第八章 椭球面元素归算至投影面——高斯投影
椭球面元素归算至高斯平面高斯投影
测绘工程系
5.1 高斯投影概述
1 一、长度比
2 3 4 5 6 7 或者 8 9
10
2 /4 长度比不仅随点的位置，而且随线段的方向而发生变化。
7
二、高斯投影的基本概念
高斯投影是等角横轴切椭圆柱投影。
1 2 3 4
高斯投影是一种等角投影。它是由德国数学家高斯 (Gauss，1777 ～ 1855)提出，后经德国大地测量学家克 吕格(Kruger，1857～1923)加以补充完善，故又称“高
1
2
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5
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（4）确定平面三角形各边坐标方位角a。
10
16 /4 7
（5）确定平面三角形各边长。
2、将椭球面三角系化算到高斯 投影面的主要内容
(1)高斯投影坐标计算
1 将起始点的大地坐标B，L归算为高斯平面直角坐标x，y；根
2 3
据（x,y）反算（B,L）。
4(2) 通过计算该点的子午线收敛角及方向改正，将椭球面上起算
长)，且曲线都凹向纵坐标轴;
1、椭球面三角系化算到高斯投 影面问题分析
1
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10
（1）投影后需用连接各点间的弦线来代替曲线。为此，必
须在每个方向上引进曲改直的水平方向改正；
（2）根据始点P的大地坐标B,L计算其平面坐标的坐标正
15 /4
算公式；
7 （3）反算公式；
1、椭球面三角系化算到高斯投 影面问题分析
5
斯—克吕格投影”，简称“高斯投影”。
6
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10
高斯投影原理
高斯投影原理高斯投影原理是地图投影中常用的一种方法，它是由德国数学家高斯在19世纪提出的。
高斯投影原理的基本思想是将地球表面上的经纬度坐标系投影到一个平面上，以便于制作地图和进行测量。
在实际应用中，高斯投影原理被广泛用于各种地图的制作和测量工作中。
高斯投影原理的核心是将地球表面上的三维坐标投影到一个二维平面上。
这种投影会引入一定的形变，但是可以通过适当的数学变换来减小形变的影响。
高斯投影原理的优势在于可以将地球表面上的曲线投影成直线或者近似直线，这样就方便了地图的制作和使用。
在高斯投影原理中，地球被看作是一个椭球体，而投影面通常是一个圆柱面或者圆锥面。
根据投影面的不同，高斯投影可以分为圆柱高斯投影和圆锥高斯投影两种。
在实际应用中，圆柱高斯投影常用于大范围的地图制作，而圆锥高斯投影常用于局部地图的制作。
高斯投影原理的具体数学表达可以通过一系列的数学公式来描述。
这些公式涉及到大量的数学知识，包括球面三角学、微积分、线性代数等。
通过这些数学公式，可以将地球表面上的经纬度坐标转换为平面坐标，或者将平面坐标转换为经纬度坐标。
在实际应用中，高斯投影原理需要考虑到地图的精度和形变的影响。
由于地球是一个椭球体，而不是一个完美的球体，因此在进行投影时需要考虑到椭球体的形状参数。
此外，由于地图投影会引入形变，因此需要通过一些数学手段来补偿这种形变，以保证地图的精度。
总的来说，高斯投影原理是地图投影中非常重要的一种方法。
它通过将地球表面上的经纬度坐标投影到一个平面上，方便了地图的制作和使用。
在实际应用中，需要考虑到地球的形状参数和形变的影响，以保证地图的精度。
通过高斯投影原理，我们可以更好地理解地图的制作和使用，为地理信息系统的发展提供了重要的理论基础。
第8章 椭球面元素归算至高斯平面——高斯投影
（2）分带投影
高斯投影 6 带：自 0 子午线起每隔经差 6 自西向东分带，依次编号 1,2,3,…。我国 6 带中央子午线的经度，由75 起每隔 6 而至135 , 共计 L 0 表示，它 11带（13～23带），带号用 n表示，中央子午线的经度用 6 n 3,如下图所示。 们的关系是 L 0
x
x
500Km
B
xA
xB
y
xB
xA
yB
yA
A
B
yB
yA
A
y
（3）高斯平面直角坐标系 在我国 x坐标都是正的，y 坐标的最大值（在赤 道上）约为330km。为了避免出现负的横坐标， 可在横坐标上加上500 000m。此外还应在坐标前 面再冠以带号。这种坐标称为国家统一坐标。例 如，有一点 Y =19 123 456.789m，该点位于19带 内，其相对于中央子午线而言的横坐标则是：首 先去掉带号，再减去500000m,最后得 y =-376 543.211m。
