北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学理试题

东城区普通校2012-2013学年第一学期联考试卷高三 数学（理科）命题校：125中 2012年12月 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．选出符合题目要求的一项填在机读卡上．1. 若集合{}0A x x =≥，且AB B =，则集合B 可能是（ ）A ．{}1,2B ．{}1x x ≤ C ．{}1,0,1- D ．R 2. 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是（ ）A ．），（11B ．），（11- C ．）（1,1-- D ．）（1,1- 3. 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖ B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖4. 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ）， 则该棱锥的体积是（ ）A ．34B ．8C ．4D ．38正视图 侧视图俯视图5．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ，则目标函数x y z 32-=的最大值为（ ）A ．3-B ．2C ．4D ．56．已知数列}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=⋅a a ，则101a a +的值为（ ）A ．7B ．5-C ．5D ．7-7． 已知函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，)()(x f x g -=，若)1()(lg g x g >，则x 的取值范围是（ ） A ．),10(+∞ B ．)10,101(C ．)10,0(D ．),10()101,0(+∞8．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双 曲线的渐近线方程为（ ） A ．340x y ±= B ．350x y ±= C ．540x y ±=D ．430x y ±=第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知53sin =α，且α为第二象限角，则αtan 的值为 . 10．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．若λ为实数，()λ+a b ∥c ，则λ的值为 .11．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，12F PF ∠ 的小大为 . 12．若曲线21232-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，则切点坐标 为 ，切线方程为 .13. 若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 . (写出所有正确命题的编号)． ①1ab ≤； ②2a b +≤； ③ 222a b +≥；④333a b +≥； ⑤112a b+≥PDBACE14. 已知函数2)1ln()(x x a x f -+=在区间)1,0(内任取两个实数q p ,，且q p ≠，不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知：在ABC ∆中, a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且角C 为锐角，1cos 24C =-（Ⅰ）求C sin 的值；（Ⅱ）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 及c 的长．16．（本小题满分13分）已知：函数()sin()(0,||)2f x M x M πωϕϕ=+><的部分图象如图所示．（Ⅰ）求 函 数()f x 的 解 析 式；（Ⅱ）在△ABC 中，角C B A 、、的 对 边 分 别是c b a 、、，若(2)cos cos ,()2A a cB bC f -=求 的 取 值 范 围．17．（本小题满分13分）已知：如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为正方形，ABCD PA 面⊥，且2==AB PA ，E 为PD 中点．（Ⅰ）证明：PB //平面AEC ； （Ⅱ）证明：平面⊥PCD 平面PAD ；（Ⅲ）求二面角D AC E --的正弦值． 18．（本小题满分13分）已知：数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n a S n n -=2，)(*N n ∈.（Ⅰ）求：1a ，2a 的值； （Ⅱ）求：数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足n n na b =)(*N n ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．（本小题满分14分） 已知：函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中R a ∈. （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围. 20．（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为63，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为523.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. ①若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值；②若点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅为定值.东城区普通校2012-2013学年第一学期联考试卷答题纸高三 数学（理科）命题校：125中 2012年12月第Ⅰ卷请将1至8题的答案填涂在答题卡（即机读卡）相应的位置上.第Ⅱ卷9. 10.11. 12.13. 14.15．解：16．解：班级 姓名 学号PDB ACE17．解：18．解：19.解：20.解：东城区普通校2012-2013学年第一学期联考答案高三数学（理科）参考答案（以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分）一.选择题1. A2. D3. B4. A5. C6. D7. B8. D 二.填空题 9．43-10． 21 11． 12012．（1，2），24-=x y 13．