一个整数的约数个数与约数和的计算方法
约数个数计算公式(二)
约数个数计算公式(二)约数个数计算公式简介在数论中，约数是指一个整数能被另一个整数整除的数。
求一个数的约数个数是数论中常见的问题之一。
本文将介绍几种常见的约数个数计算公式，并给出相应的例子进行说明。
计算公式1：穷举法穷举法是最简单直观的一种计算约数个数的方法。
它通过遍历所有小于等于给定数的正整数，判断是否能整除给定数，从而计算出约数的个数。
公式约数个数 = 约数1 + 约数2 + … + 约数n其中，约数i是小于等于给定数的正整数，且能整除给定数。
示例以整数12为例，穷举法计算其约数个数的步骤如下：1. 1 可整除 12，约数个数加1。
2. 2 可整除 12，约数个数加1。
3. 3 不可整除 12，跳过。
4. 4 可整除 12，约数个数加1。
5. 5 不可整除 12，跳过。
6. 6 可整除 12，约数个数加1。
7.7 不可整除 12，跳过。
8.8 不可整除 12，跳过。
9.9 不可整除 12，跳过。
10.10 不可整除 12，跳过。
11.11 不可整除 12，跳过。
12.12 可整除 12，约数个数加1。
最终，约数个数为6。
计算公式2：因数分解法因数分解法是另一种常用的计算约数个数的方法。
它通过将给定数分解为质因数的乘积，再利用质因数的指数求约数个数。
公式设给定数n的质因数分解为：n = p1^a1 * p2^a2 * … * pk^ak其中，p1, p2, …, pk为质因数，a1, a2, …, ak为对应的指数。
约数个数= (a1 + 1) * (a2 + 1) * … * (ak + 1)以整数24为例，因数分解法计算其约数个数的步骤如下：1.将24分解为质因数的乘积：24 = 2^3 * 3^12.根据公式，约数个数 = (3 + 1) * (1 + 1) = 4 * 2 = 8最终，约数个数为8。
计算公式3：欧拉函数法欧拉函数是数论中的一个重要函数，表示小于等于给定数且与给定数互质的数的个数。
约数的个数及合的经典计算技巧
① 45 ② 120 ③ 360 ④ 520
将此数分解质因数，如20=2*2*5就是分解成2、5两个质数的乘积
20的约数就有1、2、2*2=4、2*5=10、5、20
约数和=（1+2+2*2）*（1+5）=42
21的约数和=（1+3）*（1*7）=28
2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
5. 能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
大家都知道，一个自然数（0除外）的约数的个数是有限的，1的约数只有1个，就是1；一个质数的约数只有两个，就是1和它本身；任何一个合数的约数至少有3个，那么，一个合数的约数的个数到底有多少个呢？
象小一点的合数，如12的约数，我们可以用配对列举的办法迅速写出它的约数有1，12，2，6，3，4，一共有6个。如果是大一些的数，列举就相当麻烦了。有没有巧妙一些的方法呢？回答是肯定的。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
数字的约数与公约数概念及计算方法
数字的约数与公约数概念及计算方法在数学中，约数和公约数是基础的概念，对于理解整数的性质和计算素数等问题至关重要。
本文将详细介绍数字的约数与公约数的概念，以及它们的计算方法。
一、约数的概念约数指的是能够整除一个数的数，也就是说，假设a和b是两个整数，如果b能够被a整除，则称b是a的约数。
例如，数字6的约数包括1、2、3和6。
对于任意一个正整数n，它的约数可以用数学表达式表示为n = a ×b，其中a和b是整数。
而对于负整数n来说，它的约数也包括负数。
例如，数字-6的约数包括-1、-2、-3、-6和它们的相反数。
二、公约数的概念公约数是两个或多个数的公共约数，也就是这些数同时能够整除的数。
如果a和b是两个整数，而c是同时能够整除a和b的数，则称c是a和b的公约数。
例如，数字12和20的公约数包括1、2、4。
对于任意一对正整数a和b，它们的公约数可以用数学表达式表示为a = n × c 和 b = m × c，其中n、m和c均为整数。
而对于负整数，公约数同样适用。
例如，数字-12和-20的公约数包括1、2、4和它们的相反数。
三、约数与公约数的计算方法1. 约数的计算方法要找出一个数的约数，可以逐个从1到该数进行整除运算，判断是否能够整除。
如果能够整除，则该数是约数之一。
例如，对于数字12，可以逐个尝试除以1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12，得到的结果为整数的即为约数。
2. 公约数的计算方法给定两个数a和b，可以先找出它们的约数集合，然后求出约数集合的交集，即可得到两个数的公约数。
例如，对于数字12和20，首先确定它们的约数集合为{1, 2, 3, 4, 6, 12}和{1, 2, 4, 5, 10, 20}，然后求出它们的交集为{1, 2, 4}，这些数即为12和20的公约数。
对于更多个数的公约数计算，可以依次求出每两个数的公约数，再求这些公约数与第三个数的公约数的公约数，直至计算完所有的数。
一个整数的约数个数与约数和的计算方法
一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．于是,我们计算出值:13×15×6=1170．所以,360所有约数的和为1170．评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如：21000=23×3×53×7,所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=74880．2.一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少?【分析与解】设这个数为A,有A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A 的约数,而96=25×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数．3.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【分析与解】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．4.今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆?【分析与解】显然堆数是42的约数,是112的约数,是70的约数.即为42,112,70的公约数,有(42,112,70)=14．所以,最多可以分成14堆．5.加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?【分析与解】为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人,有6A=10B=15C=k,那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即[6,10,15]=30．所以A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人．6.有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚?【分析与解】设在x分钟后3人再次相聚,甲走了120x米,乙走了lOOx米,丙走了70x 米,他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x均是300的倍数,那么300就是20x,50x,30x的公约数．有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以x=30．即在30分钟后,3人又可以相聚．7.3条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,3人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长15千米,中圈跑道长14千米,外圈跑道长38千米.甲每小时跑312千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米.问他们同时出发,几小时后,3人第一次同时回到出发点?【分析与解】 甲跑完一圈需11235235÷=小时,乙跑一圈需114416÷=小时,丙跑一圈需335840÷=则他们同时回到出发点时都跑了整数圈,所以经历的时间为235,116,340的倍数,即它们的公倍数．而213,,351640⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]()2,1,335,16,4=661==. 所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点.评注:求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.8.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？【分析与解】 有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90=540，则乙数为540÷18=30．9.A,B 两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A 有12个约数，数B 有10个约数，那么A,B 两数的和等于多少?【分析与解】 方法一:由题意知A 可以写成3×52×a ，B 可以写成3×52×6,其中a 、b为整数且只含质因子3、5.即A:31+x ×52+y ,B=31+m×52+n ,其中x 、Y 、m 、n 均为自然数(可以为0)由A 有12个约数,所以[(1+x)+1]×[ (2+y)+1]=(2+x )×(3+y)=12，所以21,01x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩04x y =⎧⎨=⎩或.对应A 为31+2×52=675,31+1×52+1=1125,或31+0×52+4=46875；由B有10个约数,所以[(1+m)+1]×[(2+n)+l]=(2+m)×(3+n):10,所以2mn=⎧⎨=⎩.对应B为31+0×52+2=1875．只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875．那么A,B两数的和为675+1875=2550．方法二:由题中条件知A、B中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么,先假设它出现了N次3,则约数有:(2+1)×(N+1)：3×(N+1)个12与10其中只有12是3的倍数,所以3(N+1)=12,易知N=3,这个数是A，即A=33×52=675．那么B的质数中出现了一次3,多于两次5,则出现了M次5,则有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10，M=4.B=3×54=1875．那么A,B两数的和为675+1875=2550．10.有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少?【分析与解】设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．它们的和为:a+b=(a,b)ql+(a,b)q2=(a,b)(q1+q2)=297………①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)qlq2+(a,b)=(a,b)(qlq2+1)=693，且(q1,q2)=1.………………………………………………………………②综合①、②知(a,b)是297,693的公约数,而(297，693)=99,所以(a,b)可以是99,33,1l,9,3,1．第一种情况:(a,b)=99,则(q1+q2)=3,(qlq2+1)=7,即qlq2=6=2×3,无满足条件的ql,q2；第二种情况:(a,b)=33,则(q1+q2)=9,(q1q2+1)=21,即q1q2=20=22×5,则ql=5,q2=4时满足,a=(a,b)q1=33×5=165,b=(a,b)q2=33×4=132,则a-b=165-132=33；第三种情况:(a,b)=11,则(q1+q2)=27,(q1q2+1)=63,即q q2=62=2×31,无满足条件的q1,q2；一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的q1q2．所以,这个两个自然数的差为33．11.两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60.问这样的自然数共有多少组?【分析与解】设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．它们的和为:a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(ql+q2)=60…………①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60，且(q1,q2)=1…………………………………………………………………②联立①、②有(ql+q2)=(q1q2+1),即ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以ql=1或q2=1． 即说明一个数是另一个数的倍数,不妨记a=kb(k 为非零整数)，有()[]60,60a b kb b a b b a b kb +=+=⎧⎪⎨+=+=+=⎪⎩a,b ,即()160k b +=确定，则k 确定，则kb 即a 确定60的约数有2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60这11个，b 可以等于2，3，4，5，6，10．12，15，20，30这10个数，除了60，因为如果6=60，则(k+1)=1，而k 为非零整数．对应的a 、b 有10组可能的值，即这样的自然数有10组．进一步，列出有(a,b)为(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10)，(48,12),(45,15),(40,20),(30,30)．评注:如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和，那么这两个数存在倍数关系．12.3个连续的自然数的最小公倍数是9828,那么这3个自然数的和等于多少?【分析与解】 若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数的乘积． 则当a,a+1,a+2中有2个偶数时,a(a+1)(a +2)=9828×2，当a,a+1,a+2中有1个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828．对9828分解质因数:9828=2×2×3×3×3×7×13,我们注意,13是其最大的质因数,验证不存在3个连续的自然数的积为9828．则这三个自然数的积只能是9828×2,此时这三个数中存在两个偶数,有9828×2=2×2×2×3×3×3×7×13．13×2=26,有26,27,28三个数的积为9828×2,所以这三个连续的自然数为26,27,28,其中有两个偶数,满足题意．所以,这三个数的和为26+27+28=81．评注:我们知道两个连续的自然数互质,而两个互质的数的公倍数等于它们的积,即[0,b]=a ×b．记这3个连续的自然数为a,a+1,a+2．有[a,a+1,a+2]=[a,a+1,a+1,a+2]=[[a,a+1],[a+1,a+2]]=[a ×(a+1)，(a +1)×(a+2)]=(a +1)×[a,a+2]．因为a,a+2同奇同偶，当a,a+2均是偶数时,a,a+2的最大公约数为2,则它们的最小公倍数为()22a a ⨯+；当a,a+2均是奇数时,a,a+2互质,则它们的最小公倍数为a ×(a+2)．所以(a+1)×[a,a+2]=()()()()21212a a a a a a a a ⨯+⎧+⨯⎪⎨⎪+⨯⨯+⎩为偶数为奇数. 即[a,a+1,a+2]为a(a+1)(a+2)或()()122a a a ++ 若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．13.甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?【分析与解】 对90分解质因数:90=2×3×3×5.因为5126,所以5甲,即甲中不含因数5,于是乙必含因数5．因为2105,所以2乙,即乙中不含因数2,于是甲必含2×2．因为9105,所以9乙,即乙最多含有一个因数3．第一种情况:当乙只含一个因数3时,乙=3×5=15,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18；第一种情况:当乙不含因数3时,乙=5,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18，综上所需,甲为18．评注:两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子,并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值．如a=2×33×52×7,b=23×32×5×7×11,则A 、B 的最小公倍数含有质因子2,3,5,7,11,并且它们的个数为a 、b 中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个,3个,2个,1个,1个,即[a,b]=23×33×52×7×11．14.a>b>c 是3个整数.a,b,c 的最大公约数是15；a,b 的最大公约数是75；a,b 的最小公倍数是450；b,c 的最小公倍数是1050.那么c 是多少?【分析与解】 由(a,b)=75=3×52,[a,b]=450=32×2×52=75×3×2,又a ﹥b 所以45075a b =⎧⎨=⎩或 225150a b =⎧⎨=⎩ [b,c]=1050=2×3×52×7.当45075ab=⎧⎨=⎩时有()()[][]450,75,75,15,75,1050c cb c c⎧==⎪⎨==⎪⎩，因为两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积,所以(75,c)×[75,c]=75×c=15×1050,得c=210,但是c>b,不满足；当225150ab=⎧⎨=⎩时有()()[][]225150,75,15,150,1050c cb c c⎧==⎪⎨==⎪⎩，,则c=105,c﹤b,满足,即225150105abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩为满足条件的为一解．那么c是105.15.有4个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?【分析与解】设这4个不同的自然数为A、B、C、D，有A+B+C+D=1111．将1111分解质因数:1111=11×101,显然A、B、C、D的最大公约数最大可能为101,记此时A=101a，B=101b,C=101c,D=101d,有a+b+c+d=11,当a+b+c+d=1+2+3+5时满足,即这4个数的公约数可以取到101．综上所述,这4个不同的自然数,它们的最大公约数最大能是101．评注:我们把此题稍做改动:“有5个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?”,大家不妨自己试试．。
1到n中所有整数的约数个数和数论
1到n中所有整数的约数个数和数论
数论中关于整数的约数个数的问题是一个经典的数论问题，也与著名的数论函数σ(n)（约数函数）相关。
σ(n)表示n的所有正约数之和，包括1和n本身。
首先，我们知道一个数n的约数是成对出现的，例如对于数m，如果它是n的约数，那么n/m也是n的约数。
但是当m等于n/m时，即m的平方等于n，那么m就是n的唯一的约数（平方数的约数个数为奇数个）。
因此，我们可以得出结论：当n不是完全平方数时，它的约数个数是偶数；当n是完全平方数时，它的约数个数是奇数。
现在，我们来具体分析一下1到n中所有整数的约数个数的和。
我们可以利用上面的结论，对1到n中每个数的约数个数进行分类讨论。
1. 对于非完全平方数m，它的约数个数是偶数，设为2k，则它的约数对中包括k对，每对的和为m，因此1到n中所有非完全平方数的约数个数和为2 * (1 + 2 + ... + k) = k * (k + 1)。
2. 对于完全平方数m，它的约数个数是奇数，设为2k + 1，则它的约数对中包括k对，每对的和为m，另外还有一个m的平方根没有配对，因此1到n中所有完全平方数的约数个数和为(k * (k + 1)) + m = k * (k + 1) + m。
通过以上分析，我们可以得出结论：1到n中所有整数的约数个数和为k * (k + 1) + m，其中k为非完全平方数的个数，m为完全平方数的个数。
因此，我们可以通过统计1到n中完全平方数的个数和非完全平方数的个数，然后套入上述公式，就可以计算出1到n中所有整数的约数个数的和。
一个整数的约数个数与约数和的计算方法
