研究生矩阵论期末试题
研究生《矩阵论》 期末考试题
武汉大学2018-2019第一学期研究生《矩阵论》期末考试题
一、（15分）设W={（x 1,x 2,x 3,x 4）|x 1-x 2+x 3-x 4=0}，其中（x 1,x 2,x 3,x 4）∈R 4
（1）证明W 是线性空间；
（2）求W 的一组基和维数；
（3）将W 的基扩充为R 4的基。
二、（15分）设V 是欧氏空间，W 是V 的任意一个子空间，令W ⊥={α∈V|α⊥W}
证明：（1）W ⊥也是V 的子空间；
（2）V=W ⊕W ⊥。
三、（15分）在R 3中定义变换σ（x 1,x 2,x 3）丅=（x 1+x 2，x 1-x 2，x 3）
丅（1）证明σ是线性变换；
（2）求σ的像lmσ和σ的核kerσ；
（3）求σ在基β1=（1.0.0）丅，β2=（1.1.0）丅，β3=（1.1.1）丅下的矩阵表示。
四、（15分）设σ是n 维线性空间，
V （F ）上的一个线性变换，关于基α1，α2，...，αn 和基β1，β2，...，βn 的矩阵分别为A 和B 。
证明：存在可逆矩阵P 使得B=P -1AP 。
五、（15分）已知A=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0 2 21- 2 21- 1 3（1）求A 的最小多项式；
（2）求A 所有的行列式因子、不变因子和初等因子；（3）求可逆矩阵P 使得P -1AP 为对角矩阵或Jordan 矩阵。
六、（25分）设A ∈R m ×n ，B ∈R n ×p
（1）证明：秩（AB ）≤秩（A ），秩（AB ）≤秩（B ）（2）证明：秩（AB ）≥秩（A ）+秩（B ）-n。
14-15(1)-14级-矩阵论试题与答案
中国矿业大学2014～2015学年第1学期研究生《矩阵论》试卷答题时间:120分钟 考试方式:闭卷姓名_ _____学号____________院系__________任课老师____________得分______ 【一】（10分）已知矩阵a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭，定义22R ⨯上的线性变换 (),T X AX X =∈22R ⨯求T 在基11122122,,,E E E E 下的矩阵。
【二】（15分） 已知矩阵313729214A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭（1）求A 的不变因子、初等因子； （2）求A 的Jordan 标准形J ； （3）求可逆矩阵P 使1P AP J -=。
【三】（15分）已知矩阵010865A ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭（1）求A 的特征多项式； （2）求A 的最小多项式；（3）把矩阵Ate 表示成关于A 的多项式。
【四】（10分）已知矩阵111032A ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的QR 分解。
【五】（10分） 已知矩阵0.20.70.30.6A ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求1,A A ∞； （2）讨论矩阵幂级数0kk A∞=∑的敛散性；若收敛，求其和。
【六】（15分）已知下面矛盾方程组123131311221x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ （1）求系数矩阵A 的满秩分解； （2）求A 的广义逆矩阵A +；（3）求该方程组的极小范数最小二乘解。
【七】（15分）()n n ij A a R ⨯=∈，证明：2,,max max ij ij i ji ja An a ≤≤⋅【八】（10分）假设A 是n 阶方阵，若A 不与任何对角阵相似，证明：存在多项式()f λ及正整数k ，使得()f A O ≠但[()]k f A O =。
参 考 答 案【一】（10分）已知矩阵a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭，定义22R ⨯上的线性变换 (),T X AX X =∈22R ⨯求T 在基11122122,,,E E E E 下的矩阵。
西安邮电大学矩阵论期末真题试题2
西安邮电大学研究生课程考试试题
第1页 共3页 西安邮电大学研究生课程考试试题
