2矩阵典型习题解析
矩阵理论习题与答案
矩阵理论习题与答案矩阵理论习题与答案矩阵理论是线性代数中的重要内容之一，它在数学、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
为了帮助读者更好地理解和掌握矩阵理论，本文将介绍一些常见的矩阵理论习题，并提供详细的答案解析。
一、基础习题1. 已知矩阵A = [[2, 3], [4, 5]]，求A的转置矩阵。
答案：矩阵的转置是将其行和列互换得到的新矩阵。
所以A的转置矩阵为A^T = [[2, 4], [3, 5]]。
2. 已知矩阵B = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，求B的逆矩阵。
答案：逆矩阵是指与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。
由于B是一个2×3的矩阵，不是方阵，所以不存在逆矩阵。
3. 已知矩阵C = [[1, 2], [3, 4]]，求C的特征值和特征向量。
答案：特征值是矩阵C的特征多项式的根，特征向量是对应于每个特征值的线性方程组的解。
计算特征值和特征向量的步骤如下：首先，计算特征多项式：det(C - λI) = 0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。
解特征多项式得到特征值λ1 = 5，λ2 = -1。
然后，将特征值代入线性方程组 (C - λI)x = 0，求解得到特征向量：对于λ1 = 5，解得特征向量v1 = [1, -2]。
对于λ2 = -1，解得特征向量v2 = [1, -1]。
所以C的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1，对应的特征向量为v1 = [1, -2]，v2 = [1, -1]。
二、进阶习题1. 已知矩阵D = [[1, 2], [3, 4]]，求D的奇异值分解。
答案：奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。
计算奇异值分解的步骤如下：首先，计算D的转置矩阵D^T。
然后，计算D和D^T的乘积DD^T，得到一个对称矩阵。
接下来，求解对称矩阵的特征值和特征向量。
将特征值构成对角矩阵Σ，特征向量构成正交矩阵U。
最后，计算D^T和U的乘积D^TU，得到正交矩阵V。
矩阵与行列式练习题及解析
矩阵与行列式练习题及解析矩阵与行列式是线性代数的重要内容之一，对于理解和运用线性代数的基本概念和方法具有重要作用。
本文将为读者提供一些矩阵与行列式的练习题，并对其解析过程进行详细讲解，帮助读者掌握相关知识。
练习题一：已知矩阵A=⎡⎣⎢123456⎤⎦⎥，求A的转置矩阵AT。
解析：矩阵的转置是指将矩阵的行与列进行对调。
根据定义，矩阵AT的第i行第j列元素等于矩阵A的第j行第i列元素。
因此，可以得到矩阵A的转置矩阵AT=⎡⎣⎢143256⎤⎦⎥。
练习题二：已知矩阵B=⎡⎣⎢112233⎤⎦⎥，求B的逆矩阵B-1。
解析：矩阵的逆是指与之相乘得到单位矩阵的矩阵。
对于2×2的矩阵而言，可以通过下面的公式求得逆矩阵：B-1 = 1/(ad-bc) * ⎡⎣⎢dd-bb-cc-aa⎤⎦⎥，其中a、b、c、d分别代表B的对应元素。
根据此公式，可以得到矩阵B的逆矩阵B-1=⎡⎣⎢-1/3-2/30.5-1⎤⎦⎥。
练习题三：已知矩阵C=⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥，求C的行列式|C|。
解析：行列式是用来表征矩阵性质的量，对于3×3的矩阵而言，行列式的计算公式如下：|C| = a(ei-hf) - b(di-hg) + c(dg-ge)，其中a、b、c、d、e、f、g、h、i分别代表矩阵C的对应元素。
带入矩阵C的值，可以得到|C|=0。
练习题四：已知矩阵D=⎡⎣⎢123456789⎤⎦⎥，求D的特征值和特征向量。
解析：特征值和特征向量是矩阵在线性变换过程中的重要指标，特征值是矩阵对应特征向量的线性变换因子。
首先，求解特征值需要解特征方程Det(D-λI)=0，其中λ为特征值，I为单位矩阵。
通过计算得到特征值λ1=0，λ2=15，λ3=-15。
然后，根据特征值求解对应的特征向量，即求解方程组(D-λI)X=0，其中X为特征向量。
求解过程中，可以得到特征向量X1=⎡⎢⎣-1-101⎤⎥⎦，X2=⎡⎢⎣111⎤⎥⎦，X3=⎡⎢⎣100-11⎤⎥⎦。
《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答
An
=
⎜⎜⎝⎛
0 C
⎜⎛ 1
B 0
⎟⎟⎠⎞
,
其中
C = (n) ，
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 M 0
0 L 0 ⎟⎞
2 M 0
L L
n
0
M −
⎟ ⎟ 1⎟⎟⎠
，
故 C −1 = ( 1 ) , n
⎜⎛1 0 L
0 ⎟⎞
B −1
=
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
M 0
12 M 0
L L
1
0⎟ (nM− 1) ⎟⎟⎟⎠
，
根据分块矩阵的逆矩阵公式
⎜⎛ 2 ⎜0
0 4
2⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 4 3 2⎟⎠
例 2.12 设 X(E − B −1 A)T BT = E , 求 X . 其中
⎜⎛1 −1 0 0 ⎟⎞
⎜⎛ 2 1 3 4⎟⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
1 0 0
−1 1 0
0⎟ −11⎟⎟⎟⎠ ,
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
2 0 0
1 2 0
0⎟
0 8
⎟ ⎟⎟⎠
,
求B,
使 ABA −1
