2020年广东省深圳市中考数学一模试卷解析版
2020年广东省深圳市中考数学试卷-解析版
2020年广东省深圳市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.2020的相反数是()A. 2020B. −2020C. 12020D. −120202.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B.C. D.3.2020年6月30日，深圳市总工会启动“百万职工消费扶贫采购节”活动，预计撬动扶贫消费额约150000000元．将150000000用科学记数法表示为()A. 0.15×108B. 1.5×107C. 15×107D. 1.5×1084.分别观察下列几何体，其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是()A. 圆锥B. 圆柱C. 三棱柱D. 正方体5.某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳．考前一周，他记录了自己五次跳绳的成绩(次数/分钟)：247，253，247，255，263.这五次成绩的平均数和中位数分别是()A. 253，253B. 255，253C. 253，247D. 255，2476.下列运算正确的是()A. a+2a=3a2B. a2⋅a3=a5C. (ab)3=ab3D. (−a3)2=−a67.如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1=40°，则∠2的大小是()A. 40°B. 60°C. 70°D. 80°8.如图，在△ABC中，AB=AC.在AB、AC上分别截取AP，AQ，使AP=AQ.再分别以点P，Q为圆心，以大于12PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D.若BC=6，则BD的长为()A. 2B. 3C. 4D. 59.以下说法正确的是()A. 平行四边形的对边相等B. 圆周角等于圆心角的一半C. 分式方程1x−2=x−1x−2−2的解为x=2D. 三角形的一个外角等于两个内角的和10.如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽(PT的长)可以表示为()A. 200tan70°米B. 200tan70∘米 C. 200sin 70°米 D. 200sin70∘米11.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(−1,n)，其部分图象如图所示．以下结论错误的是()A. abc>0B. 4ac−b2<0C. 3a+c>0D. 关于x的方程ax2+bx+c=n+1无实数根12.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12.将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD 于点K，FG交CD于点H.给出以下结论：①EF⊥BG；②GE=GF；③△GDK和△GKH的面积相等；④当点F与点C重合时，∠DEF=75°，其中正确的结论共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.分解因式：m3−m=______．14.一口袋内装有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个球(除编号外都相同)，从中随机摸出一个球，则摸出编号为偶数的球的概率是______．15.如图，在平面直角坐标系中，O(0,0)，A(3,1)，B(1,2).反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过▱OABC的顶点C，则k=______．16.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，tan∠ACB=12，BO OD =43，则S△ABDS△CBD=______．三、计算题（本大题共2小题，共11.0分）17.计算：(13)−1−2cos30°+|−√3|−(4−π)0．18.先化简，再求值：a+1a2−2a+1÷(2+3−aa−1)，其中a=2．四、解答题（本大题共5小题，共41.0分）19.以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题．(1)m=______，n=______．(2)请补全条形统计图；(3)在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角是______度；(4)若该公司新招聘600名毕业生，请你估计“总线”专业的毕业生有______名．20.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E．(1)求证：AE=AB；(2)若AB=10，BC=6，求CD的长．21.端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．(1)肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？(2)由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？22.背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放(点E、A、D在同一条直线上)，发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：(1)将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转(如图1)，还能得到BE=DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；(2)把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图2)，试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；(3)把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG =ABAD=23，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图3)，连接DE，BG.小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．23.如图1，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴的交点A(−3,0)和B(1,0)，与y轴交于点C，顶点为D．(1)求该抛物线的解析式；(2)连接AD，DC，CB，将△OBC沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△O′B′C′，点O、B、C的对应点分别为点O′、B′、C′，设平移时间为t秒，当点O′与点A重合时停止移动．记△O′B′C′与四边形AOCD重合部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式；(3)如图2，过该抛物线上任意一点M(m,n)向直线l：y=9作垂线，垂足为E，试2问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME−MF=1？若存在，请求出F4的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：2020的相反数是：−2020．故选：B．直接利用相反数的定义得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2.【答案】B【解析】解：A、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.【答案】D【解析】解：将150000000用科学记数法表示为1.5×108．故选：D．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】D【解析】解：圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，而俯视图是圆，因此选项A不符合题意；圆柱体的主视图、左视图都是矩形，而俯视图是圆形，因此选项B不符合题意；三棱柱主视图、左视图都是矩形，而俯视图是三角形，因此选项C不符合题意；正方体的三视图都是形状、大小相同的正方形，因此选项D符合题意；故选：D．分别得出圆锥体、圆柱体、三棱柱、正方体的三视图的形状，再判断即可．本题考查简单几何体的三视图，明确圆锥、圆柱、三棱柱、正方体的三视图的形状和大小是正确判断的前提．5.【答案】A【解析】解：x−=(247+253+247+255+263)÷5=253，这5个数从小到大，处在中间位置的一个数是253，因此中位数是253；故选：A．根据中位数、众数的计算方法，分别求出结果即可．本题考查中位数、众数的意义和计算方法，掌握中位数、众数的计算方法是正确计算的前提．6.【答案】B【解析】解：a+2a=3a，因此选项A不符合题意；a2⋅a3=a2+3=a5，因此选项B符合题意；(ab)3=a3b3，因此选项C不符合题意；(−a3)2=a6，因此选项D不符合题意；故选：B．利用合并同类项、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法的计算法则进行计算即可．本题考查合并同类项、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法的计算法则，掌握计算法则是正确计算的前提．7.【答案】D【解析】解：由题意得，∠4=60°，∵∠1=40°，∴∠3=180°−60°−40°=80°，∵AB//CD，∴∠3=∠2=80°，故选：D．根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论．本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：由题可得，AR平分∠BAC，又∵AB=AC，∴AD是三角形ABC的中线，∴BD=12BC=12×6=3，故选：B．依据等腰三角形的性质，即可得到BD=12BC，进而得出结论．本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．9.【答案】A【解析】解：A、平行四边形的对边相等，所以A选项正确；B、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以B选项错误；C、去分母得1=x−1−2(x−2)，解得x=2，经检验原方程无解，所以C选项错误；D、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以D选项错误．故选：A．根据平行四边形的性质对A进行判断；根据圆周角定理对B进行判断；利用分式方程有检验可对C进行判断；根据三角形外角性质对D进行判断．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10.【答案】B【解析】解：在Rt△PQT中，∵∠QPT=90°，∠PQT=90°−70°=20°，∴∠PTQ=70°，∴tan70°=PQPT，∴PT=PQtan70∘=200tan70∘，即河宽200tan70∘米，故选：B．在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．11.【答案】C【解析】解：A.∵抛物线开口向下，∴a<0，∵对称轴为直线x=−b2a=−1，∴b=2a<0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，∴abc>0，故A正确；B.∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，即4ac−b2<0，故B正确；C.∵抛物线的对称轴为直线x=−1，抛物线与x轴的一个交点在(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在(0,0)和(1,0)之间，∴x=1时，y<0，即a+b+c<0，∵b=2a，∴3a+c<0，故C错误；D.∵抛物线开口向下，顶点为(−1,n)，∴函数有最大值n，∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n+1无实数根，故D正确．故选：C．根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B进行判断；x=1时，y<0，可对C进行判断；根据抛物线y= ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，可对D进行判断．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．12.【答案】C【解析】解：如图，连接BE，设EF与BG交于点O，∵将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，∴EF垂直平分BG，∴EF⊥BG，BO=GO，BE=EG，BF=FG，故①正确，∵AD//BC，∴∠EGO=∠FBO，又∵∠EOG=∠BOF，∴△BOF≌△GOE(ASA)，∴BF=EG，∴BF=EG=GF，故②正确，∵BE=EG=BF=FG，∴四边形BEGF是菱形，∴∠BEF=∠GEF，当点F与点C重合时，则BF=BC=BE=12，∵sin∠AEB=ABBE =612=12，∴∠AEB=30°，∴∠DEF=75°，故④正确，由题意无法证明△GDK和△GKH的面积相等，故③错误；故选：C．连接BE，设EF与BG交于点O，由折叠的性质可得EF垂直平分BG，可判断①；由“ASA”可证△BOF≌△GOE，可得BF=EG=GF，可判断②；通过证明四边形BEGF 是菱形，可得∠BEF=∠GEF，由锐角三角函数可求∠AEB=30°，可得∠DEF=75°，可判断④，由题意无法证明△GDK和△GKH的面积相等，即可求解．本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．13.【答案】m(m+1)(m−1)【解析】解：m3−m，=m(m2−1)，=m(m+1)(m−1)．先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．14.【答案】37【解析】解：∵从袋子中随机摸出一个球共有7种等可能结果，其中摸出编号为偶数的球的结果数为3，∴摸出编号为偶数的球的概率为37，用袋子中编号为偶数的小球的数量除以球的总个数即可得．本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．15.【答案】−2【解析】解：连接OB，AC，交点为P，∵四边形OABC是平行四边形，∴AP=CP，OP=BP，∵O(0,0)，B(1,2)，∴P的坐标(12,1)，∵A(3,1)，∴C的坐标为(−2,1)，∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点C，∴k=−2×1=−2，故答案为−2．连接OB，AC，根据O，B的坐标易求P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出则C点坐标，根据待定系数法即可求得k的值．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，平行四边形的性质，求得C点的坐标是解答此题的关键．16.【答案】332【解析】解：如图，过点D作DM//BC，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N，∵DM//BC，∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，∴ABBC =ANNM=tan∠ACB=12，BCDM=OBOD=43，又∵∠ABC=∠DAC=90°，∴∠BAC+∠NAD=90°，∵∠BAC+∠BCA=90°，∴∠NAD=∠BCA，∴△ABC∽△DAN，∴ABBC =DNNA=12，设AB=a，DN=b，则BC=2a，NA=2b，MN=4b，由BCDM =OBOD=43得，DM=32a，∴4b+b=32a，即，b=310a，∴S△ABDS△BCD =12AB⋅DN12BC⋅NB=ab2a⋅(a+2b)=310a22a⋅1610a=332．通过作辅助线，得到△ABC∽△ANM ，△OBC∽△ODM ，△ABC∽△DAN ，进而得出对应边成比例，再根据tan∠ACB =12，BO OD=43，得出对应边之间关系，设AB =a ，DN =b ，表示BC ，NA ，MN ，进而表示三角形的面积，求出三角形的面积比即可．本题考查相似三角形的性质和判定，根据对应边成比例，设常数表示三角形的面积是得出正确答案的关键．17.【答案】解：原式=3−2×√32+3−1 3−√3+√3−1=2．【解析】根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 本题考查了实数的运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解决本题的关键是掌握特殊角的三角函数值．18.【答案】解：原式=a+1(a−1)2÷2a−2+3−a a−1=a +1(a −1)2÷a +1a −1 =a +1(a −1)2×a −1a +1 =1a −1当a =2时，原式=12−1=1． 【解析】先将分式进行化简，然后代入值即可求解．本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是进行分式的化简．19.【答案】50 10 72 180【解析】解：(1)m =15÷30%=50，n%=5÷50×100%=10%，故答案为：50，10；(2)硬件专业的毕业生有：50×40%=20(人)，补全的条形统计图如右图所示；(3)在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角是360°×1050=72°，故答案为：72；(4)600×30%=180(名)，即“总线”专业的毕业生有180名，故答案为：180．(1)根据总线的人数和所占的百分比，可以求得m 的值，然后即可计算出n 的值；(2)根据(1)中的结果和硬件所占的百分比，可以求得硬件专业的毕业生，从而可以将条形统计图补充完整；(3)根据条形统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角的度数；(4)根据统计图中的数据，可以计算出“总线”专业的毕业生的人数．本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20.【答案】(1)证明：连接AC、OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴CD⊥AD，∴OC//AD，∴∠OCB=∠E，∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，∴∠B=∠E，∴AE=AB；(2)解：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴AC=√102−62=8，∵AB=AE=10，AC⊥BE，∴CE=BC=6，∵12CD⋅AE=12AC⋅CE，∴CD=6×810=245．【解析】(1)证明：连接AC、OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC//AD，所以∠OCB=∠E，然后证明∠B=∠E，从而得到结论；(2)利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则利用勾股定理可计算出AC=8，再根据等腰三角形的性质得到CE=BC=6，然后利用面积法求出CD的长．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．21.【答案】解：(1)设蜜枣粽的进货单价是x元，则肉粽的进货单价是(x+6)元，由题意得：50(x+6)+30x=620，解得：x=4，∴6+4=10，答：蜜枣粽的进货单价是4元，则肉粽的进货单价是10元；(2)设第二批购进肉粽y个，则蜜枣粽购进(300−y)个，获得利润为w元，由题意得：w=(14−10)y+(6−4)(300−y)=2y+600，∵2>0，∴w随y的增大而增大，∵y≤2(300−y)，∴y≤200，∴当y=200时，w有最大值，w最大值=400+600=1000，答：第二批购进肉粽200个时，总利润最大，最大利润是1000元．【解析】(1)设蜜枣粽的进货单价是x元，则肉粽的进货单价是(x+6)元，根据用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，可得出方程，解出即可；(2)设第二批购进肉粽y个，则蜜枣粽购进(300−y)个，获得利润为w元，根据w=蜜枣粽的利润+肉粽的利润，得一次函数，根据一次函数的增减性，可解答．本题考查了一次函数，一元一次方程及一元一次不等式的知识，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系及等量关系，难度一般．22.【答案】(1)证明：∵四边形AEFG为正方形，∴AE=AF，∠EAG=90°，又∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠EAB=∠GAD，∴△AEB≌△AGD(SAS)，∴BE=DG；(2)当∠EAG=∠BAD时，BE=DG，理由如下：∵∠EAG=∠BAD，∴∠EAB=∠GAD，又∵四边形AEFG和四边形ABCD为菱形，∴AE=AG，AB=AD，∴△AEB≌△AGD(SAS)，∴BE=DG；(3)解：如图，设BE与DG交于Q，∵AEAG =ABAD=23，AE=4，AB=8∴AG=6，AD=12．∵四边形AEFG和四边形ABCD为矩形，∴∠EAG=∠BAD，∴∠EAB=∠GAD，∵EAAG =ABAD，∴△EAB∽△GAD，∴∠BEA=∠AGD，∴A，E，G，Q四点共圆，∴∠GQP=∠PAE=90°，∴GD⊥EB，连接EG，BD，∴ED2+GB2=EQ2+QD2+GQ2+QB2=EG2+BD2，∴EG2+BD2=42+62+82+122=260．【解析】(1)由正方形的性质得出AE=AF，∠EAG=90°，AB=AD，∠BAD=90°，得出∠EAB=∠GAD，证明△AEB≌△AGD(SAS)，则可得出结论；(2)由菱形的性质得出AE=AG，AB=AD，证明△AEB≌△AGD(SAS)，由全等三角形的性质可得出结论；(3)证明△EAB∽△GAD ，得出∠BEA =∠AGD ，则A ，E ，G ，Q 四点共圆，得出∠GQP =∠PAE =90°，连接EG ，BD ，由勾股定理可求出答案．本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键．23.【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +3过点A(−3,0)，B(1,0)，∴{9a −3b +3=0a +b +3=0，解得{a =−1b =−2， ∴抛物线的解析式为y =−x 2−2x +3；(2)①0<t <1时，如图1，∵OO′=t ，OB′=1−t ，∴OE =3OB′=3−3t ，∴S =12×(C′O′+OE)×OO′=12×(3+3−3t)×t =−32t 2+3t ， ②1≤t <32时，S =32；③32≤t ≤3时，如图2，∵AO =3，O′O =t ，∴AO′=3−t ，O′O =6−2t ，∴C′Q =2t −3，∵QH =2HE ，C′H =3HE ，∴HE =15C′D =15(2t −3)，∴S =32−12(2t −3)×15(2t −3)，∴S =−25t 2+65t +35，综合以上可得：S ={ −32t 2+3t (0<t <1)32(1≤t <32)−25t 2+65t +35(32≤t ≤3)． (3)令F(−1,t)，则MF =√(m +1)(n −t)2，ME =92−n ，∵ME −MF =14，∴MF =ME −14，∴(m +1)2+(n −t)2=(174−n)2，∴m 2+2m +1+t 2−2nt =−172n +28916． ∵n =−m 2−2m +3，∴(1+2n −172)m 2+(2+4n −17)m +1+t 2−6t +512−28916=0． 当n =154时，上式对于任意m 恒成立，∴存在F(−1,154).【解析】(1)将点A(−3,0)、B(1,0)代入抛物线的解析式得到关于a 、b 的方程组即可；(2)分三种情况：①0<t <1时，②1≤t <32时，③32≤t ≤3时，可由面积公式得出答案；(3)令F(−1,t)，则MF =√(m +1)(n −t)2，ME =92−n ，得出(m +1)2+(n −t)2=(174−n)2，可求出n =154.则得出答案．本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，两点间的距离公式，平移的性质，三角形的面积等知识．熟练运用方程的思想方法，正确进行分类是解题的关键．。
2020年广东省深圳市福田区中考数学一模试卷(解析版)
2020年广东省深圳市福田区中考数学一模试卷一．选择题（共12小题）1．2的倒数是（）A．B．﹣2C．﹣D．22．如图，该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．3．一方有难，八方支援！据报道，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情在湖北肆虐期间，先后约有42000名来自外省的医护人员勇敢逆行、驰援湖北．将“42000”用科学记数法表示正确的是（）A．42×103B．4.2×103C．4.2×104D．4.244．下列图案是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．下列计算正确的是（）A．x2+x2＝x4B．（x+y）2＝x2+y2C．D．x2•x3＝x66．某市疾控中心在对10名某传染病确诊病人的流行病史的调查中发现，这10人的潜伏期分别为：5，5，5，7，7，8，8，9，11，14（单位：天），则下列关于这组潜伏期数据的说法中不正确的是（）A．众数是5天B．中位数是7.5天C．平均数是7.9天D．标准差是2.5天7．如图，已知a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，若∠1＝125°，∠2＝50°，则∠3为（）A．55°B．65°C．70°D．75°8．下列选项中的尺规作图（各图中的点P都在△ABC的边上），能推出P A＝PC的是（）A．B．C．D．9．阅读材料：坐标平面内，对于抛物线y＝ax2+bx（a≠0），我们把点（﹣）称为该抛物线的焦点，把y＝﹣称为该抛物线的准线方程．例如，抛物线y＝x2+2x 的焦点为（﹣1，﹣），准线方程是y＝﹣．根据材料，现已知抛物线y＝ax2+bx（a ≠0）焦点的纵坐标为3，准线方程为y＝5，则关于二次函数y＝ax2+bx的最值情况，下列说法中正确的是（）A．最大值为4B．最小值为4C．最大值为3.5D．最小值为3.510．如图，是函数y＝ax2+bx+c的图象，则函数y＝ax+c，y＝，在同一直角坐标系中的图象大致为（）A．B．C．D．11．如图，一棵珍贵的树倾斜程度越来越厉害了．出于对它的保护，需要测量它的高度，现采取以下措施：在地面上选取一点C，测得∠BCA＝37°，AC＝28米，∠BAC＝45°，则这棵树的高AB约为（）（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，≈1.4）A．14米B．15米C．17米D．18米12．如图，正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，在AB上取一点F，使点B关于直线EF的对称点G落在AD上，连接EG交CD于点H，连接BH交EF于点M，连接CM．则下列结论，其中正确的是（）①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③GD＝CM；④若AG＝1，GD＝2，则BM＝．A．①②③④B．①②C．③④D．①②④二．填空题（共4小题）13．因式分解：4a3﹣16a＝．14．袋中装有6个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．现进行摸球试验，每次随机摸出一个球记下颜色后放回．经过大量的试验，发现摸到黑球的频率稳定在0.75附近，则袋中白球约有个．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作△ABC外接圆⊙O的切线交AB的垂直平分线于点D，AB的垂直平分线交AC于点E．若OE＝2，AB＝8，则CD＝．16．如图，函数y＝x（x≥0）的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，若点A绕点B（，0）顺时针旋转90°后，得到的点A'仍在y＝的图象上，则点A的坐标为．三．解答题（共7小题）17．计算：（π﹣2）0﹣2cos30°﹣+|1﹣|．18．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1．19．某校组织学生开展了“2020新冠疫情”相关的手抄报竞赛．对于手抄报的主题，组织者提出了两条指导性建议：（1）A类“武汉加油”、B类“最美逆行者”、C类“万众一心抗击疫情”、D类“如何预防新型冠状病毒”4个中任选一个；（2）E类为自拟其它与疫情相关的主题．评奖之余，为了解学生的选题倾向，发掘出最能引发学生触动的主题素材，组织者随机抽取了部分作品进行了统计，并将统计结果绘制成了如下两幅尚不完整的统计图．请根据以上信息回答：（1）本次抽样调查的学生总人数是，并补全条形统计图；（2）扇形统计图中，“C”对应的扇形圆心角的度数是，x＝，y﹣z ＝；（3）本次抽样调查中，“学生手抄报选题”最为广泛的是类．（填字母）20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，以点D为圆心，AC为半径画弧交BA 的延长线于点E，连接CD，作EF∥CD，交∠EAC的平分线于点F，连接CF．（1）求证：△BCD≌△AFE；（2）若AC＝6，∠BAC＝30°，求四边形CDEF的面积S四边形CDEF．21．因“抗击疫情”需要，学校决定再次购进一批医用一次性口罩及KN95口罩共1000只，已知1只医用一次性口罩和10只KN95口罩共需113元；3只医用一次性口罩和5只KN95口罩共需64元．问：（1）一只医用一次性口罩和一只KN95口罩的售价分别是多少元？（2）参照上次购买获得的需求情况后，校长给出了一条建议：医用一次性口罩的购买量不能多于KN95口罩数量的2倍，请你遵循校长建议给出最省钱的购买方案，并说明理由．22．如图，⊙O的直径AB＝10，弦BC＝，点P是⊙O上的一动点（不与点A、B重合，且与点C分别位于直径AB的异侧），连接P A，PC，过点C作PC的垂线交PB的延长线于点D．（1）求tan∠BPC的值；（2）随着点P的运动，的值是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的值；（3）运动过程中，AP+2BP的最大值是多少？请你直接写出它来．23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象，经过点A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点，过点C，D（﹣3，0）的直线与抛物线的另一交点为E．（1）请你直接写出：①抛物线的解析式；②直线CD的解析式；③点E的坐标（，）；（2）如图1，若点P是x轴上一动点，连接PC，PE，则当点P位于何处时，可使得∠CPE＝45°，请你求出此时点P的坐标；（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，作QH⊥x轴于H，连接QA，QB，当QB平分∠AQH时，请你直接写出此时点Q的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．2的倒数是（）A．B．﹣2C．﹣D．2【分析】根据倒数的定义进行解答即可．【解答】解：2的倒数是，故选：A．2．如图，该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从几何体的上面看所得到图形即可．【解答】解：从上面看得到图形为：，故选：B．3．一方有难，八方支援！据报道，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情在湖北肆虐期间，先后约有42000名来自外省的医护人员勇敢逆行、驰援湖北．将“42000”用科学记数法表示正确的是（）A．42×103B．4.2×103C．4.2×104D．4.24【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：42000＝4.2×104，故选：C．4．下列图案是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐个判断即可．【解答】解：A、是轴对称出图形，故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：B．5．下列计算正确的是（）A．x2+x2＝x4B．（x+y）2＝x2+y2C．D．x2•x3＝x6【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和二次根式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：A、x2+x2＝2x2，故此选项错误；B、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故此选项错误；C、﹣＝2﹣＝，正确；D、x2•x3＝x5，故此选项错误；故选：C．6．某市疾控中心在对10名某传染病确诊病人的流行病史的调查中发现，这10人的潜伏期分别为：5，5，5，7，7，8，8，9，11，14（单位：天），则下列关于这组潜伏期数据的说法中不正确的是（）A．众数是5天B．中位数是7.5天C．平均数是7.9天D．标准差是2.5天【分析】根据众数、中位数、平均数以及标准差的定义判断各选项正误即可．【解答】解：A、∵数据中5出现3次，出现的次数最多，∴众数为5，此选项正确；B、把这些数据重新排列为5，5，5，7，7，8，8，9，11，14，则中位数为＝7.5天，此选项正确；C、平均数为（5+5+5+7+7+8+8+9+11+14）＝7.9，此选项正确；D、方差为×[3×（5﹣7.9）2+2×（7﹣7.9）2+2×（8﹣7.9）2+（9﹣7.9）2+（11﹣7.9）2+（14﹣7.9）2]≠2.5，此选项错误；故选：D．7．如图，已知a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，若∠1＝125°，∠2＝50°，则∠3为（）A．55°B．65°C．70°D．75°【分析】利用平行线的性质结合三角形的外角的性质解决问题即可．【解答】解：∵a∥b，∠1＝125°，∴∠ACD＝125°，∵∠2＝50°，∴∠3＝125°﹣50°＝75°．故选：D．8．下列选项中的尺规作图（各图中的点P都在△ABC的边上），能推出P A＝PC的是（）A．B．C．D．【分析】根据尺规作图痕迹进行判断，即可得到图形中相等的线段．【解答】解：A．由此作图知CA＝CP，不符合题意；B．由此作图知BA＝BP，不符合题意；C．由此作图知∠ABP＝∠CBP，不能得到P A＝PC，不符合题意；D．由此作图知P A＝PC，符合题意；故选：D．9．阅读材料：坐标平面内，对于抛物线y＝ax2+bx（a≠0），我们把点（﹣）称为该抛物线的焦点，把y＝﹣称为该抛物线的准线方程．例如，抛物线y＝x2+2x 的焦点为（﹣1，﹣），准线方程是y＝﹣．根据材料，现已知抛物线y＝ax2+bx（a ≠0）焦点的纵坐标为3，准线方程为y＝5，则关于二次函数y＝ax2+bx的最值情况，下列说法中正确的是（）A．最大值为4B．最小值为4C．最大值为3.5D．最小值为3.5【分析】利用抛物线的焦点和准线方程的定义得到＝3，﹣＝5，通过解方程组得到a＝﹣，b＝2或b＝﹣2，则抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x或y＝﹣x2﹣2x，然后根据二次函数的性质解决问题．【解答】解：根据题意得＝3，﹣＝5，解得a＝﹣，b＝2或b＝﹣2，∴抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的解析式为y＝﹣x2+2x或y＝﹣x2﹣2x，∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣4）2+4，y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+4）2+4，∴二次函数y＝ax2+bx有最大值4．故选：A．10．如图，是函数y＝ax2+bx+c的图象，则函数y＝ax+c，y＝，在同一直角坐标系中的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a＜0，c＜0，b2﹣4ac＞0，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，∴a＜0，∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象交y轴的负半轴，∴c＜0，∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴一次函数y＝ax+c，图象经过第二、三、四象限，反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限，故选：A．11．如图，一棵珍贵的树倾斜程度越来越厉害了．出于对它的保护，需要测量它的高度，现采取以下措施：在地面上选取一点C，测得∠BCA＝37°，AC＝28米，∠BAC＝45°，则这棵树的高AB约为（）（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，≈1.4）A．14米B．15米C．17米D．18米【分析】如图，作BH⊥AC于H．设BH＝x，构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，作BH⊥AC于H．∵∠BCH＝37°，∠BHC＝90°，设BH＝xm，∴CH＝＝＝，∵∠A＝45°，∴AH＝BH＝x，∴x+x＝28，∴x＝12，∴AB＝AH＝×12≈17（m）故选：C．12．如图，正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，在AB上取一点F，使点B关于直线EF的对称点G落在AD上，连接EG交CD于点H，连接BH交EF于点M，连接CM．则下列结论，其中正确的是（）①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③GD＝CM；④若AG＝1，GD＝2，则BM＝．A．①②③④B．①②C．③④D．①②④【分析】①正确．如图1中，过点B作BK⊥GH于K．想办法证明Rt△BHK≌Rt△BHC （HL）可得结论．②正确．分别证明∠GBH＝45°，∠4＝45°即可解决问题．③正确．如图2中，过点M作MW⊥AD于W，交BC于T．首先证明MG＝MD，再证明△BTM≌△MWG（AAS），推出MT＝WG可得结论．④正确．求出BT＝2，TM＝1，利用勾股定理即可判断．【解答】解：如图1中，过点B作BK⊥GH于K．∵B，G关于EF对称，∴EB＝EG，∴∠EBG＝∠EGB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，∴∠AGB＝∠EBG，∴∠AGB＝∠BGK，∵∠A＝∠BKG＝90°，BG＝BG，∴△BAG≌△BKG（AAS），∴BK＝BA＝BC，∠ABG＝∠KBG，∵∠BKH＝∠BCH＝90°，BH＝BH，∴Rt△BHK≌Rt△BHC（HL），∴∠1＝∠2，∠HBK＝∠HBC，故①正确，∴∠GBH＝∠GBK+∠HBK＝∠ABC＝45°，过点M作MQ⊥GH于Q，MP⊥CD于P，MR⊥BC于R．∵∠1＝∠2，∴MQ＝MP，∵∠MEQ＝∠MER，∴MQ＝MR，∴MP＝MR，∴∠4＝∠MCP＝∠BCD＝45°，∴∠GBH＝∠4，故②正确，如图2中，过点M作MW⊥AD于W，交BC于T．∵B，G关于EF对称，∴BM＝MG，∵CB＝CD，∠4＝∠MCD，CM＝CM，∴△MCB≌△MCD（SAS），∴BM＝DM，∴MG＝MD，∵MW⊥DG，∴WG＝WD，∵∠BTM＝∠MWG＝∠BMG＝90°，∴∠BMT+∠GMW＝90°，∵∠GMW+∠MGW＝90°，∴∠BMT＝∠MGW，∵MB＝MG，∴△BTM≌△MWG（AAS），∴MT＝WG，∵MC＝TM，DG＝2WG，∴DG＝CM，故③正确，∵AG＝1，DG＝2，∴AD＝AB＝TM＝3，EM＝WD＝TM＝1，BT＝AW＝2，∴BM＝＝＝，故④正确，故选：A．二．填空题（共4小题）13．因式分解：4a3﹣16a＝4a（a+2）（a﹣2）．【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝4a（a2﹣4）＝4a（a+2）（a﹣2），故答案为：4a（a+2）（a﹣2）14．袋中装有6个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．现进行摸球试验，每次随机摸出一个球记下颜色后放回．经过大量的试验，发现摸到黑球的频率稳定在0.75附近，则袋中白球约有2个．【分析】设中白球约有x个，根据黑球的个数÷总球的个数＝黑球的频率，列出算式，再进行求解即可．【解答】解：设中白球约有x个，根据题意得：＝0.75，解得：x＝2，经检验x＝2是方程的解，答：袋中白球约有2个；故答案为：2．