矩阵论武汉理工大学研究生考试试题科学硕士
研究生矩阵论试题及答案与复习资料大全
1 4
1 3
0 0
的
Jordan
标准形。
1 0 2
解：求 E A 的初等因子组，由于
1 1 E A 4 3
0 0
1
3
0
1 3 4
0 0
1 0 2
0
1
2
0 0 0
五、(15 分)求矩阵
的满秩分解：
1 0 1 2 A 1 2 1 1
2 2 2 1
解：
A
E
1 1
0 2
1 1
2 1
1 0
0 1
0 0
2 2 2 1 0 0 1
1 0 1 2 1 0 0
0 2
1 0
23
于是有
1 A 1
2
110
1 0
0 2
1 0
23 BC
A C H CC H 1 BH B 1 BH
或
A C H B H AC H 1 B H
六、(10
分)求矩阵
A
行 0
2 0 31
1
0
0 0 0 0 1 1 1
可求得：
1 0 0 P 1 1 0
1 1 1
1 0 0
P 1
1
1
0
2 1 1
1 B 1
2
0 1 1
，
C
1 0
对任意 k F ，有 k V1 ，且 k V2 ，因此知 k V1 V2 ，故知V1,V2 为 V 的子空 间。
研究生《矩阵论》 期末考试题
武汉大学2018-2019第一学期研究生《矩阵论》期末考试题
一、（15分）设W={（x 1,x 2,x 3,x 4）|x 1-x 2+x 3-x 4=0}，其中（x 1,x 2,x 3,x 4）∈R 4
（1）证明W 是线性空间；
（2）求W 的一组基和维数；
（3）将W 的基扩充为R 4的基。
二、（15分）设V 是欧氏空间，W 是V 的任意一个子空间，令W ⊥={α∈V|α⊥W}
证明：（1）W ⊥也是V 的子空间；
（2）V=W ⊕W ⊥。
三、（15分）在R 3中定义变换σ（x 1,x 2,x 3）丅=（x 1+x 2，x 1-x 2，x 3）
丅（1）证明σ是线性变换；
（2）求σ的像lmσ和σ的核kerσ；
（3）求σ在基β1=（1.0.0）丅，β2=（1.1.0）丅，β3=（1.1.1）丅下的矩阵表示。
四、（15分）设σ是n 维线性空间，
V （F ）上的一个线性变换，关于基α1，α2，...，αn 和基β1，β2，...，βn 的矩阵分别为A 和B 。
证明：存在可逆矩阵P 使得B=P -1AP 。
五、（15分）已知A=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0 2 21- 2 21- 1 3（1）求A 的最小多项式；
（2）求A 所有的行列式因子、不变因子和初等因子；（3）求可逆矩阵P 使得P -1AP 为对角矩阵或Jordan 矩阵。
六、（25分）设A ∈R m ×n ，B ∈R n ×p
（1）证明：秩（AB ）≤秩（A ），秩（AB ）≤秩（B ）（2）证明：秩（AB ）≥秩（A ）+秩（B ）-n。
研究生期末试题矩阵论a及答案
,
可得谱分解式 （10分）
六、当 时， ；当 时，存在 与 使得 ，从而有
，（4分）
对于 ，有
，（7分）
对于 ，有
所以 是 中的矩阵范数.（10分）
七、解
，
， ，
.（10分）
八、容易求出矩阵A的最小多项式为 ，所以 ，于是
由此知 的内插多项式表示为
.（6分）
将矩阵A代入上式得
.
当 时， ，故
一、(10分) 为数域，对于线性空间 中任意矩阵 ，规则 ， 分别为
，问 ， 是否为 上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基 ， ， ， 下的矩阵，判断该变换是否为可逆变换．
解：因 ， ，故 为 上的变换， 不是 上的变换。（4分）
又对于线性空间 中任意矩阵 ， ， ，故为线性变换。（6分）
七、(10分)已知函数矩阵
，
其中 ，试求 ， ， ， .
八、(10分)已知矩阵 ，写出矩阵函数 的Lagrange-Sylvester内插多项式表示，并计算 .
.
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试标准答案及评分标准
科目名称：矩阵论命题人：姜志侠
适用专业：审核人：
开课学期：2012——2013学年第 一 学期□开卷√闭卷
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试试 题
科目名称：矩 阵 论命题人：姜志侠
适用专业：理 工 科审核人：
开课学期：2013 ——2014 学年第 一 学期□开卷 √闭卷
一、(10分) 为数域，对于线性空间 中任意矩阵 ，规则 ， 分别为 ，问 ， 是否为 上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基 ， ， ， 下的矩阵．
研究生课程-《矩阵分析》试题及答案
第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设11k x +22k x +33k x =0， ①用σ作用式①两端，有111k x λ+222k x λ+333k x λ=0 ②1λ⨯①-②，有21223133()()0k x k x λλλλ-+-= ③再用σ作用式③两端，有2122231333()()0k x k x λλλλλλ-+-= ④ ③⨯2λ-④，有313233()()0k x λλλλ--=。
由于123,,λλλ互不相等，30x ≠，因此30k =，将其代入④，有20k =，利用①，有10k =。
故1x ，2x ，3x 是线性无关的。
（2）用反证法。
假设1x +2x +3x 是σ的属于特征值λ的特征向量，于是有123123()()x x x x x x σλ++=++即112223123()x x x x x x λλλλ++=++112223()()()0x x x λλλλλλ-+-+-=由于1x ，2x ，3x 线性无关，因此123λλλλ===，这与123,,λλλ互不相等矛盾。
所以，1x +2x +3x 不是σ的特征向量。
二（10分）、解:2312321232()()1;()(2);()(2)()1;()(2);()(2)1()(2)(2)A D D D d d d A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-=-==-=-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式因子分别为，不变因子分别为，于是的Smith 标准形为.三（10分）、解:11121634E A λλλλ+⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪---⎝⎭210001000(1)λλ⎛⎫ ⎪≅- ⎪ ⎪-⎝⎭A λλ2矩阵的初等因子为: -1, (-1)，100:011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故约当标准形为。
四（12分）、解：令()()()1120,E A λλλλ-=-++=得特征值123112λλλ==-=-，，，解齐次方程组()0,E A x -=()2;Tii α=1得基础解系解齐次方程组()0,E A x --=()101;Tα=-2得基础解系解齐次方程组()20,E A x --=()1;T ii α=-3得基础解系αααααα123123由于，，已两两正交，将，，单位化得()()()11121011623T T Tp i i p p i i --123=，=，= ()1,(2)1.3H U p p p U AU ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭123令分，则五（10分）、解：(){}11(1),01,()TAx o i N A span ξξ===解齐次方程组得基础解系，，；又(){}{}()232323010,,,,100,,00H H R A span o span A o i ξξξξξξ⎛⎫⎪===-= ⎪ ⎪-⎝⎭这里，； 显然(),0,iji j ξξ=≠当时；()().HN A R A ⊥故有()()()()()()()()()333(2)dim dim dim 3dim ,Q H H H H N A R A C N A R A N A R A C N A R A C ++=+==+=是的子空间且故。
矩阵论习题答案
自测题一一、解：因为齐次方程0211211=++x x x 的基础解系为T T T )1,0,0,0(,)0,1,0,1(,)0,0,1,1(321=-=-=ααα，所以V 的一组基为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=00111A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01012A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10003A ，显然A 1，A 2，A 3线性无关.V a a a a A ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∀22211211，有211211a a a --=，于是有 322221112A a A a A a A ++=，即A 可由A 1，A 2，A 3线性表示，故A 1，A 2，A 3为V 的一组基；且dimV=3.二、解：（1）R V X X ∈∈∀λ,.21，有21212122112211(2211)(X X X X X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+）=+)(1X )(2X,λλλλ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11122112211)(X XX )(1X .又因任意两个二阶方阵的乘积、和仍为二阶方阵，故V V '=，即为从V 到V （自身）的线性算子，所以为线性变换.（2）先求的自然基22211211,,,E E E E 下的矩阵A ：2221121111020020100012211)(E E E E E +++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2221121112200)(E E E E E +++=2221121121020)(E E E E E +++=2221121122200)(E E E E E +++=故⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2020020210100101A . 显然, 从自然基到所给基4321,,,E E E E 的过渡过阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000110011101111C ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-10001100011000111C , 所以在4321,,,E E E E 下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----==-40200202231201011AC C B .三、解：（1）不是内积. 因为)(,A A tr A A +=)(2)(22211a a A tr +==并不一定大于零.（2）因为1),(10==⎰dt te g f t ,⎰===1021231)(),(dt t f f f ,⎰-===1212212)21()(),(e dt e g g g t,g f g f ⋅≤),( ,即212)21(311-⋅≤e .四、解：（1）2)2)(1(--=-λλλA I ，2,1321===λλλ.行列式因子：1,1,)2)(1(1223==--=D D D λλ ; 不变因子：2321)2)(1()(,1)()(--===λλλλλd d d ; 初等因子：2)2(),1(--λλ .（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2121~21J JJ A ; （3）对T X A I )1,1,0(0)(,1111==-=ξλ得;T X A I )1,0,1(0)2(,2222==-=ξλ得.再求22=λ的一个广义特征向量： 由23)2(X X A I -=-得T )1,1,1(3=ξ .取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-111110111,1111011101P P , :,)(则令SinA A f =[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡===2sin 02cos 2sin )(,1sin )()(22111λλλJ f f J f , 故12211)])([)],([(sin -⋅=P J f J f Pdiag A λλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1111101112sin 2cos 2sin 1sin 111101110⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+----+=2cos 1sin 1sin 2cos 1sin 2cos 2sin 2sin 1sin 1sin 2sin 1sin 2sin 2cos 2cos 2sin 2cos .五、解：（1）130143014,83,3014max max 31<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧==∑=∞j ij ia A ， 故0lim =∞→k k A ；（2）∑∞=0k k x 的收敛半径为1，而1<∞A 若在其收敛域内，故∑∞=0k kA绝对收敛，且∑∞=--=01)(k k A I A .六、解：（1）6,5,15,511====∞∞m m A A A A ；又因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-322232223511A ，571=∞-A . 所以7557)(1=⨯==∞∞-∞A A A cond ；1,5,)1)(5(3212-===+-=-λλλλλλA I .故5lim )(==i iA λρ. （2）因为031221,0121≠-==∆≠=∆，故可分解. （3）-+-r B B B ,,均可取1-B .七、证：设T n T n y y y Y x x x X ),,,(,),,,(2121 ==分别为在两组基下的坐标，则CY X =，当Y X =时有：θ=-X C I )(，则0=-C I ，故C 有特征值1.反之，由于1是过渡过阵C 的一个特征值，设其对应的特征向量为X ，即X CX ⋅=1，由坐标变换公式知，在基1β，2β，n β, 下的坐标CX Y =，故有X Y =.八、证： A 对称正定，∴存在正交矩阵C ，使D diag AC C n T ==),,,(21λλλ其中特征值）n i i ,,2,1(0 =>λ.对θ≠∀X ，有CX Y =，使DY Y y y y AX X T n n T =+++=2222211λλλ ,其中θ≠y .令n nn z y z y z y λλλ1,,1,1222111===.于是θλλλ≠=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Z BZ Z Y n ,11121故Z Z Z DB B Z DY Y T T T T ==)(. 而)(P B C PZ BZ C Y C X T T T ====令，所以Z Z Z AP P Z AX X DY Y T T T T T ===)(.因Z 的任意性，知I AP P T =，即A 与I 相合.自测题二一、解：I a A a I A I A k k k k k k λλλ===,,,I a a a A a A a A a I a n n k n )(102210λλ+++=++++∀ ,其中R a a a n n ∈+++λλ 10，故取V 的基为I ，1dim =V .二、解：（1）从基2,,1x x 到基22,,1x x x x ++的过渡矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110011001C ，所以在新基下的坐标为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--0111011C .（2）不是线性变换.因为≠++++++=+),,2()(33221121111b a b a b a b b a a βα+)(α)(β.（3）不是内积. 如0341212121<-=-==），），（，（），，（α，不具有非负性.三、解：（1）利用Schmidt 正交化方法，得T e )1,1,1(1=，T e )1,0,1(2-=，T e )61,31,61(3-=.（2）从321,,ααα到321,,e e e 的过渡阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=610021103421C ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-6003102211C ，故所求⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==-00000034211AC C B .四、解：（1）由于A 实对称，所以存在正交阵Q ，使⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∧=n AQ Q T21. 故2)1+=∧==n n AQ Q A F F T F （；n A =)('ρ；n A =2；n A cond =2)(；1)(21=-mA .（2）取⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000000111A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111 α，得n aA n A ===212,1,α,即有212ααA A >.五、解：（1）3)1(201335212+=+-+---=-λλλλλA I ；1321-===λλλ. 33)1()(+=λλD ，所以,不变因子为3321)1()(,1)()(+===λλλλd d d ；初等因子为3)1(+λ. 故A 的Jordan标准形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100110011J .（2）cos A 的Jordan标准形为：J =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------)1cos(00)1sin()1cos(0)1cos(21)1sin()1cos(.六、证：（1）因173.01<=A ；故;0lim =∞→kk A（2）因A 有范数小于1，故∑∞=0k k A 绝对收敛；且其和的形式为1)(--A I .七、解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=00032103101~230121121A ；取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=302121B ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32103101C ； 则有BC A =（最大秩分解）；1)()(12==λλD DT T B B B B 1)(-+=, 1)(-+=T T CC C C ,则 +++=B C A ，所以,方程b AX =的极小范数最小二乘解为b A X +=.八、证：（1）因为A C A AC C A n T 2)1(,=-=-所以，则有,0)1(2>-=n C n 必为偶数.