O,△ABE与△ACD全等吗?说明你的理由.9.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,点E在AD上,找出图中全等的三角形,并说明它们为什么是全等的.10.如图所示,CD=CA,∠1=∠2,EC=BC,求证:△ABC≌△DEC.11.已知AC=FE,BC=DE,点A、D、B、F在一条直线上,要使△ABC≌△FDE,应增加什么条件?并根据你所增加的条件证明:△ABC≌△FDE.12.如图,已知AB=AC,BD=CE,请说明△ABE≌△ACD.13.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,将△ABC绕点C逆时针旋转角α(0°<α<90°)得到△A1B1C,连接BB1.设CB1交AB于D,A1B1分别交AB,AC于E,F,在图中不再添加其他任何线段的情况下,请你找出一对全等的三角形,并加以证明.(△ABC与△A1B1C1全等除外)14.如图,AB∥DE,AC∥DF,BE=CF.求证:△ABC≌△DEF.15.如图,AB=AC,AD=AE,AB,DC相交于点M,AC,BE相交于点N,∠DAB=∠EAC.求证:△ADM≌△AEN.16.将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内.从图1中抽象出一个几何图形(如图2),B、C、E三点在同一条直线上,连接DC.求证:△ABE≌△ACD.17.如图,已知△ABC是等边三角形,D、E分别在边BC、AC上,且CD=CE,连接DE并延长至点F,使EF=AE,连接AF、BE和CF.请在图中找出所有全等的三角形,用符号“≌"表示,并选择一对加以证明.18.如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,EC=AD.(1)求证:△ABD≌△EBC.(2)你可以从中得出哪些结论?请写出两个.19.等边△ABC边长为8,D为AB边上一动点,过点D作DE⊥BC于点E,过点E作EF⊥AC于点F.(1)若AD=2,求AF的长;(2)求当AD取何值时,DE=EF.20.巳知:如图,AB=AC,D、E分别是AB、AC上的点,AD=AE,BE与CD相交于G.(Ⅰ)问图中有多少对全等三角形?并将它们写出来.(Ⅱ)请你选出一对三角形,说明它们全等的理由(根椐所选三角形说理难易不同给分,即难的说对给分高,易的说对给分低)21.已知:如图,AB=DC,AC=BD,AC、BD相交于点E,过E点作EF∥BC,交CD于F,(1)根据给出的条件,可以直接证明哪两个三角形全等?并加以证明.(2)EF平分∠DEC吗?为什么?22.如图,己知∠1=∠2,∠ABC=∠DCB,那么△ABC与△DCB全等吗?为什么?23.如图,B,F,E,D在一条直线上,AB=CD,∠B=∠D,BF=DE.试证明:(1)△DFC≌△BEA;(2)△AFE≌△CEF.24.如图,AC=AE,∠BAF=∠BGD=∠EAC,图中是否存在与△ABE全等的三角形?并证明.25.如图,D是△ABC的边BC的中点,CE∥AB,E在AD的延长线上.试证明:△ABD≌△ECD.26.如图,已知AB=CD,∠B=∠C,AC和BD相交于点O,E是AD的中点,连接OE.(1)求证:△AOB≌△DOC;(2)求∠AEO的度数.27.如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=DC.(1)求证:△ABF≌△DEC;(2)请你找出图中还有的其他几对全等三角形.(只要直接写出结果,不要证明)28.如图:在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB两边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连接AD、AG.(1)求证:△ABD≌△GCA;(2)请你确定△ADG的形状,并证明你的结论.29.如图,点D、F、E分别在△ABC的三边上,∠1=∠2=∠3,DE=DF,请你说明△ADE≌△CFD的理由.30.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BE⊥AC于点E,点F在线段BE上,∠1=∠2,点D在线段EC上,给出两个条件:①DF∥BC;②BF=DF.请你从中选择一个作为条件,证明:△AFD≌△AFB.31.如图,在△ABC中,点D在AB上,点E在BC上,AB=BC,BD=BE,EA=DC,求证:△BEA≌△BDC.32.阅读并填空:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D.请说明△ADC≌△CEB的理由.解:∵BE⊥CE于点E(已知),∴∠E=90°_________,同理∠ADC=90°,∴∠E=∠ADC(等量代换).在△ADC中,∵∠1+∠2+∠ADC=180°_________,∴∠1+∠2=90°_________.∵∠ACB=90°(已知),∴∠3+∠2=90°,∴_________.在△ADC和△CEB中,.∴△ADC≌△CEB (A.A.S)33.已知:如图所示,AB∥DE,AB=DE,AF=DC.(1)写出图中你认为全等的三角形(不再添加辅助线);(2)选择你在(1)中写出的全等三角形中的任意一对进行证明.34.如图,点E在△ABC外部,点D在BC边上,DE交AC于点F,若∠1=∠2=∠3,AC=AE.试说明下列结论正确的理由:(1)∠C=∠E;(2)△ABC≌△ADE.35.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是斜边AB上的一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F.求证:△ACE≌△CBF.36.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE∥CA交AB于E,点P是线段AC上的一动点,连接PE.探究:当动点P运动到AC边上什么位置时,△APE≌△EDB?请你画出图形并证明△APE≌△EDB.37.已知:如图,AD∥BC,AD=BC,E为BC上一点,且AE=AB.求证:(1)∠DAE=∠B;(2)△ABC≌△EAD.38.如图,D为AB边上一点,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,CA=CB,CD=CE,图中有全等三角形吗?指出来并说明理由.39.如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:△ABD≌△ACE.40.如图,已知D是△ABC的边BC的中点,过D作两条互相垂直的射线,分别交AB于E,交AC于F,求证:BE+CF>EF.41.如图所示,在△MNP中,H是高MQ与NE的交点,且QN=QM,猜想PM与HN有什么关系?试说明理由.42.如图,在△ABC中,D是BC的中点,过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点,DE⊥GF,交AB于点E,连接EG.(1)求证:BG=CF;(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系,并证明你的结论.43.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,AD=2。