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作△ABC外接圆⊙O的切线交AB的垂直平分线于点D，AB的垂直平分线交AC于点E．若OE＝2，AB＝8，则CD＝3．【分析】连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，根据余角的性质得到∠AEO＝∠B，得到DE＝DC，设DE＝DC＝x，求得OD＝2+x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCE＝∠COB，∵OD⊥AB，∴∠AOE＝90°，∴∠A+∠B＝∠A+∠AEO＝90°，∴∠AEO＝∠B，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∵∠DEC＝∠AEO，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC，设DE＝DC＝x，∴OD＝2+x，∵OD2＝OC2+CD2，∴（2+x）2＝42+x2，解得：x＝3，∴CD＝3，故答案为：3．16．如图，函数y＝x（x≥0）的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，若点A绕点B（，0）顺时针旋转90°后，得到的点A'仍在y＝的图象上，则点A的坐标为（2，2）．【分析】设点A的坐标为（a，a），过A作AC⊥x轴于C，过A′作A′D⊥x轴于D，于是得到∠ACB＝∠A′DB＝90°，AC＝OC＝a，求得BC＝﹣a，根据全等三角形的性质得到BD＝AC＝a，A′D＝BC＝﹣a，列方程组即可得到结论．【解答】解：设点A的坐标为（a，a），过A作AC⊥x轴于C，过A′作A′D⊥x轴于D，∴∠ACB＝∠A′DB＝90°，AC＝OC＝a，∴BC＝﹣a，∵点A绕点B（，0）顺时针旋转90°后，得到的点A'，∴∠ABA′＝90°，AB＝A′B，∴∠CAB+∠ABC＝∠ABC+∠A′BD＝90°，∴∠CAB＝∠A′BD，∴△ACB≌△BDA′（AAS），∴BD＝AC＝a，A′D＝BC＝﹣a，∵点A'在y＝的图象上，∴，解得：k＝8，a＝2，∴点A的坐标为（2，2），故答案为：（2，2）．三．解答题（共7小题）17．计算：（π﹣2）0﹣2cos30°﹣+|1﹣|．【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1﹣2×﹣4+﹣1＝1﹣﹣4+﹣1＝﹣4．18．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（1﹣）÷＝＝＝，当x＝+1时，原式＝＝．19．某校组织学生开展了“2020新冠疫情”相关的手抄报竞赛．对于手抄报的主题，组织者提出了两条指导性建议：（1）A类“武汉加油”、B类“最美逆行者”、C类“万众一心抗击疫情”、D类“如何预防新型冠状病毒”4个中任选一个；（2）E类为自拟其它与疫情相关的主题．评奖之余，为了解学生的选题倾向，发掘出最能引发学生触动的主题素材，组织者随机抽取了部分作品进行了统计，并将统计结果绘制成了如下两幅尚不完整的统计图．请根据以上信息回答：（1）本次抽样调查的学生总人数是120，并补全条形统计图；（2）扇形统计图中，“C”对应的扇形圆心角的度数是72°，x＝30，y﹣z＝5；（3）本次抽样调查中，“学生手抄报选题”最为广泛的是B类．（填字母）【分析】（1）利用扇形统计图结合条形统计图，进而得出调查的总人数和C，E两组的人数；（2）根据（1）中所求总人数，进而结合条形统计图可得答案；（3）利用（2）中所求得出B类所占比例最多，进而得出答案．【解答】解：（1）调查的学生总人数：30÷25%＝120（人），120×20%＝24（人），120﹣30﹣36﹣24﹣18＝12（人），如图所示：（2）“C”对应的扇形圆心角的度数是：360°×20%＝72°，x%＝×100%＝30%，y%＝×100%＝15%，z%＝1﹣30%﹣15%﹣25%﹣20%＝10%，故x＝30，y﹣z＝10﹣5＝5，故答案为：72°，30，5；（3）由（2）中所求，可得出：“学生手抄报选题”最为广泛的是B类．故答案为：B．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，以点D为圆心，AC为半径画弧交BA 的延长线于点E，连接CD，作EF∥CD，交∠EAC的平分线于点F，连接CF．（1）求证：△BCD≌△AFE；（2）若AC＝6，∠BAC＝30°，求四边形CDEF的面积S四边形CDEF．【分析】（1）利用三角形外角性质以及平行线的性质，可得∠B＝∠1，∠BDC＝∠AEF，根据ASA即可判定△BCD≌△AFE；（2）过A作AH⊥CF，垂足为H，先判定四边形CDEF是平行四边形，即可得出CF＝AB＝AC＝6，且CF∥AB，再根据AH＝AC＝3，即可得到S四边形CDEF＝CF×AH＝18．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠EAC＝∠B+∠ACB，∴∠EAC＝2∠B，∵∠1＝∠2，∴∠EAC＝2∠1，∴∠B＝∠1，∵EF∥CD，∴∠BDC＝∠AEF，∵AB＝AC＝DE，∴BD＝AE，∴△BCD≌△AFE（ASA）；（2）如图，过A作AH⊥CF，垂足为H，∵△BCD≌△AFE，∴CD＝EF，又∵EF∥CD，∴四边形CDEF是平行四边形，∴CF＝AB＝AC＝6，且CF∥AB，∵∠BAC＝30°，∴∠ACH＝30°，∴AH＝AC＝3，∴S四边形CDEF＝CF×AH＝6×3＝18．21．因“抗击疫情”需要，学校决定再次购进一批医用一次性口罩及KN95口罩共1000只，已知1只医用一次性口罩和10只KN95口罩共需113元；3只医用一次性口罩和5只KN95口罩共需64元．问：（1）一只医用一次性口罩和一只KN95口罩的售价分别是多少元？（2）参照上次购买获得的需求情况后，校长给出了一条建议：医用一次性口罩的购买量不能多于KN95口罩数量的2倍，请你遵循校长建议给出最省钱的购买方案，并说明理由．【分析】（1）设一只医用一次性口罩的售价为x元，一只KN95口罩的售价为y元，根据“购买1只医用一次性口罩和10只KN95口罩共需113元；购买3只医用一次性口罩和5只KN95口罩共需64元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m只医用一次性口罩，则购买（1000﹣m）只KN95口罩，根据医用一次性口罩的购买量不能多于KN95口罩数量的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设学校再次购进1000只口罩的总费用为w元，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设一只医用一次性口罩的售价为x元，一只KN95口罩的售价为y元，依题意，得：，解得：．答：一只医用一次性口罩的售价为3元，一只KN95口罩的售价为11元．（2）设购买m只医用一次性口罩，则购买（1000﹣m）只KN95口罩，依题意，得：m≤2（1000﹣m），解得：m≤666．设学校再次购进1000只口罩的总费用为w元，则w＝3m+11（1000﹣m）＝﹣8m+11000．∵﹣8＜0，∴w随m的增大而减小，又∵m是整数，∴m的最大值为666，∴当m＝666时，w取得最小值，最小值为5672，此时1000﹣m＝334．答：最省钱的购买方案是：购买666只医用一次性口罩，334只KN95口罩．22．如图，⊙O的直径AB＝10，弦BC＝，点P是⊙O上的一动点（不与点A、B重合，且与点C分别位于直径AB的异侧），连接P A，PC，过点C作PC的垂线交PB的延长线于点D．（1）求tan∠BPC的值；（2）随着点P的运动，的值是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的值；（3）运动过程中，AP+2BP的最大值是多少？请你直接写出它来．【分析】（1）连接AC，由AB是直径得出∠ACB＝90°，根据勾股定理求得AC＝4，再由tan∠BPC＝tan∠BAC＝可得答案；（2）证△CBD∽△CAP得＝，结合＝tan∠BPC＝，可得＝＝；（3）由（2）知BD＝AP，据此知AP+2BP＝2（AP+BP）＝2（BD+BP）＝2PD＝，根据tan∠BPC＝知cos∠BPC＝，从而得AP+2BP＝PC≤AB＝10，即可得出答案．【解答】解：（1）连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝2，∴AC＝＝4，∴tan∠BPC＝tan∠BAC＝＝；（2）的值不会发生变化，理由如下：∵∠PCD＝∠ACB＝90°，∴∠1+∠PCB＝∠2+∠PCB，∴∠1＝∠2，∵∠3是圆内接四边形APBC的一个外角，∴∠3＝∠P AC，∴△CBD∽△CAP，∴＝，在Rt△PCD中，＝tan∠BPC＝，∴＝＝；（3）由（2）知BD＝AP，∴AP+2BP＝2（AP+BP）＝2（BD+BP）＝2PD＝，由tan∠BPC＝，得：cos∠BPC＝，∴AP+2BP＝PC≤AB＝10，∴AP+2BP的最大值为10．23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象，经过点A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点，过点C，D（﹣3，0）的直线与抛物线的另一交点为E．（1）请你直接写出：①抛物线的解析式y＝x2﹣4x+3；②直线CD的解析式y＝x+3；③点E的坐标（5，8）；（2）如图1，若点P是x轴上一动点，连接PC，PE，则当点P位于何处时，可使得∠CPE＝45°，请你求出此时点P的坐标；（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，作QH⊥x轴于H，连接QA，QB，当QB平分∠AQH时，请你直接写出此时点Q的坐标．【分析】（1）①由抛物线经过A（1，0），B（3，0），可以假设抛物线的解析式为y＝a （x﹣1）（x﹣3），把C（0，3）代入得到a＝1解决问题．②设直线CD的解析式为y＝kx+b，利用待定系数法即可解决问题．③构建方程组解决问题即可．（2）如图1中，过点E作EH⊥x轴于H．证明△ECP∽△EPD，可得PE2＝EC•ED＝80，在Rt△EHP中，可得PH＝＝＝4由此即可解决问题．（3）延长QH到M，使得HM＝1，连接AM，BM，延长QB交AM于N．证明△QHB ∽△AHM，推出∠BQH＝∠HAM，推出∠ANB＝90°，即QN⊥AM，推出当BM＝AB＝2时，QN垂直平分线段AM，此时QB平分∠AQH，利用勾股定理求出BH即可解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线经过A（1，0），B（3，0），∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把C（0，3）代入得到a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线CD的解析式为y＝x+3，由，解得或，∴E（5，8）．故答案为：y＝x2﹣4x+3，y＝x+3，5，8．（2）如图1中，过点E作EH⊥x轴于H．∵C（0，3），D（﹣3，0），E（5，8），∴OC＝OD＝3，EH＝8，∴∠PDE＝45°，CD＝3，DE＝8，EC＝5，当∠CPE＝45°时，∵∠PDE＝∠EPC，∠CEP＝∠PED，∴△ECP∽△EPD，∴＝，∴PE2＝EC•ED＝80，在Rt△EHP中，PH＝＝＝4，∴把点H向左或向右平移4个单位得到点P，∴P1（1，0），P2（9，0）．（3）延长QH到M，使得HM＝1，连接AM，BM，延长QB交AM于N．设Q（t，t2﹣4t+3），由题意点Q只能在点B的右侧的抛物线上，则QH＝t2﹣4t+3，BH ＝t﹣3，AH＝t﹣1，∴＝＝t﹣3＝，∵∠QHB＝∠AHM＝90°，∴△QHB∽△AHM，∴∠BQH＝∠HAM，∵∠BQH+∠QBH＝90°，∠QBH＝∠ABN，∴∠HAM+∠ABN＝90°，∴∠ANB＝90°，∴QN⊥AM，∴当BM＝AB＝2时，QN垂直平分线段AM，此时QB平分∠AQH，在Rt△BHM中，BH＝＝＝，∴t＝3+，∴Q（3+，3+2）．。
2020年广东省深圳市罗湖区中考数学模拟试卷(一)解析版
2020年广东省深圳市罗湖区中考数学模拟试卷（一）一、选择题（本部分共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）1．下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的有（）A．B．C．D．2．从﹣2、0、2、4中任取一个数，满足x≤0的解的概率是（）A．0B．C．D．3．在学校举行的“歌咏”比赛中，有25名同学进入预赛，预赛成绩各不相同，现要取其中的前12名参加决赛，小亮已经知道了自己的预赛成绩，他想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差4．关于x的不等式组的解集为（）A．x＜6B．x＞6C．6＜x＜7D．x＜75．下列命题正确的是（）A．一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0没有实数根B．反比例函数y＝的图象经过点（1，﹣3）C．有一个角为直角的四边形是矩形D．对角线相等的菱形是正方形6．某工程公司开挖一条500米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么所列方程正确的是（）A．B．C．D．7．已知△ABC与△A1B1C1是关于原点为中心的位似图形，且A（2，1），△ABC与△A1B1C1的相似比为，则A的对应点A1的坐标是（）A．（4，2）B．（﹣4，﹣2）C．（4，2）或（﹣4，﹣2）D．（6，3）8．如图所示，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部的仰角为60°，看这栋高楼底部的俯角为30°，若热气球与高楼的水平距离为30m，则这栋高楼高度是（）A．60m B．40m C．30m D．60m9．如图，已知圆O的圆心在原点，半径OA＝1（单位圆），设∠AOP＝∠α，其始边OA与x轴重合，终边与圆O交于点P，设P点的坐标P（x，y），圆O的切线AT交OP于点T，且AT＝m，则下列结论中错误的是（）A．sinα＝y B．cosα＝xC．tanα＝m D．x与y成反比例10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．“雪花曲线”是瑞典数学家科赫1904构造的图案（又名科赫曲线）．其过程是：第一次操作，将一个等边三角形每边三等分，再以中间一段为边向外作等边三角形，然后去掉中间一段得图②．第二次操作，将图②中的每条线段三等分，重复上面的操作得图③．如此循环下去，得到一个周长无限的“雪花曲线”．若图①中三角形的边长为3，操作4次后所得“雪花曲线”的周长是（）A．22.5B．21C．D．12．如图，Rt△ABC顶点A，B分别在y轴，x轴上，∠ABC＝90°，且AB＝20，AC＝10．将△ABC沿AC折叠，B点落在D处，∠BAD+∠CBX＝90°，则△AOB的内心的坐标是（）A．（4，4）B．（4.5，4.5）C．（6，6）D．（6，8）二.填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．若＝，则＝．14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝5，分别以A，C为圆心，大于AC 长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE，交AB于M，则CM长＝．15．我国古代很早就对二元一次方程组进行了研究，古著《九章算术》记载用算筹表示二元一次方程组，发展到现代就是用矩阵式＝来表示二元一次方程组，而该方程组的解就是对应两直线（不平行）a1x+b1y＝c1与a2x+b2y＝c2的交点坐标P（x，y）．据此，则矩阵式＝所对应两直线交点坐标是．16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AO为BC边上的中线，AB＝5，AO＝，D，E 分别在AB，AO的延长线上，且DE∥BC，∠AED＝∠ACE，则EC的长．三.解答题（本题共7小题，其中第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，第23题9分，共52分）17．（5分）计算：2cos30°﹣tan60°+|﹣1|+20200．18．（6分）先化简，再求值：．其中x是满足不等式5x﹣1≤3（x+1）的正整数．19．（7分）我市某中学为适应学生发展需要，准备开设校课外兴趣小组活动．为了了解学生喜欢项目的情况，以便合理安排场地，在全校2000名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必须在这五个项目中选择一个且只能选一个），调查结果统计如下：课程名称围棋无人机服装设计魔术京剧人数20a3060b 解答下列问题：（1）这次一共抽取了名学生进行调查；（2）统计图表中，a＝，b＝，m＝．（3）估算全校2000名学生中喜欢京剧的学生人数为人．20．（8分）为了研究高致病传染病传播的数学模型，某医疗科研机构利用小球进行模拟试验．在一个方框中，先放入足够多的白球模拟健康人，后在其中同时放入若干红球模拟最初感染人；程序设定，每经过一分钟，每个红球恰能使方框中x个白球同时变成红球（x为程序设定的常数，红球颜色保持不变）．若最初放入的红球数为6，从此刻开始，恰2分钟后，红球总数变为了96个．（1）求x的值；（2）若方框中，最初共有500个白球，每个球都能在方框中随机自由运动，且每个白球“被感染”（即变为红球）的可能性都相同，则从放入红球开始，恰好3分钟后，白球的个数为个；每个白球“被感染”（变为红球）的概率是．21．（8分）如图，直线y＝﹣x+b分别与x轴，y轴相交于A，B，反比例函数y＝（x ＞0）的图象与直线AB相交于C，D两点，且C点坐标是（2，n），tan∠BOC＝．（1）求直线AB及反比例函数的表达式．（2）若x轴上有一点P，使∠ODP＝90°，求P点的坐标．22．（9分）如图，直线AB与⊙O相交于A，B两点，P点在直线AB上．（1）如图，CD是⊙O的直径，∠PBD＝∠PDA，求证：PD是⊙O的切线．（2）如图，设⊙O直径长度为d，当d＝6，OP＝3，∠ADB＝30°时，求P A的长．（3）当P点在直线AB上运动时，试探索P A•PB与OP，d之间的数量关系，并说明理由．23．（9分）如图，抛物线y＝ax2+c与x轴分别相交于点A（﹣4，0），点B与y轴相交于C （0，4），点P是抛物线在x轴上方的一动点（不与C点重合）．（1）求该抛物线的函数表达式．（2）如图1，AP交线段BC于M，令t＝，当t值最大时，求P点的坐标．（3）如图2，直线AP与BP分别与y轴相交于E，F两点，设P点横坐标为m，△PEF 的面为S1，以|m|为半径的圆的面积为S2，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．2020年广东省深圳市罗湖区中考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（本部分共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）1．下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的有（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【解答】解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误．故选：B．2．从﹣2、0、2、4中任取一个数，满足x≤0的解的概率是（）A．0B．C．D．【分析】直接利用概率公式计算得出答案．【解答】解：∵从﹣2、0、2、4中任取一个数，∴满足x≤0的解的概率是：＝．故选：B．3．在学校举行的“歌咏”比赛中，有25名同学进入预赛，预赛成绩各不相同，现要取其中的前12名参加决赛，小亮已经知道了自己的预赛成绩，他想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差【分析】由于比赛取前12名参加决赛，共有25名选手参加，根据中位数的意义分析即可．【解答】解：25个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有12个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．故选：C．4．关于x的不等式组的解集为（）A．x＜6B．x＞6C．6＜x＜7D．x＜7【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得：x＞6，由②得：x＜7，则不等式组的解集为6＜x＜7．故选：C．5．下列命题正确的是（）A．一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0没有实数根B．反比例函数y＝的图象经过点（1，﹣3）C．有一个角为直角的四边形是矩形D．对角线相等的菱形是正方形【分析】根据一元二次方程根的判别式、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的判定定理、正方形的判定定理判断即可．【解答】解：A、一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的判别式△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，∴方程有两个不相等的实数根，本选项说法错误，不符合题意；B、反比例函数y＝的图象经过点（1，3），本选项说法错误，不符合题意；C、有一个角为直角的平行四边形是矩形，本选项说法错误，不符合题意；D、对角线相等的菱形是正方形，本选项说法正确，符合题意；故选：D．6．某工程公司开挖一条500米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么所列方程正确的是（）A．B．C．D．【分析】本题的关键描述语是：“提前4天完成任务”；等量关系为：原计划用时﹣实际用时＝4天．【解答】解：设原计划每天挖x米，则原计划用时为：天，实际用时为：天．所列方程为：﹣＝4，故选：A．7．已知△ABC与△A1B1C1是关于原点为中心的位似图形，且A（2，1），△ABC与△A1B1C1的相似比为，则A的对应点A1的坐标是（）A．（4，2）B．（﹣4，﹣2）C．（4，2）或（﹣4，﹣2）D．（6，3）【分析】根据位似变换的性质、坐标与图形性质解答．【解答】解：△ABC与△A1B1C1是关于原点为中心的位似图形，A（2，1），△ABC与△A1B1C1的相似比为，∴A的对应点A1的坐标是（2×2，1×2）或（﹣2×2，﹣1×2），即（4，2）或（﹣4，﹣2），故选：C．8．如图所示，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部的仰角为60°，看这栋高楼底部的俯角为30°，若热气球与高楼的水平距离为30m，则这栋高楼高度是（）A．60m B．40m C．30m D．60m【分析】过A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD与Rt△ACD中，根据三角函数的定义求得BD和CD，再根据BC＝BD+CD即可求解．【解答】解：如图，过A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，∵∠BAD＝60°，AD＝30（m），∴BD＝AD•tan60°＝30×＝30（m），在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，AD＝30m，∴CD＝AD•tan30°＝30×＝10（m），∴BC＝BD+CD＝30+10＝40（m），即这栋高楼高度是40m．故选：B．9．如图，已知圆O的圆心在原点，半径OA＝1（单位圆），设∠AOP＝∠α，其始边OA与x轴重合，终边与圆O交于点P，设P点的坐标P（x，y），圆O的切线AT交OP于点T，且AT＝m，则下列结论中错误的是（）A．sinα＝y B．cosα＝xC．tanα＝m D．x与y成反比例【分析】过点P作PH⊥OA于点H，由题意知，OA＝OP＝1，OH＝x，PH＝y，由切线的性质定理可知AT⊥OA，分别在Rt△POH和Rt△TOA中可通过锐角三角函数的定义进行判断．【解答】解：如图，过点P作PH⊥OA于H，由题意知，OA＝OP＝1，OH＝x，PH＝y，由切线的性质定理可知AT⊥OA，在Rt△POH中，∠AOP＝∠α，∴sinα＝＝＝y，cosα＝＝＝x，故A，B正确；在Rt△TOA中，tanα＝＝＝m，故C正确，在Rt△POH中，OH2+PH2＝OP2，∴x2+y2＝1，故D错误；故选：D．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x＝1计算2a+b与偶的关系，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴a+c＝b，故本选项正确；②由对称轴为x＝1，一个交点为（﹣1，0），∴另一个交点为（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3，故本选项正确；③由对称轴为x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，则2a+b＝0，故本选项正确；④∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于（0，2），∴c＝2，∵a＜0，∴c﹣a＞2，故本选项正确；故选：D．11．“雪花曲线”是瑞典数学家科赫1904构造的图案（又名科赫曲线）．其过程是：第一次操作，将一个等边三角形每边三等分，再以中间一段为边向外作等边三角形，然后去掉中间一段得图②．第二次操作，将图②中的每条线段三等分，重复上面的操作得图③．如此循环下去，得到一个周长无限的“雪花曲线”．若图①中三角形的边长为3，操作4次后所得“雪花曲线”的周长是（）A．22.5B．21C．D．【分析】首先根据前面几个图形找到相邻周长之间的关系，再进一步得到和第一个图形的周长之间的关系．【解答】解：观察发现：第二个图形在第一个图形的周长的基础上多了它的周长的，即为＝12，第三个在第二个的基础上，多了其周长的，即为，依此类推，则得到的第n个图形的周长是第一个周长的（）n，即其周长是×3×3，当操作四次后n＝5时，×3×3＝．故选：D．12．如图，Rt△ABC顶点A，B分别在y轴，x轴上，∠ABC＝90°，且AB＝20，AC＝10．将△ABC沿AC折叠，B点落在D处，∠BAD+∠CBX＝90°，则△AOB的内心的坐标是（）A．（4，4）B．（4.5，4.5）C．（6，6）D．（6，8）【分析】延长DC交x轴于E点，如图，先利用勾股定理计算出BC＝10和证明AD∥OE，再根据折叠的性质得∠D＝∠ABC＝90°，AD＝AB＝20，接着判断四边形AOED为矩形，然后判断△AOB∽△BEC，利用相似比得到＝＝＝2，设OB＝t，则CE＝t，BE＝20﹣t，在Rt△CBE中利用勾股定理得到（20﹣t）2+（t）2＝102，解方程得到OB ＝12，则OA＝16，然后计算出△AOB的内切圆的半径，从而得到△AOB的内心的坐标．【解答】解：延长DC交x轴于E点，如图，∵∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBE＝90°，BC＝＝＝10，而∠BAD+∠CBE＝90°，∴∠BAD＝∠ABO，∴AD∥OE，∵△ABC沿AC折叠，B点落在D处，∴∠D＝∠ABC＝90°，AD＝AB＝20，∴∠BEC＝90°，∴四边形AOED为矩形，∴OE＝AD＝20，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∠ABO+∠CBE＝90°，∴∠BAO＝∠CBE，而∠AOB＝∠BEC，∴△AOB∽△BEC，∴＝＝＝＝2，设OB＝t，则CE＝t，BE＝20﹣t，在Rt△CBE中，（20﹣t）2+（t）2＝102，整理得t2﹣32t+240＝0，解得t1＝12，t2＝20（舍去），∴OB＝12，∴OA＝＝＝16，设△AOB的内切圆的半径为r，则r＝＝4，∴△AOB的内心的坐标为（4，4）．故选：A．二.填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．若＝，则＝﹣．【分析】根据合分比性质，可得答案．【解答】解：由合分比性质，得＝＝﹣，故答案为：﹣．14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝5，分别以A，C为圆心，大于AC 长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE，交AB于M，则CM长＝5．【分析】根据作图过程可得ME是AC的垂直平分线，进而可得△BMC是等边三角形，即可解决问题．【解答】解：根据作图过程可知：ME是AC的垂直平分线，∴MA＝MC，∴∠MCA＝∠A＝30°，∴∠BMC＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCM＝60°，∴∠B＝60°，∴△BMC是等边三角形，∴CM＝BC＝5．故答案为：5．15．我国古代很早就对二元一次方程组进行了研究，古著《九章算术》记载用算筹表示二元一次方程组，发展到现代就是用矩阵式＝来表示二元一次方程组，而该方程组的解就是对应两直线（不平行）a1x+b1y＝c1与a2x+b2y＝c2的交点坐标P（x，y）．据此，则矩阵式＝所对应两直线交点坐标是（1，﹣2）．【分析】依据矩阵式可得二元一次方程组，再解方程组即可得到矩阵式＝所对应两直线交点坐标．【解答】解：依题意，得，解得，∴矩阵式＝所对应两直线交点坐标是（1，﹣2）．故答案为：（1，﹣2）．16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AO为BC边上的中线，AB＝5，AO＝，D，E 分别在AB，AO的延长线上，且DE∥BC，∠AED＝∠ACE，则EC的长．【分析】先运用勾股定理求得OC，AC，再证明△AEC∽△CEO，依据相似三角形性质可得关于EC的方程，即可求得EC．【解答】解：如图，∵AO为BC边上的中线，∴BO＝OC，BC＝2OC，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AO＝，∴AB2﹣BC2＝AC2，AO2﹣OC2＝AC2，∴AB2﹣BC2＝AO2﹣OC2，即：52﹣（2OC）2＝（）2﹣OC2，解得：OC＝2，∴BC＝4，∴AC＝＝＝3，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠AOB，∵∠AED＝∠ACE，∴∠AOB＝∠ACE，∵∠AOB＝∠ACB+∠CAE，∠ACE＝∠ACB+∠ECO，∴∠CAE＝∠ECO，∵∠AEC＝∠CEO，∴△AEC∽△CEO，∴＝＝＝，∴EC2＝EO•AE，EO＝EC，AE＝AO+EO＝+EC，∴EC2＝EC•（+EC），∵EC＞0，∴EC＝．故答案为：．三.解答题（本题共7小题，其中第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，第23题9分，共52分）17．（5分）计算：2cos30°﹣tan60°+|﹣1|+20200．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2×﹣+﹣1+1＝﹣+﹣1+1＝．18．（6分）先化简，再求值：．其中x是满足不等式5x﹣1≤3（x+1）的正整数．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据x是满足不等式5x﹣1≤3（x+1）的正整数且（x+2）（x﹣2）≠0，可以得到x的值，再将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：＝＝＝，由不等式5x﹣1≤3（x+1）可得，x≤2，∵x是满足不等式5x﹣1≤3（x+1）的正整数且（x+2）（x﹣2）≠0，∴x＝1，当x＝1时，原式＝＝．19．（7分）我市某中学为适应学生发展需要，准备开设校课外兴趣小组活动．为了了解学生喜欢项目的情况，以便合理安排场地，在全校2000名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必须在这五个项目中选择一个且只能选一个），调查结果统计如下：课程名称围棋无人机服装设计魔术京剧人数20a3060b 解答下列问题：（1）这次一共抽取了200名学生进行调查；（2）统计图表中，a＝80，b＝10，m＝10．（3）估算全校2000名学生中喜欢京剧的学生人数为100人．【分析】（1）从两个统计图中可知，选择“魔术”的有60人，占调查人数的30%，可求出得出人数；（2）根据频数、频率、总数之间的关系进行计算即可；（3）求出选择“京剧”所占的百分比即可求出总体1000名学生中选择“京剧”的人数．【解答】解：（1）60÷30%＝200（人），故答案为：200；（2）a＝200×40%＝80（人），b＝200﹣20﹣80﹣30﹣60＝10，20÷200×100%＝10%，即m＝10，故答案为：80，10，10；（3）2000×＝100（人），故答案为：100．20．（8分）为了研究高致病传染病传播的数学模型，某医疗科研机构利用小球进行模拟试验．在一个方框中，先放入足够多的白球模拟健康人，后在其中同时放入若干红球模拟最初感染人；程序设定，每经过一分钟，每个红球恰能使方框中x个白球同时变成红球（x为程序设定的常数，红球颜色保持不变）．若最初放入的红球数为6，从此刻开始，恰2分钟后，红球总数变为了96个．（1）求x的值；（2）若方框中，最初共有500个白球，每个球都能在方框中随机自由运动，且每个白球“被感染”（即变为红球）的可能性都相同，则从放入红球开始，恰好3分钟后，白球的个数为122个；每个白球“被感染”（变为红球）的概率是0.756．【分析】（1）原有6个红球，1分钟后红球数为（6+6x）个，2分钟新增加的红球数为x （6+6x）个，由2分钟后，红球总数变为了96个列方程可得结论；（2）先根据（1）可计算3分钟后红球总数为：96×（1+x），可得白球个数，最后根据新变成红球数÷500可得每个白球“被感染”（变为红球）的概率．【解答】解：（1）根据题意得：6x+6+x（6x+6）＝96，解得：x1＝﹣5（舍），x2＝3；（2）3分钟后红球个数为：96（1+3）＝384（个），所以白球个数为500+6﹣384＝122（个），每个白球“被感染”（变为红球）的概率是：＝＝0.756，故答案为：122，0.756．21．（8分）如图，直线y＝﹣x+b分别与x轴，y轴相交于A，B，反比例函数y＝（x ＞0）的图象与直线AB相交于C，D两点，且C点坐标是（2，n），tan∠BOC＝．（1）求直线AB及反比例函数的表达式．（2）若x轴上有一点P，使∠ODP＝90°，求P点的坐标．【分析】（1）用锐角三角函数求出OE，进而得出点C坐标，最后代入直线和反比例函数解析式中求解，即可得出结论；（2）联立两函数关系式求出点D坐标，进而得出OF＝8，DF＝2，再判断出△OFD∽△DFP，得出比例式，求出PF，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，过点C作CE⊥OB于E，∴∠OEC＝90°，∵C（2，n），∴CE＝2，OE＝n，∵tan∠BOC＝，∴，∴＝，∴n＝4，∴C（2，4），将点C的坐标代入直线AB：y＝﹣x+b中，得4＝﹣×2+b，∴b＝5，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5，将点C的坐标代入反比例函数y＝中，得k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）如图2，由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+5①，反比例函数的解析式为y＝②，联立①②解得，或，∴D（8，1），过点D作DF⊥OA于F，∴∠OFD＝90°，∴∠DOF+∠ODF＝90°，∵∠ODP＝90°，∴∠ODP+∠PDF＝90°，∴∠DOF＝∠PDF，∴△OFD∽△DFP，∴，∵D（8，1），∴OF＝8，DF＝1，∴，∴PF＝，∴OP＝OF+PF＝8+＝，∴P（，0）．22．（9分）如图，直线AB与⊙O相交于A，B两点，P点在直线AB上．（1）如图，CD是⊙O的直径，∠PBD＝∠PDA，求证：PD是⊙O的切线．（2）如图，设⊙O直径长度为d，当d＝6，OP＝3，∠ADB＝30°时，求P A的长．（3）当P点在直线AB上运动时，试探索P A•PB与OP，d之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）连接AC，得出∠ACD+∠ADC＝90°，再用等量代换即可判断出∠PDC＝90°，即可得出结论；（2）连接OA，先判断出△AOB为等边三角形，求出AB＝3，再判断出△P AE∽△PFB，得出比例式，即可得出结论；（3）①当点P在射线BA上时，先判断出∠P AH＝∠G，进而判断出△P AH∽△PGB，即可得出结论；②当点P在射线AB上时，同①即可得出结论；③当点P在线段AB上时，判断出△BPM∽△NP A，即可得出结论．【解答】（1）证明：如图1，连接AC，∵CD为⊙O的直径，∴∠CAD＝90°，∴∠ACD+∠ADC＝90°，∵∠PBD＝∠ACD，∴∠PBD+∠ADC＝90°，∵∠PBD＝∠PDA，∵∠PDA+∠ADC＝90°，∴∠PDC＝90°，∵CD为⊙O的直径，∴PD是⊙O的切线；（2）如图2，连接OA，∴OA＝OB，∵∠ADB＝30°，∴∠AOB＝2∠ADB＝2×30°＝60°，∴△AOB为等边三角形，∴AB＝OA＝d＝3，OP与⊙O的交点记作点E，连接AE，延长PO交⊙O于F，连接BF，∴PE＝OP﹣OE＝3﹣3，PF＝OP+OF＝3+3，∵四边形ABFE是⊙O的内接四边形，∴∠P AE＝∠F，∵∠P＝∠P，∴△P AE∽△PFB，∴，∴，∴P A＝3；（3）①当点P在射线BA上时，如图3，记OP与⊙O的交点为H，连接AH，延长PO交⊙O于G，连接BG，∴PH＝OP﹣OH＝OP﹣d，PG＝OP+OG＝OP+d，∵四边形ABGF是⊙O的内接四边形，∴∠P AH＝∠G，∵∠P＝∠P，∴△P AH∽△PGB，∴，∴P A•PB＝PH•PG＝（OP﹣d）（OP+d）＝OP2﹣d2，②当点P在射线AB上时，同①得，P A•PB＝OP2﹣d2，③当点P在线段AB上时，如图4，延长OP，PO交⊙O于M，N，连接BM，AN，∴PM＝OM﹣OP＝d﹣OP，PN＝ON+OP＝d+OP，∵∠M＝∠P AN，∠PBM＝∠N，∴△BPM∽△NP A，∴，∴P A•PB＝PM•PN＝（﹣OP）（d+OP）＝d2﹣OP2．23．（9分）如图，抛物线y＝ax2+c与x轴分别相交于点A（﹣4，0），点B与y轴相交于C （0，4），点P是抛物线在x轴上方的一动点（不与C点重合）．（1）求该抛物线的函数表达式．（2）如图1，AP交线段BC于M，令t＝，当t值最大时，求P点的坐标．（3）如图2，直线AP与BP分别与y轴相交于E，F两点，设P点横坐标为m，△PEF 的面为S1，以|m|为半径的圆的面积为S2，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）将点A，C坐标代入抛物线解析式中，求解，即可得出结论；（2）设出点P的坐标，进而表示出点G的坐标，表示出PG，再判断出△PMG∽△AMB，得出t＝﹣（n﹣2）2+，即可得出结论；（3）先表示出点P坐标，进而得出直线AP，BP的解析式，求出点E，F的坐标，进而求出S1，再求出S2，即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A（﹣4，0），C（0，4）在抛物线y＝ax2+c上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；（2）如图1，由抛物线的对称性得，B（4，0），∵C（0，4），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+4，设点P的坐标为（n，﹣n2+4），过点P作x轴的平行线，交BC于G，则G（n2，﹣n2+4），∴PG＝n﹣n2，∵PG∥AB，∴△PMG∽△AMB，∴，∴t＝＝＝﹣（n﹣2）2+，当n＝2时，t最大，∴P（2，3）；（3）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+4，∵P点横坐标为m，∴P（m，﹣m2+4），∵A（﹣4，0），∴直线AP的解析式为y＝﹣（m﹣4）x﹣（m﹣4），∴E（0，4﹣m），∵B（4，0），∴直线BP的解析式为y＝﹣（m+4）x+（m+4），∴F（0，m+4），∴EF＝|m+4﹣（4﹣m）|＝|2m|∴S1＝S△PEF＝EF•|x P|＝×|2m|×|m|＝m2，∵以|m|为半径的圆的面积为S2，∴S2＝π•|m|2＝πm2，∴＝＝，是定值，其值为．。
2020年广东省深圳市中考数学模拟试卷及答案解析
2020年广东省深圳市中考数学模拟试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）
1．﹣5的倒数是（）
A．﹣5B ．C ．﹣D．5
2．据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 000吨．将300 000用科学记数法表示应为（）
A．0.3×106B．3×105C．3×106D．30×104
3．如图所示几何体的左视图是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．下列运算正确的是（）
A．a2+2a＝3a3B．（﹣2a3）2＝4a5
C．（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2D ．
5．下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1的度数是（）
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2020年3月广东省深圳市中考数学一模拟试题(附带详细解析)
