(整理)数学定积分知识总结

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考研定积分知识点总结

一、定积分的定义和性质1. 定积分的概念定积分是微积分学中的重要概念，它是对函数在一个区间上的积分值进行求解的操作。

具体来说，如果函数f(x)在区间[a,b]上是连续的，则我们可以通过定积分的形式来求解函数f(x)在区间[a,b]上的积分值，即∫(a to b) f(x)dx。

这里，∫表示积分符号，a和b分别表示区间的起点和终点，f(x)表示要求解的函数，dx表示积分变量，并代表着在区间[a,b]上x的变化范围。

因此，定积分的求解可以看做是对函数在一个区间上的积分值进行求解的过程。

2. 定积分的性质定积分具有一系列的性质，这些性质在定积分的求解中起着重要的作用。

主要的性质包括线性性、可加性、积性、保号性、保序性等。

具体来说，线性性指的是定积分的线性组合仍然可以进行积分求解；可加性指的是如果一个区间可以分解成若干个子区间，那么对应的积分值也可以进行求和；积性指的是如果一个函数是另一个函数的乘积，那么对应的积分值也可以进行相乘；保号性指的是如果函数在区间上恒大于等于零（小于等于零），那么对应的积分值也恒大于等于零（小于等于零）；保序性指的是如果函数在区间上恒大于等于另一个函数（小于等于另一个函数），那么对应的积分值也恒大于等于（小于等于）另一个函数在相同区间上的积分值。

这些性质在定积分的具体求解中是非常有用的，可以帮助我们简化求解的过程，提高计算的效率。

二、定积分的计算1. 定积分的计算方法定积分的计算方法主要包括定积分的定义法、不定积分法、分部积分法、换元积分法和定积分的几何意义。

其中，定积分的定义法是直接根据定积分的定义进行求解；不定积分法是将定积分转化成不定积分，通过求解不定积分再将得到的结果代入原来的定积分式中，从而得到最终的定积分值；分部积分法是将被积函数进行分解，然后利用分部积分公式对各项进行积分求解；换元积分法是通过变量代换的方法将被积函数进行转化，然后再进行积分求解；定积分的几何意义则是利用定积分代表曲线下面积的特性来进行求解。