一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．1.数360的约数有多少个这些约数的和是多少【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．于是,我们计算出值:13×15×6=1170．所以,360所有约数的和为1170．评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如：21000=23×3×53×7,所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=74880．2.一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少【分析与解】设这个数为A,有A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A的约数,而96=25×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数．3.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【分析与解】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．4.今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆【分析与解】显然堆数是42的约数,是112的约数,是70的约数.即为42,112,70的公约数,有(42,112,70)=14．所以,最多可以分成14堆．5.加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人【分析与解】为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人,有6A=10B=15C=k,那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即[6,10,15]=30．所以A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人．6.有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚【分析与解】设在x分钟后3人再次相聚,甲走了120x米,乙走了lOOx米,丙走了70x米,他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x均是300的倍数,那么300就是20x,50x,30x的公约数．有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以x=30．即在30分钟后,3人又可以相聚．条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,3人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长15千米,中圈跑道长14千米,外圈跑道长38千米.甲每小时跑312千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米.问他们同时出发,几小时后,3人第一次同时回到出发点【分析与解】甲跑完一圈需11235235÷=小时,乙跑一圈需114416÷=小时,丙跑一圈需335840÷=则他们同时回到出发点时都跑了整数圈,所以经历的时间为235,116,340的倍数,即它们的公倍数．而213,,351640⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]()2,1,335,16,4=661==.所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点.评注:求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.8.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少【分析与解】有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90=540，则乙数为540÷18=30．,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数，数B有10个约数，那么A,B两数的和等于多少【分析与解】方法一:由题意知A可以写成3×52×a，B可以写成3×52×6,其中a、b为整数且只含质因子3、5.即A:31+x×52+y,B=31+m×52+n,其中x、Y、m、n均为自然数(可以为0)由A有12个约数,所以[(1+x)+1]×[ (2+y)+1]=(2+x)×(3+y)=12，所以21,01x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩04x y =⎧⎨=⎩或.对应A 为31+2×52=675,31+1×52+1=1125,或31+0×52+4=46875；由B 有10个约数,所以[(1+m)+1]×[(2+n)+l]=(2+m)×(3+n):10,所以02m n =⎧⎨=⎩.对应B 为31+0×52+2=1875．只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875． 那么A,B 两数的和为675+1875=2550． 方法二:由题中条件知A 、B 中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么,先假设它出现了N 次3,则约数有:(2+1)×(N+1)：3×(N+1)个12与10其中只有12是3的倍数,所以3(N+1)=12,易知N=3,这个数是A ，即A=33×52=675．那么B 的质数中出现了一次3,多于两次5,则出现了M 次5,则有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10，M==3×54=1875．那么A,B 两数的和为675+1875=2550．10.有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少【分析与解】 设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2． 它们的和为:a+b=(a,b)ql+(a,b)q2=(a,b)(q1+q2)=297………① 它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)qlq2+(a,b)=(a,b)(qlq2+1)=693，且(q1,q2)=1.………………………………………………………………②综合①、②知(a,b)是297,693的公约数,而(297，693)=99,所以(a,b)可以是99,33,1l,9,3,1．第一种情况:(a,b)=99,则(q1+q2)=3,(qlq2+1)=7,即qlq2=6=2×3,无满足条件的ql,q2；第二种情况:(a,b)=33,则(q1+q2)=9,(q1q2+1)=21,即q1q2=20=22×5,则ql=5,q2=4时满足,a=(a,b)q 1=33×5=165,b=(a,b)q 2=33×4=132,则a-b=165-132=33；第三种情况:(a,b)=11,则(q1+q2)=27,(q1q2+1)=63,即q q2=62=2×31,无满足条件的q1,q2；一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的q1q2． 所以,这个两个自然数的差为33．11.两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60.问这样的自然数共有多少组【分析与解】 设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．它们的和为:a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(ql+q 2)=60…………① 它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60，且(q1,q2)=1…………………………………………………………………②联立①、②有(ql+q2)=(q1q2+1),即ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以ql=1或q2=1．即说明一个数是另一个数的倍数,不妨记a=kb(k 为非零整数)，有()[]60,60a b kb b a b b a b kb +=+=⎧⎪⎨+=+=+=⎪⎩a,b ,即()160k b +=确定，则k 确定，则kb即a 确定60的约数有2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60这11个，b 可以等于2，3，4，5，6，10．12，15，20，30这10个数，除了60，因为如果6=60，则(k+1)=1，而k 为非零整数．对应的a 、b 有10组可能的值，即这样的自然数有10组．进一步，列出有(a,b)为(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10)，(48,12),(45,15),(40,20),(30,30)．评注:如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和，那么这两个数存在倍数关系．个连续的自然数的最小公倍数是9828,那么这3个自然数的和等于多少【分析与解】 若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数的乘积． 则当a,a+1,a+2中有2个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828×2， 当a,a+1,a+2中有1个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828．对9828分解质因数:9828=2×2×3×3×3×7×13,我们注意,13是其最大的质因数,验证不存在3个连续的自然数的积为9828．则这三个自然数的积只能是9828×2,此时这三个数中存在两个偶数,有9828×2=2×2×2×3×3×3×7×13．13×2=26,有26,27,28三个数的积为9828×2,所以这三个连续的自然数为26,27,28,其中有两个偶数,满足题意．所以,这三个数的和为26+27+28=81．评注:我们知道两个连续的自然数互质,而两个互质的数的公倍数等于它们的积,即[0,b]=a ×b．记这3个连续的自然数为a,a+1,a+2． 有[a,a+1,a+2]=[a,a+1,a+1,a+2]=[[a,a+1],[a+1,a+2]]=[a ×(a+1)，(a +1)×(a+2)]=(a +1)×[a,a+2]．因为a,a+2同奇同偶，当a,a+2均是偶数时,a,a+2的最大公约数为2,则它们的最小公倍数为()22a a ⨯+；当a,a+2均是奇数时,a,a+2互质,则它们的最小公倍数为a ×(a+2)．所以(a+1)×[a,a+2]=()()()()21212a a a a a a a a ⨯+⎧+⨯⎪⎨⎪+⨯⨯+⎩为偶数为奇数. 即[a,a+1,a+2]为a(a+1)(a+2)或()()122a a a ++若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．13.甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少【分析与解】 对90分解质因数:90=2×3×3×5.因为5126,所以5甲,即甲中不含因数5,于是乙必含因数5． 因为2105,所以2乙,即乙中不含因数2,于是甲必含2×2． 因为9105,所以9乙,即乙最多含有一个因数3．第一种情况:当乙只含一个因数3时,乙=3×5=15,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18；第一种情况:当乙不含因数3时,乙=5,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18， 综上所需,甲为18．评注:两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子,并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值．如a=2×33×52×7,b=23×32×5×7×11,则A 、B 的最小公倍数含有质因子2,3,5,7,11,并且它们的个数为a 、b 中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个,3个,2个,1个,1个,即[a,b]=23×33×52×7×11．>b>c 是3个整数.a,b,c 的最大公约数是15；a,b 的最大公约数是75；a,b 的最小公倍数是450；b,c 的最小公倍数是1050.那么c 是多少【分析与解】 由(a,b)=75=3×52,[a,b]=450=32×2×52=75×3×2,又a ﹥b所以45075ab=⎧⎨=⎩或225150ab=⎧⎨=⎩[b,c]=1050=2×3×52×7.当45075ab=⎧⎨=⎩时有()()[][]450,75,75,15,75,1050c cb c c⎧==⎪⎨==⎪⎩，因为两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积,所以(75,c)×[75,c]=75×c=15×1050,得c=210,但是c>b,不满足；当225150ab=⎧⎨=⎩时有()()[][]225150,75,15,150,1050c cb c c⎧==⎪⎨==⎪⎩，,则c=105,c﹤b,满足,即225150105abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩为满足条件的为一解．那么c是105.15.有4个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少【分析与解】设这4个不同的自然数为A、B、C、D，有A+B+C+D=1111．将1111分解质因数:1111=11×101,显然A、B、C、D的最大公约数最大可能为101,记此时A=101a，B=101b,C=101c,D=101d,有a+b+c+d=11,当a+b+c+d=1+2+3+5时满足,即这4个数的公约数可以取到101．综上所述,这4个不同的自然数,它们的最大公约数最大能是101．评注:我们把此题稍做改动:“有5个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少”,大家不妨自己试试．。
初中数学《约数和倍数(二)》讲义及练习
约数个数定理与约数和定理1． 求任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。
如:1400严格分解质因数之后为32257⨯⨯，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。
(包括1和1400本身)约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。
难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。
2． 求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
如：33210002357=⨯⨯⨯，所以21000所有约数的和为2323(1222)(13)(1555)(17)74880++++++++=此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。
约数个数问题【例 1】 数160的约数个数是多少？它们的和是多少？它们的积呢?【解析】 对任意一个自然数，我们首先可以将它作因式分解，化成质数及其次数的乘积，以160为例，我们有5116025=⨯.要算它的约数的个数，我们可以这样来理解：约数的因数只可能是2,5.并且它们的次数不会超过原数的次数，从而约数的因数的2的次数可以为0，1,2,3,4,5；而5的次数也只可能是0或1.把它展开你就可以发现它就是我们要求的：情况1：不包含5的约数：1,2,22,32,42,52,情况2：包含5的约数:15⨯，25⨯，225⨯，325⨯，425⨯，525⨯.从而我们可以任意地从中选若干个2，5的次数，即：(15+)⨯(11+)12=.(个)所以它的约数的和：(2345122222+++++)⨯(15+)至于要算它们的约数的积，我们可以将它的约数配对：一个约数和它被原数除的数组成一对(如2和80是160的一对).这样，对于非平方数而言，我们得到整数对，并且它们的积就是原数本身；而对于平方数而言，仅仅是多了一个数(它的开方)，从而通过对它的约数的个数，可以求出它们的积.知识点拨第五讲约数与倍数（二）例题精讲对本题而言，我们有(1;160)，(2;80)，(4;40)，(5;32)，(8;20)，(10;16)共6对.从而它们的积为6160.【例 2】 求在1到100中，恰好有10个约数的所有自然数.【解析】 逆用约数个数定理：101100191=⨯=+⨯+()()或10251141=⨯=+⨯+()()，所以自然数N 只有两种分解可能，一种是4N p =一种是1412N p p =⨯,但第一种情况100以内这样的数不存在，第二种情况只有2p 等于2的可能，所以432N =⨯或452N =⨯因此满足条件的自然数只有48和80.【巩固】 在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？【解析】6只能表示为(51+)或(11+)(21+)，所以恰好有6个约数的数要么能表示成某个质数的5次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100以内符合前者的只有32，符合后者的数枚举如下：2222222222222222325272112132172192238323537311452532721⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯种种种种所以符合条件的自然数一共有1842116++++=种．【例 3】 一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？【解析】 最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数之和为9，由于9是奇数，所以这两个约数的奇偶性一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是2的倍数，即2是它的约数。
一个整数的约数个数和约数和的计算方法
【內容概困一个整数的约数个数与约数和的讣算方法，两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系，分数的最小公倍数•涉及一个整数的约数，以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题，其中质因数分解发挥着重要作用.f典型问题】第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛•决赛一试第2题1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少？【分析与解】360分解质因数:360二2X2X2X3X3X5二2'X3'X5：360的约数可以且只能是2a X3b X5c,(其中a, b, c均是整数，且a为0〜3, 6为0〜2, c 为0-1).因为a、b、c的取值是相互独立的，由讣数问题的乘法原理知，约数的个数为(3+1) X (2+1)X(1+1)二24.我们先只改动关于质因数3的约数，可以是1, 3, 3‘,它们的和为(1+3+3=),所以所有360约数的和为(1+3+3') X2y X5w：我们再来确定关于质因数2的约数，可以是1, 2, 23,21它们的和为(1+2+23+29),所以所有360 约数的和为(1+3+3：) X (1+2+2：+25)X5W；最后确泄关于质因数5的约数，可以是1, 5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+3') X (1+2+2=+28) X (1+5).于是，我们计算出｛&:13X15X6=U70.所以,360所有约数的和为1170.评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法•下而我们给出一般结论：I•一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如：1400严格分解质因数后为23X5:X7,所以它的约数有(3+1) X (2+1) X (1+1) =4X3X2=24 个.(包括1 和它自身)II.约数的和是在严格分解质因数后，将M的每个质因数最髙次幕的所有约数的和相乘所得到的积.如：21000二2'X3X5'X7,所以21000所有约数的和为(1+2+2=+23) X (1+3) X (1+5+55+53) X (1+7)=74880.匕T华罗庚金杯”少年数学邀请赛•决赛一试第6題豆克第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛•预赛C 卷第4题2.一个数是5个2, 3个3, 6个5,1个7的连乘积•这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中，最大的是多少？【分析与解】设这个数为扎有A=25X 33X 56X 7, 99=3X 3X 11, 98=2 X 7X 7, 97均不是A 的约数，而96=25X3为A的约数，所以96为其最大的两位数约数.臺三届“华罗庚金杯”少年教学邀请赛•决赛二试第1题3.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数.【分析与解】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数(次数) 加1后所得的乘积.如：1400严格分解质因数后为25X5:X7,所以它的约数有(3+1) X (2+1) X (1+1)二4X3X2二24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数，那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个•这样它们加1 后均是奇数，所得的乘枳才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数，反过来，有奇数个约数的数一定是完全平方数.由以上分析知，我们所求的为360〜630之间有多少个完全平方数？18 X 18=324,19 X19二361, 25 X 25=625, 26 X26=676,所以在360〜630 之间的完全平方数为19:, 20:, 211 22”, 23:, 24:, 25=.即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361, 400, 441, 484, 529, 576, 625.觀㈱级数:冲北京市第二届“迎春杯”数学竟賽•决赛第一題第2题4.今有语文课本42册,数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆，每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆？【分析与解】显然堆数是42的约数，是112的约数，是70的约数.即为42,112, 70的公约数，有(42,112, 70)=14.所以,最多可以分成14堆.觀越)级数:車；5.加工某种机器零件，要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件，第二道工序每名工人每小时可完成10个零件，第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人？【分析与解】为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等，设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人，有6A=10B=15C=k,那么k的最小值为6,10, 15的最小公倍数,即［6, 10, 15］二30.所以A二5, B二3, 02,则三道工序最少共需要5+3+2二10名工人.画级数：* * *6.有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚？【分析与解】设在x分钟后3人再次相聚，甲走了120x米，乙泄了100x米,丙走了70x米, 他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍.即120x-100x, 120x-70x, 100x-70x 均是300 的倍数，那么300 就是20x, 50x, 30x 的公约数.有(20x, 50x, 30x) : 300,而(20x, 50x, 30x)二x(20, 50, 30) =10x,所以x二30.即在30分钟后，3人又可以相聚.7. 3条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样 的方向跑步•开始时,3人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长丄千米，中圈跑道长丄千米，外圈 5 43 1 跑道长二千米.甲每小时跑3—千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米•问他们同时出发, 8 2几小时后,3人第一次同时回到出发点？【分析与解】 甲跑完一圈需= —小时，乙跑一圈需丄一4 =丄小时，丙跑一圈需 5 2 35 4 163 3 2 1 3 --5 = 一则他们同时回到出发点时都跑了整数圈，所以经历的时间为一，一，一的倍数，即 8 40 35 16 40它们的公倍数.所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点.评注：求一组分数的眾小公倍数，先将这些分数化为最简分数，将分子的最小公倍数作为 新分数的分子，将分母的灵大公约数作为新分数的分母，这样得到的新分数即为所求的置小 公倍数：求一组分数的最大公约数，先将这些分数化为最简分数，將分子的最大公约数作为新分 数的分子，将分母的灵小公倍数作为新分数的分母，这样得到的新分数即为所求的最大公约 数.&甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是1&那么乙数是多少？ ［分析与解］有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最 大公约数与最小公倍数的乘积为6X90二540,则乙数为540宁18二30.9. A, B 两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A 有12个约数，数B 有 10个约数，那么A,B 两数的和等于多少？【分析与解】方法一：由题意知A 可以写成3X5：Xa, B 可以写成3X5*6,英中a 、b 为 整数且只含质因子3、5.