……外…………○……装………学校:____姓名：________……内…………○……装………绝密★启用前 2020年3月广东省深圳市中考数学一模拟试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．一个数的相反数是－2020，则这个数是( ) A ．2020 B ．－2020 C ．12020 D ．12020 2．截至北京时间2020年3月22日14时30分，全球新冠肺炎确诊病例达305740例，超过30万，死亡病例累计12762人，将“305740”这个数字用科学记数法表示保留两位有效数字为( ) A ．3.05740×105 B ．3.05×105 C ．3.0×105 D ．3.1×105 3．如图，图中所示的几何体为一桶快餐面，其俯视图正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．如图，四个图标分别是剑桥大学、北京大学、浙江大学和北京理工大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )………外…………○…………装…………线…………○……※※※※不※※要※※在………内…………○…………装…………线…………○……A ． B ． C ． D ． 5．2020年3月，我市某区一周天气质量报告中某项污染指标的数据是：60、60、90、100、90、70、90，则下列关于这组数据表述正确的是( )A ．众数是60B ．中位数是100C ．极差是40D ．平均数是78 6．下列计算正确的是（ ）A =B ．743m m -=C ．538a a a ⋅=D ．32911()39a a=7．直线y ＝kx 沿y 轴向下平移4个单位长度后与x 轴的交点坐标是(－3，0)，以下各点在直线y ＝kx 上的是( )A ．(－4，0)B ．(0，3)C ．(3，－4)D ．(－4，3) 8．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以点A ，点C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 、点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点D ，连接CD ．若AE ＝3，BC ＝8，则CD 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b 与反比例函数y=cx 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）…………○………………○…………线…………○……学校:____考号：___________…………○………………○…………线…………○……A ． B ． C ．D ． 10．下列命题中错误的是( ) A ．既是矩形又是菱形的四边形是正方形 B ．有一个角是直角的菱形是正方形 C ．有一组邻边相等的矩形是正方形 D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 11．对任意四个有理数a ，b ，c ，d 定义新运算：a b ad bc c d =-，已知24181-=x x ，则x ＝( ) A ．－1 B ．2 C ．3 D ．4 12．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝130°，∠B ＝∠D ＝90°，点E ，F 分别是线段BC ，DC 上的动点.当△AEF 的周长最小时，则∠EAF 的度数为( ) A ．90° B ．80° C ．70° D ．60° 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题○…………※○…………○…………线…………○……_○…………线…………○……根据以上信息，回答下列问题： （1） ①表中m 的值为__________； ②一分钟仰卧起坐成绩的中位数为__________； （2）若实心球成绩达到7.2米及以上时，成绩记为优秀． ①请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数； ②该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的8名女生的两项成绩的数据抄录如下： 其中有3名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，但老师说这8名女生中恰好有4人两项测试成绩都达到了优秀，于是体育委员推测女生E 的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀，你同意体育委员的说法吗？并说明你的理由． 20．如图是长沙九龙仓国际金融中心，位于长沙市黄兴路与解放路交会处的东北角，投资160亿元人民币，总建筑面积达98万平方米，中心主楼BC 高452m ，是目前湖南省第一高楼，大楼顶部有一发射塔AB ，已知和BC 处于同一水平面上有一高楼DE ，在楼DE 底端D 点测得A 的仰角为α，tanα＝247，在顶端E 点测得A 的仰角为45°，AE ＝140m （1）求两楼之间的距离CD ； （2）求发射塔AB 的高度．…………外……………线…………○………………内……………线…………○…… 21．深圳天虹某商场从厂家批发电视机进行零售，批发价格与零售价格如下表：若商场购进甲、乙两种型号的电视机共50台，用去9万元．(1)求商场购进甲、乙型号的电视机各多少台？(2)迎“元旦”商场决定进行优惠促销：以零售价的七五折销售乙种型号电视机，两种电视机销售完毕，商场共获利8.5%，求甲种型号电视机打几折销售？22．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝13 x 2+bx +c 的图象与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中点A 的坐标为（﹣3，0），点B 的坐标为（4，0），连接AC ，BC ．动点P 从点A 出发，在线段AC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 作匀速运动；同时，动点Q 从点O 出发，在线段OB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t 秒．连接PQ ．（1）填空：b ＝ ，c ＝ ；（2）在点P ，Q 运动过程中，△APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）点M 在抛物线上，且△AOM 的面积与△AOC 的面积相等，求出点M 的坐标。
2020年广东省深圳高中北校区中考数学一模试卷 (解析版)
2020年深圳高中北校区中考数学一模试卷一、选择题（共12小题）.1．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是（）A．x＝2B．x1＝0，x2＝2C．x1＝2，x2＝1D．x＝﹣12．如图所示的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．3．若点（﹣2，﹣6）在反比例函数y＝上，则k的值是（）A．3B．﹣3C．12D．﹣124．如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝2，BC＝3，DE＝1.6，则EF＝（）A．2.4B．1.8C．2.6D．2.85．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°6．若△ABC∽△DEF，＝2，△ABC面积为8，则△DEF的面积为（）A．1B．2C．4D．87．将抛物线y＝x2﹣4x+3平移，使它平移后图象的顶点为（﹣2，4），则需将该抛物线（）A．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位B．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位C．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位D．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位8．在一幅长60dm宽40dm的庆祝建国70周年宣传海报四周镶上相同宽度的金色纸片制成一幅矩形挂图．要使整个挂图的面积为2800dm2，设纸边的宽为xdm，则可列出方程为（）A．x2+100x﹣400＝0B．x2﹣100x﹣400＝0C．x2+50x﹣100＝0D．x2﹣50x﹣100＝09．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE ＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB是（）A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米10．以下说法正确的是（）A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C．点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y＝图象上，且x1＜x2，则y1＜y2D．对于一元二元方程ax2+bx+c＝0（ac＜0），若b＝0，则方程的两个根互为相反数11．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：x…﹣1013…y…﹣1353…下列结论错误的是（）A．ac＜0B．3是关于x的方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根C．当x＞1时，y的值随x值的增大而减小D．当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞012．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以AD为边向外作等边△ADE，AE＝，连接CE，交BD于F，若点M为AB的延长线上一点，连接CM，连接FM 且FM平分∠AMC，下列选项正确的有（）①DF＝﹣1；②S△AEC＝；③∠AMC＝60°；④CM+AM＝MF．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）13．一元二次方程x2﹣c＝0的一个根是2，则常数c的值是．14．若＝，则的值为．15．如图，O点是矩形ABCD的对角线AC的中点，菱形ABEO的边长为2，则BC＝．16．如图，点A是双曲线y＝上的一个动点，连接AO并延长交双曲线于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转60°得到线段BC，若点C在双曲线y＝（k≠0，x＜0）上运动，则k＝．三、解答题（本大题共7小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．计算：4sin30°﹣cos45°﹣tan30°+2sin60°18．解方程：x2﹣x﹣1＝0．19．五一期间，甲、乙两人在附近的景点游玩，甲从A、B两个景点中任意选择一个游玩，乙从A、B、C三个景点中任意选择一个游玩．（1）乙恰好游玩A景点的概率为；（2）用列表或画树状图的方法列出所有等可能的结果．并求甲、乙恰好游玩同一景点的概率．20．如图，某校有一教学楼AB，其上有一避雷针AC为7米，教学楼后面有一小山，其坡度为i＝：1，山坡上有一休息亭E供爬山人员休息，测得山坡脚F与教学搂的水平距离BF为19米，与休息亭的距离FE为10米，从休息亭E测得教学楼上避雷针顶点C的仰角为30°，求教学搂AB的高度．（结果保留根号）（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）21．如图，已知平行四边形ABCD，对角AC与BD交于点O，以AD、AB边分别为边长作正方形ADEF正方形ABHG，连接FG．（1）求证：FG＝2AO；（2）若AB＝6，AD＝4，∠BAD＝60°，请求出△AGF的面积．22．深圳某百果园店售卖赣南脐橙，已知每千克脐橙的成本价为6元，在销售脐橙的这40天时间内，销售单价x（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系式为x＝t+16（1≤t≤40，且t为整数），日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系式为y＝﹣2t+200（1≤t≤40，且t为整数）（1）请你直接写出日销售利润w（元）与时间第t（天）之间的函数关系式；（2）该店有多少天日销售利润不低于2400元？（3）在实际销售中，该店决定每销售1千克脐橙，就捐赠m（m＜7）元给希望工程，在这40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣+bx+c的对称轴是直线x＝与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为抛物线对称轴上一动点，当|BM﹣CM|的值最小时，请你求出点M的坐标；（3）抛物线上是否存在点N，过点N作NH⊥x轴于点H，使得以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是（）A．x＝2B．x1＝0，x2＝2C．x1＝2，x2＝1D．x＝﹣1【分析】根据因式分解法即可求出答案．解：∵x（x﹣2）＝x﹣2，∴x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，∴x＝2或x＝1，故选：C．2．如图所示的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．【分析】根据左视图的画法画出相应的图形即可；注意看不到的线用虚线表示．解：根据三视图的画法，从左面看到的图形为，A选项的图形，故选：A．3．若点（﹣2，﹣6）在反比例函数y＝上，则k的值是（）A．3B．﹣3C．12D．﹣12【分析】把已知点的坐标代入y＝中即可得到k的值．解：把点（﹣2，﹣6）代入y＝得k＝﹣2×（﹣6）＝12．故选：C．4．如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝2，BC＝3，DE＝1.6，则EF＝（）A．2.4B．1.8C．2.6D．2.8【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后利用比例性质可求出EF的长．解：∵a∥b∥c，∴＝，即＝，∴EF＝2.4．故选：A．5．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】根据直角三角形的斜边中线性质可得OE＝BE＝OD，根据菱形性质可得∠DBE ＝∠ABC＝70°，从而得到∠OEB度数，再依据∠OED＝90°﹣∠OEB即可．解：∵四边形ABCD是菱形，∴O为BD中点，∠DBE＝∠ABC＝70°．∵DE⊥BC，∴在Rt△BDE中，OE＝BE＝OD，∴∠OEB＝∠OBE＝70°．∴∠OED＝90°﹣70°＝20°．故选：A．6．若△ABC∽△DEF，＝2，△ABC面积为8，则△DEF的面积为（）A．1B．2C．4D．8【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论．解：∵△ABC∽△DEF，＝2，∴＝4．∵△ABC面积为8，∴△DEF的面积＝＝2．故选：B．7．将抛物线y＝x2﹣4x+3平移，使它平移后图象的顶点为（﹣2，4），则需将该抛物线（）A．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位B．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位C．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位D．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位【分析】利用配方法得到抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点坐标为（2，﹣1），然后通过顶点的平移的规律确定抛物线的平移规律．解：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，则抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点坐标为（2，﹣1），把点（2，﹣1）先向左平移4个单位，再向上平移5个单位得到点（﹣2，4），所以将抛物线y＝x2﹣4x+3先向左平移4个单位，再向上平移5个单位，使它平移后图象的顶点为（﹣2，4）．故选：C．8．在一幅长60dm宽40dm的庆祝建国70周年宣传海报四周镶上相同宽度的金色纸片制成一幅矩形挂图．要使整个挂图的面积为2800dm2，设纸边的宽为xdm，则可列出方程为（）A．x2+100x﹣400＝0B．x2﹣100x﹣400＝0C．x2+50x﹣100＝0D．x2﹣50x﹣100＝0【分析】如果设纸边的宽为xdm，那么挂图的长和宽应该为（40+2x）和（60+2x），根据总面积即可列出方程．解：设纸边的宽为xdm，那么挂图的长和宽应该为（60+2x）和（40+2x），根据题意可得出方程为：（60+2x）（40+2x）＝2800，整理得：x2+50x﹣100＝0，故选：C．9．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE ＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB是（）A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC 的长，再加上AC即可得解．解：在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴＝，即＝，解得：BC＝4，∵AC＝1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，即树高5.5m．故选：D．10．以下说法正确的是（）A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C．点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y＝图象上，且x1＜x2，则y1＜y2D．对于一元二元方程ax2+bx+c＝0（ac＜0），若b＝0，则方程的两个根互为相反数【分析】利用频率与概率的意义对A进行判断；分析题设是否能推出结论，从而对B进行判断；根据反比例函数图象的性质对C进行判断；根据一元二次方程的解根与系数的关系即可对D进行判断．解：A、小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的频率是，故A选项的说法错误；B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，故B选项说法错误；C、点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y＝图象上，若x1＜x2＜0，则y1＜y2，故C选项说法错误；D，若b＝0，ac＜0，由根与系数的关系可知：x1+x2＝＝0，x1•x2＝＜0，所以x1、x2互为相反数，故D选项说法正确；故选：D．11．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：x…﹣1013…y…﹣1353…下列结论错误的是（）A．ac＜0B．3是关于x的方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根C．当x＞1时，y的值随x值的增大而减小D．当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0【分析】根据x与y的部分对应值可列出关于a、b、c的方程组，解得a、b、c的值，结合抛物线的对称轴、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系等逐个选项分析即可．解：根据x与y的部分对应值可知：当x＝﹣1时，y＝﹣1，即a﹣b+c＝﹣1；当x＝0时，y＝3，即c＝3；当x＝1时，y＝5，即a+b+c＝5；∴，解得：，∴y＝﹣x2+3x+3．A、ac＝﹣1×3＝﹣3＜0，故本选项正确；B、方程ax2+（b﹣1）x+c＝0可化为方程ax2+bx+c＝x，由表格数据可知，x＝3时，y＝3，则3是方程ax2+bx+c＝x的一个根，从而也是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故本选项正确；C、∵当x＝0时，y＝3；x＝3时，y＝3，∴二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝＝，又∵二次项系数a＝﹣1，抛物线开口向下，∴当1＜x＜时，y的值随x值的增大而增大，故C错误；D、不等式ax2+（b﹣1）x+c＞0可化为：ax2+bx+c＞x，即y＞x，∵由表格可知，（﹣1，﹣1），（3，3）均在直线y＝x上，又抛物线y＝ax2+bx+c开口向下，∴当﹣1＜x＜3时，y＞x，故D正确．综上，只有选项C错误．故选：C．12．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以AD为边向外作等边△ADE，AE＝，连接CE，交BD于F，若点M为AB的延长线上一点，连接CM，连接FM 且FM平分∠AMC，下列选项正确的有（）①DF＝﹣1；②S△AEC＝；③∠AMC＝60°；④CM+AM＝MF．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】过点F作FG⊥CD于G，作∠HFC＝∠DCE，交CD于H，连接OE交AD于P，连接AF，在AM上截取MQ＝MC，连接FQ，由正方形的性质和等边三角形的性质可得AD＝CD，AE＝AD＝，∠ADE＝60°，∠ADC＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°，可求∠DEC＝∠DCE＝15°，由直角三角形的性质可得DG＝GF，GH＝GF，HF＝2GF＝HC，DF＝GF，可求出DF＝GF＝﹣1，可判断①；由等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质可求EO＝OP+EP＝，即可求S△AEC的面积，可判断②；由“SAS”可证△CMF≌△QMF，△ADF≌△CDF，可得∠MCF＝∠FQM，FC ＝FQ，AF＝CF，∠DCF＝∠DAF＝15°，由平行线的性质可求∠AMC＝60°，可判断③；过点C作CN⊥MF于N，设BM＝a，由直角三角形的性质可得AM+CM＝（+3）a，MF＝a+a，可判断④，即可求解．解：如图，过点F作FG⊥CD于G，作∠HFC＝∠DCE，交CD于H，连接OE交AD 于P，连接AF，在AM上截取MQ＝MC，连接FQ，∵四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，∴AD＝CD，AE＝AD＝，∠ADE＝60°，∠ADC＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°，∴∠EDC＝150°，DE＝DC＝，∴∠DEC＝∠DCE＝15°，∴∠HFC＝∠DCE＝15°，∴HC＝HF，∠FHG＝30°，∵FG⊥CD，∠BDC＝45°，∠FHG＝30°，∴DG＝GF，GH＝GF，HF＝2GF＝HC，∴DF＝GF，∵CD＝DG+HG+HC＝（3+）GF＝，∴GF＝，∴DF＝GF＝﹣1，故①正确；∵DE＝AE，DO＝AO，∴EO垂直平分AD，∴EP⊥AD，又∵△AED是等边三角形，AD＝DE＝，∴AP＝，EP＝AP＝，∵DO＝AO，∠AOD＝90°，OP⊥AD，AD＝，∴OP＝，∴EO＝OP+EP＝，∵S△AEC＝S△AEO+S△EOC＝××＝，故②正确；∵FM平分∠AMC，∴∠CMF＝∠AMF，又∵CM＝QM，FM＝FM，∴△CMF≌△QMF（SAS），∴∠MCF＝∠FQM，FC＝FQ，∵AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DF＝DF，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴AF＝CF，∠DCF＝∠DAF＝15°，∴∠FAQ＝75°，FA＝FQ＝FC，∴∠FQA＝FAQ＝75°，∴∠FQM＝∠FCM＝105°，∴∠DCM＝120°，∵DC∥AB，∴∠AMC+∠DCM＝180°，∴∠AMC＝60°，故③正确；如图，过点C作CN⊥MF于N，设BM＝a，∵∠CBM＝90°，∠CMB＝60°，∴CM＝2BM＝2a，CB＝a＝AB，∴AM＝a+a，∴AM+CM＝（+3）a，∵∠CMF＝∠CMA＝30°，∴∠CFM＝180°﹣105°﹣30°＝45°，∵CN⊥FM，∠CMN＝30°，∠CFM＝45°，∴CN＝CM＝a，MN＝a，FN＝CN＝a，∴MF＝a+a，∴AM+CM＝MF，故④错误，故选：C．二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）13．一元二次方程x2﹣c＝0的一个根是2，则常数c的值是4．【分析】将x＝2代入原式即可求出c的值．解：将x＝2代入x2﹣c＝0，∴4﹣c＝0，∴c＝4，故答案为：4；14．若＝，则的值为4．【分析】根据＝，得出b＝3a，再代入进行计算即可得出答案．解：∵＝，∴b＝3a，∴＝＝4；故答案为：4．15．如图，O点是矩形ABCD的对角线AC的中点，菱形ABEO的边长为2，则BC＝2．【分析】根据菱形的性质分别求得AB和AC的长后利用勾股定理求得BC的长即可．解：∵菱形ABEO的边长为2，∴AB＝AO＝2，∵O点是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴∠ABC＝90°，AC＝2AO＝4，∴BC＝＝＝2，故答案为：2．16．如图，点A是双曲线y＝上的一个动点，连接AO并延长交双曲线于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转60°得到线段BC，若点C在双曲线y＝（k≠0，x＜0）上运动，则k＝﹣15．【分析】设点A坐标为（a，b），则ab＝5，连接OC，易证AB⊥OC，OC＝OA．由∠AOC＝90°想到构造K型相似，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，可证△AOE∽△OCD．从而得到OD＝AE＝b，CD＝OE＝a．设点C坐标为（x，y），从而有CD•OD＝﹣x•y＝15，即k＝xy＝﹣15．解：连接OC、AC，设A（a，b），∵点A是双曲线y＝上∴ab＝5，∵AB＝BC，∠AOB＝60°∴△ABC为等边三角形，∵点A与点B关于原点对称，∴OA＝OB，∴AB⊥OC，过点C作CD⊥x轴于点D，AE⊥x轴于点E，∵∠COD+∠AOE＝∠OCD+∠COD＝90°，∴∠AOE＝∠OCD，∴△AOE∽△OCD，∴＝＝＝，∴OD＝AE＝b，CD＝OE＝a，设点C的坐标为（x，y），∴CD•OD＝﹣x•y＝a•b＝3ab＝15，∴k＝xy＝﹣3ab＝﹣15．故答案为﹣15．三、解答题（本大题共7小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．计算：4sin30°﹣cos45°﹣tan30°+2sin60°【分析】依据30°、45°、60°角的各种三角函数值，代入计算即可．解：4sin30°﹣cos45°﹣tan30°+2sin60°＝4×﹣×﹣×+2×＝2﹣1﹣1+＝．18．解方程：x2﹣x﹣1＝0．【分析】根据配方法即可求出答案．解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣2x﹣2＝0，∴x2﹣2x+1＝3，∴（x﹣1）2＝3，∴x＝1±；19．五一期间，甲、乙两人在附近的景点游玩，甲从A、B两个景点中任意选择一个游玩，乙从A、B、C三个景点中任意选择一个游玩．（1）乙恰好游玩A景点的概率为；（2）用列表或画树状图的方法列出所有等可能的结果．并求甲、乙恰好游玩同一景点的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出甲、乙恰好游玩同一景点的结果数，然后根据概率公式求解．解：（1）乙恰好游玩A景点的概率为；故答案为；（2）画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中甲、乙恰好游玩同一景点的结果数为2，所以甲、乙恰好游玩同一景点的概率＝＝．20．如图，某校有一教学楼AB，其上有一避雷针AC为7米，教学楼后面有一小山，其坡度为i＝：1，山坡上有一休息亭E供爬山人员休息，测得山坡脚F与教学搂的水平距离BF为19米，与休息亭的距离FE为10米，从休息亭E测得教学楼上避雷针顶点C的仰角为30°，求教学搂AB的高度．（结果保留根号）（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）【分析】如图作EN⊥BF，EM⊥BC垂足分别为N、M，在Rt△EFN中求出EN，FN，在Rt△CME中求出CM即可解决问题．解：如图作EN⊥BF，EM⊥BC垂足分别为N、M．在Rt△EFN中，∵∠ENF＝90°，EF＝10，EN：FN＝，∴tan∠EFN＝，∴∠EFN＝60°，∴FN＝EF＝5，EN＝FN＝5，∵∠MBN＝∠EMB＝∠ENB＝90°，∴四边形MENB是矩形，∴BM＝EN＝5，ME＝BN＝BF+FN＝24，在Rt△CME中，∠CME＝90°，ME＝24，∠CEM＝30°，∴CM＝ME•tan30°＝24×，∴AM＝CM﹣AC＝8﹣7，∴AB＝AM+BM＝8﹣7+5＝（13﹣7）m．∴教学搂AB的高度为（13﹣7）m．21．如图，已知平行四边形ABCD，对角AC与BD交于点O，以AD、AB边分别为边长作正方形ADEF正方形ABHG，连接FG．（1）求证：FG＝2AO；（2）若AB＝6，AD＝4，∠BAD＝60°，请求出△AGF的面积．【分析】（1）证明△AFG≌△DAC（SAS），可得GF＝AC，则可得出结论；（2）过点D作DM⊥AB于点M，求出DM的长，则可求出S平行四边形ABCD，则S△DAC＝S可求出．△AGF【解答】（1）证明：∵四边形ADEF和四边形ABHG都是正方形，∴AD＝AF，AB＝AG，∠BAG＝∠DAF＝90°，∴∠GAF+∠BAD＝180°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∴∠GAF＝∠ADC，在△AFG和△DAC中，，∴△AFG≌△DAC（SAS），∴GF＝AC，∵平行四边形ABCD中，AC＝2AO，∴GF＝2AO；（2）解：过点D作DM⊥AB于点M，∵AD＝4，∠BAD＝60°，∠AMD＝90°，∴DM＝4×sin60°＝4×＝2，∴S平行四边形ABCD＝AB•DM＝6×2＝12，∴S△DAC＝，∵△AFG≌△DAC，∴S△DAC＝S△AGF＝6．即△AGF的面积为6．22．深圳某百果园店售卖赣南脐橙，已知每千克脐橙的成本价为6元，在销售脐橙的这40天时间内，销售单价x（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系式为x＝t+16（1≤t≤40，且t为整数），日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系式为y＝﹣2t+200（1≤t≤40，且t为整数）（1）请你直接写出日销售利润w（元）与时间第t（天）之间的函数关系式；（2）该店有多少天日销售利润不低于2400元？（3）在实际销售中，该店决定每销售1千克脐橙，就捐赠m（m＜7）元给希望工程，在这40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．【分析】（1）利润＝（售价﹣成本）×销售量，然后根据题目中x与t，y与t关系，即可写出日销售利润w（元）与时间第t（天）之间的函数关系式；（2）根据（1）中的函数关系式和日销售利润不低于2400元，可以得到关于x的不等式，从而可以求得该店有多少天日销售利润不低于2400元；（3）根据题意，可以得到利润与x、m的函数关系式，然后二次函数的性质，即可求得m的取值范围．解：（1）由题意可得，w＝（x﹣6）y＝（t+16﹣6）（﹣2t+200）＝t2+30t+2000，即日销售利润w（元）与时间第t（天）之间的函数关系式是w＝t2+30t+2000；（2）令t2+30t+2000≥2400，解得，20≤t≤40，40﹣20+1＝21，答：该店有21天日销售利润不低于2400元；（3）由题意可得，w＝（x﹣6﹣m）y＝（t+16﹣6﹣m）（﹣2t+200）＝t2+（30+2m）t+2000﹣200m，∵在这40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，∴﹣＞39.5，解得，m＞4.75，又∵m＜7，∴4.75＜m＜7，即m的取值范围为4.75＜m＜7．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣+bx+c的对称轴是直线x＝与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为抛物线对称轴上一动点，当|BM﹣CM|的值最小时，请你求出点M的坐标；（3）抛物线上是否存在点N，过点N作NH⊥x轴于点H，使得以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法直接得出结论；（2）先判断出|BM﹣CM|最小时，BM＝CM，建立方程求解即可得出结论；（3）先判断出∠ACB＝∠BHN＝90°，分两种情况，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解即可得出结论．解：（1）针对于y＝﹣x+2，令x＝0，则y＝2，∴C（0，2），令y＝0，则0＝﹣x+2，∴x＝4，∴B（4，0），∵点C在抛物线y＝﹣+bx+c上，∴c＝2，∴抛物线的解析式为y＝﹣+bx+2，∵点B（4，0）在抛物线上，∴﹣8+4b+2＝0，∴b＝，∴抛物线的解析式为y＝﹣+x+2；（2）∵|BM﹣CM|最小，∴|BM﹣CM|＝0，∴BM＝CM，∴BM2＝CM2，设M（，m），∵B（4，0），C（0，2），∴BM2＝（4﹣）2+m2，CM2＝（）2+（m﹣2）2，∴（4﹣）2+m2＝（）2+（m﹣2）2，∴m＝0，∴M（，0）；（3）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣+x+2，令y＝0，则0＝﹣+x+2，∴x＝4或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵B（4，0），C（0，2），∴BC2＝20，AC2＝5，AB2＝25，∴CB2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∵NH⊥x，∴∠BHN＝90°＝∠ACB，设N（n，﹣n2+n+2），∴HN＝|﹣n2+n+2|，BH＝|n﹣4|，∵以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似，∴①△BHN∽△ACB，∴，∴，∴n＝﹣5或n＝3或n＝4（舍），∴N（﹣5，﹣18）或（3，2），②△BHN∽△BCA，∴，∴，∴n＝0或n＝4（舍）或n＝﹣2，∴N（0，2）或（﹣2，﹣3），即满足条件的点N的坐标为（﹣5，﹣18）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（3，2）．。
2020年深圳市福田区中考数学一模试卷 (含答案解析)
2020年深圳市福田区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.−3的倒数是()A. 3B. −3C. 13D. −132.由六个小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是()A.B.C.D.3.银河系中大约有恒星160000000000颗，数据160000000000用科学记数法表示为()A. 0.16×1012B. 1.6×1011C. 16×1010D. 160×1094.下列四种图案中，不是中心对称图形的为()A. 中国移动B. 中国联通C. 中国网通D. 中国电信5.下列各式中，计算正确的是()A. √4=±2B. √5+√5=√10C. a⋅a3=a4D. (a−b)2=a2−b26.在一次引体向上的测试中，小强等5位同学引体向上的次数分别为：6，8，9，8，9，那么关于这组数据的说法正确的是()A. 平均数是8.5B. 中位数是8.5C. 众数是8.5D. 众数是8和97.如图，直线a//b，∠1=85°，∠2=35°，则∠3=()A. 35°B. 50°C. 60°D. 85°8.下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是()A.B.C.D.9.已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(−1,0)，且满足4a+2b+c>0，有下列结论：①a+b>0；②−a+b+c>0；③b2−2ac>5a2.其中，正确结论的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 310.一次函数y=ax+b和反比例函数y=c在同一个平面直角坐标系中的图象x如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是()A.B.C.D.11.如图，斜坡AB坡度为1：2.4，长度为52米，在坡顶B所在的平台上有一座高楼EF，已知在A处测得楼顶F的仰角为60°，在B处测得楼顶F的仰角为77°，则高楼EF的高度是()(精确到米，参考数据：sin77°≈0.97，tan77°≈4.33，√3≈1.73)A. 125米B. 105米C. 85米D. 65米12.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP=EF；②∠PFE=∠BAP；③PD=√2EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.因式分解：3a3−27a=______．14.在一个不透明的袋子中有50个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为36%，估计袋中白球有______个．15.如图，直线AB切⊙O于C点，D是⊙O上一点，∠EDC=30°，弦EF//AB，连接OC交EF于H点，连接CF，若CF=8，则EF的长为______．16.设反比例函数y=3x 与一次函数y=x+2的图象交于点(a,b)，则1a−1b的值为_____．三、解答题（本大题共7小题，共52.0分）17.计算：|−2|+√8+(2017−π)0−4cos45°18.先化简，再求值：1−x2−1x2+2x+1÷x−1x，其中x=√5−1．19.九年级一班为推选学生参加“中国古诗词大会的海选活动在班级内举行一次选拔赛成绩分为A，B，C，D四个等级，并将收集到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图请你根据图中所给出的信息解答下列各题．(1)求九年级一班共有______人．(2)在扇形统计图中等级为“D”的部分所对应扇形的圆心角为______度．(3)补全条形统计图和扇形统计图．20.如图，四边形ABCD是平行四边形，BE//DF，且分别交对角线AC于点E、F，连接ED，BF.求证：∠1=∠2．21.某学校为了改善办学条件，计划购置一批A型电脑和B型电脑．经投标发现，购买1台A型电脑比购买1台B型电脑贵500元；购买2台A型电脑和3台B型电脑共需13500元．(1)购买1台A型电脑和1台B型电脑各需多少元？(2)根据学校实际情况，需购买A、B型电脑的总数为50台，购买A、B型电脑的总费用不超过145250元．①请问A型电脑最多购买多少台？②从学校教师的实际需要出发，其中A型电脑购买的台数不少于B型电脑台数的3倍，该校共有几种购买方案？试写出所有的购买方案．22.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．(1)求∠CDE的度数；(2)求证：DF是⊙O的切线；(3)若DE=1，则AC=2√5，求tan∠ABD的值．23.如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(−2,0)、B(4,0)、C(0,−8)，与直线y=x−4交于B，D两点(1)求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；(2)点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；(3)点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，直接写出点Q的坐标．【答案与解析】1.答案：D)=1，解析：解：∵(−3)×(−13∴−3的倒数是−1．3故选：D．直接根据倒数的定义进行解答即可．本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数．2.答案：A解析：解：所给图形的俯视图是两排正方形，第一排3个，第二排2个．故选A．俯视图是从物体上面看，所得到的图形．本题考查了简单组合体的三视图，注意掌握：俯视图是从物体上面看所得到的图形．3.答案：B解析：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．解：160 000 000 000=1.6×1011，故答案为：B．4.答案：D解析：本题考查了中心对称图形的知识，解题的关键是掌握中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后能够和原来的图形重合．根据中心对称图形的概念求解．