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8.2
正形投影的一般条件
高斯投影首先必须满足正形投影的一般条件。图a为椭球面，图b为它 在平面上的投影。在椭球面上有无限接近的两点P1和 P2，投影后为P1′ p2 dS 和 ，其坐标均已注在图上， 为大地线的微分弧长，其方位角为 。 A 在投影面上，建立如图 b所示的坐标系， 的投影弧长为 。 ds dS
8.3 高斯平面直角坐标系与大地坐标系
1 高斯投影坐标正算公式
（1）高斯投影正算：已知椭球面上某点的大地坐标 L, B ，求该点 L , B ( x , y )的坐标变换。 在高斯投影平面上的直角坐标 x, y ，即 （2）投影变换必须满足的条件： 中央子午线投影后为直线； 中央子午线投影后长度不变； 投影具有正形性质，即正形投影条件。 （3）投影过程 在椭球面上有对称于中央子午线的两点 P1 和 P2 ,它们的大地坐标 分别为（l ,B）及（-l ,B），式中 l为椭球面上 P点的经度与中央子 l LL 午线( L 0 ) 的经度差： , P点在中央子午线之东, l 为正，在 0 , y) 和 P 西则为负，则投影后的平面坐标一定 为 P x , y ) 。 1(x 2(
高斯投影
当然会有变形了。
把一个球面三角形投影到平面上，哪能不变形呢？注意，这里的变形指得是长度变形，高斯投影是一种正形投影，投影后角度即形状不变，但是长度比是会发生变化的。
具体原理可以参考《地图学》，是通过微分几何来解释的。
这里的“投影”其实指一种点到点的映射关系（x,y）=f(X,Y,Z),其中（x,y）是“投影”后的点，（X，Y，Z）是被“投影”的点，而函数f 则是投影函数，是根据正形投影条件解得的一个复杂的数学表达式，并不能完全当作通常意义下的“投影”。
正是由于有这种变形，为了限制变形量的大小，才采用分带投影的方法，工程中施工地点属于哪一个投影带，就在那个带投影。
至于你说的坐标系，是可以通过换带公式对不同投影带之间的点进行转换，使之位于同一坐标系下的。
主要是将坐标纵轴西移500公里，保证了我国的横坐标恒为正，有3度投影和6度投影，但它们的坐标原点不同，要注意。
高斯坐标即高斯-克吕格坐标系（1）高斯-克吕格投影性质高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影简称“高斯投影”，又名"等角横切椭圆柱投影”，地球椭球面和平面间正形投影的一种。
德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl FriedrichGauss，1777一1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于1912年对投影公式加以补充，故名。
该投影按照投影带中央子午线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，确定函数的形式，从而得到高斯一克吕格投影公式。
投影后，除中央子午线和赤道为直线外，其他子午线均为对称于中央子午线的曲线。
设想用一个椭圆柱横切于椭球面上投影带的中央子午线，按上述投影条件，将中央子午线两侧一定经差范围内的椭球面正形投影于椭圆柱面。
将椭圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即为高斯投影平面。
取中央子午线与赤道交点的投影为原点，中央子午线的投影为纵坐标x轴，赤道的投影为横坐标y轴，构成高斯克吕格平面直角坐标系。
高斯投影计算
确定投影关系 -----数学规则 数学规则
x = F1 ( B, L) y = F2 ( B, L)
x = f1 ( q , l ) y = f 2 (q, l )
确定F 确定 1，F2或f1，f2
二、高斯投影条件 (Condition of Gauss projection)
Gauss — Kruger projection
四、高斯投影的计算内容 (Calculation contents of Gauss projection)
2. 具体计算内容
高斯投影
高斯—克吕格投影 高斯 克吕格投影
Gauss — Kruger projection
四、高斯投影的计算内容 (Calculation contents of Gauss projection)
m1 = −
dn0 dq 1 dn1 2 dq
1 dn2 3 dq
n0 →m →n2 →m3 →n4 →m5...... 1
m2 = −
m3 = −
1 dm3 n4 = 4 dq
n5 = 1 dm4 5 dq
m4 = −
1 dn3 4 dq
m0 →n1 →m2 →n3 →m4 →n5......
