第4讲万有引力定律及其应用

)
【破题关键】 (1)题干中“该星球表面没有空气,不计阻力”说明砝码在竖直 机械能守恒定律 。 平面内做圆周运动过程中,遵守_______________
Mm mg 2 (2)若计算星球的质量,本题中应根据__________ 计算。 R G
【解析】选C。设砝码在最高点的速率为v1,受到的弹力为F1,
A.0.83R
B.1.7R
C.1.9R
D.3.3R
【解析】选B。方法一：根据卫星的向心力由万有引力提供
42 GMm 42 可知，对同步卫星有：GMm m 2（6.6R）， m 2 r 2 2 （6.6R） T1 r T 2 GMm 4 r 对飞行器有： 2 m 2 ，又因地球同步卫星绕地球运动的 r T2 周期为24 h，则有 T1 24 ，联立以上各式得：r=1.65R，故飞 T2 3
【核心精华】 知识规律 (1)一条黄金代换:GM=gR2。 (2)两条基本思路。 ①天体附近: G Mm mg。
R2 2 Mm v 2 2 2 ②环绕卫星: G m mr mr （ ） 。 2 r r T
(3)两类卫星。
2 Mm v ①近地卫星: G 2 mg m 。 R R 2 ②同步卫星: G Mm 2 m（R h）（ 2 ） （ T 24 h）。 （R h） T
≈1011M太,B正确。
【解题悟道】
估算中心天体的质量和密度的两条思路
(1)利用中心天体的半径和表面的重力加速度g:由 G Mm =mg求 2
出M,进而求得ρ= M M 3g 。
V
R
(2)利用环绕天体的轨道半径r、周期T:
2 42 r 3 Mm 4 由 G 2 m 2 r 可得出M= ,若环绕天体绕中心天体表面 2 GT r T M 3 做匀速圆周运动时,轨道半径r=R,则ρ= 。 4 3 GT 2 R 3
为R,月面的重力加速度为g月。以月面为零势能面,“玉兔”在 h高度的引力势能可表示为Ep= GMmh ,其中G为引力常量,M为
R R h
月球质量。若忽略月球的自转,从开始发射到对接完成需要对
“玉兔”做的功为(
mg 月R A. h 2R Rh mg 月R 2 C. （h R） Rh 2
【典题4·自主探究】(2014·宁德模拟)空间站绕地球做匀速 圆周运动,其运动周期为T,轨道半径为r,万有引力常量为G,地
球表面重力加速度为g。下列说法正确的是(
A.空间站的线速度大小为v= gr
2 3 4 r B.地球的质量为M= GT 2
)
4 2 r C.空间站的向心加速度大小a= T 2 3 D.空间站质量为M= 4 r2 GT
【解析】选B。研究地球绕太阳做圆周运动的向心力,由太阳
对地球的万有引力充当,根据万有引力定律和牛顿第二定律有
v2 R Mm v2 ;太阳绕银河系运动是由万有引力 G 2 m ,整理得M= G R R 49v 2 2 109 R 9.8 1010 v 2 R 充当向心力,同理可得M′= G G
R
FR ,故C正确,D错误。 6Gm
2
6m
【拓展延伸】
(1)在【典题1】中,试计算该星球的平均密度。
FR 2 【解析】由于星球的质量为M= ,其平均密度为 M 6Gm V 2 FR 6Gm F 。 4 3 8GmR R 3
(2)在【典题1】中,试求出该星球的第一宇宙速度。
【解析】选D。根据功能关系可知对“玉兔”做的功等于“玉 兔”的机械能增量，即 W 1 mv 2 E p ,其中 E p GMmh ，在离
2
R(R h) 2 Mm v 地h高处，“玉兔”做匀速圆周运动，必有 G m ， 2 R h R h 并且在月球表面附近有 G Mm mg 月 ，由以上几式联立得 2 R mg 月R 1 W (h R) ，选项D正确。 Rh 2
径为RE,月球半径为RM。若忽略地球及太阳引力对绕月卫星的影
响,则月球与地球质量之比为(
R3 0 A. 3 RE
2 R3 T 0 E B. 3 R E T02
)
D. （ RM H 3 ） R0
C. （
TE 2 R M H 3 ） （ ） TM R0
【解析】选C。卫星绕月球以及月球绕地球做圆周运动的向心 力是由万有引力提供的，由牛顿第二定律及万有引力定律得，
)
mg 月R B. （h 2R） Rh mg 月R 1 D. （h R） Rh 2
【破题关键】 引力势能 和_____ 动能 之 (1)对“玉兔”做的功应等于“玉兔”的_________ 和。
Mm v2 Mm G 2 m G 2 mg (2)由公式__________ 和 ___________ r r 计算“玉兔”的线速度。 R
)
Mm 【解析】选B。由万有引力定律可知： G 2 mg 0 ，在地球的赤
Mm 2 2 ,地球的质量M= 道上： R 3 ，联立三式 G 2 mg m（ ） R R
R
可得:
3 g0 ，选项B正确。 2 GT g 0 g
T
4 3