解：A、是中心对称图形，故A选项不符合题意；B、是中心对称图形，故B选项不符合题意；C、是中心对称图形，故C选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故D选项符合题意；故选D．5.答案：C解析：解：A、√4=2，故此选项错误；B、√5+√5=2√5，故此选项错误；C、a⋅a3=a4，故此选项正确；D、(a−b)2=a2−2ab+b2，故此选项错误；故选：C．直接利用同底数幂的乘法运算法则、二次根式的加减运算法则、完全平方公式分别计算得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘法运算、二次根式的加减运算、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．6.答案：D=8，此选项错误；解析：解：A、平均数=6+8+9+8+95B、6，8，8，9，9中位数是8，此选项错误；C、6，8，9，8，9众数是8和9，此选项错误；D、正确；故选D．根据平均数、中位数、众数的定义判断各选项正误即可．本题主要考查了平均数、中位数以及众数的知识，解答本题的关键是熟练掌握各个知识点的定义以及计算公式，此题难度不大．7.答案：B解析：本题主要考查了平行线的性质和三角形的外角定理，比较简单，熟练掌握这些知识是解题的关键，先利用三角形的外角性质，求出∠4的度数，再利用平行线的性质得∠3=∠4=50°．解：在△ABC中，∵∠1=85°，∠2=35°，∴∠4=85°−35°=50°，∵a//b，∴∠3=∠4=50°．故选B.8.答案：B解析：本题考查了作图−基本作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质.过点A作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求．解：过点A作BC的垂线，垂足为D，故B正确，ACD错误．故选B．9.答案：D解析：解：如图，∵抛物线过点(−1,0)，且满足4a+2b+c>0，∴抛物线的对称轴x=−b2a >12，∴b>−a，即a+b>0，所以①正确；∵a<0，b>0，c>0，∴−a+b+c>0，所以②正确；∵a−b+c=0，即b=a+c，∴4a+2(b+c)+c>0，∴2a+c>0，∴b2−2ac−5a2=(a+c)2−2ac−5a2=−(2a+c)(2a−c)，而2a+c>0，2a−c<0，∴∴b2−2ac−5a2>0，即b2−2ac>5a2.所以③正确．故选：D．利用题意画出二次函数的大致图象，利用对称轴的位置得到−b2a >12，则可对①进行判断；利用a<0，b>0，c>0可对②进行判断；由a−b+c=0，即b=a+c，则4a+2(b+c)+c>0，所以2a+c> 0，变形b2−2ac−5a2=−(2a+c)(2a−c)，则可对③进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．10.答案：A解析：解：观察函数图象可知：a<0，b>0，c<0，∴二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x=−b2a>0，与y轴的交点在y轴负半轴．故选：A．根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出a<0、b>0、c<0，由此即可得出：二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x=−b2a>0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a<0、b>0、c<0是解题的关键．11.答案：A解析：解：∵BG⊥AC，BH⊥EF，∴四边形BGEH是矩形，∴BH=EG，BG=EH，由题意BG：AG=1：2.4，在Rt△ABG中，∵AB=52米，由勾股定理可得BG=20米，AG=48米，在Rt△BHF中，∵∠DBF=77°，∴tan77°=FHBH，∴FHBH≈4.33，∴FH=4.33BH，在△Rt△AEF中，∵∠CAF=60°，∴EF=√3AE，∴√3(48+BH)=20+4.33BH，解得BH≈24.25，∴EF=√3(48+BH)≈125米．故选：A．首先证明四边形BGEH是矩形，由题意BG：AG=1：2.4，在Rt△ABG中，根据AB=52米，由勾股定理可得BG=20米，AG=48米，在Rt△BHF中，可知tan77°=FHBH ，推出FHBH≈4.33，推出FH=4.33BH，在Rt△AEF中，由∠CAF=60°，可知EF=√3AE，可得√3(48+BH)=20+4.33BH，解方程求出BH即可解决问题．本题考查解直角三角形−仰角、坡度问题、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．12.答案：C解析：解：作PH⊥AB于H，∴∠PHB=90°，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PEB=∠PEC=∠PFC=90°．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠1=∠2=∠BDC=45°，∠ABC=∠C=90°，∴四边形BEPH和四边形PECF是矩形，PE=BE，DF=PF，∴四边形BEPH为正方形，∴BH=BE=PE=HP，∴AH=CE，∴△AHP≌△FPE，∴AP=EF，∠PFE=∠BAP，故①、②正确，在Rt△PDF中，由勾股定理，得PD=√2PF，∴PD=√2CE．故③正确．∵点P在BD上，∴当AP=AD、PA=PD或DA=DP时△APD是等腰三角形．∴△APD是等腰三角形只有三种情况．故④错误，∴正确的个数有3个．故选C．由四边形ABCD是正方形可以得出AB=BC=CD=AD，∠1=∠2=45°，作PH⊥AB于H，可以得出四边形BEPH为正方形，可以得出AH=CE，由条件可以得出四边形PECF是矩形，就有CE=PF，利用三角形全等可以得出AP=EF，∠PFE=∠BAP，由勾股定理可以得出PD=√2PF，可以得出PD=√2EC，点P在BD上要使△APD一定是等腰三角只有AP=AD、PA=PD或DA=DP时才成立，故可以得出答案．本题考查了正方形的性质，正方形的判定，矩形的性质，勾股定理的运用，全等三角形的运用等多个知识点．13.答案：3a(a+3)(a−3)解析：解：原式=3a(a2−9)=3a(a+3)(a−3)，故答案为：3a(a+3)(a−3)原式提取3a，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14.答案：18解析：用袋中球的总个数乘以摸到白球的频率，据此可得．此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．解：估计袋中白球有50×36%=18个，故答案为：18．15.答案：8√3解析：解：∵直线AB切⊙O于C点，∴OC⊥AB，∵EF//AB，∴OH⊥EF，∴EH=HF，由圆周角定理得，∠F=∠EDC=30°，CF=4，∴HC=12∴HF=√CF2−CH2=4√3，∴EF=2HF=8√3，故答案为：8√3．根据切线的性质得到OC⊥AB，根据平行线的性质得到OH⊥EF，根据垂径定理得到EH=HF，根据圆周角定理、勾股定理计算即可．本题考查的是切线的性质、垂径定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．16.答案：23解析：此题考查反比例函数和一次函数的交点问题，先将点(a,b)代入，得到关于a和b的代数式，然后代入所求的代数式即可．解：由题意得：{ab =3b =a +2，∴ab =3，b −a =2． ∴1a −1b =b−a ab=23． 故答案为23．17.答案：解：原式=2+2√2+1−4×√22=2+2√2+1−2√2=3．解析：直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别化简得出答案． 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.答案：解：1−x 2−1x 2+2x+1÷x−1x=1−(x +1)(x −1)(x +1)2⋅x x −1 =1−x x +1 =x +1−x x +1=1x+1，当x =√5−1时，原式=√5−1+1=√5=√55．解析：根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．19.答案：(1)60；(2)108；(3)由题意C 组人数为60×15%=9(人)D 组人数为60−3−30−9=18(人)，D 占30%，A 占5%，条形统计图和扇形统计图如图所示：解析：解：(1)由题意B组人数为30人，占50%，所以九年级一班共有30÷50%=60人．故答案为60．(2)由题意C组人数为60×15%=9(人)，D组人数为60−3−30−9=18(人)，则D占18÷60=30%，“D”的部分所对应扇形的圆心角为360°×30%=108°，故答案为108．(3)见答案．(1)根据B组人数为30人，占50%即可解决问题．(2)先算出D组所占百分比，然后根据圆心角=360°×百分比，计算即可．(3)根据A，C，D的人数以及百分比补全统计图即可．本题考查条形统计图，扇形统计图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20.答案：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD．∴∠BAE=∠DCF．又∵BE//DF，∴∠BEF=∠EFD，∵∠BEF+∠AEB=180°，∠EFD+∠DFC=180°，∴∠AEB=∠CFD．∴△ABE≌△CDF(AAS)．∴BE=DF．∴四边形BFDE是平行四边形．∴DE//BF ．∴∠1=∠2．解析：本题考查的是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关角相等的证明．根据平行四边形的对边平行且相等，得AB =CD ，AB//CD ，再根据平行线的性质，得∠BAE =∠DCF ，∠AEB =∠CFD ，由AAS 证明△ABE≌△CDF ，根据全等三角形的对应边相等，得BE =DF ，从而得出四边形BFDE 是平行四边形，根据两直线平行内错角相等证得∠1=∠2．21.答案：解：(1)设购买1台A 型电脑需要x 元，购买1台B 型电脑需要y 元，根据题意得：{x −y =5002x +3y =13500， 解得：{x =3000y =2500． 答：购买1台A 型电脑需要3000元，购买1台B 型电脑需要2500元．(2)①设购买A 型电脑m 台，则购买B 型电脑(50−m)台，根据题意得：3000m +2500(50−m)≤145250，解得：m ≤40.5，∵m 为整数，∴m ≤40．答：A 型电脑最多购买40台．②设购买A 型电脑m 台，则购买B 型电脑(50−m)台，根据题意得：m ≥3(50−m)，解得：m ≥37.5，∵m 为整数，∴m ≥38．∴有3种购买方案，方案一：购买A 型电脑38台，B 型电脑12台；方案二：购买A 型电脑39台，B 型电脑11台；方案三：购买A 型电脑40台，B 型电脑10台．解析：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．(1)设购买1台A 型电脑需要x 元，购买1台B 型电脑需要y 元，根据“购买1台A 型电脑比购买1台B 型电脑贵500元；购买2台A 型电脑和3台B 型电脑共需13500元”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)①设购买A型电脑m台，则购买B型电脑(50−m)台，根据总价=单价×数量结合购买A、B型电脑的总费用不超过145250元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可得出结论；②设购买A型电脑m台，则购买B型电脑(50−m)台，根据A型电脑购买的台数不少于B型电脑台数的3倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，结合①的结论即可得出各购买方案．22.答案：(1)解：∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，又∵∠ADC+∠EDC=180°∴∠EDC=90°；(2)证明：连接DO，∵∠EDC=90°，F是EC的中点，∴DF=FC，∴∠FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，∵∠OCF=90°，∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF是⊙O的切线；(3)解：∠A=∠A，∠ACE=∠ACD，∴△ACE∽△ADC，AC2=AD×AE∵DE=1，AC=2√5，∴20=AD(AD+1)∴AD =4或−5(舍去)∵DC 2=AC 2−AD 2∴DC =2，∴tan∠ABD =tan∠ACD =ADDC =2．解析：本题主要考查了圆的综合以及切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识．(1)直接利用圆周角定理得出∠CDE 的度数；(2)直接利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出∠ODF =∠ODC +∠FDC =∠OCD +∠DCF =90°，进而得出答案；(3)利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD ，DC 的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD 的值．23.答案：解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)与x 轴的交点坐标是A(−2,0)、B(4,0)， ∴设该抛物线解析式为y =a(x +2)(x −4)，将点C(0,−8)代入函数解析式代入，得a(0+2)(0−4)=−8，解得a =1，∴该抛物线的解析式为：y =(x +2)(x −4)或y =x 2−2x −8．联立方程组：{y =x 2−2x −8y =x −4， 解得{x =4y =0(舍去)或{x =−1y =−5， 即点D 的坐标是(−1,−5)；(2)如图所示：过点P 作PE//y 轴，交直线AB 与点E ，设P(x,x 2−2x −8)，则E(x,x −4)．∴PE =x −4−(x 2−2x −8)=−x 2+3x +4．∴S △BDP =S △DPE +S △BPE =12PE ⋅(x p −x D )+12PE ⋅(x B −x E )=12PE ⋅(x B −x D )=52(−x 2+3x +4)=−52(x −32)2+1258． ∴当x =32时，△BDP 的面积的最大值为1258．∴P(32,−354).(3)设直线y =x −4与y 轴相交于点K ，则K(0,−4)，设G 点坐标为(x,x 2−2x −8)，点Q 点坐标为(x,x −4)．∵B(4,0)，∴OB =OK =4．∴∠OKB =∠OBK =45°．∵QF ⊥x 轴，∴∠DQG =45°．若△QDG 为直角三角形，则△QDG 是等腰直角三角形．①当∠QDG =90°时，过点D 作DH ⊥QG 于H ，∴QG =2DH ，QG =−x 2+3x +4，DH =x +1，∴−x 2+3x +4=2(x +1)，解得：x =−1(舍去)或x =2，∴Q 1(2,−2)．②当∠DGQ =90°，则DH =QH ．∴−x2+3x+4=x+1，解得x=−1(舍去)或x=3，∴Q2(3,−1)．综上所述，当△QDG为直角三角形时，点Q的坐标为(2,−2)或(3,−1)．解析：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的性质、待定系数法求二次函数的表达式，等腰直角三角形的判定，合理运用分类讨论思想是解答本题的关键．(1)设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x−4)，将点C的坐标代入可求得a的值，然后将y=x−4与抛物线的解析式联立方程组并求解即可；(2)过点P作PE//y轴，交直线AB与点E，设P(x,x2−2x−8)，则E(x,x−4)，则PE═−x2+3x+4，然后依据S△BDP=S△DPE+S△BPE，列出△BDP的面积与x的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可；(3)设直线y=x−4与y轴相交于点K，则K(0,−4)，设G点坐标为(x,x2−2x−8)，点Q点坐标为(x,x−4)，先证明△QDG为等腰直角三角形，然后根据∠QDG=90°和∠DGQ=90°两种情况求解即可．。
2020年广东深圳市中考数学一模试卷及解析
2020年广东深圳市中考一模试卷数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36分）1.一种巧克力的质量标识为“100±0.25克”，则下列巧克力合格的是()A. 100.30克B. 100.70克C. 100.51克D. 99.80克2.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()A. B. C. D.3.下列运算正确的是()A. 2m×3m=6mB. (m3)2=m6C. (−2m)3=−2m3D. m2+m2=m44.2019年1月3日，经过26天的飞行，嫦娥4号月球探测器在月球背面的预定着陆区中顺利着陆，成为人类首颗成功软着陆月球背面的探测器地球与月球之间的平均距离大约为384000km，384000用科学记数法表示为()A. 3.84×103B. 3.84×104C. 3.84×105D. 3.84×1065.一个两位数，它的十位数字是3，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面分别标有数字1−6)朝上一面的数字，任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是3的倍数的概率等于()A. 16B. 13C. 12D. 236.某校年级(1)班在“迎中考日誓师”活动中打算制作一个带有正方体挂坠的倒计时牌挂在班级，正方体的每个面上分别书写“成功舍我其谁”六个字如图是该班同学设计的正方体挂坠的平面展开图，那么“谁”对面的字是()A. 成B. 功C. 其D. 我7.如图，在平行线l1、l2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A，B分别在直线l1、l2上，若∠1=65°，则∠2的度数是()A. 25°B. 35°C. 45°D. 65°8.下列命题中，是假命题的是()A. 样本方差越大，数据波动越小B. 正十七边形的外角和等于360°C. 位似图形必定相似D. 方程x2+x+1=0无实数根9.如图，在平行四边形ABCD中，∠A=2∠B，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是()A. πB. 2πC. 3πD. 6π10.某中学为了创建“最美校园图书屋”，新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍．已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是多少元？设学校购买文学类图书平均每本书的价格是x元，则下面所列方程中正确的是()A. 12000x+100=120001.2xB. 12000x=120001.2x+100C. 12000x−100=120001.2xD. 12000x=120001.2x−10011.给出一种运算：对于函数y=x n，规定若函数y=x4，则有，已知函数y=x3，则方程的解是()A. x=2B. x=3C. x 1=0，x2=2D. x=−212.如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE=90°，连接AF、CF，CF与AB交于G.有以下结论：①AE=BC②AF=CF③BF2=FG⋅FC④EG⋅AE=BG⋅AB其中正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.因式分解：m2n−6mn+9n=______．14.某次射击训练中，一小组的成绩如表所示：已知该小组的平均成绩为8环，那么成9______环数789人数3415.如图，在▱ABCD中，AB=2√13cm，AD=4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长______cm．16.如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=8x的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC−S△BAD=______．三、解答题（本大题共7小题，共52分）17.计算：4sin60°+|3−√12|−(12)−1+(π−2019)018.x取哪些整数值时，不等式5x+2>3(x−1)与12x≤2−32x都成立？19.某兴趣小组为了了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校300名男生进行了问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图．请根据以上信息解答下列问题：(1)课外体育锻炼情况扇形统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为______；(2)请补全条形统计图；(3)该校共有1200名男生，请估计全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数；(4)小明认为“全校所有男生中，课外最喜欢参加的运动项目是乒乓球的人数约为1200×27=108”，请你判断这种说法是否正确，并说明理由．30020.在小水池旁有一盏路灯(如图)，已知支架AB的长是0.8m，A端到B地面的距离AC是4m，支架AB与灯柱AC的夹角为65°小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45°，在水池的内沿E测得支架A端的仰角是50°(点C，E，D在同一直线上)，求小水池的宽DE.(结果精确到0.1.参考数据：sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan50°≈1.2)21.一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整2h后提速行驶至乙地．设行驶时间为x(ℎ)，货车的路程为y1(km)，小轿车的路程为y2(km)，图中的线段OA与折线OBCD分别表示y1，y2与x之间的函数关系．(1)甲乙两地相距______km，m=______；(2)求线段CD所在直线的函数表达式；(3)小轿车停车休整后还要提速行驶多少小时，与货车之间相距20km？22.如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．(1)连接AD，则∠OAD=______°；(2)求证：DE与⊙O相切；(3)点F在BC⏜上，∠CDF=45°，DF交AB于点N.若DE=3，求FN的长．23.如图，抛物线y=ax2+bx−5(a≠0)经过点A(4,−5)，与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．(1)求这条抛物线的表达式；(2)连结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；(3)如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】此题考查了正数和负数，解题的关键是：求出巧克力的质量标识的范围．计算巧克力的质量标识的范围：在100−0.25和100+0.25之间，即：从99.75克到100.25克之间．【解答】解：100−0.25=99.75(克)，100+0.25=100.25(克)，所以巧克力的质量标识范围是：在99.75克到100.25克之间．故选D．2.【答案】B【解析】解：A、不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项正确；C、不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.【答案】B【解析】解：A、2m×3m=6m2，故原题计算错误；B、(m3)2=m6，故原题计算正确；C、(−2m)3=−8m3，故原题计算错误；D、m2+m2=2m2，故原题计算错误；故选：B．根据单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变进行计算即可．此题主要考查了单项式与单项式相乘、幂的乘方、积的乘方、合并同类项，关键是熟练掌握计算法则．4.【答案】C【解析】解：384000=3.84×105．故选：C．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：根据题意，得到的两位数有31、32、33、34、35、36这6种等可能结果，其中两位数是3的倍数的有33、36这2种结果，∴得到的两位数是3的倍数的概率等于26=13，故选：B．根据题意得出所有2位数，从中找到两位数是3的倍数的结果数，利用概率公式计算可得．此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．6.【答案】D【解析】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“我”与“谁”是相对面，故选：D．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键，过点C作CD//l1，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：如图，过点C作CD//l1，则∠1=∠ACD．∵l1//l2，∴CD//l2，∴∠2=∠DCB．∵∠ACD+∠DCB=90°，∴∠1+∠2=90°，又∵∠1=65°，∴∠2=25°．故选：A．8.【答案】A【解析】解：A、样本方差越大，数据波动越大，故原命题错误，是假命题；B、任意正多边形的外角和均为360°，故原命题正确，是真命题；C、位似图形必相似，正确，是真命题；D、方程x2+x+1=0无实数根，正确，是真命题，故选：A．利用方差的意义、正多边形的性质、位似图形的定义及一元二次方程根的判别式分别判断后即可确定正确的选项．考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解方差的意义、正多边形的性质、位似图形的定义及一元二次方程根的判别式，难度不大．9.【答案】C【解析】解：∵在▱ABCD中，∠A=2∠B，∠A+∠B=180°，∴∠A=120°，∵∠C=∠A=120°，⊙C的半径为3，∴图中阴影部分的面积是：120⋅π×32360=3π，故选：C．根据平行四边形的性质可以求得∠C的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积．本题考查扇形面积的计算、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用扇形面积的计算公式解答．10.【答案】B【解析】解：设学校购买文学类图书平均每本书的价格是x元，可得：12000x =120001.2x+100，故选：B．首先设文学类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为1.2x元，根据题意可得等量关系：学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，根据等量关系列出方程，此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．11.【答案】C【解析】解：由题意可知：y′=3x2，∴3x2=6x，∴x=0或x=2，故选：C．根据新定义运算法则以及一元二次方程的解法即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．12.【答案】C【解析】解：①DE平分∠ADC，∠ADC为直角，∴∠ADE=12×90°=45°，∴△ADE为等腰直角三角形，∴AD=AE，又∵四边形ABCD矩形，∴AD=BC，∴AE=BC②∵∠BFE=90°，∠BFE=∠AED=45°，∴△BFE为等腰直角三角形，∴则有EF=BF又∵∠AEF=∠DFB+∠ABF=135°，∠CBF=∠ABC+∠ABF=135°，∴∠AEF=∠CBF在△AEF和△CBF中，AE=BC，∠AEF=∠CBF，EF=BF，∴△AEF≌△CBF(SAS)∴AF=CF③假设BF2=FG⋅FC，则△FBG∽△FCB，∴∠FBG=∠FCB=45°，∵∠ACF=45°，∴∠ACB=90°，显然不可能，故③错误，④∵∠BGF=180°−∠CGB，∠DAF=90°+∠EAF=90°+(90°−∠AGF)=180°−∠AGF，∠AGF=∠BGC，∴∠DAF=∠BGF，∵∠ADF=∠FBG=45°，∴△ADF∽△GBF，∴ADBG =DFBF=DFEF，∵EG//CD，∴EFDF =EGCD=EGAB，∴ADBG =ABGE，∵AD=AE，∴EG⋅AE=BG⋅AB，故④正确，故选：C．①只要证明△ADE为等腰直角三角形即可②只要证明△AEF≌△CBF(SAS)即可；③假设BF2=FG⋅FC，则△FBG∽△FCB，推出∠FBG=∠FCB=45°，由∠ACF=45°，推出∠ACB=90°，显然不可能，故③错误，④由△ADF∽△GBF，可得ADBG =DFBF=DFEF，由EG//CD，推出EFDF=EGCD=EGAB，推出ADBG=ABGE，由AD=AE，EG⋅AE=BG⋅AB，故④正确，本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13.【答案】n(m−3)2【解析】解：m2n−6mn+9n=n(m2−6m+9)=n(m−3)2．故答案为：n(m−3)2．此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．14.【答案】3【解析】解：设成绩为9环的人数是x，根据题意得：(7×3+8×4+9⋅x)÷(3+4+x)=8，解得：x=3，则成绩为9环的人数是3；故答案为：3．先设成绩为9环的人数是x，根据加权平均数的计算公式列出方程，求出x的值即可．此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式和已知条件列出方程，是一道基础题．15.【答案】4【解析】解：在▱ABCD中，∵AB=CD=2√13cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，∵AC⊥BC，∴AC =√AB 2−BC 2=6cm ， ∴OC =3cm ，∴BO =√OC 2+BC 2=5cm ， ∴BD =10cm ，∴△DBC 的周长−△ABC 的周长=BC +CD +BD −(AB +BC +AC)=BD −AC =10−6=4cm ， 故答案为：4．根据平行四边形的性质得到AB =CD =2√13cm ，AD =BC =4cm ，AO =CO ，BO =DO ，根据勾股定理得到OC =3cm ，BD =10cm ，于是得到结论．本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 16.【答案】4【解析】解：设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为a 、b ， 则点B 的坐标为(a +b,a −b)．∵点B 在反比例函数y =8x 的第一象限图象上， ∴(a +b)×(a −b)=a 2−b 2=8．∴S △OAC −S △BAD =12a 2−12b 2=12(a 2−b 2)=12×8=4．故答案为：4．设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为a 、b ，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B 的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k 的几何意义以及点B 的坐标即可得出结论．本题考查了反比例函数系数k 的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是找出a 2−b 2的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出等腰直角三角形的直角边，用其表示出反比例函数上点的坐标是关键．17.【答案】解：4sin60°+|3−√12|−(12)−1+(π−2019)0=4×√32+2√3−3−2+1 =2√3+2√3−4 =4√3−4【解析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18.【答案】解：根据题意解不等式组{5x +2>3(x −1)①12x ≤2−32x ②， 解不等式①，得：x >−52， 解不等式②，得：x ≤1， ∴−52<x ≤1，故满足条件的整数有−2、−1、0、1．【解析】根据题意分别求出每个不等式解集，根据口诀：大小小大中间找，确定两不等式解集的公共部分，即可得整数值．本题考查的是解一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19.【答案】(1)144°(2)“经常参加”的人数为：300×40%=120人，喜欢篮球的学生人数为：120−27−33−20=120−80=40人；补全统计图如图所示；(3)全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数约为：=160人；1200×40300(4)这个说法不正确．理由如下：小明得到的108人是全校经常参加课外体育锻炼的男生中最喜欢的项目是乒乓球的人数，而全校偶尔参加课外体育锻炼的男生中也会有最喜欢乒乓球的，因此应多于108人．【解析】解：(1)360°×(1−15%−45%)=360°×40%=144°；故答案为：144°；(2)见答案(3)见答案(4)见答案【分析】(1)用“经常参加”所占的百分比乘以360°计算即可得解；(2)先求出“经常参加”的人数，然后求出喜欢篮球的人数，再补全统计图即可；(3)用总人数乘以喜欢篮球的学生所占的百分比计算即可得解；(4)根据喜欢乒乓球的27人都是“经常参加”的学生，“偶尔参加”的学生中也会有喜欢乒乓球的考虑解答．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20.【答案】解；作BF⊥AC于F，作BG⊥CD于G，如图所示：则CG=BF，BG=CF，，在Rt△ABF中，∠BAF=65°，AB=0.8，sin∠BAF=BFABcos ∠BAF =AF AB ，∴BF =AB ×sin65°≈0.8×0.9=0.72，AF =AB ×cos65°≈0.8×0.4=0.36， ∴BG =CF =AF +AC =0.36+4=4.36，CG =BF =0.72，在Rt △ACE 中，tan ∠CEA =AC CE ，∴CE =ACtan50∘≈41.2≈3.333，∵∠BDG =45°，∠BGD =90°，∴△BDG 是等腰直角三角形，∴DG =BG =4.36，∴CD =CG +DG =0.72+4.36=5.08，∴DE =CD −CE =5.08−3.333≈1.7(m)；答：小水池的宽DE 约为1.7m ．【解析】作BF ⊥AC 于F ，作BG ⊥CD 于G ，则CG =BF ，BG =CF ，在Rt △ABF 中，由三角函数得出BF =AB ×sin65°≈0.72，AF =AB ×cos65°≈0.36，得出BG =CF =AF +AC =0.36+4=4.36，CG =BF =0.72，在Rt △ACE 中，由三角函数得出CE =ACtan50∘≈3.333，证明△BDG 是等腰直角三角形，得出DG =BG =4.36，求出CD 的长，即可得出答案．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握甲种直角三角形，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．21.【答案】(1)420；5(2)设直线CD 的解析式为y =kx +b ，把C(5,270)，D(6.5,420)代入得到{5k +b =2706.5k +b =420， 解得{k =100b =−230， ∴直线CD 的解析式为y =100x −230．(3)设线段OA 所在的直线的解析式为y =k′x ，把点A(7,420)代入得到k′=60，∴y =60x ，由题意：60x −(100x −230)=20，解得x =214，x −5=14， 或(100x −230)−60x =20，解得x =254，x −5=54， 答：小轿车停车休整后还要提速行驶14或54小时，与货车之间相距20km.【解析】解：(1)观察图象可知：甲乙两地相距420km ，m =5，故答案为：420，5；(2)见答案；(3)见答案．【分析】(1)观察图象结合题意即可解决问题；(2)利用待定系数法即可解决问题；(3)首先确定直线OA 的解析式，分两种情形构建方程解决问题即可；本题考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，学会构建一次函数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．22.【答案】(1)60；(2)∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，∴CM=MD．∵M是OA的中点，∴AM=MO．又∵∠AMC=∠DMO，∴△AMC≌△OMD．∴∠ACM=∠ODM．∴CA//OD．∵DE⊥CA，∴∠E=90°．∴∠ODE=180°−∠E=90°．∴DE⊥OD．∴DE与⊙O相切．(3)如图2，连接CF，CN，∵OA⊥CD于M，∴M是CD中点．∴NC=ND．∵∠CDF=45°，∴∠NCD=∠NDC=45°．∴∠CND=90°．∴∠CNF=90°．由(1)可知∠AOD=60°．∴∠ACD=1∠AOD=30°．2在Rt△CDE中，∠E=90°，∠ECD=30°，DE=3，=6．∴CD=DEsin30∘在Rt△CND中，∠CND=90°，∠CDN=45°，CD=6，∴CN=CD⋅sin45°=3√2．由(1)知∠CAD=2∠OAD=120°，∴∠CFD=180°−∠CAD=60°．在Rt△CNF中，∠CNF=90°，∠CFN=60°，CN=3√2，=√6．∴FN=CNtan60∘【解析】解：(1)如图1，连接OD ，AD∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB∴AB 垂直平分CD∵M 是OA 的中点，∴OM =12OA =12OD ∴cos ∠DOM =OM OD =12∴∠DOM =60° 又：OA =OD∴△OAD 是等边三角形∴∠OAD =60°故答案为：60°(2)见答案；(3)见答案；【分析】(1)由CD ⊥AB 和M 是OA 的中点，利用三角函数可以得到∠DOM =60°，进而得到△OAD 是等边三角形，∠OAD =60°．(2)只需证明DE ⊥OD.便可以得到DE 与⊙O 相切．(3)利用圆的综合知识，可以证明，∠CND =90°，∠CFN =60°，根据特殊角的三角函数值可以得到FN 的数值．本题考查圆的综合运用，特别是垂径定理、切线的判定要求较高，同时对于特殊角的三角函数值的运用有所考察，需要学生能具有较强的推理和运算能力．23.【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx −5与y 轴交于点C ，∴C(0,−5)，∴OC =5．∵OC =5OB ，∴OB =1，又点B 在x 轴的负半轴上，∴B(−1,0)．∵抛物线经过点A(4,−5)和点B(−1,0)，∴{16a +4b −5=−5a −b −5=0，解得{a =1b =−4， ∴这条抛物线的表达式为y =x 2−4x −5．(2)由y=x2−4x−5，得顶点D的坐标为(2,−9)．连接AC，∵点A的坐标是(4,−5)，点C的坐标是(0,−5)，又S△ABC=12×4×5=10，S△ACD=12×4×4=8，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=18．(3)过点C作CH⊥AB，垂足为点H．∵S△ABC=12×AB×CH=10，AB=√(−1−4)2+(0+5)2=5√2，∴CH=2√2，在Rt△BCH中，∠BHC=90°，BC=√26，BH=√BC2−CH2=3√2，∴tan∠CBH=CHBH =23．∵在Rt△BOE中，∠BOE=90°，tan∠BEO=BOEO，∵∠BEO=∠ABC，∴BOEO =23，得EO=32，∴点E的坐标为(0,32).【解析】(1)先得出C点坐标，再由OC=5BO，得出B点坐标，将A、B两点坐标代入解析式求出a，b；(2)分别算出△ABC和△ACD的面积，相加即得四边形ABCD的面积；(3)由∠BEO=∠ABC可知，tan∠BEO=tan∠ABC，过C作AB边上的高CH，利用等面积法求出CH，从而算出tan∠ABC，而BO是已知的，从而利用tan∠BEO=tan∠ABC可求出EO长度，也就求出了E点坐标．本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形面积求法、等积变换、勾股定理、正切函数等知识点，难度适中．第(3)问，将角度相等转化为对应的正切函数值相等是解答关键．。
2020-2021学年广东省深圳市宝安区中考数学一模试卷及答案解析