专题训练证明三角形全等的基本思路归纳

专题训练证明三角形全等的基本思路归纳
图 2-ZT-3
专题训练(二) 证明三角形全等的基本思路归纳
解: (1)证明:∵BD⊥DE,CE⊥DE,∴∠ADB=∠CEA=90°. 在 Rt△ABD 和 Rt△CAE 中,AABD==CCAE,, ∴Rt△ABD≌Rt△CAE,∴∠BAD=∠ACE. ∵∠CAE+∠ACE=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°, ∴∠BAC=180°-(∠BAD+∠CAE)=90°,∴AB⊥AC.
专题训练(二) 证明三角形全等的基本思路ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ纳
(2)AB⊥AC.证明如下: 同(1)可证得 Rt△ABD≌Rt△CAE, ∴∠DAB=∠ECA. ∵∠CAE+∠ECA=90°, ∴∠CAE+∠DAB=90°,即∠BAC=90°, ∴AB⊥AC.
专题训练(二) 证明三角形全等的基本思路归纳
类型之二 已知一边及其邻角对应相等
专题训练(二) 证明三角形全等的基本思路归纳
类型之四 已知两角对应相等
9.2017·常州节选如图 2-ZT-9,在四边形 ABCD 中,点 E 在 AD 上,∠BCE=∠ACD=90°,∠BAC=∠D,BC=CE.
求证:AC=CD.
图 2-ZT-9
专题训练(二) 证明三角形全等的基本思路归纳
证明: ∵∠BCE=∠ACD=90°,∴∠ACB+∠ACE=∠ACE+∠DCE,∴∠ACB =∠DCE.
∠A=∠B,
专题训练(二) 证明三角形全等的基本思路归纳
3.在△ABC 中,AB=AC,DE 是过点 A 的直线,BD⊥DE 于点 D,CE⊥DE 于点 E.
(1)若点 B,C 在 DE 的同侧(如图 2-ZT-3①所示)且 AD=CE, 求证:AB⊥AC.
(2)若点 B,C 在 DE 的两侧(如图②所示),其他条件不变, AB 与 AC 仍垂直吗?若是,请给出证明;若不是,请说明理由.

八年级数学竞赛专题训练17 等腰三角形的判定(附答案)

八年级数学竞赛专题训练17 等腰三角形的判定(附答案)

