2矩阵典型习题解析

2 矩阵

矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单!

知识要点解析

2.1.1 矩阵的概念

1．矩阵的定义

由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的矩形数表

⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 2

1

22221

11211

称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ⨯=)( 2．特殊矩阵

（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；

}

（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）

三角阵；

（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；

（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设mn ij mn ij b B a A )(;

)(==

若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ===，则称A 与B 相等，记为A=B 。

2.1.2 矩阵的运算

1．加法

~

（1）定义：设mn ij mn ij b B A A )(,)(==，则mn ij ij b a B A C )(+=+= （2）运算规律

① A+B=B+A ； ②（A+B ）+C =A +（B+C ）

③ A+O=A

④ A +（-A ）=0， –A 是A 的负矩阵

2．数与矩阵的乘法

（1）定义：设,)(mn ij a A =k 为常数，则mn ij ka kA )(=

（2）运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA , ③ (KL ) A = K (LA ) 3．矩阵的乘法

（1）定义：设.)(,)(np ij mn ij b B a A ==则

,)(mp ij C C AB ==其中∑==

n

k kj

ik ij b a

C 1

.

（2）运算规律

①)()(BC A C AB =；②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( （3）方阵的幂

①定义：A n ij a )(=，则K

k A A A =

②运算规律：n m n m A A A +=⋅；mn n m A A =)( （4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。

①BA AB ≠

②;00,0===B A AB 或不能推出

③k k k B A AB ⋅≠)(

4．矩阵的转置 ~

（1）定义：设矩阵A =mn ij a )(，将A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵A

的转置，记为nm a A ji T )(=，

（2）运算规律

①;)(A A T T =

②T T T B A B A +=+)(；

③;)(T T KA kA = ④T T T A B AB =)(。

（3）对称矩阵与反对称矩阵

若,A A T =则称A 为对称阵；

A A T -=，则称A 为反对称阵。

5．逆矩阵

（1）定义：设A 为n 阶方阵，若存在一个n 阶方阵B ，使得AB=BA=E ，则

称A 为可逆阵，B 为A 的逆矩阵，记作1-=A B 。

（2）A 可逆的元素条件： 、

A 可逆0≠⇔A （3）可逆阵的性质

①若A 可逆，则A -1也可逆，且(A -1)-1 =A ； ②若A 可逆，k ≠0，则kA 可逆，且1

11)(--=

A k

kA ； ③若A 可逆，则A T 也可逆，且T T A A )()(11--=； ④若A ，B 均可逆，则AB 也可逆，且111)(---=A B AB 。 （4）伴随矩阵

①定义：T n ij A A )(*=，其中ij A 为ij a 的代数余子式， ②性质：

i ）E A A A AA ==**；

ii ）1

*-=n A

A ；

《

iii ）A A A n 2

**)(-=；

iv ）若A 可逆，则*A 也可逆，且A A

A A 1)()(*11*==-- ③用伴随矩阵求逆矩阵公式：*

11A A

A =

- 2.1.3 方阵的行列式

1．定义：由n 阶方阵A 的元素构成的n 阶行列式（各元素的位置不变）叫

做方阵A 的行列式，记为A 或detA 。

2．性质：

（1）A A T =， （2）A k kA n =， （3）B A AB =，

（4）A

A 11=

- 3．特殊矩阵的行列式及逆矩阵

(1) 单位阵E ：E E E ==-1;

1；

<

(2) 数量矩阵kE ：;n k kE =当E k

kE k 1)(,01=≠-时 (3)对角阵：

;,*

212

1n n λλλλλλ

=Λ⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=Λ则

若021≠n λλλ ，则⎪⎪⎪

⎪

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=Λ-n λλλ11

12

11 4． 上（下）三角阵

设nn nn a a a A a a a A

221122

11

,*

=⎪⎪⎪⎪

⎪⎭⎫

⎝

⎛=则 若0≠A ，则1-A 仍为上（下）三角阵

2.1.4 矩阵的初等变换与初等矩阵

1．矩阵的初等变换 （1）定义：以下三种变换

@

①交换两行（列）；

②某行（列）乘一个不为零的常数k ；

③某行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，称为矩阵的初等变换。

2．初等矩阵