（ — 学年第一学期）
一、填空题（每小题4分，共20分）
1.设T 是线性空间n V )1(>n 的线性变换，若数λ不是T 的特征值，则n V 的子空间{}
n V x x Tx x V ∈==,λλ的维数是 2.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5221001i i A ,其中1-=i ，则=1A ,=2A , =F A
3.已知⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=613
13461A ,矩阵A 是否是收敛矩阵 ，根据是 4.已知⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=300211101A ,则A 的Jordan 标准形是 5.线性空间n V 中，设由基（Ⅰ）：n x x x ,,,21Λ到基（Ⅱ）：n y y y ,,,21Λ的过渡矩阵为C ，给定n 阶矩阵B ，线性变换T 满足B x x x Ty Ty Ty n n ),,,(),,,(2121ΛΛ=，则T 在基（Ⅱ）下的矩阵是
二、已知⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=321043211111A ，求A 的满秩分解．(10分)
三、已知⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=4021588017190A ，应用n Gerschgori 的特征值估计理论分离A 的特征值，并在复平面上画图表示．(10分)
四、设n m R A ⨯∈，证明在列向量空间m R 中，)(T A N 与)(A R 互补． (10分)。
09+10年北航研究生矩阵论 矩阵理论B期末试卷
二、设 A∈ 8×8，且 λ I − A 等价于准对角阵
diag
⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣λ
2 −1 0
1 ⎤ ⎡λ +1 λ + 2⎥⎦ , ⎢⎣λ −1
0⎤ λ −1⎥⎦
,(λ
+
2)2
,
λ
+
2,
1,
1⎫⎪⎬⎪⎭
(1)试求 λ I − A 的初等因子，不变因子；Smith 标准形(3)写出 A 的最小多项式及 Jordan 形.
四、证明：1）、 因为 A+ = A，故 A3 = A 所以 秩A=秩A3 ≤ 秩A2 ≤ 秩A，所以 秩A2 = 秩A
2）、由 A3 − A = 0，故 λ3 − λ 将 A 零化，且 λ3 − λ = 0无重根， A 可对角化。
3）、 A 的特征根为 1、-1 和 0，而 秩A=r 。故非零特根个数为（对角线非零元素的个数为 r）
附加题证明：令 B = A( AT A)−1 AT ，则 BT = B 为实对称矩阵，且 B2 = B
从而 BT B 与 B 由相同的特征值，且 B 的正奇异值就是 B 的正特征值。λ2 −1 = λ(λ −1) 是
B 的 零 化 式 。 故 B 的 最 大 特 征 值 为 1 （ 否 则 B 为 零 矩 阵 ， 从 而 A = 0 ， 矛 盾 ）， 所 以 B = B的最大奇异值= 1 = 1
3⎤ 2⎥⎦
.（1）计算
e
At
;
（2）试求
f
∞
A=
n=0
n +1 n!
A2
+
A
n
.
八、 A∈ n×n. 证明 lim Am = 0 ⇔ ρ ( A) < 1. m→∞
研究生期末试题矩阵论a及答案
,
可得谱分解式 （10分）
六、当 时， ；当 时，存在 与 使得 ，从而有
，（4分）
对于 ，有
，（7分）
对于 ，有
所以 是 中的矩阵范数.（10分）
七、解
，
， ，
.（10分）
八、容易求出矩阵A的最小多项式为 ，所以 ，于是
由此知 的内插多项式表示为
.（6分）
将矩阵A代入上式得
.
当 时， ，故
一、(10分) 为数域，对于线性空间 中任意矩阵 ，规则 ， 分别为
，问 ， 是否为 上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基 ， ， ， 下的矩阵，判断该变换是否为可逆变换．
解：因 ， ，故 为 上的变换， 不是 上的变换。（4分）
又对于线性空间 中任意矩阵 ， ， ，故为线性变换。（6分）
七、(10分)已知函数矩阵
，
其中 ，试求 ， ， ， .
八、(10分)已知矩阵 ，写出矩阵函数 的Lagrange-Sylvester内插多项式表示，并计算 .
.