八年级数学竞赛专题训练17 等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后,我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结.1.等腰三角形的判定:⑴从定义入手,证明一个三角形的两条边相等; ⑵从角入手,证明一个三角形的两个角相等. 2.证明线段相等的方法:⑴当所证的两条线段位于两个三角形,通过全等三角形证明; ⑵当所证的两条线段位于同一个三角形,通过等角对等边证明; ⑶寻找某条线段,证明所证的两条线段都与它相等.善于发现、构造等腰三角形,进而利用等腰三角形的性质为解题服务,是解几何题的一个常用技巧.常见的构造方法有:平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线.如图所示:例题与求解【例1】如图,在△ABC 中,AB =7,AC =11,点M 是BC 的中点,AD 是∠BAC 的平分线,MF ∥AD ,则CF 的长为____________.(全国初中数学竞赛试题)解题思路:角平分线+平行线易构造等腰三角形,解题的关键是利用条件“中点M ”.【例2】如图,在△ABC 中,∠B =2∠C ,则AC 与2AB 之间的关系是( ) A .AC >2AB B .AC =2AB C .AC ≤2AB D .AC <2AB(山东省竞赛试题)解题思路:如何条件∠B =2∠C ,如何得到2AB ,这是解本题的关键.ABCABDM FC【例3】两个全等的含300,600角的三角板ADE 和三角板ABC ,如图所示放置,E 、A 、C 三点在一条直线上,连结BD ,取BD 中点M ,连结ME ,MC ,试判断△EMC 的形状,并说明理由.(山东省中考试题)解题思路:从△ADE ≌△BAC 出发,先确定△ADB 的形状,为判断△EMC 的形状奠定基础.【例4】如图,已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且BE =AC ,延长BE 交AC 于F ,求证:AF =EF .(天津市竞赛试题)解题思路:只需证明∠FAE =∠AEF ,利用中线倍长,构造全等三角形、等腰三角形.【例5】如图,在等腰△ABC 中,AB =AC ,∠A =200,在边AB 上取点D ,使AD =BC ,求∠BDC 度数.(“祖冲之杯”竞赛试题)解题思路:由条件知底角为300,这些角并不是特殊角,但它们的差却为600,600使我们联想到等边三角形,由此找到切入口.如图1,以BC 为边在△ABC 内作等边△BCO ;如图②,以AC 为边作等边△ACE .BCA D图2B CA D图1O BCMD EEABDCF BCAD能力训练A 级1.已知△ABC 为等腰三角形,由顶点A 所引BC 边的高线恰等于BC 边长的一半,则 ∠BAC =__________.2.如图,在Rt △ABC 中,∠C =900,∠ABC =660,△ABC 以点C 为中点旋转到△A ′B ′C 的位置,顶点B 在斜边A ′B ′上,A ′C 与AB 相交于D ,则∠BDC =_________.3.如图,△ABC 是边长为6的等边三角形,DE ⊥BC 于E ,EF ⊥AC 于F ,FD ⊥AB 于D ,则AD =_______.(天津市竞赛试题)4.如图,一个六边形的六个内角都是1200,其连续四边的长依次是1cm ,9cm ,9cm ,5cm ,那么这个六边形的周长是____________cm .(“祖冲之杯”邀请赛试题)5.如图,△ABC 中,AB =AC ,∠B =360,D 、E 是BC 上两点,使∠ADE =∠AED =2∠BAD ,则图中等腰三角形共有( )A .3个B .4个C .5个D .6个6.若△ABC 的三边长是a ,b ,c ,且满足44422a b c b c =+-,44422b ac a c =+-,44422c a b a b =+-,则△ABC ()A .钝角三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等边三角形(“希望杯”邀请赛试题)7.等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半,则其顶角等于( ) A .300 B .300或1500 C .1200或1500 D .300或1200或1500(“希望杯”邀请赛试题)8.如图,已知Rt △ABC 中,∠C =900,∠A =300,在直线BC 或AC 上取一点P ,使得△PAB 是等腰三角形,则符合条件的P 点有( )A .2个B .4个C .6个D .8个(江苏省竞赛试题)第5题图 第8题图 第9题图ACDB B ′A ′(第2题)AB CDEF (第3题)(第4题)9915BACBCABC ADFG E9.如图在等腰Rt △ABC 中,∠ACB =900,D 为BC 中点,DE ⊥AB ,垂足为E ,过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ,连接CF 交AD 于G .⑴ 求证:AD ⊥CF ;⑵ 连结AF ,度判断△ACF 的形状,并说明理由.10.如图,△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,∠B =2∠C ,求证:AB +BD =CD .(天津市竞赛试题)11.如图,已知△ABC 是等边三角形,E 是AC 延长线上一点,选择一点D ,使得△CDE 是等边三角形,如果M 是线段AD 的中点,N 是线段BE 的中点,求证:△CMN 是等边三角形.(江苏省竞赛试题)12.如图1,Rt △ABC 中,∠ACB =900,CD ⊥AB ,垂足为D ,AF 平分∠CAB ,交CD 于点E ,交CB 于点F .⑴ 求证:CE =CF ;⑵ 将图1中的△ADE 沿AB 向右平移到△A ′D ′E 的位置,使点E ′落在BC 边上,其他条件不变,如图2所示,试猜想:BE ′与CF 有怎样的数量关系?请证明你的结论.(山西省中考试题)B ACDA BDFE C图1A B DFE C图2A ′ E ′D ′ AENMBDB 级1.如图,△ABC 中,AD 平分∠BAC ,AB +BD =AC ,则∠B :∠C 的值=__________.2.如图,△ABC 的两边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ,若∠BAC +∠DAE =1500,则∠BAC 的度数是____________.3.在等边△ABC 所在平面内求一点P ,使△PAB 、△PBC 、△PAC 都是等腰三角形,具有这样性质的点P 有_________个.4.如图,在△ABC 中,∠ABC =600,∠ACB =450,AD 、CF 都是高,相交于P ,角平分线BE 分别交AD 、CF 于Q 、S ,则图中的等腰三角形的个数是( )A .2B .3C .4D .55.如图,在五边形ABCDE 中,∠A =∠B =1200,EA =AB =BC =12DC =12DE ,则∠D =( )A .300B .450C .600D .67.50(“希望杯”竞赛试题)6.如图,∠MAN =160,A 1点在AM 上,在AN 上取一点A 2,使A 2A 1=AA 1,再在AM 上取一点A 3,使A 3A 2=A 2A 1,如此一直作下去,到不能再作为止,那么作出的最后一点是( )A .A 5B .A 6C .A 7D .A 87.