=
BA −1
+ 3E
．
解 根据 ABA −1 = BA−1 + 3E , 得到 (A − E )BA−1 = 3E
故 A − E, A 皆是可逆的, 并且
( ) [ ] B = 3(A − E )−1 A = 3(A − E )−1 A−1 −1 = 3 (A−1 )(A − E) −1 = 3(E − A−1 )−1
第二章 矩阵及其运算
2矩阵典型习题解析
2矩阵矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。
其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙! 于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单！2.1知识要点解析2.1.1矩阵的概念1.矩阵的定义由in Xu个数«y（z = 1,2, ■■-./«； _/ = L2,--,n）组成的m行n列的矩形数表a\2…67In\°加1 °加2 Q肿丿称为mxn矩阵，记为A = （u/j）mxrt2.特殊矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；（4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E；（6）零矩阵：元素全为零的矩阵。
3.矩阵的相等设 A = 5）； B = （bjj）mn若Uy = b i}（/ = 1,2,…,j = 1,2,），则称 A 与 B 相等，记为A=B。
2.1.2矩阵的运算1.加法(])定乂:设A = (Ajj );nn, B = (by )mn ,则C = A + B = (ay + by) ,nn (2)运算规律®A+B=B+A；②(A+B) +C=A+ (B+C)③A+O二A ④A+ (-A) =0, -A是A的负矩阵2.数与矩阵的乘法(1)定义：设A = (a ij)mn,k为常数，则如(阿)亦(2)运算规律① K(A+B)二KA+KB,②(K+L)A=KA+LA,3( KL)A=K(LA)3.矩阵的乘法(1)定义：设A = («,；),……, B = (by )up.则= C 旷其中C厂士认A-1(2)运算规律®(AB)C = A(BC)； @A(B + C) = /\B + AC@(B + C)A = BA + GA(3)方阵的幕①定义：人=(佝)”，贝ljA k=A - A②运算规律：A m-A n=A m+n; (A m)n=A mn(4)矩阵乘法与幕运算与数的运算不同之处。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案矩阵练习题及答案矩阵是线性代数中的重要概念，也是许多数学问题的基础。
通过练习矩阵题目，我们可以加深对矩阵的理解，提高解决问题的能力。
下面，我将为大家提供一些矩阵练习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、基础练习题1. 计算以下矩阵的和：A = [2 4][1 3]B = [3 1][2 2]答案：A + B = [5 5][3 5]2. 计算以下矩阵的乘积：A = [2 3][4 1]B = [1 2][3 2]答案：A * B = [11 10][7 10]3. 计算以下矩阵的转置：A = [1 2 3][4 5 6]答案：A^T = [1 4][2 5][3 6]二、进阶练习题1. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的逆矩阵。
答案：A 的逆矩阵为 A^-1 = [4/5 -1/5] [-3/5 2/5]2. 已知矩阵 A = [1 2][3 4]求矩阵 A 的特征值和特征向量。
答案：A 的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1对应的特征向量为 v1 = [1][1]v2 = [-2][1]3. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的奇异值分解。
答案：A 的奇异值分解为A = U * Σ * V^T其中，U = [-0.576 -0.817][-0.817 0.576]Σ = [5.464 0][0 0.365]V^T = [-0.404 -0.914][0.914 -0.404]三、实际应用题1. 一家工厂生产 A、B、C 三种产品，其销售量分别为 x1、x2、x3。
已知每天销售的总量为 100 个，且销售收入满足以下关系：2x1 + 3x2 + 4x3 = 3003x1 + 2x2 + 5x3 = 3204x1 + 3x2 + 6x3 = 380求解方程组，得到每种产品的销售量。
答案：解方程组得到 x1 = 30，x2 = 20，x3 = 50。
矩阵的运算与线性方程组练习题及解析
矩阵的运算与线性方程组练习题及解析在线性代数中，矩阵的运算是十分重要的一部分，同时也与线性方程组密切相关。
本文将为大家带来一些关于矩阵的运算和线性方程组的练习题，并给出详细的解析。
1. 矩阵的加法和减法题目：已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]，B = [7 8 9; 10 11 12]，计算A +B和A - B。
解析：矩阵的加法和减法的计算规则是对应元素相加或相减。
根据给定的矩阵A和B，我们可以得到如下结果：A +B = [1+7 2+8 3+9; 4+10 5+11 6+12] = [8 10 12; 14 16 18]A -B = [1-7 2-8 3-9; 4-10 5-11 6-12] = [-6 -6 -6; -6 -6 -6]2. 矩阵的乘法题目：已知矩阵A = [1 2; 3 4]，B = [5 6; 7 8]，计算A * B和B * A。
解析：矩阵的乘法的计算规则是将第一个矩阵A的每一行与第二个矩阵B的每一列对应元素相乘，然后将结果相加。
