水费阶梯式收费数学模型的建立与应用

水费阶梯式收费数学模型的建立与应用

作者：东北师范大学数学系陈国芳黄萍

指导教师李佐锋

摘要长春市是全国严重缺水的城市之一，水资源的合理开发利用和保护问题的解决已经刻不容缓。本文仅从制定合理水价角度提出设计方案，运用了统计抽样检验和随机方法，为政府提供了一个水价的合理方案，并验证了方案的可行性及实际意义。

关键词阶梯式收费正态分布用水量界限节水

一、问题的提出

水资源是人类生存和社会发展的生命线。水资源短缺已成为全球性的热门问题。我国单位GDP的用水量是美国的8倍、德国的11倍，水资源的利用率还很低，节水的空间还很大。为了真正实现以水资源可持续利用保障经济社会的可持续发展，我们必须按照国家新时期的治水方针和治水思路，始终坚持在水资源开发利用中把节水放在首位。除了向全社会大张旗鼓地宣传节水的重要性、必要性和紧迫性以外，还必须深入研究与节水有关的自然规律、社会规律和经济规律，制定科学合理的节水规划，提出符合国情，符合客观规律的节水措施，达到预期的节水效果。

长春市是全国严重缺水的城市之一，人均年水资源拥有量只有270立方米，是全国人均水平的四分之一。目前，尽管有200亿立方米的水流经长春，但因为水源的污染，这些水无法为我们所全部利用。全市日用水量106万立方米，而日供水能力仅为83万立方米，日缺水量23万立方米。用水高峰时，全市有20多个居民小区供水紧张。

随着国民经济的迅速发展和人口的增加，工农业生产用水量还将不断增加。水资源的短缺必将成为阻碍城市发展的瓶颈。国家对此问题也给予了足够的重视。在《中国21世纪议程—中国21世纪人口、白皮书环境与发展白皮书》提出的解决方案中，涉及了七个方面的内容，其中，有效运用价格机制实现水资源有效配置就是其中的一个方面。

就长春市来讲，在城市用水总量中，居民用水就占了45%。因此，控制居民用水量可

以在很大程度上缓解水资源紧张问题。要控制居民用水量仅仅依靠提高居民的节水意识是不够的，要让人们认识到，节水是与他们的切身利益密切相关的。特别是对某些使用通常价格机制无法约束的人们，必须采取更为严厉的价格机制以提高其节水意识。本文就是从制定居民水价入手，用价格来制约人们的用水量，以达到缓解用水紧张的问题。为此，我们进行了大量的数据收集和整理工作，做了专题分析和研究，希望能运用数学模型，通过合理化的抽象和假设，使问题在理论上得以解决，对实际中解决水资源紧缺问题有所帮助。

二、问题分析

节水是一个全方位的问题，有多种解决的途径。我们的思路是建立一种阶梯式水费收费标准即对居民用水量划定一个界限，未超出界限部分沿用原有收费标准，超出部分实施大阶梯式收费来提高收费标准。这样通过价格制约水资源浪费现象，促使居民节约用水，最终达到缓解用水紧张的目的。

当然，要建立新的收费标准，首先必须明确目前的用水状况及收费标准。通过走访水务集团我们了解到，长春市现行水费收费标准是每立方米2.5元，用多用少其单价没有区别。其次，关于用水状况，我们是采用抽样调查的方式进行估计。由概率论知识我们知道，一个变量如果受到大量微小的独立因素的影响，那麽这个变量是一个正态变量而服从正态分布。而每户居民的用水量恰好满足上述条件，即居民用水量是一个正态变量。至于正态分布的两个参数可以有调查的数据通过参数估计获得，进而获得居民用水量的密度函数。

其次，建立新的收费标准，实行阶梯式收费，也就是建立一个以居民用水量为自变量，收费数为函数的分段函数。要建立分段函数必须明确两点：

1. 分段函数的界限；

2. 每段函数的表达式，特别是超出部分的收费标准函数的确定。 这两个问题就是本文讨论的中心问题。

三、模型的简化与假设

1. 每月的供水全部到达居民家中，其间的漏水、盗水等情况不计。

2. 为讨论问题方便，视用水量为连续型随机变量。

3. 居民用水量服从参数为2

,σμ的正态分布。

4. 抽样获得的x 、S 2n 可近似代替全市居民用水量的分布中的2

,σμ。

5. 为了能够使居民真正意识到节水与其切身利益密切相关，我们将超出界限部分按照

指数函数递增方式进行收费。

四、模型建立

（一）参量设定如下：

x ——居民每户每月的用水量（吨）；

)(x Y ——使用x 吨水应缴纳的费用（元）； A ——分段界限数（立方米）。 （二）收费函数设定如下：

{

x

Ae A A

x x Y 5.25.2)(-+=

A

x A x ≤≤≥0

其中居民用水量密度函数为

)(x P =2

22)(21σμπ

--

x e

(0∞≤≤x )

则缴纳水费的期望值为

==)]([)(x Y E A g ?

