高三理科数学第一轮复习§8.1：直线与方程
2015年高考数学一轮总复习配套课件：8.1直线及其方程
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8
梳理自测
基础自测
1.直线 x- 3y+a=0(a 为常数)的倾斜角 α 为(A)
π
π
A.6
B.3
2
C.3π
3
5
D.6π
3
3
3
解析:易知直线的斜截式方程为 y= 3 x+ 3 a,∴k= 3 ,tanα= 3 .
π
∴α=6.
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.
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5
梳理自测
想一想直线的倾斜角与斜率之间的变化规律是什么?
答案:“知识梳理”中,我们已知道 k=tanα,详细的变化规律如下:
π
(1)所有的直线都有倾斜角,当直线与 x 轴垂直,即倾斜角为2时,
斜率不存在;(2)直线倾斜角的范围为[0,π),因为正切函数在[0,π)上不
两种情况讨论.由正切函数图象可以看出,当 α∈ 0,
π
2
k∈[0,+∞);当 α= 时,斜率不存在;当 α∈
考点一
考点二
考点三
π
,π
2
误区警示
π
2
时,斜率
时,斜率 k∈(-∞,0).
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探究突破
举一反三 1 直线 l 经过 A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线 l 的倾斜
错解:设直线 l 的方程为 + =1,
2
3
将 x=2,y=3 代入,得 + =1,解得 a=5.
故所求直线的方程为 x+y-5=0.
错因分析:忘记截距为 0 的情况,而导致丢解.
专题8.1 直线与方程-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)
第八篇 平面解析几何 专题8.01 直线与方程【考试要求】1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系. 【知识梳理】 1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角；(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π). 2.直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α；(2)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3.直线方程的五种形式【微点提醒】1.直线的斜率k 和倾斜角α之间的函数关系：2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示.( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ 【解析】(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k 1＝－1，k 2＝1，k 1＜k 2. (2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°. (3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等. 【教材衍化】2.(必修2P89B5改编)若过两点A (－m ，6)，B (1，3m )的直线的斜率为12，则直线的方程为________. 【答案】 12x －y －18＝0【解析】 由题意得3m －61＋m ＝12，解得m ＝－2，∴A (2，6)，∴直线AB 的方程为y －6＝12(x －2)，整理得12x －y －18＝0.3.(必修2P100A9改编)过点P (2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________. 【答案】 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0【解析】 当纵、横截距均为0时，直线方程为3x －2y ＝0；当纵、横截距均不为0时，设直线方程为x a ＋y a ＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5.所以直线方程为x ＋y －5＝0.【真题体验】4.(2019·济南调研)直线x －y ＋1＝0的倾斜角为( ) A.30° B.45°C.120°D.150°【答案】 B【解析】 由题得，直线y ＝x ＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°. 5.(2019·广东七校联考)若过点P (1－a ，1＋a )和Q (3，2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是( ) A.(－2，1) B.(－1，2)C.(－∞，0)D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)【答案】 A【解析】 由题意知2a －1－a 3－1＋a <0，即a －12＋a<0，解得－2<a <1.6.(2018·兰州模拟)已知直线l 过点P (1，3)，且与x 轴、y 轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l 的方程是( ) A.3x ＋y －6＝0 B.x ＋3y －10＝0 C.3x －y ＝0D.x －3y ＋8＝0【答案】 A【解析】 设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0).由题意得⎩⎨⎧1a ＋3b ＝1，12ab ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6.故直线l 的方程为x 2＋y6＝1，即3x ＋y －6＝0.【考点聚焦】考点一 直线的倾斜角与斜率【例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)(一题多解)(经典母题)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________.【答案】 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)【解析】 (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2cos α∈[1，3].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]. 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2)法一 设PA 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线PA 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由PA 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3]. 故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 法二 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(－3－k )≤0，即(k －1)(k ＋3)≥0，解得k ≥1或k ≤－ 3.即直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞).【迁移探究1】 若将例1(2)中P (1，0)改为P (－1，0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围. 【答案】见解析【解析】设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0， 即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，3. 【迁移探究2】 若将例1(2)中的B 点坐标改为B (2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围. 【答案】见解析【解析】由例1(2)知直线l 的方程kx －y －k ＝0， ∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(2k ＋1－k )≤0， 即(k －1)(k ＋1)≤0，解得－1≤k ≤1.