若P 为△ABC 所在平面内一点,且∠APB =∠BPC =∠CPA =1200,则点P 叫作△ABC 的费尔马点,如图1.⑴若点P 为锐角△ABC 的费尔马点,且∠ABC =600,PA =3,PC =4,则PB 的值为_____.⑵如图2,在锐角△ABC 外侧作等边△ACB ′,连结BB ′.求证:BB ′过△ABC 的费尔马点P ,且BB ′=PA +PB +PC .(湖州市中考试题)ABC D(第1题)(第2题)ABD E CABPACBB ′图1图2A BD CEF PQS (第4题)A B CED第5题AA 1NMA 2A 3(第6题)8.如图,△ABC 中,∠BAC =600,∠ACB =400,P 、Q 分别在BC 、AC 上,并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线,求证:BQ +AQ =AB +BP .(全国初中数学联赛试题)9.如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,M 是BC 的中点,过M 作ME ∥AD 交BA 延长线于E ,交AC 于F ,求证:BE =CF =12(AB +AC ). (重庆市竞赛试题)10.在等边△ABC 的边BC 上任取一点D ,作∠DAE =600,DE 交∠C 的外角平分线于E ,那么△ADE 是什么三角形?证明你的结论.(《学习报》公开赛试题)ABPQCABD MCFE11.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线l:12y x m=-+与x轴、y轴的正半轴分别相交于点A、B,过点C(-4,-4)作平行于y轴的直线交AB于点D,CD=10.⑴求直线l的解析式;⑵求证:△ABC是等腰直角三角形;⑶将直线l沿y轴负方向平移,当平移恰当的距离时,直线与x,y轴分别相交于点A′、B′,在直线CD上存在点P,使得△A′B′P是等腰直角三角形,请直接写出所有符合条件的点P的坐标.(宁波市江东区模拟题)12.如图1,在平面直角坐标系中,△AOB为等腰直角三角形,A(4,4).⑴求B点坐标;⑵如图2,若C为x轴正半轴上一动点,以AC为直角边作等腰直角△ACD,∠ACD=900,连接OD,求∠AOD度数;⑶如图3,过点A作y轴于E,F为x轴负半轴上一点,G在EF的延长线上,以EG为直角边作等腰Rt△EGH,过A作x轴垂线交EH于点M,连接FM,等式AM FMOF-=1是否成立?若成立,请证明;若不成立,说明理由.图1 图2 图3专题17 等腰三角形的判定例1 延长MF ,BA 交于E ,延长FM 至点P ,使MP =MF ,连BP ,则△BMP ≌△CMF ,∴BP =CF . ∵AD 平分∠BAC ,AD ∥FM ,∠BAD =∠DAC =∠MFC =∠AFE =∠E =∠P ,∴AE =AF ,BE =BP ,即AB +AE =AB +AF =AB +AC -CF =CF ,∴CF =12(AB +AC )= 12(7+11)=9.例2 D例3 提示:△EMC 为等腰直角三角形,连AM ,易证:△ADE ≌△BAC .∴AD =AB , 又∠DAB =90°.又∵M 为BD 中点,∴AM ⊥DB 且DM =BM =AM . 又∵∠MDE =∠MAC =105°,∴△EDM ≌△CAM . ∴EM =MC ,∠DME =∠AMC , ∴∠DME +∠EMA =∠AMC +∠EMA =90°. ∴△EMC 为等腰直角三角形.例4延长AD 至G ,使DG =AD ,连接BG . 由△ADC ≌△GDB ,得AC =BG ,AC ∥BG . ∵BE =AC ,∴BE =BG ,得∠BED =∠BGD , ∴∠F AE =∠BGD =∠BED =∠AEF , 故AF =EF .例5 提示:结合图1,给出解答过程.由图形的轴对称性知:△ABO ≌△ACO ,∴∠BAO =∠CAO =10°,∴∠ABO =∠ACO =20°,∴∠AOB =∠AOC =150°.又∵BO =BC =CO = AD ,∴△ACD ≌△CAO ,∴∠AOC =∠CDA =150°,故∠BDC =30°.A 级1.90°或75°或15°2.72°3.24.375.D6.D 提示:将三式相加7.D8.C9.⑴先证△ACD ≌△CBF ,∴∠CAD =∠BCF .又∵∠CAD +∠CDG =∠BCF +∠CDG =90°, ∴∠CGD =90°,∴AD ⊥CF . ⑵△ACF 为等腰三角形.10.提示:延长DB 至E ,使BE =AB ,连结AE ,证明∠E =∠C ,AC =AE . 11. 提示:证明△DCA ≌△ECB 、△DCM ≌△ECN ,∠NCM =60°. 12. ⑴提示:先证明∠CEF =∠CFE .⑵作EG ⊥AC 于G ,证明△CEG ≌△BE ´D ´,可得CE = BE ´,又CF =CE ,BE ´=CF .B 级1.2:12.110°3.104.D5.C 提示:在五边形内作等边三角形ABF ,则E 、F 、C 在一条直线上.6.B7. 提示:⑴ ⑵ 在BB ´上取点P ,使∠BPC =120°,再在PB ´上取点E 使PE =PC ,连结CE . 则由△PCE 为等边三角形,可得:PC =CE ,∠PCE =60°,∠CEB ´=120°∵△ACB ´为正三角形,∴可证:△ACP ≌△B ´CE . ∴∠APC =∠B ´EC =120°,P A =EB ´.ACGDEF∴∠APC =∠BPC =∠CP A =120°,∴P 为△ABC 的费马点. ∴BB ´过△ABC 的P ,且BB ´=EB ´+PB +PE =P A +PB +PC .8. 提示:延长AB 至M ,使BM =BP ,连结PM ,则AB +BP =AM ,可证明BQ =QC . ∴AQ +QB =AQ +QC =AC ,又由△AMP ≌△ACP 得AM =AC ,故AB +BP =AQ +BQ .9. 提示:延长FM 至P ,使PM =FM ,连结BP ,则△BMP ≌△CMF ,AE =AF ,BE =BP .10. 提示:当D 为BC 的端点,显见△AED 是等边三角形;当D 为BC 边的中点,取AC 的中点F ,连接DF ,易证△CDF 为等边三角形,又△ADF ≌△EDC ,故△ADE 为等边三角形.猜测:当D 为BC 上任意点时,△ADE 也为等边三角形. 11.(1)142y x =-+;(2)过点C 作CH ⊥y 轴于H ,证明△AOB ≌△BHC 即可;(3)符合条件的P 点共有5个,分别为()()()()84,12,4,,4,8,4,4,4,43⎛⎫-------- ⎪⎝⎭.12.提示:(1)B (8,0);(2)如图a ,过A 作AS ⊥OB 于S ,过D 作DT ⊥x 轴于T . ∵△OAB 为等腰直角三角形,∴OS =AS =BS ,再由△ASC ≌△CTD ,可得:AS =CT ,SC =TD . ∴CT =AS =OS ,∴OT =CS =TD . ∴∠TOD =45°,则∠AOD =90°;(3)等式成立,理由如下:如图b ,在AM 上截取AS =OF ,连ES ,可证△EAS ≌△EOF ,可得:ES =EF ,∠AES =∠OEF ∴∠SEF =∠AEO =90°,∴∠FEM =∠SEM =45°. 又∵EM =EM ,∴△EFM ≌△ESM ,∴FM =SM , ∴AM =AS +SM =OF +FM ,∴1AM FMOF-=.x图a图b。