广东省深圳市中考 数学一模试卷一、选择题1．如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成 80 °角，房屋朝南的窗子高 AB=1.8m ，要在窗子外面上方安装水平挡光板 AC ，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光2．如图，某市在 “旧城改造 ”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米 a 元，则购买这种草皮至少要（A ． 450a 元B ． 225a 元C ． 150a 元D ． 300a 元3．在菱形 ABCD 中， AE ⊥BC 于点 E ，AF ⊥CD 于点 F ，且 E 、F 分别为 BC 、 CD的中A ． 1.8tan80°m B ． 1.8cos80°mD ． D ．点，则∠EAF 等于（）A ． AP=PNB ．NQ=QDC ．四边形 PQNM 是矩形D ． △ABN 是等边三角形6．如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形， 若两个小正方形的面积分别为 的值为（D ．30°4．如图所示，在矩形 ABCD 中， AB= ，BC=2，对角线 AC 、BD 相交于点 O ， 过点 O 作 OE 垂直 AC 交 AD 于点 E ，则 AE 的长是（ ）5．如图， M ，N 分别是平行四边形 ABCD 的对边 AD ，BC 的中点，且AD=2AB ， 连接 AN ，BM ，交S 1、S 2，则 S 1+S 2A ． 60°B ． 55° D ．1.A． 16 B． 17 C．18 D． 197．如图，在平行四边形 ABCD中， AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45°，且AE+AF=2 ，则平行四边形 ABCD 的周长是（）A． 2 B． 4 C．4 D． 88．已知，如上右图，动点 P在函数 y= （x>0）的图象上运动， PM⊥x 轴于点 M，PN⊥y 轴于点 N，线段 PM、PN分别与直线 AB：y=﹣x+1 相交于点 E，F，则 AF?BE的值是（）、填空题（共 4小题，每小题 3分，满分 12 分）9．如图，一次函数 y=ax+b的图象与 x 轴，y 轴交于 A， B两点，与反比例函数的图象相交于C， D两点，分别过 C，D两点作 y轴， x轴的垂线，垂足为 E， F，连接 CF，DE．有下列四个结论：①△ CEF与△DEF的面积相等；②△ AOB∽△ FOE；③△ DCE≌△ CDF；④AC=BD．其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）．11．如图，矩形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点 0，过点 O作 OE⊥AC交 AB 于 E．若BC=8，△ AOE 的面积为 20，则 sin∠ BOE的值为．12．（ 1）如图，矩形 ABCD中， E是 AD的中点，将△ABE沿 BE折叠后得到△GBE，延长 BG 交 CD 于 F点，若 CF=1，FD=2，则 BC的长为．（2）如图，矩形 ABCD中， E． F分别是 AD和 CD的中点，将△ABE沿 BE折叠后得到△GBE，延长 BG交 CD于 F点，若 CF=1，则 BC 的长为．（3）如图，矩形 ABCD中， E 是 AD的中点，将△ABE沿 BE折叠后得到△GBE，延长BG交 CD 于 F点，若 CF=1， BC=4，则 DF的长为．三、解答题（共 6 小题，满分 39分）13．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点 D，AN是△ABC外角∠ CAM的平分线， CE⊥AN，垂足为点 E，1）求证：四边形 ADCE为矩形；2）当△ABC满足什么条件时，四边形 ADCE是一个正方形？并给出证明．14．如图，在正方形 ABCD中，等边三角形 AEF的顶点 E、F 分别在 BC和 CD上．（1）求证： CE=CF；2）若等边三角形 AEF的边长为 2，求正方形 ABCD 的周长．15．在矩形 ABCD中， DC=2 ， CF⊥BD 分别交 BD、AD于点 E、F，连接 BF．1）求证：△ DEC∽△ FDC；2）当 F 为 AD的中点时，求 sin∠FBD的值及 BC的长度．16．（ 2011?随州）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比 i=1：（指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且 AB=20m．身高为 1.7m 的小明站在大堤 A 点，测得髙压电线杆顶端点 D 的仰角为 30°．已知地面 CB宽 30m，求髙压电线杆 CD 的髙度（结果保留三个有效数字，≈1.732)18．（2012?巴中）一副直角三角板如图放置，点 C 在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=12 ，试求 CD的长．19．如图，矩形 OABC在平面直角坐标系中，并且 OA、 OC的长满足： |OA﹣2 |+（ OC﹣6）2=0．（1）求 A、B、 C 三点的坐标．（2）把△ABC沿AC对折，点 B落在点 B1处，AB1与 x轴交于点 D，求直线 BB1的解析式．（3）在直线 AC上是否存在点 P使 PB1+PD的值最小？若存在，请找出点 P的位置，并求出 PB1+PD 的最小值；若不存在，请说明理由．4）在直线 AC上是否存在点 P 使|PD﹣ PB|的值最大？若存在，请找出点 P的位置，并求出 |PD﹣PB|最大值．广东省深圳市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成 80 °角，房屋朝南的窗子高 AB=1.8m ，要在窗子外面上方安装水平挡光板 AC ，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光考点】解直角三角形的应用 - 坡度坡角问题． 【专题】计算题；压轴题．【分析】在光线、遮阳板和窗户构成的直角三角形中， 80°角的正切值 =窗户高：遮阳板的宽，据此即可解答．【解答】解： ∵光线与地面成 80°角， ∴∠ ACB=80°．又∵tan ∠ACB= ， ∴AC= 故选 D ．点评】此题考查三角函数定义的应用．A ． 1.8tan80°mB ． 1.8cos80°m D ．D ．板的宽度 AC 为（ ）2．如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米 a 元，则购买这种草皮至少要（）A． 450a元 B． 225a元 C． 150a 元 D． 300a元【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】求出三角形地的面积即可求解．如图所示，作 BD⊥CA于 D 点．在 Rt△ABD中，利用正弦函数定义求 BD，即△ ABC的高．运用三角形面积公式计算面积求解．【解答】解：如图所示，作 BD⊥CA于 D 点．∵∠ BAC=150°，∴∠ DAB=30°，∵AB=20 米，∴BD=20sin30°=10 米，2∴S△ABC= ×30×10=150（米2）．已知这种草皮每平方米 a 元，所以一共需要 150a 元．故选 C．点评】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形，从而解斜三角形的能力．3．在菱形 ABCD 中， AE ⊥BC 于点 E ，AF ⊥CD 于点 F ，且 E 、F 分别为 BC 、 CD 的中点，则 ∠EAF考点】菱形的性质．【分析】连接 AC ，根据线段垂直平分线上的点到线段两端段的可得 AB=AC ，然后求出 △ ABC 是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出 ∠ CAE=30°，同理可得 ∠CAF=30°，然后根据∠EAF=∠CAE+∠CAF 计算即可得解．【解答】解：如图，连接 AC ， ∵AE ⊥ BC ，点 E 是 BC 的中点， ∴AB=AC ，∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=BC ，∴△ ABC 是等边三角形，∴∠ CAE=30°， 同理可得 ∠CAF=30°，∴∠ EAF=∠CAE+∠CAF=30°+30°=60°．故选 A ．等于（ ） D ．30°【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出等边三角形是解题的关键．4．如图所示，在矩形 ABCD中， AB= ，BC=2，对角线 AC、BD相交于点 O，过点 O作 OE 垂直 AC交 AD 于点 E，则 AE的长是（）A．B．C．1 D． 1.5【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理．【分析】由矩形的性质得出∠ABC=∠ADC=90°，AD=BC=2， CD=AB= ，OA=OC= AC，根据勾股定理求出 AC，得出 OA，再证明△AOE∽△ ADC，得出比例式，即可求出 AE 的长．【解答】解：∵ 四边形 ABCD是矩形，∴∠ ABC=∠ADC=90°，AD=BC=2，CD=AB= ，OA=OC= AC，∴AC= = ，∴OA= ，∵OE⊥AC，∴∠ AOE=90°，∴∠ AOE=∠ ADC，又∵∠ OAE=∠ DAC，∴△ AOE∽△ ADC，∴∴，即，∴AE=1.5；故选： D．【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．5．如图， M，N 分别是平行四边形 ABCD的对边 AD，BC 的中点，且 AD=2AB，连接 AN，BM，交于点 P，连接 DN， CM，交于点 Q，则以下结论错误的是（）A． AP=PN B．NQ=QDC．四边形 PQNM 是矩形 D．△ABN 是等边三角形考点】平行四边形的性质；等边三角形的判定；矩形的判定．【分析】连接 MN，由平行四边形的性质得出 AD=BC，AD∥BC，再证出 AM= AD， BN= BC，得出 AM∥BN，AM=BN，证出四边形 ABNM 是平行四边形，即可得出 AP=PN．【解答】解：连接 MN，如图所示：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AD=BC， AD∥ BC，∵M，N 分别是平行四边形 ABCD的对边 AD，BC的中点，∴AM= AD， BN= BC，∴AM∥ BN， AM=BN，∴四边形 ABNM 是平行四边形，∴AP=PN；同理 NQ=QD；∴A、B 正确；∵AM∥ CN， AM=CN，∴四边形 ANCM 是平行四边形，∴AN∥MC，同理： BM∥ ND，∴四边形 MPNQ 是平行四边形，∵AD=2AB，∴AB=AM，∴四边形 ABNM 是菱形，∴AN⊥BM，∴∠ MPN=90°，∴四边形 MPNQ 是矩形；∴ C 正确， D 不正确；故选： D ．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．6．如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形， 若两个小正方形的面积分别为 S 1、S 2，则 S 1+S 2的值为（ ）A ． 16B ． 17C ．18D ． 19 【考点】勾股定理．【分析】 由图可得， S 2 的边长为 3，由 AC= BC ，BC=CE= CD ，可得 AC=2CD ，CD=2，EC=2 ； 然后，分别算出 S 1、 S 2的面积，即可解答．【解答】解：如图， 设正方形 S 1 的边长为 x ， ∵△ ABC 和△CDE 都为等腰直角三角形， ∴AB=BC ， DE=DC ，∠ABC=∠ D=90°，∴sin ∠CAB=sin45°= = ，即 AC= BC ，同理可得：∴AC= BC=2CD ，又∵ AD=AC+CD=6，BC=CE= CD ，∴CD= =2，∴EC2=22+22，即 EC=2 ；∴S1 的面积为 EC2=2 ×2 =8；∵∠ MAO=∠MOA=45°，∴AM=MO，∵MO=MN，∴AM=MN，∴M 为 AN 的中点，∴S2 的边长为 3，∴S2 的面积为 3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．故选 B．【点评】本题考查了勾股定理，要充分利用正方形的性质，找到相等的量，再结合三角函数进行 解答．7．如图，在平行四边形 ABCD 中， AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠EAF=45°，且 AE+AF=2 ，则A ． 2B ． 4C ．4D ． 8【考点】平行四边形的性质．【分析】由 AE ⊥BC 于 E ，AF ⊥CD 于F ，∠EAF=45°，易求得 ∠C 的度数， 又由在平行四边形 ABCD 中，证得 △ABE 与△ADF 是等腰直角三角形，继而求得答案． 【解答】∵AE ⊥ BC ，AF ⊥CD ，∠EAF=45°，∴∠ C=180°﹣90°﹣90°﹣ 45°=135°，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠ B=∠D=180°﹣∠ C=45°，∴AB= AE ， AD= AF ，∴AB+AD= （ AE+AF ） = ×2 =4，∴平行四边形 ABCD 的周长是： 4×2=8．故选 D ．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质．注△ABE 与△ADF 是等平行四边形 ABCD 的周长是（ ）意证得腰直角三角形是关键．x>0）的图象上运动， PM ⊥x 轴于点 M ，PN ⊥y 轴于点 N ，线段 PM 、PN 分别与直线 AB ：y=﹣x+1 相交于点 E ，F ，则 AF?BE 的值是（ ）同理可得出 E 点的坐标为（ a ，1﹣a ），8．已知，如上右图，动点 P 在函数y= A ． 4 B ． 2 C ．1 D ．考点】反比例函数与一次函数的交点问题．分析】设 P 的坐标为（ a ， ），且 PN ⊥OB ，PM ⊥OA ，那么 N 的坐标和 M 点的坐标都可以 a 表示，那么 BN 、NF 、 BN 的长度也可以用 a 表示，接着 F 点、 E 点的也可以 a 表示，然后利用勾股定理可以分别用 a 表示 AF ，BE ，最后即可求出 AF?BE ．解答】解：作 FG ⊥x 轴，∵P 的坐标为（ a ， ），且 PN ⊥ OB ，PM ⊥OA ，∴N 的坐标为（ 0， ）， M 点的坐标为（ a ，BN=1﹣在直角三角形 BNF 中， ∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形 OAB 是等腰直角三角形）， ∴NF=BN=1﹣∴F 点的坐标为 1﹣∴AF 2=（1﹣1+ ）2+（ ）2= ，BE 2=（a ）2+（﹣ a ）2=2a 2， ∴AF 2?BE 2= ?2a 2=1，即 AF?BE=1．【点评】本题考查了反比例函数的性质，关键是通过反比例函数上的点标，进而通过坐标系中两点的距离公式得出所求的值． 二、填空题（共 4小题，每小题 3分，满分 12 分）9．如图，一次函数 y=ax+b 的图象与 x 轴，y 轴交于 A ， B 两点，与反比例函数 的图象相交于C ，D 两点，分别过 C ，D 两点作 y 轴， x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接 CF ，DE ．有下列四个结 论：① △ CEF 与△DEF 的面积相等；② △ AOB ∽△ FOE ；③ △ DCE ≌△ CDF ；P 来确定 E 、 F 两点的坐故选∴AF2=（1﹣1+ ）2+（）2= ，BE2=（a）2+（﹣ a）2=2a2，④AC=BD．其中正确的结论是①②④ ．（把你认为正确结论的序号都填上）【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】此题要根据反比例函数的性质进行求解，解决此题的关键是要证出CD∥ EF，可从①问的面积相等入手；△DFE 中，以 DF为底， OF为高，可得 S△DFE= |x D|?|y D|= k，同理可求得△ CEF 的面积也是 k，因此两者的面积相等；若两个三角形都以 EF 为底，那么它们的高相同，即 E、F到 AD 的距离相等，由此可证得 CD∥ EF，然后根据这个条件来逐一判断各选项的正误．【解答】解：设点 D 的坐标为（ x，），则 F（x，0）．由函数的图象可知： x> 0，k>0．∴S△DFE= DF?OF= |x D|?| |= k，同理可得 S△CEF= k，故S △DEF=S△CEF．若两个三角形以 EF 为底，则 EF边上的高相等，故 CD∥EF．①由上面的解题过程可知：① 正确；②∵ CD∥ EF，即 AB∥EF，∴△ AOB∽△ FOE，故②正确；③条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件，故③ 错误；④法一：∵CD∥EF， DF∥BE，∴四边形 DBEF是平行四边形，∴S△DEF=S△BED，同理可得 S△ACF=S△ ECF；由①得： S△DBE=S △ACF．又∵CD∥EF，BD、 AC边上的高相等，∴BD=AC，④正确；法 2：∵ 四边形 ACEF，四边形 BDEF都是平行四边形，而且 EF是公共边，即 AC=EF=BD，∴BD=AC，④正确；因此正确的结论有 3个：①②④ ．【点评】此题通过反比例函数的性质来证图形的面积相等，根据面积相等来证线段的平行或相等，设计巧妙，难度较大．ABCD，已知 A（ 1， 0）， B（0，3），则sin∠ COA=10．如图，平面直角坐标系中正方形考点】正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．【分析】过点 C作 CE⊥y 轴于 E，根据点 A、B的坐标求出 OA、OB的长，再根据正方形的性质可得 AB=BC，∠ ABC=90°，再根据同角的余角相等求出∠ABO=∠BCE，然后利用“角角边”证明△ABO 和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=BE，CE=OB，然后求出 OE的长，再利用勾股定理列式求出 OC，然后根据两直线平行，内错角相等求出∠ OCE=∠COA，再根据锐角的正切等于对边比斜边解答即可．【解答】解：如图，过点 C作 CE⊥y 轴于 E，∵A（1，0）， B（0，3），∴OA=1，OB=3，在正方形 ABCD中， AB=BC，∠ ABC=90°，∵∠ ABO+∠CBE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ ABO=∠BCE，在△ ABO 和△BCE中，，∴△ ABO≌△BCE（AAS），∴OA=BE=1，CE=OB=3，∴OE=OB+BE=3+1=4，在 Rt△OCE中， OC= = =5，∵CE⊥ y轴， x 轴⊥y轴，∴CE∥x 轴，∴∠ OCE=∠ COA，点评】 本题考查了正方形的性质， 坐标与图形性质， 全等三角形的判定与性质， 锐角三角函数， 作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．11．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点 0，过点 O 作 OE ⊥AC 交 AB 于 E ．若 BC=8，△ AOE 的面积为 20，则 sin ∠ BOE 的值为 ．考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．分析】由题意可知， OE 为对角线 AC 的中垂线，则 CE=AE ，S △AEC =2S △AOE =40，由 S △AEC 求出线 段 AE 的长度，进而在 Rt △BCE 中，由勾股定理求出线段 BE 的长度；然后证明 ∠BOE=∠BCE ，从 而可求得结果．解答】解：如图，∴sin ∠COA=sin连接 EC．由题意可得， OE为对角线 AC 的垂直平分线，∴CE=AE， S△AOE=S△COE=5，∴S△AEC=2S△AOE=20．∴ AE?BC=20，又 BC=8，∴AE=5，∴EC=5．在 Rt△ BCE中，由勾股定理得： BE= =3．∵∠ AEO+∠EAO=90°，∠AEO=∠BOE+∠ABO，∴∠ BOE+∠ ABO+∠ EAO=90°，又∠ABO=90°﹣∠OBC=90°﹣(∠BCE+∠ECO) ∴∠ BOE+[90°﹣( ∠BCE+∠ECO)]+∠EAO=90°，化简∠BOE﹣∠ BCE﹣∠ ECO+∠ EAO=0，∵OE为 AC 中垂线，∴∠ EAO=∠ ECO．代入上式得：∠ BOE=∠ BCE．∴sin ∠BOE=sin∠BCE= =点评】此题考查矩形性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、三角函数的定义等知识点；解 题要抓住两个关键：（ 1）求出线段 AE 的长度；（ 2）证明 ∠ BOE=∠BCE ．12．（ 1）如图，矩形 ABCD 中， E 是 AD 的中点，将 △ABE 沿 BE 折叠后得到 △GBE ，延长 BG 交 CD 于 F 点，若 CF=1，FD=2，则 BC 的长为 2 ．（2）如图，矩形 ABCD 中， E ． F 分别是 AD 和 CD 的中点，将 △ABE 沿 BE 折叠后得到 △GBE ，延 长 BG 交 CD 于 F 点，若 CF=1，则 BC 的长为 2 ．（3）如图，矩形 ABCD 中， E 是 AD 的中点，将 △ABE 沿 BE 折叠后得到 △GBE ，延长 BG 交 CD 于 F 点，若 CF=1， BC=4，则 DF 的长为 ．考点】翻折变换（折叠问题）【分析】（ 1）首先过点 E 作EM ⊥BC 于M ，交 BF 于N ，易证得 △ENG ≌△BNM （AAS ）， MN 是 △BCF 的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得 GN=MN ，由折叠的性质，可得 BG=3，继而求得 BF 的值，又由勾股定理，即可求得 BC 的长．（2）连接 EF ，则可证明 △EA ′F ≌△ EDF ，从而根据 BF=BA ′+A ′F ，得出 BF 的长，在 Rt △ BCF 中，利 用勾股定理可求出 BC ；（3）根据点 E 是AD 的中点以及翻折的性质可以求出 AE=DE=EG ，然后利用 “HL ”证明故答案△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF；设 FD=x，表示出 CD、 BF，列方程求解即可．解答】解：（ 1）如图 1，过点 E作EM⊥BC于 M，交BF于N，∵四边形 ABCD是矩形，∴∠ A=∠ABC=90°，AD=BC，∵∠ EMB=90°，∴四边形 ABME 是矩形，∴AE=BM，由折叠的性质得： AE=GE，∠ EGN=∠A=90°，∴EG=BM，∵∠ ENG=∠BNM，在△ENG与△BNM中，，∴△ ENG≌△BNM（AAS），∴NG=NM，∴CM=DE，∵E 是 AD的中点，∴AE=ED=BM=CM，∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM，∴BN=NF，∴NM=∴NG= ，∵BG=AB=CD=CF+DF=，3∴BN=BG﹣ NG=3﹣ = ，∴BF=2BN=5∴BC= =2 ．故答案为： =2 ．（2）解：如图 2，连接 EF，∵点 E、点 F是 AD、 DC的中点，∴AE=ED， CF=DF= CD= AB=1，由折叠的性质可得 AE=GE，∴GE=DE，在 Rt△ EGF和Rt△ EDF中，∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），∴GF=DF=1，∴BF=BG+GF=AB+DF=2+1=，3 在 Rt△ BCF中，BC= =2 ．故答案为： 2 ．3）解：∵E 是 AD的中点，∴AE=DE，∵△ ABE沿 BE折叠后得到△GBE，∴AE=EG，AB=BG，∴ED=EG，∵在矩形 ABCD 中，∴∠ A=∠D=90°，∴∠ EGF=90°，在 Rt△ EDF和 Rt△ EGF中，，∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），∴DF=FG，设 DF=x，则 CD=AB=x+1， BF=2x+1，∴12+42=（2x+1）2，解故答案为：点评】此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．三、解答题（共 6 小题，满分 39分）13．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点 D，AN是△ABC外角∠ CAM 的平分线， CE⊥AN，垂足为点 E，（1）求证：四边形 ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形 ADCE是一个正方形？并给出证明．考点】矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定．专题】证明题；开放型．分析】（ 1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥ AN， AD⊥ BC，所以求证∠DAE=90°，可以证明四边形 ADCE为矩形．（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD= BC，由已知可得， DC= BC，由（ 1）的结论可知四边形 ADCE为矩形，所以证得，四边形 ADCE为正方形．【解答】（ 1）证明：在△ABC中， AB=AC， AD⊥ BC，∴∠ BAD=∠DAC，∵AN 是△ ABC外角∠ CAM的平分线，∴∠ MAE=∠CAE，∴∠ DAE=∠DAC+∠CAE= 180°=90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ ADC=∠CEA=90°，∴四边形 ADCE为矩形．（2）当△ABC 满足∠ BAC=90°时，四边形 ADCE是一个正方形．理由：∵AB=AC，∴∠ ACB=∠ B=45°，∵AD⊥BC，∴∠ CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，∵四边形 ADCE为矩形，∴矩形 ADCE是正方形．∴当∠ BAC=90°时，四边形 ADCE是一个正方形．点评】本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．14．如图，在正方形 ABCD中，等边三角形 AEF的顶点 E、F 分别在 BC和 CD上．（1）求证： CE=CF；（2）若等边三角形 AEF的边长为 2，求正方形 ABCD 的周长．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形．【分析】（1）根据正方形可知 AB=AD，由等边三角形可知 AE=AF，于是可以证明出△ ABE≌△ADF，即可得出 CE=CF；（2）连接 AC，交 EF与 G 点，由三角形 AEF是等边三角形，三角形 ECF是等腰直角三角形，于是可知 AC⊥EF，求出 EG=1，设 BE=x，利用勾股定理求出 x，即可求出 BC 的上，进而求出正方形的周长．【解答】（ 1）证明：∵ 四边形 ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△ AEF是等边三角形，∴AE=AF，在 Rt△ ABE和 Rt△ ADF 中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF．又 BC=DC，∴BC﹣ BE=DC﹣ DF，即 EC=FC∴CE=CF，（2）解：连接 AC，交 EF于 G 点，∵△ AEF是等边三角形，△ ECF是等腰直角三角形，∴AC⊥EF，在 Rt△AGE中， EG=sin30°AE= ×2=1，∴EC= ，设 BE=x，则 AB=x+ ，在 Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即（ x+ ）2+x2=4，∴正方形 ABCD 的周长为 4AB=2 +2 ．点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质，解答本题的关键是对正方形和三角形的性质的熟练运用，此题难度不大，是一道比较不错的试题．15．在矩形 ABCD中， DC=2 ， CF⊥BD 分别交 BD、AD于点 E、F，连接 BF．（1）求证：△ DEC∽△ FDC；（2）当 F 为 AD的中点时，求 sin∠FBD的值及 BC的长度．考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．专题】压轴题．【分析】（ 1）根据题意可得∠ DEC=∠FDC，利用两角法即可进行相似的判定；（2）根据 F为 AD 的中点，可得 FB=FC，根据 AD∥ BC，可得 FE：EC=FD：BC=1：2，再由 sin∠FBD=EF： BF=EF：FC，即可得出答案，设 EF=x，则 EC=2x，利用（ 1）的结论求出 x，在 Rt△ CFD中求出 FD，继而得出 BC．【解答】解：（ 1）∵∠ DEC=∠ FDC=90°，∠DCE=∠FCD，∴△ DEC∽△ FDC．2）∵F为 AD的中点， AD∥BC，∴FE： EC=FD： BC=1：2，FB=FC，∴FE： FC=1：3，∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC= 设 EF=x，则 FC=3x，∵△ DEC∽△ FDC，∴ =，即可得：6x2=12，解得： x= ，则 CF=3 ，在 Rt△CFD中， DF= = ，∴BC=2DF=2 ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性质：对应边成比例．16．（ 2011?随州）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比 i=1：（指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且 AB=20m．身高为 1.7m 的小明站在大堤 A 点，测得髙压电线杆顶端点 D 的仰角为 30°．已知地面 CB宽 30m，求髙压电线杆 CD 的髙度（结果保留三个有效数字，≈1.732）．考点】解直角三角形的应用 -坡度坡角问题；解直角三角形的应用 - 仰角俯角问题．分析】由 i 的值求得大堤的高度 h，点 A到点 B的水平距离 a，从而求得 MN 的长度，由仰角求得 DN的高度，从而由 DN，AM，h 求得高度 CD．解答】解：作 AE⊥CE于 E，设大堤的高度为 h，点 A到点 B 的水平距离为 a，∴坡 AB 与水平的角度为 30°，∴ ，即得 h= =10m ，，即得 a= ，∴MN=BC+a=（ 30+10 ）m，∵测得髙压电线杆顶端点 D 的仰角为 30°，∴，解得： DN=MN?tan30°=（ 30+10 ）× =10 +10≈27.32（ m），∴CD=DN+AM+h=27.32+1.7+10=39.02≈39.0（m）答：髙压电线杆 CD的髙度约为 39.0 米．点评】本题考查了直角三角形在坡度上的应用，由 i 的值求得大堤的高度和点 A到点 B的水平距离，求得 MN，由仰角求得 DN 高度，进而求得总高度．18．（2012?巴中）一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD的延长线上， AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=12 ，试求 CD的长．【考点】解直角三角形．【专题】压轴题．【分析】过点 B作BM⊥FD于点 M，根据题意可求出 BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=60°，进而可得出答案．【解答】解：过点 B作 BM⊥ FD于点 M，在△ACB中，∠ ACB=90°，∠ A=45°， AC=12 ，∴BC=AC=12∵AB∥CF，CM=BM=12，在△ EFD中，∠F=90°，∠ E=30°，∴∠ EDF=60°，∴MD=BM÷tan60°=4 ∴CD=CM﹣MD=12﹣4点评】 本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质， 题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．19．如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系中，并且 OA 、OC 的长满足： |OA ﹣2 |+（ OC ﹣6）2=0．（1）求 A 、B 、 C 三点的坐标．（2）把△ABC 沿AC 对折，点 B 落在点 B 1处，AB 1与 x 轴交于点 D ，求直线 BB 1的解析式．3）在直线 AC 上是否存在点 P 使 PB 1+PD 的值最小？若存在， 请找出点 P 的位置，并求出 PB 1+PD 的最小值；若不存在，请说明理由．4）在直线 AC 上是否存在点 P 使|PD ﹣ PB|的值最大？若存在，请找出点 P 的位置，并求出 |PD分析】（ 1）由非负数的性质可求得 OA 和 OC 的长，则可得到 A 、 C 的坐标，再由矩形的性质 可求得 B 点坐标；（2）由轴对称的性质可知 AC ⊥ BB 1，由（ 1）可知 A 、C 点的坐标，可求得直线 AC 的解析式，则难度较大， 解答此类题目的关键根据﹣PB|最大值．考点】一次函数综合可求得直线 BB 1 的解析式；（3）由B 和B 1关于直线 AC 对称可知，连接BD 与直线 AC 交于点 P ，则此时PD+PB=PD+PB 1，满 足条件；再由折叠的性质可证明 △AOD ≌△ CB 1D ，在 Rt △AOD 中可求得 OD ，则可求得 CD 长，在Rt △BCD 中由勾股定理可求得 BD 的长；（4）由三角形三边关系可知 |PD ﹣PB|<BD ，只有当 P 点在线段 BD 的延长线或反延长线上时， 才有 |PD ﹣PB|=BD ，显然不存在这样的点．【解答】解：（ 1）∵|OA ﹣ 2 |+（OC ﹣6）2=0．∴OA=2 ， OC=6，∴A （0，2 ）， C （6，0），∵四边形 OABC 为矩形，∴BC=OA=2 ，∴B （6， 2 ）；（2）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b ， 把 A 、C 坐标代入可得 由折叠的性质可知 AC ⊥ BB 1，∴可设直线 BB 1 的解析式为 y= x+m，把 B 点坐标代入可得 2 =6 +m，解得 m=﹣ 4 ，∴直线 BB1 的解析式为 y= x﹣4 ；3）由（ 2）可知 B和 B1关于直线 AC对称，则 PB=PB1 ，∴PD+PB=PD+PB1=BD，∴此时 PD+PB1 最小，由折叠的性质可知 B1C=BC=OA=2 ，∠ AOD=∠CB1D=90°，在△AOD和△CB1D 中，，∴△ AOD≌△CB1D（ AAS），∴AD=DC，OD=DB1，设 OD=x，则 DC=AD=6﹣ x，且 OA=2 ，在 Rt△AOD中，由勾股定理可得 AO2+OD2=AD2，即（ 2 ）2+x2=（6﹣x）2，解得 x=2，∴CD=AD=6﹣2=4，在 Rt△ BCD中，由勾股定理可得 BD= = =2 ，综上可知存在使 PB1+PD 的值最小的点 P，PB1+PD 的最小值为 2 ；4）如图 2，连接 PB、 PD、 BD，当 p在点 A时|PD﹣PB|最大， B与 B1对称， |PD ﹣PB|=|PD﹣PB1|，根据三角形三边关系 |PD﹣PB1| 小于或等于 DB1，故 |PD﹣PB1|的最大值等于 DB1．∵AB1=AB=6，AD= =4，∴DB1=2，∴在直线 AC 上，存在点 P使 |PD﹣PB|的值最大，最大值为： 2．点评】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质等知识．在（ 1）中注意非负数的性质的应用，在（ 2）中掌握相互垂直的两直线的解析式的关系是解题的关键，在（ 3）中确定出 P 点的位置是解题的关键，在（ 4）中注意三角形三边关系的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．。
2020届深圳市中考模拟测试数学试卷含答案
2020届深圳市中考模拟测试数 学说明：1．试题卷共4页，答题卡共4页。
考试时间90分钟，满分100分。
2．请在答题卡上填涂学校．班级．姓名．考生号，不得在其它地方作任何标记。
3．本卷选择题1—12，每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卷选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案（含作辅助线）必须用规定的笔，写在答题卷指定的答题区内，写在本卷或其他地方无效。
第一部分 选择题一、选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1.﹣14的倒数是（ ） A 、-4 B 、4 C 、14 D 、-142.如图是五个相同的小正方体搭成的几何体，这几个几何体的主视图是（ ）A 、B 、C 、D 、3. 下列计算正确的是（ ） A 、2a 3+a 2=3a 5B 、（3a ）2=6a 2C 、（a+b ）2=a 2+b 2D 、2a 2•a 3=2a 54. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A 、B 、C 、D 、5. 据测算，世博会召开时，上海使用清洁能源可减少二氧化碳排放约16万吨，将16万吨用科学记数法表示为（ ）A 、1.6×103吨 B 、1.6×104吨 C 、1.6×105吨 D 、1.6×106吨6. 如图，AB∥CD，∠ABE=60°，∠D=50°，则∠E 的度数为（ ） A 、40°B 、30°C 、20°D 、10°7. 某商人在一次买卖中均以120元卖出两件衣服，一件赚25%，一件赔25%，在这次交易中，该商人( )A 、赚16元B 、赔16元C 、不赚不赔D 、无法确定8. 某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱支持地震灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，50，55，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A 、50元，20元 B 、50元，40元 C 、50元，50元 D 、55元，50元9.如图，观察二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①a+b+c＞0，②2a+b＞0，③b2﹣4ac＞0，④ac＞0．其中正确的是（）A、①②B、①④C、②③D、③④10. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A、2，π3B、2√3，πC、√3，2π3D、2√3，4π311. 如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A、4B、6C、8D、1012. 如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=12GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH，其中，正确的结论有（）A、1个B、2个C、3个D、4个11题图12题图第二部分非选择题二、填空题（本题共有4小题，每小题3分，共12分）13. 因式分解：a3﹣4a= ________．14. 从﹣3、1、﹣2这三个数中任取两个不同的数，积为正数的概率是________15. 用同样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第99个图案需要的黑色五角星________ 个．16. 如图，△ABC 的内心在x 轴上，点B 的坐标是（2，0），点C 的坐标是（0，﹣2），点A 的坐标是（﹣3，b ），反比例函数y=kx （x ＜0）的图象经过点A ，则k= ________．三、解答题（本题共7小题，其中第17题6分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题8分，第23题9分，共52分） 17. 计算：√16+（﹣1）2013﹣(12)−2+（π﹣3）0﹣√83．18. 解不等式组{4(x +1)≤7x +10x −5<x−83并写出它的所有非负整数解．19. 丹东是个美丽的旅游城市，吸引了很多外地游客，某旅行社对今年五月接待的外地游客来丹东旅游的首选景点做了一次抽样调查，根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整），请根据图中提供的信息，完成下列问题：（1）此次共调查了 人 （2）请将两幅统计图补充完整．（3）“凤凰山”部分的圆心角是 度。
广东省深圳市大鹏新区2020年中考数学一模试卷(含解析)