即直线l 倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 【规律方法】 1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y ＝tan x 在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，π)上并不是单调的.2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为π2时，直线斜率不存在.【训练1】 若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫π6，π3B.⎝⎛⎭⎫π6，π2 C.⎝⎛⎭⎫π3，π2D.⎣⎡⎦⎤π3，π2【答案】 B【解析】 直线y ＝kx －3恒过点(0，－3)，可作两直线的图象，如图所示，从图中可以看出，直线l 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎫π6，π2.考点二 直线方程的求法【例2】 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍； (3)经过点B (3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形. 【答案】见解析【解析】(1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即l 过点(0，0)和(4，1)， 所以l 的方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1，因为l 过点(4，1)，所以4a ＋1a ＝1，所以a ＝5，所以l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0.(2)由已知设直线y ＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. 因为tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－34. 又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3，4)，由点斜式得y －4＝±(x －3). 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0. 【规律方法】1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).【训练2】 (1)求过点A (1，3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A (－5，2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程. 【答案】见解析【解析】(1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1，3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋y a ＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. 考点三 直线方程的综合应用 角度1 与不等式相结合的最值问题【例3－1】 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________. 【答案】 5【解析】 由直线x ＋my ＝0求得定点A (0，0)，直线mx －y －m ＋3＝0，即y －3＝m (x －1)，所以得定点B (1，3).当m ＝0时，两条动直线垂直，当m ≠0时，因为⎝⎛⎭⎫－1m m ＝－1，所以两条动直线也垂直，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，所以|PA |·|PB |的最大值是5. 角度2 由直线方程求参数范围【例3－2】 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________. 【答案】 12【解析】 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2(2－a )＋12×2(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，又0<a <2，所以当a ＝12时，面积最小.【规律方法】 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值. (2)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.【训练3】 如图，在两条互相垂直的道路l 1，l 2的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路l 1的垂直距离为4米，到道路l 2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为________米.【答案】 10【解析】 如图建立平面直角坐标系，设人行道所在直线方程为y －4＝k (x －3)(k <0)，所以A ⎝⎛⎭⎫3－4k ，0，B (0，4－3k )，所以△ABO 的面积S ＝12(4－3k )⎝⎛⎭⎫3－4k ＝12⎝⎛⎭⎫24－9k －16k ，因为k <0， 所以－9k －16k≥2（－9k ）⎝⎛⎭⎫－16k ＝24，当且仅当－9k ＝－16k ，即k ＝－43时取等号.此时，A (6，0)，B (0，8)，所以人行道的长度为62＋82＝10米.【反思与感悟】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况. 【易错防范】 倾斜角和斜率的范围(1)倾斜角是一种特殊规定的角，其范围是[0，π)，千万不要与其他角混淆，有些时候要依据图形而定. (2)斜率范围与倾斜角范围的转化，此时要结合y ＝tan x 在⎣⎡⎭⎫0，π2和⎝⎛⎭⎫π2，π上的变化规律. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题1.直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】 D【解析】 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6. 2.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 2 【答案】 D【解析】 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2.3.(2019·北京延庆区模拟)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A.1±2或0 B.2－52或0C.2±52D.2＋52或0【答案】 A【解析】 由题意知k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1±2.4.(2019·福建六校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )【答案】 B【解析】 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0，结合选项知B 符合，其他均不符合.5.已知直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)两点(m ∈R )，那么直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π【答案】 B【解析】 直线l 的斜率k ＝1－m 22－1＝1－m 2，因为m ∈R ，所以k ∈(－∞，1]，所以直线的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π. 6.已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A.y ＝3x ＋2B.y ＝3x －2C.y ＝3x ＋12D.y ＝－3x ＋2 【答案】 A【解析】 因为直线x －2y －4＝0的斜率为12，所以直线l 在y 轴上的截距为2，所以直线l 的方程为y ＝3x ＋2.7.直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) C.