m5 = −
4. 分带投影的缺点 (Shortcoming of belt dispartion) (1) 不便于跨带三角锁网平差 (2) 不利于图幅拼接 解决办法 西带向东带重迭30 西带向东带重迭 ‘ 东带向西带重迭15 东带向西带重迭 ‘
高斯—克吕格投影 高斯 克吕格投影
Gauss — Kruger projection
1 dn4 5 dq
高斯投影正算公式
Direct solution of Gauss projection 一、公式推导 (Formula derivation)
椭球面元素归算至高斯平面详解
长度比:
投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比。
AB E A m AB EA
有关投影的基本知识（了解）
• 1、地图投影的概念
在数学中，投影（Project）的含义是指建立两个点集 间一一对应的映射关系。同样，在地图学中，地图投影就 是指建立地球表面上的点与投影平面上点之间的一一对应 关系。地图投影的基本问题就是利用一定的数学法则把地 球表面上的经纬线网表示到平面上。由于地球椭球体表面 是曲面，而地图通常是要绘制在平面图纸上，因此制图时 首先要把曲面展为平面，然而球面是个不可展的曲面，即 把它直接展为平面时，不可能不发生破裂或褶皱。若用这 种具有破裂或褶皱的平面绘制地图，显然是不实际的，所 以必须采用特殊的方法将曲面展开，使其成为没有破裂或 褶皱的平面。
S
UTM与高斯投影的异同：
（1）UTM是对高斯投影的改进，改进的目的是为了减少投影变形。 （2）UTM投影的投影变形比高斯的要小，最大在0.001。但其投影变形 规律比高斯要复杂一点，因为它用的是割圆柱，所以，它的m＝1的地方 是在割线上，实际上是一个圆，处在正负1°40′的位置，距离中央经线大 约180km。 （3）UTM投影在中央经线上，投影变形系数m＝0.9996，而高斯投影的 中央经线投影的变形系数m＝1。 （4）UTM为了减少投影变形也采用分带，它采用6°分带。但起始的1带 是（e174°－e180°），所以，UTM的6°分带的带号比高斯的大30。 （5）很重要的一点， 高斯投影与UTM投影可近似计算。计算公式是： XUTM=0.9996 * X高斯 YUTM=0.9996 * Y高斯 这个公式的误差在1米范围内，完全可以接受。
[知识点及学习要求]
1．高斯投影的基本概念； 2．正形投影的一般条件；
高斯投影概述81
第八章 高斯投影地面-----椭球面-----平面熟悉,简单地图投影高斯—克吕格投影〔高斯投影〕高斯投影概述投影与变形所谓地球投影，简略说来就是将椭球面各元素〔包括坐标、方向和长度〕按一定的数学法则投影到平面上。
研究这个问题的专门学科叫地图投影学。
这里所说的数学法则可用下面两个方程式表示：),(),(21B L F y B L F x == (8-1)式中L ，B 是椭球面上某点的大地坐标，而y x ,是该点投影后的平面(投影面)直角坐标。
式(8-1)表示了椭球面上一点同投影面上对应点之间坐标的解析关系，也叫做坐标投影公式。
投影问题也就是建立椭球面元素与投影面相对应元素之间的解析关系式。
投影的方法很多，每种方法的本质特征都是由坐标投影公式F 的具体形式表达的。
椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，假设将这个曲面上的元素〔比方一段距离、一个角度、一个图形〕投影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差异称作投影的变形。
地图投影必然产生变形。
投影变形一般分为角度变形、长度变形和面积变形三种。
在地图投影时，我们可根据需要使某种变形为零，也可使其减小到某一适当程度。
因此，地图投影中产生了所谓的等角投影〔投影前后角度相等，但长度和面积有变形〕、等距投影〔投影前后长度相等，但角度和面积有变形〕、等积投影〔投影前后面积相等，但角度和长度有变形〕等。
控制测量对地图投影的要求1.应采用等角投影〔又称正形投影〕。