即A:3"x X5=B=3'+mX5=其中x 、Y 、m 、n 均为自然数（可以为0）由 A 有 12 个约数，所以[(l+x)+ll X [(2+y)+l]=(2+x) X (3+y)=12,3^X5^=46875：Hl = 0 由 B 有 10个约数，所以[(l+m)+l] X[(2+n)+l] = (2+m) X (3+n) : 10,所以< •对应 B n = 2而2,丄,235 16 40 [2,1,3] _6 (35,16,4) "T级数：卓x = l.y =1 或＜ [y = 4 对应 A 为 3也X 5匚675, 3^X5岀二1125,或为3^X5^=1875.只有(675,1875)=75,所以A二675, B二1875.那么A, B两数的和为675+1875=2550.方法二:由题中条件知A、B中有一个数质因数中岀现了两次5,多于一次3,那么，先假设它出现了N次3,则约数有：(2+1) X (N+1): 3X (N+1)个12与10其中只有12是3的倍数，所以3(N+1)=12,易知N二3,这个数是A,即A=3a X5=675.那么B的质数中岀现了一次3,多于两次5,则出现了M次5,则有：(1+1) X (M+l)=2(M+l)=10, M=4. B=3X5S=1875.那么A, B两数的和为675+1875=2550.10.有两个自然数，它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少？【分析与解】设这两数为a, b,记a二(a, b)ql, b二(a, b)q2.它们的和为:a+b= (a, b) ql+(a, b) q2= (a, b) (ql+q2) =297 ................ ①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a, b]+(a, b) = (a, b) qlq2+ (a, b) = (a, b) (qlq2+l)=693>且(ql,q2)二1. ...................................................................................................... ②综合①、②知Qb)是297, 693的公约数，而(297, 693)二99,所以Q,b)可以是99, 33,11,9, 3,1・第一种情况:(a, b)二99,则(ql+q2)=3, (qlq2+l)=7,即qlq2=6=2X3,无满足条件的ql, q2；第二种情况:(a, b)二33,则(ql+q2)=9, (qlq2+l)=21,即qlq2=20=23X5>则ql=5, q2=4 时满足，a= (a, b) ql=33 X 5=165, b= (a, b) q2=33 X 4=132,则a-b二165-132二33：第三种情况:(a, b)=ll,则(ql+q2)=27, (qlq2+l)=63,即qq2=62=2X31,无满足条件的ql, q2;一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的Q1Q2.所以，这个两个自然数的差为33・go壌数:*卓**11.两个不同自然数的和是60,它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60.问这样的自然数共有多少组？【分析与解】设这两数为a, b,记a= (a, b) ql, b= (a, b) q2.它们的和为:a+b= (a, b)ql+(a, b) q2= (a, b) (ql+q2) =60 ...................... ①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a, b] + (a, b) = (a, b)qlq2+ (a, b) = (a, b) (qlq2+l)=60,且(ql,q2)=l .............................................................................................................. ②联立①、②有(ql+q2) = (qlq2+l),即ql+q2-qlq2=l, (ql-1) (l-q2)=0,所以ql二1 或q2二1・即说明一个数是另一个数的倍数,不妨记a二kb(k为非零整数)，a+ b = kb + h = 60有J r . ，即(k + \)b = 60确泄，则k确定，则kb即3确定(a,b) + [a,b] = b + a=b + kb = ()O ' 760 的约数有 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 这 11 个，b 可以等于 2, 3, 4, 5, 6, 10. 12, 15, 20, 30这10个数，除了 60,因为如果6=60,则(k+l)=l,而k 为非零 整数.对应的a 、b 有10组可能的值，即这样的自然数有10组.进一步，列出有(a, b)为(58, 2), (57,3), (56,4), (55,5), (54,6), (50, 10), (48,12), (45,15), (40, 20), (30, 30).评注:如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和,那么这两个数 存在倍数关系.蹴國级数:車車I 塑芳全国/学数学奧林匹克•预赛A 卷第4题12. 3个连续的自然数的最小公倍数是982&那么这3个自然数的和等于多少？【分析与解】若三个连续的自然数中存在两个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数乘积 的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数的乘积.则当 a, a+1, a+2 中有 2 个偶数时,a(a+l) (a+2) =9828X2,当 a, a+1, a+2 中有 1 个偶数时,a(a+l) (a+2) =9828.对9828分解质因数:9828=2X2X3X3X3X7X13,我们注意，13是其最大的质因数，验 证不存在3个连续的自然数的积为9828.则这三个自然数的积只能是9828X2,此时这三个数中存在两个偶数，有 9828X2=2X2X2X3X3X3X7X13.13X2二26,有26,27, 28三个数的积为9828X2,所以这三个连续的自然数为26, 27, 2& 其中有两个偶数，满足题意.所以，这三个数的和为26+27+28二81.评注：我们知道两个连续的自然数互质，而两个互质的数的公倍数等于它们的积，即 [0, b]二aXb.记这3个连续的自然数为a, a+1, a+2.冇[a, a+1, a+2] = _a, a+1, a+1, a+2]二[[a, a+1], [a+1, a+2]]二[aX (a+1) , (a+1) X (a+2)] = (a+l) X [a, a+2].因为a, a+2同奇同偶，当a, a+2均是偶数时,a, a+2的最大公约数为2,则它们的最小公倍数为f 珂：一？)； 2 当a, a+2均是奇数时,a, a+2互质，则它们的最小公倍数为aX (a+2)・卄小呼1汹偶数 a +1) x a x (a + 2)a 为奇数 即［a, a+1, a+2］为 a (a+1) (a+2)或川"+ ")("-2)2若三个连续的自然数中存在两个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半：若 三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积.所以(a+1) X ［a, a+2J = <觀越)级数：車車車1995年全国小学数学奧林匹克•决賽B卷第4题13•甲、乙两数的最小公倍数是90,乙、丙两数的最小公倍数是105,甲、丙两数的最小公倍数是126,那么甲数是多少？【分析与解】对90分解质因数:90二2X3X3X5.因为5r 126,所以5片甲，即甲中不含因数5,于是乙必含因数5.因为2丫105,所以2/乙，即乙中不含因数2,于是甲必含2X2.因为9丫105,所以9r乙，即乙最多含有一个因数3.第一种情况:当乙只含一个因数3时，乙=3X5=15,由［甲，乙］=90=2X3s X5,则甲二2X35=18：第一种情况| ：当乙不含因数3时,乙二5,由［甲，乙］二90二2X3* 5,则甲二2X3T8,综上所需，甲为18.评注:两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子，并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值.如a=2X33X53X7, b=23 X 33 X 5 X 7X 11,则A、B 的最小公倍数含有质因子2, 3, 5, 7,11> 并且它们的个数为a、b中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个,3个,2个,1 个，1 个，即［a,b］=2"X3d X52X7Xll.觀娥)级数：*車*14. a>b>c是3个整数.a, b, c的最大公约数是15； a, b的最大公约数是75：a, b的最小公倍数是450； b, c的最小公倍数是1050.那么c是多少？【分析与解】由(a, b) =75=3 X 52, ［a, b］ =450=32X 2 X 52=75X 3 X 2,又a > b 所以a = 450 r或［b = 75(a = 225 r n,［b, c］二1050二2X3X5-X7.b = 15O最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积,所以（75, c ） X [75, c]二75X （2=15X1050,得 c=210,但是c>b,不满足；条件的为一解. 那么c 是105.艇:级数:*拿車W 灼生舍国小学数学奥林匹克初赛•第18題 15.有4个不同的自然数，它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少？【分析与解】 设这4个不同的自然数为A 、B 、C 、D,有A+B+C+D 二1111.将1111分解质因数:1111二11X101,显然A 、B 、C 、D 的最大公约数最大可能为101,记此时A=101a> B=101b, C 二 101c, D=101d,有 a+b+c+d=ll,当 a+b+c+d=l+2+3+5 时满足，即这 4 个数的 公约数可以取到101.综上所述，这4个不同的自然数,它们的最大公约数最大能是101.评注:我们把此题稍做改动：“有5个不同的自然数，它们的和是1111,它们的最大公约数最 大能是多少？ 大家不妨自己试试.「“ = 450方=75 时有 (450,75,c) =(75,c) = 15 = [75,c] = 1050 因为两个数的最大公约数与a = 225b = 150时有< (225,150,c) = (75,c) = 15 [»c] = [150,c] = 1050(a = 225 ，则c=105, c < b,满足，即* = 150为满足 c = I05。
一个整数的约数个数和约数和的计算方法
一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．于是,我们计算出值:13×15×6=1170．所以,360所有约数的和为1170．评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如：21000=23×3×53×7,所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=74880．2.一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少?【分析与解】设这个数为A,有A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A 的约数,而96=25×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数．3.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【分析与解】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．4.今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆?【分析与解】显然堆数是42的约数,是112的约数,是70的约数.即为42,112,70的公约数,有(42,112,70)=14．所以,最多可以分成14堆．5.加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?【分析与解】为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人,有6A=10B=15C=k,那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即[6,10,15]=30．所以A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人．6.有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚?【分析与解】设在x分钟后3人再次相聚,甲走了120x米,乙走了lOOx米,丙走了70x米,他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x均是300的倍数,那么300就是20x,50x,30x的公约数．有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以x=30．即在30分钟后,3人又可以相聚．7.3条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,3人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长15千米,中圈跑道长14千米,外圈跑道长38千米.甲每小时跑312千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米.问他们同时出发,几小时后,3人第一次同时回到出发点?【分析与解】甲跑完一圈需11235235÷=小时,乙跑一圈需114416÷=小时,丙跑一圈需335840÷=则他们同时回到出发点时都跑了整数圈,所以经历的时间为235,116,340的倍数,即它们的公倍数．而213,,351640⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]()2,1,335,16,4=661==.所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点.评注:求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.8.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？【分析与解】有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90=540，则乙数为540÷18=30．9.A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数，数B有10个约数，那么A,B两数的和等于多少?【分析与解】方法一:由题意知A可以写成3×52×a，B可以写成3×52×6,其中a、b为整数且只含质因子3、5.即A:31+x×52+y,B=31+m×52+n,其中x、Y、m、n均为自然数(可以为0)由A有12个约数,所以[(1+x)+1]×[(2+y)+1]=(2+x)×(3+y)=12，所以21,01x xy y==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩4xy=⎧⎨=⎩或.对应A为31+2×52=675,31+1×52+1=1125,或31+0×52+4=46875；由B有10个约数,所以[(1+m)+1]×[(2+n)+l]=(2+m)×(3+n):10,所以2mn=⎧⎨=⎩.对应B为31+0×52+2=1875．只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875．那么A,B两数的和为675+1875=2550．方法二:由题中条件知A、B中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么,先假设它出现了N次3,则约数有:(2+1)×(N+1)：3×(N+1)个12与10其中只有12是3的倍数,所以3(N+1)=12,易知N=3,这个数是A，即A=33×52=675．那么B的质数中出现了一次3,多于两次5,则出现了M次5,则有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10，M=4.B=3×54=1875．那么A,B两数的和为675+1875=2550．10.有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少?【分析与解】设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．它们的和为:a+b=(a,b)ql+(a,b)q2=(a,b)(q1+q2)=297………①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)qlq2+(a,b)=(a,b)(qlq2+1)=693，且(q1,q2)=1.………………………………………………………………②综合①、②知(a,b)是297,693的公约数,而(297，693)=99,所以(a,b)可以是99,33,1l,9,3,1．第一种情况:(a,b)=99,则(q1+q2)=3,(qlq2+1)=7,即qlq2=6=2×3,无满足条件的ql,q2；第二种情况:(a,b)=33,则(q1+q2)=9,(q1q2+1)=21,即q1q2=20=22×5,则ql=5,q2=4时满足,a=(a,b)q1=33×5=165,b=(a,b)q2=33×4=132,则a-b=165-132=33；第三种情况:(a,b)=11,则(q1+q2)=27,(q1q2+1)=63,即q q2=62=2×31,无满足条件的q1,q2；一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的q1q2．所以,这个两个自然数的差为33．11.两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60.问这样的自然数共有多少组?【分析与解】设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．它们的和为:a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(ql+q2)=60…………①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60，且(q1,q2)=1…………………………………………………………………②联立①、②有(ql+q2)=(q1q2+1),即ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以ql=1或q2=1． 即说明一个数是另一个数的倍数,不妨记a=kb(k 为非零整数)，有()[]60,60a b kb b a b b a b kb +=+=⎧⎪⎨+=+=+=⎪⎩a,b ,即()160k b +=确定，则k 确定，则kb 即a 确定 60的约数有2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60这11个，b 可以等于2，3，4，5，6，10．12，15，20，30这10个数，除了60，因为如果6=60，则(k+1)=1，而k 为非零整数．对应的a 、b 有10组可能的值，即这样的自然数有10组．进一步，列出有(a,b)为(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10)，(48,12),(45,15),(40,20),(30,30)．评注:如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和，那么这两个数存在倍数关系．12.3个连续的自然数的最小公倍数是9828,那么这3个自然数的和等于多少?【分析与解】 若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数的乘积． 则当a,a+1,a+2中有2个偶数时,a(a+1)(a +2)=9828×2，当a,a+1,a+2中有1个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828．对9828分解质因数:9828=2×2×3×3×3×7×13,我们注意,13是其最大的质因数,验证不存在3个连续的自然数的积为9828．则这三个自然数的积只能是9828×2,此时这三个数中存在两个偶数,有9828×2=2×2×2×3×3×3×7×13．13×2=26,有26,27,28三个数的积为9828×2,所以这三个连续的自然数为26,27,28,其中有两个偶数,满足题意．所以,这三个数的和为26+27+28=81．评注:我们知道两个连续的自然数互质,而两个互质的数的公倍数等于它们的积,即[0,b]=a ×b．记这3个连续的自然数为a,a+1,a+2．有[a,a+1,a+2]=[a,a+1,a+1,a+2]=[[a,a+1],[a+1,a+2]]=[a ×(a+1)，(a +1)×(a+2)]=(a +1)×[a,a+2]．因为a,a+2同奇同偶，当a,a+2均是偶数时,a,a+2的最大公约数为2,则它们的最小公倍数为()22a a ⨯+； 当a,a+2均是奇数时,a,a+2互质,则它们的最小公倍数为a ×(a+2)．所以(a+1)×[a,a+2]=()()()()21212a aa aa a a a⨯+⎧+⨯⎪⎨⎪+⨯⨯+⎩为偶数为奇数.即[a,a+1,a+2]为a(a+1)(a+2)或()()122a a a++若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．13.甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?【分析与解】对90分解质因数:90=2×3×3×5.因为5126,所以5甲,即甲中不含因数5,于是乙必含因数5．因为2105,所以2乙,即乙中不含因数2,于是甲必含2×2．因为9105,所以9乙,即乙最多含有一个因数3．第一种情况:当乙只含一个因数3时,乙=3×5=15,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18；第一种情况:当乙不含因数3时,乙=5,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18，综上所需,甲为18．评注:两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子,并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值．如a=2×33×52×7,b=23×32×5×7×11,则A、B的最小公倍数含有质因子2,3,5,7,11,并且它们的个数为a、b中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个,3个,2个,1个,1个,即[a,b]=23×33×52×7×11．14.a>b>c是3个整数.a,b,c的最大公约数是15；a,b的最大公约数是75；a,b的最小公倍数是450；b,c的最小公倍数是1050.那么c是多少?【分析与解】由(a,b)=75=3×52,[a,b]=450=32×2×52=75×3×2,又a﹥b所以45075ab=⎧⎨=⎩或225150ab=⎧⎨=⎩[b,c]=1050=2×3×52×7.当45075ab=⎧⎨=⎩时有()()[][]450,75,75,15,75,1050c cb c c⎧==⎪⎨==⎪⎩，因为两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积,所以(75,c)×[75,c]=75×c=15×1050,得c=210,但是c>b,不满足；当225150ab=⎧⎨=⎩时有()()[][]225150,75,15,150,1050c cb c c⎧==⎪⎨==⎪⎩，,则c=105,c﹤b,满足,即225150105abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩为满足条件的为一解．那么c是105.15.有4个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?【分析与解】设这4个不同的自然数为A、B、C、D，有A+B+C+D=1111．将1111分解质因数:1111=11×101,显然A、B、C、D的最大公约数最大可能为101,记此时A=101a，B=101b,C=101c,D=101d,有a+b+c+d=11,当a+b+c+d=1+2+3+5时满足,即这4个数的公约数可以取到101．综上所述,这4个不同的自然数,它们的最大公约数最大能是101．评注:我们把此题稍做改动:“有5个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?”,大家不妨自己试试．。