(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞D.(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 【答案】 D【解析】 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1－2k，则－3<1－2k <3，解得k >12或k <－1. 8.已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4【答案】 D【解析】 由f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x 知，函数f (x )的图象关于x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，所以a ＝－b ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝a b ＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为3π4. 二、填空题9.已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________.【答案】 x ＋13y ＋5＝0【解析】 BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0. 10.过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________.【答案】 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0【解析】 若直线过原点，则k ＝－43， 所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0. 若直线不过原点，设直线方程为x a ＋y a＝1， 即x ＋y ＝a ，则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0.11.若经过两点A (4，2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角是直线4x －3y ＋2 019＝0的倾斜角的一半，则y 的值为________.【答案】 －32【解析】 因为直线4x －3y ＋2 019＝0的斜率为43，所以由倾斜角的定义可知直线4x －3y ＋2 019＝0的倾斜角α满足tan α＝43，因为α∈[0，π)，所以α2∈⎣⎡⎭⎫0，π2，所以2tan α21－tan 2 α2＝43，解得tan α2＝12，由已知及倾斜角与斜率的关系得2y ＋1＋34－2＝12，所以y ＝－32. 12.设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________.【答案】 [－2，2]【解析】 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值.所以b 的取值范围是[－2，2].【能力提升题组】(建议用时：20分钟)13.(2019·天津和平区调研)若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( )A.－12B.－12或－2C.12或2 D.－2【答案】 D 【解析】 因为sin θ＋cos θ＝55，① 所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝15， 所以2sin θcos θ＝－45，所以(sin θ－cos θ)2＝95， 易知sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝355，② 由①②解得⎩⎨⎧sin θ＝255，cos θ＝－55， 所以tan θ＝－2，即l 的斜率为－2.14.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n （n ＋1）(n ∈N *)，其前n 项和S n ＝910，则直线x n ＋1＋y n＝1与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.36B.45C.50D.55 【答案】 B【解析】 由a n ＝1n （n ＋1）可知a n ＝1n －1n ＋1， 所以S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 又知S n ＝910，所以1－1n ＋1＝910，所以n ＝9. 所以直线方程为x 10＋y 9＝1，且与坐标轴的交点为(10，0)和(0，9)，所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45. 15.已知直线l 过点P (2，－1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b ，则直线l 的方程为________.【答案】 x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0【解析】 若a ＝3b ＝0，则直线过原点(0，0)，此时直线斜率k ＝－12，直线方程为x ＋2y ＝0. 若a ＝3b ≠0，设直线方程为x a ＋y b＝1， 即x 3b ＋y b＝1. 由于点P (2，－1)在直线上，所以b ＝－13. 从而直线方程为－x －3y ＝1，即x ＋3y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0.16.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ).(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.【答案】见解析【解析】(1)证明 直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1. ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2，1).(2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0； 当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞).(3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0，1＋2k ). 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12， ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
2015年高考数学第一轮复习课件：8.1直线与方程
一个关系
三个防范
直线的倾斜角 与斜率的关系：斜 率 k 是一个实数， 当 倾 斜 角 α≠90° 时，k＝tan α.直线 都有斜倾角，但并 不是每条直线都存 在斜率，倾斜角为 90°的直线无斜率， 如(1)错．
一是根据斜率求倾斜角，要 注意倾斜角的范围，如(2)；
轴_正__向_与直线 l_向__上_方向之间所成的角α叫做直线 l 的倾斜角；
②规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_0_； ③范围：直线的倾斜角α的取值范围是__[0_,_π_) ___. (2)直线的斜率 ①定义：当直线 l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值 tan α 叫做这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母 k 表示，即 k＝__ta_n_α_； ②斜率公式：经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线
第十七页，编辑于星期五：十一点 五十分。
经典题目再现
► (2012·湖北)过点 P(1,1)的直线，将圆形区域 【教你审题 】
{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的 弄 清 楚过 圆内 一点 截
面积之差最大，则该直线的方程为( )． 得的弦长最短、最长时
A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0
的斜率
k2＝2，
由点斜式得直线 DE 的方程为 y－2＝2(x－0)，即 2x－y＋2＝0.