这样①保证了在三角测量中大量的角度元素在投影前后保持不变，免除了大量的投影工作；②所测制的地图可以保证在有限的范围内使得地图上图形同椭球上原形保持相似，给国民经济建设中识图用图带来很大方便。
如图多边形，相应角度相等，但长度有变化，投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比。
图中,EA A E AB B A m ''==''=即在微小范围内保证了形状的相似性，当ABCDE 无限接近时，可把该多边形看作一个点，因此在正形投影中，长度比m 仅与点的位置有关，与方向无关，给地图测制及地图的使用等带来极大方便。
第八章将地面的测量元素归算至高斯
、 表示垂线偏差在子午圈、卯酉圈的分量，则：
1 ( sin A cos A)tg1
说明：δ的量值很小，只有一、二等三角测量 （或导线）才进行此项改正。
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2.标高差改正
这是一项由照准点的高度而引 起的改正。 产生的原因：由于A、B两点 的法线不共面。如果B点高出 椭球面，照准面就不能通过B 点法线同椭球面的交点。 解决方法：进行标高差改正：
投影改正；
弧化弦改正。
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习题
已知数值：
D=34884.181m， B1=30°33′， A12=129°35′， H1=3930.35m， H2=3879.54m。 常数值：
a=6378245m e2=0.00669342
e′2=0.00673852 求解：RA=6371440m
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小结
将地面上的方向观测值归算至椭球面需加入
三项改正（即三差改正）：
标高差改正；
垂线偏差改正；
截面差改正。
将地面上的长度归算至椭球面一般需加入：
倾斜改正；
椭球面上任意一点A，其大地坐标为（L，B）， 投影后在平面上有一对应点a，其平面坐标为 （x，y）
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8.4 高斯投影的分带
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8.4.1 为什么要分带
高斯投影及换带计算
测绘学院《大地测量学基础》课件
24
高斯平面直角坐标系与数学上的笛卡尔平面直角 坐标系的异同点 ：
不同点： 1、 x，y轴互异。 2、 坐标象限不同。 3、表示直线方向的方位角
定义不同。 相同点：
数学计算公式相同。
测绘学院《大地测量学基础》课件
Ⅳx
o
Ⅲ
α Ⅰp
D
y
Ⅱ
x=Dcosα
y=Dsinα
高斯平面直角坐标系
y3
6N
3 f
cos
Bf
1
2t
2 f
2 f
y5
120N
5 f
cos
Bf
5
28t
2 f
24t
4 f
6
2 f
8
2 f
t
2 f
测绘学院《大地测量学基础》课件
30
3、高斯投影坐 标正反算公式的
几何解释 ：
①当B=0时x=X=0，y则随l的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且 为y轴。当l=0时,则y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x轴， 其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。
B B f
tf 2M f N f
y2
tf
24M
f
N
3 f
5
3t
2 f
2 f
9
2 f
t
2 f
y4
过所求点P作中央子午线的垂线，
tf
720M
f
N
5 f
y
61
90t
2 f
45t
4 f
y6
该垂线与中央子午线的交点的纬 度，称垂足纬度。其值由子午线 弧长计算公式反算求得。
椭球面上观测成果归化到高斯平面上计算
高斯正形等角投影
R2
(xa
xb )
( ya
2
yb )
方向改化
（2）方向改化计算公式
• 球面角超公式为：
R2
(xa
xb )
( ya