2020年广东省深圳市大鹏新区中考数学一模试卷一．选择题（共12小题）1．2020的相反数是（）A．2020B．±2020C．﹣2020D．2．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列计算正确的是（）A．﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b B．a2+a2＝a4C．a2•a3＝a6D．（ab2）2＝a2b44．太阳中心的温度高达19200000℃，有科学记数法将19200000℃可表示为（）A．1.92×106B．1.92×107C．19.2×106D．19.2×1075．一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后，“你”字对面的字是（）A．中B．考C．顺D．利6．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠α＝135°，则∠β等于（）A．45°B．60°C．75°D．85°7．下列命题正确的是（）A．方程x2﹣x+1＝0有两个不相等实数根B．对角线相等的四边形是矩形C．平分弦的直径垂直于弦D．等腰三角形底边上的中线平分顶角8．在新型肺炎严重影响下，全国各地积极开展了“线上教学”，小明最近6天每天在线学习时长（单位：小时）分别为2，5，3，4，5，6，这组数据的众数、中位数分别是为（）A．5，4.5B．4，5C．5，4D．3，29．如图，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD 的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°10．2020年3月20日，深圳市民中心及周边楼宇为当日返回深圳的援鄂医疗队员亮灯，欢迎最美逆行者回家．小洪在欢迎英雄回家现场，如图，若他观测到英雄画像电子屏顶端A 和底端C的仰角分别为∠α和∠β，小洪所站位置E到电子屏边缘AC垂直地面的B点距离为m米，那么英雄画像电子屏高AC为（）A．（﹣）米B．m•tan（α﹣β）米C．m（tanα﹣tanβ）米D．米11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△P AM，延长BP交AD于点N，连结CM．分析下列结论：①AP⊥BN；②BM＝DN；③点P一定在以CM为直径的圆上；④正方形内不存在点P使得PC＝．其中结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共4小题）13．分别写有数字、π、﹣1、0、的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是．14．因式分解：x2﹣4＝．15．如图，直线l经过第二、三、四象限，其解析式为y＝（m﹣2）x﹣m，则m的取值范围为．16．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B、C在第一象限，且四边形OABC是平行四边形，AB＝2，sin B＝，反比例函数y＝的图象经过点C以及边AB的中点D，则四边形OABC的面积为．三．解答题（共7小题）17．计算：．18．先化简：，然后在﹣内找一个你喜欢的整数代入求值．19．2019年是新中国成立70周年，在“庆祝新中国成立70年华诞”主题教育活动月，深圳某学校组织开展了丰富多彩的活动，活动设置了“A：诗歌朗诵展演，B：歌舞表演，C：书画作品展览，D：手工作品展览”四个专项活动，每个学生限选一个专项活动参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图：（1）本次随机调查的学生人数是人；（2）请你补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角为度．（4）小涛和小华各自随机参与其中的一个专项活动，请你用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个专项活动的概率．20．甲、乙两个药店销售同一种口罩，在甲药店，不论一次购买数量是多少，价格均为3元/个；在乙药店，一次性购买数量不超过100个时，价格为3.5元/个；一次性购买数量超过100个时，其中100个的价格仍为3.5元/个，超过100个的部分的价格为2.5元/个．（1）根据题意填表：一次性购买数量（个）50100150甲药店花费（元）300乙药店花费（元）300（2）当一次性购买多少个口罩时，在乙药店购买比在甲药店购买可以节约100元？21．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．（1）求∠AEG的度数；（2）求证：四边形BEGF是平行四边形．22．如图1，直线y1＝kx+3与双曲线y2＝（x＞0）交于点P，P A⊥x轴于点A，PB ⊥y轴于点B，直线y1＝kx+3分别交x轴、y轴于点C和点D，且S△DBP＝27，．（1）求OD和AP的长；（2）求m的值；（3）如图2，点M为直线BP上的一个动点，连接CB、CM，当△BCM为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．23．如图1，经过点B（1，0）的抛物线y＝a（x+1）2﹣与y轴交于点C，其顶点为点G，过点C作y轴的垂线交抛物线对称轴于点D，线段CO上有一动点M，连接DM、DG．（1）求抛物线的表达式；（2）求GD+DM+MO的最小值以及相应的点M的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，以点A（﹣2，0）为圆心，以AM长为半径作圆交x轴正半轴于点E．在y轴正半轴上有一动点P，直线PF与⊙A相切于点F，连接EF交y 轴于点N，当PF∥BM时，求PN的长．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．2020的相反数是（）A．2020B．±2020C．﹣2020D．【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：2020的相反数是：﹣2020．故选：C．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题的关键．2．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断．【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形；C、不是轴对称图形，是中心对称图形；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．下列计算正确的是（）A．﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b B．a2+a2＝a4C．a2•a3＝a6D．（ab2）2＝a2b4【分析】根据去括号、同底数幂的乘法底数不变指数相加，积的乘方，可得答案．【解答】解：A、括号前是负号，去括号全变号，﹣（a﹣b）＝﹣a+b，故A不符合题意；B、a2+a2＝2a2，故B不符合题意；C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，a2•a3＝a5，故C不符合题意；D、积的乘方等于乘方的积，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了积的乘方，熟记法则并根据法则计算是解题关键．4．太阳中心的温度高达19200000℃，有科学记数法将19200000℃可表示为（）A．1.92×106B．1.92×107C．19.2×106D．19.2×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将19200000用科学记数法表示为：1.92×107．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后，“你”字对面的字是（）A．中B．考C．顺D．利【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“祝”与“考”是相对面，“你”与“顺”是相对面，“中”与“利”是相对面．故选：C．【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．6．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠α＝135°，则∠β等于（）A．45°B．60°C．75°D．85°【分析】直接利用平行线的性质以及三角形的性质进而得出答案．【解答】解：由题意可得：∵∠α＝135°，∴∠1＝45°，∴∠β＝180°﹣45°﹣60°＝75°．故选：C．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠1的度数是解题关键．7．下列命题正确的是（）A．方程x2﹣x+1＝0有两个不相等实数根B．对角线相等的四边形是矩形C．平分弦的直径垂直于弦D．等腰三角形底边上的中线平分顶角【分析】根据垂径定理，矩形的判定方法，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质可得出答案．【解答】解：A．方程x2﹣x+1＝0中，△＝1﹣4＝﹣3＜0，所以方程没有实数根，故本选项错误；B．对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；C．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；故本选项错误；D．等腰三角形底边上的中线平分顶角，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定方法，一元二次方程根的判别式，垂径定理，熟记定理是解题的关键．8．在新型肺炎严重影响下，全国各地积极开展了“线上教学”，小明最近6天每天在线学习时长（单位：小时）分别为2，5，3，4，5，6，这组数据的众数、中位数分别是为（）A．5，4.5B．4，5C．5，4D．3，2【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．【解答】解：在这一组数据中5是出现次数最多的，故众数是5；将这组数据从小到大的顺序排列2，3，4，5，5，6，处于中间位置的数是4和5，则这组数据的中位数是（4+5）÷2＝4.5；故选：A．【点评】本题主要考查了中位数和众数．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．9．如图，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD 的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】根据∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC，想办法求出∠BAC，∠DAC即可解决问题．【解答】解：∵∠B＝70°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣100°＝80°，由作图可知：MN垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴∠BAD＝80°﹣30°＝50°，故选：C．【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．2020年3月20日，深圳市民中心及周边楼宇为当日返回深圳的援鄂医疗队员亮灯，欢迎最美逆行者回家．小洪在欢迎英雄回家现场，如图，若他观测到英雄画像电子屏顶端A 和底端C的仰角分别为∠α和∠β，小洪所站位置E到电子屏边缘AC垂直地面的B点距离为m米，那么英雄画像电子屏高AC为（）A．（﹣）米B．m•tan（α﹣β）米C．m（tanα﹣tanβ）米D．米【分析】根据矩形的性质得到DF＝BE＝m米，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：根据题意得，DF＝BE＝m米，在Rt△ADF中，∵tanα＝，∴AD＝DF•tanα＝m•tanα，在Rt△CDF中，∵tanβ＝，∴CD＝DF•tanβ＝m•tanβ，∴AC＝AD﹣CD＝m•tanα﹣m•tanβ＝m（tanα﹣tanβ）（米），答：英雄画像电子屏高AC为m（tanα﹣tanβ）（米），故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、难度适中，通过直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x＝1计算2a+b与偶的关系，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴a+c＝b，故本选项正确；②由对称轴为x＝1，一个交点为（﹣1，0），∴另一个交点为（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3，故本选项正确；③由对称轴为x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，则2a+b＝0，故本选项正确；④∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于（0，2），∴c＝2，∵a＜0，∴c﹣a＞2，故本选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换．12．已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△P AM，延长BP交AD于点N，连结CM．分析下列结论：①AP⊥BN；②BM＝DN；③点P一定在以CM为直径的圆上；④正方形内不存在点P使得PC＝．其中结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由△PBC∽△P AM，得出∠P AM＝∠PBC，＝＝，即可推出AP⊥BN，故①正确；易证△BAP∽△BNA，得出＝，则＝，得出AM＝AN，即可得出BM＝DN，故②正确；由△PBC∽△P AM，得出∠APM＝∠BPC，推出∠CPM＝∠APB ＝90°，即可得出点P一定在以CM为直径的圆上，故③正确；以点C为圆心为半径画圆，以AB为直径画圆，得出两个圆相切，则∠APB＝90°，即AP⊥PB，得出正方形内存在点P使得PC＝，故④错误；即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，∵△PBC∽△P AM，∴∠P AM＝∠PBC，＝＝，∵∠PBC+∠PBA＝90°，∴∠P AM+∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴AP⊥BN，故①正确；∵∠ABP＝∠ABN，∠APB＝∠BAN＝90°，∴△BAP∽△BNA，∴＝，∴＝，∵AB＝BC，∴AM＝AN，∴AB﹣AM＝AD﹣AN，∴BM＝DN，故②正确；∵△PBC∽△P AM，∴∠APM＝∠BPC，∴∠CPM＝∠APB＝90°，∴点P一定在以CM为直径的圆上，故③正确；以点C为圆心为半径画圆，以AB为直径画圆，如图所示：∴CO＝＝＝，∵+＝，∴两个圆相切，∴∠APB＝90°，即AP⊥PB，∵∠PBC＝∠P AB，∴只要作∠APM＝∠BPC，就可得出△PBC∽△P AM，符合题意，∴正方形内存在点P使得PC＝，故④错误；综上所述，结论正确的个数是3，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、正方形的性质、两圆相切等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．二．填空题（共4小题）13．分别写有数字、π、﹣1、0、的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是．【分析】用无理数的张数除以总数量即可得．【解答】解：∵在这5张卡片中，无理数有π、这2张，∴从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是，故答案为：．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握无理数的概念和随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．14．因式分解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣2）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．15．如图，直线l经过第二、三、四象限，其解析式为y＝（m﹣2）x﹣m，则m的取值范围为0＜m＜2．【分析】由直线l经过的象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【解答】解：∵直线y＝（m﹣2）x﹣m经过第二、三、四象限，∴，∴0＜m＜2．故答案为：0＜m＜2．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限”是解题的关键．16．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B、C在第一象限，且四边形OABC是平行四边形，AB＝2，sin B＝，反比例函数y＝的图象经过点C以及边AB的中点D，则四边形OABC的面积为12．【分析】延长BC交y轴于E，如图，利用平行四边形的性质得BC＝OA，BC∥OA，OC ∥AB，OC＝AB＝2，在Rt△OCE中利用解直角三角形计算出OE＝4，CE＝2，从而得到C（2，4），设B（t+2，4），则D（t+1，2），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到2（t+1）＝2×4，然后求出t后利用平行四边形的面积公式计算四边形OABC的面积．【解答】解：延长BC交y轴于E，如图，∵四边形OABC为平行四边形，∴BC＝OA，BC∥OA，OC∥AB，OC＝AB＝2，∴BE⊥y轴，∠OCE＝∠B，在Rt△OCE中，sin∠OCE＝＝sin B＝，∴OE＝×2＝4，∴CE＝＝2，∴C（2，4），设B（t+2，4），∵D点为AB的中点，∴D（t+1，2），∵点C、D在反比例函数y＝的图象上，∴2（t+1）＝2×4，解得t＝3，∴BC＝4，∴四边形OABC的面积＝3×4＝12．故答案为12．【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了平行四边形的性质．三．解答题（共7小题）17．计算：．【分析】分别根据负指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质进行化简得出即可．【解答】解：原式＝8++2﹣﹣1＝9．【点评】本题考查了实数的运算．解题的关键是熟练掌握负指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质．18．先化简：，然后在﹣内找一个你喜欢的整数代入求值．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．【解答】解：原式＝（﹣）÷＝•＝x（x﹣2），∵x≠±2且x≠0，∴取x＝1，则原式＝1×（1﹣2）＝1×（﹣1）＝﹣1．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．19．2019年是新中国成立70周年，在“庆祝新中国成立70年华诞”主题教育活动月，深圳某学校组织开展了丰富多彩的活动，活动设置了“A：诗歌朗诵展演，B：歌舞表演，C：书画作品展览，D：手工作品展览”四个专项活动，每个学生限选一个专项活动参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图：（1）本次随机调查的学生人数是60人；（2）请你补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角为108度．（4）小涛和小华各自随机参与其中的一个专项活动，请你用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个专项活动的概率．【分析】（1）从两个统计图中可得“A组”的有15人，占调查人数的28%，可求出调查人数；（2）求出“C组”部分的人数，即可补全条形统计图；（3）样本中“B组”占调查人数的，因此圆心角占360°的，可求出圆心角的度数；（4）画出树状图，由概率公式即可得出结果．【解答】解：（1）15÷25%＝60人，答：本次随机调查的学生人数是60人；故答案为：60；（2）C组：60﹣15﹣18﹣9＝18人，补全条形统计图如图所示：（3）B”所在扇形的圆心角为：360°×＝108°故答案为：108；（4）画树状图如图2所示：共有16个等可能的结果，小涛和小华恰好选中同一个主题活动的结果有4个，∴小涛和小华恰好选中同一个主题活动的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；读懂题意，画出树状图是解题的关键．20．甲、乙两个药店销售同一种口罩，在甲药店，不论一次购买数量是多少，价格均为3元/个；在乙药店，一次性购买数量不超过100个时，价格为3.5元/个；一次性购买数量超过100个时，其中100个的价格仍为3.5元/个，超过100个的部分的价格为2.5元/个．（1）根据题意填表：一次性购买数量（个）50100150甲药店花费（元）150300175乙药店花费（元）450300475（2）当一次性购买多少个口罩时，在乙药店购买比在甲药店购买可以节约100元？【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以分别求得相关数值；（2）设购买x（x＞100）个口罩时，在乙药店购买比在甲药店购买可以节约y元，根据题意得出y与x之间的函数关系式，再把y＝100代入解答即可．【解答】解：（1）一次性购买数量（个）50100150甲药店花费（元）150300175乙药店花费（元）450300475故答案为：150，450，175，475；（2）设购买x（x＞100）个口罩时，在乙药店购买比在甲药店购买可以节约y元，根据题意得：y＝3x﹣[2.5（x﹣100）+3.5×100]＝0.5x﹣100，当y＝100时，0.5x﹣100＝100，解得x＝400．答：当一次性购买400个口罩时，在乙药店购买比在甲药店购买可以节约100元．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答．21．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．（1）求∠AEG的度数；（2）求证：四边形BEGF是平行四边形．【分析】（1）由SAS证明△ABE≌△BCF得出AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，由平行线的性质得出∠CBF＝∠CEG，证出AE⊥EG，即可得出结论；（2）延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，则AP＝CE，∠EBP＝90°，证明△APE ≌△ECG得出AE＝EG，证出EG＝BF，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠BCF＝90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，∵EG∥BF，∴∠CBF＝∠CEG，∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CEG+∠BEA＝90°，∴AE⊥EG，∴∠AEG的度数为90°；（2）延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，如图所示：则AP＝CE，∠EBP＝90°，∴∠P＝45°，∵CG为正方形ABCD外角的平分线，∴∠ECG＝45°，∴∠P＝∠ECG，由（1）得∠BAE＝∠CEG，在△APE和△ECG中，，∴△APE≌△ECG（ASA），∴AE＝EG，∵AE＝BF，∴EG＝BF，∵EG∥BF，∴四边形BEGF是平行四边形．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、平行线的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．22．如图1，直线y1＝kx+3与双曲线y2＝（x＞0）交于点P，P A⊥x轴于点A，PB ⊥y轴于点B，直线y1＝kx+3分别交x轴、y轴于点C和点D，且S△DBP＝27，．（1）求OD和AP的长；（2）求m的值；（3）如图2，点M为直线BP上的一个动点，连接CB、CM，当△BCM为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．【分析】（1）设P（a，b），则OA＝a，由＝得：C（a，0），由S△DBP＝×DB•BP＝27，求出a值，进而求解；（2）将点P的坐标代入反比例解析式，即可求解；（3）分BC＝CM、BC＝MB、MB＝CM三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）设P（a，b），则OA＝a，∵＝，∴OC＝AC，∴C（a，0），∵点C在直线y＝kx+3上，∴0＝ak+3，即ka＝﹣9，∴DB＝3﹣b＝3﹣（ka+3）＝﹣ka＝9，∵BP＝a，∴S△DBP＝×DB•BP＝27，∴×9a＝27，∴a＝6，∴k＝﹣，∴一次函数的表达式为y＝﹣x+3；将x＝6代入一次函数解析式得：y＝﹣6，即P（6，﹣6），∴AP＝6，由一次函数表达式得：点D（0，3），故OD＝3；（2）将点P的坐标代入反比例解析式得：m2﹣13m＝﹣36，解得：m＝4或9；（3）由（1）得，点C（2，0）、而点B（0，﹣6），设点M（m，﹣6）；则BC2＝4+36＝40，CM2＝（m﹣2）2+36，MB2＝m2，当BC＝CM时，40＝（m﹣2）2+36，解得：m＝4或0（舍去0）；当BC＝MB时，同理可得：m＝±2；当MB＝CM时，同理可得：m＝10，故点M的坐标为（4，﹣6）或（10，﹣6）或（±，﹣6）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．23．如图1，经过点B（1，0）的抛物线y＝a（x+1）2﹣与y轴交于点C，其顶点为点G，过点C作y轴的垂线交抛物线对称轴于点D，线段CO上有一动点M，连接DM、DG．（1）求抛物线的表达式；（2）求GD+DM+MO的最小值以及相应的点M的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，以点A（﹣2，0）为圆心，以AM长为半径作圆交x轴正半轴于点E．在y轴正半轴上有一动点P，直线PF与⊙A相切于点F，连接EF交y 轴于点N，当PF∥BM时，求PN的长．【分析】（1）把点B的坐标代入抛物线的解析式求出a即可解决问题．（2）过点O作直线l与x轴夹角为α，且，α＝45°，过点M作MH⊥直线l于H，推出，推出当D，M，H共线时，的值最小，求出DH的长即可解决问题．（3）如图2中，连接BM，延长F A交y轴于J．想办法求出FJ，根据tan∠FPJ＝tan∠OMB，可得＝，由此构建方程求出PF，再证明PN＝PF即可解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x+1）2﹣，经过点B（1，0），∴0＝4a﹣，∴a＝∴．（2）过点O作直线l与x轴夹角为α，且，α＝45°，过点M作MH⊥直线l于H，则有，∴，∴，∴，∴当D，M，H共线时，的值最小，∵D（﹣1，﹣），直线l的解析式为y＝﹣x，∴直线DH的解析式为y＝x﹣，由，解得，∴H（，﹣），M（0，﹣），∴DH＝＝，∵DG＝﹣+＝，∴的最小值＝+＝．（3）如图2中，连接BM，延长F A交y轴于J．∵A（﹣2，0），M（0，﹣），∴AM＝AF＝＝，∵B（1，0），∴直线BM的解析式为y＝x﹣，∵PF是⊙A的切线，∴PF⊥AF，∵PF∥BM，∴AF⊥BM，∴直线AF的解析式为y＝﹣x﹣，∴J（0，﹣），∴AJ＝＝，∴FJ＝AF+AJ＝+，∵PF∥BM，∴∠FPJ＝∠OMB，∴tan∠FPJ＝tan∠OMB，∴＝，∴＝，∴PF＝+，∵AF＝AE，∴∠AFE＝∠AEF，∵∠AFE+∠PFN＝90°，∠AEN+∠ONE＝90°，∠PNF＝∠ENO，∴∠PFN＝∠PNF，∴PN＝PF＝+．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题，学会构建一次函数，解决特殊点的坐标问题，属于中考压轴题．。
2020年深圳市福田区中考数学一模试卷含答案解析
2020年广东省深圳市福田区中考数学一模试卷一、选择题（每题3分）1．2的倒数是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣2．周星驰的新春大片《美人鱼》创造了无数票房记录，从开始上映到3月6日9时止，票房累计达33亿元，33亿元用科学记数法表示为（）A．33×108元B．3.3×109元C．3.3×1010元D．0.33×1010元3．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．矩形 D．圆4．下列计算正确的是（）A．（a2）3=a5 B．a2•a=a3C．a6÷a3=a2 D．（ab）2=ab25．景新中学为了了解学生体育中考备考情况，随机抽查了10名学生的引体向上，结果如下表：引体向上（次）18 19 20学生数 2 6 2则关于这10名学生的引体向上数据，下列说法错误的是（）A．极差是2 B．众数是19 C．平均数是19 D．方差是46．化简的结果是（）A．x﹣2 B．C．D．x+27．分别写有0，2﹣1，﹣2，cos30°，3的五张卡片，除数不同外其他均相同，从中任意抽取一张，那么抽到负数的概率是（）A．B．C．D．8．某种品牌手机经过二、三月份再次降价，每部售价由1000元降到810元，则平均每月降价的百分率为（）A．20% B．11% C．10% D．9.5%9．下列命题是真命题的个数有（）①点到直线距离就是这点到这条直线所作垂线段；②有一个锐角相等的两个直角三角形相似；③四个角都相等的菱形是正方形；④长度相等的两条弧是等弧．A．1个B．2个C．3个D．4个10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=的大致图象是（）A． B．C．D．11．如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P 与A、B、C、D不重合），经过P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，线段OQ所扫过过的面积为（）A．B．C．D．12．在锐角三角形ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，且S△ADE=S，则∠四边形BEDCA=（）A．75°B．60°C．45°D．30°二、填空题（每题3分）13．分解因式：x2y﹣2xy+y=______．14．一个上下底密封的纸盒的三视图如图所示，请你根据图中的数据，计算这个密封纸盒的表面积为______cm2．（结果保留π）15．如图，AB∥CD，点E在CD上，且BA=BE，∠AEC=70°，那么∠B=______．16．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺板地面：依上推测，第n个图形中白色瓷砖的块数为______．三、解答题17．计算：﹣|﹣2|+（）﹣2﹣20200．18．解一元一次不等式组，并把解在数轴上表示出来．19．景新中学为了进一步丰富学生的课外阅读，欲增购一些课外书，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的书籍”问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）：请根据图中提供的信息，完成下列问题：（1）在这次问卷调查中，喜欢“科普书籍”出现的频率为______；（2）在扇形统计图中，喜欢“体育书籍”的所占的圆心角度数为______；（3）如果全校共有学生1500名，请估计该校最喜欢“科普书籍”的学生约有______人．20．如图，已知O为矩形ABCD对角线的交点，过点D作DE∥AC，过点C作CE∥BD，且DE、CE相交于E点．（1）求证：四边形OECD是菱形；（2）若AB=4，AC=8，求菱形OCED的面积．21．2020年2月18日韩国海军海警在朝鲜半岛东部海域实施联合演习，在返回济州岛军事基地途中，韩国海军UH﹣60直升机在距海平面垂直高度为300米的点C处测得济州一小岛的西端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了3500米，在点D测得这小岛的东端点B的俯角为45°，求这个济州小岛东西两端BA的距离（结果精确到1米，参考数据：≈1.732，≈1.414）22．如图，直线y=x+3分别交x，y轴于点D，C，点B在x轴上，OB=OC，过点B作直线m∥CD．点P、Q分别为直线m和直线CD上的动点，且点P在x轴的上方，满足∠POQ=45°（1）则∠PBO=______度；（2）问：PB•CQ的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；（3）求证：CQ2+PB2=PQ2．23．已知：直线y=﹣x﹣4分别交x、y轴于A、C两点，抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过A、O两点，且顶点B的纵坐标为﹣2（1）判断点B是否在直线AC上，并求该抛物线的函数关系式；（2）以点B关于x轴的对称点D为圆心，以OD为半径作⊙D，试判断直线AC与⊙D的位置关系，并说明理由；（3）若E为⊙D的优弧AO上一动点（不与A、O重合），连结AE、OE，问在抛物线上是否存在点P，使∠POA：∠AEO=2：3？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2020年广东省深圳市福田区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分）1．2的倒数是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【考点】倒数．【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可．【解答】解：∵2×=1，∴2的倒数是．故选C．2．周星驰的新春大片《美人鱼》创造了无数票房记录，从开始上映到3月6日9时止，票房累计达33亿元，33亿元用科学记数法表示为（）A．33×108元B．3.3×109元C．3.3×1010元D．0.33×1010元【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：33亿元用科学记数法表示为3.3×109元．故选：B．3．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．矩形 D．圆【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念以及等边三角形、平行四边形、矩形、圆的性质解答．【解答】解：A、只是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B、只是中心对称图形，不合题意；C、D既是轴对称图形又是中心对称图形，不合题意．故选A．4．下列计算正确的是（）A．（a2）3=a5 B．a2•a=a3C．a6÷a3=a2 D．（ab）2=ab2【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】先计算出各个选项的正确结果，然后再对照即可得到哪个选项是正确的．【解答】解：∵（a2）3=a6，故选项A错误；∵a2•a=a3，故选项B正确；∵a6÷a3=a3，故选项C错误；∵（ab）2=a2b2，故选项D错误；故选B．5．景新中学为了了解学生体育中考备考情况，随机抽查了10名学生的引体向上，结果如下表：引体向上（次）18 19 20学生数 2 6 2则关于这10名学生的引体向上数据，下列说法错误的是（）A．极差是2 B．众数是19 C．平均数是19 D．方差是4【考点】方差；算术平均数；众数；极差．【分析】根据极差，方差，平均数和众数的定义分别计算即可解答．【解答】解：极差是20﹣18=2，众数是19，平均数是19，方差是=0.4，故选D6．化简的结果是（）A．x﹣2 B．C．D．x+2【考点】分式的加减法．【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣===x+2．故选D．7．分别写有0，2﹣1，﹣2，cos30°，3的五张卡片，除数不同外其他均相同，从中任意抽取一张，那么抽到负数的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】先得到在所给的5个数中负数有1个，即﹣2，然后根据概率公式求解．【解答】解：因为2﹣1=，cos30°=，所以在数字0，2﹣1，﹣2，cos30°，3中，负数有﹣2，则从中任意抽取一张，那么抽到负数的概率=．故选A．8．某种品牌手机经过二、三月份再次降价，每部售价由1000元降到810元，则平均每月降价的百分率为（）A．20% B．11% C．10% D．9.5%【考点】一元二次方程的应用．【分析】等量关系：原售价×（1﹣降低率）2=降低后的售价，依此列出方程求解即可．【解答】解：设每次降价的百分率为x，依题意得：1000（1﹣x）2=810，化简得：（1﹣x）2=0.81，解得：x=0.1或1.9（舍去），所以平均每次降价的百分率为10%．故选：C．9．下列命题是真命题的个数有（）①点到直线距离就是这点到这条直线所作垂线段；②有一个锐角相等的两个直角三角形相似；③四个角都相等的菱形是正方形；④长度相等的两条弧是等弧．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题与定理．【分析】利用点到直线的距离的定义、相似三角形的判定、正方形的判定及等弧的定义分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①点到直线距离就是这点到这条直线所作垂线段的长度，故错误，是假命题；②有一个锐角相等的两个直角三角形相似，正确，为真命题；③四个角都相等的菱形是正方形，正确，为真命题；④长度相等的两条弧是等弧，错误，是假命题，正确的有2个，故选B．10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=的大致图象是（）A． B．C．D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象；二次函数的图象．【分析】先根据二次函数的图象判断出a、b、c的符号，进而可判断出一次函数与反比例函数图象所在的象限．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0．∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞0．∴抛物线的对称轴在x轴正半轴，∴﹣＞0，∴b＞0，∵一次函数y=ax+b的图象经过一二四象限，反比例函数y=的图象的两个分支分别位于一三象限．故选C．11．如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P 与A、B、C、D不重合），经过P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，线段OQ所扫过过的面积为（）A．B．C．D．【考点】扇形面积的计算；矩形的判定与性质．【分析】由于OP的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得OQ=1，再由走过的角度代入弧长公式求得点Q走过的路径长，入会根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，∴四边形ONPM是矩形，又∵点Q为MN的中点，∴点Q为OP的中点，则OQ=1，点Q走过的路径长==．∴线段OQ所扫过过的面积=×1=，故选B．12．在锐角三角形ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，且S△ADE=S，则∠四边形BEDCA=（）A．75°B．60°C．45°D．30°【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】如图，连接DE，首先证明△AED∽△ACB，根据相似三角形的性质，推出AC=2AE，由sin∠ACE==，求出∠ACE即可解决问题．【解答】解：如图，连接DE．∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，∴∠AEC=∠ADB=90°，∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACE，∴=，∴=，∵∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∵S△ADE=S四边形BEDC∴S△ADE：S△ABC=1：4∴（）2=，∴AC=2AE，∴sin∠ACE==，∴∠ACE=30°，∴∠A=90°﹣∠ACE=60°，故选B．二、填空题（每题3分）13．分解因式：x2y﹣2xy+y=y（x﹣1）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式y，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．【解答】解：x2y﹣2xy+y，=y（x2﹣2x+1），=y（x﹣1）2．故答案为：y（x﹣1）2．14．一个上下底密封的纸盒的三视图如图所示，请你根据图中的数据，计算这个密封纸盒的表面积为600πcm2．（结果保留π）【考点】由三视图判断几何体．【分析】从三视图可以看正视图以及左视图为矩形，而俯视图为圆形，可以得出该立体图形为圆柱，再由三视图可以圆柱的半径，长和高求出表面积．【解答】解：∵正视图以及左视图为矩形，而俯视图为圆形，∴可得这个立体图形是圆柱，∴这个立体图形的侧面积是2π×10×20=400π，底面积是：π•102=100π，∴这个立体图形的表面积为400π+200π=600π；故答案为：600π．15．如图，AB∥CD，点E在CD上，且BA=BE，∠AEC=70°，那么∠B=40°．【考点】平行线的性质．【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠A，再根据等边对等角求出∠AEB=∠A，然后根据三角形内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：∵AB∥CD，∠AEC=70°，∴∠A=∠AEC=70°，∵BA=BE，∴∠AEB=∠A=70°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠AEB=180°﹣70°﹣70°=40°．故答案为：40°．16．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺板地面：依上推测，第n个图形中白色瓷砖的块数为（7n+4）．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．