根据给定的矩阵A和B，我们可以得到如下结果：A *B = [1*5+2*7 1*6+2*8; 3*5+4*7 3*6+4*8] = [19 22; 43 50]B * A = [5*1+6*3 5*2+6*4; 7*1+8*3 7*2+8*4] = [23 34; 31 46]3. 矩阵的转置题目：已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]，求矩阵A的转置。
解析：矩阵的转置是将矩阵的行和列交换得到的新矩阵。
根据给定的矩阵A，我们可以得到如下结果：A的转置 = [1 4; 2 5; 3 6]4. 线性方程组的求解题目：已知线性方程组：2x + y = 8x - y = 2解析：我们可以使用矩阵的方法来求解线性方程组。
将方程组的系数构成系数矩阵A，将方程组的常数构成常数矩阵B。
则方程组可以表示为AX = B的形式。
根据给出的方程组，我们可以得到如下结果：A = [2 1; 1 -1]B = [8; 2]为了求解方程组，我们可以使用矩阵的逆来计算X。
矩阵习题带答案
矩阵习题带答案矩阵习题带答案矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。
掌握矩阵的运算和性质对于学习线性代数和解决实际问题都具有重要意义。
在这篇文章中，我们将提供一些矩阵习题，并附上详细的解答，帮助读者更好地理解和掌握矩阵的相关知识。
1. 习题一已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置矩阵AT。
解答：矩阵A的转置矩阵AT即将A的行变为列，列变为行。
因此，矩阵A的转置矩阵为：AT = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]2. 习题二已知矩阵B = [2 4; 1 3]，求矩阵B的逆矩阵B-1。
解答：对于一个二阶矩阵B，如果其行列式不为零，即|B| ≠ 0，那么矩阵B存在逆矩阵B-1，且B-1 = (1/|B|) * [d -b; -c a]，其中a、b、c、d分别为矩阵B的元素。
计算矩阵B的行列式：|B| = ad - bc = (2*3) - (4*1) = 6 - 4 = 2因此，矩阵B的逆矩阵为：B-1 = (1/2) * [3 -4; -1 2]3. 习题三已知矩阵C = [1 2 3; 4 5 6]，求矩阵C的秩rank(C)。
解答：矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数，也可以理解为矩阵的行向量或列向量的最大线性无关组的向量个数。
对于矩阵C，我们可以通过高斯消元法将其化为行简化阶梯形矩阵：[1 2 3; 0 -3 -6]可以看出，矩阵C中非零行的最大个数为1，因此矩阵C的秩为1。
4. 习题四已知矩阵D = [2 1; -1 3]，求矩阵D的特征值和特征向量。
解答：对于一个n阶矩阵D，如果存在一个非零向量X，使得D*X = λ*X，其中λ为常数，则称λ为矩阵D的特征值，X为对应的特征向量。
首先，我们需要求解矩阵D的特征值，即求解方程|D - λI| = 0，其中I为n阶单位矩阵。
计算矩阵D - λI：[D - λI] = [2-λ 1; -1 3-λ]设置行列式等于零，得到特征值的方程式：(2-λ)(3-λ) - (1)(-1) = 0λ^2 - 5λ + 7 = 0解特征值的方程，得到两个特征值：λ1 = (5 + √(-11))/2λ2 = (5 - √(-11))/2由于特征值的计算涉及到虚数，这里不再继续计算特征向量。
矩阵分析所有习题及标准答案
习题3-22设A,B均是正规矩阵,试证:A 与B相似的充要条件是A与B酉相似
证:因为A,B是正规矩阵,所以存在U,VUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*, B=Vdiag(1,…,n)V*, 其中1,…, n,,1,…,n分别是A,B的特征值集 合的任意排列. 必要性：若A与B相似,则i=i,i=1…,n,于是 B=VU*AUV*=W*AW, W=UV*Unn 即得证A与B酉相似. 充分性:显然,因为,酉相似必然相似.
习题 3-3(1) 0 8 3
V*AV=
子矩阵A1的特征值仍是-1,对应的单位特征向量 是1=(-2/5,1/5)T,作2阶酉矩阵 1 10 T * W1=(1,2),2=(1/5,2/5) ,则W1 A1W1= 0 1 作3阶酉矩阵W=diag(1,W1),U=VW,则 U*AU= 为上三角矩阵.
解,得证AA*与A*A有相同的非零特征值.
习题3-28设A为正规矩阵.试证:①若 Ar=0,则A=0.②若A2=A,则A*=A.
证:因为A是正规矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*, 其中1,…, n是A的特征值.于是, Ar=Udiag(1r,…,nr)U*=0 蕴涵ir=0,i=1,…,n.后者又蕴涵 1=…=n=0. ∴ A=Udiag(0,…,0)U*=0. 若 A2=A, 则i2=i,i=1,…,n. 后者又蕴涵i=0 或1, i=1,…,n,(即正规矩阵A的特征值全为 实数). ∴ A*=Udiag(1,…,n)U*=A.
习题3-30
#3-30:若ACnn,则A可唯一地写为 A=B+C,其中BHnn,CSHnn.
证:存在性 取 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*), 则显然B,C分别是Hermite矩阵和反Hermite矩阵, 并且满足A=B+C. 唯一性 若 A=B+C,其中BHnn,CSHnn,则 A*=(B+C)*=B*+C*=B-C. 于是 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*). 证毕 注:令T=-iC,则T*=iC*=i(-C)=T,即THnn.由此推 出:A可唯一地写为A=B+iT,其中B,THnn.