第十三页，编辑于星期五：十一点 五十分。
直线方程的综合应用
考 点
例 3 已知直线 l 过点 P(3,2)，且与 x 轴、y 轴的正半 轴分别交于 A、B 两点，如右图所示，求△ABO 的 面积的最小值及此时直线 l 的方程．
∴l 若
a的≠方0，程则为设y＝l 的23x方，程即为2xxa－＋3ayy＝＝10，.
高三数学一轮复习 第8章 第1课时 直线及其方程课件 文
在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数 k＝tan α的单调
性．
当 α 取值在0，2π内，由 0 增大到π2α≠π2时，k 由 0 增大到＋∞；当 α 取 值在π2，π，由2πα≠π2增大到 π(α≠π)时，k 由－∞趋近于 0.解决此类问
D.0，π3
考点突破 题型透析
考点一 直线的倾斜角与斜率
选 D.利用数形结合思想及圆的几何性质求解． 法一：如图，过点 P 作圆的切线 PA，PB，切点为 A，B.由题意知|OP|＝2，
OA＝1，则 sin α＝21，所以 α＝30°，∠BPA＝60°.故直线 l 的倾斜角的
考点一 直线的倾斜角与斜率
1．若直线 l：y＝kx－ 3与直线 2x＋3y－6＝0 的交点位于第一象限，则直
线 l 的倾斜角的取值范围是( )
π
A.
6
，π3
π
B.
6
，π2
π
C.
3
，π2
π
D.
3
，π2
考点突破 题型透析
考点一 直线的倾斜角与斜率
考点突破 题型透析
考点一 直线的倾斜角与斜率
{注意点}
直线的倾斜角的范围不是 k＝tan α的单调区间
(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意的直线都存在斜率．
(2)直线的倾斜角 α 和斜率 k 之间的对应
α 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180°
k0
k＞0
不存在
k＜0Leabharlann 点突破 题型透析高三总复习.数学（文）
第八章 平面解析几何 第1课时 直线及其方程
2015年高考数学一轮复习热点难点精讲精析：8.1直线与方程
张喜林制[选取日期]2015年高考一轮复习热点难点精讲精析：8.1直线与方程一、直线的倾斜角与斜率 （一）直线的倾斜角 ※相关链接※2．已知斜率k 的范围，求倾斜角α的范围时，若k 为正数，则α的范围为(0,)2π的子集，且k=tan α为增函数；若k 为负数，则α的范围为(,)2ππ的子集，且k=tan α为增函数。
若k 的范围有正有负，则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。
※例题解析※〖例〗已知直线的斜率k=-cos α(α∈R ).求直线的倾斜角β的取值范围。
思路解析：cos α的范围→斜率k 的范围→tan β的范围→倾斜角β的取值范围。
解答：1cos 1,1cos 1.11,1tan 1,30,443[0,],.44k ααβππββπππβπ-≤≤∴-≤-≤-≤≤∴-≤≤∴≤≤≤≤⎡⎫∴⎪⎢⎣⎭即或倾斜角的范围为 （二）直线的斜率及应用 ※相关链接※ 1、斜率公式：2121y y k x x -=-与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中前后次序相同；2、求斜率的一般方法：（1）已知直线上两点，根据斜率公式 212121()y y k x x x x -=≠-求斜率；（2）已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率； 3、利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
注：斜率变化分成两段，090是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。
※例题解析※〖例〗设,,a b c 是互不相等的三个实数，如果333(,)(,)(,)A a a B b b C c c 、、在同一直线上，求证：0a b c ++=思路解析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在。
解答：332233222222,,,.,()()0.,0.AB AC AB AC a b c A a b a ab b a b a c a ac c a cA B C a ac c a ac c b c a b c b c a b c ∴-==++--==++-∴=++=++-++=≠∴++=互不相等，过、B 、C 任两点的直线的斜率均存在。
高三数学第一轮复习第8编1直线的方程课件新人教B版
(2)斜率：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线 的斜率，即k= tanα .倾斜角是90°的直线没有斜率.