数学定积分知识总结

定积分1. 概念: 定积分源自于求曲边梯形的面积, 它的计算形式为:01()lim ()nbk k a k f x dx f x λξ→==∆∑⎰, 结果是一个数值, 其值的大小取决于两个因素（被积函数与积分限）．2. 几何意义: 是曲线[](),y f x a b =介于之间与x 轴所围的面积的代数和;3. 经济意义: 若()f x 是某经济量关于x 的变化率（边际问题）, 则()ba f x dx ⎰是x 在区间[],ab 中的该经济总量．4. 性质: 本章共列了定积分的八条性质, 其中以下几条在计算定积分中经常用到.（1）()()baabf x dx f x dx =-⎰⎰;（2）[]()()()()b bbaaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰;（3）()()bbaakf x dx k f x dx =⎰⎰; （4）()()()bcbaac f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰;（5）00()2()aaaf x f x dx f x dx f x -⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰为奇函数时（）（）为偶函数时.1．公式: 若()f x 在[],a b 上连续, ()F x 是()f x 的一个原函数, 则()()()baf x dx F b F a =-⎰.2．换元法: 若()f x 在[],a b 连续, ()x t ϕ=在[],c d 上有连续的导数'()t ϕ, 且()t ϕ单调, 则有()()(())'()bdx t acf x dxf t t dt ϕϕϕ=⋅⎰⎰．3. 分部积分法: 若()u x 与()v x 在[],a b 上有连续的导数, 则有()()()()()()bbaabu x dv x u x v x v x du x a =⋅-⎰⎰.1.=⎰__42a π_____； 2. 定积分112121x e dx x⎰ = ___e e -_____；3. 若广义积分2011k dx x +∞=+⎰ ，其中k 为常数，则k = __π2_____；4. 定积分1321sin x xdx -=⎰__0____ ； 5.1211xdx x -=+⎰___0___； 6. 30(sin )xt t dt '=⎰__3sin x x _____ ；7. 广义积分211dx x +∞=⎰__1_____ ； 8. ()bad f x dx dx =⎰ __0______； 9. 设 )(x f 在 [,]a b 上连续，则()()bbaaf x dx f t dt -=⎰⎰ __0_____ ；10. 若函数 )(x f 在 [,]a b 上连续，)(x h 可导，则()()h x ad f t dt dx=⎰_)()]([x h x h f '⋅_____ ；11. 当 =x _0___ 时，⎰-=xt dt te x F 02)( 有极值；12. 设 0()xt f x te dt =⎰ ，则 (0)f ''= __1_______ ；13. 若2kxedx +∞-=⎰ ，则 k = ___21_______ ；14.21(ln )edx x x +∞=⎰_1_______ ； 15. 2131x x e dx -=⎰__0_________ ；二1.arctan xxdx =⎰ ( B )(A)1112-+x(B) 21arctan ln(1)2x x x -+ (C) 1112++x (D) 211x + 2. 下列积分可直接使用牛顿─莱不尼兹公式的有 ( A )(A)53201x dx x +⎰(B)1-⎰ (C)4322(5)xdx x -⎰ (D)11ln eedx x x ⎰ 3. 设 )(x f 为连续函数，则()xaf t dt ⎰为 ( C )(A) ()f t 的一个原函数 (B) ()f t 的所有原函数 (C) )(x f 的一个原函数 (D) )(x f 的所有原函数4.11()()22xf t dt f x =-⎰，且 (0)1f =，则 ()f x = ( A ) (A) 2x e (B)12x e (C) 2x e (D) 212x e 5.1211dx x -=⎰ ( D ) (A) -2 (B) 2 (C) 0 (D) 发散三、1．求下列各函数的导数:（1）211()1xF x dt t =+⎰解：.1111)(212x dt t dx d x F x +=+='⎰ （2）02()cos xF x t tdt =⋅⎰ 求'()F π解：.cos )('.cos cos )cos (cos )(222020202ππππ-===-=-=='⎰⎰⎰F x x tdt t dx d tdt t dx d tdt t dx d x F x x x （3）22()1tx xte F x dt t =+⎰解：⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+++=+=x tx t x t x t x x t dt tte dx d dt t te dx d dt t te dt t te dx d dt t te dx d x F 020********)11(1)('222 2223222221)(121)()(122x xe x e x x xe x dx d x e x xx x x +-+=+-⋅+= 2．求下列各极限: （1）203sin limxx tdt x →⎰解：).(3lim 3sin lim )()sin (limsin lim312202203020320上代换倒数第二步用等价无穷===''=→→→→⎰⎰xx x x x tdt xtdt x x xx xx （2）02(2)limxt t x e e dtx-→+-⎰解：.02lim )2()2(lim 22lim )())2((lim)2(lim0002002=-=''-+=-+=''-+=-+-→-→-→-→-→⎰⎰xx x x x x x x x xt t x xt t x e e x e e x e e x dt e e xdte e 3．求下列各定积分:（1）1(1)x dx -⎰10221|)(x x -= （2）120(3)x x dx +⎰103313ln 1|)3(x x+=（3）20cos 2xdx π⎰2021|2sin πx = （4）1310x e dx -⎰=10331103|)(x x e e dx e e =⎰ （5）212x dx -⎰⎰⎰+-=-200122xdx xdx （6）0cos x dx π⎰⎰⎰-=πππ22cos cos 0xdx xdx（7）2adx ⎰a ax x a ax dx x x a a 0221340|)()2(2321+-=+-=⎰（8）21201x dx x +⎰⎰+-=102)111(dx x （9）4⎰ 解：令t =x 2,则d t =2x d x ,当t =0时,x =0;当t =4时,x =2.于是.|))1ln((2)111(2121120202040x x dx x dx x x dt t +-=+-=+=+⎰⎰⎰（10）20ax ⎰解：令x =a sin t ,则d x =a cos t d t ,当x =0时,t =0;当x =a 时,t =2π.于是.|)4sin ()4cos 1(24cos 1)2(sin )2sin ()cos (sin cos sin cos sin sin 16041880402402214242242222202224242424242222πππππππππa a a a a at t dt t dt tdt t dt t a dtt t a tdt t a tdta t a a t a dx x a x =-=-=-=====⋅-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（11）101dx x+⎰解：令x =t 2,则d x =2t d t ,当x =0时,t =0;当x =1时,t =1.于是).1(2|)arctan (2)111(212211410102102210210π-=-=+-=+=⋅+=+⎰⎰⎰⎰t t dt tdtt t tdt t tdx x x（12）21dx x⎰解：令x =sec t ,则d x =tan t sect t d t ,当x =1时,t =0;当x =2时,t =3π.于是.|)(tan )1(sec tan sec tan sec 1sec 133330121212212ππππt t dt t tdt tdtt tt dx xx -=-==⋅-=-⎰⎰⎰⎰（13）2210x e dx -⎰20122121221|)12(--=-=⎰x x e x d e （14）0cos3xdx π⎰ππ031031|3sin )3(3cos x x xd ==⎰（15）20cos 2xdx π⎰ππ0210)sin (2cos 1x x dx x +=+=⎰ （16）212ln e xdx x+⎰=⎰⎰+=2200ln 2e e dx x x dx x22220221000|)(ln |ln 2)(ln ln 12e e e e x x x xd dx x +=+=⎰⎰. （17）210x xe dx ⎰101221|22x x e dx e ==⎰（18）120x ⎰⎰-=133311dx x.|)1()1()1(110394103331133312321x x d x dx x --=---=-=⎰⎰（19）1201x xe dx e +⎰ .|)arctan()(1110102x x x e de e =+=⎰ （20）12⎰⎰-=2121)(arcsin )(arcsin 2x d x2121|)(arcsin 331-=x四、解答题1．求0()(4)xF x t t dt =-⎰在区间[]1,5-上的最大值与最小值;解:)4()(-='x x x F ,令0)(='x F ,得x =0,x =4.由此可得在),4[]0,(+∞-∞ 上F(x)单调增加,在[0,4]单调减少. 由此可知,在[-1,5]中,F(x)在x =0处取极大值,极大值为F(0)=0;在x =4处取极小值,极小值为F(4)=.|)2()4()4(332402331424-=-=-=-⎰⎰t t dt t t dt t t又F(-1)=.|)2()4()4(371023311240-=-=-=---⎰⎰t t dt t t dt t tF(5)=.|)2()4()4(325502331525-=-=-=-⎰⎰t t dt t t dt t t故在[-1,5]上的最大值为F(0)=0,最小值为F(4)=.332- 2．设20()(1)xf t dt x x =+⎰, 求(0),'(0)f f ;解:两边求导得26)(,23)1(2))1(()(222+='+=++='+=x x f x x x x x x x x f ,故.2)0(,0)0(='=f f。

