材料力学 第十章 压杆稳定问题

由大挠度理论，F=1.015Fcr, wmax=0.11l.
比较显示了理想压杆小挠度理论的实际意义。
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第十章 例：确定图示压杆的临界载荷(h>b)
y z
O
压杆稳定问题
x
F
2
l
EI
l2
F b
y
h
解：临界载荷 Fcr
问题：结构在哪个平面内失稳？ 临界载荷等于多少？ 1. 当两端的约束是球形铰。
F
l
l
类比：一端固支一端自由长l的压杆的临界载荷等于 长2l的对应铰支压杆的临界载荷。 2 EI 2 EI 与解析法结果相同 Fcr 2 (2l ) 4l 2
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第十章 2. 一端固支、一端铰支 •变形曲线观察：与B端相 距约0.7l处有一拐点C A
拐点
压杆稳定问题
l
B
Fcr
a
z

hb 3 Iy 压杆在x-z平面内失稳 12 2 EI 2 EI y Fcr when h b 2 2 l l
bh3 Iz 12
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第十章 例：确定图示压杆的临界载荷(h>b)
y z
O
压杆稳定问题
x
F
l
h F
b
y z
2. 当两端的约束是圆柱形铰，圆柱销轴线沿z轴。
Fcr
2 EI
l2
x
l
二、临界载荷的欧拉公式的几点讨论 •两端简支压杆的挠曲轴 w A sin
•压杆在临界状态时的平衡是一种有条件的随遇平衡—— 可有任意的微弯程度, 但轴线形状一定。 •临界载荷（欧拉临界载荷)与截面抗弯刚度成正比， 与杆长的平方成反比。
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第十章
压杆稳定问题
第十章
压杆稳定问题
第十章
§10-1 §10-2 §10-3 §10-4 §10-5
压杆稳定问题
引言 两端铰支细长压杆的临界载荷 两端非铰支细长压杆的临界载荷 中小柔度杆的临界应力 压杆稳定条件与合理设计
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第十章
压杆稳定问题
§10-1
引 言
FN A
回顾：拉压杆的强度条件
d 2w 2 k w0 2 dx
k
2
F EI
Fcr
2 EI
l2
5、 两端非铰支细长压杆的临界载荷——解析法
力学模型· 数学方程· 齐次方程的非零解· 系数行列式为零
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第十章 二、类比法确定临界载荷
l
F F
压杆稳定问题
1. 一端固支一端自由：
观察：受力与变形与两端 铰支压杆左半部分相同
稳定平衡
l
ຫໍສະໝຸດ Baidu
b. F k l
临界(随遇)平衡
c. F k l
不稳定平衡
F k l
驱动力矩 恢复力矩
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Fcr kl
临界载荷
第十章 （3）受压弹性杆受微干扰 F Fcr 稳定平衡
压杆稳定问题
压杆在微弯位置不能平衡,要恢复直线 F >Fcr 不稳定平衡 压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲,导致失稳
•类比：拐点C处弯矩为零， 将C点坐标转动到变形前位 置，BC段类比铰支压杆。
A
C
Fcr
2 EI
(0.7l )2
Fc r C
0 .7 l
B
Fcr
•近似性讨论：由于变形后 拐点C离开轴线，B处有约束 反力，小变形条件下很小。
Fc r B 0.7l
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第十章 3. 两端固支压杆：
拐点 拐点
F＝Fcr 临界状态
压杆在任意微弯位置均可保持平衡
临界载荷－ Fcr: 压杆直线形式的平 衡由稳定转变为不稳定时的轴向压 力值。
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第十章 •桁架的稳定性
压杆稳定问题
为什么桁架要尽可能设计成各杆受拉？
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第十章 • 其他形式的稳定问题
压杆稳定问题
F Fcr
窄高梁弯曲
薄壁件受外压
•存在非零解的条件：
sin kl 0
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第十章
压杆稳定问题
•临界载荷欧拉公式
F
F
sin kl 0
kl n
n2 2 EI F l2
n k l
( n 1, 2 )
F 2 k , 注意到： EI
设： n=1
Fcr
2 EI
l2
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第十章
压杆稳定问题
n2 2 EI •高阶解的意义： F l2
F
( n 1, 2 )
2 x 当n=2时，得到： w A sin l
F （中间支撑不受力）
• 欧拉公式的适用范围：
Q 理想均质材料,细长杆 Q 线弹性 Q 小挠度(小变形) Q 压力沿杆件轴线
F
F
d 2w M ( x) dx 2 EI
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FR
F x
FR Ak 0 2 EIk
l
A sin kl B cos kl 0
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第十章
FR l B 0 2 EIk
压杆稳定问题
FR Ak 0 2 EIk
A sin kl B cos kl 0
F R
•存在非零解的条件：
0 k sin kl 1 0 cos kl l EIk 2 1 0 2 EIk 0
第十章
压杆稳定问题
§10-3
两端非铰支细长压杆的临界载荷
解析法确定临界载荷：铰支-固支压杆 类比法确定临界载荷 相当长度与长度因素
例题
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第十章 一、解析法确定临界载荷 根据微弯临界平衡状态 建立微分方程
压杆稳定问题
1. 固支-自由压杆 F A
l
B F
M ( x ) F ( w )
d 2w M ( x) 2 dx EI
A
l
FM
B F
d 2w F ( w ) 2 dx EI
令 k2
F EI
w
d w 2 2 k w k 2 dx
2
x
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第十章
压杆稳定问题
d 2w 2 2 k w k 2 dx
通解：
F
w