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试标准答案及评分标准
科目名称：矩阵论命题人：姜志侠
适用专业：审核人：
开课学期：2012——2013学年第 一 学期□开卷√闭卷
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试试 题
科目名称：矩 阵 论命题人：姜志侠
适用专业：理 工 科审核人：
开课学期：2013 ——2014 学年第 一 学期□开卷 √闭卷
一、(10分) 为数域，对于线性空间 中任意矩阵 ，规则 ， 分别为 ，问 ， 是否为 上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基 ， ， ， 下的矩阵．
矩阵论研究生复习题
矩阵论研究生复习题矩阵理论及应用证明题复习题正规矩阵（包括Hermite 矩阵；Hermite 正定矩阵等）1. 设()ij n n A a ?=是n 阶Hermite 矩阵，12,,,n λλλ 是A 的特征值，且12n λλλ≥≥≥ ，证明：（1）1H n H x Axx xλλ≤≤ ；（2）{}11max n kk k n a λλ≤≤≤≤.2.假设n 阶Hermite 矩阵A 是正定的。
证明：(1)存在正定矩阵S 使得2A S =；（2）对任意n 维列向量,X Y ，有2HH H Y AXX AX Y AY≤，并且，等号成立当且仅当,X Y 线性相关。
3.证明：设,A B 都是Hermite 矩阵，A 的特征值都大于a ，B 的特征值都大于b ，则A B +的特征值都大于a b +。
4.设A 为n 阶正定Hermite 矩阵，证明（1）Hnn AG a ββ??=是正定的的充分必要条件为1H nn a A ββ->，（2）Hnn AG a ββ=正定时有不等式：nn G a A ≤. 5.A 是n 阶Hermite 矩阵，证明：246A A I -+是正定Hermite 矩阵6.A 、B 都为n 阶正定Hermite 矩阵，且AB BA =，则AB 亦为正定Hermite 矩阵范数1.设?为n nC ?上的矩阵范数，λ为复矩阵A 的特征值，证明：mm A λ≤（m 为正整数）2.设λ是n 阶可逆矩阵A 的特征值，A 是A 的任意一种范数证明：11A λ-≥3.设A 是n 阶可逆矩阵，A 是A 的任意一种范数.证明：A 的谱半径()11A Aρ-≥4.A 是n 阶复矩阵，证明221AA A∞≤5.假设A 是s n ?矩阵，,U V 分别是s s ?、n n ?酉矩阵。
证明：FFAUAV=，22A UAV =。
6.设()ijn nA a ?=为n 阶Hermite 矩阵,证明：（1）2()A A ρ=；（2）()ij aA ρ≤.7.设A 为n 阶方阵,A 是从属于任何向量范数的矩阵范数, 证明:1)1I =; 2) 1A <时，I A -可逆，且()11111I A A A-≤-≤+-.矩阵分解1. A 为秩为r 的半正定Hermite 矩阵，则存在列满秩矩阵P ,使得HA P P =∑,其中1(0,1,2,,),H i r r i r P P λλλ??∑=>== ?I （其中r I 为r 阶单位矩阵） 2.设A 是n 正定Hermite 矩阵，利用矩阵的QR 分解证明：存在一个上三角形矩阵T ,使得H A T T =3.设矩阵,A B 都是m n ?矩阵，利用矩阵的满秩分解证明：()rankA B ran kA rankB +≤+.4.A 为秩为r 的半正定Hermite 矩阵，则存在行满秩矩阵P ,使得HA P P =∑,其中1(0,1,2,,),H i r r i r PP I λλλ?? ?∑=>== ?. 5.A 、B 都为n 阶Hermite 矩阵，其中B 为n 阶正定矩阵，证明：存在可逆矩阵Q ，使=H Q BQ E ,H Q AQ 为对角矩阵（这里E 为n 阶单位矩阵）6.A 是n 阶可逆矩阵，则A 可以分解为一个酉矩阵与一个正定矩阵的乘积7.设m n A C ?∈，证明A 的秩为r 的充分必要条件是存在,m rr m rr F C G C ??∈∈，使得A FG =.8.设A 为n 阶可逆方阵，证明：存在酉矩阵,Q P 使得QAP 为对角线元素都是正数的对角矩阵.。
矩阵论考试题
T
任课教师
0 c c 5. 设 A c 0 c ,当 c c c 0
时,A 为收敛矩阵.