2
yb )
• 适用于三、四等三角测量的方向改正的计算公式：
• 式中
ab
2R2
ym (xa
xb )
ba
2R2
ym (xa
xb )
ym
1 2
( ya
yb
)
，为a、b两点的y坐标的自然平均值
第三部分
距离改化
距离改化
1、距离改正数
距离改化计算 S
• 椭球面上已知的大地线边长（或观测的大地线边长）归算至平 面上相应的弦线长度
• 如图所示，设椭球体上有两点 P1, P2 及其大地线S，在高斯投影 面上的投影为 P1P2 长度为s；连接 P1, P2 两点的直线距离为D；
Nf
y2
y
tan B f
1
3N
3 f
(1
t
2 f
2 f
)
上式计算精度可达1“ 如果要达到0.001"计算精度，可用下式计算：
Nf
yt f
y 2
3N
3 f
t
f
(1
t
2 f
2 f
)
y 15N
5
5 f
t
f
(2
5t
2 f
3t
4 f
)
第二部分
方向改化
方向改化
（1）方向改化分析
• 方向改化值 ab ：椭球面上大地线AB方向改
椭球面元素归算至高斯平面(高斯投影)-93页文档资料
17 /47将椭球面三角系归算到平面上，包括坐标、曲率改正、距离 改正和子午线收敛角等项计算工作。
5.2 高斯投影坐标正反算
第一类称高斯投影正算公式，亦即由（B, L）求（x、y）;
1 2
第二类称高斯投影反算公式，亦即由（x、y）求（B, L）。
3 4
一、高斯投影坐标正算公式
5
6
7 8
高斯投影必须满足以下三个条件：
5 /4均7 大于l。
(7)离中央子午线愈远，长度变形愈大。
3、投影带的划分
我国规定按经差6º和3º
1 2
进行投影分带。
3 4
6º带自首子午线开始，
5 按6º的经差自西向东分成
6 7
60个带。
8 9
3º带自1.5 º开始，按3º
10 的经差自西向东分成120个
带。
6 /47
高斯投影带划分
6º带与3º带中央子午线之间的关系如图:
1高890 斯其中投他央子影子午午面线线上和和：平赤行道圈分均别变为为直曲线线ON。'及OE ' ，
P'N'是PN的投影，P' P 1'是PP1的投影； P'的直角坐标为（x,y）； 14/4因7 是等角投影，大地方位角APK投影后没有变化。 三角形投影后变为边长si的曲线三角形(长度大于椭球面上的边
6
2 f
8
2 f
t
2 f
垂足纬度。 其值由子午线
2弧2 /长47计算公式反
算求得
5.3 高斯投影坐标计算的实用公式
1. 正算实用公式
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
23 /47
9、高斯投影
高斯投影长度比与长度变形
高斯投影尽管保持投影后角度不变，但不能保 持长度不变，有些长度变形还会很大，严重制 约其应用范围。下面首先研究高斯投影的长度 比和长度变形
x 2 y 2 x 2 y 2 1 1 2 m 2 2 N cos B q q N cos B l l
高斯投影坐标正算
高斯投影必须满足以下三个条件：
1、中央子午线投影后为直线,为纵轴，且 左右对称…………对称条件 2、中央子午线投影后长度不变，其投影 长度比为1…………等长条件 3、投影后角度不产生变形，即具有正形 性质，满足正形投影条件……等角条件
高斯投影坐标正算 由第一个条件可知，由于地球椭球体是 一个旋转椭球体，所以高斯投影必然有 这样一个性质，即中央子午线东西两侧 的投影必然对称于中央子午线。 x为经差 l的偶函数，而y则为经差l的奇函数。由 于l是一个微小量，可将投影函数展开为 幂级数的形式：
ds m dS
投影长度比与变形指标
下面首先研究一下某些特殊方向上的投影长度比
P x, y
P ' x ', y '
椭球面上
' '
投影面上
x a x
y b , y
x2 y 2 1
x'2
y '2 2 1 2 a b
投影长度比与变形指标 可见，原面上的小圆投影至平面后成为一个 椭圆。原面上小圆的无数直径中，与主方向 相合的一对直径，投影后成为椭圆的长轴和 短轴。这一对主方向上的投影长度比a 、b叫 做变形指标，可用来研究投影的性质 例如
高斯投影坐标正算
[整理](第8章)高斯平面直角坐标.