定积分的知识点总结

定积分的知识点总结一、定积分的基本概念定积分是微积分学中的重要概念，可以用来计算曲线下的面积，曲线的弧长，质心等物理量。

定积分的基本思想是将曲线下的面积划分为无穷多个微小的矩形，然后求和得到整体的面积。

定积分的符号表示为∫。

对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b]f(x)dx其中，a和b为区间的端点，f(x)为函数在该区间上的取值。

定积分表示在区间[a, b]上的函数f(x)所确定的曲线下的面积。

二、定积分的计算方法1. 黎曼和定积分的计算基本思想是将曲线下的面积划分为很多个小矩形，然后对这些小矩形的面积求和。

这就是定积分的计算方法。

在实际计算中，根据黎曼和的定义，我们可以将区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，然后在每个小区间上取一个样本点xi，计算f(xi)Δx的和：∑[i=1,n]f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，这个和就可以逼近定积分的值。

这就是黎曼和的基本思想。

2. 定积分的几何意义定积分可以用来计算曲线下的面积，也可以用来计算曲线的弧长。

对于一个函数f(x)，其在区间[a, b]上的定积分表示的是曲线y=f(x)和x轴之间的面积。

这个面积就是曲线下的面积。

如果函数f(x)在区间[a, b]上非负且连续，那么函数y=f(x)、直线x=a、x=b以及x轴所围成的区域的面积就是∫[a, b]f(x)dx。

3. 定积分的物理意义定积分还可以用来计算物理量，比如质量、质心等。

在物理学中，可以用定积分来计算物体的质量、质心等物理量。

对于一个连续的物体，将其质量密度函数表示为ρ(x)，则物体的质量可以表示为定积分：M=∫[a, b]ρ(x)dx三、定积分的性质1. 线性性定积分具有线性性质，即∫[a, b](c1f1(x)+c2f2(x))dx=c1∫[a, b]f1(x)dx+c2∫[a, b]f2(x)dx。

其中c1、c2为常数，f1(x)、f2(x)为函数。

定积分的计算知识点总结

定积分的计算知识点总结一、定积分的定义。

1. 概念。

- 设函数y = f(x)在区间[a,b]上连续，用分点a=x_0将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δ x=(b - a)/(n)。

在每个小区间[x_i - 1,x_i]上取一点ξ_i(i =1,2,·s,n)，作和式S_n=∑_i = 1^nf(ξ_i)Δ x。

当nto∞时，如果S_n的极限存在，则称这个极限为函数y = f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫_a^bf(x)dx，即∫_a^bf(x)dx=limlimits_n→∞∑_i = 1^nf(ξ_i)Δ x。

- 这里a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式。

2. 几何意义。

- 当f(x)≥slant0时，∫_a^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x 轴所围成的曲边梯形的面积。

- 当f(x)≤slant0时，∫_a^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x 轴所围成的曲边梯形面积的相反数。

- 当f(x)在[a,b]上有正有负时，∫_a^bf(x)dx表示位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积。

二、定积分的基本性质。

1. 线性性质。

- ∫_a^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dx = k_1∫_a^bf(x)dx + k_2∫_a^bg(x)dx，其中k_1,k_2为常数。

2. 区间可加性。

- ∫_a^bf(x)dx=∫_a^cf(x)dx+∫_c^bf(x)dx，其中a < c < b。

3. 比较性质。

- 如果在区间[a,b]上f(x)≥slant g(x)，那么∫_a^bf(x)dx≥slant∫_a^bg(x)dx。

- 特别地，<=ft∫_a^bf(x)dxright≤slant∫_a^b<=ftf(x)rightdx。

定积分知识点总结专科

定积分知识点总结专科一、定积分的基本概念1. 定积分的引入定积分是对曲线下面积的求解方法。

在平面直角坐标系中，给定曲线的函数关系y=f(x)，我们希望计算在区间[a, b]上曲线与x轴之间的面积。

为了简化计算，我们将区间[a, b]分成无穷小的小区间，然后计算每个小区间中与x轴之间的面积，再把所有小区间的面积相加起来，就得到了曲线在区间[a, b]上的面积。

这种方法就是定积分的基本思想。

2. 定积分的定义设函数y=f(x)在区间[a, b]上有定义，且区间[a, b]上的分割为[a=x0, x1, x2, ..., xn-1, xn=b]，则对应的小区间为[x0, x1], [x1, x2], ..., [xn-1, xn]，每个小区间的长度为Δxi=xi-xi-1。

在每个小区间上取任意点ξi，用函数值f(ξi)乘以小区间长度Δxi，再把所有小区间的面积相加，得到Σf(ξi)Δxi。

当Δxi→0时，如果极限存在，就称曲线在区间[a, b]上的面积为定积分，用符号∫abf(x)dx表示，即∫abf(x)dx=lim⁡(Δxi→0)Σf(ξi)Δxi。

其中f(x)是被积函数，x是积分变量，a、b是积分上下限，ξi是小区间[i-1, i]上的任意点。

3. 定积分的几何意义定积分的几何意义是曲线与x轴之间的面积，例如，对于非负函数y=f(x)在区间[a, b]上的定积分∫abf(x)dx表示曲线y=f(x)与x轴以及直线x=a、x=b所包围的平面图形的面积。

4. 定积分的物理意义定积分的物理意义通常是表示物体的质量、体积或者其它物理量，例如，对于密度为ρ(x)的连续介质在区间[a, b]上的定积分∫abρ(x)dx表示介质在区间[a, b]上的质量。

5. 定积分的符号定积分的符号是∫，这个符号来源于拉丁字母"summa"的缩写，表示对函数在一定区间内的求和。

6. 定积分的性质- 定积分的存在性只有当函数y=f(x)在区间[a, b]上是有界的（即不是无穷大）时，定积分才有意义。

(完整版)定积分知识点汇总

(完整版)定积分知识点汇总定积分是高中数学教学的重点难点之一，也是高数的基础知识。

我们通过汇总定积分的相关知识点，帮助同学们更好地掌握定积分的相关知识，以便在考试中取得好的成绩。

一、定积分的定义定积分是对函数在一定区间上的积分，也就是函数在此区间上的面积。

1. 定积分与区间的选取无关，即如果函数在 $[a,b]$ 上是可积的，则定积分$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$ 的值是唯一的。