（2）设T n x x x X X AX ],,,[,21 ==λ的分量中绝对值最大者为kx ，则X AX λ=的第k 个方程∑==nj jkj k x a x 1λ；∑∑==≤=nj jkjnj j kj k x a x a x 11λ；∑∑==<≤≤nj nj kj kj kja x x a 111λ，故有1<λ.自测题三一、 解：（1）不是. 设B B A A T T -==,，则)(T T B A B A -=+=T T B A B A )()(+≠-（一般情况下）， 又)()(B A B A B A T +-≠-=+（一般情况下），即V B A ∈+.（2）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=+++∀001)(111010 n n n n d a d a a D a D a I a⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++100)(10 n n n n d a d a a ， 故得一组基为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100,,001 ，且n V =dim .二、解：（1）123)(22++=x x x,12)(+=x x, 43)1(+=x,在基1,,2x x 下的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=411322003A .（2）)5)(1)(3(411322003---=-------=-λλλλλλλA I ,可见矩阵A 有三个不同的单根1，3，5，故 A 可以对角化，即可以对角化.（3）设度量矩阵33)(⨯=ij C C ，则⎰⎰====1010213124114151C dx x C dx x C , ⎰⎰=====1102223121331,31dx x C C dx x C ,⎰⎰=====10331032231,21dx C xdx C C . 故⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12131213141314151C .三、解：设3322113)(ααααx x x ++=，使得)(1α，)(2α，)(3α是标准正交的.∵)(1α，)(2α已标准正交化，∴（)(1α，)(2α）=（)(2α，)(3α）=0，)(3α=1，即得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=-+1022022232221321321x x x x x x x x x ；解得：32,32,31321==-=x x x ； 即()().22313213αααα++-=.因为)(1α，)(2α，)(3α为标准正交基，且把标准正交基变为标准正交基，故为正交变换, 它在基321,,ααα下的矩阵表示为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=32321323132313232A .四、解：由自测题一中第四题（2）知A 的Jordan 标准形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2121J ，相似变换矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111101110T . 由T ）321321,,(),,(αααβββ=，求得3V 的一组基为3213312321,,αααβααβααβ++=+=+=，则在该基下的矩阵为J .五、证：当0=X 时，000===F F X α；当θ≠X 时，0≠T X α ;从而0>=FTX X α. ,C k ∈∀FT FTX k kx kX αα()(===X k X k FT=α,FTFTFT T FTY X Y X Y X Y X ααααα+≤+=+=+)(=Y X +，因此 , X 是向量范数. 又因为FT T FTA X AX AX )()(αα==X AA X FFTFT=≤α，因此 , F A 与X 相容.六、解：)6(2-=-λλλA I ，特征根为0,6321===λλλ；则6)(=A ρ.由于A A 62=，故A 可以对角化, 即存在可逆矩阵C ，使1006-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=C C A ；1001)(-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C C A Aρ. 故得.61001001lim )(lim 11A C C C C A A kk kk =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--∞→∞→ρ七、证：⇒设1)(<A ρ，取0)](1[21>-=A ρε，对于矩阵A ，存在矩阵范数⋅，使121)()(<+=+≤A e A A ερ. 1)(<≤⇐A A ρ便得证.八、证：（1）1-====AB B A B A B A T T , 同理，有1-==T T T B A AB .（2）B A B A B A B A B A T T +=+=+--)(11=AB ()AB B A T -=+， 得2即有,0=+B A 0=+B A .自测题四一、 解：（1）21111011201010011)(E E E E E T +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+=，21222011200110101)(E E E E E T+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+=，33332200010001000)(E E E E T=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=， 所以在E 1，E 2，E 3下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200011011A . (2) 设有一组基321,,e e e ，从E 1 ,E 2 ,E 3到e 1 ,e 2 ,e 3的过渡矩阵设为C ,即C E E E e e e ),,(),,(321321=再设A 在e 1 ,e 2 ,e 3下的矩阵为B ,则AC C B 1-=.要使B 为对角阵，即找一个可逆矩阵C ，使AC C 1-为对角阵. 因为2)2(211011-=-----=-λλλλλλA I ,对0=λ，求得特征向量()T 0,1,1-，对λ=2，求得两个线性无关的特征向量()T 0,1,1，T )1,0,0(.令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100011011C ，得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-10002121021211C ，则AC C B 1-=为对角阵. 由()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100011011,,,,321321E E E e e e ，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-=011001010011211E E e⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+=011201010011212E E e ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==100033E e .二、证：易得()()()122111,,,1,αααααα==0=，()()()()()(),1,,0,,,1,,0,,332332221331======αααααααααααα即11)(α=e ，22)(α=e ，33)(α=e 也是标准正交基，故是正交变换.三、解：（1）令T Y )0,,0,,(21 ηξ=，由Y HX =，知X HX Y ==； 取 Y X YX Y X X Y X X --=--=0η ； Y YY 10=，构造初等反射矩阵 T I H ηη2-=，则有Y Y X HX ==0.（2）)3)(5(16)1(12812--=--=--=-λλλλλλA I . 因此3,521==λλ，所以5m ax)(==i iA λρ；因为65)(<=A ρ，故矩阵幂级数收敛.四、解：由正交矩阵行（列）向量组标准正交，得12122=+⎪⎭⎫⎝⎛a12122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛b 02=+bc a四组解是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===212121c b a ，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==212121c b a ，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=212121c b a ，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=212121c b a .五、解： (1){}∑====31162,4,6m ax m axi ijja A ；{}∑=∞===3153,4,5m ax m ax j ij ia A;{}9max =⋅=∞ij m a n A.因为()()221--=-λλλA I ，2,1321===λλλ , 故2m ax )(==i iA λρ.（2） 031≠=∆，0521132≠==∆，故可以进行LU 分解 .（3）易得2)(,3)(==B R A R ，所以6)(=⊗B A R ，B 的特征根为2,121==μμ，故B A ⊗的特征根为4,2,4,2,2,1231322122111======μλμλμλμλμλμλ.2)(B A ⊗的特征根为：1，4，4，16，4，16.（4）∵02≠=B ∴B 可逆，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-1032211B ，所以-+-r B B B ,,均可取为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-1032211B . （5）A 的Jordan标准形为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2121J . （6）对应于11=λ的特征向量T )11,0(，，对应于22=λ的线性无关的特征向量只有一个T )1,0,1(，再求一个广义特征向量T )1,1,1(. 令TT ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111101110，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-1111101111T . 令 AA f 1)(=， 则1))((11=λJ f ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=214121)((22λJ f . 12211))(),(()(-⋅⋅=T J J diay T A f λλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111110111210041210001111101110⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=53322211141.六、解：（1）由X AX λ=，即0)(=-X I A λ，若λ不是A 的特征根，则0≠-I A λ，所以0)(=-X I A λ只有零解，故0dim =λV .若λ是A 的特征根，则0=-IA λ，所以0)(=-X I A λ有非零解.设r I A R =-)(λ，则r n V -=λdim .（2） 设T I A ωω2-= 其中ω为单位向量1=ωωT .则)2)(2(2T T I I A ωωωω--=T T T T w I ωωωωωωωω422+--=I I T T =+-=ωωωω44.七、证：（1）设()由于二,0≠∈m R X 次型()()0≥==AX AX AX A X BX X TT T T ，所以B 为半正定矩阵.（2）当A 的列向量组线性无关时，若X ≠0，则AX ≠0， 故())(AX AX BX X T T =>0 ，即A 为正定矩阵.八、证：（1）λ为非奇异，λ为A 的特征值，故λ≠0 ， 而λ1为1-A 的特征值，据特征值上界原理, 有11-≤A λ，即11-≥Aλ. (2) 对0≠∀X ，由已知有BXA X XB A A 11)(--+=+BXA X 1--≥XB A X 1--≥XB A )1(1--=由已知11-<AB , 即11<-A B ,故知0≠∀X , 0)1()(11>-≥+--X B A X B A A ；即对0≠∀X , 有0)(1≠+-X B A A ，即0)(1=+-X B A A 无非零解.故0)(11≠+=+--B A A B A A , 从而0≠+B A ，即A +B 可逆.自测题五一、 解：(1) 在V 1中，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4324324321x x x x x x x xx x A ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=100101010011432x x x . 令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001,0101,0011321E E E , 因321,,E E E 线性无关，由定义知，它们是1V 的基，且3dim 1=V .(2)[]212，BB L V = 因为21,B B 线性无关； 2dim 2=V .),,,,(2132121B B E E E L V V =+在22⨯R 的标准基下，将21321,,,,B B E E E 对应的坐标向量21321,,,,ββααα排成矩阵, 并做初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=10000031000111001111~13100020102000101111),,,,(21321ββααα， 可见4)dim(21=+V V .由维数定理145)dim (dim dim )dim (212121=-=+-+=V V V V V V .二、解：(1) 因为，过渡阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111111C ，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-111111C ，所以α在α1，α2，α3下的坐标为=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-3211a a a C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--23121a a a a a .（2）设,21λλV V X ∈则有()X X A 1λ=与()X X A 2λ=，两式相减得()021=-X λλ，由于21λλ≠，所在地只有X=0，故[]0dim 21=λλV V .三、解：取[]3X P 中的简单基,,,,132x x x 由于)1(=,12x-,)(3x x x -=221)(x x +=, 33)(x x x +-= ,则在1，x ，32,x x 下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=1010010110100101A . A 的特征值为：2,04321====λλλλ , 相应的特征向量为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1010,0101,1010,0101. 令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=2200,1010010110100101C , 则Λ=-AC C 1. 再由()()C x x x f f f f 324321,,,1,,,= , 求得[]3x P 中另一组基：()34233221)(,1)()(,1x x x f x x f x x x f x x f -=-=+=+=，.四、解： (1) ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1101dt dt de Adt e AtAt)(1I e A A -=-.(2)当j i ≠时0)(=j i εε；故度量矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n A 21.五、解：（1）,9,1,3,3121====∞m T XX XXX3,4,3===∞∞X X XX XX T m T FT .（2）)1()(23+=λλλD ，易得1)()(12==λλD D . ∴ 不变因子)1()(,1)()(2321+===λλλλλd d d ；初等因子)1(,2+λλ.A 的Jordan标准形为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100000010J .六、解：（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000001101101112101101011行变换A ，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=01101101,211011C B ， 则 A=BC . 其中B 为列最大秩矩阵， C 为行最大秩矩阵 .（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--+121033312111016332)(11TT B B B B ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==--+1221311251211301111001)(11T T CC C C ， 所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==+++14527533014515112103312213112151B C A .（3）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----==+10111501515151413145275330145151b A X .七、证明提示：类似习题4.1第16题（1）的证明.八、证明：AC A B A ++=⇒因为两边左乘矩阵A ，有C A AA B A AA )()(++=,故 AB=AC .AC AB =⇐因为，设+A 为A 的加号定则，两边左乘+A ，有AC A AB A ++=.自测题六一、解：（1）当V x x x x X ∈⎪⎭⎫⎝⎛=22211211时，由02112=+x x 得⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=011010000001212211X X X X .取 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110,1000,0001321E E E , 因线性无关，则它们是V的一个基.（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=0110)(111B E E B E T T ；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=0000)(222B E E B E TT ；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=0220)(333B E E B E TT ；故在基321,,E E E 下的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=201000000A .