【解答】解：第一个图形有白色瓷砖7+4=11块．第二个图形有白色瓷砖7×2+4=18块．第三个图形有白色瓷砖7×3+4=25块．…第n个图形中需要白色瓷砖7n+4块．故答案为：（7n+4）．三、解答题17．计算：﹣|﹣2|+（）﹣2﹣20200．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【分析】原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=2﹣2+9﹣1=8．18．解一元一次不等式组，并把解在数轴上表示出来．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．【解答】解：由①得，x＞﹣3，由②得，x≤2，故此不等式组的解集为：﹣3＜x≤2．在数轴上表示为：19．景新中学为了进一步丰富学生的课外阅读，欲增购一些课外书，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的书籍”问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）：请根据图中提供的信息，完成下列问题：（1）在这次问卷调查中，喜欢“科普书籍”出现的频率为0.25；（2）在扇形统计图中，喜欢“体育书籍”的所占的圆心角度数为54°；（3）如果全校共有学生1500名，请估计该校最喜欢“科普书籍”的学生约有375人．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）利用“科普书籍”出现的频率为=1﹣其它的百分比﹣文艺的百分比﹣体育的百分比求解；（2）利用喜欢“体育书籍”的所占的圆心角度数=喜欢“体育书籍”的百分比×360°求解；（3）利用该校最喜欢“科普”书籍的学生数=该校学生数×喜欢“科普书籍”的百分比求解即可．【解答】解：（1）在这次问卷调查中，喜欢“科普书籍”出现的频率为1﹣20%﹣15%﹣40%=25%=0.25．（2）喜欢“体育书籍”的所占的圆心角度数15%×360°=54°．（3）估计该校最喜欢“科普”书籍的学生数为1500×25%=375名．故答案为：（1）0.25；（2）54°；（3）375．20．如图，已知O为矩形ABCD对角线的交点，过点D作DE∥AC，过点C作CE∥BD，且DE、CE相交于E点．（1）求证：四边形OECD是菱形；（2）若AB=4，AC=8，求菱形OCED的面积．【考点】菱形的判定与性质．【分析】（1）首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD，即可判定四边形CODE是菱形，（2）根据S△ODC=S以及四边形OCED的面积=2S△ODC即可解决问题．矩形ABCD【解答】（1）结论：四边形OCED的形状是菱形，证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OD=OC，∴四边形CODE是菱形；（2）解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=4，AC=8，∴BC==4．∴矩形ABCD的面积=4×4=16，=4，∵S△ODC=S矩形ABCD∴四边形OCED的面积=2S△ODC=8．21．2020年2月18日韩国海军海警在朝鲜半岛东部海域实施联合演习，在返回济州岛军事基地途中，韩国海军UH﹣60直升机在距海平面垂直高度为300米的点C处测得济州一小岛的西端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了3500米，在点D测得这小岛的东端点B的俯角为45°，求这个济州小岛东西两端BA的距离（结果精确到1米，参考数据：≈1.732，≈1.414）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】首先过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，易得四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，可得AB=EF，AE=BF．由题意可知：AE=BF=100米，CD=3500米，然后分别在Rt△AEC与Rt△BFD中，利用三角函数即可求得CE与DF的长，继而求得岛屿两端A、B的距离．【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°，∴四边形ABFE为矩形．∴AB=EF，AE=BF．由题意可知：AE=BF=300米，CD=3500米．在Rt△AEC中，∠C=60°，AE=300米．∴CE===100（米），在Rt△BFD中，∠BDF=45°，BF=300．∴DF=BF=300（米）．∴AB=EF=CD+DF﹣CE=3500+300﹣100≈3800﹣100×1.73≈3627（米），答：岛屿两端A、B的距离为3627米．22．如图，直线y=x+3分别交x，y轴于点D，C，点B在x轴上，OB=OC，过点B作直线m∥CD．点P、Q分别为直线m和直线CD上的动点，且点P在x轴的上方，满足∠POQ=45°（1）则∠PBO=135度；（2）问：PB•CQ的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；（3）求证：CQ2+PB2=PQ2．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）由“直线y=x+3分别交x，y轴于点D，C”可得出C、D点的坐标，根据∠ODC 的正切值即可求出∠ODC的度数，再由直线m∥直线CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”即可得出∠PBO的值；（2）断定PB•CQ是定值．依据角的计算，可得出“∠COQ=∠BPO，∠CQO=∠BOP”，由此得出△COQ∽△BPO，根据相似三角形的性质即可得出，再结合B、C点的坐标即可得出结论；（3）过点Q作QE⊥m于点E，由B、C点的坐标可知“∠OBC=45°，BC=3”，结合（1）的结论可得出∠PBC=90°，结合QE⊥m、直线m∥直线CD可得出QE=CB=3，在Rt△QEP中由勾股定理可得出PQ2=QE2+PE2，将PE换成PB﹣CQ，再代入PB•CQ=9即可得出结论．【解答】解：（1）令x=0，则y=3，即点C的坐标为（0，3）；令y=0，则有x+3=0，解得：x=﹣3，即点D的坐标为（﹣3，0）．又∵OB=OC，∴OC=OD=OB=3．∵tan∠ODC==1，∴∠ODC=45°，∵直线m∥直线CD，∴∠ODC+∠PBO=180°，∴∠PBO=135°．故答案为：135（2）PB•CQ是定值，理由如下：∠OCQ=∠ODC+∠COD=45°+90°=135°=∠PBO，∵∠COQ+∠CQO=180°﹣∠OCQ=45°，∠BOP+∠BPO=180°﹣∠PBO=45°，∴∠COQ+∠CQO=∠BOP+∠BPO=45°，又∵∠COQ+∠BOP=∠BOC﹣∠POQ=90°﹣45°=45°，∴∠COQ=∠BPO，∠CQO=∠BOP，∴△COQ∽△BPO，∴，即PB•CQ=OB•OC=9．（3）证明：过点Q作QE⊥m于点E，如图1所示．∵OB=OC=3，∠BOC=90°，∴∠OBC=45°，BC=3．∴∠PBC=∠PBO﹣∠OBC=135°﹣45°=90°，又∵QE⊥m，∴CB∥QE，∠PEQ=90°．∵直线m∥直线CD，∴四边形BEQC为矩形，∴QE=CB=3．在Rt△QEP中，∠PEQ=90°，PE=PB﹣CQ，QE=3，∴PQ2=QE2+PE2=18+（PB﹣CQ）2，又∵PB•CQ=9，∴PQ2=2PB•CQ+（PB﹣CQ）2=PB2+CQ2．23．已知：直线y=﹣x﹣4分别交x、y轴于A、C两点，抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过A、O两点，且顶点B的纵坐标为﹣2（1）判断点B是否在直线AC上，并求该抛物线的函数关系式；（2）以点B关于x轴的对称点D为圆心，以OD为半径作⊙D，试判断直线AC与⊙D的位置关系，并说明理由；（3）若E为⊙D的优弧AO上一动点（不与A、O重合），连结AE、OE，问在抛物线上是否存在点P，使∠POA：∠AEO=2：3？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】圆的综合题；二次函数综合题．【分析】（1）可先求出点A、C的坐标，然后结合点A的坐标及顶点B的纵坐标为﹣2可得到关于a、b的方程组，然后解这个方程组，就可得到抛物线的函数关系式，从而得到点B 的坐标，然后把点B的坐标代入直线AC的解析式，就可解决问题；（2）连接DA，如图1，要证直线AC与⊙D相切，只需证∠DAC=90°；（3）过点P作PH⊥x轴于H，如图2①、图2②，易得∠ADO=90°，根据圆周角定理可得∠AEO，从而求出∠POA，从而可得到直线OP的解析式，然后解直线OP与抛物线的解析式组成的方程组，就可得到点P的坐标．【解答】解：（1）∵点A、C分别是直线y=﹣x﹣4与x、y轴的交点，∴点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），由题意可得：，解得，∴抛物线的函数关系式为y=x2+2x．由y=x2+2x=（x+2）2﹣2得顶点B（﹣2，﹣2）．当x=﹣2时，y=﹣x﹣4=﹣2，∴点B在直线y=﹣x﹣4上；（2）直线AC与⊙D相切．理由：连接DA，如图1．∵A（﹣4，0），C（0，﹣4），∴OA=OC=4．∵∠AOC=90°，∴∠OAC=∠OCA=45°．∵点B在直线AC上，∴∠BAO=45°．∵点B与点D关于x轴对称，∴∠DAO=∠BAO=45°，∴∠DAB=90°，∴直线AC与⊙D相切；（3）过点P作PH⊥x轴于H，如图2①、图2②，∵DA=DO，∴∠DOA=∠DAO=45°，∴∠ADO=90°．∵E为⊙D的优弧AO上一动点（不与A、O重合），∴∠AEO=∠ADO=45°．∵∠POA：∠AEO=2：3，∴∠POA=∠AEO=×45°=30°．∴直线OP的解析式为y=x，或y=﹣x．①当直线OP的解析式为y=﹣x时，如图2①，解方程组，得或，∴点P的坐标为（﹣﹣4， +）．②当直线OP的解析式为y=x时，如图2②，解方程组，得或，∴点P的坐标为（，）．综上所述：点P的坐标为（﹣﹣4， +）或（，）．2020年9月20日。
2020年广东省中考数学一模试卷(含答案解析)
2020年广东省中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.−6的绝对值是()A. 6B. −6C. 16D. −162.下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是()A. 等边三角形B. 正方形C. 正六边形D. 圆3.在建的北京新国际机场预计2025年旅客吞吐量将达到72 000 000人次．将72 000 000用科学记数法表示应为()A. 7.2×106B. 72×106C. 7.2×107D. 0.72×1084.方程3x2−7x−2=0的根的情况是()A. 方程没有实数根B. 方程有两个不相等的实数根C. 方程有两个相等的实数很D. 不确定5.下列运算正确的是()A. a2⋅a3=a6B. a3+a2=a5C. (a2)4=a8D. a3−a2=a6.一组数据：0、−1、−2、3、1、2、1.则这组数据的中位数是()A. 3B. 0C. 2D. 17.如图，现将一块三角板的含有60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠1=2∠2，那么∠1的度数为()．A. 50°；B. 60°；C. 70°；D. 80°．8.如图，AB是⊙O的直径，∠C=30°，则∠ABD等于()A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°9.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则AO等于()DOA. 2√53B. 13C. 23D. 1210.如图，等腰直角三角形ABC的斜边BC在直线m上．且BC=3cm，边长为1cm的正方形EFGD沿着BC方向从B点开始以1cm/s的速度向右运动，当G点和C点重合时即停止．若正方形和等腰直角三角形重合部分的面积为y(cm2)，运动的时间为x(s)，则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共7小题，共15.0分）11.分解因式：m2−25=______．12.十边形的内角和是________．13.已知等腰三角形的两条边长为1cm和3cm，则这个三角形的周长为______14.已知△ABC∽△DEF，且它们的面积之比为4:25，则它们对应中线的比为________．15.不等式组{x−1>03x−5≤2的解是______．16.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=3cm.将矩形ABCD绕点D旋转，使点A落在对角线BD上，得矩形A′B′C′D，则B，B′两点之间的距离为________cm．17.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA2017A2018，则点A2017的坐标为______．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）18.计算：|−3|+(√2−1)0−(13)−119.先化简，再求值：m2−4m+4m−1÷(3m−1−m−1)，其中m=√3−2．20.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.作∠BAC的平分线AP交边BC于点D.(保留作图痕迹，不写作法)；若∠BAC=28°，求∠ADB的度数．21.某校为了解学生的安全意识情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”“一般”“较强”“很强”四个层次，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图根据以上信息，解答下列问题：(1)该校有1200名学生，现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育，根据调查结果，估计全校需要强化安全教育的学生约有多少名？(2)请直接将条形统计图补充完整．22.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，△ACD是等边三角形，E是AC的中点，连接BE并延长，交DC于点F．(1)求证：△ABE≌△CFE；(2)求证：四边形ABFD是平行四边形．23.如图，身高1.6米的小明为了测量学校旗杆AB的高度，在平地上C处测得旗杆高度顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进3米到达D处，在D处测得旗杆顶端A的仰角为45°，求旗杆AB的高度(√3=1.7,√2=1.4)24.如图，已知AB//CD，AC与BD相交于点E，∠ABE=∠ACB．(1)求证：△ABE∽△ACB；(2)如果AB=6，AE=4，求CD的长25.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于点A(−4,0)、B(2,0)，交y轴于点C(0,6)，在y轴上有一点E(0,−2)，连接AE．(1)求二次函数的表达式；(2)若点D为第二象限内抛物线上的一个动点，求使△ADE面积最大时点D的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请求出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案与解析】1.答案：A解析：解：|−6|=6，故选：A．根据负数的绝对值是它的相反数，可得负数的绝对值．本题考查了绝对值，负数的绝对值是它的相反数．2.答案：A解析：解：A、不是中心对称图形，故本选项正确；B、是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．根据中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.答案：C解析：解：72 000 000=7.2×107，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.答案：B解析：解：由根的判别式△=b2−4ac=(−7)2−4×3×(−2)=49+24=73>0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：B．先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．5.答案：C解析：此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算和合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则和合并同类项法则分别计算得出答案．解：A、a2⋅a3=a5，故此选项错误；B、a3+a2，a3和a2不是同类项，不能合并，故此选项错误；C、(a2)4=a8，故此选项正确；D、a3−a2，a3和a2不是同类项，不能合并，故此选项错误；故选C．6.答案：D解析：解：把这些数从小到大排列为：−2、−1、0、1、1、2、3，最中间的数是1，则这组数据的中位数是1；故选：D．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．7.答案：D解析：[分析]如下图，由平行线的性质可得∠3=∠2，结合∠1=2∠2，∠4=60°，∠1+∠4+∠3=180°即可求得∠1的度数．[详解]∵直尺相对的两边是平行的，∴∠3=∠2，∵∠1=2∠2，∴∠1=2∠3，∵∠1+∠4+∠3=180°，∠4=60°，∠1+60∘=180∘，∴32∴∠1=80°．故选D．[点睛]本题是一道考查平行线的性质和平角定义的题目，对于“两直线平行，同位角相等”和“平角的度数为180°”的正确应用是解题的关键．8.答案：D解析：【试题解析】。
广东省深圳市罗湖区2020年中考数学一模试卷(含解析)
广东省深圳市罗湖区2020年中考数学一模试卷一、选择题1．﹣的相反数是（）A．﹣B．C．D．﹣2．下列智能手机的功能图标中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．为了落实《深圳市应对新型冠状病毒感染的肺炎疫情支持企业共渡难关的若干举措》（深圳16条），深圳财政出台多项补贴政策．据统计，深圳16条为企业直接减负超600亿元，数字600亿用科学记数法表示为（）A．60×109B．6×1010C．6×1011D．0.6×10114．下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．（a3）2＝a5C．+＝D．（ab）2＝a2b2 5．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80人数 2 3 2 3 4 1 则这些运动员成绩的中位数、众数分别为（）A．1.70，1.75 B．1.70，1.70 C．1.65，1.75 D．1.65，1.70 6．班长去文具店买毕业留言卡50张，每张标价2元，店老板说可以按标价九折优惠，则班长应付（）A．45元B．90元C．10元D．100元7．若单项式a m﹣1b2与a2b n的和仍是单项式，则2m﹣n的值是（）A．3 B．4 C．6 D．88．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，连接AP，交CD 于点M，若∠ACD＝110°，则∠CMA的度数为（）A．30°B．35°C．70°D．45°9．对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）＝（﹣a，b），如f（1，2）＝（﹣1，2）；g（a，b）＝（b，a），如g（1，2）＝（2，1），据此得g[f（5，﹣9）]＝（）A．（5，﹣9）B．（﹣5，﹣9）C．（﹣9，﹣5）D．（﹣9，5）10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（）A．b2＜4ac B．ac＞0 C．a﹣b+c＝0 D．2a﹣b＝0 11．如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣2B．π﹣C．π﹣2D．π﹣12．如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE＝90°，连接AF、CF，CF与AB交于G．有以下结论：①AE＝BC②AF＝CF③BF2＝FG•FC④EG•AE＝BG•AB其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每小题3分，共12分）13．因式分解：x2y﹣9y＝．14．在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的小球，把它们分别标号1，2，3，4，5，随机摸出一个小球，摸出的小球标号为奇数的概率是．15．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC．则BD＝．16．如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k＞0，x＞0）和y＝（x＞0）的图象分别相交于B，A两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为1，则k 的值为．三.解答题（本题共7小题，共52分）17．计算：+（）﹣1﹣|﹣5|+sin45°．18．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝﹣3．19．垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源．深圳市环境卫生局为了提高宣传实效，抽样调查了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，其相关信息如下：根据图表解答下列问题：（1）请将条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，产生的有害垃圾C所对应的圆心角为度；（3）调查发现，在可回收物中塑料类垃圾占13%，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.5吨二级原料．假设深圳市每天产生的生活垃圾为28500吨，且全部分类处理，那么每天回收的塑料类垃圾可以获得多少吨二级原料？20．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC（结果取整数）．参考数据：tan48°≈1.11，tan58°≈1.60．21．东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？22．如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）（a为常数，且a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．（1）求抛物线的函数表达式；（2）该二次函数图象上有一点P（x，y）使得S△BCD＝S△ABP，求点P的坐标；（3）设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，求2AF+DF的最小值．23．如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，交y轴于点A，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，连接BD分别交y轴和AC于E、F两点，连接AB．（1）求证：AB＝AD；（2）若BF＝4，DF＝6，求线段CD的长；（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．参考答案一、选择题（每题3分，共36分）1．﹣的相反数是（）A．﹣B．C．D．﹣【分析】根据相反数的定义求解．解：﹣的相反数是．故选：B．2．下列智能手机的功能图标中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意；B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：A．3．为了落实《深圳市应对新型冠状病毒感染的肺炎疫情支持企业共渡难关的若干举措》（深圳16条），深圳财政出台多项补贴政策．据统计，深圳16条为企业直接减负超600亿元，数字600亿用科学记数法表示为（）A．60×109B．6×1010C．6×1011D．0.6×1011【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：600亿＝60000000000＝6×1010，故选：B．4．下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．（a3）2＝a5C．+＝D．（ab）2＝a2b2【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方的性质、积的乘方的性质和二次根式的加减计算法则进行计算即可．解：A、a2和a3不能合并，故原题计算错误；B、a3）2＝a6，故原题计算错误；C、和不能合并，故原题计算错误；D、（ab）2＝a2b2，故原题计算正确；故选：D．5．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80人数 2 3 2 3 4 1 则这些运动员成绩的中位数、众数分别为（）A．1.70，1.75 B．1.70，1.70 C．1.65，1.75 D．1.65，1.70 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．解：共15名学生，中位数落在第8名学生处，第8名学生的跳高成绩为1.70m，故中位数为1.70；跳高成绩为1.75m的人数最多，故跳高成绩的众数为1.75；故选：A．6．班长去文具店买毕业留言卡50张，每张标价2元，店老板说可以按标价九折优惠，则班长应付（）A．45元B．90元C．10元D．100元【分析】根据九折可以知道实际售价为2×0.9＝1.8元，一共买50张，则需付款1.8×50＝90元．解：班长应付款为：2×0.9×50＝90（元）．故选：B．7．若单项式a m﹣1b2与a2b n的和仍是单项式，则2m﹣n的值是（）A．3 B．4 C．6 D．8【分析】利用同类项定义求出m与n的值，即可求出所求．解：∵单项式a m﹣1b2与a2b n的和仍是单项式，∴m﹣1＝2，n＝2，解得：m＝3，n＝2，∴2m﹣n＝2×3﹣2＝4，故选：B．8．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，连接AP，交CD 于点M，若∠ACD＝110°，则∠CMA的度数为（）A．30°B．35°C．70°D．45°【分析】先根据平行线的性质得到∠BAC＝70°，再根据基本作图得到AM平分∠BAC，则∠BAM＝∠CAM＝35°，然后根据平行线的性质得∠CMA的度数．解：由作法得AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM，∵AB∥CD，∴∠BAC＝180°﹣∠ACD＝180°﹣110°＝70°，∴∠BAM＝∠BAC＝35°，∵AB∥CD，∴∠CMA＝∠BAM＝35°．故选：B．9．对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）＝（﹣a，b），如f（1，2）＝（﹣1，2）；g（a，b）＝（b，a），如g（1，2）＝（2，1），据此得g[f（5，﹣9）]＝（）A．（5，﹣9）B．（﹣5，﹣9）C．（﹣9，﹣5）D．（﹣9，5）【分析】根据f，g两种变换的定义解答即可．解：由题意得，f（5，﹣9）]＝（﹣5，﹣9），∴g[f（5，﹣9）]＝g（﹣5，﹣9）＝（﹣9，﹣5），故选：C．10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（）A．b2＜4ac B．ac＞0 C．a﹣b+c＝0 D．2a﹣b＝0【分析】根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称轴是x＝1对C选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c＝0，则可对D选项进行判断．解：A．∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；B．∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以B选项错误；C．∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，所以C选项正确；D．∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，∴2a+b＝0，所以D选项错误；故选：C．11．如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣2B．π﹣C．π﹣2D．π﹣【分析】连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC 的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S扇形AOC﹣S菱形ABCO可得答案．解：连接OB和AC交于点D，如图所示：∵圆的半径为2，∴OB＝OA＝OC＝2，又四边形OABC是菱形，∴OB⊥AC，OD＝OB＝1，在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD＝＝，AC＝2CD＝2，∵sin∠COD＝＝，∴∠COD＝60°，∠AOC＝2∠COD＝120°，∴S菱形ABCO＝OB×AC＝×2×2＝2，S扇形AOC＝＝，则图中阴影部分面积为S扇形AOC﹣S菱形ABCO＝π﹣2，故选：C．12．如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE＝90°，连接AF、CF，CF与AB交于G．有以下结论：①AE＝BC②AF＝CF③BF2＝FG•FC④EG•AE＝BG•AB其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①只要证明△ADE为等腰直角三角形即可②只要证明△AEF≌△CBF（SAS）即可；③假设BF2＝FG•FC，则△FBG∽△FCB，推出∠FBG＝∠FCB＝45°，由∠ACF＝45°，推出∠ACB＝90°，显然不可能，故③错误，④由△ADF∽△GBF，可得＝＝，由EG∥CD，推出＝＝，推出＝，由AD＝AE，EG•AE＝BG•AB，故④正确，解：①DE平分∠ADC，∠ADC为直角，∴∠ADE＝×90°＝45°，∴△ADE为等腰直角三角形，∴AD＝AE，又∵四边形ABCD矩形，∴AD＝BC，∴AE＝BC②∵∠BFE＝90°，∠BFE＝∠AED＝45°，∴△BFE为等腰直角三角形，∴则有EF＝BF又∵∠AEF＝∠DFB+∠ABF＝135°，∠CBF＝∠ABC+∠ABF＝135°，∴∠AEF＝∠CBF在△AEF和△CBF中，AE＝BC，∠AEF＝∠CBF，EF＝BF，∴△AEF≌△CBF（SAS）∴AF＝CF③假设BF2＝FG•FC，则△FBG∽△FCB，∴∠FBG＝∠FCB＝45°，∵∠BCD＝90°，∴∠DCF＝45°，∵∠CDF＝45°，∴∠DFC＝90°，显然不可能，故③错误，④∵∠BGF＝180°﹣∠CGB，∠DAF＝90°+∠EAF＝90°+（90°﹣∠AGF）＝180°﹣∠AGF，∠AGF＝∠BGC，∴∠DAF＝∠BGF，∵∠ADF＝∠FBG＝45°，∴△ADF∽△GBF，∴＝＝，∵EG∥CD，∴＝＝，∴＝，∵AD＝AE，∴EG•AE＝BG•AB，故④正确，故选：C．二、填空题（每小题3分，共12分）13．因式分解：x2y﹣9y＝y（x+3）（x﹣3）．【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解：x2y﹣9y，＝y（x2﹣9），＝y（x+3）（x﹣3）．14．在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的小球，把它们分别标号1，2，3，4，5，随机摸出一个小球，摸出的小球标号为奇数的概率是．【分析】利用随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数进行计算即可．解：摸出的小球标号为奇数的概率是：，故答案为：．15．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC．则BD＝4．【分析】由BC⊥AC，AB＝10，BC＝AD＝6，由勾股定理求得AC的长，得出OA长，然后由勾股定理求得OB的长即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝6，OB＝OD，OA＝OC，∵AC⊥BC，∴AC＝＝8，∴OC＝4，∴OB＝＝2，∴BD＝2OB＝4故答案为：4．16．如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k＞0，x＞0）和y＝（x＞0）的图象分别相交于B，A两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为1，则k 的值为 1 ．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征分别设出设点A、点B的坐标，根据三角形的面积公式计算，得到答案．解：设点A的坐标为（，a），点B的坐标为（，a），∵△ABC的面积为1，∴×（（﹣）×a＝1，解得，k＝1，故答案为：1．三.解答题（本题共7小题，共52分）17．计算：+（）﹣1﹣|﹣5|+sin45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质和立方根的性质分别化简得出答案．解：原式＝﹣2+2﹣5+×＝﹣2+2﹣5+1＝﹣4．18．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝﹣3．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．解：原式＝＝＝，当a＝﹣3时，原式＝＝．19．垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源．深圳市环境卫生局为了提高宣传实效，抽样调查了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，其相关信息如下：根据图表解答下列问题：（1）请将条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，产生的有害垃圾C所对应的圆心角为21.6 度；（3）调查发现，在可回收物中塑料类垃圾占13%，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.5吨二级原料．假设深圳市每天产生的生活垃圾为28500吨，且全部分类处理，那么每天回收的塑料类垃圾可以获得多少吨二级原料？【分析】（1）根据统计图中D类垃圾的吨数和所占的百分比，可以求得本次调查的垃圾总数，然后即可得到B类垃圾的吨数，从而可以将条形统计图补充完整；（2）根据统计图中的数据，可以得到在扇形统计图中，产生的有害垃圾C所对应的圆心角的度数；（3）根据题意和统计图中的数据，可以计算出每天回收的塑料类垃圾可以获得多少吨二级原料．解：（1）本次调查的吨数为：5÷10%＝50，B类有50×30%＝15（吨），补全的条形统计图如右图所示；（2）在扇形统计图中，产生的有害垃圾C所对应的圆心角为：360°×（1﹣54%﹣30%﹣10%）＝21.6°，故答案为：21.6；（3）28500×54%×13%×0.5＝1000.35（吨），答：每天回收的塑料类垃圾可以获得1000.35吨二级原料．20．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC（结果取整数）．参考数据：tan48°≈1.11，tan58°≈1.60．【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应用其公共边构造关系式，进而可求出答案．解：如图作AE⊥CD交CD的延长线于E．则四边形ABCE是矩形，∴AE＝BC＝78，AB＝CE，在Rt△ACE中，EC＝AE•tan58°≈125（m）在Rt△AED中，DE＝AE•tan48°，∴CD＝EC﹣DE＝AE•tan58°﹣AE•tan48°＝78×1.6﹣78×1.11≈38（m），答：甲、乙建筑物的高度AB约为125m，DC约为38m．21．东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？【分析】（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，根据数量＝总价÷单价结合第二批购进数量是第一批数量的1.5倍，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设每套悠悠球的售价为y元，根据销售收入﹣成本＝利润结合全部售完后总利润不低于25%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．解：（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，根据题意得：＝1.5×，解得：x＝25，经检验，x＝25是原分式方程的解．答：第一批悠悠球每套的进价是25元．（2）设每套悠悠球的售价为y元，根据题意得：500÷25×（1+1.5）y﹣500﹣900≥（500+900）×25%，解得：y≥35．答：每套悠悠球的售价至少是35元．22．如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）（a为常数，且a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．（1）求抛物线的函数表达式；（2）该二次函数图象上有一点P（x，y）使得S△BCD＝S△ABP，求点P的坐标；（3）设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，求2AF+DF的最小值．【分析】（1）求出点D的坐标，利用待定系数法求出a的值即可．（2）如图1中，设直线BD交y轴于J，则J（0，）．连接CD，BC．由S△PAB＝10，推出×6×|y P|＝10，推出y P＝±，再利用待定系数法构建方程求出点P的坐标即可．（3）如图2中，过点D作DM平行于x轴，首先证明∠BDM＝∠DBA＝30°，过F作FJ⊥DM于J，则有sin30°＝，推出HF＝，推出2AF+DF＝2（AF+）＝2（AF+HF），当A、F、H三点共线时，即AH⊥DM时，2AF+DF＝2（AF+HF）取最小值．解：（1）抛物线y＝a（x+2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直线y＝﹣x+，当x＝﹣5时，y＝3，∴D（﹣5，3），∵点D（﹣5，3）在抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）上，∴a（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3，∴a＝．∴抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣x﹣．（2）如图1中，设直线BD交y轴于J，则J（0，）．连接CD，BC．∵S△BDC＝××9＝10，∴S△PAB＝10，∴×6×|y P|＝10y P＝±，当y＝时，＝x2﹣x﹣，解得x＝1±，∴P（，）或（，），当﹣＝x2﹣x﹣，方程无解，∴满足条件的点P的坐标为（，）或（，）．（3）如图2中，过点D作DM平行于x轴，∵D（﹣5，3），B（4，0），∴tan∠DBA＝＝，∴∠DBA＝30°∴∠BDM＝∠DBA＝30°，过F作FJ⊥DM于J，则有sin30°＝，∴HF＝，∴2AF+DF＝2（AF+）＝2（AF+HF），当A、F、H三点共线时，即AH⊥DM时，2AF+DF＝2（AF+HF）取最小值为＝．23．如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，交y轴于点A，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，连接BD分别交y轴和AC于E、F两点，连接AB．（1）求证：AB＝AD；（2）若BF＝4，DF＝6，求线段CD的长；（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【分析】（1）先判断出△AOB≌△AOC（SAS），得出AB＝AC，即可得出结论；（2）过A作AM⊥BD于M，再判断出△ADM∽△FDA可求AD＝，则CD＝，即可得出结论；（3）不变，过D作DH⊥y轴于H，作DQ⊥x轴于Q，再证△DHA≌△AOC（AAS），得DH ＝AO，AH＝OC，进而得出HO＝BQ，所以DQ＝BQ，即△DBQ为等腰直角三角形．即可得出结论．【解答】（1）证明：∵OA⊥BC，且OA过圆心点P，∴OB＝OC，在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴AB＝AC，∵以AC为直角边作等腰Rt△ACD，∴AD＝AC，∴AB＝AD；（2）如图1，过点A作AM⊥BD于M，由（1）知，AB＝AD，∴DM＝BD，∵BF＝4，DF＝6，∴BD＝10，∴DM＝5，∵∠AMD＝90°＝∠DAF，∠ADM＝∠FDA，∴△ADM∽△FDA，∴，∴，∴AD＝，在等腰直角三角形ADC中，CD＝AD＝2；（3）的值是不发生变化，理由：如图2，过点D作DH⊥y轴于H，作DQ⊥x轴于Q，∴∠AHD＝90°＝∠COA，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∵∠CAD＝90°，∴∠CAO+∠DAH＝90°，∴∠ADH＝∠CAO，∵AD＝AC，∴△ADH≌△ACO（AAS），∴DH＝AO，AH＝OC，∵∠OHD＝∠QOH＝∠OQD＝90°，∴四边形OQDH是矩形，DH＝OQ，DQ＝OH，又∵HO＝AH+AO＝OC+DH＝OB+DH＝OB+OQ＝BQ，∴DQ＝BQ，∴△DBQ为等腰直角三角形，∴∠DBQ＝45°，∴∠DEH＝∠BEO＝45°，∴sin∠DEH＝，∴＝，∴，∴．。