(3)斜率公式：经过两点P1（x1,y1）,P2(x2,y2)(x1≠x2)
y2 -y1
的直线的斜率公式k= x 2 - x 1 .
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4.直线的方程
(1)点斜式： y-y0=k(x-x0) 且斜率为k的直线.
()
π
A.[0, 4 )
π 3
C.( 2 , 4 ]
ππ
B.[ 4 , 2 ]
D.[
3 4
,π)
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【分析】由导数求出y′的范围，由于k=y′，故k的范 围可求，从而可转化为α的范围.
4
【解析】∵y= e x 1 ,∴y′=
4ex
e x
.
1
2
令ex+1=t，则ex=t-1且t>1,∴y′=
，
y1 + y2
y0=
2
(中点坐标公式).
3.倾斜角与斜率
(1)倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为 基准，x轴正向与 直线l向上方向之间所成的角 叫做
直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，我们规定 它的倾斜角为 0° .因此,直线的倾斜角α的取值范围 为 ［0°,180°) .
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【解析】 （1）因为直线BC经过B(2,1)和C(-2,3) 两点，由两点式得BC的方程为 y-1 x2 ，即x+2y-
3-1 22
4=0.
(2)设BC中点D的坐标(x,y)，则
x= 2 2 =0，y=
2
1 2
3
=2.
BC边的中线AD过A(-3,0),D(0,2）两点，由截距式得
高三数学第一轮知识点：直线与方程
高三数学第一轮知识点：直线与方程第1篇：高三数学第一轮知识点：直线与方程导语：直线与方程就是直线的方程，在几何问题的研究中，我们常常直接依据几何图形中点，直线，平面间的关系研究几何图形的*质。
以下是小编整理高三数学第一轮知识点的资料，欢迎阅读参考。
(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0180(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。
即。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当时，。
当时，;当时，不存在。
②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90(2)k与p1、p2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
(3)直线方程①点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：()直线两点，④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴未完，继续阅读 >第2篇：高三数学一轮直线与方程的知识点一、直线与方程(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0180(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。
即。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当时，。
当时，;当时，不存在。
②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90(2)k与p1、p2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
高考数学一轮复习 第8章《解析几何》直线的方程精品课件
令y=0,得x=3- 2 ;令x=0,得y=2-3k.
k
由已知3-
2 k
=2-3k,解得k=-1或k=
2 3
,
∴直线l的方程为:
2
y-2=-(x-3)或y-2= 3 (x-3),
即x+y-5=0或2x-3y=0.
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1
3
(2)设所求直线的斜率为k,依题意k=- 4 ×3=- 4 .
又直线经过点A(-1,-3),
【解析】设直线的倾斜角为θ，则tanθ=-
又α∈〔 π , π ) ,∴0<cosα≤ , 3
62
2
∴- 3≤- c2 osα＜0.
3
3
即- 3 ≤tanθ＜0,注意到0≤θ＜π,
3
∴ 5 π ≤θ＜π.
6
故应选B.
c2osα.
3
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【评析】（1）求一个角的范围，是先求这个角某一个 函数值的范围，再确定角的范围.