（3）将A对角化，取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110001020C 使⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-2001AC C ；设所求基为321,,Y Y Y ，有：()()C E E E Y Y Y 321321,,,,=.得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=0110,0112,1000321Y Y Y ，则在基321,,Y Y Y 下的矩阵为对角形.二、解： (1))1(4963752542-=---+---=-λλλλλλA I,A 的特征根1,0321===λλλ；行列式因子)1()(23-=λλλD ，易得1)()(12==λλD D ； 不变因子)1()(1)()(2321-===λλλλλd d d ；初等因子1,2-λλ.(2) A 的Jordan 标准形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100000010J ；(3) ∵01621511,0121≠-=--=∆≠-=∆；∴ A 能进行LU 分解.三、解：（1）.13214,1010,00022322122⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-t t t dt dA t dt dA dt A d .（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00032121312x x dX df .四、解：(1) 由)(21I B A +=,得I A A I A B I A B +-=-=-=44)2(,2222,显然, 当且仅当I B =2时，有A A =2.(2) 因B A B BA AB A B BA AB A B A +=+++=+++=+222)(,得,0=+BA AB 即,BA AB -=两端右乘B 得BAB AB -=2, 从而AB B AB )(-=,由于幂等阵B 的任意性，故0=AB .五、解： (1)∵ m x x x 21两两正交的单位向量.∴)(21m x x x A =为列满秩矩阵,故T T T A A A A A ==-+1)(. （2）∵⎪⎭⎫ ⎝⎛=101k A k ，且∑∞=-12)1(k k k与∑∞=-1)1(k kk 都收敛；∴ ∑∞=-12)1(k kk A k 收敛.（3）∵ 762+-=-λλλA I ，而)2()52)(76(37291912222234++++-=+-+-λλλλλλλλ；由于0762=+-I A A ；∴原式⎪⎭⎫⎝⎛-=+=-3217231)2(1I A . （4）∵ A 的特征根为n)2,1(，，i i =；B 的特征根为m )21(，，，j j =λ；∴B A ⊗的特征根为j i λn;2,1(，，i =m)21，，，j =.六、证： (1) 当0=A 时，设A 的最大秩分解为A=BC.则 C B C B B C B C B A A D ~=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= . 而[]()H HHH B BB B B B B 1~-+⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=()[][]++-==B B B BB B H HH21211.[]++++++⋅==B B C B C D 21~[]++=A A 21.当A =0时上式也成立.(2) 经计算A a a a A )(2321213++-= . 于是A A a a a AXA =++-=-31232221)(，A a a a X 1232221)(-++-=是A 的一个减号逆.(3)()I e e e e e e A A A A AT A TA A T ===-=-,..,所以因为.故A e 为正交矩阵.七、证：(1) 设R V n ∈∀∈μλβα,,,,，则00),()(ααμβλαμβλαμβλα+++=+k)),(()),((0000ααββμααααλk k +++==λ)(α+μ)(β.所以是线性变换.(2)是正交变换),(),(αααα=⇔T T ,即 ),(),(),(),(2),(0020220αααααααααα=++k k ,得[]0),(2),(0020=+ααααk k .由n V ∈α的任意性，上式等价于0),(20=+ααk ,所以22200212),(2n k +++=-= αα .八、证：由舒尔定理知，存在西矩阵U 及上三角矩阵()ij r R =，使得R AU U H =，因此有H H H R U A U =，从而得H H H RR U AA U =.又因为()()()H H H H RR tr U AA U tr AA tr ==, ①由于R 主对角线上的元素都是A 的特征值，故由①式得2112121ij nj ni ij ni i ni r r ∑∑∑∑====≤=λ, ②而②式端是R 的Frobenius 范数的平方，又因在酉相似（即R AU U H =）下矩阵的F 范数不变，所以211211ij ni ni ijni n i a r ∑∑∑∑=====③综合②、③两式便得到所需证的不等式.又不等式②取等号当用仅当i≠j 时都有0=ij r ，即A 酉相似于能角形矩阵，也就是A 为正规矩阵.自测题七一、 解：（1）由02421=-+a a a ，得基础解系)0,0,1,2(1-=α，)0,1,0,0(2=α，)1,0,0,1(3=α；所以V 1的一组基为321,,ααα，且3dim 1=V .因为),(),,(2132121ββαααL L V V +=+),,,,(21321ββαααL =，易知1321,,,βααα是21321,,,,ββααα的一个极大无关组，故4)dim (21=+V V ，21V V +的一组基为1321,,,βααα.（2）251433221121,ββξαααξξk k k k k V V +=++=⇔∈∀ .所以025********=--++ββαααk k k k k . 解此方程组得），，133,2,2(),,,,(54321---=k k k k k . 所以21V V 的一组基为)3,2,21---=，（ξ，且1)dim (21=V V .二、解：（1）211111)(cE aE E +=221212)(cE aE E +=211121)(dE bE E +=221222)(dE bE E +=即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=d cd c b a b aE E E E E E E E 00000000),,,(),,,(2221121122211211， 故A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡d cd c b a b a000000; (2) 由,B A AB +=得到I I B A AB B A AB =+--=--,0 ,即I I B I A =--))((,显然I A -与I B -均为阶可逆方阵，于是有I I A I B =--))((,即I I B A BA =+--,亦即0=--B A BA , 故B A BA +=,从而AB BA =.三、解：（1）)2()1(2320110012λλλλλλ--=---=-E A ，)2()1()(23λλλ--=D ，1)(2=λD ，1)(1=λD .)2()1()()()(,1)()()(,1)(22331221λλλλλλλλλ--=====D D d D D d d ， 所以初等因子为：λλ--2,)1(2.A 的Jordan标准形为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010011.（2）()n I A tr dAd=. （3）两边求导数，利用,At AtAe e dtd =且,0Ie = 得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=133131113A .四、解：（1）∑==iij ja A 5m ax 1；∑==∞jij ia A 5m ax .（2）122212221---------=-λλλλA I )5()1(2-+=λλ ,5,1321=-==λλλ；故5m ax )(==i iA λρ；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-3122411B ，故∞-∞∞⋅=1)(B B B cond 54145=⨯⨯=. （3）2,3==rankB rankA ；623)(=⨯=⊗B A rank .)4)(1(26521232--=-+-=----=-λλλλλλλB I ，所以4,121==λλ，故B A ⊗的特征值为：20,4,4,5,1,1'6'5'4'3'2'1=-=-==-=-=λλλλλλ（4） ∵0≠A ，1-A 存在，∴ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡===--+-3222322235112221222111A A A .五、解：（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000032102101~321043211111A ， BC A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=32102101102111. （2）∵ 2=rankA ；2):(=b A rank ；∴ b AX =相容.（3）∵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=142062*********T AA ；⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==--21103001052152011070)(T T m AA A A ， ∴ 极小范数解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-1234101b A X m.六、解： （1）0max≠=x P A 2121022maxmax--≠≠===PAP yy PAP PXPAX XAX x x PP .（2）A 的4个盖尔圆为它们构成的两个连通部分为11G S =， G G G S 322=4.易见，1S 与S 2都关于实轴对称.由于实矩阵的复特征值必成共轭出现，所以S 1中含A 的一个实特征值，而S 2中至少含A 的一个实特征值.因此A 至少有两个实特征值.七．证：（1）设为正交变换，λ为的特征值 , 则有()0()≠=αλαα，),(αα=()(α,)(α)),(),(2ααλλαλα==.∵),(>αα, ∴12=λ,故1±=λ；（2）设λ为的任一特征根，α为的属于λ的一个特征向量，即0,)(≠=αλαα，则1,11)(2,1222-=⇒=⇒==λλααλα.记11=λ的特征子空间为,1V 12-=λ的特征子空间为1-V .对V ∈∀α有=α(+α)(α) 2 + (-α)(α) 2 ，而 (+α)(α) 2∈,1V (-α)(α) 2 ∈1-V ，所以11-+=V V V . 又 ⇒∈∀-11V V α,)(αα=且,)(αα-=；得αα-=，即0=α，故11-⊕=V V V .自测题八{}{}{}{},28,36,24,14321≤-=≤-=≤-=≤=g g G g g G g g G g g G一、解：(1)在已知基)(),(),(321t f t f t f 下的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=111323221A ;(2) (⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321),,1())(2t t t f ；基2,,1t t 且到基)(),(),(321t f t f t f 的过渡矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101110102C ；则21321234321))(),(,)(())((t t C t f t f t f t f -+-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-.(3) 设度量矩阵33)(⨯=ij d D , 则⎰⎰=====10121121121,11tdt d d dt d ； ⎰⎰=====1012222311331,31dt t d dt t d d ； ⎰⎰=====1014333322351,41dt t d dt t d d ； 故⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=51413141312131211D .二、解：(1) 令矩阵,3)(I A A f -=若A 的特征值为λ,则)(A f 的特征值是3)(-=λλf ,故)(A f n 的个特征值为32)2(,,3)6(,1)4(,1)2(-===-=n n f f f f .从而))32(531(3)(-⋅⋅-=-=n I A A f .(2) 2)1)(2(224023638--=+-+---=-λλλλλλA I ；特征根为1,2321===λλλ.行列式因子：23)1)(2()(--=λλλD ，1)()(12==λλD D ; 不变因子：2321)1)(2()(;1)()(--===λλλλλd d d ；初等因子： 2)1(),2(--λλ； 故A 的Jordan标准形为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100110002J .三、解：（1）由于A 实对称，所以易求得非奇异矩阵P ，使Λ=-AP P 1， 其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=2200,1001011001101001P ,于是12211-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=P e e P e t t At=12111000011--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡P P e P P t =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+--+-+t t ttttt te ee e e e e e 2222222210101100110100121. (2) X ()()Tt t At e e X e t ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==22,0,0,0.四、解：（1）6=∞A ；2)4)(2(224)4(31213232-+=--=--=-λλλλλλλλλA I ； 特征根为4,2321==-=λλλ；则 4)(=A ρ.（2）2)3(,3)(==R A R∴ 6)(=⊗B A R ；B 的特征根3,421==μμ，∴ B A ⊗的全部特征根为：-8，-6，16，16，12，12. （3）∵⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-310125411B ，∴ +-B B l ,可取1-B .五、解：α1()T 4,0,3=，构造⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=3040504035113R ，113140430735A A R =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=. 同理，构造R A R R =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=5135165735,3404300055112323.令()==T R R Q 2313⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---012202015012161551, 则A=QR.六、证：（1）∵ A 为对称正定矩阵， ∴≠∀α有：>Aα，当且仅当0≠α时，有0=Aα；对R R ∈∀有：A T AkAk k αααα==；βββαααβαβαβαA A A T T T A++=++=+),(2)()(AAAAβαβα+=+≤2)(, （2）∵ IAA AA AA A A T T T T ==--11))(())((；∴1)(-T T AA A 是A 的右逆.（3）因为1-=A ，且A 为正交矩阵，所以有T T T A I A A I A A AA A I )()(+=+=+=+,则 AI A I A A I T +-=+=+)(，即 0=+A I .故A 一定有特征根-1.七、证：()(),1111A a a A I f n n n n -++++=-=--λλλλλ 因为 由()0=A f 得()01111=-++++--I A A a A a A nn n n ,即A ()()I A I a A a A n n n n 112111+----=+++ ,故()()I a A a AAA n n n 12111111--++-+++-=.自测题九一、解：不是. 如取α=（1，2），β=（3，4），()().,4,3,2,1αββααββα⊕≠⊕=⊕=⊕则有.二、解：（1）令⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111A ，则V X AX X ∈=,)(.V Y X ∈∀,，P k ∈∀，则=+=+)()(Y X A YX )(X +)(Y ，kkX =)()(X ，所以是线性变换. （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==0101)(1111AE E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==1010)(1212AE E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==0101)(2121AE E，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==1010)(2222AE E ，设在基22211211,,,E E E E 下的矩阵为B ，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=1010010110100101B . （3）令),,,(4321ββββ=B 其中i β为B 的列向量，由于2)(=B rank ，且21,ββ是4321,,,ββββ的一个极大线性无关组, 所以dim2)(=V ，且),()(21B B L V =，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==0101),,,(1222112111βE E E E B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==1010),,,(2222112112βE E E E B ， 且21,B B 为)(V 的一组基，得dimKer =4-dim (V)=2.令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00004321x x x x B ，得基础解系⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1010,010121ξξ. 