全等三角形,等腰三角形中考培优训练题一

全等三角形,等腰三角形中考培优训练题一

图20-1图20-2三角形全等培优训练试题1、(威海)如图①,将一张矩形纸片对折,然后沿虚线剪切,得到两个(不等边)三角形纸片△ABC ,△A 1B 1C 1.﹙1﹚将△ABC ,△A 1B 1C 1如图②摆放,使点A 1与B 重合,点B 1在AC 边的延长线上,连接CC 1交BB 1于点E .求证:∠B 1C 1C =∠B 1BC .﹙2﹚若将△ABC ,△A 1B 1C 1如图③摆放,使点B 1与B 重合,点A 1在AC 边的延长线上,连接CC 1交A 1B 于点F .试判断∠A 1C 1C 与∠A 1BC 是否相等,并说明理由.13、如图,△ABC 中,∠C =90°,∠A =30°,AB 的垂 直平分线交AC 于D ,交AB 于E ,CD =2,则AC = .20、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如 图20-1所示放置,图2是由它抽象出的几何 图形,AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=90°,B C E ,,在同一条直线上,连结DC .AB (A 1)CB 1C 1图 ②EA 1C 1CB (B 1)图 ③FA 11C 1ABC(图①)(1)请找出图20-2中与ABE △全等的三角形,并给予证明(说明:结论中不得含 有未标识的字母); (2)证明:DC BE .4、(1)在图24-1中,已知∠MAN =120°,AC 平分∠MAN . ∠ABC =∠ADC =90°,则能得如下两个结论: ① DC = BC; ②AD+AB=AC.请你证明结论②;(2)在图24-2中,把(1)中的条件“∠ABC =∠ADC =90°” 改为∠ABC +∠ADC =180°,其他条件不变,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立, 请给出证明;若不成立,请说明理由.7、如图10,C 是线段AB 上的一点,ΔACD 和ΔBCE 都是等边三角形。

人教版八年级上册数学《全等三角形》证明题专项训练-最新

人教版八年级上册数学《全等三角形》证明题专项训练-最新

BA DC 人教版八年级上册数学《全等三角形》证明题专项训练·最新全等三角形证明习题(1)1.在△ABC 中,AB=AC ,AD 是三角形的中线.求证:△ABD ≌△ACD2. 如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE .求证:BE ∥CF .3.已知,如图BD 平分∠ABC ,AB = BC 。

求证:AD = CD4.如图(1):AD ⊥BC ,垂足为D ,BD=CD 。

求证:AB=AC 。

CBABDC E A5. 如图,点E, F 在BC 上,BE=CF, AB=DC, ∠B=∠C. 求证: ∠A=∠D6. 如图,AB=AD, BC=DE, ∠B=∠D . 问∠BAE 与∠DAC 相等吗?为什么?7. 已知:如图,∠1=∠2,BD=CD,求证:AD 是∠BAC 的平分线.8.如图所示在△ABC 中,AB=AC , D 是BD 的中点,求证:△9.如图(2):AC ∥EF ,AC=EF ,AE=BD 。

求证:△ABC ≌△EDF 。

CO ED BA FC10.已知:如图 , AB=AE , AC=AD , BC=DE , C , D 在BE 边上. 求证:∠CAE=∠DAB .11.已知:点D 在AB 上,点E 在AC 上,BE 和CD 相交于点O ,AB=AC , ∠B=∠C 。

求证: △ABE ≌△ACD12.如图:AC=DF ,AD=BE ,BC=EF 。

求证:∠C=∠F 。

13.如图:AB=AC ,DB=DC ,F 是AD 的延长线上的一点。

求证:BF=CF 。

DBEA OC FEB DADA14.如图,CE ⊥AB 于E , DF ⊥AB 于F , AF=BE , 且AC=BD , 求证:AC ∥BD15.如图,已知AB=DE ,BC=EF ,AF=DC ,则∠EFD=∠BCA ,请说明理由。