2
=- 3
(m-5)2+
18
050 3
3m (0≤m≤30).
∴当m=5时,S有最大值,这时
|EP| 30-5
=
=5:1.
|PF| 5
∴当草坪矩形的两边在BC,CD上,一个顶点在线段EF上,
且这个顶点分EF成5:1时,草坪面积最大.
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【评析】用解析法解决实际问题,就是在实际问题 中建立直角坐标系,用坐标表示点,用方程表示曲线,从而 把问题转化为代数问题,利用代数的方法使问题得到解 决.
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＊对应演练＊
过点P(2,1)作直线l分别与x,y轴正半轴交于A，B两点. （1）当△AOB面积最小时，求直线l的方程； （2）当|OA|+|OB|取最小值时，求直线l的方程； （3）当|PA|·|PB|取最小值为
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第8章 §8.1 直线的方程
方法一 由本例方法一知 A2－1k，0，B(0,1－2k)(k＜0). 所以|MA|·|MB|＝ k12＋1· 4＋4k2 ＝2×1＋|k|k2＝2－k＋－1k≥4. 当且仅当－k＝－1k， 即k＝－1时取等号.
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
方法二 由本例方法二知 A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，2a＋1b＝1. 所以|MA|·|MB|＝|M→A|·|M→B| ＝－M→A·M→B ＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，
所以3(x＋4)－2(y－3)＝0， 故直线 l 的方程为 y－3＝32(x＋4).
题型三 直线方程的综合应用
例3 已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A， B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.
方法一 设直线l的方程为
倾斜角为θ＋45°， 故 kOA＝tan(θ－45°)＝1t＋antθa－n θttaann4455°°＝21－ ＋12＝13， kOC＝tan(θ＋45°)＝1t－antθa＋n θttaann4455°°＝21＋ －12＝－3.
题型二 求直线的方程
例2 求符合下列条件的直线方程： (1)直线过点 A(－1，－3)，且斜率为－14；
k>0
90° 不存在
90°<α<180° k<0
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线； 遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.
常用结论
2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也 可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况 是否满足题意. 3.直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A).
人教版高中数学高考一轮复习--直线的倾斜角与斜率、直线的方程(课件)
即√3x-y+6=0.
解题心得1.求直线方程时,应结合所给条件选择适当的直线方程情势,并注
意各种情势的适用条件.
2.若采用截距式,则应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,则
应先考虑斜率不存在的情况.
对点训练2
π
1
值范围为
1
,√3
3
.
如图,∵点 P(-1,0),A(2,1),B(0,√3),
1-0
∴kAP=
2-(-1)
∴直线 l
=
1
√3-0
,kBP=
3
0-(-1)
= √3.
1
的斜率的取值范围为[ , √3].
3
解题心得1.由直线倾斜角的取值范围求直线斜率的取值范围或由直线斜
率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时,常借助正切函数y=tan x在区间
2± 5
C.
2
∵平面内三点 A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,
2 +
∴kAB=kAC,即
2-1
=
3 +
,即
3-1
a(a2-2a-1)=0,解得 a=0 或 a=1±√2.故选 A.
(2)已知点A(-2,-3)和点B(-1,0)是平面直角坐标系中的定点,直线y=kx+1与
线段AB始终相交,则实数k的取值范围是( A )
(1)已知直线 l 的倾斜角为 θ,且过点(√3,1),若 sin - 2 = 2,则直线 l 的方程
为( B )
A.√3x-y-2=0
C.x-√3y=0
因为 sin
2025高考数学一轮复习-8.1-直线的方程【课件】
y2－y1
其斜率 k＝ x2－x1 .