五年级数学奥赛题二 (6)
一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．于是,我们计算出值:13×15×6=1170．所以,360所有约数的和为1170．评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如：21000=23×3×53×7,所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=74880．2.一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少?【分析与解】设这个数为A,有A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A 的约数,而96=25×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数．3.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【分析与解】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．4.今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆?【分析与解】显然堆数是42的约数,是112的约数,是70的约数.即为42,112,70的公约数,有(42,112,70)=14．所以,最多可以分成14堆．5.加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?【分析与解】为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人,有6A=10B=15C=k,那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即[6,10,15]=30．所以A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人．6.有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚?【分析与解】 设在x 分钟后3人再次相聚,甲走了120x 米,乙走了lOOx 米,丙走了70x 米,他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x 均是300的倍数,那么300就是20x,50x,30x 的公约数．有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以x=30． 即在30分钟后,3人又可以相聚．7.3条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,3人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长15千米,中圈跑道长14千米,外圈跑道长38千米.甲每小时跑312千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米.问他们同时出发,几小时后,3人第一次同时回到出发点? 【分析与解】 甲跑完一圈需11235235÷=小时,乙跑一圈需114416÷=小时,丙跑一圈需335840÷=则他们同时回到出发点时都跑了整数圈,所以经历的时间为235,116,340的倍数,即它们的公倍数．而213,,351640⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]()2,1,335,16,4=661==. 所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点.评注:求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.8.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？ 【分析与解】 有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90=540，则乙数为540÷18=30．9.A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数，数B有10个约数，那么A,B两数的和等于多少?【分析与解】方法一:由题意知A可以写成3×52×a，B可以写成3×52×6,其中a、b 为整数且只含质因子3、5.即A:31+x×52+y,B=31+m×52+n,其中x、Y、m、n均为自然数(可以为0)由A有12个约数,所以[(1+x)+1]×[ (2+y)+1]=(2+x)×(3+y)=12，所以21,01x xy y==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩4xy=⎧⎨=⎩或.对应A为31+2×52=675,31+1×52+1=1125,或31+0×52+4=46875；由B有10个约数,所以[(1+m)+1]×[(2+n)+l]=(2+m)×(3+n):10,所以2mn=⎧⎨=⎩.对应B为31+0×52+2=1875．只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875．那么A,B两数的和为675+1875=2550．方法二:由题中条件知A、B中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么,先假设它出现了N次3,则约数有:(2+1)×(N+1)：3×(N+1)个12与10其中只有12是3的倍数,所以3(N+1)=12,易知N=3,这个数是A，即A=33×52=675．那么B的质数中出现了一次3,多于两次5,则出现了M次5,则有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10，M=4.B=3×54=1875．那么A,B两数的和为675+1875=2550．10.有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少?【分析与解】设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．它们的和为:a+b=(a,b)ql+(a,b)q2=(a,b)(q1+q2)=297………①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)qlq2+(a,b)=(a,b)(qlq2+1)=693，且(q1,q2)=1.………………………………………………………………②综合①、②知(a,b)是297,693的公约数,而(297，693)=99,所以(a,b)可以是99,33,1l,9,3,1．第一种情况:(a,b)=99,则(q1+q2)=3,(qlq2+1)=7,即qlq2=6=2×3,无满足条件的ql,q2；第二种情况:(a,b)=33,则(q1+q2)=9,(q1q2+1)=21,即q1q2=20=22×5,则ql=5,q2=4时满足,a=(a,b)q1=33×5=165,b=(a,b)q2=33×4=132,则a-b=165-132=33；第三种情况:(a,b)=11,则(q1+q2)=27,(q1q2+1)=63,即q q2=62=2×31,无满足条件的q1,q2；一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的q1q2． 所以,这个两个自然数的差为33．11.两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60.问这样的自然数共有多少组?【分析与解】 设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．它们的和为:a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(ql+q 2)=60…………① 它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60，且(q1,q2)=1…………………………………………………………………②联立①、②有(ql+q2)=(q1q2+1),即ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以ql=1或q2=1． 即说明一个数是另一个数的倍数,不妨记a=kb(k 为非零整数)， 有()[]60,60a b kb b a b b a b kb +=+=⎧⎪⎨+=+=+=⎪⎩a,b ,即()160k b +=确定，则k 确定，则kb 即a确定。
一个整数的约数个数与约数和的计算方法
一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．于是,我们计算出值:13×15×6=1170．所以,360所有约数的和为1170．评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如：21000=23×3×53×7,所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=74880．2.一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少?【分析与解】设这个数为A,有A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A的约数,而96=25×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数．3.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【分析与解】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．4.今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆?【分析与解】显然堆数是42的约数,是112的约数,是70的约数.即为42,112,70的公约数,有(42,112,70)=14．所以,最多可以分成14堆．5.加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?【分析与解】为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人,有6A=10B=15C=k,那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即[6,10,15]=30．所以A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人．6.有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚?【分析与解】设在x分钟后3人再次相聚,甲走了120x米,乙走了lOOx米,丙走了70x米,他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x均是300的倍数,那么300就是20x,50x,30x的公约数．有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以x=30．即在30分钟后,3人又可以相聚．7.3条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,3人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长15千米,中圈跑道长14千米,外圈跑道长38千米.甲每小时跑312千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米.问他们同时出发,几小时后,3人第一次同时回到出发点?【分析与解】甲跑完一圈需11235235÷=小时,乙跑一圈需114416÷=小时,丙跑一圈需335840÷=则他们同时回到出发点时都跑了整数圈,所以经历的时间为235,116,340的倍数,即它们的公倍数．而213,,351640⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]()2,1,335,16,4=661==.所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点.评注:求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.8.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？【分析与解】有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90=540，则乙数为540÷18=30．9.A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数，数B有10个约数，那么A,B两数的和等于多少?【分析与解】方法一:由题意知A可以写成3×52×a，B可以写成3×52×6,其中a、b为整数且只含质因子3、5.即A:31+x×52+y,B=31+m×52+n,其中x、Y、m、n均为自然数(可以为0)由A有12个约数,所以[(1+x)+1]×[ (2+y)+1]=(2+x)×(3+y)=12，所以21,01x xy y==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩4xy=⎧⎨=⎩或.对应A为31+2×52=675,31+1×52+1=1125,或31+0×52+4=46875；由B 有10个约数,所以[(1+m)+1]×[(2+n)+l]=(2+m)×(3+n):10,所以02m n =⎧⎨=⎩.对应B 为31+0×52+2=1875．只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875． 那么A,B 两数的和为675+1875=2550． 方法二:由题中条件知A 、B 中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么,先假设它出现了N 次3,则约数有:(2+1)×(N+1)：3×(N+1)个12与10其中只有12是3的倍数,所以3(N+1)=12,易知N=3,这个数是A ，即A=33×52=675．那么B 的质数中出现了一次3,多于两次5,则出现了M 次5,则有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10，M=4.B=3×54=1875．那么A,B 两数的和为675+1875=2550．10.有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少?【分析与解】 设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2． 它们的和为:a+b=(a,b)ql+(a,b)q2=(a,b)(q1+q2)=297………① 它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)qlq2+(a,b)=(a,b)(qlq2+1)=693，且(q1,q2)=1.………………………………………………………………②综合①、②知(a,b)是297,693的公约数,而(297，693)=99,所以(a,b)可以是99,33,1l,9,3,1． 第一种情况:(a,b)=99,则(q1+q2)=3,(qlq2+1)=7,即qlq2=6=2×3,无满足条件的ql,q2； 第二种情况:(a,b)=33,则(q1+q2)=9,(q1q2+1)=21,即q1q2=20=22×5,则ql=5,q2=4时满足,a=(a,b)q 1=33×5=165,b=(a,b)q 2=33×4=132,则a-b=165-132=33；第三种情况:(a,b)=11,则(q1+q2)=27,(q1q2+1)=63,即q q2=62=2×31,无满足条件的q1,q2；一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的q1q2． 所以,这个两个自然数的差为33．11.两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60.问这样的自然数共有多少组?【分析与解】 设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．它们的和为:a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(ql+q 2)=60…………① 它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60，且(q1,q2)=1…………………………………………………………………②联立①、②有(ql+q2)=(q1q2+1),即ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以ql=1或q2=1． 即说明一个数是另一个数的倍数,不妨记a=kb(k 为非零整数)，有()[]60,60a b kb b a b b a b kb +=+=⎧⎪⎨+=+=+=⎪⎩a,b ,即()160k b +=确定，则k 确定，则kb 即a 确定60的约数有2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60这11个，b可以等于2，3，4，5，6，10．12，15，20，30这10个数，除了60，因为如果6=60，则(k+1)=1，而k为非零整数．对应的a、b有10组可能的值，即这样的自然数有10组．进一步，列出有(a,b)为(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10)，(48,12),(45,15),(40,20),(30,30)．评注:如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和，那么这两个数存在倍数关系．12.3个连续的自然数的最小公倍数是9828,那么这3个自然数的和等于多少?【分析与解】若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．则当a,a+1,a+2中有2个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828×2，当a,a+1,a+2中有1个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828．对9828分解质因数:9828=2×2×3×3×3×7×13,我们注意,13是其最大的质因数,验证不存在3个连续的自然数的积为9828．则这三个自然数的积只能是9828×2,此时这三个数中存在两个偶数,有9828×2=2×2×2×3×3×3×7×13．13×2=26,有26,27,28三个数的积为9828×2,所以这三个连续的自然数为26,27,28,其中有两个偶数,满足题意．所以,这三个数的和为26+27+28=81．评注:我们知道两个连续的自然数互质,而两个互质的数的公倍数等于它们的积,即[0,b]=a×b．记这3个连续的自然数为a,a+1,a+2．有[a,a+1,a+2]=[a,a+1,a+1,a+2]=[[a,a+1],[a+1,a+2]]=[a×(a+1)，(a+1)×(a+2)]=(a+1)×[a,a+2]．因为a,a+2同奇同偶，当a,a+2均是偶数时,a,a+2的最大公约数为2,则它们的最小公倍数为()22a a⨯+；当a,a+2均是奇数时,a,a+2互质,则它们的最小公倍数为a×(a+2)．所以(a+1)×[a,a+2]=()()()()21212a aa aa a a a⨯+⎧+⨯⎪⎨⎪+⨯⨯+⎩为偶数为奇数.即[a,a+1,a+2]为a(a+1)(a+2)或()()122a a a++若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．13.甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?【分析与解】 对90分解质因数:90=2×3×3×5.因为5126,所以5甲,即甲中不含因数5,于是乙必含因数5． 因为2105,所以2乙,即乙中不含因数2,于是甲必含2×2． 因为9105,所以9乙,即乙最多含有一个因数3．第一种情况:当乙只含一个因数3时,乙=3×5=15,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18； 第一种情况:当乙不含因数3时,乙=5,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18，综上所需,甲为18．评注:两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子,并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值．如a=2×33×52×7,b=23×32×5×7×11,则A 、B 的最小公倍数含有质因子2,3,5,7,11,并且它们的个数为a 、b 中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个,3个,2个,1个,1个,即[a,b]=23×33×52×7×11．14.a>b>c 是3个整数.a,b,c 的最大公约数是15；a,b 的最大公约数是75；a,b 的最小公倍数是450；b,c 的最小公倍数是1050.那么c 是多少?【分析与解】 由(a,b)=75=3×52,[a,b]=450=32×2×52=75×3×2,又a ﹥b 所以45075a b =⎧⎨=⎩或225150a b =⎧⎨=⎩ [b,c]=1050=2×3×52×7. 当 45075a b =⎧⎨=⎩ 时有 ()()[][]450,75,75,15,75,1050c c b c c ⎧==⎪⎨==⎪⎩，因为两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积,所以(75,c)×[75,c]=75×c=15×1050,得c=210,但是c>b,不满足；当225150a b =⎧⎨=⎩时有()()[][]225150,75,15,150,1050c c b c c ⎧==⎪⎨==⎪⎩，,则c=105,c ﹤b,满足,即225150105a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩为满足条件的为一解．那么c 是105.15.有4个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少? 【分析与解】 设这4个不同的自然数为A 、B 、C 、D ，有A+B+C+D=1111．将1111分解质因数:1111=11×101,显然A 、B 、C 、D 的最大公约数最大可能为101,记此时A=101a ，B=101b,C=101c,D=101d,有a+b+c+d=11,当a+b+c+d=1+2+3+5时满足,即这4个数的公约数可以取到101．综上所述,这4个不同的自然数,它们的最大公约数最大能是101．评注:我们把此题稍做改动:“有5个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?”,大家不妨自己试试．。