高中矩阵练习题及讲解详细解析
高中矩阵练习题及讲解详细解析### 高中矩阵练习题及详细解析#### 练习题一：矩阵的基本运算题目：给定两个2x2矩阵 A 和 B：\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B= \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \]求矩阵 A 和 B 的加法和乘法结果。
解析：首先进行矩阵加法，即对应元素相加：\[ A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \]接下来进行矩阵乘法，根据矩阵乘法的定义：\[ A \times B = \begin{bmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix} \]#### 练习题二：矩阵的行列式和逆矩阵题目：已知矩阵 C：\[ C = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \]求矩阵 C 的行列式和逆矩阵。
解析：首先计算矩阵 C 的行列式，使用公式：\[ \text{det}(C) = 2\cdot3 - 1\cdot4 = 6 - 4 = 2 \]接着计算逆矩阵，使用公式：\[ C^{-1} = \frac{1}{\text{det}(C)} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.5 & -0.5 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \]#### 练习题三：矩阵的特征值和特征向量题目：给定矩阵 D：\[ D = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \]求矩阵 D 的特征值和对应的特征向量。
矩阵运算练习题及
矩阵运算练习题及解答矩阵运算练习题及解答矩阵运算是线性代数中的重要内容之一，它在各个领域都有广泛的应用。
通过对矩阵的加法、乘法等基本运算进行练习，可以帮助我们更好地理解和掌握矩阵运算的相关概念和性质。
本文将为大家提供一些矩阵运算的练习题及其详细解答，以便读者巩固相关知识。
1. 矩阵加法设矩阵A、B分别为：A = [2 3 -1]，B = [1 4 2]求矩阵A和B的和。
解答：两个矩阵的和等于对应元素相加。
根据题目给出的矩阵A和B，可以直接进行相加。
A +B = [2+1 3+4 -1+2] = [3 7 1]因此，矩阵A和B的和为[3 7 1]。
2. 矩阵乘法设矩阵A、B分别为：A = [1 2 3]，B = [4 5 6]求矩阵A和B的乘积。
解答：两个矩阵相乘的结果可通过将矩阵A的每一行与矩阵B的每一列进行对应元素相乘并相加得到。
A ×B = [(1×4 + 2×5 + 3×6)] = [32]因此，矩阵A和B的乘积为[32]。
3. 转置矩阵设矩阵A为：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]求矩阵A的转置。
解答：转置矩阵是将原矩阵的行变为列，并将列变为行得到的新矩阵。
根据题目给出的矩阵A，可以进行转置操作。
A的转置记为AT，且AT的第i行第j列元素等于A的第j行第i 列元素。
A的转置为：AT = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]因此，矩阵A的转置为：[1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]4. 矩阵的数量积设矩阵A、B分别为：A = [1 2 3]，B = [4; 5; 6]求矩阵A和B的数量积。
解答：矩阵的数量积等于矩阵A的行向量与矩阵B的列向量的数量积，即矩阵A与矩阵B的乘积。
A ×B = [(1×4 + 2×5 + 3×6)] = [32]因此，矩阵A和B的数量积为[32]。
5. 矩阵的逆设矩阵A为：A = [1 2; 3 4]求矩阵A的逆。
（完整版）矩阵练习（带答案详解）
一、填空题：1.若A ，B 为同阶方阵，则22))((BAB A B A的充分必要条件是BAAB。
2. 若n 阶方阵A ，B ，C 满足I ABC,I 为n 阶单位矩阵，则1C ＝AB。
3. 设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，若00AB C,则1C＝011BA 。
4. 设A ＝1112，则1A ＝2111。
5. 设111111A，432211B.则BA 2731733。
6.设30020001A ，则1A ＝31002100017．设矩阵1 -1 32 0,2 0 10 1AB，T A 为A 的转置，则B A T=160222.8. 11213021A，B 为秩等于2的三阶方阵，则AB 的秩等于 2 .二、判断题（每小题2分，共12分）1. 设B A 、均为n 阶方阵，则kk kB A AB )(（k 为正整数）。
……………（×）2. 设,,A B C 为n 阶方阵，若ABC I ，则111C B A 。
……………………………（×）3. 设B A 、为n 阶方阵，若AB 不可逆，则,A B 都不可逆。
……………………… ( × )4. 设B A 、为n 阶方阵，且0AB，其中0A，则0B。
……………………… ( × )5. 设C B A 、、都是n 阶矩阵，且I CAI AB,，则C B 。
……………………（√）6. 若A 是n 阶对角矩阵，B 为n 阶矩阵，且AC AB ，则B 也是n 阶对角矩阵。
…（×）7. 两个矩阵A 与B ，如果秩（A ）等于秩（B ），那么A 与B 等价。
…………（×）8. 矩阵A 的秩与它的转置矩阵TA 的秩相等。
……………………………………( √ )三、选择题(每小题3分,共12分) 1.设A 为3×4矩阵，若矩阵A 的秩为2，则矩阵TA 3的秩等于（ B）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 42.假定A 、B 、C 为n 阶方阵，关于矩阵乘法，下述哪一个是错误的（ C ）（A ）)(BC A ABC （B ）)(kB A kAB （C ）BAAB （D ）CBCAB AC )(3. 已知B A 、为n 阶方阵，则下列性质不正确的是（A）(A) BA AB (B) )()(BC A CAB (C)BC AC C B A )( (D) CBCA B AC )(4. 设I PAQ，其中P 、Q 、A 都是n 阶方阵，则（ D）（A ）111Q P A （B ）111P Q A （C ）PQA1（D ）QPA15. 设n 阶方阵A ，如果与所有的n 阶方阵B 都可以交换，即BA AB，那么A 必定是（ B）（A ）可逆矩阵（B ）数量矩阵（C ）单位矩阵（D ）反对称矩阵6. 两个n 阶初等矩阵的乘积为（C）（A ）初等矩阵（B ）单位矩阵（C ）可逆矩阵（D ）不可逆矩阵7. 有矩阵23A ，32B ，33C ，下列哪一个运算不可行（ A）（A ）AC（B ）BC （C ）ABC（D ）CAB 8. 设A 与B 为矩阵且ACCB ，C 为m n 的矩阵，则A 与B 分别是什么矩阵( D )(A) n m m n (B) m n n m (C)n n m m (D)m m n n9.设A 为n 阶可逆矩阵，则下列不正确的是( B )(A) 1A 可逆 (B) IA 可逆(C)2A 可逆 (D)2A 可逆10.B A,均n 阶为方阵，下面等式成立的是（ B）（A ）BAAB （B ）TTTBAB A )(（C ）111)(BAB A （D ）111)(BA AB 11.设B A,都是n 阶矩阵，且0AB ，则下列一定成立的是（C ）（A ）0A 或0B （B ）B A,都不可逆（C ）B A,中至少有一个不可逆（D ）B A 12.设B A,是两个n 阶可逆方阵，则1TAB等于（ A）（A ）1TA 1TB(B)1TB1TA（C ）TB1TA )(1（D ）TB11TA13.若B A,都是n 阶方阵，且B A,都可逆，则下述错误的是（A ）（A ）B A 也可逆（B ）AB 也可逆（C ）1B 也可逆（D ）11B A 也可逆14.B A,为可逆矩阵，则下述不一定可逆的是（ B ）（A ）AB （B ）B A （C ）BA（D ）BAB15．设B A ,均为n 阶方阵，下列情况下能推出A 是单位矩阵的是（ D ）（A ）B AB （B ）BA AB （C ）IAA（D ）IA116.设B A,都是n 阶方阵，则下列结论正确的是（D）（A ）若A 和B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵（B ）若0A 且0B ，则0AB （C ）若AB 是奇异矩阵，则A 和B 都是奇异矩阵（D ）若AB 是可逆矩阵，则A 和B 都是可逆矩阵17. 