二、试用 Househoulder 变换将向量 x (1 , 2 , 2) 化为与 e1 (1 , 0 , 0) 同方向的 向量。 （8 分）
1 8 0 0
2 1 4 0
1 1 至少有两个实特征值。(10 分) 0 1
0 1 2 3 八、求矩阵 A 0 2 1 1 的满秩分解(10 分) 2 4 2 4
九、求矩阵 A 的 Jordan 标准形及相应的相似变换矩阵。其中 1 1 A 5 21 10、设 A H A , B H B ，证明： （1） e iA 为酉矩阵； （2） e B 为酉矩阵 (10 分) （10 分）
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中国民航大学 2010－2011 学年第一学期 研究生《 矩阵论 》期末考试试卷
姓名
线――――――――――――――――――――――――――――――－
专业
学号
考试形式：闭卷
一、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1． det e A 2. 已知 e
At
2 e t e 2 t e 2t e t e 2t e t
姓名：
2 3 0 五、已知 A 1 3 0 ，求 A 的 Doolittle 分解。 1 3 6
(8 分)
1 0 0 六、矩阵 A ，求 A (8 分) 2 0 0
班级：
第 2 页 共 2 页
9 0 七、应用盖尔圆定理证明 1 1
矩阵分析期末试题及答案
矩阵分析期末试题及答案矩阵分析是一门重要的数学课程，在科学、工程和经济等领域都有广泛的应用。
期末试题的设置既考查学生对于矩阵分析理论的理解，也测试其应用能力和解决问题的能力。
本文将为您提供一套矩阵分析的期末试题，并附有答案解析。
1. 简答题（每小题2分，共20分）(1) 请简述矩阵的定义和基本术语。
答案：矩阵是由数个数排成m行n列的一个数表。
行数和列数分别称作矩阵的行数和列数。
矩阵的元素用a[i, j]表示，其中i表示所在的行数，j表示所在的列数。
(2) 请解释什么是方阵和对角矩阵。
答案：方阵是行数和列数相等的矩阵。
对角矩阵是除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。
(3) 请解释矩阵的转置和逆矩阵。
答案：矩阵的转置是指将矩阵的行和列进行互换得到的新矩阵。
逆矩阵是满足A * A^(-1) = I的矩阵A的逆矩阵，其中I是单位矩阵。
(4) 请简述特征值和特征向量的定义。
答案：特征值是方阵A满足方程A * X = λ * X的标量λ，其中X是非零的列向量。
特征向量是对应特征值的零空间上的非零向量。
(5) 请解释矩阵的秩和行列式。
答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
行列式是将矩阵的元素按照一定规则相乘并相加得到的一个标量。
(6) 请解释正交矩阵和幂等矩阵。
答案：正交矩阵是满足A * A^T = I的矩阵A。
幂等矩阵是满足A *A = A的矩阵A。
(7) 请解释矩阵的特征分解和奇异值分解。
答案：矩阵的特征分解是将一个矩阵表示为特征向量矩阵、特征值矩阵和其逆的乘积。
奇异值分解是将一个矩阵表示为三个矩阵相乘的形式，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。
(8) 请解释矩阵的迹和范数。
答案：矩阵的迹是指矩阵对角线上元素的和。
范数是用来衡量矩阵与向量的差异程度的指标。
(9) 请解释矩阵的稀疏性和块状矩阵。
答案：矩阵的稀疏性是指矩阵中大部分元素为零的特性。
块状矩阵是由多个子矩阵组成的一个矩阵。
(10) 请解释矩阵的正定性和对称性。
哈尔滨工程大学研究生试卷 (2017年秋季学期) 矩阵论
− 8x1x3
−
4x2 x3 的矩阵
A
=
⎜⎜⎝
2 −4
1 −2
−2 0
⎟⎟⎠
.