一个整数的约数个数和约数及的计算方法
一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．于是,我们计算出值:13×15×6=1170．所以,360所有约数的和为1170．评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如：21000=23×3×53×7,所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=74880．2.一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少?【分析与解】设这个数为A,有A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A 的约数,而96=25×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数．3.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【分析与解】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．4.今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆?【分析与解】显然堆数是42的约数,是112的约数,是70的约数.即为42,112,70的公约数,有(42,112,70)=14．所以,最多可以分成14堆．5.加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?【分析与解】为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人,有6A=10B=15C=k,那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即[6,10,15]=30．所以A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人．6.有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚?【分析与解】设在x分钟后3人再次相聚,甲走了120x米,乙走了lOOx米,丙走了70x 米,他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x均是300的倍数,那么300就是20x,50x,30x的公约数．有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以x=30．即在30分钟后,3人又可以相聚．7.3条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,3人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长15千米,中圈跑道长14千米,外圈跑道长38千米.甲每小时跑312千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米.问他们同时出发,几小时后,3人第一次同时回到出发点?【分析与解】 甲跑完一圈需11235235÷=小时,乙跑一圈需114416÷=小时,丙跑一圈需335840÷=则他们同时回到出发点时都跑了整数圈,所以经历的时间为235,116,340的倍数,即它们的公倍数．而213,,351640⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]()2,1,335,16,4=661==. 所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点.评注:求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.8.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？【分析与解】 有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90=540，则乙数为540÷18=30．9.A,B 两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A 有12个约数，数B 有10个约数，那么A,B 两数的和等于多少?【分析与解】 方法一:由题意知A 可以写成3×52×a ，B 可以写成3×52×6,其中a 、b为整数且只含质因子3、5.即A:31+x ×52+y ,B=31+m×52+n ,其中x 、Y 、m 、n 均为自然数(可以为0)由A 有12个约数,所以[(1+x)+1]×[ (2+y)+1]=(2+x )×(3+y)=12，所以21,01x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩04x y =⎧⎨=⎩或.对应A 为31+2×52=675,31+1×52+1=1125,或31+0×52+4=46875；由B有10个约数,所以[(1+m)+1]×[(2+n)+l]=(2+m)×(3+n):10,所以2mn=⎧⎨=⎩.对应B为31+0×52+2=1875．只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875．那么A,B两数的和为675+1875=2550．方法二:由题中条件知A、B中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么,先假设它出现了N次3,则约数有:(2+1)×(N+1)：3×(N+1)个12与10其中只有12是3的倍数,所以3(N+1)=12,易知N=3,这个数是A，即A=33×52=675．那么B的质数中出现了一次3,多于两次5,则出现了M次5,则有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10，M=4.B=3×54=1875．那么A,B两数的和为675+1875=2550．10.有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少?【分析与解】设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．它们的和为:a+b=(a,b)ql+(a,b)q2=(a,b)(q1+q2)=297………①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)qlq2+(a,b)=(a,b)(qlq2+1)=693，且(q1,q2)=1.………………………………………………………………②综合①、②知(a,b)是297,693的公约数,而(297，693)=99,所以(a,b)可以是99,33,1l,9,3,1．第一种情况:(a,b)=99,则(q1+q2)=3,(qlq2+1)=7,即qlq2=6=2×3,无满足条件的ql,q2；第二种情况:(a,b)=33,则(q1+q2)=9,(q1q2+1)=21,即q1q2=20=22×5,则ql=5,q2=4时满足,a=(a,b)q1=33×5=165,b=(a,b)q2=33×4=132,则a-b=165-132=33；第三种情况:(a,b)=11,则(q1+q2)=27,(q1q2+1)=63,即q q2=62=2×31,无满足条件的q1,q2；一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的q1q2．所以,这个两个自然数的差为33．11.两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60.问这样的自然数共有多少组?【分析与解】设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．它们的和为:a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(ql+q2)=60…………①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60，且(q1,q2)=1…………………………………………………………………②联立①、②有(ql+q2)=(q1q2+1),即ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以ql=1或q2=1． 即说明一个数是另一个数的倍数,不妨记a=kb(k 为非零整数)，有()[]60,60a b kb b a b b a b kb +=+=⎧⎪⎨+=+=+=⎪⎩a,b ,即()160k b +=确定，则k 确定，则kb 即a 确定60的约数有2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60这11个，b 可以等于2，3，4，5，6，10．12，15，20，30这10个数，除了60，因为如果6=60，则(k+1)=1，而k 为非零整数．对应的a 、b 有10组可能的值，即这样的自然数有10组．进一步，列出有(a,b)为(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10)，(48,12),(45,15),(40,20),(30,30)．评注:如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和，那么这两个数存在倍数关系．12.3个连续的自然数的最小公倍数是9828,那么这3个自然数的和等于多少?【分析与解】 若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数的乘积． 则当a,a+1,a+2中有2个偶数时,a(a+1)(a +2)=9828×2，当a,a+1,a+2中有1个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828．对9828分解质因数:9828=2×2×3×3×3×7×13,我们注意,13是其最大的质因数,验证不存在3个连续的自然数的积为9828．则这三个自然数的积只能是9828×2,此时这三个数中存在两个偶数,有9828×2=2×2×2×3×3×3×7×13．13×2=26,有26,27,28三个数的积为9828×2,所以这三个连续的自然数为26,27,28,其中有两个偶数,满足题意．所以,这三个数的和为26+27+28=81．评注:我们知道两个连续的自然数互质,而两个互质的数的公倍数等于它们的积,即[0,b]=a ×b．记这3个连续的自然数为a,a+1,a+2．有[a,a+1,a+2]=[a,a+1,a+1,a+2]=[[a,a+1],[a+1,a+2]]=[a ×(a+1)，(a +1)×(a+2)]=(a +1)×[a,a+2]．因为a,a+2同奇同偶，当a,a+2均是偶数时,a,a+2的最大公约数为2,则它们的最小公倍数为()22a a ⨯+；当a,a+2均是奇数时,a,a+2互质,则它们的最小公倍数为a ×(a+2)．所以(a+1)×[a,a+2]=()()()()21212a a a a a a a a ⨯+⎧+⨯⎪⎨⎪+⨯⨯+⎩为偶数为奇数. 即[a,a+1,a+2]为a(a+1)(a+2)或()()122a a a ++ 若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．13.甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?【分析与解】 对90分解质因数:90=2×3×3×5.因为5126,所以5甲,即甲中不含因数5,于是乙必含因数5．因为2105,所以2乙,即乙中不含因数2,于是甲必含2×2．因为9105,所以9乙,即乙最多含有一个因数3．第一种情况:当乙只含一个因数3时,乙=3×5=15,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18；第一种情况:当乙不含因数3时,乙=5,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18，综上所需,甲为18．评注:两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子,并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值．如a=2×33×52×7,b=23×32×5×7×11,则A 、B 的最小公倍数含有质因子2,3,5,7,11,并且它们的个数为a 、b 中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个,3个,2个,1个,1个,即[a,b]=23×33×52×7×11．14.a>b>c 是3个整数.a,b,c 的最大公约数是15；a,b 的最大公约数是75；a,b 的最小公倍数是450；b,c 的最小公倍数是1050.那么c 是多少?【分析与解】 由(a,b)=75=3×52,[a,b]=450=32×2×52=75×3×2,又a ﹥b 所以45075a b =⎧⎨=⎩或 225150a b =⎧⎨=⎩ [b,c]=1050=2×3×52×7.当45075ab=⎧⎨=⎩时有()()[][]450,75,75,15,75,1050c cb c c⎧==⎪⎨==⎪⎩，因为两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积,所以(75,c)×[75,c]=75×c=15×1050,得c=210,但是c>b,不满足；当225150ab=⎧⎨=⎩时有()()[][]225150,75,15,150,1050c cb c c⎧==⎪⎨==⎪⎩，,则c=105,c﹤b,满足,即225150105abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩为满足条件的为一解．那么c是105.15.有4个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?【分析与解】设这4个不同的自然数为A、B、C、D，有A+B+C+D=1111．将1111分解质因数:1111=11×101,显然A、B、C、D的最大公约数最大可能为101,记此时A=101a，B=101b,C=101c,D=101d,有a+b+c+d=11,当a+b+c+d=1+2+3+5时满足,即这4个数的公约数可以取到101．综上所述,这4个不同的自然数,它们的最大公约数最大能是101．评注:我们把此题稍做改动:“有5个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?”,大家不妨自己试试．。
奥数知识点约数个数与约数和定理
奥数知识点约数个数与约数和定理
奥数知识点约数个数与约数和定理
两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1。
那么这两个数分别是（）、（）。
考点：约数个数与约数和定理。
分析：先把2800分解质因数，找出属于完全平方数的约数的`个数，再进一步分析，找出符合题意的答案。
解答：解：任何一个正整数，其约数应该是成对出现的，这意味着，一般情况下，一个正整数应该有偶数个约数;但正整数是完全平方数时，就会有奇数个约数;
根据题意：“两个数的乘积等于2800，其中一个数的约数个数比另一个数的约数多1”，这表明：这两个数中有一个是完全平方数;
由于：2800=2×2×2×2×5×5×7，其属于完全平方数的约数有五个：22=4、42=16、52=25、102=100、202=200，
分别进行分析：2800=4×700，各有3个和16个约数，不符合题意，=7×400，各有2个和15个约数，不符合题意，
2008=16×175，各有5个和6个约数，符合题意，=25×112，各有3个和10个约数，不符合题意，=28×100，各有6个和9个约数，不符合题意。
故答案为：16，175。
点评：
解决此题关键是先将2800分解质因数，再逐步找出符合条件的数。
【奥数知识点约数个数与约数和定理】。
一个整数的约数个数与约数和的计算方法
一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?【分析与解】360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．于是,我们计算出值:13×15×6=1170．所以,360所有约数的和为1170．评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如：21000=23×3×53×7,所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=74880．2.一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少?【分析与解】设这个数为A,有A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A的约数,而96=25×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数．3.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【分析与解】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．4.今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆?【分析与解】显然堆数是42的约数,是112的约数,是70的约数.即为42,112,70的公约数,有(42,112,70)=14．所以,最多可以分成14堆．5.加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?【分析与解】为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人,有6A=10B=15C=k,那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即[6,10,15]=30．所以A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人．6.有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚?【分析与解】设在x分钟后3人再次相聚,甲走了120x米,乙走了lOOx米,丙走了70x 米,他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x均是300的倍数,那么300就是20x,50x,30x的公约数．有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以x=30．即在30分钟后,3人又可以相聚．7.3条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,3人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长15千米,中圈跑道长14千米,外圈跑道长38千米.甲每小时跑312千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米.问他们同时出发,几小时后,3人第一次同时回到出发点?【分析与解】 甲跑完一圈需11235235÷=小时,乙跑一圈需114416÷=小时,丙跑一圈需335840÷=则他们同时回到出发点时都跑了整数圈,所以经历的时间为235,116,340的倍数,即它们的公倍数．而213,,351640⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]()2,1,335,16,4=661==. 所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点.评注:求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.8.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？【分析与解】 有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90=540，则乙数为540÷18=30．9.A,B 两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A 有12个约数，数B 有10个约数，那么A,B 两数的和等于多少?【分析与解】 方法一:由题意知A 可以写成3×52×a ，B 可以写成3×52×6,其中a 、b 为整数且只含质因子3、5.即A:31+x ×52+y ,B=31+m×52+n ,其中x 、Y 、m 、n 均为自然数(可以为0)由A 有12个约数,所以[(1+x)+1]×[ (2+y)+1]=(2+x)×(3+y)=12，所以21,01x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩04x y =⎧⎨=⎩或.对应A 为31+2×52=675,31+1×52+1=1125,或31+0×52+4=46875；由B有10个约数,所以[(1+m)+1]×[(2+n)+l]=(2+m)×(3+n):10,所以2mn=⎧⎨=⎩.对应B为31+0×52+2=1875．只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875．那么A,B两数的和为675+1875=2550．方法二:由题中条件知A、B中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么,先假设它出现了N次3,则约数有:(2+1)×(N+1)：3×(N+1)个12与10其中只有12是3的倍数,所以3(N+1)=12,易知N=3,这个数是A，即A=33×52=675．那么B的质数中出现了一次3,多于两次5,则出现了M次5,则有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10，M=4.B=3×54=1875．那么A,B两数的和为675+1875=2550．10.有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少?【分析与解】设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．它们的和为:a+b=(a,b)ql+(a,b)q2=(a,b)(q1+q2)=297………①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)qlq2+(a,b)=(a,b)(qlq2+1)=693，且(q1,q2)=1.………………………………………………………………②综合①、②知(a,b)是297,693的公约数,而(297，693)=99,所以(a,b)可以是99,33,1l,9,3,1．第一种情况:(a,b)=99,则(q1+q2)=3,(qlq2+1)=7,即qlq2=6=2×3,无满足条件的ql,q2；第二种情况:(a,b)=33,则(q1+q2)=9,(q1q2+1)=21,即q1q2=20=22×5,则ql=5,q2=4时满足,a=(a,b)q1=33×5=165,b=(a,b)q2=33×4=132,则a-b=165-132=33；第三种情况:(a,b)=11,则(q1+q2)=27,(q1q2+1)=63,即qq2=62=2×31,无满足条件的q1,q2；一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的q1q2．所以,这个两个自然数的差为33．11.两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60.问这样的自然数共有多少组?【分析与解】设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．它们的和为:a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(ql+q2)=60…………①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60，且(q1,q2)=1…………………………………………………………………②联立①、②有(ql+q2)=(q1q2+1),即ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以ql=1或q2=1． 