B
w A sin kx B cos kx
F (k ) EI
2
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第十章 通解： FR w A sin kx B cos kx (l x) 2 EIk 考虑位移边界条件：
压杆稳定问题
F (k ) EI
2
x 0, w 0 x 0, w ' 0 x l, w 0
FR l B 0 2 EIk
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第十章
压杆稳定问题
上一讲回顾
1．弹性平衡稳定性的概念 受压杆件保持初始直线平衡状态 的能力称为压杆的稳定性；弹性体保持初始平衡状态的能力 称为弹性平衡的稳定性。 2．压杆的临界载荷 使压杆直线形式的平衡由稳定转为不稳 定的轴向压力值。 3、 两端铰支细长压杆稳定微分方程
4、 两端铰支细长压杆的临界载荷
F
x
l
tan kl kl
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第十章
压杆稳定问题
tan kl kl
y1 tan kl
( kl )a 4.493
FR
F x
F l 4.493 EI
y2 kl
l
F k 2 EI
4.4932 EI 2 EI Fcr 2 l (0.7l )2 思考讨论题： 力学模型（有条件的随遇平衡）、 数学方程（微分方程）、有条件的 随遇平衡的数学表达（齐次方程的 非零解）之间的对应关系。
压杆稳定问题
Fcr
l 4 l 2 l 4
Fcr
2 EI
( l / 2) 2
Fcr
l 2
Fcr
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第十章 三、欧拉公式的统一表达式： 2 EI Fcr 1 2
l 2 EI Fcr (2l )2
压杆稳定问题
2
2
Fcr
2 EI
l / 2

1 2
Fcr
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第十章
压杆稳定问题
•刚体与变形体的稳定性
（1）刚性面上，刚性球受微干扰
F
FR
F
FR
W
a. 合力FR指向平衡位置 稳定平衡
W
b. FR为0 临界(随遇)平衡
W
c. FR偏离平衡位置 不稳定平衡
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第十章 （2）刚杆－弹簧系统受微干扰 刚杆－弹簧系统稳定性演示
压杆稳定问题
F

