北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学理试题

东城区普通校2012-2013学年第一学期联考试卷
高三 数学（理科）
命题校：125中 2012年12月 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120
分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．选出符合题目要求的一项填在机读卡上．
1. 若集合{}
0A x x =≥，且A
B B =，则集合B 可能是（ ）
A ．{}1,2
B ．{}
1x x ≤ C ．{}1,0,1- D ．R 2. 复数1
1i
+在复平面上对应的点的坐标是（ ）
A ．），（11
B ．）
，（11- C ．）（1,1-- D ．）（1,1- 3. 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖ B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖
C ．,,m n m n αα若则‖‖‖
D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖
4. 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ）， 则该棱锥的体积是（ ）
A ．
3
4
B ．8
C ．4
D ．3
8
正视图 侧视图
俯视图
5．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ，则目标函数x y z 32-=的最大值为（ ）
A ．3-
B ．2
C ．4
D ．5
6．已知数列}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=⋅a a ，则101a a +的值为（ ）
A ．7
B ．5-
C ．5
D ．7-
7． 已知函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，)()(x f x g -=，若)1()(lg g x g >，则x 的
取值范围是（ ） A ．),10(+∞ B ．)10,101
(
C ．)10,0(
D ．),10()10
1
,0(+∞
8．设1F 、2F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存
在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双 曲线的渐近线方程为（ ） A ．340x y ±= B ．350x y ±= C ．540x y ±=
D ．430x y ±=
第Ⅱ卷(非选择题，共110分)
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知5
3
sin =
α，且α为第二象限角，则αtan 的值为 . 10．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．若λ为实数，()λ+a b ∥c ，则
λ的值为 .
11．椭圆22
192
x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，12F PF ∠ 的小大为 . 12．若曲线2
1
232-+=
x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，则切点坐标 为 ，切线方程为 .
13. 若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的
是 . (写出所有正确命题的编号)． ①1ab ≤； ②2a b +≤； ③ 222a b +≥；
④3
3
3a b +≥； ⑤
11
2a b
+≥
P
D
B
A
C
E
14. 已知函数2
)1ln()(x x a x f -+=在区间)1,0(内任取两个实数q p ,，且q p ≠，
不等式
1)
1()1(>-+-+q
p q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围为 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知：在ABC ∆中, a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且角C 为锐角，
1
cos 24
C =-
（Ⅰ）求C sin 的值；
（Ⅱ）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 及c 的长．
16．（本小题满分13分）
已知：函数()sin()(0,||)2
f x M x M π
ωϕϕ=+><
的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求 函 数()f x 的 解 析 式；
（Ⅱ）在△ABC 中，角C B A 、、的 对 边 分 别
是c b a 、、，若(2)cos cos ,()2
A a c
B b
C f -=求 的 取 值 范 围．
17．（本小题满分13分）
已知：如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为正方形，ABCD PA 面⊥，
且2==AB PA ，E 为PD 中点．
（Ⅰ）证明：PB //平面AEC ； （Ⅱ）证明：平面⊥PCD 平面PAD ；
（Ⅲ）求二面角D AC E --的正弦值． 18．（本小题满分
13分）
已知：数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n a S n n -=2，)(*
N n ∈.
（Ⅰ）求：1a ，2a 的值； （Ⅱ）求：数列{}n a 的通项公式；
（Ⅲ）若数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足n n na b =)(*
N n ∈，求数列{}n b 的
前n 项和n T .
19．（本小题满分14分） 已知：函数)1ln(2
1)(2
x ax x x f +--
=，其中R a ∈. （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围. 20．（本小题满分14分）
已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为6
3，椭圆短轴的一个端点与两个焦
点构成的三角形的面积为52
3
.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. ①若线段AB 中点的
横坐标为12-，求斜率k 的值；②若点7
(,0)3
M -，求证：MA MB ⋅为定值.
东城区普通校2012-2013学年第一学期联考试卷答题纸
高三 数学（理科）
命题校：125中 2012年12月
第Ⅰ卷
请将1至8题的答案填涂在答题卡（即机读卡）相应的位置上.
第Ⅱ卷
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15．解：
16．解：
班级 姓名 学号
P
D
B A
C
E
17．解：
18．解：
19.解：
20.解：
东城区普通校2012-2013学年第一学期联考答案
高三数学（理科）
参考答案
（以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分）
一.选择题
1. A
2. D
3. B
4. A
5. C
6. D
7. B
8. D 二.填空题 9．4
3
-
10． 21 11． 120
12．（1，2），24-=x y 13．①③⑤ 14．),15[+∞
15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin 2C=14-
，及2
0π
<<C 所以sinC=
10
4
. ………………………… 4分 （Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理
a c
sin A sin C
=
，得c=4 ………7分 由cos2C=2cos 2C-1=14-
，及2
0π
<<C 得 cosC=
6
4
………………………9分 由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC ，得
b 2－6b-12=0 …………………… 12分 解得 b=26 ……………………13分
16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由图像知1=M ，)(x f 的最小正周期ππ
π=-=)6
125(4T ，故2=ω …… 2分 将点)1,6
(
π代入)(x f 的解析式得1)3
sin(
=+ϕπ
，又2
||πϕ<
故6πϕ=
所以)6
2sin()(π
+
=x x f ……………… 5分
（Ⅱ）由C b B c a cos cos )2(=-得C B B C A cos sin cos )sin sin 2=- 所以A C B B A sin )sin(cos sin 2=+=……………………8分
O
E
C
A
B D
P
P
D
B
A
C
E
因为0sin ≠A 所以21cos =B 3π=B 3
2π=+C A ………………9分 )6sin()2(π+=A A f 320π<<A 6566πππ<+<A ……………………11分
1)6
sin()2(21≤+=<π
A A f ……………………13分
17．（本小题满分13分）
解： （Ⅰ）
证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO ． ……………………1分
O 为BD 中点，E 为PD 中点，
∴EO//PB ． ……………………2分
EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， ……………………3分
∴ PB//平面AEC ． （Ⅱ） 证明：
PA ⊥平面ABCD ．
⊂CD 平面ABCD ，
∴CD PA ⊥． ……………………4分 又 在正方形ABCD 中AD CD ⊥且A AD PA =⋂， ……………………5分 ∴CD ⊥平面PAD ． ……………………6分 又 ⊂CD 平面PCD ，
z y
x
E
C
A
B
D
P
∴平面⊥PCD 平面PAD ． ……………………7分 （Ⅲ）如图，以A 为坐标原点，AP AD AB ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空
间直角坐标系． ………8分
由PA=AB=2可知A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别为
A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0),
D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) ． ……………9分
PA ⊥平面ABCD ，∴AP 是平面ABCD 的法向量，AP =（0, 0, 2）．
设平面AEC 的法向量为),,(z y x n =, )0,2,2(AC 1),,1,0(AE ==,
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.
0,0AC n AE n 即⎩⎨⎧=++=++.0022,00y x z y ∴ ⎩
⎨⎧-=-=.,y x y z
∴ 令1-=y ,则)1,1,1(-=n . ………………11分 ∴3
13
22|
|||,cos =
⨯=
⋅⋅>=
<n AP n AP n AP , …………………12分
二面角D AC E --的正弦值为3
6
…………………13分
解：（Ⅰ）
n
a S n n -=2
令1=n ，解得11=a ；令2=n ，解得32=a ……………2分 （Ⅱ）
n
a S n n -=2
所以)1(211--=--n a S n n ，（*
,2N n n ∈≥）
两式相减得121+=-n n a a ……………4分 所以)1(211+=+-n n a a ，（*
,2N n n ∈≥） ……………5分 又因为211=+a
所以数列{}1+n a 是首项为2，公比为2的等比数列 ……………6分
所以n n a 21=+，即通项公式12-=n n a （*
N n ∈） ……………7分
（Ⅲ）n n na b =，所以n n n b n
n n -⋅=-=2)12(
所以)2()323()222()121(321n n T n
n -⋅++-⋅+-⋅+-⋅=
)321()2232221(321n n T n
n ++++-⋅++⋅+⋅+⋅= ……9分 令n
n n S 2232221321⋅++⋅+⋅+⋅= ① 1
3222)1(22212+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n S ②
①－②得
1
32122222+⋅-++++=-n n n n S
122
1)
21(2+⋅---=
-n n n n S ……………11分 11
2)1(22
)21(2++⋅-+=⋅+-=n n n n n n S ……………12分 所以2
)
1(2
)1(21
+-
⋅-+=+n n n T n n ……13分
（Ⅰ）解：(1)(),(1,)1
x a ax f x x x --'=
∈-+∞+. 依题意，令(2)0f '=，解得 1
3a =.
经检验，1
3
a =时，符合题意. ……4分
（Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1
x
f x x '=+.
故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. …………………5分
② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或21
1x a
=-.
当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：
x
1(1,)x - 1x 12(,)x x 2x 2(,)x +∞
()f x '
-
+
+
()f x
↘
1()f x
↗
2()f x
↘
所以，()f x 的单调增区间是1(0,
1)a -；单调减区间是)0,1(-和1
(1,)a
-+∞. 当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-.
当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：
x
2(1,)x - 2x 21(,)x x 1x 1(,)x +∞
()f x ' -
+
+
()f x
↘
2()f x
↗
1()f x
↘
所以，()f x 的单调增区间是1(1,0)a
-；单调减区间是1
(1,
1)a
--和(0,)+∞. ③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. 综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-；
当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是)0,1(-和1
(1,)a
-+∞；
当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-；
当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1
(1,1)a
--和(0,)+∞.
……11分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意. 当10<<a 时，)(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a
-，
由1(1)(0)0f f a
->=，知不合题意.
当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，
可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意.
所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞. …………14分
20．（本题满分14分）
解：（Ⅰ）因为22221(0)x y a b a b
+=>>满足222
a b c =+， 63c a =，…………2分
152223b c ⨯⨯=。

解得2255,3
a b ==，则椭圆方程为
221553
x y += ……………4分 （Ⅱ）（1）将(1)y k x =+代入
22
155
3
x y +=中得 2222(13)6350k x k x k +++-=……………………………………………………6分 4222364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>
2
122631
k x x k +=-+………………………………………… …………………7分
因为AB 中点的横坐标为1
2
-，所以2261312k k -=-+，解得33k =±…………9分
（2）由（1）知2122631k x x k +=-+，212235
31k x x k -=+
所以112212127777
(,)(,)()()3333
MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++ ……………11分
2121277
()()(1)(1)33
x x k x x =+++++
2221212749
(1)()()39k x x k x x k =++++++………………………………………12分
2
222
2
22357649(1)()()313319
k k k k k k k -=+++-+++
+。