高斯平面直角坐标.](https://img.taocdn.com/s3/m/e6cac556376baf1ffc4fad71.png)
第八章高斯平面直角坐标§1 正形投影的基本公式一、地图投影的概念1.投影的必要性及其方法①投影的必要性：测量工作的根本任务，是测定地面点的坐标和测绘各种地形图。
因：1）椭球面上计算复杂；2）地图是画在平面图纸上，故，有必要将椭球面上的坐标、方向、长度投影到平面上。
②投影的方法：按一定的数学法则，得到如下的解析关系（函数关系）x＝F1(B，L)y＝F2(B，L)式中B，L——椭球面上的大地坐标x，y——投影平面上的直角坐标按高斯投影方法得到的平面直角坐标x，y叫高斯平面直角坐标。
2.投影的分类椭球面是不可展开的曲面（圆柱，圆锥面是可展开曲面）。
若展开成平面，必产生变形。
投影按变形的性质可分为：等距离投影━投影后地面点见的距离不变等面积投影━保证投影后面积不变等角投影━投影后微分范围的形状相似3.测量采用的投影测量工作从计算和测图考虑，采用等角投影（又称正形投影、保角投影）。
其便利在于：1）可把椭球面上的角度，不加改正地转换到平面上。
（注：椭球面上大地线投影到平面上亦为曲线。
为实用，需将投影的曲线方向改正为两点间弧线方向，称方向改化。
方向改化是在平面上为实用而做的工作，非投影工作。
且：①改化小，公式简单；②只在等级控制改化，图根控制、测图不顾及）2）因微分范围内投影前后图形相似，则大比例尺图的图形与实地完全相似，应用方便。
二、正形投影1.正形投影的特性有微分三角形如图：对于保角投影：A′＝A；B′＝B；C′＝C所以长度比 cc b b a a md d d d d d '='='=故，正形投影在一个点（微分范围）上，各方向长度比相同。
即投影后保持图形相似。
例如下图，对一个任意形状的微小图形，总可以取一个边数极多的中点多边形逼近它，对于正形投影：m obb o oa a o =='='但上述特点只在微分范围内成立。
在广大范围内，投影前后图形保持相似是不可能的（否则意味着椭球面可以展开）。
第八章 椭球面元素归算至投影面——高斯投影
y5
120N
5 f
cos
Bf
5
28t
2 f
24t
4 f
6
2 f
8
2 f
t
2 f
上式转换精度至0.01“
32
3、高斯投影坐 标正反算公式的
几何解释 ：
①当B=0时x=X=0，y则随l的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且 为y轴。当l=0时,则y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x轴， 其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。 ②当l=常数时(经线),随着B值增加，x值增大，y值减小，这就告诉我们，经 线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。又因，即当用-B代替B时，y 值不变，而x值数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴。 ③当B=常数时(纬线)，随着的l增加，x值和y值都增大，这就是说，纬线是 凸向赤道的曲线。又当用-l代替l时，x值不变，而y值数值相等符号相反， 这就说明，中央子午线是投影对称轴。由于满足正形投影条件，所以经线 和纬线的投影是互相垂直的。 ④距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。
若已知某点的经度为L，则该点所在3º
带的带号按下式计算：
n L 3
入）
（四舍五
20
高斯平面直角坐标系的建立：
x轴 — 中央子午线的投影 y轴 — 赤道的投影 原点O — 两轴的交点
注：X轴向北为正， y轴向东为正。
赤道
x
高斯自
然坐标
P （X，Y）
O
y
中央子午线
21
由于我国的位于 北半球，东西横跨12 个6º带，各带又独自 构成直角坐标系。
2
[知识点及学习要求] 1．高斯投影的基本概念； 2．正形投影的一般条件； 3．高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换
08-高斯投影
2Rm2
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2方向改化较精密公式的推导
控 制 测 量 学
东 华
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2.1
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控
制
测
量
此式可用来检查 方向改正计算。
学 院
侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱 面展开即成为投影面。
控 制 测 量 学
东
我国规定按经差6和3度进行投影分带，为大比
华
例尺测图和工程测量采用带投影。特殊情况下
理
工程测量控制网也可用1.5度带或任意带。
工
学
院
4椭球面三角系化算到高斯平面
控 制 测 量 学