k
a. F k l
压杆稳定问题 F
A
a
q1 B q2 C
q1 q 2
MB M B Fcr aq1 , q1 Fcr a
由梁，B处转角 由杆，B处内力偶
MBl q2 3 EI
l
MB MBl Fcr a 3 EI
3 EI Fcr al
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第十章
压杆稳定问题
作业
10-2b，4，5，8
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考虑位移边界条件：
A
x
l
x 0, w 0,
dw x 0, q 0 dx
B
Ak 0 或
A0
x l, w
A sin kl B cos kl
•存在非零解的条件：
cos kl 0
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第十章 •存在非零解的条件：
压杆稳定问题 F B
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第十章 一、临界载荷的欧拉公式 •两端受压简支杆 •临界平衡状态 •驱动与恢复内力矩 驱动内力矩 恢复内力矩
F
压杆稳定问题
F
F
F
M(x) F x
w
F
M ( x ) Fw
d 2w M ( x) dx 2 EI d 2w M ( x ) EI dx 2
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第十章 驱动内力矩 M ( x ) Fw •压杆稳定微分方程
2 EI
(0.7l )
2
0.7
2 EI 欧拉公式可以写成统一形式： Fcr ( l )2
l ——相当长度：相当的两端铰支压杆的长度 ——长度因数:支持方式对临界载荷的影响
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第十章 例： 试用类比法求临界载荷
压杆稳定问题
问题的提出:强度条件是否适用于下列拉压杆？
F F F F
短粗杆
F F F F
细长杆
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第十章 工程实例：石桥、钢桥与稳定问题
压杆稳定问题
左图：隋朝建成 的赵州桥
右图： Tacoma 海峡大 桥1940年破坏
Euler(1707-1783)首先从理论上研究了压杆稳定问题(Euler理论）
第十章 三、大挠度理论与实际压杆 •精确压杆稳定微分方程
（求解大挠度问题）
压杆稳定问题
F
Fcr
A
C
B
D

1 M ( x) （x ) EI M x w ( x ) 32 2 EI 1 [ w ( x )]

大挠度理论 小挠度理论 实验结果
O
wmax
•理想压杆小挠度理论与大 挠度理论及实验结果比较
l
F FR F
M ( x ) Fw FR (l x )
d 2w M ( x ) 2 dx EI
FR d 2w F w (l x ) 2 dx EI EI
x
M ( x)
FR
FR
F
w
lx
F
通解： FR w A sin kx B cos kx (l x) 2 EIk
cos kl 0
（ 2n 1 ） kl ( n 1, 2 2
w
A
)
x
l
F 2 注意到： k EI
2 2 （ 2n 1 ） EI 得： F (2l )2
取n=1, 得固支-自由压杆的临界载荷：
Fcr
2 EI
( 2l ) 2
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第十章
压杆稳定问题
2. 一端固支一端铰支细长压杆的临界载荷 根据微弯临界平衡状态 建立微分方程
a
z

2. 当两端的约束是圆柱形铰，圆柱销轴线沿z轴。
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第十章 例：确定图示压杆的临界载荷(h>b)
y z
O
压杆稳定问题
x
F
l
2 EI
F b
y
h
l2 1. 当两端的约束是球形铰。
I I y Iz 2 I y Iz 2 cos 2a I yz sin 2a
解：临界载荷 Fcr
F
F k2 EI
压杆稳定问题
d 2w •恢复内力矩 M ( x ) EI dx 2
F
d 2w F w 2 dx EI
•通解：
d 2w 2 k w0 2 dx
w A sin kx B cos kx
x 0, w 0 x l, w 0
B0
•位移边界条件：
A sin kl 0
2 EI y ( xz ) Fcr 压杆在x-z平面内， ( l )2 2 EI z ( xy )
a

压杆在x-y平面内，Fcr 其中=0.5 ～1， Iy<Ix

l2
需要判断，杆件总沿临界载荷最小的方向失稳
hb 3 Iy 12 bh3 Iz 12
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第十章 习题10-3：AB刚性杆，BC弹性 梁，弯曲刚度EI，求Fcr 解：考虑梁杆结构的临界平 衡，B为刚性接头，在B处 F
薄壁圆筒轴向受压
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第十章
压杆稳定问题
•风洞颤振试验照片
左侧为风速低于颤振速度，结构稳定； 右侧为风速等于颤振速度，结构振动发散。
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第十章 •飞机颤振问题研究
压杆稳定问题
Page10
第十章
压杆稳定问题
§10-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
• 两 端 铰 支 压 杆 临 界 载 荷 实 验 测 定 两 端 铰 支 压 杆 失 稳 动 画 演 示 •