⎡0 1 2 3⎤
⎡1⎤
11．已知
A
=
⎢2 ⎢4
3 5
4 6
5⎥ 7⎥
,
x
=
⎢1⎥ ⎢1⎥
,
则
Ax ∞ =
30
.
⎢⎣6 7 8 9⎥⎦
⎢⎣1⎥⎦
12．已知 x = (2, 0, i, −1)T (i = −1) , A = xT x , 则 A = 6 . m2
y = Ax = 0 ,
即 R( A) ∩ N ( A) = {0} .
(2) dim(R(A) + N ( A)) = dim R( A) + dim N ( A) = n .
( ) 七．设 A∈Cm×n ,
b∈Cm ,
且 A=U
Δ 0
0 0
VH
为
A 的奇异值分解,
Δ 可逆,
u
=
V
⎛⎜⎝
Δ −1 0
⎡0 1 −1⎤ 由此解出一个符合条件的 P = ⎢ 1 −2 1⎥ .
⎢⎣0 1 0⎥⎦
四．设α = (1, − 2, 3, 6)T ,
X
=
⎡ x11
⎢ ⎣
x
21
x12 x22
x13 x23
x14 x24
⎤ ⎥ ⎦
,
F (X ) = ( Xα )T , 求 dF ( X ) . dX
解答： F(X )
(1) R( A) + N ( A) 是直和;
(2) R( A) + N ( A) = Cn .
研究生课程-《矩阵分析》试题及答案
第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设11k x +22k x +33k x =0， ①用σ作用式①两端，有111k x λ+222k x λ+333k x λ=0 ②1λ⨯①-②，有21223133()()0k x k x λλλλ-+-= ③再用σ作用式③两端，有2122231333()()0k x k x λλλλλλ-+-= ④ ③⨯2λ-④，有313233()()0k x λλλλ--=。
由于123,,λλλ互不相等，30x ≠，因此30k =，将其代入④，有20k =，利用①，有10k =。
故1x ，2x ，3x 是线性无关的。
（2）用反证法。
假设1x +2x +3x 是σ的属于特征值λ的特征向量，于是有123123()()x x x x x x σλ++=++即112223123()x x x x x x λλλλ++=++112223()()()0x x x λλλλλλ-+-+-=由于1x ，2x ，3x 线性无关，因此123λλλλ===，这与123,,λλλ互不相等矛盾。
所以，1x +2x +3x 不是σ的特征向量。
二（10分）、解:2312321232()()1;()(2);()(2)()1;()(2);()(2)1()(2)(2)A D D D d d d A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-=-==-=-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式因子分别为，不变因子分别为，于是的Smith 标准形为.三（10分）、解:11121634E A λλλλ+⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪---⎝⎭210001000(1)λλ⎛⎫ ⎪≅- ⎪ ⎪-⎝⎭A λλ2矩阵的初等因子为: -1, (-1)，100:011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故约当标准形为。
四（12分）、解：令()()()1120,E A λλλλ-=-++=得特征值123112λλλ==-=-，，，解齐次方程组()0,E A x -=()2;Tii α=1得基础解系解齐次方程组()0,E A x --=()101;Tα=-2得基础解系解齐次方程组()20,E A x --=()1;T ii α=-3得基础解系αααααα123123由于，，已两两正交，将，，单位化得()()()11121011623T T Tp i i p p i i --123=，=，= ()1,(2)1.3H U p p p U AU ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭123令分，则五（10分）、解：(){}11(1),01,()TAx o i N A span ξξ===解齐次方程组得基础解系，，；又(){}{}()232323010,,,,100,,00H H R A span o span A o i ξξξξξξ⎛⎫⎪===-= ⎪ ⎪-⎝⎭这里，； 显然(),0,iji j ξξ=≠当时；()().HN A R A ⊥故有()()()()()()()()()333(2)dim dim dim 3dim ,Q H H H H N A R A C N A R A N A R A C N A R A C ++=+==+=是的子空间且故。
研究生矩阵论试题及答案与复习资料大全
矩阵论试题(2011级硕士试题)一、(10分)设函数矩阵 ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t t t A sin cos cos sin 求：()⎰tdt t A 0和(()⎰20t dt t A )'。