东
华
①高斯投影坐标计算 B,l x, y ；
测
①中央子午线投影后为直线；
量
②中央子午线投影后长度不变； ③投影具有正形性质，即正形投影条件。
学
x X N sin B cosB l2 N simB cos3 B(5 t 2 9 2 4 4 )l4
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东
N sin B cos5 B(61 58t 2 t 4 )l6
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2
东
华
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0q / cosBf
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高斯投影计算的主要内容
两种方法的解算结果一样，但第一种方法的 解算工作量非常大。通常采用第二种方法， 将控制网直接规划到高斯投影面上。 下面以三角网为例，介绍高斯投影计算的基 本程序：
为了在平面上进行三角网的平差与计算，必 须在椭球面上以大地线构成的三角网，换 算成高斯投影平面上以直线边构成的三角 网 ，具体推算内容如下: • 1 将起算点的大地坐标（B1，L1）换算为 高斯投影平面上其投影点的平面直角坐标 （x1，y1），称为高斯投影坐标计算。
综上所述，高斯投影坐标计算、平面子午线 收敛角计算、方向改正计算、距离改正计 算，统称为高斯投影计算。
结束了！！！！
谢谢大家！！！
高斯投影计算内容
• 1、由椭球面上各点大地坐标（B，L）求解 各点高斯平面坐标（x，y）：先在椭球面 上解算球面三角形，推算各边大地方位角， 解算各点大地坐标，然后求解各点的高斯 平面坐标。 • 2、将椭球面上起算元素和观测元素归算至 高斯投影平面，然后解算平面三角形，推 算各边坐标方位角，在平面上进行平差计 算，求解各点的平面直角坐标。
• 2、将起算边的大地方位角A12改换为平面 坐标方位角T12； T12=A12-γ+δ12 式中， γ为坐标北方向相对于真北方向的夹角称为子 午线收敛角。 δ12为投影曲线的弦线相对于投影曲线构成的 夹角投为方向改正。
• 3、将起算边的大地线长度S12归算为高斯平面上 的直线长度D12： D12=S12+△S △S是由大地线长度改化为高斯平面上直线长度时 加入的改正数，称为距离改正。 • 4、对于椭球面上三角网的各观测方向和观测边长 分别进行方向改正和距离改正，归算为高斯平面 上的直线方向和直线距离。组成平面三角网，平 差计算，推求各控制点的平面直角坐标。
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向长度比为1。在这种投影图上并不是不存在长度变形，它只是在特定方
向上没有长度变形。
6
2）按投影面的形状分类
• （1）方位投影：以平面作为投影面，使平面与球面相切或 相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。
• （2）圆柱投影：以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相 切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱 面展为平面而成。
概念。高斯正算和反算计算；方向改化和距离改化计算； 高斯投影带的换算与应用；工程测量中投影面与投影带的 选择。
3
8.1 地图投影概述
1.投影与变形
所谓地图投影，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、 方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个 问题的专门学科叫地图投影学。
x F1(L, B) y F2 (L, B)
2
[知识点及学习要求] 1．高斯投影的基本概念； 2．正形投影的一般条件； 3．高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换
—高斯投影的正算与反算 4．椭球面上观测成果归化到高斯平面上的计算； 5．高斯投影的邻带换算； 6．工程测量投影面与投影带的选择。
[难点]在对本章的学习中，首先要理解和掌握高斯投影的
高斯投影带划分 17
6º带与3º带中央子午线之间的关系如图:
3º带的中央子午线与6º带中央子午线及分带子午线重 合，减少了换带计算。
工程测量采用3 º带，特殊工程可采用1.5 º带或任意带
18
按照6º带划分的规定，第1带中央子午线的经度为 3º，其余各带中央子午线经度与带号的关系是：
L。=6ºN－3º （N为6º带的带号） 例：20带中央子午线的经度为：
3）能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样 的计算公式和用表把各带联成整体 。
11
2、高斯投影的基本概念
• 高斯投影是等角横切椭圆柱投影。 • 高斯投影是一种等角投影。它是由德国数学家高斯(Gauss，