记 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1010),,,(,0101),,,(22221121141222112113ξξE E E E B E E E E B , 则ker),(43B B L =，且43,B B 为Ker的一组基.三、解：非负性.A=0时，A 0,0,0,0;0,0,0〉=〉≠===A A A A A A bHa bHa 从而时从而.相容性. 设A ，B ∈C n n ⨯，则有()()().B A BBAA AB BAAB AB AB bHabHa bHbHaa bHa ⋅=++≤+≤+=同样可验证齐次性与三角不等式.在此A 是矩阵范数.四、解：（1）FG A ，A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−→−11101101412101000011101101行. （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--+303241012120663)(11TT T F F F F F . ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==--+11111001313003)(11TT T G GG G G .⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==+++54131473032410361F G A . （3）b b AA b A T =-=++,)1,1,0,1(，故b AX =有解，极小范数解为T b A X )1,1,0,1(0-==+.五、解：（1）因2,3==rankB rankA ，得623)()()(=⨯=⋅=⊗B rank A rank B A rank .令0)2)(7(=+-=-λλλB I ，特征值2,721-==μμ.所以B A ⊗的所有特征值为：4,14,14,2,7,7161514321=-=-=-='='='λλλλλλ；10976)14()2(3232-=-⋅-==⊗B A B A .（2）∵ B 的特征值2,721-==λλ，∴I B B B f 3)(2+-=的特征值453772'1=+-=λ；113)2()2(2'2=+---=λ.六、解：,11120013221111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-e ββ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=122212221312,111311111T I H ωωω 令,1102003131⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= A H ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1101110210,11201221e A ββ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2011,01102,1121122222A H I H Tωωω 所以取QR A R H H Q =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=得211313,21212222131121.七、证：（1）令),,(11-=n L W αα ，其中11,,-n αα 线性无关.通过标准正交化，将11,,-n αα 变为W 的一个标准正交基11,,-n ηη .由已知可得1,,2,10,-=>=<n i i ηα;因而11,,-n ηη ，α线性无关.把α单位化，令ααη||1=n ，于是{}n n ηηη--,,,11 与{}n n ηηη,,,11- 均为V 的标准正交基.同时，由题设,1,,2,1,)(-==n i i i ηη，而n n ηη-=)(，则把标准正交基{}n n ηηη,,,11- 变为标准正交基，故为正交变换. （2）因为为正交变换，（n ααα,,,21 ）=（n ααα,,,21 ）A ，所以A 为正交矩阵.又 A 的所有特征值n λλλ,,,21 都为实数，故有,T T AA I A A ==即A 为实的正规矩阵，从而存在正交矩阵Q ，使得Λ=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321λλλAQ Q T , 则A =()A Q Q Q Q A Q Q Y TT T T =Λ=Λ=Λ,，即A 为实对称矩阵，故A是对称变换.八、证：（1）设A 的特征根是n λλ,,1 ，令λλ-=1)(f ，则AI A f -=)(的特征根是,1,,11n λλ-- 由题设i λ-1〈1，n i ,,1 =，故,111 --i λ即20 i λ，因此,,,,1,20n i i =λ进而n n 2||||01<<λλ ，然而n d A λλ 1||==，故n n d 2|,|||01<=<λλ .（2）设A 的三个特征根为321,,λλλ，则32132312123213)()(||)(λλλλλλλλλλλλλλλλλ-+++++-=-=A I f ，由于A 是奇数阶正交方阵，且1||=A ，易证奇数维欧氏空间中的旋转变换一定有特征值1，因此不妨设11=λ，则1||32321===A λλλλλ，于是323231213211λλλλλλλλλλλ++=++=++，从而1||)(23-+-=-=λλλλλt t A I f .其中321λλ++=t 为实数（因32,λλ或均为实数或为一对共轭复数）.又由于正交方阵的特征根的模为1.故有22,)(32323232≤+≤-+≤+≤+-λλλλλλλλ,所以31132≤++≤-λλ，即31≤≤-t .由哈密顿－凯莱定理知：023=-+-I tA tA A .自测题十一、解：（1）因为,2=rankA 求得θ=AX 的基础解系()(),9,0,21,2,0,9,24,121T T -=-=ξξ即为V 的一组基，且dimV =2.(2) 设A 为P 上任一n 阶方阵，则)(21T A A +为对称阵，)(21T A A -为反对称阵，且A=)(21T A A ++)(21T A A -，得21V V P n n +=⨯. 又若21V V B ∈∀ , 则有T B B =, 且T B B -=, 从而θ=B , 则{}θ=21V V , 故21V V P n n ⊕=⨯.二、解：（1）∈∀ξ⇒-)(1θθξ=)(.设ξ在基4321,,,εεεε下的坐标为),,,(4321x x x x，则(ξ)在基4321,,,εεεε下的坐标为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321x x x x A .且(ξ)θ=及⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0004321x x x x A , 其中 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=00000000101001011111111111111111A . 得基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010,0101；取)(1θ-中两个线性无关的解向量⎩⎨⎧+=+=422311εεξεεξ, 所以),()(211ξξθL =-，dim2)(1=-θ.（2）由于)(1θ-中有一组基1ξ,2ξ，所以取432121,,,,,εεεεξξ，易知4321,,,εεξξ线性无关，则4321,,,εεξξ构成V 的一组基.设由基4321,,,εεεε到基4321,,,εεξξ的过渡矩阵为C ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-101001010010001,10100101001000011＝C C , 所以在4321,,,εεξξ下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-22002200110011001AC C .三、解：（1）先由rankA=n ，即A 的列向量组线性无关，证A T A 是正定矩阵（见自测题四中第七题），再由习题2-1第7题知，R n 构成一个欧氏空间.（2）令C=A T A =（c ij ），()ij j i j i c C ==εεεε,所以自然基在该内积定义下的度量矩阵为C=A T A.四、（1）证：∵A 是幂收敛的，∴()()B A A A B n n n ===22lim lim lim .（2）解：令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==014112B A ，1212<⇒-=-λλλB I , ∴B 是幂收敛.∴原级数和为()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--04141B I . （3）解：设A的最大秩分解式为：⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===10010110012AI FG A ,则⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1002011001010101A A F F H H .显然()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--1001)(,10021211I GG F F HH,.0102102101010110021)()(1111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==----+F F F F GG G A H H H五、解：令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=7610,122121211142b A , ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=+561651224112331A ，。
矩阵论试题
矩阵论试题一、选择题1.设A是n阶方阵，若|A|=0，则A（）。
A. 一定是可逆矩阵B. 一定是不可逆矩阵C. 可能是可逆矩阵，也可能是不可逆矩阵D. 以上说法均不正确答案：B2.若矩阵A与B相似，则A与B具有（）。
A. 相同的特征值B. 相同的特征向量C. 相同的秩D. 相同的行列式答案：A、D（相似矩阵具有相同的特征值和行列式，但特征向量不一定相同，秩也一定相同，但此题只问具有什么，故A、D为正确答案）3.下列矩阵中，属于正交矩阵的是（）。
A. 单位矩阵B. 对角矩阵C. 上三角矩阵D. 任意方阵答案：A（单位矩阵是正交矩阵的一种特殊情况）二、填空题1.设矩阵A=(1324)，则A的行列式|A|=______。
答案：-2（根据行列式的定义和计算方法，有|A|=1×4-2×3=-2）2.若矩阵A与B满足AB=BA，则称A与B为______。
答案：可交换矩阵（或称为可交换的）3.设n阶方阵A的伴随矩阵为A，则|A|=______。
答案：|A|(n-1)）三、计算题1.设矩阵A=(2113)，求A的逆矩阵A^(-1)。
解答：首先求|A|，有|A|=2×3-1×1=5≠0，所以A可逆。
然后利用逆矩阵的公式A^(-1)=(1/|A|)×A*，其中A*是A的伴随矩阵。
A的伴随矩阵A=(3−1−12)（伴随矩阵的元素是A的每个元素的代数余子式构成的矩阵的转置）。
所以A^(-1)=(1/5)×A=(3/5−1/5−1/52/5)。
2.设矩阵A=147258369，求A的秩R(A)。
解答：对矩阵A进行初等行变换，将其化为行最简形。
通过初等行变换，可以得到A的行最简形为1002−303−60。
所以R(A)=2（非零行的个数）。
四、证明题1.证明：若矩阵A为n阶方阵，且|A|=0，则A不可逆。
证明：根据可逆矩阵的定义，若矩阵A可逆，则存在n阶方阵B，使得AB=BA=E（E为单位矩阵）。
矩阵论试题参考答案(2012年)
n n 1 , det X xik X ik xij X ij xik X ik ，其中 X ik 是 xik 的代数 det X k 1 k j
余子式，
det X X ij ，从而 xij
det X 1 xij
xij
1 det X
2012 年矩阵论试题参考答案
一、(16 分) 已知 4 阶方阵 A 的特征值为 1, 2, 2, 2 ，且其一阶和二阶行列式因子分别为
D1 1, D2 2.
1.(6 分) 求 A 的不变因子和最小多项式； 2.(4 分) 求 A 的 Jordan 标准形； 3.(6 分) 求实数 t 的取值范围，使 cos At 为收敛矩阵. 解 . 1 ． 因 为 D4 即 为 A 的 特 征 多 项 式 ， 且 A 的 特 征 值 为 1, 2, 2, 2 ， 故
A 的最小多项式为 mA d 4 1 2 ．
2．由 A 的不变因子知， A 的初等因子为
1, 2, 2, 2 ，故 A 的 Jordan 标准形
1 2 ． 为 J 2 2
u1 1 , , m , v1 m 1 , , m n , u2 1 , , m , v2 m 1 , , m n ，则
T T T T
x y u1 u2
a
v1 v2
b
u1 a u2
D4 1 2 . 再由行列式因子与不变因子的性质与相互关系知 D3 2 ，
3 2
从而 A 的不变因子为
武汉理工大学whut线性代数考试试题及其参考答案(二)
标准答案及评分标准用纸 课程名称:线性代数 （ A 卷） 一、选择题（每小题3分，共12分） 1.B 2.C 3.B 4.D二、填空题（每小题3分，共12分）1.2；2.113021002⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； 3.a=1；4. 2,2,5；（注：本小题每个数字为一分，错一个则减一分）三、解答题（每小题8分，共40分）1. 解：从第二列起，将其后各列加到第一列，有：1(1)1110111011011101(1)1011101111111111c n n n n D n n n ÷---==---121(1)(2)(1)12200010010(1)01001111(1)(1)(1)(1)(1)nn n nr r r r r r n n n n n n n n -----+----=--=-⋅--=--4分注：若采用其他方法计算出正确结果也应给满分，其正确的步骤也相应给分。
2. 由题，有E A B E A +=-)(2 2分且2202030360,402A E --==≠--故2()A E -可逆。
2分在等式左右两边左乘21()A E --得21()()B A E A E -=-+ 2分 11001001/2()010*********A E ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭3.解：2分2分2分2分11111131132231213331 3--------=-=-=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭*()A A A A A A A A A 2分 1133-=∴= ,A A ,上式＝311339⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭2分注：若前面所有步骤正确，最后计算出现符号错误，扣一分。
4.解：令矩阵123413011031(,,,)27124142A αααα⎛⎫⎪-- ⎪== ⎪⎪⎝⎭，并通过初等行变化化成最简形，有：1301103010310110271200014142A r -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4分 故向量组A 的的一个最大无关组为124,,ααα， 2分 且3123ααα=-+。
武汉理工大学研究生考试试题(科学硕士)A卷2017年
武汉理工大学研究生考试试题（2017）A 卷课程: 矩阵论（答题时不必抄题，标明题目序号）一．填空题（每题3分，共15分）1．已知矩阵1111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则432822A A A A −−+= 2. 若矩阵A 相似于对角阵100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的最小多项式为 3. 已知矩阵234321556A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的LU 分解为 4. 已知103540231i A i +−⎛⎫⎪= ⎪ ⎪−⎝⎭，则A 的范数1m A = ； m A ∞= ；F A = ；5. 已知12102101,11111137A B −⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭，设1V 和2V 分别为齐次线性方程组0Ax =和0Bx =的解空间，则12dim()V V +=二．（15分）设311202113A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−−⎝⎭（1）求A 的行列式因子，不变因子，初等因子；（2）求A 的Jordan 标准形；（3）求A 的最小多项式。
三．（15分）设1102A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2101B −⎛⎫= ⎪⎝⎭, 11122122|x x V X AX XA x x ⎧⎫⎛⎫===⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭为线性空间，对于任意的X V ∈，定义：()T X XB =（1）（5分）证明：T 是V 上的线性变换；（2）（10分）求V 的一组基，并求T 在所求基下的矩阵.四．（15分）已知微分方程组0()()(0)dx t Ax t dt x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，03111202,11131A x −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭（1）（7分）求A e ；（2）（8分）求At e ，并求微分方程组的解。
五．（20分）设101211211,122211A b −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭。
（1）求A 的满秩分解；（2）求A 的广义逆A +；（3）求Ax b =的最小二乘解；（4）求Ax b =的极小范数最小二乘解。
矩阵论复习题 带答案1
矩阵论复习题1设A 、B 均为n 阶正规矩阵，试证A 与B 酉相似的充分必要条件是A 与B 的特征值相同。
证明: 充分性：A 与B 的特征值相同，A 、B 均为n 阶正规矩阵，则有11,A P IP B Q IQ --== 故11111,,A P QIQ P R Q P R P Q -----==令= A 与B 酉相似 必要性:A,B 为n 阶正规矩阵，存在初等变换R,1A RBR -=11,,,I E PQ A P IP B Q EQ --==为对角矩阵，存在初等变换111,I PAP E QRAR Q ---== ，因为I,E 为对角矩阵，故I=E 。
因此A 与B 的特征值相同。
#2 作出下列矩阵的奇异值分解10(1)A 0111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦011(2)A 200-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (1)632- 6 3 2101263011,130 2 6 311206333T B AA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应，特征值对应 2221 2 2,131222 2 2TC A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应故263 2 6 32210263 2 203 2 6 3220063 2 20 33HA ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2) 2010,240401T B AA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应， 0040012201-1,2-400- 2 20-11022- 2 2T C A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应，特征值对应 0101022200A 001 2202022022H⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.求下列矩阵A 的满秩分解123002111021A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭112211001230010,021110102111001230010,021101100001001230=010021-11-11L L A L L L A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦故4 设A 、B 均为n 阶Hermite 正定矩阵，证明：若B A ≥且BA AB =，则33B A ≥.证明：由于A 、B 均为n 阶Hermite 正定矩阵，且BA AB =，则AB 与BA 均为n 阶Hermite 正定矩阵。
研究生矩阵论试题及答案与复习资料大全
矩阵论试题(2011级硕士试题)一、(10分)设函数矩阵 ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t t t A sin cos cos sin 求：()⎰tdt t A 0和(()⎰20t dt t A )'。
解：()⎰t dt t A 0=()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰⎰tttt tdt tdt dt t dtt 00sin cos cos sin =⎪⎪⎭⎫⎝⎛---t t t t cos 1sin sin cos 1 (()⎰2t dt t A )'=()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅22222sin cos cos sin 22t t t t t t t A 二、(15分)在3R 中线性变换σ将基⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1202α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1013α变为基 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0111β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2303β(1)求σ在基321,,ααα下的矩阵表示A ；(2)求向量()T 3,2,1=ξ及()ξσ在基321,,ααα下的坐标； (3)求向量()()ξσξ及T 3,2,1=在基321,,βββ下的坐标。
解：(1)不难求得：()2111ααβασ-==()32122αααβασ++-== ()321332αααβασ++-== 因此σ在321,,ααα下矩阵表示为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=110211111A(2)设()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,,k k k αααξ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321111021101321k k k解之得：9,4,10321-=-==k k k 所以ξ在321,,ααα下坐标为()T 9,4,10--。
()ξσ在321,,ααα下坐标可得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛133223*********1111321y y y (3)ξ在基321,,βββ下坐标为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---6151941001111110194101A()ξσ在基321,,βββ下坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---94101332230111111011332231A三、(20分)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301010200A ，求At e 。
武汉理工大学研究生矩阵论试卷
1 0 0 0 1 0 10 6 ，则 A A 8 A 0 0 1 0 0 0
T
2
5、已知向量 (1,2,0, i) ， i 1 ，则其范数 1 二， （20）设 V A
；
2
；
；
a11 a12 22 a11 a21 0 为 R 的子集合， a21 a22
x1 x2 0 2 x1 x2 1 x 2x 0 2 1
四.（15 分）
的最优最小二乘解
3 3 2 1.求矩阵A＝ 0 1 0 的Jordan标准形； 8 6 5
2.已知A的特征多项式，最小多项式分别为：
4 2 f（）＝（ 2） （ 3） ； 2 2 m（）＝（ 2） （ 3） ；
1 , 2 , 3 下的坐标
3、已知矩阵 A1
1 1 1 0 2 1 0 1 , A2 , A3 , A4 ，则由这四个矩阵所生成的子空间的维数为 0 0 1 1 3 3 1 1
0 0 4、已知 A 0 1
0 b 1 1
3、求 AX b 的最小二乘解； 4、求 AX b 的极小范数最小二乘解。 六、 （15 分）已知
0 A 0 1
1、求矩阵函数 e ； 2、求微分方程组
At
0 2 1 1 0 , x0 0 0 3 1
n
n
＝ xi ei
i 1
＝ yi ei
i 1
规定（ ）＝ ixi yi , 证明（ ）是V中的一种内积，从而V对此内积
i 1
[研究生入学考试]矩阵论复习题 第二章
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第二章 内积空间一、基本要求1、掌握欧氏空间和酉空间的定义与性质，掌握Hermite 矩阵的定义，理解欧氏(酉)空间中度量的概念．2、掌握线性无关组的Schmidt 正交化与对角化方法，理解标准正交基的性质．3、理解Hermite 二次型的定义．4、掌握在一组基下的度量矩阵的概念，标准正交基下度量矩阵的性质及两组标准正交基下的度量矩阵的关系．5、了解欧氏子空间的定义．6、掌握正交矩阵与酉矩阵的定义与性质，理解正交(酉)变换与正交(酉)矩阵的关系．7、掌握对称矩阵与Hermite 矩阵的定义与性质，理解对称(Hermite)变换与对称(Hermite)矩阵的关系．8、掌握矩阵可对角化的条件，会求一个正交(酉)矩阵把实对称(Hermite)矩阵化为对角形矩阵，会求一组标准正交基使线性变换在该基下对应的矩阵是对角形矩阵．二、基本内容1、内积空间设数域F 上的线性空间)(F V n ，若)(F V n 中任意两个向量βα,都有一个确定的数与之对应，记为),(βα，且满足下列三个条件(1) 对称性：),(),(αββα=，其中),(αβ表示对数),(αβ取共轭；(2) 线性性：),(),(),(22112211βαβαβααk k k k +=+；(3) 正定性：0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα，则称),(βα为向量α与β的内积．当R F =时，称)(R V n 为 欧氏空间；当C F =时，称)(C V n 为酉空间．注意：在n R 中，),(),(βαβαk k =；在n C 中，),(),(βαβαk k =．通常的几个内积：(1) n R 中，αββαβαT T ni i i y x ===∑=1),(n C 中，βαβαH i ni i y x ==∑=1),(． 其中T n T n y y y x x x ),,,(,),,,(2121 ==βα．(2) n m R ⨯中，n m ij n m ij b B a A ⨯⨯==)(,)(，ij m i nj ij Hb a B A tr B A ∑∑====11)(),(． (3) 在实多项式空间][x P n 及],[b a 上连续函数空间],[b a C 中，函数)(),(x g x f 的内积为⎰=b adx x g x f x g x f )()())(),(( 2、向量的长度、夹角、正交性定义 ),(ααα=，称为α的长度，长度为1的向量称为单位向量，ααα=0是α的单位向量．长度有三个性质：(1) 非负性：0≥α，且00),(=⇔=ααα；(2) 齐次性：k k k ,αα=表示数k 的绝对值；(3) 三角不等式：βαβα+≤+．定理(Cauchy-Schwarz 不等式)βαβα≤),(．α与β的夹角θ定义为βαβαθ),(arccos =．当0),(=βα时，称α与β正交，记βα⊥．若非零向量组s ααα,,,21 两两正交，即0),(ji j i ≠=αα，称s ααα,,,21 是一个正交组；又若s i i ,,2,1,1 ==α，则称s ααα,,,21 为标准正交组，即 ⎩⎨⎧≠==.,0,,1),(j i j i j i αα 定理(勾股定理) 0),(222=⇔+=+βαβαβα，即βα⊥．3、标准正交基标准正交基指欧氏(酉)空间中由两两正交的单位向量构成的基．构造方法：对欧氏(酉)空间的一个基进行Schmidt 正交化可得正交基，再对正交基进行单位化可得标准正交基．把线性无关向量s ααα,,,21 正交化为s βββ,,,21 正交向量组：设.,,3,2,),(),(,1111s k i k i i i i k k k =-==∑-=ββββααβαβ再把i β单位化：s i i i i ,,2,1,1==ββε，则s εεε,,,21 为标准正交组．在标准正交组n εεε,,,21 下，向量可表为：=+++=n n x x x εεεα 2211n n εεαεεαεεα),(),(),(2211+++ ，坐标),(i i x εα=表示α在i ε上的投影长度．4、基的度量矩阵度量矩阵是以欧氏(酉)空间的基中第i 个元素与第j 个元素的内积为i 行j 列元素构成的方阵．设欧氏(酉)空间V 的一个基为n x x x ,,,21 ，令),,2,1,)(,(n j i x x a j i ij ==，则该基的度量矩阵为n n ij a A ⨯=)(．基的度量矩阵是实对称(Hermite)正定矩阵，它的阶数等于欧氏(酉)空间的维数，正交基的度量矩阵是对角矩阵，标准正交基的度量矩阵是单位矩阵．设酉空间V 的一个基为n x x x ,,,21 ，该基的度量矩阵为A ，V y x ∈,在该基下的坐标(列向量)分别为α与β，那么x 与y 的内积βαA y x T =),(．当V 为欧氏空间时，βαA y x T =),(．当此基为标准正交基，酉空间V 的x 与y 的内积βαT y x =),(，欧氏空间V 的x 与y 的内积βαT y x =),(．设欧氏空间n V 的两个基分别为(Ⅰ)n x x x ,,,21 和(Ⅱ)n y y y ,,,21 ，且由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵为C ，基(Ⅰ)的度量矩阵为A ，基(Ⅱ)的度量矩阵为B ，则有：(1) AC C B T =．(2) 基(Ⅰ)是标准正交基的充要条件是I A =．(3) 若基(Ⅰ)与基(Ⅱ)都是标准正交基，则C 是正交矩阵．(4) 若基(Ⅰ)(或(Ⅱ))是标准正交基，C 是正交矩阵，则基(Ⅱ)(或基(Ⅰ))是标准正交基．5、正交变换与对称变换(ⅰ) 关于正交变换，下面四种说法等价：1) T 是欧氏空间n V 的正交变换，即对于任意的n V x ∈，有),(),(x x Tx Tx =；2) 对于任意的n V y x ∈,，有),(),(y x Ty Tx =；3) T 在n V 的标准正交基下的矩阵为正交矩阵；4) T 将n V 的标准正交基变换为标准正交基．(ⅱ) 关于对称变换，下面两种说法等价：1) T 是欧氏空间n V 的对称变换，即对于任意的n V y x ∈,，有),(),(Ty x y Tx =； 2) T 在n V 的标准正交基下的矩阵为对称矩阵．(ⅲ) 若T 是欧氏空间n V 的对称变换，则T 在n V 的某个标准正交基下的矩阵为对角矩阵．(ⅳ) 在欧氏空间n V 中，若正交变换T 的特征值都是实数，则T 是对称变换．6、相似矩阵(1) n n C A ⨯∈相似于上(下)三角矩阵．(2) n n C A ⨯∈相似于Jordan 标准形矩阵．(3) n n C A ⨯∈酉相似于上三角矩阵．(4) 设n n C A ⨯∈，则H H AA A A =的充要条件是存在酉矩阵P ，使得Λ=AP P H (对角矩阵)．(5) 设n n C A ⨯∈的特征值都是实数，则T T AA A A =的充要条件是存在正交矩阵Q ，使得Λ=AQ Q T ．(6) 实对称矩阵正交相似于对角矩阵．三、典型例题例1、在n R 中，设),,,(),,,,(2121n n ηηηβζζζα ==，分别定义实数),(βα如下： (1) 21212)(),(i n i i ηζβα∑==；(2) ))((),(11∑∑===nj j n i i ηζβα；判断它们是否为n R 中α与β的内积．解 (1) 设R k ∈，由==∑=21122))((),(n i i i k k ηζβα),()(21212βαηζk k in i i =∑=知，当0<k 且0),(≠βα时，),(),(βαβαk k ≠．故该实数不是n R 中α与β的内积．(2) 取0)0,,0,1,1(≠-= α，有0),(,01==∑=ααζn i i故该实数不是n R 中α与β的内积．例2、n R 中，向量组n ααα ,,21线性无关的充要条件是0),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111≠n n n n n n αααααααααααααααααα． 证 方法一 设),,(21n A ααα =，则⇔≠====⨯⨯0),(2A A A A A T T n n j T i n n j i αααα n A ααα,,,021 ⇔≠线性无关．方法二 设02211=+++n n x x x ααα ，则n i x x x i n n ,,2,1,0),(2211 ==+++αααα，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++,0),(),(,0),(),(,0),(),(1121211111n n n n n n n n x x x x x x αααααααααααα 齐次方程组仅有零解的充要条件是系数矩阵的行列式0),(≠j i αα，即n ααα,,,21 线性无关．例3、设欧氏空间3][t P 中的内积为⎰-=11)()(),(dt t g t f g f (1) 求基2,,1t t 的度量矩阵．(2) 采用矩阵乘法形式计算21)(t t t f +-=与2541)(t t t g --=的内积． 解 (1) 设基2,,1t t 的度量矩阵为33)(⨯=ij a A ，根据内积定义计算)(j i a ij ≤2)1,1(1111===⎰-dt a ，0),1(1112===⎰-tdt t a ， 32),1(112213===⎰-dt t t a ，32),(11222===⎰-dt t t t a ， 0),(113223===⎰-dt t t t a ，52),(1142233===⎰-dt t t t a ． 由度量矩阵的对称性可得)(j i a a ji ij >=，于是有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5203203203202A ． (2) )(t f 和)(t g 在基2,,1t t 下的坐标分别为T T )5,4,1(,)1,1,1(--=-=βα，那么05415203203203202)1,1,1(),(=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==βαA g f T ． 例4、欧氏空间3][t P 中的多项式)(t f 和)(t g 的内积为⎰-=11)()(),(dt t g t f g f ， 取t t f =)(1，记子空间))((1t f L W =．(1) 求T W 的一个正交基；(2) 将T W 分解为两个正交的非零子空间的和．解 (1) 设T W t k t k k t g ∈++=2210)(，则有0),(1=g f ，即0)()()(112210111=++=⎰⎰--dt t k t k k t dt t g t f ， 也就是01=k ．于是可得},,)()({20220R k k t k k t g t g W T ∈+==．取T W 的一个基为2,1t ，并进行正交化可得,31),(),()(,1)(211112221-=-==t g g g g t t t g t g 那么，)(),(21t g t g 是T W 的正交基．(2) 令))(()),((2211t g L V t g L V ==，则1V 与2V 正交，且21V V W T +=． 例5、已知欧氏空间2V 的基21,x x 的度量矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5445A ， 采用合同变换方法求2V 的一个标准正交基(用已知基表示)．解 因为A 对称正定，所以存在正交矩阵Q ，使得Λ=AQ Q T (对角矩阵)，计算得,111121,9001⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ΛQ ,131323121⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Λ=-Q C 则有E AC C T =．于是，由C x x y y ),(),(2121=可得2V 的一个标准正交基为)(231),(21212211x x y x x y +=-=．例6、在欧氏空间中，定义α与β的距离为：βαβα-=),(d ，试问：保持距离不变的变换是否为正交变换？答 不一定，例如2R 中向量的平移变换：)1,1(),(,),(2++=∈=∀y x y x T R y x α，)1,1()(),1,1()(,),(),,(2221112222111++=++=∈==y x T y x T R y x y x αααα， ),()()()()())(),((21212212212121ααααααααd y y x x T T T T d =-=-+-=-=． 虽然保持距离不变，但平移变换不是线性变换，更不是正交变换．例7、设n ααα,,,21 与n βββ,,,21 是n 维欧氏空间两个线性无关的向量组，证明存在正交变换T ，使n i T i i ,,2,1,)( ==βα的充要条件是n j i j i j i ,,2,1,),,(),( ==ββαα．证 必要性 因为T 是正交变换：),())(),((j i j i T T αααα=，又已知i i T βα=)(，故有),(),(j i j i ββαα=．充分性 定义变换T ，使得n i T i i ,,2,1,)( ==βα，则T 是线性变换，且是唯一的．下证T 是正交变换．