即说明一个数是另一个数的倍数,不妨记a=kb(k 为非零整数)，有()[]60,60a b kb b a b b a b kb +=+=⎧⎪⎨+=+=+=⎪⎩a,b ,即()160k b +=确定，则k 确定，则kb 即a 确定60的约数有2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60这11个，b 可以等于2，3，4，5，6，10．12，15，20，30这10个数，除了60，因为如果6=60，则(k+1)=1，而k 为非零整数．对应的a 、b 有10组可能的值，即这样的自然数有10组．进一步，列出有(a,b)为(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10)，(48,12),(45,15),(40,20), (30,30)．评注:如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和，那么这两个数存在倍数关系．12.3个连续的自然数的最小公倍数是9828,那么这3个自然数的和等于多少?【分析与解】 若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数的乘积． 则当a,a+1,a+2中有2个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828×2，当a,a+1,a+2中有1个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828．对9828分解质因数:9828=2×2×3×3×3×7×13,我们注意,13是其最大的质因数,验证不存在3个连续的自然数的积为9828．则这三个自然数的积只能是9828×2,此时这三个数中存在两个偶数,有9828×2=2×2×2×3×3×3×7×13．13×2=26,有26,27,28三个数的积为9828×2,所以这三个连续的自然数为26,27,28,其中有两个偶数,满足题意．所以,这三个数的和为26+27+28=81．评注:我们知道两个连续的自然数互质,而两个互质的数的公倍数等于它们的积,即[0,b]=a×b ．记这3个连续的自然数为a,a+1,a+2．有[a,a+1,a+2]=[a,a+1,a+1,a+2]=[[a,a+1],[a+1,a+2]]=[a×(a+1)，(a+1)×(a+2)]=(a+1)×[a,a+2]．因为a,a+2同奇同偶，当a,a+2均是偶数时,a,a+2的最大公约数为2,则它们的最小公倍数为()22a a ⨯+； 当a,a+2均是奇数时,a,a+2互质,则它们的最小公倍数为a ×(a+2)．所以(a+1)×[a,a+2]=()()()()21212a aa aa a a a⨯+⎧+⨯⎪⎨⎪+⨯⨯+⎩为偶数为奇数.即[a,a+1,a+2]为a(a+1)(a+2)或()()122a a a++若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．13.甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?【分析与解】对90分解质因数:90=2×3×3×5.因为5126,所以5甲,即甲中不含因数5,于是乙必含因数5．因为2105,所以2乙,即乙中不含因数2,于是甲必含2×2．因为9105,所以9乙,即乙最多含有一个因数3．第一种情况:当乙只含一个因数3时,乙=3×5=15,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18；第一种情况:当乙不含因数3时,乙=5,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18，综上所需,甲为18．评注:两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子,并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值．如a=2×33×52×7,b=23×32×5×7×11,则A、B的最小公倍数含有质因子2,3,5,7,11,并且它们的个数为a、b中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个,3个,2个,1个,1个,即[a,b]=23×33×52×7×11．14.a>b>c是3个整数.a,b,c的最大公约数是15；a,b的最大公约数是75；a,b的最小公倍数是450；b,c的最小公倍数是1050.那么c是多少?【分析与解】由(a,b)=75=3×52,[a,b]=450=32×2×52=75×3×2,又a﹥b所以45075ab=⎧⎨=⎩或225150ab=⎧⎨=⎩[b,c]=1050=2×3×52×7.当45075ab=⎧⎨=⎩时有()()[][]450,75,75,15,75,1050c cb c c⎧==⎪⎨==⎪⎩，因为两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积,所以(75,c)×[75,c]=75×c=15×1050,得c=210,但是c>b,不满足；当225150ab=⎧⎨=⎩时有()()[][]225150,75,15,150,1050c cb c c⎧==⎪⎨==⎪⎩，,则c=105,c﹤b,满足,即225150105abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩为满足条件的为一解．那么c是105.15.有4个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?【分析与解】设这4个不同的自然数为A、B、C、D，有A+B+C+D=1111．将1111分解质因数:1111=11×101,显然A、B、C、D的最大公约数最大可能为101,记此时A=101a，B=101b,C=101c,D=101d,有a+b+c+d=11,当a+b+c+d=1+2+3+5时满足,即这4个数的公约数可以取到101．综上所述,这4个不同的自然数,它们的最大公约数最大能是101．评注:我们把此题稍做改动:“有5个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?”,大家不妨自己试试．。
一个整数的约数个数与约数和的计算方法
一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．于是,我们计算出值:13×15×6=1170．所以,360所有约数的和为1170．评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如：21000=23×3×53×7,所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=74880．2.一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少?【分析与解】设这个数为A,有A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A的约数,而96=25×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数．3.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【分析与解】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．4.今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆?【分析与解】显然堆数是42的约数,是112的约数,是70的约数.即为42,112,70的公约数,有(42,112,70)=14．所以,最多可以分成14堆．5.加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?【分析与解】为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人,有6A=10B=15C=k,那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即[6,10,15]=30．所以A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人．6.有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚?【分析与解】设在x分钟后3人再次相聚,甲走了120x米,乙走了lOOx米,丙走了70x米,他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x均是300的倍数,那么300就是20x,50x,30x的公约数．有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以x=30．即在30分钟后,3人又可以相聚．7.3条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,3人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长15千米,中圈跑道长14千米,外圈跑道长38千米.甲每小时跑312千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米.问他们同时出发,几小时后,3人第一次同时回到出发点?【分析与解】甲跑完一圈需11235235÷=小时,乙跑一圈需114416÷=小时,丙跑一圈需335840÷=则他们同时回到出发点时都跑了整数圈,所以经历的时间为235,116,340的倍数,即它们的公倍数．而213,,351640⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]()2,1,335,16,4=661==.所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点.评注:求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.8.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？【分析与解】有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90=540，则乙数为540÷18=30．9.A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数，数B有10个约数，那么A,B两数的和等于多少?【分析与解】方法一:由题意知A可以写成3×52×a，B可以写成3×52×6,其中a、b为整数且只含质因子3、5.即A:31+x×52+y,B=31+m×52+n,其中x、Y、m、n均为自然数(可以为0)由A有12个约数,所以[(1+x)+1]×[ (2+y)+1]=(2+x)×(3+y)=12，所以21,01x xy y==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩4xy=⎧⎨=⎩或.对应A为31+2×52=675,31+1×52+1=1125,或31+0×52+4=46875；由B 有10个约数,所以[(1+m)+1]×[(2+n)+l]=(2+m)×(3+n):10,所以02m n =⎧⎨=⎩.对应B 为31+0×52+2=1875．只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875． 那么A,B 两数的和为675+1875=2550． 方法二:由题中条件知A 、B 中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么,先假设它出现了N 次3,则约数有:(2+1)×(N+1)：3×(N+1)个12与10其中只有12是3的倍数,所以3(N+1)=12,易知N=3,这个数是A ，即A=33×52=675．那么B 的质数中出现了一次3,多于两次5,则出现了M 次5,则有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10，M=4.B=3×54=1875．那么A,B 两数的和为675+1875=2550．10.有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少?【分析与解】 设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2． 它们的和为:a+b=(a,b)ql+(a,b)q2=(a,b)(q1+q2)=297………① 它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)qlq2+(a,b)=(a,b)(qlq2+1)=693，且(q1,q2)=1.………………………………………………………………②综合①、②知(a,b)是297,693的公约数,而(297，693)=99,所以(a,b)可以是99,33,1l,9,3,1． 第一种情况:(a,b)=99,则(q1+q2)=3,(qlq2+1)=7,即qlq2=6=2×3,无满足条件的ql,q2； 第二种情况:(a,b)=33,则(q1+q2)=9,(q1q2+1)=21,即q1q2=20=22×5,则ql=5,q2=4时满足,a=(a,b)q 1=33×5=165,b=(a,b)q 2=33×4=132,则a-b=165-132=33；第三种情况:(a,b)=11,则(q1+q2)=27,(q1q2+1)=63,即q q2=62=2×31,无满足条件的q1,q2；一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的q1q2． 所以,这个两个自然数的差为33．11.两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60.问这样的自然数共有多少组?【分析与解】 设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．它们的和为:a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(ql+q 2)=60…………① 它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60，且(q1,q2)=1…………………………………………………………………②联立①、②有(ql+q2)=(q1q2+1),即ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以ql=1或q2=1． 即说明一个数是另一个数的倍数,不妨记a=kb(k 为非零整数)，有()[]60,60a b kb b a b b a b kb +=+=⎧⎪⎨+=+=+=⎪⎩a,b ,即()160k b +=确定，则k 确定，则kb 即a 确定60的约数有2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60这11个，b可以等于2，3，4，5，6，10．12，15，20，30这10个数，除了60，因为如果6=60，则(k+1)=1，而k为非零整数．对应的a、b有10组可能的值，即这样的自然数有10组．进一步，列出有(a,b)为(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10)，(48,12),(45,15),(40,20),(30,30)．评注:如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和，那么这两个数存在倍数关系．12.3个连续的自然数的最小公倍数是9828,那么这3个自然数的和等于多少?【分析与解】若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．则当a,a+1,a+2中有2个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828×2，当a,a+1,a+2中有1个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828．对9828分解质因数:9828=2×2×3×3×3×7×13,我们注意,13是其最大的质因数,验证不存在3个连续的自然数的积为9828．则这三个自然数的积只能是9828×2,此时这三个数中存在两个偶数,有9828×2=2×2×2×3×3×3×7×13．13×2=26,有26,27,28三个数的积为9828×2,所以这三个连续的自然数为26,27,28,其中有两个偶数,满足题意．所以,这三个数的和为26+27+28=81．评注:我们知道两个连续的自然数互质,而两个互质的数的公倍数等于它们的积,即[0,b]=a×b．记这3个连续的自然数为a,a+1,a+2．有[a,a+1,a+2]=[a,a+1,a+1,a+2]=[[a,a+1],[a+1,a+2]]=[a×(a+1)，(a+1)×(a+2)]=(a+1)×[a,a+2]．因为a,a+2同奇同偶，当a,a+2均是偶数时,a,a+2的最大公约数为2,则它们的最小公倍数为()22a a⨯+；当a,a+2均是奇数时,a,a+2互质,则它们的最小公倍数为a×(a+2)．所以(a+1)×[a,a+2]=()()()()21212a aa aa a a a⨯+⎧+⨯⎪⎨⎪+⨯⨯+⎩为偶数为奇数.即[a,a+1,a+2]为a(a+1)(a+2)或()()122a a a++若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．13.甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?【分析与解】 对90分解质因数:90=2×3×3×5.因为5126,所以5甲,即甲中不含因数5,于是乙必含因数5． 因为2105,所以2乙,即乙中不含因数2,于是甲必含2×2． 因为9105,所以9乙,即乙最多含有一个因数3．第一种情况:当乙只含一个因数3时,乙=3×5=15,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18； 第一种情况:当乙不含因数3时,乙=5,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18，综上所需,甲为18．评注:两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子,并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值．如a=2×33×52×7,b=23×32×5×7×11,则A 、B 的最小公倍数含有质因子2,3,5,7,11,并且它们的个数为a 、b 中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个,3个,2个,1个,1个,即[a,b]=23×33×52×7×11．14.a>b>c 是3个整数.a,b,c 的最大公约数是15；a,b 的最大公约数是75；a,b 的最小公倍数是450；b,c 的最小公倍数是1050.那么c 是多少?【分析与解】 由(a,b)=75=3×52,[a,b]=450=32×2×52=75×3×2,又a ﹥b 所以45075a b =⎧⎨=⎩或225150a b =⎧⎨=⎩ [b,c]=1050=2×3×52×7. 当 45075a b =⎧⎨=⎩ 时有 ()()[][]450,75,75,15,75,1050c c b c c ⎧==⎪⎨==⎪⎩，因为两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积,所以(75,c)×[75,c]=75×c=15×1050,得c=210,但是c>b,不满足；当225150a b =⎧⎨=⎩时有()()[][]225150,75,15,150,1050c c b c c ⎧==⎪⎨==⎪⎩，,则c=105,c ﹤b,满足,即225150105a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩为满足条件的为一解．那么c 是105.15.有4个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少? 【分析与解】 设这4个不同的自然数为A 、B 、C 、D ，有A+B+C+D=1111．将1111分解质因数:1111=11×101,显然A 、B 、C 、D 的最大公约数最大可能为101,记此时A=101a ，B=101b,C=101c,D=101d,有a+b+c+d=11,当a+b+c+d=1+2+3+5时满足,即这4个数的公约数可以取到101．综上所述,这4个不同的自然数,它们的最大公约数最大能是101．评注:我们把此题稍做改动:“有5个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?”,大家不妨自己试试．。
约数个数计算公式(一)
约数个数计算公式(一)
约数个数计算公式
约数个数计算公式是用来计算一个正整数的约数个数的公式。
通过使用这个公式，我们可以方便地确定一个数的所有约数的个数，进
而进行相关计算。
概述
约数是指能够整除给定正整数的所有整数。
例如，对于整数10来说，它的约数为1、2、5和10，一共有4个约数。
那么约数个数计算
公式就是用来算出给定正整数的所有约数的个数的公式。
公式
给定正整数n，其约数个数计算公式如下：
约数个数 = (p1 + 1) * (p2 + 1) * ... * (pk + 1)
其中，p1、p2、…、pk是n的所有质因数。
举例说明
以正整数36为例，我们来使用约数个数计算公式计算其约数个数。
1.分解质因数：36 = 2^2 * 3^2
2.根据公式，计算约数个数：(2 + 1) * (2 + 1) = 3 * 3 = 9
因此，正整数36的约数个数为9个。
我们可以验证一下：36的
所有约数为1、2、3、4、6、9、12、18和36，共有9个。
其他应用
约数个数计算公式在数论和组合数学中有着广泛的应用。
它可以
用来求解整数的因子分解、找到所有满足某个条件的整数等等。
在计
算机编程中，这个公式也经常被用来解决相关问题，比如设计某种算
法或优化程序性能等。
总结
通过使用约数个数计算公式，我们可以方便地计算出给定正整数
的约数个数。
这个公式的应用范围广泛，不仅在数学领域有重要意义，也在计算机编程中有实际应用。
掌握了这个公式，我们能够更高效地
解决与约数个数相关的问题。
一个整数的约数个数与约数和的计算方法