2020年广东省深圳市龙岗区宝龙学校中考数学一模试卷(解析版)
2020年广东省深圳市龙岗区宝龙学校中考数学一模试卷一、选择题（每题3分，共36分）1．（3分）﹣1的相反数是（）A．1B．0C．﹣1D．22．（3分）港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，全长约55000米，把55000用科学记数法表示为（）A．55×103B．5.5×104C．5.5×105D．0.55×105 3．（3分）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（）A．B．C．D．4．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．5．（3分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．（a2）3＝a5C．a4﹣a3＝a D．a4÷a3＝a 6．（3分）小明同学5次数学小测验成绩分别是90分、95分、85分、95分、100分，则小明这5次成绩的众数和中位数分别是（）A．95分、95分B．85分、95分C．95分、85分D．95分、90分7．（3分）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（）A．∠4，∠2B．∠2，∠6C．∠5，∠4D．∠2，∠48．（3分）如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．AB＝DC9．（3分）某文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为3元，小妮在该店买了20本练习本和10支水笔，共花了36元．如果设练习本每本为x元，水笔每支为y元，那么根据题意，下列方程组中，正确的是（）A．B．C．D．10．（3分）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．6π11．（3分）如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac＝0，②2a﹣b＝0，③a+b+c＜0；④c ﹣a＝3，其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．412．（3分）如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E、连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF：BE＝2：3；④S四边形AFOE：S△COD＝2：3．其中正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．4二．填空题（每题3分，共12分）13．（3分）分解因式：﹣4y2+4y﹣1＝．14．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．15．（3分）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y 轴上，则点C的坐标是．16．（3分）如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4），在该图象上找一点B，使tan∠BOA＝，则点B的坐标为．三、解答题（共7小题，满分52分）17．（5分）计算：2sin30°﹣（π﹣）0+|﹣1|+（）﹣1．18．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．19．（7分）王老师为了解同学们对金庸武侠小说的阅读情况，随机对初三年级的部分同学进行调查，将调查结果分成以下五类：A：看过0～3本，B：看过4～6本，C：看过7～9本，D：看过10～12本，E：看过13～15本，并根据调查结果绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图．（1）图2中的a＝，D所对的圆心角度数为°．（2）请补全条形统计图；（3）本次调查中E类有2男1女，王老师想从中抽取2名同学分别撰写一篇读书笔记，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．20．（8分）如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN 分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：＝1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）21．（8分）俄罗斯足球世界杯点燃了同学们对足球运动的热情，某学校计划购买甲、乙两种品牌的足球供学生使用．已知用1000元购买甲种足球的数量和用1600元购买乙种足球的数量相同，甲种足球的单价比乙种足球的单价少30元．（1）求甲、乙两种品牌的足球的单价各是多少元？（2）学校准备一次性购买甲、乙两种品牌的足球共25个，但总费用不超过1610元，那么这所学校最多购买多少个乙种品牌的足球？22．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求证：AD2＝AB•AF；（3）若BE＝8，sin B＝，求AD的长，23．（9分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO＝S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．2020年广东省深圳市龙岗区宝龙学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共36分）1．（3分）﹣1的相反数是（）A．1B．0C．﹣1D．2【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数．【解答】解：﹣1的相反数是1．故选：A．2．（3分）港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，全长约55000米，把55000用科学记数法表示为（）A．55×103B．5.5×104C．5.5×105D．0.55×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：55000用科学记数法可表示为：5.5×104，故选：B．3．（3分）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．4．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层最右边有一个正方形．故选：B．5．（3分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．（a2）3＝a5C．a4﹣a3＝a D．a4÷a3＝a【分析】根据合并同类项法则，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、a2、a3不是同类项不能合并，故A错误；B、（a2）3＝a6，故B错误；C、a4、a3不是同类项不能合并，故C错误；D、a4÷a3＝a，故D正确．故选：D．6．（3分）小明同学5次数学小测验成绩分别是90分、95分、85分、95分、100分，则小明这5次成绩的众数和中位数分别是（）A．95分、95分B．85分、95分C．95分、85分D．95分、90分【分析】将题目中的数据按照从小到大排列，从而可以得到这组数据的众数和中位数．【解答】解：将这5位同学的成绩从小到大排列为85、90、95、95、100，由于95分出现的次数最多，有2次，即众数为95分，第3个数为95，即中位数为95分，故选：A．7．（3分）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（）A．∠4，∠2B．∠2，∠6C．∠5，∠4D．∠2，∠4【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可．根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行分析即可．【解答】解：∠1的同位角是∠2，∠5的内错角是∠6，故选：B．8．（3分）如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．AB＝DC【分析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．【解答】解：A、∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；B、∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；C、∠ABC＝∠DCB，AC＝BD，BC＝BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；D、AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；故选：C．9．（3分）某文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为3元，小妮在该店买了20本练习本和10支水笔，共花了36元．如果设练习本每本为x元，水笔每支为y元，那么根据题意，下列方程组中，正确的是（）A．B．C．D．【分析】等量关系为：一本练习本和一支水笔的单价合计为3元；20本练习本的总价+10支水笔的总价＝36，把相关数值代入即可．【解答】解：设练习本每本为x元，水笔每支为y元，根据单价的等量关系可得方程为x+y＝3，根据总价36得到的方程为20x+10y＝36，所以可列方程为：，故选：B．10．（3分）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．6π【分析】根据平行四边形的性质可以求得∠C的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积．【解答】解：∵在▱ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，∴∠C＝120°，∴图中阴影部分的面积是：＝3π，故选：C．11．（3分）如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac＝0，②2a﹣b＝0，③a+b+c＜0；④c ﹣a＝3，其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．【解答】解：抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，故①错误；由于对称轴为x＝﹣1，∴x＝﹣3与x＝1关于x＝﹣1对称，∵x＝﹣3时，y＜0，∴x＝1时，y＝a+b+c＜0，故③正确；∵对称轴为x＝﹣＝﹣1，∴2a﹣b＝0，故②正确；∵顶点为B（﹣1，3），∴y＝a﹣b+c＝3，∴y＝a﹣2a+c＝3，即c﹣a＝3，故④正确；故选：C．12．（3分）如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E、连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF：BE＝2：3；④S四边形AFOE：S△COD＝2：3．其中正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵EC垂直平分AB，∴OA＝OB＝AB＝DC，CD⊥CE，∵OA∥DC，∴＝＝＝，∴AE＝AD，OE＝OC，∵OA＝OB，OE＝OC，∴四边形ACBE是平行四边形，∵AB⊥EC，∴四边形ACBE是菱形，故①正确，∵∠DCE＝90°，DA＝AE，∴AC＝AD＝AE，∴∠ACD＝∠ADC＝∠BAE，故②正确，∵OA∥CD，∴＝＝，∴＝＝，故③错误，设△AOF的面积为a，则△OFC的面积为2a，△CDF的面积为4a，△AOC的面积＝△AOE的面积＝3a，∴四边形AFOE的面积为4a，△ODC的面积为6a∴S四边形AFOE：S△COD＝2：3．故④正确，故选：C．二．填空题（每题3分，共12分）13．（3分）分解因式：﹣4y2+4y﹣1＝﹣（2y﹣1）2．【分析】直接提取﹣1，再利用完全平方公式分解因式进而得出答案．【解答】解：﹣4y2+4y﹣1＝﹣（4y2﹣4y+1）＝﹣（2y﹣1）2．故答案为：﹣（2y﹣1）2．14．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥2．【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．【解答】解：由题意，得x﹣2≥0，解得x≥2，故答案为：x≥2．15．（3分）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y 轴上，则点C的坐标是（﹣5，4）．【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，∴AB＝5，∴AD＝5，∴由勾股定理知：OD＝＝＝4，∴点C的坐标是：（﹣5，4）．故答案为：（﹣5，4）．16．（3分）如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4），在该图象上找一点B，使tan∠BOA＝，则点B的坐标为（2，）或（，）．【分析】如图取点E（4，2），连接AE，OE．证明△AOE是直角三角形，tan∠AOE＝，求出直线OE与反比例函数的图象的交点即可解决问题．再根据对称性求出另一个符合题意的点B′．【解答】解：如图取点E（4，2），连接AE，OE．∵A（3，4），∴OA＝＝5，AE＝＝，OE＝＝2，∴OA2＝AE2+OE2＝25，∴∠AEO＝90°，∴tan∠AOE＝＝，延长OE交反比例函数的图象于B，点B即为所求，∵A（3，4）在y＝上，∴k＝12，∵直线OE的解析式为y＝x，由，解得或（舍弃），∴B（2，），作点E关于直线OA的对称点E′，则E′（，），射线OE′交反比例函数的图象于B′，则点B′即为所求，∴直线OE′的解析式为y＝x，由，解得或（舍弃），∴B′（，），综上所述，满足条件的点B的坐标为（2，）或（，）．故答案为（2，）或（，）．三、解答题（共7小题，满分52分）17．（5分）计算：2sin30°﹣（π﹣）0+|﹣1|+（）﹣1．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2×﹣1+﹣1+2＝1+．18．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答】解：原式＝[﹣]÷＝•＝，当a＝时，原式＝＝＝5﹣2．19．（7分）王老师为了解同学们对金庸武侠小说的阅读情况，随机对初三年级的部分同学进行调查，将调查结果分成以下五类：A：看过0～3本，B：看过4～6本，C：看过7～9本，D：看过10～12本，E：看过13～15本，并根据调查结果绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图．（1）图2中的a＝25，D所对的圆心角度数为54°．（2）请补全条形统计图；（3）本次调查中E类有2男1女，王老师想从中抽取2名同学分别撰写一篇读书笔记，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．【分析】（1）先求得总人数，即可得到a的值和D所对的圆心角度数；（2）依据A对应的人数，即可补全条形统计图；（3）依据树状图可得，共有6种等可能的结果，选取的两名同学恰好是一男一女的有4种情况．【解答】解：（1）总人数为21÷35%＝60，∴a%＝×100%＝25%，D所对的圆心角度数为×360°＝54°，故答案为：25，54°；（2）A对应的人数为60﹣21﹣15﹣9﹣3＝12，如图所示：（3）画树状图得：∵共有6种等可能的结果，选取的两名同学恰好是一男一女的有4种情况．∴选取的两名同学恰好是一男一女的概率为：＝．20．（8分）如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN 分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：＝1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】（1）延长DC交AN于H．只要证明BC＝CD即可；（2）在Rt△BCH中，求出BH、CH，在Rt△ADH中求出AH即可解决问题；【解答】解：（1）延长DC交AN于H．∵∠DBH＝60°，∠DHB＝90°，∴∠BDH＝30°，∵∠CBH＝30°，∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∴BC＝CD＝10（米）．（2）在Rt△BCH中，CH＝BC＝5，BH＝5≈8.65，∴DH＝15，在Rt△ADH中，AH＝≈＝20，∴AB＝AH﹣BH＝20﹣8.65≈11.4（米）．答：AB的长度约为11.4米．21．（8分）俄罗斯足球世界杯点燃了同学们对足球运动的热情，某学校计划购买甲、乙两种品牌的足球供学生使用．已知用1000元购买甲种足球的数量和用1600元购买乙种足球的数量相同，甲种足球的单价比乙种足球的单价少30元．（1）求甲、乙两种品牌的足球的单价各是多少元？（2）学校准备一次性购买甲、乙两种品牌的足球共25个，但总费用不超过1610元，那么这所学校最多购买多少个乙种品牌的足球？【分析】（1）设甲种品牌的足球的单价为x元/个，则乙种品牌的足球的单价为（x+30）元/个，根据数量＝总价÷单价结合用1000元购买甲种足球的数量和用1600元购买乙种足球的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设这所学校购买m个乙种品牌的足球，则购买（25﹣m）个甲种品牌的足球，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过1610元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设甲种品牌的足球的单价为x元/个，则乙种品牌的足球的单价为（x+30）元/个，根据题意得：＝，解得：x＝50，经检验，x＝50是所列分式方程的解，且符合题意，∴x+30＝80．答：甲种品牌的足球的单价为50元/个，乙种品牌的足球的单价为80元/个．（2）设这所学校购买m个乙种品牌的足球，则购买（25﹣m）个甲种品牌的足球，根据题意得：80m+50（25﹣m）≤1610，解得：m≤12．答：这所学校最多购买12个乙种品牌的足球．22．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求证：AD2＝AB•AF；（3）若BE＝8，sin B＝，求AD的长，【分析】（1）先判断出OD∥AC，得出∠ODB＝90°，即可得出结论；（2）先判断出∠AEF＝∠B．再判断出∠AEF＝∠ADF，进而得出∠B＝∠ADF，进而判断出△ABD∽△ADF，即可得出结论；（3）先利用三角函数求出⊙O的半径，进而求出AE，AB，再判断出∠AEF＝∠B，进而利用三角函数求出AF，最后借助（2）的结论即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，连接OD，则OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∵点D在⊙O上，∴BC是⊙O的切线；（2）如图2，连接OD，DF，EF，∵AE是⊙O的直径，∴∠AFE＝90°＝∠C，∴EF∥BC，∴∠B＝∠AEF，∵∠AEF＝∠ADF，∴∠B＝∠ADF，由（1）知，∠BAD＝∠DAF，∴△ABD∽△ADF，∴，∴AD2＝AB•AF；（3）如图3，连接OD，由（1）知，OD⊥BC，∴∠BDO＝90°，设⊙O的半径为R，则OA＝OD＝OE＝R，∵BE＝8，∴OB＝BE+OE＝8+R，在Rt△BDO中，sin B＝，∴sin B＝＝，∴R＝5，∴AE＝2OE＝10，AB＝BE+2OE＝18，连接EF，由（2）知，∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C＝90°，∴sin∠AEF＝sin B＝，在Rt△AFE中，sin∠AEF＝＝＝，∴AF＝由（2）知，AD2＝AB•AF＝18×＝，∴AD＝＝．23．（9分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO＝S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）令y＝0求抛物线与x轴的交点C的坐标，作△POB和△PBC的高线，根据面积相等可得OE＝CF，证明△OEG≌△CFG，则OG＝CG＝2，根据三角函数列式可得P的坐标，利用待定系数法求一次函数AP和BC的解析式，k相等则两直线平行；（3）先利用概率的知识分析A，B，C，E中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与△ABE有可能相似，即△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，根据存在公共角∠BAE ＝∠BAC，可得△ABE∽△ACB，列比例式可得E的坐标，利用待定系数法求直线BE的解析式，与抛物线列方程组可得交点D的坐标；②当△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，同理可得结论．【解答】解：（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y＝x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣4；（2）当y＝0时，x2﹣x﹣4＝0，解得：x＝﹣2或4，∴C（4，0），如图1，过O作OE⊥BP于E，过C作CF⊥BP于F，设PB交x轴于G，∵S△PBO＝S△PBC，∴，∴OE＝CF，易得△OEG≌△CFG，∴OG＝CG＝2，设P（x，x2﹣x﹣4），过P作PM⊥y轴于M，tan∠PBM＝＝＝，∴BM＝2PM，∴4+x2﹣x﹣4＝2x，x2﹣6x＝0，x1＝0（舍），x2＝6，∴P（6，8），易得AP的解析式为：y＝x+2，BC的解析式为：y＝x﹣4，∴AP∥BC；（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC、△ABE、△ACE、△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC 和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，∵∠BAE＝∠BAC，∠ABE≠∠ABC，∴∠ABE＝∠ACB＝45°，∴△ABE∽△ACB，∴，∴，∴AE＝，OE＝﹣2＝∴E（，0），∵B（0，﹣4），易得BE：y＝3x﹣4，则x2﹣x﹣4＝3x﹣4，x1＝0（舍），x2＝8，∴D（8，20）；②当△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，此时E在C的左边，∵∠BEA＝∠BEC，∴当∠ABE＝∠BCE时，△ABE∽△BCE，∴＝＝，设BE＝2m，CE＝4m，Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2＝OE2+OB2，∴，3m2﹣8m+8＝0，（m﹣2）（3m﹣2）＝0，m1＝2，m2＝，∴OE＝4m﹣4＝12或，∵OE＝＜2，∠AEB或∠BEC是钝角，此时△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，∴E（﹣12，0）；同理得BE的解析式为：y＝﹣x﹣4，﹣x﹣4＝x2﹣x﹣4，x＝或0（舍）∴D（，﹣）；同理可得E在C的右边时，△ABE∽△BCE，∴＝，设AE＝2m，BE＝4m，Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2＝OE2+OB2，∴，3m2+2m﹣5＝0，（m+）（3m﹣）＝0，m1＝﹣，m2＝，∴OE＝﹣12（舍）或，∵OE＝＜4，∠BEC是钝角，此时△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，综上，点D的坐标为（8，20）或（，﹣）．。
2020年广东省深圳市南山区学府中学中考数学一模试卷(含答案解析)
2020年广东省深圳市南山区学府中学中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.−2019的绝对值是()A. −2019B. 2019C. −12019D. 120192.下列“表情”图案中，属于轴对称图形的是()．A. B. C. D.3.2020年3月9日，中国第54颗北斗导航卫星成功发射，其轨道高度约为36000000m.数36000000用科学记数法表示为()A. 0.36×108B. 36×107C. 3.6×108D. 3.6×1074.如图所示，由三个相同的小正方体组成的立体图形的主视图是()A.B.C.D.5.已知一元二次方程(m−1)x2−4mx+4m−2=0有实数根，则m的取值范围是()A. m≤1B. m≥13且m≠1C. m≥1D. −1<m≤16.下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩(单位：cm)的平均数和方差，要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛，最合适的运动员是()甲乙丙丁平均数x−376350376350方差s212.513.5 2.4 5.4A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁7.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD.若∠A=25°，则∠CDB=()A. 25°B. 50°C. 60°D. 90°8.对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，说明它是假命题的反例可以是()A. ∠1=50°，∠2=40°B. ∠1=50°，∠2=50°C. ∠1=40°，∠2=40°D. ∠1=∠2=45°9.若关于x的方程3x−1=1−k1−x无解，则k的值为()A. 3B. 1C. 0D. −110.如图，已知BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，切线AD交BC的延长线于D，若∠D=40 ∘，则∠B的度数是()A. 40 ∘B. 50 ∘C. 25 ∘D. 115 ∘11.如图，在▱ABCD中，AB=5，∠BAD的平分线与DC交于点E，BF⊥AE，BF与AD的延长线交于点F，则BC等于()A. 2B. 2.5C. 3D. 3.512.如图，在直角坐标系中，已知点A(−3,0)，B(0,4)，AB=5，对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1，△2，△3，△4，……，则△2017的直角顶点的坐标为()A. (8052,0)B. (8052,2.4)C. (8064,0)D. (8064,2.4)二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.在一个不透明的盒子中装有n个规格相同的乒乓球，其中有2个黄色球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到黄色球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是______．14.如图，已知AB//CD//EF，FC平分∠AFE，∠C=25°，则∠A的度数是________．15.直线y=12x+4交x轴于点A，交y轴于点B，如果点C在第四象限，且∠ABC=90°，AB=BC，那么点C的坐标为________．16.如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，过点B作BG⊥AE，垂足为G，延长BG交AC于点F，则CF=______．三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）17.先化简，再求值：(2a−1+1)÷a2+aa2−2a+1，其中a=3．18.如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C.一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD=45°、∠C=37°.求轮船航行的距离AD.(参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75.)19.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交边BC于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E，延长ED交AB的延长线于点F．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AB=8，AE=6，求BF的长．四、解答题（本大题共4小题，共32.0分）)0+√27−|−3|+tan45°；20.(1)计算：(13(2)计算：(x+2)2−2(x−1)．21.某报社为了解市民对“社会主义核心价值观”的知晓程度，采取随机抽样的方式进行问卷调查，调查结果为“A非常了解”、“B了解”、“C基本了解”三个等级，并根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)本次调查的人数为______；(2)补全条形统计图；(3)若该市约有市民100万人，请你根据抽样调查的结果，估计该市大约有多少人对“社会主义核心价值观”达到“A非常了解”的程度．22.某民营企业准备用14000元从外地购进A、B两种商品共600件，其中A种商品的成本价为20元，B种商品的成本价为30元．(1)该民营企业从外地购得A、B两种商品各多少件？(2)该民营企业计划租用甲、乙两种货车共6辆，一次性将A、B两种商品运往某城市，已知每辆甲种货车最多可装A种商品110件和B种商品20件；每辆乙种货车最多可装A种商品30件和B种商品90件，问安排甲、乙两种货车有几种方案？请你设计出具体的方案．23.如图所示，已知抛物线经过点A(−2,0)、B(4,0)、C(0,−8)，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=x−4交于B、D两点．(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)求D点坐标；(3)点P为抛物线上的一个动点，且在直线BD下方，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．【答案与解析】1.答案：B解析：解：−2019的绝对值是：2019．故选：B．直接利用绝对值的定义进而得出答案．此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．2.答案：C解析：本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选C．3.答案：D解析：此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．解：36000000=3.6×107，故选：D．4.答案：B解析：解：从正面看，从左向右共有2列，第一列是1个正方形，第二列是2个正方形，且下齐．故选：B．根据主视图是从正面看得到的视图解答．本题考查了三视图，主视图是从正面看得到的视图，要注意分清所看到的正方形的排列的列数与每一列的正方形的排列情况．5.答案：B解析：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到m−1≠0且b2−4ac≥0，即(−4m)2−4(m−1)(4m−2)≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．解：∵一元二次方程(m−1)x2−4mx+4m−2=0有实数根，∴b2−4ac≥0，即(−4m)2−4(m−1)(4m−2)≥0，且m−1≠0，，且m≠1，解得m≥13故m的取值范围是m≥1且m≠1．3故选B．6.答案：C解析：解：∵乙和丁的平均数最小，∴从甲和丙中选择一人参加比赛，∵丙的方差最小，∴选择丙参赛．故选：C．首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．7.答案：B解析：本题考查的是基本尺规作图和线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据基本尺规作图得到直线MN是线段AB的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到DA= DB，根据三角形的内角和定理解答即可．解：由作图的步骤可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠DBA=∠A=25°，∴∠ADB=180°−(∠DBA+∠A)=130°，∠CDB=180°−∠ADB=50°．故选：B．8.答案：D解析：解：对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，说明它是假命题的反例可以是∠1=∠2=45°，故选：D．根据题意、假命题的概念进行判断即可．本题考查的是命题的真假判断，正确举出反例证明一个命题是假命题是解题的关键．9.答案：A解析：解：去分母得：3=x−1+k，由分式方程无解，得到x=1，把x=1代入整式方程得：k=3，故选：A．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值．此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．。
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分组结果
频数
频率
A．完全掌握
30
0.3
B．比较清楚
50
m
C．不怎么清楚
n
0.15
D．不清楚
5
0.05
请根据上图完成下面题目： （1）总人数为______人，m=______，n=______． （2）请你补全条形统计图． （3）若全校有 2700 人，请你估算一下全校对“新型冠状病毒”的防控知识“完全 掌握”的人数有多少？
个，这些口罩除了颜色外全部相同，从中随机依次不放回拿出两个口罩，则两个口
罩都是粉色的概率是______．
15. 已知 tan（α+β）=
，tan2α=
（其中 α 和 β 都表示角度），比如求
tan105°，可利用公式得 tan105°=tan（60°+45°）=
-2，又如求 tan120°，
可利用公式得 tan120°=tan（2×60°）=
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21. 复课返校后，为了拉大学生锻炼的间距，学校决定增购适合独立训练的两种体育器 材：跳绳和毽子．如果购进 5 根跳绳和 6 个毽子共需 196 元；购进 2 根跳绳和 5 个 键子共需 120 元． （1）求跳绳和毽子的售价分别是多少元？ （2）学校计划购买跳绳和毽子两种器材共 400 个，由于受疫情影响，商场决定对 这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七五折出售，学校要求跳绳的 数量不少于毽子数量的 3 倍，跳绳的数量不多于 310 根，请你求出学校花钱最少的 购买方案．
A. 1.18×108
B. 118×107
C. 1.18×109
D. 11.8×108
4. 如图所示的几何体的左视图为（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 数据 1，3，6，5，3，6，8，6 的中位数、众数分别为（ ）
A. 5.5，6
B. 6，5.5
C. 6，3
D. 5，6
6. 如图，AB∥CE，∠A=40°，CE=DE，则∠C=（ ）
用户每月平均增长率是（ ）
A. 10%
B. 15%
C. 23%
D. 30%
9. 如图，在平行四边形 ABCD 中，BD⊥DC，E 是 BC 的中点，以点 E 为圆心，大于 点 E 到 BD 的距离为半径画弧，两弧相交于点 F，射线 EF 分别与 BD，AD 交于点
G，H，若 DG=3，AB=4，则 BC 的长为（ ）
A. 40°
B. 30°
C. 20°
D. 15°
7. 下列运算正确的是（ ）
A. （-1）2+（-1）3=-2
C.
B. （x2）3-2x5=-x5
D.
=b-a
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8. 疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用 APP 在线上买菜，某买菜 APP 今年 一月份新注册用户为 200 万，三月份新注册用户为 338 万，则二、三两个月新注册
三、解答题（本大题共 7 小题，共 52.0 分） 17. 计算：| -2|+2sin60°-（2020-π）0-（ ）-1．
18. 先化简
，再从-1≤x≤2 的整数中选取一个合适的 x 的值代入求值．
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19. 复课返校后，为了让同学们进一步了解“新型冠状病毒”的防控知识，某学校组织 了一次关于“新型冠状病毒”的防控知识比赛，从问卷中随机抽查了一部分，对调 查结果进行了分组统计，并制作了表格与条形统计图（如图）：
20. 随着疫情逐步得到控制，在疫情防控初期驰援武汉的医护人员已陆续返回，深圳市 为返深医护人员在中心区亮灯致敬．某大厦的立面截图如图所示，图中的所有点都 在同一平面内，已知高度为 1m 的测量架 AF 在 A 点处测得∠1=30°，将测量架沿 AB 方向前进 220m 到达 G 点，在 B 点处测得∠2=45°，电子显示屏的底端 E 与地面的 距离 EH=15m，请你计算电子显示屏 DE 的高度．（结果精确到 1m，其中： ≈1.41 ， ≈1.73）
中考数学一模试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）
1. 下列四个数中，最大的负数是（ ）
A. 0
2. 如图的五个甲骨文中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的有（ ）
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
3. 自教育部开展“停课不停学”工作以来，截至 2020 年 4 月 3 日，参加在线课程学 习的学生达 11.8 亿人次，将 11.8 亿用科学记数法表示为（ ）
A.
B. 5
C. 2
10. 如图，两个三角形纸板△ABC，△MNP 能完全重合，
∠A=∠M=50°，∠ABC=∠N=60°，BC=4，将△MNP 绕点 C
（P）从重合位置开始，按逆时针方向旋转，边 MN，
MP 分别与 BC，AB 交于点 H，Q（点 Q 不与点 A，B 重
合），点 O 是△BCQ 的内心，若∠BOC=130°，点 N 运
④若 BE=2，FD=3，则 MN 的长为 ．其中正确结论的个
数是（ ）
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A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
二、填空题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）
13. 分解因式：x3-6x2+9x=______． 14. 在一个不透明的袋子里装有独立包装的口罩，其中粉色口罩有 3 个、蓝色口罩有 2
．请你结合材料，若 tan（120°+λ
）=- （λ 为锐角），则 λ 的度数是______．
16. 如图，反比例函数 y1= （x＞0）的图象在第一象限，
反比例函数 y2=- （x＞0）的图象在第四象限，把一个 含 45°角的直角三角板如图放置，三个顶点分别落在原 点 O 和这两个函数图象上的 A，B 点处，若点 B 的横 坐标为 2，则 k 的值为______．
动的路径为 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
D. 10
A. π-2
B. 2π-4
C.
D.
11. 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论 ：
①bc＞0； ②3a+c＞0； ③a+b+c≤ax2+bx+c； ④a（k12+1）2+b（k12+1）＞a（k12+2）2+b（k12+2）． 其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12. 如图，在正方形 ABCD 中，△AEF 的顶点 E，F 分别在 BC， CD 边上，高 AG 与正方形的边长相等，连接 BD 分别交 AE，AF 于点 M，N，下列说法： ①∠EAF=45°； ②连接 MG，NG，则△MGN 为直角三角形； ③△AMN～△AFE；