已知),(),(j i j i ββαα=，则有),(),(j i j i T T αααα=，设n V ∈∀βα,，∑∑====nj j j n i i i y x 11,αβαα，则),(),(),(1111j i j n i nj i n j j j n i i i y x y x ααααβα∑∑∑∑======，))(),(())(,)(())(),((1111j i j n i n j i n j j j n i i i T T y x T y T x T T ααααβα∑∑∑∑======),(11j i j n i nj i y x αα∑∑===．即n V ∈∀βα,，),())(),((βαβα=T T ，故T 是正交变换．例8、设321,,ααα是欧氏空间3V 的一组标准正交基，求出3V 的一个正交变换T ，使得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=).22(31)(),22(31)(32123211ααααααααT T 解 设3322113)(ααααx x x T ++=，使得)(),(),(321αααT T T 是标准正交的，因)(),(21ααT T 已标准正交，则只要满足1)(,0))(),((,0))(),((32313===αααααT T T T T ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=-+.1,022,022232221321321x x x x x x x x x解得32,32,31321==-=x x x ，即)22(31)(3213αααα++-=T ，得)(),(),(321αααT T T 是标准正交基．因T 把标准正交基变为标准正交基，故T 是正交变换．另法 设)(3αT 的坐标为T x x x ),,(321，由A x x x T T T ),,(323131323232),,())(),(),((321321321321ααααααααα=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=． T 是正交变换⇔A 为正交阵．由E A A T =，解得32,31321==-=x x x ，则)22(31)(3213αααα++-=T ． 例9、设0x 是欧氏空间V 中的单位元素，定义变换00),(2)(x x x x x T -= )(V x ∈(1) 验证T 是线性变换；(2) 验证T 既是正交变换，又是对称变换；(3) 验证0x 是T 的一个特征向量，并求其对应的特征值． 证 (1) 设V y x ∈,，R l k ∈,，则有00),(2)()(x x ly kx ly kx ly kx T +-+=+=]),(2[]),(2[0000x x y y l x x x x k -+-=))(())((y T l x T k +， 故T 是线性变换．(2) 因为),(),(),(4),)(,(4),())(),((002000x x x x x x x x x x x x x T x T =+-=所以T 是正交变换．设V y ∈，则00),(2)(x x y y y T -=，于是有).),((),)(,(2),())(,(),,)(,(2),()),((0000y x T x x x y y x y T x y x x x y x y x T =-=-=故T 也是对称变换．(3) 直接计算可得 .)1(2),(2)(00000000x x x x x x x x T -=-=-=故0x 是T 的对应于特征值1-=λ的特征向量．例10、证明欧氏空间n V 的线性变换T 为反对称变换，即),()),(,()),((n V y x y T x y x T ∈-=的充要条件是T 在n V 的标准正交基下的矩阵为反对称矩阵．证 设n V 的一个标准正交基为n x x x ,,,21 ，线性变换T 在该基下的矩阵为n n ij a A ⨯=)(，即A x x x x x x T n n ),,(),,,(2121 =．则有.))(,(,)(,)),((,)(22112211ij j i n nj j j j ji j i n ni i i i a x T x x a x a x a x T a x x T x a x a x a x T =+++==+++=必要性 设T 是反对称变换，则有))(,()),((j i j i x T x x x T -=，即ij ji a a -=，),,2,1,(n j i =，故A A T -=．充分性 设A A T -=，则对任意的n V y x ∈,有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n A x x x T x x x ξξξξ 1111),,()(,),,(，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n A x x y T x x y ηηηη 1111),,()(,),,(． 因为n x x x ,,,21 是标准正交基，所以=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅=n T n A y x T ηηξξ 11),,()),(()).(,(),,(11y T x A n n -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅-ηηξξ 故T 是反对称变换．例11、设欧氏空间n V 的正交变换T 的特征值都是实数，证明存在n V 的标准正交基，使得T 在该基下的矩阵为对角矩阵．分析 正交矩阵是实的正规矩阵，当它的特征值都是实数时，它能够正交相似于对角矩阵．证 设n V 的一个标准正交基为n x x x ,,,21 ，正交变换T 在该基下的矩阵为A ，那么A 是正交矩阵，也是实的正规矩阵．因为T 的特征值都是实数，所以A 的特征值都是实数．于是存在正交矩阵Q ，使得Λ==defn Tdiag AQ Q ),,,(21λλλ ，其中),,2,1(n i i =λ是A 的特征值．令Q x x x y y y n n ),,,(),,,(2121 =，则n y y y ,,,21 是n V 的标准正交基，且T 在该基下的矩阵为Λ==-AQ Q AQ Q T 1【评注】 本例结果表明，特征值都是实数的正交变换是对称变换． 例12、设T 是欧氏空间V 的正交变换，构造子空间},),({},,)({21V x x T x y y V V x x x T x V ∈-==∈==证明⊥=21V V ．证 先证⊥⊂21V V ．任取10V x ∈，则有00)(x x T =．对于任意的2V y ∈，有))(,(),())(,(),(0000x T x x x x T x x y x -=-=0),(),())(),((),(0000=-=-=x x x x x T x T x x 所以,20⊥∈V x 故.21⊥⊂V V再证12V V ⊂⊥，任取⊥∈20V x ，那么200))((V x T x ∈-，从而有0))(,(000=-x T x x ，.0))(,(2),())(,(2),())(),(())(,(2),())(),((0000000000000000000=-=+-=+-=--x T x x x x x T x x x x T x T x T x x x x T x x T x所以0)(00=-x T x ，即00)(x x T =，也就是10V x ∈，故12V V ⊂⊥．例13、设n m C A ⨯∈，酉空间m C 中的向量内积为通常的，证明)()]([H A N A R =⊥．分析 设m C 中的向量T m ),,,(21ξξξα =与向量T m ),,,(21ηηηβ =的内积为βαηξηξηξβαT m m =+++= 2211),(，则0=βαT 的充要条件是0=βαH ，或者0=αβH ．证 划分),,,(21n a a a A =，则有),,,()(21n a a a L A R =，},),({)]([11m j n n C C k a k a k A R ∈∈++⊥=⊥βββ},,,2,1,{m j C n j a ∈=⊥=βββ},,,2,1,0{mH jC n j a ∈===βββ )(},0{H m H A N C A =∈==βββ．例14、设n m C B A ⨯∈,，酉空间m C 中的内积为通常的，证明：)(A R 与)(B R 正交的充要条件是0=B A H ．证 划分),,,(21n a a a A =，),,,(21n b b b B =，则有),,,()(21n a a a L A R =，),,,()(21n b b b L B R =根据例15结果可得，)(A R 与)(B R 正交的充要条件是)()]([)(H A N A R B R =⊂⊥，即)()(H j A N B R b ⊂∈ ),,2,1(n j =，或者0=j H b A ),,2,1(n j =，也就是0=B A H ．例15、在4R 中，求一单位向量与)1,1,1,1(),1,1,1,1(---及)3,1,1,2(均正交． 解 设),,,(4321ξξξξ=x 和已知向量正交，即⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+--=+-+.032,0,0432143214321ξξξξξξξξξξξξ 该齐次线性方程组的一个非零解为)3,1,0,4(-=x ，单位化可得)263,261,0,264(1-==x x y ，即y 为所求的单位向量． 例16、设A 为n 维欧氏空间V 的一个线性变换，试证：A 为正交变换的充分必要条件是βαβα-=-)()(A A ．证 必要性))()(),()(()()(βαβαβαA A A A A A --=-),(),(),(),(βββααβαα+--= βαβαβα-=--=),(．充分性 取0=β，于是有αα=)(A ，即A 保持V 中的向量长度不变，所以A 为正交变换．例17、对于矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=542452222A ，求正交(酉)矩阵P ，使AP P AP P T=-1为对角矩阵．解 可求得)10()1()det(2--=-λλλA I ，于是A 的特征值为10,1321===λλλ．对应121==λλ的特征向量为T T x x )1,0,2(,)0,1,2(21=-=．正交化可得T T y y )1,54,52(,)0,1,2(21=-=；再单位化可得T T p p )535,534,532(,)0,51,52(21=-=．对应103=λ的特征向量为T x )1,1,21(3--=，单位化可得T p )32,32,31(3--=，故正交矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=32535032534513153252P 使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1011AP P T ． 例18、设A 是n 阶实对称矩阵，且A A =2(即A 是幂等矩阵)，证明存在正交矩阵Q 使得)0,,0,1,,1(1 diag AQ Q =-．证 设A 的属于特征值λ的特征向量为x ，即x Ax λ=，则有x x A 22λ=．因为A A =2且0≠x ，所以02=-λλ，即0=λ或1．再由A 实对称知，存在正交矩阵Q 使得)0,,0,1,,1(1 diag AQ Q =-．例19、设21,V V 是欧氏空间V 的两个子空间，证明.)(,)(21212121⊥⊥⊥⊥⊥⊥+==+V V V V V V V V证 先证第一式．设⊥+∈)(21V V x ，即)(21V V x +⊥．于是1V x ⊥且2V x ⊥，或者⊥∈1V x 且⊥∈2V x ，即⊥⊥∈21V V x ．故)()(2121⊥⊥⊥⊂+V V V V ．又设⊥⊥∈21V V x ，即⊥∈1V x 且⊥∈2V x ．于是1V x ⊥且2V x ⊥，或者)(21V V x +⊥，即⊥+∈)(21V V x ．故⊥⊥⊥+⊂)()(2121V V V V ．因此第一式成立．对⊥1V 与⊥2V 应用第一式，有212121)()()(V V V V V V ==+⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥，故⊥⊥⊥+=2121)(V V V V ，即第二式成立．例20、(1) 设A 为酉矩阵且是Hermite 矩阵，则A 的特征值为1或1-． (2) 若A 是正规矩阵，且A 的特征值1=λ，则A 是酉矩阵．证 (1) 因A 为酉矩阵，则A 的所有特征值λ具有1=λ；又A 是Hermite 矩阵，则A 的特征值皆为实数，故A 的特征值为1或1-．(2) 因A 是正规矩阵，且A 的特征值1=λ，则有酉矩阵U ，使得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n H H n H U A U AU U λλλλ 11,， .11221E AU A U n H H =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλ 故有E A A H =，即A 是酉矩阵．例21、A 为n 阶正规矩阵，),,2,1(n i i =λ是A 的特征值，证明A A H 与HAA 的特征值为n i i ,,2,1,2=λ．证 由A 正规，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n H H n H U A U AU U λλλλ 11,，U AA U AU A U HH n H H =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=221λλ ，故A A H 与H AA 的特征值皆为22221,,,n λλλ ．例22、设A 为n 阶正规矩阵，证明 (1) 若对于正数m ，有0=m A ，则0=A ． (2) 若A A =2，则A A H =． (3) 若23A A =，则A A =2．证 (1) 若0=m A ，则A 的特征值皆为零，又A 是正规矩阵，A 可酉对角化，即有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000 AU U H ， 故有0=A ．(2) A A =2，则A 的特征值为1或0，假定r A r =)(；A 可酉对角化为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000,000)(,000r HH Hr H H rH E U A U E AU U E AU U ， 可得A A H =．(3) 23A A =，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22121)(,n H n H AU U AU U λλλλ ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=33132212,n H n H U A U U A U λλλλ ，由23A A =，得0,23==i i i λλλ或1=i λ，不妨设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000rH E AU U ，也有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0002r H E U A U ， 故有A A =2．例23、A 为n 阶Hermite 矩阵，设A 的n 个特征值为n λλλ≤≤≤ 21，证明1min ,max λλ==∈∈XX AXX XX AX X H H C X n H H C X n n ． 证 对于Hermite 二次型AX X f H =，必有酉变换UY X =，使化为标准形2222211n n UYX Hy y y AX X λλλ+++== ，又2222122n H y y y YX X X+++=== ，则n nn n H H y y y y y y X X AX X λλ=++++++≤2222122221)( ． 设n X 为A 对应于n λ的特征向量，即n n n X AX λ=，则n nHn nH n n n H n n H n X X X X X X AX X λλ==， 故有n H H C X XX AX X n λ=∈max ． 同理有1min λ=∈XX AX X H H C X n ． 例24、A 是正规矩阵，证明(1) A 的特征向量也是H A 的特征向量． (2) n C X ∈∀，AX 与X A H 的长度相等． 证 (1) A 为正规矩阵，则有酉矩阵，使得⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n H H n HU A U AU U λλλλλλ2121,， 其中],,,[21n U ααα =，n ααα,,,21 为A 的特征向量，由上两式可见i i i A αλα=，i i i H A αλα=，故A 与H A 有相同的特征向量．(2) 由H H AA A A =，X AA X X A X A XA H H H H H H ==)()(22)()(AX AX AX AX A X H H H ===． 证得AX X A H =．例25、B A ,为n 阶实对称矩阵，B 为正定矩阵，证明存在同一可逆矩阵P ，使Λ=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==n T H u u AP P I BP P 1,． 证 B 为正定矩阵，必有可逆矩阵Q ，使.E BQ Q T =因A 为对称矩阵，则AQ Q T 也是对称矩阵，所以存在正交矩阵C ，使得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n T T u u AQC Q C 1， 令QC P =，就有Λ=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n T u u AP P 1． 又E C C EC C BQC Q C T T T T ===，即有E BP P T =，故存在同一可逆矩阵P ，使Λ==AP P E BP P T T ,．例26、(1) 设n n C A ⨯∈，则n n U A ⨯∈的充要条件是A 的n 个列(或者行)向量是标准的正交向量组．(2) r n r U U ⨯∈1的充要条件是E U U H =11． 证 (1) 必要性 设⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==H n H H H n A A αααααα 2121],,,[．由于E A A H =，所以有E n H n H n H n n H H H n H H H nH n H H =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡αααααααααααααααααααααααα 2122212121112121],,,[， 于是可得⎪⎩⎪⎨⎧==≠=ji ji j Hi j Hi ,1,0αααα 这表明矩阵A 的n 个列向量是一个标准的正交向量组．同样可以证明A 的n 个行向量是一个标准的正交向量组．充分性 设矩阵A 的n 个列向量n ααα,,,21 是一个标准的正交向量组，那么有⎪⎩⎪⎨⎧==≠=ji ji j Hi j H i ,1,0αααα 从而可知E n H n H n H n n H H H n H H H nH n H H =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡αααααααααααααααααααααααα 2122212121112121],,,[， 此即E A A H =，进一步也有E AA H =，这表明A 为一个酉矩阵．类似地可以证明行的情况．(2) 必要性 设矩阵1U 的r 个列向量r ααα,,,21 是一个标准的正交向量组，那么有⎪⎩⎪⎨⎧==≠=j i ji jHi j Hi ,1,0αααα 由此可得r r H r H r H r r H H H r H H H r H r H H H E U U =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=αααααααααααααααααααααααα 212221************],,,[． 