1777 ～ 1855)提出，后经德国大地测量学家克吕格(Kruger， 1857～1923)加以补充完善，故又称“高斯—克吕格投影”， 简称“高斯投影”。
• （3）圆锥投影：以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相 切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥 面展为平面而成。
7
8
• 3、中国各种地图投影：
1）中国全国地图投影：斜轴等面积方位投影、斜轴等角方 位投影、伪方位投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角割 圆锥投影。 • 2）中国分省（区）地图的投影：正轴等角割圆锥投影、正 轴等面积割圆锥投影、正轴等角圆柱投影、高斯-克吕格投 影（宽带）。 • 3）中国大比例尺地图的投影：多面体投影（北洋军阀时 期）、等角割圆锥投影（兰勃特投影）（解放前）、高斯克吕格投影（解放以后）。
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8.2 高斯投影概述（重点）
1、控制测量对地图投影的要求
1）等角投影（又称正形投影）采用正形投影时，在三角测量中大量
的角度观测元素在投影前后保持不变；在测制的地图时，采用等角投影可以保 证在有限的范围内使得地图上图形同椭球上原形保持相似。
2）长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起 的改正数。
椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上 的元素（比如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平 面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差 异称作投影的变形
4
长度比:
投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比。
m AB EA
AB
EA
5
2、地图投影的分类
• 1）按变形性质分类
第八章 椭球面元素归算至投影面 ——高斯投影
一、高斯投影概述 （正形投影，高斯坐标正反算及换带计算）
二、把椭球面元素归算到高斯投影面 （方向改化，距离改化）
三、各种投影方法概述 四、工程测量投影面与投影带选择的概念
1
本章提要
本章介绍从椭球面上大地坐标系到平面上 直角坐标系的正形投影过程。研究如何将大地 坐标、大地线长度和方向以及大地方位角等向 平面转化的问题。重点讲述高斯投影的原理和 方法，解决由球面到平面的换算问题，解决相 邻带的坐标坐标换算。讨论在工程应用中，工 程测量投影面与投影带选择。
（5）经线与纬线投影后仍然保 持正交。
赤道
O
y
（6） 所有长度变形的线段，其 子午线
长度变形比均大于l。
（7）离中央子午线愈远，长度 中央子午线
变形愈大。
16
)、投影带的划分
我国规定按经差6º和3º 进行投影分带。
6º带自首子午线开始， 按6º的经差自西向东分成60 个带。
3º带自1.5 º开始，按 3º的经差自西向东分成 120个带。
x
（1）中央子午线投影后为直
线，且长度不变。
平行圈
（2） 除中央子午线外，其余
子午线的投影均为凹向中央
赤道
O
y
子午线的曲线，并以中央子 子午线
午线为对称轴。投影后有长
度变形。 （3） 赤道线投影后为直线，
但有长度变形。
中央子午线
15
x
（4） 除赤道外的其余纬线，投
影后为凸向赤道的曲线，并以赤 平行圈 道为对称轴。
L。＝6º× 20－3º＝117 º 按照3º带划分的规定，第1带中央子午线的经度为3º， 其余各带中央子午线经度与带号的关系是：
（1）等角投影
•
又称为正形投影。投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应
两线段夹角相等，即角度变形为零。等角投影在一点上任意方向的长度比
都相等，但在不同地点长度比是不同的。
• （2）等积投影
•
在投影平面上任意一块面积与椭球面上相应的面积相等，即面积变形
等于零。
• （3）等距投影
•
定义为沿某一特定方向的距离，投影前后保持不变，即沿着该特定方
9
4、常用的几种地图投影
从世界范围看，各国大中比例尺地形图所使用 的投影很不统一，据不完全统计有十几种之多，最 常用的有横轴等角椭圆柱投影等。中华人民共和国 成立后，我国大中比例尺地形图一律规定采用以克 拉索夫斯基椭球体元素计算的高斯-克吕格投影。我 国新编1:100万地形图，采用的则是边纬与中纬变 形绝对值相等的正轴等角圆锥投影。
12
1).高斯投影的原理:
高斯投影采用分带投影。将椭球面按一定经差
分带，分别进行投影。
高斯投影平面
N
中
央
子
午 线
赤道
c
赤道
S
13
2)、高斯投影必须满足：
（1）高斯投影为正形投影， 即等角投影；
（2）中央子午线投影后为直 线，且为投影的对称轴；
（3）中央子午线投影后长度 不变。
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3)、高斯投影的特点: