一个整数的约数个数与约数和的计算方法

一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．

1.数360的约数有多少个这些约数的和是多少

【分析与解】360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；

360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～

1)．

因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．

我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；

我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；

最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．

于是,我们计算出值:13×15×6=1170．

所以,360所有约数的和为1170．

评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：

I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后

所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)

Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如：21000=23×3×53×7,所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=74880．

2.一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少

【分析与解】设这个数为A,有A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A的约数,而96=25×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数．

3.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．

【分析与解】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)

如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数

18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．

即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．

4.今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆

【分析与解】显然堆数是42的约数,是112的约数,是70的约数.即为42,112,70的公约数,有(42,112,70)=14．

所以,最多可以分成14堆．

5.加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人

【分析与解】为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人,有6A=10B=15C=k,那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即[6,10,15]=30．

所以A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人．

6.有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚

【分析与解】设在x分钟后3人再次相聚,甲走了120x米,乙走了lOOx米,丙走了70x 米,他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．

即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x均是300的倍数,那么300就是20x,50x,30x的公约数．有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以x=30．

即在30分钟后,3人又可以相聚．

条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,3人都在旗杆的正东方向,

里圈跑道长15千米,中圈跑道长14千米,外圈跑道长38千米.甲每小时跑3

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千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米.问他们同时出发,几小时后,3人第一次同时回到出发点

【分析与解】 甲跑完一圈需11235235÷=小时,乙跑一圈需114416

÷=小时,丙跑一圈需335840÷=则他们同时回到出发点时都跑了整数圈,所以经历的时间为235,116,340

的倍数,即它们的公倍数．

而213,,351640⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]()2,1,335,16,4=661

==. 所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点.

评注:求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；

求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.

8.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少

【分析与解】 有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90=540，则乙数为540÷18=30．

,B 两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A 有12个约数，数B 有10个约数，那么A,B 两数的和等于多少

【分析与解】 方法一:由题意知A 可以写成3×52×a ，B 可以写成3×52×6,其中a 、b 为整数且只含质因子3、5.

即A:31+x ×52+y ,B=31+m×52+n ,其中x 、Y 、m 、n 均为自然数(可以为0)

由A 有12个约数,所以[(1+x)+1]×[ (2+y)+1]=(2+x)×(3+y)=12，

所以21,01x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩04x y =⎧⎨=⎩

或.对应A 为31+2×52=675,31+1×52+1=1125,或31+0×52+4=46875； 由B 有10个约数,所以[(1+m)+1]×[(2+n)+l]=(2+m)×(3+n):10,所以02

m n =⎧⎨=⎩.对应B 为