提醒：直线的倾斜角 α 和斜率 k 之间的对应关系
α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k0
k>0
不存在
k<0
当直线 l 的倾斜角 α∈0，π2时，α 越大，直线 l 的斜率越大；当 α∈π2，π时，α 越大， 直线 l 的斜率也越大．
4．直线方程的五种形式
0°. (2)范围：直线 l 倾斜角的范围是 [0°，180°) ．
3．直线的斜率公式 (1)定义：把一条直线的倾斜角 α 的
正切值 叫做这条直线的斜率，常用小写
字母 k 表示，即 k＝ tanα (α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式：如果直线经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，则
考点三 直线方程的综合应用 角度 1：直线过定点问题 【例 2】 设直线 2x＋(k－3)y－2k＋6＝0 过定点 P，则点 P 的坐标为( B ) A．(3,0) B．(0,2) C．(0,3) D．(2,0)
【解析】 直线方程可化为 2x－3y＋6＋k(y－2)＝0，当 y＝2 时，x＝0，所以直线过 定点(0,2)．故选 B.
3．在△ABC 中，已知 A(5，－2)，B(7,3)，且 AC 的中点 M 在 y 轴上，BC 的中点 N 在 x 轴上，则直线 MN 的方程为____5_x_－__2_y_－__5_＝__0_______．
【解析】 设 C(x0，y0)，则 Mx0＋2 5，y0－2 2，Nx0＋2 7，y0＋2 3. 因为点 M 在 y 轴上，所以x0＋2 5＝0，解得 x0＝－5.因为点 N 在 x 轴上，所以y0＋2 3＝0， 解得 y0＝－3.所以 M0，－52，N(1,0)，所以直线 MN 的方程为1x＋－y52＝1，即 5x－2y－5 ＝0.
一轮复习课时训练§8.1：直线与方程
第八章§1：直线与方程(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间40钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB|的值为A ．6B ． 2C ．2D ．不能确定2．已知等差数列{a n }中，a 2＝2，S 4＝10，则过点P(3，a 3)，Q(4，a 4)的直线的方程为A ．y ＝x ＋3B ．y ＝－x ＋4C ．y ＝xD ．y ＝－x3．下列四个命题中属真命题的是A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k(x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程 (y －y1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示 D ．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示4．已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的关系如图所示，则A ．b>0，d<0，a<cB ．b>0，d<0，a>cC ．b<0，d>0，a>cD ．b<0，d>0，a<c5．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为A ．13B ．－13C ．－32D ．23二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．P(－1,3)在直线l 上的射影为Q(1，－1)，则直线l 的方程为________________．7．若点A(1,2)，B(a,0)，C(0，b)(a>0，b>0)共线，则a ＋b 的最小值为______．8．若直线l经过点P(a－2，－1)和Q(－a－2,1)且与斜率为3的直线垂直，则直线l的方程为____________．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）△ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：(1)BC所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程．10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知三点A(5，－1)、B(1,1)、C(2，m)，分别求满足下列条件的m值．(1)若三点构成直角三角形ABC；(2)若A、B、C三点共线．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：由题意得k AB ＝b －a 5－4＝1， 即b －a ＝1，所以|AB|＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2.答案：B2．解析：设{a n }的公差为d ，则a 1＋d ＝2,4a 1＋6d ＝10，∴a 1＝d ＝1，∴a 3＝3，a 4＝4，则P(3,3)，Q(4,4)，则PQ 直线为y ＝x.答案：C3．解析：由直线方程各种形式的使用范围知A 、C 、D 三项错误；而实质上方程 (y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)是过点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的一般式方程．答案：B4．解析：由题中图象可知－1a >－1c >0，－b a<0， －d c>0，从而c<a<0，b<0，d>0. 答案：C5．解析：由直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，可设P(x 1，1)，Q(7，y 1)，再由线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，可得x 1＝－5，y 1＝－3.即直线l 上有两点P(－5,1)，Q(7，－3)，代入斜率公式可解得直线l 的斜率为k ＝1＋3－5－7＝－13.故选B 项． 