一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．于是,我们计算出值:13×15×6=1170．所以,360所有约数的和为1170．评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如：21000=23×3×53×7,所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=74880．2.一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少?【分析与解】设这个数为A,有A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A的约数,而96=25×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数．3.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【分析与解】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．4.今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆?【分析与解】显然堆数是42的约数,是112的约数,是70的约数.即为42,112,70的公约数,有(42,112,70)=14．所以,最多可以分成14堆．5.加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?【分析与解】为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人,有6A=10B=15C=k,那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即[6,10,15]=30．所以A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人．6.有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚?【分析与解】设在x分钟后3人再次相聚,甲走了120x米,乙走了lOOx米,丙走了70x米,他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x均是300的倍数,那么300就是20x,50x,30x的公约数．有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以x=30．即在30分钟后,3人又可以相聚．7.3条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,3人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长15千米,中圈跑道长14千米,外圈跑道长38千米.甲每小时跑312千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米.问他们同时出发,几小时后,3人第一次同时回到出发点?【分析与解】甲跑完一圈需11235235÷=小时,乙跑一圈需114416÷=小时,丙跑一圈需335840÷=则他们同时回到出发点时都跑了整数圈,所以经历的时间为235,116,340的倍数,即它们的公倍数．而213,,351640⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]()2,1,335,16,4=661==.所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点.评注:求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.8.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？【分析与解】有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90=540，则乙数为540÷18=30．9.A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数，数B有10个约数，那么A,B两数的和等于多少?【分析与解】方法一:由题意知A可以写成3×52×a，B可以写成3×52×6,其中a、b为整数且只含质因子3、5.即A:31+x×52+y,B=31+m×52+n,其中x、Y、m、n均为自然数(可以为0)由A有12个约数,所以[(1+x)+1]×[ (2+y)+1]=(2+x)×(3+y)=12，所以21,01x xy y==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩4xy=⎧⎨=⎩或.对应A为31+2×52=675,31+1×52+1=1125,或31+0×52+4=46875；由B 有10个约数,所以[(1+m)+1]×[(2+n)+l]=(2+m)×(3+n):10,所以02m n =⎧⎨=⎩.对应B 为31+0×52+2=1875．只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875． 那么A,B 两数的和为675+1875=2550． 方法二:由题中条件知A 、B 中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么,先假设它出现了N 次3,则约数有:(2+1)×(N+1)：3×(N+1)个12与10其中只有12是3的倍数,所以3(N+1)=12,易知N=3,这个数是A ，即A=33×52=675．那么B 的质数中出现了一次3,多于两次5,则出现了M 次5,则有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10，M=4.B=3×54=1875．那么A,B 两数的和为675+1875=2550．10.有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少?【分析与解】 设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2． 它们的和为:a+b=(a,b)ql+(a,b)q2=(a,b)(q1+q2)=297………① 它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)qlq2+(a,b)=(a,b)(qlq2+1)=693，且(q1,q2)=1.………………………………………………………………②综合①、②知(a,b)是297,693的公约数,而(297，693)=99,所以(a,b)可以是99,33,1l,9,3,1． 第一种情况:(a,b)=99,则(q1+q2)=3,(qlq2+1)=7,即qlq2=6=2×3,无满足条件的ql,q2； 第二种情况:(a,b)=33,则(q1+q2)=9,(q1q2+1)=21,即q1q2=20=22×5,则ql=5,q2=4时满足,a=(a,b)q 1=33×5=165,b=(a,b)q 2=33×4=132,则a-b=165-132=33；第三种情况:(a,b)=11,则(q1+q2)=27,(q1q2+1)=63,即q q2=62=2×31,无满足条件的q1,q2；一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的q1q2． 所以,这个两个自然数的差为33．11.两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60.问这样的自然数共有多少组?【分析与解】 设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．它们的和为:a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(ql+q 2)=60…………① 它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60，且(q1,q2)=1…………………………………………………………………②联立①、②有(ql+q2)=(q1q2+1),即ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以ql=1或q2=1． 即说明一个数是另一个数的倍数,不妨记a=kb(k 为非零整数)，有()[]60,60a b kb b a b b a b kb +=+=⎧⎪⎨+=+=+=⎪⎩a,b ,即()160k b +=确定，则k 确定，则kb 即a 确定60的约数有2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60这11个，b可以等于2，3，4，5，6，10．12，15，20，30这10个数，除了60，因为如果6=60，则(k+1)=1，而k为非零整数．对应的a、b有10组可能的值，即这样的自然数有10组．进一步，列出有(a,b)为(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10)，(48,12),(45,15),(40,20),(30,30)．评注:如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和，那么这两个数存在倍数关系．12.3个连续的自然数的最小公倍数是9828,那么这3个自然数的和等于多少?【分析与解】若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．则当a,a+1,a+2中有2个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828×2，当a,a+1,a+2中有1个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828．对9828分解质因数:9828=2×2×3×3×3×7×13,我们注意,13是其最大的质因数,验证不存在3个连续的自然数的积为9828．则这三个自然数的积只能是9828×2,此时这三个数中存在两个偶数,有9828×2=2×2×2×3×3×3×7×13．13×2=26,有26,27,28三个数的积为9828×2,所以这三个连续的自然数为26,27,28,其中有两个偶数,满足题意．所以,这三个数的和为26+27+28=81．评注:我们知道两个连续的自然数互质,而两个互质的数的公倍数等于它们的积,即[0,b]=a×b．记这3个连续的自然数为a,a+1,a+2．有[a,a+1,a+2]=[a,a+1,a+1,a+2]=[[a,a+1],[a+1,a+2]]=[a×(a+1)，(a+1)×(a+2)]=(a+1)×[a,a+2]．因为a,a+2同奇同偶，当a,a+2均是偶数时,a,a+2的最大公约数为2,则它们的最小公倍数为()22a a⨯+；当a,a+2均是奇数时,a,a+2互质,则它们的最小公倍数为a×(a+2)．所以(a+1)×[a,a+2]=()()()()21212a aa aa a a a⨯+⎧+⨯⎪⎨⎪+⨯⨯+⎩为偶数为奇数.即[a,a+1,a+2]为a(a+1)(a+2)或()()122a a a++若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．13.甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?【分析与解】 对90分解质因数:90=2×3×3×5.因为5126,所以5甲,即甲中不含因数5,于是乙必含因数5． 因为2105,所以2乙,即乙中不含因数2,于是甲必含2×2． 因为9105,所以9乙,即乙最多含有一个因数3．第一种情况:当乙只含一个因数3时,乙=3×5=15,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18； 第一种情况:当乙不含因数3时,乙=5,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18，综上所需,甲为18．评注:两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子,并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值．如a=2×33×52×7,b=23×32×5×7×11,则A 、B 的最小公倍数含有质因子2,3,5,7,11,并且它们的个数为a 、b 中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个,3个,2个,1个,1个,即[a,b]=23×33×52×7×11．14.a>b>c 是3个整数.a,b,c 的最大公约数是15；a,b 的最大公约数是75；a,b 的最小公倍数是450；b,c 的最小公倍数是1050.那么c 是多少?【分析与解】 由(a,b)=75=3×52,[a,b]=450=32×2×52=75×3×2,又a ﹥b 所以45075a b =⎧⎨=⎩或225150a b =⎧⎨=⎩ [b,c]=1050=2×3×52×7. 当 45075a b =⎧⎨=⎩ 时有 ()()[][]450,75,75,15,75,1050c c b c c ⎧==⎪⎨==⎪⎩，因为两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积,所以(75,c)×[75,c]=75×c=15×1050,得c=210,但是c>b,不满足；当225150a b =⎧⎨=⎩时有()()[][]225150,75,15,150,1050c c b c c ⎧==⎪⎨==⎪⎩，,则c=105,c ﹤b,满足,即225150105a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩为满足条件的为一解．那么c 是105.15.有4个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少? 【分析与解】 设这4个不同的自然数为A 、B 、C 、D ，有A+B+C+D=1111．将1111分解质因数:1111=11×101,显然A 、B 、C 、D 的最大公约数最大可能为101,记此时A=101a ，B=101b,C=101c,D=101d,有a+b+c+d=11,当a+b+c+d=1+2+3+5时满足,即这4个数的公约数可以取到101．综上所述,这4个不同的自然数,它们的最大公约数最大能是101．评注:我们把此题稍做改动:“有5个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?”,大家不妨自己试试．。
一个整数的约数个数与约数和的计算方法
【內容概困一个整数的约数个数与约数和的计算方法，两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系, 分数的最小公倍数•涉及一个整数的约数，以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题，H 中质因数分解发挥着重要作用.f典型问题】觀觀级数:* 「第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛•决赛一试第2题1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少？【分析与解】360分解质因数:360=2X2X2X3X3X5=23X3=X5；360的约数可以且只能是2a X3b X5c,(其中a, b, c均是整数，且a为0〜3, 6为0〜2, c 为0-1).因为a、b、c的取值是相互独立的，由讣数问题的乘法原理知，约数的个数为(3+1) X (2+1)X(1+1)二24.我们先只改动关于质因数3的约数，可以是1, 3, 3［它们的和为(1+3+3=),所以所有360约数的和为(1+3+3') X2y X5w：我们再来确定关于质因数2的约数，可以是1, 2, 2121它们的和为(1+2+25+29),所以所有360 约数的和为(1+3+3') X (1+2+2：+25)X5W；最后确泄关于质因数5的约数，可以是1, 5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+3') X (1+2+2=+28) X (1+5).于是，我们计算出｛&:13X15X6=U70.所以,360所有约数的和为1170.评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法•下面我们给出一般结论：I•一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如：1400严格分解质因数后为23X5=X7,所以它的约数有(3+1) X (2+1) X (1+1) =4X3X2=24 个.(包括1 和它自身)II.约数的和是在严格分解质因数后，将M的每个质因数最髙次幕的所有约数的和相乘所得到的积.如：21000二2'X3X5'X7,所以21000所有约数的和为(1+2+2=+23) X (1+3) X (1+5+55+53) X (1+7)=74880.匕T华罗庚金杯”少年数学邀请赛•决赛一试第6題豆克第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛•预赛C 卷第4题2.一个数是5个2, 3个3, 6个5,1个7的连乘积•这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中，最大的是多少？【分析与解】设这个数为A,有A=25X 33X 56X 7, 99=3X 3X 11, 98=2 X 7X 7, 97均不是A 的约数，而96=25X3为A的约数，所以96为其最大的两位数约数.臺三届“华罗庚金杯”少年教学邀请赛•决赛二试第1题3.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数.【分析与解】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数 (次数)加1后所得的乘积.如：1400严格分解质因数后为23X5:X7,所以它的约数有(3+1) X (2+1) X (111)=4X3X2=24 个.(包括1 和它自身)如果某个自然数有奇数个约数，那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个•这样它们加1后均是奇数，所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数，反过来，有奇数个约数的数一定是完全平方数.由以上分析知，我们所求的为360-630之间有多少个完全平方数？18X18二324, 19X19二361, 25X25二625, 26X26二676,所以在360〜630 之间的完全平方数为19:, 20=, 21=, 22] 23', 24:, 251即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361, 400,441, 484, 529, 576, 625.翅㈱级数:冲北京市第二届“迎春杯”数学竟賽•决赛第一題第2题4.今有语文课本42册,数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆，每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆？【分析与解】显然堆数是42的约数，是112的约数，是70的约数.即为42, 112, 70的公约数，有(42,112, 70)=14.所以,最多可以分成14堆.觀越)级数:車厂5.加工某种机器零件，要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件，第二道工序每名工人每小时可完成10个零件，第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人？【分析与解】为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等，设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人，有6A二10B二15C二k,那么k的最小值为6, 10, 15的最小公倍数，即[6,10,151=30.所以A二5, B二3, 02,则三道工序最少共需要5+3+2二10名工人.画级数：* * *6.有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚？【分析与解】设在x分钟后3人再次相聚，甲走了120x米，乙泄了100x米,丙走了70x 米，他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍.即120x-100x, 120x-70x, 100x-70x 均是300 的倍数，那么300 就是20x, 50x, 30x 的公约数.有(20x, 50x, 30x) : 300,而(20x, 50x, 30x)=x(20, 50, 30) =10x,所以x二30.即在30分钟后，3人又可以相聚.at7. 3条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样 的方向跑步•开始时,3人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长丄千米，中圈跑道长丄千米，外圈 5 43 1 跑道长二千米.甲每小时跑3—千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米•问他们同时出发, 8 2几小时后,3人第一次同时回到出发点？【分析与解】 甲跑完一圈需丄^3- = —小时，乙跑一圈需丄一 4 =丄小时，丙跑一圈需 5 2 35 4 163 3 2 1 3 --5 = 一则他们同时回到出发点时都跑了整数圈，所以经历的时间为一，一，一的倍数，即 8 40 35 16 40它们的公倍数.所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点.评注：求一组分数的眾小公倍数，先将这些分数化为最简分数，将分子的最小公倍数作为 新分数的分子，将分母的灵大公约数作为新分数的分母，这样得到的新分数即为所求的置小 公倍数：求一组分数的最大公约数，先将这些分数化为最简分数，將分子的最大公约数作为新分 数的分子，将分母的灵小公倍数作为新分数的分母，这样得到的新分数即为所求的最大公约 数.&甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是1&那么乙数是多少？ ［分析与解］有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的 最大公约数与最小公倍数的乘积为6X90二540,则乙数为540^-18=30.9. A, B 两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A 有12个约数，数B 有 10个约数，那么A,B 两数的和等于多少？【分析与解】 方法一：由题意知A 可以写成3X5：Xa, B 可以写成3X5'X6,苴中a 、b 为整数且只含质因子3、5.即A:3Ex5「B=3'+mX5＞：其中x 、Y 、m 、n 均为自然数(可以为0)对应 A 为 3也X 5匚675, 3讥X 5岀二1125,或而2,丄,235 16 40 [2,1,3] _6 (35,16,4) 一了级数：卓由A 有12个约数，所以［(l+x)+l ］X ［ (2+y)+l]=(2+x) X (3+y)=12,x = 2 X = 1 __4 以 或彳 y = O 卜" x = O 所 y = 43^X5^=46875：Hl = 0 由 B 有10 个约数，所以[(l+m)+l] X[(2+n)+l] = (2+m) X (3+n) : 10,所以< •对应 B n = 2为3^X5^=1875.只有(675,1875)=75,所以A二675, B二1875.那么A, B两数的和为675+1875=2550.方法二:由题中条件知A、B中有一个数质因数中岀现了两次5,多于一次3,那么，先假设它出现了N次3,则约数有：(2+1) X (N+1): 3X (N+1)个12与10英中只有12是3的倍数，所以3(N+1)二12,易知N二3,这个数是A,即A二3‘X5匚675. 那么B的质数中岀现了一次3,多于两次5,则出现了M次5,则有：(1+1) X (M+l)=2(M+l)=10, M=4. B=3X5S=1875.那么A, B两数的和为675+1875=2550.10.有两个自然数，它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少？【分析与解】设这两数为a, b,记a二(a, b)ql, b二(a, b)q2.它们的和为:a+b=(a, b)ql+(a, b) q2= (a, b) (ql+q2)=297 ..................... ①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a, b]+(a, b) = (a, b) qlq2+ (a, b) = (a, b) (qlq2+l)=693>且(ql,q2)=l. .......................................................................................................... ②综合①、②知Qb)是297, 693的公约数，而(297, 693)二99,所以Q,b)可以是99, 33,11,9, 3,1・第一种情况：(a, b)=99,则(ql+q2)=3, (qlq2+l)=7,即qlq2二6二2X3,无满足条件的ql, Q2:第.二种情况| : (a, b)=33,则(ql+q2)二9, (qlq2+l)=21,即qlq2=20=23 X 5,则ql=5, q2=4 时满足,a=(a, b)ql=33X 5=165, b=(a, b)q2=33X4=132,则zb二165-132=33；第三种情况:(a f b)=ll,贝I](ql+q2)=27, (qlq2+l)=63,即qq2二62二2X31,无满足条件的ql,q2；一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的qlq2. 