∞

)()(dx x P x Y

=dx x P Ae

A x xP A

A

A

x )()5.2()(5.20

??

∞

-++

由此确定临界值A 。

五、模型求解

（一） 2

,σμ的确定

由表1（长春市居民每月水费支出情况调查表）数据可求得

2.51001100

1

===∑=i i x x μ

2

2

n

S =σ51.110011001

22

=-=∑=i i x x 则 3

)2.5(2)(2

2

23121)(--

--

=

=

x x e e x P π

π

σμ

（二）A 的确定，由

dx x P Ae

A dx x xP A g A

A

A

x )()5.2()(5.2)(0

??

∞

-++=

关于A 求导数并令其等于零可得到

表1 长春市居民每月水费支出情况调查表 单位：元/

0)(31

))1(5.2()]([3

)2.5(2

=--+=--∞

-?A AP dx e A e dA A g d x A

A x π

为简化计算，对函数3

)2.5(2

,--

-x A x e

e 应用泰勒展开,并取其前四项，有

,0]162

)2.5(18)2.5(3)2.5(1[31]}162)2.5(18)2

.5(3)2.5(1]}{[6)(2)()(1[)1(5.2{316

42

642

32=---+

------+---+-+-+-+?∞

A A A A dx x x x A x A x A x A A

ππ[此前，先将积分

利用概率密度性质转换为[0，)∞上的积分，这里从略]。便可得其解集为 {1.00006， 2.8118， 3.00971±1.36212i ， 6.99029±4.36212i, 7.1882, 100.276±2.46545i, 101.727±0.98251i}

由A 的实际意义知A 不能为虚数，所以虚根去掉；有若A=1.00006或A=2.8118，则几乎所有居民的水费均符合x ≤A 的要求，不能体现出阶梯收费的初衷，也不符合实际情况。A=7.1882≈7.2。从而分段函数确定为

{

x

e A

x x Y 5.22.718)(-+=

,

2.702

.7≤≤x x φ

六、模型分析、推广与应用

1.

按上述方案收取水费，则抽样调查的100户居民按原用水量

需缴纳的新水费如表2所示。又我们调查了长春市居民每月水费支出最高承受能力情况如表3所示。比较表2，表3可知，按新方案计算水费后，水费超出其承受能力的用户占总调查户数的13%. 假设这些

表2 长春市居民每月新水费支出表 单位：元/户

表3 长春市居民每月水费支出最高承受能力情况调查表元/户

居民为了减少水费支出，每月每户仅节水1立方米，则100户每月节水13立方米。按此比例关系推算全市每月可节水260759立方米。

以上节省的水只是按新方案计算水费后，水费超出其承受能力的那部分居民的节水数。如果进行大力宣传，树立全民节水意识，认识到节水的重要性，家家户户都节水，那麽，以每户每月节水1立方米计算，全市每月可节水立方米，相当于每日节水66861.2立方米，这些节约的水可缓解长春市每日缺水量的29%，这是相当可观的数字。

2. 本模型对用水量的遏制作用强大又符合实际。事实上，首先是居民用水量随机变量符合正态分布，恰与作者希望加大力度收费而采用指数函数阶梯收费的目的不谋而合，因而

即符合实际又能有效遏制用水大户。其次，用水量界限A的确定符合长春市居民正态用水计8m/户.月。请看一组数据分析：用水量在正常范围内，平均18元/户.月可被全体居民划3

所接受；用水量超过标准四分之一的居民，仅多缴纳43元，亦在大多数居民可接受范围之内；但当用水量超出限量二分之一时，将多缴纳264元，可遏制中等收入居民用水；当用水量超出一倍时，将多缴纳9644元，可有效遏制个别上等收入者超大量用水。

3. 模型结果适于操作。事实上，收费者只需带一台有指数运算功能的计算器即可在两分钟内算出水费。

4. 本模型可结合各地具体情况推广应用于全国各缺水城市。

5. 本模型在设计分段函数时，为了加大收费力度，有意在指数函数系数上增加了倍数A，这样就使函数在分界点成为不连续函数，这是本模型不尽如人意的地方，也是模型可进一步改进的方向。尽管如此，本模型仍不失是一个解决用水量控制问题的有力工具。

节约用水任重道远，为了我们的城市不再“饥渴”，为了我们的家园永远是一片绿洲，

也为了我们的后代有一个更好的生存环境，让我们协起手来，共同保护水资源，节约用水！（本文参考文献略）