充分性 设.],,,,[211211⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==H r H H Hr U U αααααα 由于r H E U U =11，所以有rr H r H r H r r H H H r H H H r H r H H E =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡αααααααααααααααααααααααα 2122212121112121],,,[．于是可得⎪⎩⎪⎨⎧==≠=j i ji jHi j Hi ,1,0αααα 这表明矩阵1U 的r 个列向量r ααα,,,21 是一个标准的正交向量组．例27、已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=502613803A ， 试求酉矩阵U ，使得AU U H 是上三角矩阵．解 首先求出其特征多项式3)1(+=-λλA E ．当1-=λ时，求出属于特征值1--1的一个单位特征向量T ]61,61,62[1-=η．解与1η内积为零的方程02321=++-x x x ，求得一个单位解向量T]33,33,33[2=η．解与21,ηη内积为零的方程⎩⎨⎧=++=++-002321321x x x x x x 又求得一个单位解向量T ]22,22,0[3-=η． 于是取⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=223361223361033621U ， 经过计算可得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=6265036540337227111AU U H ． 记⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=626536541A ， 可得21)1(+=-λλA E ．对于1-=λ时，求得一个单位特征向量T]515,510[1-=γ， 再求得一个与1γ正交的向量2γT]510,515[2=γ． 令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=5105155155101V ， 经计算可得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=1066251111V A V H．令⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=510515051551000012U ， 记⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==5523030610630615515306221U U U ， 则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=1006625102015715301AU U H ．例28、设B A ,均为n 阶正规矩阵，试证A 与B 相似的充要条件是A 与B 酉相似．证 必要性 由于A 与B 均为正规矩阵，所以分别存在正规矩阵21,U U ，使得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n HAU U λλλ2111 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n HBU U μμμ2122 其中),,2,1(0n i i =>λ为A 的特征值，),,2,1(0n i i =>μ为B 的特征值．又A 与B 相似，于是有2211,BU U AU U HH i i ==μλ，此时B U AU U U H =--121121)(，这表明A 与B 相似．充分性 显然．例29、已知A 为实矩阵，且有T T AA A A =，证明A 必为对称矩阵． 证 由T T AA A A =可知，A 为正规矩阵，那么存在酉矩阵U ，使得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n H H n H U A U AU U λλλλ 11,， 从而有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=221n TH AU A U λλ ．又A A T 为实矩阵，由上式可知其特征值也是实数，从而矩阵U 是一个正交矩阵，即1-==U U U T H ，从而有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-n AU U λλ 11， 其中n λλ,,1 一定为实数．同样也有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-n T U A U λλ 11． 由此可得A A T =，即A 为实对称矩阵．例30、设B A ,均为正规矩阵，且有BA AB =，证明： (1)B A ,至少有一个公共的特征向量；(2)B A ,可同时酉相似于上三角矩阵，即存在酉矩阵W ，使得AW W H 以及BW W H 均为上三角矩阵；(3)B A ,可同时酉相似于对角矩阵； (4)AB 与BA 均为正规矩阵．证 (1) 设λV 是矩阵A 的属于特征值λ的特征子空间，若λαV ∈，即λαα=A ，则αλαB BA =，由于BA AB =，所以有)()(αλαB B A =，这表明λαV B ∈，从而λV 是B 的不变子空间，故在λV 中存在B 的特征向量β，它也是A 的特征向量．(2) 对B A ,的阶数用归纳法证明．当B A ,的阶数均为1时，结论显然成立．设单位向量1α是B A ,的一个公共特征向量，再适当选取1-n 个单位向量n αα,,2 ，使得},,,{21n ααα 为标准正交基，于是],,,[21n U ααα =为酉矩阵，且有],,,[,2111n B B b BU b B ααααα ==．进一步可得,01B B b BU U H=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=β这里β是)1(1-⨯n 矩阵，1B 是一个1-n 阶矩阵，另外也有A A aAU U H =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10η，这里η是)1(1-⨯n 矩阵，1A 是一个1-n 阶矩阵．由BA AB =又有)()()()(H H H H UAU UBU UBU UAU ⋅=⋅，于是可得BA AB =，由此可推得1111A B B A =．故由归纳法假设，存在1-n 阶酉矩阵1V ，使得∆=111V B V H ，这里∆为一个上三角矩阵，记.,0011UV W V V =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=于是有V BU U V BW W H H H )(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000100011111V b V B b V H ββ， 显然BW W H 是一个上三角矩阵．容易验证W 是酉矩阵．同样可得，AW W H 也是一个上三角矩阵．(3) 由(2)可设R AW W H =，这里R 是一个上三角矩阵，那么H H H R W A W =，从而可得H H H H H H W RR W W W R W RW AA )(=⋅=，H H H H H H W R R W W RW W W R A A )(=⋅=．又A A AA H H =，所以可得R R RR H H =，从而知R 为一个对角矩阵．同样可证BW W H 也是一个对角矩阵．(4) 由(3)可设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n H n H u u BW W AW W 11,λλ， 于是有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n H ABW W μλμλ 11． 由正规矩阵结构定理可知AB 为正规矩阵，那么BA 也为正规矩阵．【评注】教材中已给出一种证明方法，但是与这里的证明方法完全不同，这里主要运用Schur 引理的证明思想．例31、已知下列正规矩阵，求酉矩阵U ，使得AU U H 为对角矩阵．(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0000110i i A (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+------+=062266234426434i i i i i i i iA (3)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1111A 解 (1) 首先求出矩阵A 的特征多项式为)2(2+=-λλλA E ，所以A 的特征值为0,2,2321=-==λλλi i ．对于特征值i 2，求得一个特征向量T i X ]1,,2[1-=． 对于特征值i 2-，求得一个特征向量T i X ]1,,2[2--=． 对于特征值0，求得一个特征向量T i X ]1,,0[3=．由于A 为正规矩阵，所以321,,X X X 是彼此正交的，只需分别将321,,X X X 单位化即可TTTi i i ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=22,22,0,21,2,22,21,2,22321ααα，于是取⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==222121222202222],,[321i i iU ααα， 而且有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=000020002i i AU U H ．(2) 首先求出矩阵A 的特征多项式为)9)(81(2-+=-λλλA E ，所以A 的特征值为9,9,9321==-=λλλi i ．对于特征值i 9-，求得一个特征向量T iX ]1,1,2[1-=．对于特征值i 9，求得一个特征向量T i X ]1,21,[2-=．对于特征值9，求得一个特征向量T i X ]21,1,[3-=．由于A 为正规矩阵，所以321,,X X X 是彼此正交的，只需分别将321,,X X X 单位化即可TT T i i i ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=31,32,32,32,31,32,32,32,3321ααα．于是取⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==31323232313232323],,[321i ii U ααα， 从而有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=900090009i i AU U H ． (3) 首先求出矩阵A 的特征多项式为222+-=-λλλA E ，所以A 的特征值为i i -=+=1,121λλ．对于特征值i +1，求得一个特征向量T i X ]1,[1=． 对于特征值i -1，求得一个特征向量T i X ]1,[2-=．由于A 为正规矩阵，所以21,X X 是彼此正交的，只需分别将21,X X 单位化即可TTi i ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22,22,22,2221αα．于是取⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==22222222],[21i i U αα， 从而有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=i i AU U H1001． 【评注】这三个题目只需按照教材介绍的正规矩阵可对角化具体过程进行即可．例32、试举例说明：可对角化矩阵不一定可酉对角化．解 设Y X ,是两个线性无关但不正交的向量，记],[Y X P =，取b a b a D ≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡=,00 那么1-=PDP A ，就是一个可对角化矩阵，但不是可酉对角化矩阵．例33、证明(1) Hermite 矩阵的特征值为实数；(2) 反Hermite 矩阵的特征值为零或纯虚数； (3) 酉矩阵特征值的模长为1．证 (1) 设A 为一个Hermite 矩阵，λ是A 的一个特征值，X 为对应于特征值为λ的一个特征向量，即有X AX λ=，在此式两端取共轭转置可得.,HHH H H X A X X A X λλ==用X 从右端乘上式两端有X X AX X H H λ=，于是有X X X X H H λλ=．由于0≠X ，所以0≠X X H ，从而有λλ=，这表明λ是实数．(2) 设A 为一个反Hermite 矩阵，λ是A 的一个特征值，X 为对应于特征值λ的一个特征向量，即有X AX λ=，在此式两端取共轭转置可得.,HHH H H X A X X A X λλ=-=用X 从右端乘上式两端有X X AX X H H λ=-，于是有X X X X H H λλ=-．由于0≠X ，所以0≠X X H ，从而有λλ=-，这表明λ为零或纯虚数． (3) 设A 为一个酉矩阵，λ是A 的一个特征值，X 为对应于特征值λ的一个特征向量，即有X AX λ=，在此式两端取共轭转置可得H H H X A X λ=．用AX 从右端乘上式两端有X X EX X H H λλ=，于是有0)1(=-X X H λλ．由于0≠X ，所以0≠X X H ，从而有1=λλ，这表明λ的模长为1．例34、设A 与B 均为Hermite 矩阵，试证A 与B 酉相似的充要条件是A 与B 的特征值相同．证 必要性 由于相似矩阵有相同的特征值，所以A 与B 的特征值相同．充分性 A 与B 均为Hermite 矩阵，所以分别存在酉矩阵21,U U ，使得.,2122211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n H n H BU U AU U ηηηδδδ其中),,2,1(n i i =δ为A 的特征值，),,2,1(2n i =η为B 的特征值．又i i ηδ=，从而2211BU U AU U H H =，此即B U U A U U HH H =)()(2121，这表明A 与B 酉相似．例35、设A 是Hermite 矩阵，且A A =2，则存在酉矩阵U ，使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000rH EAU U ． 证 由于A 是Hermite 矩阵，所以存在酉矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n HAU U λλλ21， 其中),,2,1(n i i =λ为A 的特征值，又A 为幂等矩阵，于是0=i λ或1．不妨设A 的秩为r ，那么i λ中有r 个1，r n -个0．记0,12121========-++r n r r r λλλλλλ ．即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000rH EAU U ． 例36、设3R 中的向量为),,(321ξξξα=，线性变换为)32,32,22()(32132132ξξξξξξξξα+---+---=T ，求3R 的一个基，使T 在该基下的矩阵为对角矩阵．解 取3R 的简单基321,,e e e ，计算得),3,1,2()(),1,3,2()(),2,2,0()(321--=--=--=e T e T e T那么，T 在基321,,e e e 下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=312132220A ． A 的特征值为2,4321-===λλλ，与之对应的线性无关的特征向量依次为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-112,201,021． 令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=Λ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=244,120102211P ， 则有Λ=-AP P 1，由P e e e ),,(),,(321321=ααα求得3R 的另一个基为).1,1,2(2),2,0,1(2),0,2,1(23213312211=++=-=+-=-=+-=e e e e e e e ααα T 在该基下的矩阵为Λ．四、教材习题同步解析1、设V 是实数域R 上的n 维线性空间，12,,,n εεε是V 的一组基，对于V 中向量n n x x x εεεα+++= 2211， n n y y y εεεβ+++= 2211，定义内积为n n y nx y x y x +++= 22112),(βα，证明V 在此内积下构成一个内积空间．证 设R k V z z z n n ∈∈+++=,2211εεεγ ，则有n n x ny x y x y +++== 22112),(),(αββα；111222(,)()2()()n n n x y z x y z nx y z αβγ+=++++++11221122(2)(2)n n n n x y x y nx y x z x z nx z =+++++++(,)(,)αβαγ=+；1122(,)2(,)n n k kx y kx y nkx y k αβαβ=+++=．当0=α时，0),(=αα；当0≠α时，至少有一个00≠i x ，从而0),(200>=i x i αα，因此，该实数是V 上的内积，V 构成一个内积空间．2、设V 是实数域R 上的n 维线性空间，n εεε,,21 是V 的一组基，A 是一个n 阶正定实对称矩阵．定义V 的内积如下：对于V 中向量βα,，如果它们在基12,,,n εεε下的坐标分别为y x ,，则Ay x T =),(βα，证明V 是一个内积空间．证 设V ∈γ，在基12,,,n εεε下的坐标为z ，R k ∈，则有),()(),(αββα=====Ax y x A y Ay x Ay x T T T T T T ； ),(),()(),(γαβαγβα+=+=+=+Az x Ay x z y A x T T T ； ),()(),(βαβαk Ay kx Ay kx k T T ===；因为A 为n 阶正定实对称矩阵，所以Ax x T =),(αα为正定二次型．0≠α时，0),(>αα；0=α时，0),(=αα，所以V 是一个内积空间．3、在实内积空间4R (内积为实向量的普通内积)中，已知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111,1111,0011321βββ，试求出与321,,βββ都正交的单位向量．解 设T x x x x ),,,(4321=α满足,3,2,1,0),(==i i βα有⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=--+=+0004321432121x x x x x x x x x x ，可取T)1,1,1,1(--=α，故单位向量为 T ⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21,21,21或T⎪⎭⎫⎝⎛--21,21,21,21． 4、设内积空间3C 中向量βα,的内积为αββαH =),(判断下述向量βα,是否正交：1)T T i i i i )2,1,1(,),,1(-+=--=βα； 2)T T i i i i i )3,1,,1(,)2,,1(-=+-=βα．