若B A 与均为n 阶非零矩阵，且0AB，则（ A）（A ）n A R )(（B ）n A R )(（C ）0)(A R （D ）0)(B R 四、解答题：1. 给定矩阵443312111A，343122321B ，求A B T 及1A解：6848126594443312111313422321AB T…………………..（5分）2121252121211041A……………………………………………………(5分)2. 求解矩阵方程X 11011101521234311解：02110011101．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分11101110111111111121．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分31222012X ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分3. 求解矩阵方程B XA ，其中011220111A ，112011111B解：因为6A 所以A 可逆……………….…………………….(2分) 3131313161313261311A………………………(4分)故3465323131323431311BAX……………………………..(4分)4. 求解下面矩阵方程中的矩阵X ：021102341011000011001010X 解：令021102341,01100001,1001010CBA，则B A,均可逆，且01100001,1000101011BA所以2143111211BC A X5.设矩阵321011324A，求矩阵B ，使其满足矩阵方程B A AB2.解：B A AB 2即A B I A)2(．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分而.46135134112111322)2(11I A ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分所以A I AB 1)2(321011324461351341=.9122692683．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分五、证明题1. 若A 是反对称阵，证明2A 是对称阵。
高中数学矩阵练习题及讲解
高中数学矩阵练习题及讲解1. 矩阵的加法设矩阵A和矩阵B如下：\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \]求矩阵A和B的和，并验证加法的交换律。
2. 矩阵的数乘给定矩阵C：\[ C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \] 求矩阵C与标量2的乘积。
3. 矩阵的乘法设矩阵D和矩阵E如下：\[ D = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}, \quad E = \begin{bmatrix} 6 & 7 \\ 8 & 9 \end{bmatrix} \]求矩阵D和E的乘积。
4. 矩阵的转置给定矩阵F：\[ F = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \]求矩阵F的转置。
5. 矩阵的行列式给定矩阵G：\[ G = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \] 求矩阵G的行列式。
6. 矩阵的逆给定矩阵H：\[ H = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} \] 求矩阵H的逆矩阵，如果H不可逆，请说明原因。
7. 线性方程组的矩阵表示考虑以下线性方程组：\[ \begin{align*}x + 2y &= 5 \\3x - y &= 1\end{align*} \]将此方程组转换为矩阵形式，并求解。
8. 特征值和特征向量给定矩阵I：\[ I = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \] 求矩阵I的特征值和对应的特征向量。
第三章 矩阵及其运算 典型例题及求解
0 0 ,
A2
0
,则
1
0n 1
E
An
n k 0
Ckn
Ak
=C0n
A0
+C1n
A
即
1 0n 1 0 0 0 1 0 1 0 1 n 0 n 1
1 1 0 0 [例 2] 设 A 0 1 1 0 , 求 A2 , A3 和 An
1 1 1
[分析]在一个列向量和一个行向量的矩阵乘法时，要注意到一个行向量和一个列向量的矩阵 乘法是一个数。
[解] 令 Ta k ，则 T T k T
1 1 1 1 1 1 3 3 3
T T 1 1 1 1 1 1 3 3 3
1 1 2 2
故
R
1
2
1
2
，要使
R
1
2
1
2
,
2 1 2
2 1 2
必须 2 2 1 0 ，即 1。
a1
[例 10]
设
A
a2
b1
,
b2
,
an
,bn 0 ，证明： R A 1，且存在常数 k ，使 A2 kA 。
1 0 0 0 1 0 0 0
0
1
0
0
1
1
0 0
22
1 1 =(E,A-1)
0 0 1 0 0
矩阵分析课后习题解答(整理版)
第一章 线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）1.9.利用子空间定义，)(A R 是m C 的非空子集，即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。
1.10.证明同1.9。
1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数）1.13.提示：设),)(-⨯==n j i a A nn ij （，分别令Ti X X ),0,0,1,0,0( ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0( ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行），代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故A A T -=，即A 为反对称阵。
若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ，0=+ji ij a a ，再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0( ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)(1.15.存在性：令2,2HH A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==,唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B H H -==，且C C B B ≠≠11,，由1111C B C B A HH H -=+=，得C A A C B A A B HH =-==+=2,211（矛盾) 第二章 酉空间和酉变换（注意实空间与复空间部分性质的区别）2.8 法二：设~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n Tn i ==（1在第i 行）；~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n Tn j ==（1在第j 行）根据此题内积定义⎩⎨⎧≠===j i ji X Y e e H j i 01),~~（ 故n e e e ,,21是V 的一个标准正交基。
矩阵论典型试题解析
习题11.计算下列方阵的幂(1)n cos sin sin cos θθ⎡⎤⎢⎥-θθ⎣⎦； (2)1111n ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦； (3)1111na a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 解：(1)由 cos sin sin cos n n n n ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦θθθθcos sin sin cos θθ⎡⎤⎢⎥-θθ⎣⎦= cos(1) sin(1)sin(1) cos(1)n n n n ++⎡⎤⎢⎥-++⎣⎦θθθθ，故由归纳法知cos sin sin cos nn n A n n ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦θθθθ。
法2：由矩阵cos sin sin cos A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦θθθθθ为正交矩阵，且二维平面中任一向量x y ⎛⎫α= ⎪⎝⎭.则向量cos sin x A sin cos y θθθ⎡⎤⎛⎫α= ⎪⎢⎥-θθ⎣⎦⎝⎭相当于将向量x y ⎛⎫α= ⎪⎝⎭顺时针针旋转θ角度，故由此几何意义，有：() cos sin sin cos n n n n A A n n ⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦θθθθθθ (2)由11441144cos sin A sin cos ππ⎡⎤⎥⎡⎤==⎥⎢⎥-ππ⎣⎦⎥-⎢⎥⎣⎦，得11441144n n n n cos sin(n n sin cos ππ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-ππ⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ （3）记J=0 1 0 1 1 0 ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则由于B J J J E ⋅==⋅，2010010100101001010000J ,J ,,⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0K J =其中5K ≥112244113311 () n n n n n n n n n n n n n nk k n k n n n n n a C a C a C a a C a C a A aE J C a J a C a a -------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎢⎢⎣⎦40k =⎥⎥⎥∑(规定：0k n C (n k )=<)2. 求平方等于单位阵的所有二阶方阵 。
矩阵练习带答案详解
一、填空题：1.假设A ，B 为同阶方阵，则22))((B A B A B A -=-+的充分必要条件是BAAB =。
2. 假设n 阶方阵A ，B ，C 满足I ABC =,I 为n 阶单位矩阵，则1-C＝AB。
3. 设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，假设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00A B C ,则1-C ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0011B A 。
4. 设A ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1112，则1-A ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛2111。
5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111111A ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=432211B .则=+B A 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--731733。
6.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300020001A ，则1-A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310002100017．设矩阵 1 -1 3 2 0,2 0 10 1A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，T A 为A 的转置，则B A T=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-160222.8. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110213021A ，B 为秩等于2的三阶方阵，则AB 的秩等于 2 .二、判断题〔每题2分，共12分〕1. 设B A 、均为n 阶方阵，则 kk k B A AB =)(〔k 为正整数〕。
……………〔 × 〕2. 设,,A B C 为n 阶方阵，假设ABC I =，则111CB A ---=。
……………………………〔 × 〕3. 设B A 、为n 阶方阵，假设AB 不可逆，则,A B 都不可逆。
……………………… ( × )4. 设B A 、为n 阶方阵，且0AB =，其中0A ≠，则0B =。
……………………… ( × )5. 设C B A 、、都是n 阶矩阵，且I CA I AB ==,，则C B =。
……………………〔 √ 〕6. 假设A 是n 阶对角矩阵，B 为n 阶矩阵，且AC AB =，则B 也是n 阶对角矩阵。
…〔 × 〕7. 两个矩阵A 与B ，如果秩〔A 〕等于秩〔B 〕，则A 与B 等价。
矩阵理论历年试题汇总及答案
矩阵理论历年试题汇总及答案矩阵理论是线性代数中的一个重要分支，它涉及到矩阵的运算、性质以及矩阵在不同领域中的应用。
历年来的矩阵理论试题通常包括矩阵的基本运算、矩阵的特征值和特征向量、矩阵的分解等重要概念。
以下是对矩阵理论历年试题的汇总及答案解析。
矩阵的基本运算试题1：给定两个矩阵 \( A \) 和 \( B \)，其中 \( A =\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，\( B =\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \)，求 \( A + B \) 和 \( AB \)。
答案：首先计算矩阵的加法 \( A + B \)，根据矩阵加法的定义，对应元素相加，得到 \( A + B = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \)。
接着计算矩阵乘法 \( AB \)，根据矩阵乘法的定义，得到 \( AB = \begin{bmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix} \)。
特征值和特征向量试题2：已知矩阵 \( C = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -1\end{bmatrix} \)，求 \( C \) 的特征值和对应的特征向量。
答案：首先求特征值，我们需要解方程 \( \det(C - \lambda I) = 0 \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。
计算得到 \( \det(\begin{bmatrix}4-\lambda & -2 \\ 1 & -1-\lambda \end{bmatrix}) = (4-\lambda)(-1-\lambda) - (-2)(1) = \lambda^2 - 3\lambda - 2 \)。
矩阵的运算与性质练习题及解析
矩阵的运算与性质练习题及解析一、基础概念在矩阵的运算与性质练习题及解析中，首先需要了解矩阵的基本概念。
矩阵是由 m 行 n 列的数构成的一个长方形的数表。
表示为：A = [a_ij]其中，a_ij 表示第 i 行第 j 列的元素。
例如：A = [1 2 3][4 5 6]这是一个 2 行 3 列的矩阵，其中 a_11 = 1, a_12 = 2, a_13 = 3, a_21 = 4, a_22 = 5, a_23 = 6。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法矩阵的加法规则是对应位置的元素相加。
例如：A = [1 2]B = [3 4] A + B = [4 6][5 6] [7 8] [12 14]即 A + B = [a_11 + b_11 a_12 + b_12][a_21 + b_21 a_22 + b_22]2. 矩阵的数乘矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素分别乘以一个数。