16.如图(6):CG=CF ,BC=DC ,AB=ED ,点A 、B 、C 、D 、E 在同一直线上。

19 八年级上 《全等三角形》 证明题专项训练

19 八年级上  《全等三角形》  证明题专项训练

八年级上 全等三角形 证明题专项训练1. 已知:如图,AB =AC ,BD ⊥AC ,CE ⊥AB ,垂足分别为D 、E ,BD 、CE相交于点F ,求证:BE =CD .2. 如图,P 是∠BAC 内的一点,PE AB PF AC ⊥⊥,,垂足分别为点E F ,,AF AE =.求证:(1)PF PE =;(2)点P 在∠BAC 的角平分线上.3. 如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AC=2AB ,点D 是AC 的中点,将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合,连结BE 、EC .试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系,并证明你的猜想.4. 已知:如图,在△ABC 中,∠A =90°,AB =AC ,BD 平分∠ABC .求证:BC =AB +AD5.如图,∠B=∠D,请在不增加辅助线的情况下,添加一个适当的条件,使△ABC≌△ADE,并证明.(1)添加的条件是_______________;6.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;(2)若∠CAE=30°,求∠ACF的度数.7.如图,已知点E,C在线段BF上,BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F.求证:△ABC≌△DEF.8.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC面积是282cm,AB=20cm,AC=8cm,求DE的长.9.如图,C、B、E三点在一直线上,AC⊥CB,DE⊥BE,∠ABD=90°,AB=BD,试证明AC+DE=CE.10.在ABCBD⊥AB=,AE是过点A的一条直线,且AEBAC,AC∆中,︒∠90=于D,AECE⊥于E.⑴当直线AE处于如图1的位置时,猜想BD、DE、CE之间的数量关系,并证明.⑵请你在图2选择与⑴不同位置进行操作,并猜想⑴中的结论是否还成立?加以证明;⑶归纳⑴、⑵,请你用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的数量关系.11.已知:如图,∠ABC=∠DCB,BD 、CA 分别是∠ABC、∠DCB 的平分线.求证:AB=DC .12.已知:如图,E ,F 在AC 上,AD//CB 且AD=CB ,∠D=∠B.求证:AE=CF .13.如图,已知ABC ADE Rt △≌Rt △,90ABC ADE ∠=∠=°,BC 与DE 相交于点F ,连接CD ,EB .(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举.(2)求证:.CF EF =14.如图,OC 平分AOB ∠,OA CA ⊥于A ,OB CB ⊥于B ,连接AB 交OC 于D .求证:AB OD ⊥15.如图,已知:AB=DC,AC=DB,求证:(1)△BOC是等腰三角形,(2)∠1=∠216.如图,AB⊥BD于点B,ED⊥BD于点D,AE交BD于点C,且BC=DC.求证:AB=ED.17.如图,已知CA=CD,∠1=∠2.(1)请你添加一个条件,使得△ABC≌△DEC.你添加的条件是______________________;(2)添加条件后证明:△ABC≌△DEC.18.如图,点A、E、B、D在同一条直线上,AE=DB,AC=DF,AC∥DF.请探索BC与EF有怎样的位置关系?并说明理由.19.证明:⑴如图1,等腰直角AOB∆有公共顶点O,∆与等腰直角COD点C、O、B在同一条直线上,判断AC与BD的关系并加以证明.⑵如图2,等腰直角AOB∆有公共顶点O,点C、∆与等腰直角CODO、B不在同一条直线上.判断AC与BD的关系并加以证明.20.已知:如图,点C是线段AB的中点,CE=CD,∠ACD=∠BCE,求证:AE=BD.21.班同学上数学活动课,利用角尺平分一个角(如图).设计了如下方案:(Ⅰ)∠AOB是一个任意角,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.(Ⅱ)∠AOB是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.(1)方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行?若可行,请证明;若不可行,请说明理由.(2)在方案(Ⅰ)PM=PN的情况下,继续移动角尺,同时使PM ⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行?请说明理由.22.如图,ABCBAC,ACAB=,直线l经过A点,l=∠90Rt∆中,︒CF⊥.BE⊥,l 求证:EF+BE=CF23.如图,点D,E分别在AC,AB上.(1)已知,BD=CE,CD=BE,求证:AB=AC;(2)分别将“BD=CE”记为①,“CD=BE”记为②,“AB=AC”记为③.添加条件①、③,以②为结论构成命题1,添加条件②、③以①为结论构成命题2.命题1是命题2的____命题,命题2是_____________命题.(选择“真”或“假”填入空格).24.如图,在四边形ABCD 中,︒=∠=∠90B A ,EC 平分BCD ∠交AB 于E ,且DE 平分CDA ∠BE AE =,求证:BE AE =25.如图所示,AD 是BAC ∠的平分线,AB DE ⊥于E ,AC DF ⊥于F ,且CD BD =,那么BE 与CF 相等吗?为什么?26.已知:如图,点E ,C 在线段BF 上,AB =DE ,AB ∥DE ,BE =CF .求证:AC =DF.27.如图,点B、F、C、E在同一直线上,并且BF=CE,∠B=∠E.(1)请你只添加一个条件(不再加辅助线),使得△ABC≌△DEF.你添加的条件是:_______________.(2)添加了条件后,证明△ABC≌△DEF.28.已知:如图,在△ABC中,点D是BC上的一点,点E是AD上的一点,且EB=EC,∠ABE=∠ACE.求证:∠BAE=∠CAE29.如图,AC=AD,∠BAC=∠BAD,点E在AB上.(1)你能找出___对全等的三角形;(2)请写出一对全等三角形,并证明.30.已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90,CD AB于点D,点E在AC 上,CE=BC,过E点作AC的垂线,交CD的延长线于点F.求证:AB=FC31.如图,点F是CD的中点,且AF⊥CD,BC=ED,∠BCD=∠EDC.(1)求证:AB=AE;(2)连接BE,请指出BE与AF、BE与CD分别有怎样的关系?(只需写出结论,不必证明).32.如图,分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线,垂足分别为E、F.求证:BF=CE.33.已知:如图,在△ABC、△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C、D、E三点在同一直线上,连结BD.求证:(1)△BAD≌△CAE; (2)试猜想BD、CE有何特殊位置关系,并证明.34.如图所示,︒∠,判断AP是否C∠90B,P是BC中点,DP平分ADC==∠平分DAB∠,说明理由.35.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D。