2.(2014·哈尔滨模拟)美国的“卡西尼”号探测器经过长达7
3.3万有引力定律的应用
教学目标 （1）了解人造卫星的有关知识 （2）知道三个宇宙速度的含义，并会推导和计算第一宇宙速度 （3）了解万有引力定律在天文学上的重要作用 能够运用万有引力定律解决人造卫星绕地球运动问题，培养学生理论 联系实际的能力 教学重难点 重点： （1）第一宇宙速度的推导 （2）运行速率、周期、角速度与轨道半径的关系 难点： 1）运行速率与轨道半径的关系 2）发射速度与运行速度的区别 教学方法 本课程教学过程中使用的教学方法有：讲授法、案例教学法、情景教 学法、讨论法。
年的“艰苦”旅行,进入绕土星飞行的轨道。若“卡西尼”号
探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土
星飞行,环绕n周飞行时间为t。已知万有引力常量为G,则下列
关于土星质量M和平均密度ρ 的表达式正确的是(
2 3 2 3 4 2 n （ R h） 3n （ R h） A.M ， 2 Gt Gt 2 R 3 2 2 2 2 4 （ R h） 3n （ R h） B.M ， 2 Gt Gt 2 R 3 2 3 2 3 4 2 t （ R h） 3t （ R h） C.M ， 2 Gn Gn 2 R 3 2 3 3 4 2 n （ R h） 3（R h） D.M ， 2 Gt Gt 2 R 3
M地 M月 42 R M H 对卫星 G ，对月球 G m 2 2 2 R0 TM RM H 42 R 0 ，解以上两式得 M 月 TE 2 R M H 3 ，选项C正确。 M月 （ ） （ ） 2 TE M地 TM R0
M月m
热点考向二
人造卫星问题
【典题3·师生探究】(2014·山东高考) 2013年我国相继完成“神十”与“天宫” 对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航 天工程。某航天爱好者提出“玉兔”回 家的设想:如图,将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到 h高度的轨道上,与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接,然 后由飞船送“玉兔”返回地球。设“玉兔”质量为m,月球半径
【审题流程】
第一步:审题干——提取信息
隐含 (1)太阳绕银河系中心做匀速圆周运动 太阳做圆周运动
的向心力由银河系中心对太阳的引力提供。
(2)“其运动速度约为地球公转速度的7倍,轨道半径约为地球
隐含 公转轨道半径的2×109倍” 需要与地球绕太阳转动对比
计算,且应用的表达式为
第二步:审问题——明确目标 银河系中恒星数目→求银河系的质量为太阳质量的倍数
在最低点的速率为v2,受到的弹力为F2,则有
2 v1 v2 F1 mg m ,F2 mg m 2 R R
砝码由最高点到最低点,由机械能守恒定律得:
1 1 2 2 mg 2R mv1 mv 2 2 2
拉力传感器读数差为ΔF=F2-F1=6mg 故星球表面的重力加速度为g= F ,A、B错误;在星球表面附 近有:G Mm =mg,则M= 2
m
2 2
r
错误；题目条件无法求得空间站的质量，所以选项 D错误。
【解题悟道】 解答卫星问题的三个关键点
2 2 Mm v 4 2 (1)根据 G 推导、记忆 F向 m mr mr 2 ma， 2 r r T 2 3 GM GM 4 r GM 等公式。 v 、 、 T 、 a r r3 GM r2
4 3 R 3
4GR
【对点训练】
1.(2014·新课标全国卷Ⅱ)假设地球可视为质量均匀分布的球
体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0;在赤道的大
小为g;地球自转的周期为T,引力常量为G。地球的密度为(
3 g g A． 2 0 GT g 0 3 C. GT 2 3 g 0 B． 2 GT g 0 g 3 g 0 D． 2 GT g
【解析】该星球的第一宇宙速度为v= gR F R FR 。
6m 6m
【典题2·自主探究】(2014·昆明模拟)太阳围绕银河系中心 的运动可视为匀速圆周运动,其运动速度约为地球公转速度的7 倍,轨道半径约为地球公转轨道半径的2×109倍,为了粗略估算 银河系中恒星的数目,可认为银河系中所有恒星的质量都集中 在银河系中心,且银河系中恒星的平均质量约等于太阳质量,则 银河系中恒星数目约为( A.109个 B.1011个 ) C.1013个 D.1015个
运动的向心力，有 G mM
【加固训练】“嫦娥二号”卫星是在绕月极地轨道上运动的 , 加上月球的自转,卫星能探测到整个月球的表面。卫星CCD相机
已对月球背面进行成像探测,并获取了月球部分区域的影像图。