例如：A = [1 2] 2A = [2 4][3 4] [6 8]即 2A = [2a_11 2a_12][2a_21 2a_22]3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指两个矩阵按一定规则相乘得到一个新的矩阵。
规则是矩阵的行乘以另一个矩阵的列，并将结果相加。
例如：A = [1 2]B = [3 4] AB = [1*3+2*7 1*4+2*8] = [17 22][5 6] [7 8] [5*3+6*7 5*4+6*8] [47 58]即 AB = [a_11b_11+a_12b_21 a_11b_12+a_12b_22][a_21b_11+a_22b_21 a_22b_12+a_22b_22]三、矩阵的性质1. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
例如：A = [1 2 3] A^T = [1 4][4 5 6] [2 5][3 6]2. 矩阵的逆一个矩阵存在逆矩阵的条件是该矩阵为方阵且行列式不为零。
逆矩阵满足以下性质：A * A^(-1) = I，其中 I 是单位矩阵。
矩阵习题精选精解
矩阵习题精选精解矩阵习题在高等数学和线性代数中占有极为重要的地位。
完成矩阵习题可以帮助我们更深入地理解矩阵的运算、性质和应用。
然而，在面对复杂的矩阵问题时，许多人常常感到困惑和无从下手。
为了帮助大家更好地解决这些难题，我整理了一些矩阵习题的精选精解。
1.矩阵加减法矩阵加减法是矩阵运算的基础，也是解决许多问题的重要手段。
在矩阵加减法中，需要注意矩阵的维度和对应元素的运算。
例如，计算矩阵A和矩阵B的差：A = [1 2; 3 4],B = [5 6; 7 8]A -B = [1-5 2-6; 3-7 4-8] = [-4 -4; -4 -4]2.矩阵转置矩阵转置是指将矩阵中的行与列交换。
矩阵转置后，矩阵的维度不变，但是矩阵中各个元素的位置发生了变化。
矩阵转置的运算可以用符号T表示。
例如，对于矩阵A进行转置：A = [1 2; 3 4]A^T = [1 3; 2 4]3.矩阵乘法矩阵乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
在矩阵乘法中，需要注意矩阵的维度和对应元素的运算。
例如，计算矩阵A和矩阵B的积：A = [1 2; 3 4],B = [5 6; 7 8]A *B = [1*5+2*7 1*6+2*8; 3*5+4*7 3*6+4*8] = [19 22; 43 50]4.矩阵的逆矩阵的逆是一个广义的倒数，即若矩阵A可逆，则存在一个矩阵B，使得A*B=B*A=I，其中I是单位矩阵。
求矩阵的逆可以用矩阵求逆公式进行计算。
例如，对于矩阵A进行求逆：A = [2 3; 4 5]A^-1 = 1/(2*5-3*4) * [5 -3; -4 2] = [-5 3; 4 -2]/-15.矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量对于矩阵的性质和应用具有重要的作用。
矩阵的特征值是一个标量，矩阵的特征向量是一个非零向量，它们满足一个方程式：Ax = λx，其中A是矩阵，x是非零向量，λ是实数。
例如，对于矩阵A，求解其特征值和特征向量：A = [2 3; 4 5]|A-λI| = |2-λ 3; 4 5-λ| = λ^2 - 7λ + 2 = 0解得λ1 = 1/2，λ2 = 7/2当λ1 = 1/2时，解得特征向量x1 = [-3 2]当λ2 = 7/2时，解得特征向量x2 = [3 4]以上是几道常见的矩阵习题的精选精解。
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2 矩阵矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。
其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单!知识要点解析2.1.1 矩阵的概念1．矩阵的定义由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ⨯=)( 2．特殊矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；}（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。
3．矩阵的相等 设mn ij mn ij b B a A )(;)(==若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ===，则称A 与B 相等，记为A=B 。
2.1.2 矩阵的运算1．加法~（1）定义：设mn ij mn ij b B A A )(,)(==，则mn ij ij b a B A C )(+=+= （2）运算规律① A+B=B+A ； ②（A+B ）+C =A +（B+C ）③ A+O=A④ A +（-A ）=0， –A 是A 的负矩阵2．数与矩阵的乘法（1）定义：设,)(mn ij a A =k 为常数，则mn ij ka kA )(=（2）运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA , ③ (KL ) A = K (LA ) 3．矩阵的乘法（1）定义：设.)(,)(np ij mn ij b B a A ==则,)(mp ij C C AB ==其中∑==nk kjik ij b aC 1.（2）运算规律①)()(BC A C AB =；②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( （3）方阵的幂①定义：A n ij a )(=，则Kk A A A =②运算规律：n m n m A A A +=⋅；mn n m A A =)( （4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。
①BA AB ≠②;00,0===B A AB 或不能推出③k k k B A AB ⋅≠)(4．矩阵的转置 ~（1）定义：设矩阵A =mn ij a )(，将A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵A的转置，记为nm a A ji T )(=，（2）运算规律①;)(A A T T =②T T T B A B A +=+)(；③;)(T T KA kA = ④T T T A B AB =)(。
（3）对称矩阵与反对称矩阵若,A A T =则称A 为对称阵；A A T -=，则称A 为反对称阵。
5．逆矩阵（1）定义：设A 为n 阶方阵，若存在一个n 阶方阵B ，使得AB=BA=E ，则称A 为可逆阵，B 为A 的逆矩阵，记作1-=A B 。
（2）A 可逆的元素条件： 、A 可逆0≠⇔A （3）可逆阵的性质①若A 可逆，则A -1也可逆，且(A -1)-1 =A ； ②若A 可逆，k ≠0，则kA 可逆，且111)(--=A kkA ； ③若A 可逆，则A T 也可逆，且T T A A )()(11--=； ④若A ，B 均可逆，则AB 也可逆，且111)(---=A B AB 。
（4）伴随矩阵①定义：T n ij A A )(*=，其中ij A 为ij a 的代数余子式， ②性质：i ）E A A A AA ==**；ii ）1*-=n AA ；《iii ）A A A n 2**)(-=；iv ）若A 可逆，则*A 也可逆，且A AA A 1)()(*11*==-- ③用伴随矩阵求逆矩阵公式：*11A AA =- 2.1.3 方阵的行列式1．定义：由n 阶方阵A 的元素构成的n 阶行列式（各元素的位置不变）叫做方阵A 的行列式，记为A 或detA 。
2．性质：（1）A A T =， （2）A k kA n =， （3）B A AB =，（4）AA 11=- 3．特殊矩阵的行列式及逆矩阵(1) 单位阵E ：E E E ==-1;1；<(2) 数量矩阵kE ：;n k kE =当E kkE k 1)(,01=≠-时 (3)对角阵：;,*2121n n λλλλλλ=Λ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λ则若021≠n λλλ ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λ-n λλλ111211 4． 上（下）三角阵设nn nn a a a A a a a A22112211,*=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=则 若0≠A ，则1-A 仍为上（下）三角阵2.1.4 矩阵的初等变换与初等矩阵1．矩阵的初等变换 （1）定义：以下三种变换@①交换两行（列）；②某行（列）乘一个不为零的常数k ；③某行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，称为矩阵的初等变换。