①③⑤ 14．),15[+∞15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin 2C=14-，及20π<<C 所以sinC=104. ………………………… 4分 （Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理a csin A sin C=，得c=4 ………7分 由cos2C=2cos 2C-1=14-，及20π<<C 得 cosC=64………………………9分 由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC ，得b 2－6b-12=0 …………………… 12分 解得 b=26 ……………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由图像知1=M ，)(x f 的最小正周期πππ=-=)6125(4T ，故2=ω …… 2分 将点)1,6(π代入)(x f 的解析式得1)3sin(=+ϕπ，又2||πϕ<故6πϕ=所以)62sin()(π+=x x f ……………… 5分（Ⅱ）由C b B c a cos cos )2(=-得C B B C A cos sin cos )sin sin 2=- 所以A C B B A sin )sin(cos sin 2=+=……………………8分OECAB DPPDBACE因为0sin ≠A 所以21cos =B 3π=B 32π=+C A ………………9分 )6sin()2(π+=A A f 320π<<A 6566πππ<+<A ……………………11分1)6sin()2(21≤+=<πA A f ……………………13分17．（本小题满分13分）解： （Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO ． ……………………1分O 为BD 中点，E 为PD 中点，∴EO//PB ． ……………………2分EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， ……………………3分∴ PB//平面AEC ． （Ⅱ） 证明：PA ⊥平面ABCD ．⊂CD 平面ABCD ，∴CD PA ⊥． ……………………4分 又 在正方形ABCD 中AD CD ⊥且A AD PA =⋂， ……………………5分 ∴CD ⊥平面PAD ． ……………………6分 又 ⊂CD 平面PCD ，z yxECABDP∴平面⊥PCD 平面PAD ． ……………………7分 （Ⅲ）如图，以A 为坐标原点，AP AD AB ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． ………8分由PA=AB=2可知A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别为A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0),D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) ． ……………9分PA ⊥平面ABCD ，∴AP 是平面ABCD 的法向量，AP =（0, 0, 2）．设平面AEC 的法向量为),,(z y x n =, )0,2,2(AC 1),,1,0(AE ==,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0AC n AE n 即⎩⎨⎧=++=++.0022,00y x z y ∴ ⎩⎨⎧-=-=.,y x y z∴ 令1-=y ,则)1,1,1(-=n . ………………11分 ∴31322||||,cos =⨯=⋅⋅>=<n AP n AP n AP , …………………12分二面角D AC E --的正弦值为36…………………13分解：（Ⅰ）na S n n -=2令1=n ，解得11=a ；令2=n ，解得32=a ……………2分 （Ⅱ）na S n n -=2所以)1(211--=--n a S n n ，（*,2N n n ∈≥）两式相减得121+=-n n a a ……………4分 所以)1(211+=+-n n a a ，（*,2N n n ∈≥） ……………5分 又因为211=+a所以数列{}1+n a 是首项为2，公比为2的等比数列 ……………6分所以n n a 21=+，即通项公式12-=n n a （*N n ∈） ……………7分（Ⅲ）n n na b =，所以n n n b nn n -⋅=-=2)12(所以)2()323()222()121(321n n T nn -⋅++-⋅+-⋅+-⋅=)321()2232221(321n n T nn ++++-⋅++⋅+⋅+⋅= ……9分 令nn n S 2232221321⋅++⋅+⋅+⋅= ① 13222)1(22212+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n S ②①－②得132122222+⋅-++++=-n n n n S1221)21(2+⋅---=-n n n n S ……………11分 112)1(22)21(2++⋅-+=⋅+-=n n n n n n S ……………12分 所以2)1(2)1(21+-⋅-+=+n n n T n n ……13分（Ⅰ）解：(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+. 依题意，令(2)0f '=，解得 13a =.经检验，13a =时，符合题意. ……4分（Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1xf x x '=+.故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. …………………5分② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-.当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：x1(1,)x - 1x 12(,)x x 2x 2(,)x +∞()f x '-++()f x↘1()f x↗2()f x↘所以，()f x 的单调增区间是1(0,1)a -；单调减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞. 当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-.当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：x2(1,)x - 2x 21(,)x x 1x 1(,)x +∞()f x ' -++()f x↘2()f x↗1()f x↘所以，()f x 的单调增区间是1(1,0)a-；单调减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞. ③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. 综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-；当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞；当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞.……11分（Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意. 当10<<a 时，)(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-，由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意.当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意.所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞. …………14分20．（本题满分14分）解：（Ⅰ）因为22221(0)x y a b a b+=>>满足222a b c =+， 63c a =，…………2分152223b c ⨯⨯=。