所以，这个两个自然数的差为33・如数:****11.两个不同自然数的和是60,它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60.问这样的自然数共有多少组？【分析与解】设这两数为a, b,记a二(a, b)ql, b二(a, b)q2.它们的和为:a+b= (a, b)ql+(a, b)q2= (a, b) (ql+q2)=60 ....................... ①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a, b]+(a, b) = (a, b)qlq2+ (a, b) = (a, b) (qlq2+l)=60,且(ql,q2)二1 ......................................................................................................... ②联立①、②有(ql+q2) = (qlq2+l),即ql+q2-qlq2=l, (ql-1) (l-q2)=0,所以ql二1 或q2二1・即说明一个数是另一个数的倍数,不妨记a=kb(k为非零整数),a +b = kb + b = 60z、有hb) + [“" + T +如60'即(2)"60雌'则*确泄’则比即&确泄60 的约数有2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 这11 个，b 可以等于2, 3, 4, 5, 6, 10. 12, 15, 20, 30 这10 个数，除了60,因为如果6=60,贝i](k+l)=l,而k 为非零整数.对应的a、b有10组可能的值，即这样的自然数有10组.进一步，列出有(a,b)为(58, 2), (57,3), (56,4), (55,5), (54,6), (50, 10), (4& 12), (45,15), (40, 20), (30, 30).评注：如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和,那么这两个数存在倍数关系.I塑号全国小学数学奥林匹克•预赛A卷第4题12. 3个连续的自然数的最小公倍数是982&那么这3个自然数的和等于多少？【分析与解】若三个连续的自然数中存在两个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数的乘积.则当a, a+1, a+2 中有 2 个偶数时,a(a+l) (a+2)二9828X2,当a, a+1, a+2 中有 1 个偶数时,a(a+l) (a+2)二9828.对9828分解质因数:9828=2X2X3X3X3X7X13,我们注意，13是其最大的质因数，验证不存在3个连续的自然数的积为9828.则这三个自然数的积只能是9828X2,此时这三个数中存在两个偶数，有9828X2=2X2X2X3X3X3X7X13.13X2二26,有26, 27, 28三个数的积为9828X2,所以这三个连续的自然数为26, 27, 2& 其中有两个偶数，满足题意.所以，这三个数的和为26+27+28二81.评注：我们知道两个连续的自然数互质，而两个互质的数的公倍数等于它们的积，即[0, b]二aXb.记这3个连续的自然数为a, a+1, a+2.有[a, a+1, a+2]二_a, a+1, a+1, a+2]二[[a, a+1」，[a+1, a+2]]二[aX (a+1) , (a+1) X (a+2)] = (a+l) X[a, a+2].因为a, a+2同奇同偶，当a, a+2均是偶数时,a, a+2的最大公约数为2,则它们的最小公倍数为宀“一；)；2 当a, a+2均是奇数时,a, a+2互质，则它们的最小公倍数为aX (a+2)・宀“呼必偶数 a + \)xax(a + 2)a 为奇数所以(a+1) X [a, a+2J = <即[a, a+1, a+2]为a (a+1) (a+2)或"("二】""土-)2若三个连续的自然数中存在两个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半：若三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积.觀磯级数：卓車車1995年全国小学数学奥林匹克•决赛B卷第4题13•甲、乙两数的最小公倍数是90,乙、丙两数的最小公倍数是105,甲、丙两数的最小公倍数是126,那么甲数是多少？【分析与解】对90分解质因数:90=2X3X3X5.因为5r 126,所以5r甲，即甲中不含因数5,于是乙必含因数5.因为2r 105,所以2r乙，即乙中不含因数2,于是甲必含2X2.因为9r 105,所以9 r乙，即乙最多含有一个因数3.第一种情况| :当乙只含一个因数3时，乙二3X5=15,由［甲，乙］二90二2X3'X5,则甲二2 X3:=18：第一种情况| ：当乙不含因数3时，乙二5,由［甲，乙］二90二2X3'X5,则甲二2X3X8,综上所需，甲为18.评注:两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子，并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值.如a=2X3a X5=X7, b=2s X3=X5X7X 11,则A、B 的最小公倍数含有质因子2, 3, 5, 7,11, 并且它们的个数为a、b中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个,3个,2个,1 个,1 个,即［a,b］=2#X38 X 55 X 7Xll.觀⑥级数：♦♦♦14. a>b>c是3个整数.a, b, c的最大公约数是15； a, b的最大公约数是75； a, b的最小公倍数是450； b, c的最小公倍数是1050.那么c是多少？【分析与解］由(a, b) =75=3X52, ［a, b］=450=32X2X5：=75X3X2,又a > b 所以[a = 450I/? = 75a ~ 225[b, c]二1050二2X3X5：X7.b = l5O最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积,所以（75, c ） X [75, c]二75X （2=15X1050,得 c=210,但是c>b,不满足；条件的为一解. 那么c 是105.艇:级数:*拿車1989 全国小学数学奧林匹克初赛•第18題15.有4个不同的自然数，它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少？【分析与解】 设这4个不同的自然数为A 、B 、C 、D,有A+B+C+D 二1111.将1111分解质因数:1111=11X1O1,显然A 、B 、C 、D 的最大公约数最大可能为101,记 此时 A 二 101a, B=101b, C=101c, D=101d,有 a+b+c+d 二 11,当 a+b+c+d 二 1+2+3+5 时满足，即这 4 个数的公约数可以取到101.综上所述，这4个不同的自然数,它们的最大公约数最大能是101.评注:我们把此题稍做改动：“有5个不同的自然数，它们的和是1111,它们的最大公约 数最大能是多少？”，大家不妨自己试试. k = 450方=75时有 (450,75,c) =(75,c) = 15 = [75,c] = 1050 因为两个数的最大公约数与 a = 225b = 150 时有< (225,150,c) = (75,c) = 15[»c] = [150,c] = 1050 (a = 225 ，则c=105, c < b,满足，即* = 150为满足 c = I05。
约数和公式
约数和公式约数是常见的整数概念，是指一个数能被另外一个数整除，所得的商和余数都是整数。
在数学中，约数通常被称为因数，而被整除的数则被称为倍数。
任何一个数都有约数，1和它本身都是它的约数，这被称为质数。
而对于任意一个数n，我们可以通过枚举比它小的每一个数，判断它们能否整除n，来求得它的所有约数。
约数有很多有趣的性质，其中之一是它们的个数与它们的乘积密切相关。
具体来说，一个数n的约数个数等于n的各个质因子幂次数加1的乘积。
例如，如果一个数的分解式为2^3 × 3^2 × 5，则它的约数个数就等于(3+1) × (2+1) × (1+1) = 24。
除此之外，还有一个常见的应用场景就是求约数之和。
约数之和是指一个数所有约数的和，数学符号表示为sigma(n)。
对于一个给定的数n，我们可以通过枚举它的每一个约数并求和来求得它的约数之和。
具体地，如果我们把n分解成若干个质因数的乘积，可以得到它的约数之和公式：sigma(n) = (p1^0 + p1^1 + ... + p1^a1) × (p2^0 + p2^1+ ... + p2^a2) × ... × (pk^0 + pk^1 + ... + pk^ak)其中pi表示n的第i个质因数，ai表示它的幂次数。
这个公式的意义在于，它把n的每一个约数和它对应的幂次数一一对应起来，然后求它们的乘积。
综上所述，约数和约数之和是数学中常见的概念，它们的应用极为广泛，从数论到计算机科学都扮演着至关重要的角色。
如果你学习这些概念，可以为你理解和解决一些复杂的问题提供帮助。
同时，我们也可以通过这些公式和性质来简化计算和分析过程，为实际问题的解决提供支持。
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一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．1.数360的约数有多少个这些约数的和是多少【分析与解】360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．于是,我们计算出值:13×15×6=1170．所以,360所有约数的和为1170．评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如：21000=23×3×53×7,所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=74880．2.一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少【分析与解】设这个数为A,有A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A的约数,而96=25×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数．3.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【分析与解】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．4.今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆【分析与解】显然堆数是42的约数,是112的约数,是70的约数.即为42,112,70的公约数,有(42,112,70)=14．所以,最多可以分成14堆．5.加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人【分析与解】为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人,有6A=10B=15C=k,那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即[6,10,15]=30．所以A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人．6.有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚【分析与解】设在x分钟后3人再次相聚,甲走了120x米,乙走了lOOx米,丙走了70x 米,他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x均是300的倍数,那么300就是20x,50x,30x的公约数．有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以x=30．即在30分钟后,3人又可以相聚．条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,3人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长15千米,中圈跑道长14千米,外圈跑道长38千米.甲每小时跑312千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米.问他们同时出发,几小时后,3人第一次同时回到出发点【分析与解】 甲跑完一圈需11235235÷=小时,乙跑一圈需114416÷=小时,丙跑一圈需335840÷=则他们同时回到出发点时都跑了整数圈,所以经历的时间为235,116,340的倍数,即它们的公倍数．而213,,351640⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]()2,1,335,16,4=661==. 所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点.评注:求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.8.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少【分析与解】 有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90=540，则乙数为540÷18=30．,B 两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A 有12个约数，数B 有10个约数，那么A,B 两数的和等于多少【分析与解】 方法一:由题意知A 可以写成3×52×a ，B 可以写成3×52×6,其中a 、b 为整数且只含质因子3、5.即A:31+x ×52+y ,B=31+m×52+n ,其中x 、Y 、m 、n 均为自然数(可以为0)由A 有12个约数,所以[(1+x)+1]×[ (2+y)+1]=(2+x)×(3+y)=12，所以21,01x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩04x y =⎧⎨=⎩或.对应A 为31+2×52=675,31+1×52+1=1125,或31+0×52+4=46875； 由B 有10个约数,所以[(1+m)+1]×[(2+n)+l]=(2+m)×(3+n):10,所以02m n =⎧⎨=⎩.对应B 为31+0×52+2=1875．只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875．那么A,B两数的和为675+1875=2550．方法二:由题中条件知A、B中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么,先假设它出现了N次3,则约数有:(2+1)×(N+1)：3×(N+1)个12与10其中只有12是3的倍数,所以3(N+1)=12,易知N=3,这个数是A，即A=33×52=675．那么B的质数中出现了一次3,多于两次5,则出现了M次5,则有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10，M==3×54=1875．那么A,B两数的和为675+1875=2550．10.有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少【分析与解】设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．它们的和为:a+b=(a,b)ql+(a,b)q2=(a,b)(q1+q2)=297………①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)qlq2+(a,b)=(a,b)(qlq2+1)=693，且(q1,q2)=1.………………………………………………………………②综合①、②知(a,b)是297,693的公约数,而(297，693)=99,所以(a,b)可以是99,33,1l,9,3,1．第一种情况:(a,b)=99,则(q1+q2)=3,(qlq2+1)=7,即qlq2=6=2×3,无满足条件的ql,q2；第二种情况:(a,b)=33,则(q1+q2)=9,(q1q2+1)=21,即q1q2=20=22×5,则ql=5,q2=4时满足,a=(a,b)q1=33×5=165,b=(a,b)q2=33×4=132,则a-b=165-132=33；第三种情况:(a,b)=11,则(q1+q2)=27,(q1q2+1)=63,即qq2=62=2×31,无满足条件的q1,q2；一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的q1q2．所以,这个两个自然数的差为33．11.两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60.问这样的自然数共有多少组【分析与解】设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．它们的和为:a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(ql+q2)=60…………①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60，且(q1,q2)=1…………………………………………………………………②联立①、②有(ql+q2)=(q1q2+1),即ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以ql=1或q2=1．即说明一个数是另一个数的倍数,不妨记a=kb(k为非零整数)，有()[]60,60a b kb b a b b a b kb +=+=⎧⎪⎨+=+=+=⎪⎩a,b ,即()160k b +=确定，则k 确定，则kb 即a 确定60的约数有2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60这11个，b 可以等于2，3，4，5，6，10．12，15，20，30这10个数，除了60，因为如果6=60，则(k+1)=1，而k 为非零整数．对应的a 、b 有10组可能的值，即这样的自然数有10组．进一步，列出有(a,b)为(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10)，(48,12),(45,15),(40,20), (30,30)．评注:如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和，那么这两个数存在倍数关系．个连续的自然数的最小公倍数是9828,那么这3个自然数的和等于多少【分析与解】 若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数的乘积． 则当a,a+1,a+2中有2个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828×2，当a,a+1,a+2中有1个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828．对9828分解质因数:9828=2×2×3×3×3×7×13,我们注意,13是其最大的质因数,验证不存在3个连续的自然数的积为9828．则这三个自然数的积只能是9828×2,此时这三个数中存在两个偶数,有9828×2=2×2×2×3×3×3×7×13．13×2=26,有26,27,28三个数的积为9828×2,所以这三个连续的自然数为26,27,28,其中有两个偶数,满足题意．所以,这三个数的和为26+27+28=81．评注:我们知道两个连续的自然数互质,而两个互质的数的公倍数等于它们的积,即[0,b]=a×b ．记这3个连续的自然数为a,a+1,a+2．有[a,a+1,a+2]=[a,a+1,a+1,a+2]=[[a,a+1],[a+1,a+2]]=[a×(a+1)，(a+1)×(a+2)]=(a+1)×[a,a+2]．因为a,a+2同奇同偶，当a,a+2均是偶数时,a,a+2的最大公约数为2,则它们的最小公倍数为()22a a ⨯+； 当a,a+2均是奇数时,a,a+2互质,则它们的最小公倍数为a ×(a+2)．所以(a+1)×[a,a+2]=()()()()21212a a a a a a a a ⨯+⎧+⨯⎪⎨⎪+⨯⨯+⎩为偶数为奇数.即[a,a+1,a+2]为a(a+1)(a+2)或()()122a a a ++ 若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．13.甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少【分析与解】 对90分解质因数:90=2×3×3×5.因为5126,所以5甲,即甲中不含因数5,于是乙必含因数5．因为2105,所以2乙,即乙中不含因数2,于是甲必含2×2．因为9105,所以9乙,即乙最多含有一个因数3．第一种情况:当乙只含一个因数3时,乙=3×5=15,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18； 第一种情况:当乙不含因数3时,乙=5,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18，综上所需,甲为18．评注:两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子,并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值．如a=2×33×52×7,b=23×32×5×7×11,则A 、B 的最小公倍数含有质因子2,3,5,7,11,并且它们的个数为a 、b 中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个,3个,2个,1个,1个,即[a,b]=23×33×52×7×11．>b>c 是3个整数.a,b,c 的最大公约数是15；a,b 的最大公约数是75；a,b 的最小公倍数是450；b,c 的最小公倍数是1050.那么c 是多少【分析与解】 由(a,b)=75=3×52,[a,b]=450=32×2×52=75×3×2,又a ﹥b 所以45075a b =⎧⎨=⎩或 225150a b =⎧⎨=⎩ [b,c]=1050=2×3×52×7. 当 45075a b =⎧⎨=⎩ 时有 ()()[][]450,75,75,15,75,1050c c b c c ⎧==⎪⎨==⎪⎩，因为两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积,所以(75,c)×[75,c]=75×c=15×1050,得c=210,但是c>b,不满足；当225150ab=⎧⎨=⎩时有()()[][]225150,75,15,150,1050c cb c c⎧==⎪⎨==⎪⎩，,则c=105,c﹤b,满足,即225150105abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩为满足条件的为一解．那么c是105.15.有4个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少【分析与解】设这4个不同的自然数为A、B、C、D，有A+B+C+D=1111．将1111分解质因数:1111=11×101,显然A、B、C、D的最大公约数最大可能为101,记此时A=101a，B=101b,C=101c,D=101d,有a+b+c+d=11,当a+b+c+d=1+2+3+5时满足,即这4个数的公约数可以取到101．综上所述,这4个不同的自然数,它们的最大公约数最大能是101．评注:我们把此题稍做改动:“有5个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少”,大家不妨自己试试．。