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C
F
D
证明:连接 BF 和 EF ∵ BC=ED,CF=DF, ∠ BCF= ∠ EDF ∴ 三角形 BCF 全等于三角形 ∴ BF=EF, ∠ CBF= ∠ DEF 连接 BE 在三角形 BEF 中 ,BF=EF ∴ ∠ EBF= ∠ BEF 。 ∵ ∠ ABC= ∠ AED 。 ∴ ∠ ABE= ∠ AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形 ABF 和三角形 AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ ABF= ∠ ABE+ ∠ EBF= ∠ AEB+ ∠ BEF= ∠ AEF ∴ 三角形 ABF 和三角形 AEF 全等。 ∴ ∠ BAF= ∠ EAF ( ∠ 1= ∠ 2) 。 EDF( 边角边 )
10. 已知:∠ 1=∠ 2 , CD=DE , EF//AB ,求证: EF=AC A 12 F C D E B 过 C 作 CG∥ EF 交 AD 的延长线于点 CG∥ EF,可得,∠ EFD= CGD DE= DC ∠ FDE=∠ GDC(对顶角) ∴△ EFD≌△ CGD EF= CG G
B
D
C
解:延长 AD 到 E, 使 AD=DE ∵ D 是 BC 中点 ∴ BD=DC 在△ ACD 和 △ BDE 中 AD=DE ∠ BDE= ∠ ADC BD=DC ∴△ ACD ≌△ BDE ∴ AC=BE=2
∵在 △ ABE 中 AB-BE < AE < AB+BE ∵ AB=4 即 4-2 < 2AD < 4+2 1 < AD < 3 ∴ AD=2 8. 已知: D 是 AB 中点,∠ ACB=90 °,求证: CD
6.
已知: AC 平分∠ BAD , CE⊥ AB ,∠ B+ ∠ D=180 °,求证: AE=AD+BE
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全等三角形、等腰三角形
1、已知:如图,AD =AE ,AB =AC ,∠DAE =∠BAC .,求证:BD =CE .
2、已知:如图,△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,E 是AD 上一点, BE 的延长线交AC 于F ,若BD=AD ,DE=DC 。

求证:BF ⊥AC 。

4、如图:AE=BD ,AB=DE ,求证:∠A=∠D
5、在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC ,直线MN 经过点C ,且AD ⊥MN 于D ,BE ⊥MN 于E .试问DE ,AD ,BE 具有怎样的等量关系?并加以证明.
6、已知:如图,点C 在线段AB 上,以AC 和BC 为边在AB 的同侧作等边三角形
△ACM 和△BCN ,连结AN 、BM ,分别交CM 、CN 于点P 、Q .求证:CP=CQ .
7、已知:如图,AB//DE ,AE//BD ,AF=DC ,EF=BC 。

求证:∠C=∠F 。

A B C D E F A B
C D E F
9、如图,△ABC 中,AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB ,求∠A 的度数。

10、如图,在Rt △ABC 中,在斜边AB 上截取AE=AC ,BD=BC ,求∠DCE 的度数。

11、在△ABC 中,∠A =90°,AB=AC ,D 为BC 的中点.
(1)如图1,E ,F 分别是AB ,AC 上的点,且BE=AF ,求证:△DEF 为等腰直角三角形;(2)如图2,若E ,F 分别是AB ,CA 延长线上的点,仍有BE=AF ,其他条件不变,•那么△DEF 是否仍为等腰直角三角形?证明你的结论.
12、如图,△ABC 中,D 是BC 的中点,过D 点的直线GF 交AC 于F ,交AC 的平行线BG 于G 点,DE⊥DF,交AB 于点E ,连结EG 、EF.(1)求证:BG =CF.
(2)请你判断BE+CF 与EF 的大小关系,并说明理由.
13、如图,已知∠BAC=90º,AD ⊥BC, ∠1=∠2,EF ⊥BC, FM ⊥AC,求证:FM=FD 。

图1 图2 F E
D C B A G C B
14、如图所示,已知AE ⊥AB ,AF ⊥AC ,AE=AB ,AF=AC.
求证:(1)EC=BF ;(2)EC ⊥BF.
15、四边形ABCD 中,AD ∥BC ,若∠DAB 的平分线AE 交CD 于E ,连接BE ,且BE 恰好平分∠ABC ,请判断AB 、AD 、BC 有何关系并说明理由。

16、已知,如图,AC ⊥BC ,AD ⊥BD ,C 、D 为垂足,且AC =
O
, 求证:⑴BC =BD ⑵AB ⊥CD
17、已知:如图,DE // AB ,AG=GB ,∠1=∠2,点D 、E 、G 分别在AC 、BC 、AB 上。

求证: DEG 是等腰三角形。

18、已知,如图,D 是△ABC 的内角∠ABC 与外角∠ACM 的平分线BD 与CD 的交点,过D 作DE//BC ,交AB 于E ,交AC 于F 。

试确定EF 、EB 、FC 的关系。

19、如图所示,在直角梯形ABCD 中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB =BC ,E 是AB 的中点,CE⊥BD.
(1)求证:BE =AD ;
(2)求证:AC 是线段ED 的垂直平分线;
(3)△DBC 是等腰三角形吗?并说明理由.
N。

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