2．初等矩阵（1）定义：将n 阶单位阵E 进行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵；交换i ,j 两行（列），记为E (i, j )；第i 行（列）乘以不为零的常数k 记为E(i(k))； 第j 行的k 倍加到第i 行上去，记为E(j(k)i ； （2）初等矩阵的性质初等阵是可逆阵，且逆阵仍为同型的初等阵；;而)1())](([)()]([11⎪⎭⎫⎝⎛==--k i E k i E ij E ij E] )([)] )(([1i k j E i k j E -=-（3）方阵A 可逆与初等阵的关系若方阵A 可逆，则存在有限个初等阵t P P P ,,,21 ，使t P P P A 21=，（4）初等阵的行列式1) )((,))((,1)(==-=i k j E k k i E ij E（5）初等阵的作用：对矩阵A 进行一次初等行（列）变换，相当于用相应的初等阵左（右）乘矩阵A ，且A i k j E A k A k i E A A ij E ==-=) )((,))((,)(3．矩阵的等价!（1）定义：若矩阵A 经过有限次初等变换变到矩阵B ，则称A 与B 等价， （2）A 与B 等价的三种等价说法，①A 经过一系列初等变换变到B ；②存在一些初等阵t s F F E E ,,,,,11 ，使得B F AF E E t s = 11 ③存在可逆阵P ，Q ，使得PAQ=B2.1.5 分块矩阵1．分块矩阵的定义以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
2．分块矩阵的运算（1）设A ，B 为同型矩阵，采用相同的分法有—⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=st s t t st s t t B B B B B B B A A A A A A A12211111221111则),,2,1;,,2,1()(t j s i B A B A ij ij ==+=+（2）),,2,1;,,2,1()(t j s i kA kA ij ===（3）设,)(,)(np ij mn ij b B a A ==分块成⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=tr t r st s t B B B B B A A A A A 11111111 其中it i i A A A ,,,21 的列数分别等于tj j j B B B ,,,21 的行数，则sr ij c C AB )(==，其中∑====tk kj ikij s i B Ac 1)r ,1,2,j ;,,3,2,1(3．准对角阵 （1）定义：形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s A A A A21A i 为n i 阶方阵的矩阵称为准对角阵。
{（2）准对角阵的行列式及逆矩阵设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s A A A A21，则s A A A A 21=；若每个A i 可逆，则A 可逆，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----112111s A A A A（3）特殊的准对角阵（i ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21A A A ，若A 1, A 2可逆，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---12111A A A （ii ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21AA A ，若A 1, A 2可逆，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---11121A A A （iii ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛=C OD BA 是0,0,0≠=≠≠CB AC B 则 且⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----111110C DC B B A （iv ）0,0,0≠≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛=C B C D B A ，则 《⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----111110C DB C B A经典题型解析2.2.1 矩阵的运算1、若11221252121=11231c c c b⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭则c = 解：由415a +-=得a =0, 11c =4 而-1+2b +6=-1得b =-3, 22c =-7从而 c 45=17⎛⎫⎪--⎝⎭提示：对于最基本的矩阵的四则运算我们一定要烂熟于心。
2、设A 为三阶矩阵，且4,A =则____.A =21（）2（解：322111444A A A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭21（）2易错提示：本题是道特别基本的有关矩阵基本性质的类型题，考生易犯的错误就是对矩阵进行行列式计算时，把A 21（）2的阶数给忘记计算。
3、设A 为3⨯3矩阵，B 为4⨯4，且12A B ==-，，则___.B A = 解：()3218.B A B A ==-=-易错题示：本题同上，但还应值得我们注意的是，在计算时()3212B A B A ==-=-是我们常犯的错误。
4、设()()123111A B ==，，则()___.kTA B = 解：()()()()()()()kT T T T T T T T A B A B A B A B A BA BA BA B =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅()11111162116222.3333k k --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭易错提示：本题关键是要求我们注意到T A B 是矩阵，但()111123T BA ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭==6却是数，倘若先计算111222333T A B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，然后再求111222333⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭k，则计算式相当繁琐的。
.5、设101010001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求()n A .解：方法一：数学归纳法.因为101010001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2102010001A A A ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，32103010001A A A ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，一般的，设101010001n A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭n-1，则110110110010010010001001001n n n A A A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n .所以，有归纳法知10010001n A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭n 。