解 1)01)2,1,1(),(=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-=i i i i βα，故正交．2)04721)3,,1(),(≠+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=i i i i i i βα，故不正交．5、设12,,,n ααα是n 维内积空间V 的一组基，如果V 中向量β使.,2,1,0),(n i i ==αβ证明 0=β．证 令n n x x x αααβ+++= 2211，有0),(),(),(11===∑∑==ni i i ni i i x x αβαβββ，由内积定义，有0=β．6、设V 是实数域R 上的内积空间，321,,εεε是V 的一组标准正交基．证明)22(31),22(31),22(31321332123211εεεηεεεηεεεη--=+-=-+=也是V 的一组标准正交基．证 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=323231323132313232),,(),,(321321εεεηηη，记矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=323231323132313232A ，因为,E A A T =所以A 为正交矩阵，又因为321,,εεε为标准正交基，所以321,,ηηη也是标准正交基．7、设54321,,,,εεεεε是5维内积空间V 的一组标准正交基．32132125112,,εεεαεεαεεα++=-=+=．求子空间),,(321αααL 的一组标准正交基．解 设0332211=++αααk k k ，则0)()2(51332321321=+++-+++εεεεk k k k k k k ，因为5321,,,εεεε线性无关，则0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关，所以他们是),,(321αααL 的一组基．将321,,ααα正交化，单位化，即得),,(321αααL 的一组标准正交基．记)0,0,1,1,2(),0,0,0,1,1(),1,0,0,0,1(321=-==x x x ，则正交化，11x y =；⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=21,0,0,1,21),(),(1111222y y y y x x y ；()1,0,1,1,1),(),(),(),(13222231111333-=-=--=y x y y y y x y y y y x x y ；单位化)1,0,0,0,1(222211==y z ；)1,0,0,2,1(663622--==y z ； )1,0,1,1,1(213-=z 所以标准正交基)(21),2(66),(22532135212511εεεεγεεεγεεγ-++=--=+=． 8、已知线性空间4][x R 对于内积⎰-=11)()())(),((dx x g x f x g x f构成一个内积空间．从基32,,,1x x x 出发，经正交单位化求一组标准正交基．解 因为32),(,0)1,(,211)1,1(1121111=====⋅=⎰⎰⎰---dx x x x xdx x dx ， 52),(,32)1,(,0),(2222===x x x x x ，…… 正交化，令11=β；x x x =⋅-=1)1,1()1,(2β； 31),(),(1)1,1()1,(22223-=⋅-⋅-=x x x x x x x x β；x x 5334-=β；再单位化x x x x x x 41434145;4104103;26),(;22)1,1(34232211-=-=====ηηβηβη9、对于实数域R 上的线性空间n m R ⨯，规定内积如下：对于n m R ⨯中任意元素][],[ij ij b B a A ==，则=),(B A 迹∑∑===ni mj ji ji Tb a A B 11)(．证明n m R ⨯对此内积构成欧氏空间．证 ∑∑∑∑=======n i m j m j ni ji ji ji ji A B a b b a B A 1111),(),(；对任意的R k ∈，n m ij R a C ⨯∈=][，有=+),(C B A 迹=+))((A C B T 迹()T T B A C A +=迹)(A B T +迹()T C A =(,)A B (,)A C +；=),(B kA 迹=))((kA B T 迹)(A kB T =k 迹)(A B T =),(B A k ；0),(112≥=∑∑==n i mj ji a A A ，当且仅当0=ji a (即0=A )时，0),(=A A ，所以nm R ⨯对此内积构成欧氏空间．10、设欧氏空间4R (内积为普通实数组向量的点积)的一组基为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111,0111,0011,00014321αααα，求在这组基下的度量矩阵A ．解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==4321332122211111)),((j i A αα．11、在线性空间4R 上定义一种内积成为欧氏空间．已知在基T T T T e e e e )1,0,0,0(,)0,1,0,0(,)0,0,1,0(,)0,0,0,1(4321====下的度量矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=3101121001211012A ． 1) 求在基T T T T )1,1,0,1(,)1,2,1,0(,)0,0,2,1(,)0,0,1,1(4321==-=-=αααα下的度量矩阵B ．2) 求实数a ，使向量T a )1,2,,1(-=α与向量T )0,2,1,1(-=β正交． 解 1) 因为由基4321,,,e e e e 到基4321,,,αααα的过渡矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-2100110010113112;11001200012110111P P ， 设向量α在4321,,,e e e e 下的坐标为x ，则α在4321,,,αααα下的坐标为x P 1-，如果在基4321,,,αααα下的度量矩阵为B ，则Ax x x BP x P T T ==--11)(),(αα，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----===--79119130010631032,)(11AP P B A BP P T T 2)βα,在4321,,,e e e e 下的坐标分别为T a )1,2,,1(-和T )0,2,1,1(-，所以0)0,2,1,1()1,2,,1(),(=--=T A a βα时，有310=a ． 12、设321,,εεε是欧氏空间V 的一组基，内积在这组基下的度量矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=612121211A已知V 的子空间1V 的一组基为112αεε=+，2123αεεε=+-．1) 证明21,αα是1V 的一组正交基； 2) 求1V 的正交补⊥1V 的一组基． 证 1) 因为12111213212223(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)ααεεεεεεεεεεεε=+-++-112(1)2(1)0=--+-+--=，故21,αα正交，所以21,αα是1V 的一组正交基．2) 只需再找到V 中向量3α使321,,ααα为V 的一组正交基，则3α即为⊥1V 的一组基．方法一：设3322113εεεαx x x ++=，利用正交条件⎩⎨⎧==0),(0),(3231αααα 即 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0)1,1,1(0)0,1,1(321321x x x A x x x A 可得一解为2,2,7321-===x x x ，即得3213227εεεα-+=．方法二：先将21,αα扩充为V 的一组基123,,ααξ，为此只需123,,αατ的坐标线性无关．例如取31ξε=即可．再将123,,ααξ正交化．因21,αα已是正交组，正交化过程只需从第三个向量做起．令(3)(3)311223k k αααξ=++，算出(3)(3)3132121122(,)(,)20,(,)(,)5k k ξαξααααα=-==-=，即得3213525257εεεα-+=．13、设4维欧氏空间V 在基4321,,,εεεε下的度量矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1100162102100101A ， 已知V 中向量323312211,,εεαεεαεεα-=+=+=，V 的子空间1123(,,)V L ααα=．1) 试求1V 的一组标准正交基； 2) 设有1V 的线性变换σ，使11266()(1)33σααα=+-，21266()(1)(2)63σααα=-++-，3136()22σααα=+请判明σ是不是1V 的正交变换或对称变换？解 1) 显然321,,ααα线性相关，其极大无关组21,αα即为1V 的一组基，将。
矩阵论试题(整理)(完整版)实用资料
矩阵论试题(整理)（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）矩阵论试题（06，12）一.(18分填空：设1.A-B的Jordan标准形为J=2.是否可将A看作线性空间V2中某两个基之间的过渡矩阵（）。
3.是否可将B看作欧式空间V2中某个基的度量矩阵。
（）4.（），其中。
5.若常数k使得kA为收敛矩阵，则k应满足的条件是（）。
6.AB的全体特征值是（）。
7.（）。
8.B的两个不同秩的{1}-逆为。
二.(10分设,对于矩阵的2-范数和F-范数，定义实数，（任意）验证是中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。
三.(15分已知。
1.求；2.用矩阵函数方法求微分方程满足初始条件x(0的解。
四.(10分用Householder变换求矩阵的QR分解。
五.（10分）用Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值。
（要求画图表示）六.(15分已知。
1.求A的满秩分解；2.求A+；3.用广义逆矩阵方法判断线性方程组Ax=b是否有解；4.求线性方程组Ax=b的极小范数解，或者极小范数最小二乘解x0。
（要求指出所求的是哪种解）七.(15分已知欧式空间R22的子空间R22中的内积为V中的线性变换为T(X=XP+XT, 任意XV，1.给出子空间V的一个标准正交基；2.验证T是V中的对称变换；3.求V的一个标准正交基，使T在该基下的矩阵为对角矩阵.八.(7分设线性空间V n的线性变换T在基下的矩阵为A，T e表示V n的单位变换，证明：存在x00，使得T(x0=(T e-T(x0的充要条件是为A的特征值.矩阵论试题（07，12）一.(18分填空：1.矩阵的Jordan标准形为J=2.设则3.若A是正交矩阵，则cos(A=4.设，A+是A的Moore-Penrose逆，则(-2A, A+=5.设，则AB+I2I3的全体特征值是（）。
6.设向量空间R2按照某种内积构成欧式空间，它的两组基为和且与的内积为则基的度量矩阵为（）。
武汉理工大学矩阵论题2018试卷
武汉理理⼯工⼤大学研究⽣生考试试题（2018）
课程矩阵论
（共6题，答题时不不必抄题，标明题⽬目序号）
⼀一，填空题（15分）
1、已知矩阵，则的奇异值为
2、已知线性空间V的基为，线性变换T在这组基下的矩阵，
则核空间ker T的⼀一组基为=;
3、已知，则的QR分解为
4、已知，则的LU分解为
5、设向量量，则范数=；
⼆二，已知矩阵。
1.求的⾏行行列列式因⼦子，不不变因⼦子，初级因⼦子；
2.求的Jordan标准形；
3.求的最⼩小多项式。
三，（20）设线性空间.对于任意的，定义
1、证明：是的⼀一个内积；
2、令，证明是的⼦子空间；
3、求在上⾯面所定义的内积下的⼀一组标准正交基。
四，（15分）设，,
为线性空间，对于任意的，定义：
1、（5分）证明：是上的线性变换；
2、（10分）求的⼀一组基，并求在所求基下的矩阵.
五（20分）已知线性⽅方程组
1、求的满秩分解
2、求的⼴广义逆；
3、求的最⼩小⼆二乘解；
4、求极⼩小范数最⼩小⼆二乘解.
六、（15分）已知
1、求矩阵函数；
2、求微分⽅方程组满⾜足初始条件的解。
1.（8分）
由得的⾏行行列列式因⼦子为
------------------4分
于是得到不不变因⼦子为
---------------6分
得到初级因⼦子为：-------------------8分
2.（4分）矩阵的Jordan标准形为
--------------------4分
3.（3分）矩阵的最⼩小多项式为：--------------3分。
矩阵论--武汉理工大学研究生考试试题2010(科学硕士)
武汉理工大学研究生考试试题（2010）课程矩阵论（共6题，答题时不必抄题，标明题目序号），填空题（15 分）1 1 1 0已知矩阵A 0 °,A 2 1 1 ,A 3所生成的子空间的维数为证明：（代B ）是V 的一个内积;多项式所成的线性空间，对于任意的 f （t ） a 2t 2 a 1t a 。
F[t]3，定义:1、 已知矩阵A 的初级因子为 ,（ 1)2, 2 ,( 1）3，则其最小多项式为2、 设线性变换T 在基1, 2, 3的矩阵为A ，由基 3到基 3的过渡矩阵为P ， 向量在基3下的坐标为x ，则像T （）在基 3下的坐标 1 ，则由这四个矩阵 14、 0已知A 0，则 A 10 A 6 8A已知向量 1,2,0, T i)， i 2 则其范数 二，（20）设 V A a 11 a 21 a 22an a 21 0为R 2 2的子集合,1、 证明：V 是R 2 2的线性子空间;2、 求V 的维数与一组基;3、 a*i1 a^对于任意的A , a 21 a 22 V ，定义(A, B) 4a 11b 113a 〔2b [2 2玄21匕21 a 22b 22 4、 求V 在上面所定义的内积下的一组标准正交基。
三、（15 分）设 F[t]32 f(t) a 2t a 〔t 玄 a j R, i 0,1,2为所有次数小于3的实系数1、 证明：T 是F[tb 上的线性变换;2、 求T 在基1,t,t 2下的矩阵A 。
四，(15分)设矩阵1 2 3A 0 1 20 0 11、 求A 的Jordan 标准形；2、 求A 的最小多项式。
五(20分)已知1 0 1 0A 0 11, b 11 0 1 11、 求A 的满秩分解；2、 求 A ；3、 求AX b 的最小二乘解；4、 求AX b 的极小范数最小二乘解。
六、(15分)已知X 。
01、求矩阵函数e At ；2 T[f(t)] (a 。
矩阵论考试题和答案(详细)
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课程编号: A000003 考试日期: 2009 年 1 月 13 日
λ I − A = λ (λ + 1)2
---------------3 ----------------3 -------------6 --------------2 ---------------2
= P −1 AP 满足相容矩阵范数的四个条件。
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三、 （20 分）
（1） A 的满秩分解为 1 0 − 1 0 1 A = 0 1 0 1 0 − 1 0
A + = C T ( CC
T
-----------------5
1 4 0 1 − 4
(tr ( A))2 = (λ1 + L + λn ) 2 ≥ λ12 + L + λn2 = tr ( A2 ) 。 ---------------4
（3）因为 A > 0 ，则 A 可逆，并且 A−1 > 0 。由 I = AA−1 ，可得
n = tr ( I ) = tr ( AA−1 ) = tr ( AH A−1 ) ≤ tr ( AH A)tr ( A− H A−1 ) 2 = tr ( A2 )tr ( A−2 ) 2
由（2）知 tr ( A2 ) ≤ tr ( A), tr ( A−2 ) ≤ tr ( A−1 ) ，因此n ≤ tr ( A)tr ( A−1 ) 。 -则存在与 . 相容的向量范数 . a ，从而
| λ | x a = λ x a = Ax a ≤ A x a , | λ −1 | x a ≤ A−1 x
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武汉理工大学研究生考试试题(2010）
课程 矩阵论
（共６题,答题时不必抄题,标明题目序号）
一，填空题（１５分）
1、已知矩阵A 的初级因子为223
,(1),,(1)λλ-λλ-，则其最小多项式为 ２、设线性变换T 在基123,,εεε的矩阵为A ,由基123,,εεε到基123,,ααα的过渡矩阵为P ,向量β在基123,,εεε下的坐标为x ,则像()T β在基123,,ααα下的坐标 3、已知矩阵123411102101,,,00113311A A A A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,则由这四个矩阵所生成的子空间的维数为
4、已知0100001000011
000A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则1068A A A -+= 5、已知向量(1,2,0,)T i α=--，21i =-,则其范数
1α= ;2α= ;∞α= ；
二，（20）设1112112121220a a V A a a a a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪==-=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩
⎭为22⨯R 的子集合, 1、证明：V 是22⨯R 的线性子空间;
２、求V 的维数与一组基；
3、对于任意的1112111221222122,a a b b A B a a b b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
V ∈，定义 2222212112121111234),(b a b a b a b a B A +++=
证明:),(B A 是V 的一个内积;
4、求V 在上面所定义的内积下的一组标准正交基。
三、（15分)设{}
23210[](),0,1,2i F t f t a t a t a a R i ==++∈=为所有次数小于3的实系数
多项式所成的线性空间,对于任意的22103()[]f t a t a t a F t =++∈，定义:
2010212[()]()()()T f t a a t a a t a a =+++++
1、证明：T 是3[]F t 上的线性变换;
2、求T 在基2
1,,t t 下的矩阵A 。
四,（15分） 设矩阵 123012001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
1、求A 的Jordan 标准形； ２、求A 的最小多项式。
五(２0分） 已知
1010011, 11011A b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
１、求A 的满秩分解；
2、求+A ；
3、求b AX =的最小二乘解；
４、求b AX =的极小范数最小二乘解。
六、（15分）已知
00021010, 01031A x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
1、求矩阵函数At e ;
2、求微分方程组
)()(t Ax dt
t dx =满足初始条件0)0(x x =的解。