解：()⎰t dt t A 0=()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰⎰tttt tdt tdt dt t dtt 00sin cos cos sin =⎪⎪⎭⎫⎝⎛---t t t t cos 1sin sin cos 1 (()⎰2t dt t A )'=()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅22222sin cos cos sin 22t t t t t t t A 二、(15分)在3R 中线性变换σ将基⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1202α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1013α变为基 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0111β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2303β(1)求σ在基321,,ααα下的矩阵表示A ；(2)求向量()T 3,2,1=ξ及()ξσ在基321,,ααα下的坐标； (3)求向量()()ξσξ及T 3,2,1=在基321,,βββ下的坐标。
解：(1)不难求得：()2111ααβασ-==()32122αααβασ++-== ()321332αααβασ++-== 因此σ在321,,ααα下矩阵表示为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=110211111A(2)设()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,,k k k αααξ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321111021101321k k k解之得：9,4,10321-=-==k k k 所以ξ在321,,ααα下坐标为()T 9,4,10--。
()ξσ在321,,ααα下坐标可得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛133223*********1111321y y y (3)ξ在基321,,βββ下坐标为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---6151941001111110194101A()ξσ在基321,,βββ下坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---94101332230111111011332231A三、(20分)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301010200A ，求At e 。
武汉理工大学研究生矩阵论试卷
1 0 0 0 1 0 10 6 ，则 A A 8 A 0 0 1 0 0 0
T
2
5、已知向量 (1,2,0, i) ， i 1 ，则其范数 1 二， （20）设 V A
；
2
；
；
a11 a12 22 a11 a21 0 为 R 的子集合， a21 a22
x1 x2 0 2 x1 x2 1 x 2x 0 2 1
四.（15 分）
的最优最小二乘解
3 3 2 1.求矩阵A＝ 0 1 0 的Jordan标准形； 8 6 5
2.已知A的特征多项式，最小多项式分别为：
4 2 f（）＝（ 2） （ 3） ； 2 2 m（）＝（ 2） （ 3） ；
1 , 2 , 3 下的坐标
3、已知矩阵 A1
1 1 1 0 2 1 0 1 , A2 , A3 , A4 ，则由这四个矩阵所生成的子空间的维数为 0 0 1 1 3 3 1 1
0 0 4、已知 A 0 1
0 b 1 1
3、求 AX b 的最小二乘解； 4、求 AX b 的极小范数最小二乘解。 六、 （15 分）已知
0 A 0 1
1、求矩阵函数 e ； 2、求微分方程组
At
0 2 1 1 0 , x0 0 0 3 1
n
n
＝ xi ei
i 1
＝ yi ei
i 1
规定（ ）＝ ixi yi , 证明（ ）是V中的一种内积，从而V对此内积
i 1
矩阵理论试卷(整理版)
山东科技大学2010研究生矩阵理论试卷 1、 在矩阵的四个空间中，行空间、列空间、零空间和左零空间中，维数与矩阵的秩相等的子空间是行空间和列空间.2、 在矩阵的四个基本子空间中，和列空间构成正交补的是 左零空间。
3、 利用QR 分解可以讲矩阵分解为正交阵和上三角形矩阵乘积。
4、 通过矩阵 svd 分解，可以获得矩阵四个基本子空间的标准正交基。
5、 将3×3矩阵的第一行加到第三行是初等变换，对应的初等矩阵式 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1010100016、 当矩阵的零空间中有非零向量的时候，线性方程组Ax=b 有无穷多解。
7、 所有的2×2实矩阵组成一个向量空间，这个空间的标准基是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000010000100001 8、 通过施密特正交化可以获得矩阵的QR 分解。