答案：B 二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：由题意可知，直线l 的斜率k ＝－－1－13＋1＝12，则所求直线方程为 y －(－1)＝12(x －1)，即x －2y －3＝0. 答案：x －2y －3＝07．解析：由三点共线得－b a ＝21－a ，∴1a ＋2b ＝1，a ＋b ＝(a ＋b)(1a ＋2b )＝3＋b a ＋2a b≥3＋2 2.当且仅当a ＝1＋2，b ＝2＋2时取等号．答案：3＋2 28．解析：由已知直线l 的斜率为k l ＝1－(－1)(－a －2)－(a －2)＝－1a ＝－13，∴a ＝3. ∴点P(1，－1)，Q(－5,1)，∴l 的直线方程为y ＋1＝－13(x －1)，即x ＋3y ＋2＝0. 答案：x ＋3y ＋2＝0三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)因为直线BC 经过B(2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2， 即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 中点D 的坐标为(x ，y)，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2. BC 边的中线AD 过点A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y 2＝1，即2x －3y ＋6＝0. 10.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)若角A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7； 若角B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即－12·m －12－1＝－1，得m ＝3； 若角C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋1－3·m －12－1＝－1，得m ＝±2， 综上可知，m ＝－7，或m ＝3，或m ＝±2.(2)方法一：∵A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，∴k AB ＝－1－15－1＝－12，k AC ＝－1－m 5－2＝－1＋m 3，由k AB ＝k AC ，得－12＝－1＋m 3，即m ＝12. ∴当m ＝12时，三点A 、B 、C 共线． 方法二：∵A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，∴AB →＝(－4,2)，AC →＝(－3，m ＋1)，由AB →＝λAC →，得⎩⎪⎨⎪⎧－4＝－3λ2＝λ(m ＋1)，得λ＝43，m ＝12， ∴当m ＝12时，三点A 、B 、C 共线． 法三：∵A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，∴|AB|＝25，|BC|＝m 2－2m ＋2，|AC|＝m 2＋2m ＋10.结合图形，由|BC|＋|AC|＝|AB|， 即m 2－2m ＋2＋m 2＋2m ＋10＝25，m 2＋2m ＋10＝－m 2－2m ＋2＋25，两边平方，得5·m 2－2m ＋2＝3－m ，两边平方，得4m 2－4m ＋1＝0，∴m ＝12，经验证m ＝12符合题意， 故m ＝12时，三点A 、B 、C 共线． 法四：点A(5，－1)与B(1,1)确定的直线方程为x ＋2y －3＝0，将C(2，m)的坐标代入得m ＝12， 故m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．。
2016届高三数学一轮复习课件：8.1直线的方程
取值范围为
.
【解析】 直线 l 的斜率 k＝m m2 1 ＝1－m2 ≤1. 1 2
若 l 的倾斜角为α，则 tan α≤1.
又∵α∈［0，π)，∴α∈[0， ]∪( ，π). 42
【答案】[0， ]∪( ，π). 42
10/5/22002211
第十二页，编辑于星期五：二十点 十一分。
4.若直线 l 过点 P（2，3），且直线的方向向量n (1, 3)， 4
10/55//22002211
第十九页，编辑于星期五：二十点 十一分。
根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为 10 ；
10
(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为 5； (4)过点 A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0 相交于 B 点，且 |AB|＝5.
10/5/22002211
第八章 解析几何
8.1 直线的方程 8.2 两直线的位置关系 8.3 圆的方程 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
8.5 椭圆
8.6 双曲线 8.7 抛物线 8.8 直线与圆锥曲线的位置关系
第一页，编辑于星期五：二十点 十一分。
知识点
考纲下载
直线的倾斜角 与斜率
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜 率的计算公式. 2.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
若点 P1、P2 的坐标分别为（x1，y1）、（x2,y2），且线
x1 x2 x ___2____
段 P1P2 的中点 M 的坐标为（x,y），则 y1 y2 ，
y ___2____
此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式.
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第八章：平面解析几何 §8.1：直线与方程
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