9、 在选定一个基后，任何维数为n 的欧式空间与n R 同构。
10 如果将矩阵视为线性处理系统，矩阵有m 行，n 列，则输入空间的维数是n 。
二、判断题1、给定一个线性空间，他的基不是唯一的，但是各个基中的基向量个数是相等的。
（R ）2、两个子空间的并集是一个子空间。
（F ）3、在线性方程组Ax=b ，当矩阵A 式列满秩的时候，无论向量b 是什么，方程组都有解。
（F ）4、线性变换在不同的基下的矩阵一般不同，同一线性变换的不同矩阵表示所对应的特征值都相同。
（R ）5、线性变换在不同基下的矩阵一般不同，但是对应同一线性变换的各个矩阵的特征向量都相同。
（F ）6、矩阵特征值的代数重数是该特征值对应的特征子空间的维数。
（F ）7、任何N ×N 的实矩阵都可以对角化。
（F ）8、矩阵的左逆就是矩阵的最小范数广义逆。
（F ）9、任何M ×N 实矩阵都有奇异值分解。
（R ）10、正交投影矩阵都是幂等矩阵。
（R ）三、（矩阵的四个基本子空间和投影矩阵）设矩阵A 为 A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4242 1、求矩阵A 的四个基本子空间的基和维数初等变换 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0042 dim R （A ）=dim R （T A ）=1 dim N （A ）=dim N （T A ）=1 R(A)的基 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22 R(T A )的基 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛42 N(A)的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12 N(T A )的基 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11 2、画出矩阵A 的四个基本子空间的示意图。
矩阵论试题(整理)(完整版)实用资料
矩阵论试题(整理)（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）矩阵论试题（06，12）一.(18分填空：设1.A-B的Jordan标准形为J=2.是否可将A看作线性空间V2中某两个基之间的过渡矩阵（）。
3.是否可将B看作欧式空间V2中某个基的度量矩阵。
（）4.（），其中。
5.若常数k使得kA为收敛矩阵，则k应满足的条件是（）。
6.AB的全体特征值是（）。
7.（）。
8.B的两个不同秩的{1}-逆为。
二.(10分设,对于矩阵的2-范数和F-范数，定义实数，（任意）验证是中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。
三.(15分已知。
1.求；2.用矩阵函数方法求微分方程满足初始条件x(0的解。
四.(10分用Householder变换求矩阵的QR分解。
五.（10分）用Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值。
（要求画图表示）六.(15分已知。
1.求A的满秩分解；2.求A+；3.用广义逆矩阵方法判断线性方程组Ax=b是否有解；4.求线性方程组Ax=b的极小范数解，或者极小范数最小二乘解x0。
（要求指出所求的是哪种解）七.(15分已知欧式空间R22的子空间R22中的内积为V中的线性变换为T(X=XP+XT, 任意XV，1.给出子空间V的一个标准正交基；2.验证T是V中的对称变换；3.求V的一个标准正交基，使T在该基下的矩阵为对角矩阵.八.(7分设线性空间V n的线性变换T在基下的矩阵为A，T e表示V n的单位变换，证明：存在x00，使得T(x0=(T e-T(x0的充要条件是为A的特征值.矩阵论试题（07，12）一.(18分填空：1.矩阵的Jordan标准形为J=2.设则3.若A是正交矩阵，则cos(A=4.设，A+是A的Moore-Penrose逆，则(-2A, A+=5.设，则AB+I2I3的全体特征值是（）。
6.设向量空间R2按照某种内积构成欧式空间，它的两组基为和且与的内积为则基的度量矩阵为（）。
2015年硕士研究生矩阵论期末考试试题卷
硕士研究生考试试卷 2014— 2015学年第一学期 考试科目: 矩阵论 考试时间：120分钟 出卷教师: 出卷时间: 阅卷负责人签名：姓名、学号必须写在指定位置 1 填空题 （18分） （1）123654789A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111X ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A = m A ∞= 1AX = AX ∞= （2）1821A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，幂级数06k k k k z ∞=∑的收敛半径是 ， 矩阵幂级数06k k k k A ∞=∑是 （收敛、发散），理由 （3）1210A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0110B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则A B ⊗的全部特征值是（4）123b b b α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是给定的向量，123X ξξξ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是向量变量，且112233()f X b b b ξξξ=++，则dfdX =专业：姓名：学号：2 设110430102A-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，（16分）（1）求A的Jordan标准形J （2）求变换矩阵P，使1P AP J-=3 设221022212A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求A的QR分解（12分）4 设101102221453A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（16分）（1）求A的满秩分解（2）求A的More-Penrose逆A+5设20312102810A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（14分）（1）写出A的行盖尔圆，并在复平面上画图表示（2）隔离A的特征值（3）利用实矩阵特征值性质，改进得到的结果6 设()m nij m n A a C ⨯⨯=∈，规定,ijG i j A a = （12分）（1） 证明G ⋅是m n C ⨯上的一种范数（2） 证明矩阵范数与向量2-范数相容7 求解微分方程初值问题 （12分）11221221431dx x x dt dx x x dt ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，12(0)1,(0)2x x ==。
中科院矩阵论期末试题真题
一、填空
1、矩阵的LDU 分解，很简单
2、已知2A A =，求A I e
+α
3、求非零奇异值
二、 三、证明2
22||||||||||||F A A A +=为矩阵范数，且与|| 2||相容。
四、线性子空间的证明题，和08年基本相同，有小的变化，但只要把线性空间的基本概念和计算掌握就行了
五、计算题：
（1）求Hermite 标准型，FG ，A +
（2）Ax = b,求x
以下内容不在期末考试范围内：
第一章：矩阵相似于Jordan标准型的计算；
第二章：近似逆矩阵的误差-----逆矩阵的摄动；
第三章： 3.5节矩阵函数的一些应用；
第四章：§4.2中的“三、矩阵与Hessenberg 矩阵的正交相似问题”
第五章：§5.1中从定理5.11（Ostrongski theorem 1）起至本节末的内容；§5.3中“二、广义特征值的极大极小原理”的所有内容；
第六章：§6.2中“三、Moore-Penrose逆的等价定义”，§6.3中“三、四、五、六和七”
的内容；从§6.5到本章末。
北京邮电大学《矩阵论》2015-2016-1-期末试卷及答案精选全文
可编辑修改精选全文完整版北京邮电大学2015——2016学年第一学期《矩阵论》期末考试试题评分参考标准一、（10分）设 x 1,x 2 是线性空间 V 的一组基，线性变换 T 在这组基下的矩阵为 A =[21−10] 。
y 1,y 2 是另一组基，且 (y 1,y 2)=(x 1,x 2) [1−1−12] 。
（1）求 T 在 y 1,y 2 下的矩阵 B ；(2) 计算 A 100 。
解：（1）B =[1−1−12]−1A [1−1−12]=[1101]。
（5分） （2）A 100=[1−1−12]B 100[1−1−12]−1A =[101100−100−99]。
（5分）二、（10分）计算 ln A ，其中 A =[e1e 1e 1e ] 。
解：ln A =[11/e −1/2e 21/3e 311/e −1/2e 211/e 1]。
（10分）三、（15分） 设 x =[512] 。
（1）计算Givens 变换 G 1 使得 G 1x =[a 0] ； （2）计算Givens 变换 G 2 使得 G 2x =b [11] 。
解：（1）G 1=[5/1312/13−12/135/13]，a =13，或G 1=[−5/13−12/1312/13−5/13]，a =−13。
（7分） （2）G 2=[17/13√27/13√2−7/13√217/13√2]，b =13√2/2，或G 2=[−17/13√2−7/13√27/13√2−17/13√2]，b =−13√2/2。
（8分）四、（10分）设 A =[−1−600−630000 00344−3] ，计算 ‖A ‖1，‖A ‖2，‖A ‖∞，‖A ‖F 。
解：‖A ‖1=9，‖A ‖2=1+2√10，‖A ‖∞=9，‖A ‖F =2√33。
（10分）五、（10分）设矩阵A ∈R n×n 满足 A 3=A ，证明存在非奇异矩阵 X 使得 X −1AX =[I r −I s0t ]。