2. 定积分具有可加性，即对于任意的 $c \in [a,b]$，有 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \int_a^c f(x) \mathrm{d}x + \int_c^b f(x) \mathrm{d}x$。

三、定积分的求解方法1. 函数曲线与坐标轴相交的情况：对于函数曲线与 $x$ 轴相交的区间，可以根据定义式直接求出该区间内的面积。

对于函数曲线与 $y$ 轴相交的区间，则要将积分区间平移后，再根据定义式计算面积。

2. 利用基本积分法和牛顿-莱布尼茨公式：可以利用基本积分法求出一个函数的原函数，然后利用牛顿-莱布尼茨公式，即$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a)$，其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。

3. 利用换元积分法：换元积分法是利用一些特殊的代换，将积分式转化为某些基本形式的积分。

常见的代换包括：$u=g(x), x=h(u)$ 和 $\mathrm{d}u = f(x) \mathrm{d}x$。

分部积分法是将原积分式做一个变形，转化成两个积分乘积的形式，从而更容易求解。

5. 利用定积分的对称性：如积分区间对于 $0$ 对称，或者函数具有四象限对称性等，可以根据对称性减少计算量。

1. 几何应用：用定积分可以求解函数曲线与坐标轴围成的图形的面积、体积和质心等几何特征。

利用定积分可以求解质点运动的速度、加速度、位移和质量等物理量。

定积分知识点总结等价

定积分知识点总结等价在本文中，我们将对定积分的基本概念、性质和求解方法进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和运用定积分。

一、定积分的基本概念定积分可以看作是一个区间上面积的度量，它描述了函数在一定区间上的总体变化情况。

在数学上，定积分可以理解为函数在指定区间内的面积或者是曲线的弧长，在物理上可以表示为质量、能量、熵等的总量。

1.1 定积分的定义设f(x)在区间[a, b]上有定义，且[a, b]是有限闭区间，将[a, b]上的分割记作Δ，记Δ的任一分点为x0, x1, ..., xn，对应的区间为[x0, x1], [x1, x2], ..., [xn-1, xn]。

则对应的分割Δ表示为：Δ = {x0, x1, ..., xn}Δ的长度记作δxi = xi - xi-1，假设Δ长度的最大值为δ = max{δxi}。

我们将区间[a, b]分成n个小区间，当n趋于无穷大时，（也就是每个小区间的长度趋于0），则这个过程称为区间[a, b]的分割，也称之为区间[a, b]的划分。

对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，可以用如下的极限形式定义：∫（a->b）f(x)dx = lim（Δ->0）Σ（i=1->n）f(xi*)δxi其中，xi*是区间[xi-1, xi]上的任意一点。

1.2 定积分的几何意义定积分的几何意义是非常直观的，它表示了曲线与坐标轴以及两条直线之间的面积。

当函数f(x)在区间[a, b]上是非负的时候，定积分表示了曲线y=f(x)与x轴以及直线x=a, x=b之间的面积。

当函数f(x)在区间[a, b]上是有正有负的时候，定积分表示了曲线y=f(x)与x轴之间的面积，其中函数f(x)在区间[a, b]上的正值与负值部分面积互相抵消，最终得到曲线与x轴之间的面积。

1.3 定积分的物理意义在物理上，定积分可以用来描述某一物理量在一定的时间或空间范围内的总量。

例如，对于质量密度为ρ(x)的一根杆在区间[a, b]上的质量总量可以表示为：m = ∫（a->b）ρ(x)dx这里ρ(x)dx表示了杆上长度为dx的小段的质量。

定积分知识点和例题

定积分知识点和例题
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的极限。

定积分的概念起源于求图形面积和其他实际应用的问题。

下面我将列举一些定积分的知识点和例题：
知识点：
1. 定积分的定义：定积分是积分和的极限，即对一个给定区间[a,b]上的函数f(x)和任意分割法，求各小区间上函数值的点乘积和的极限。

如果存在一个常数I，对于任意给定的正数ε，总存在一个δ>0，使得当|ΔSi|<δ时，对区间[a,b]的任意分割法，和Si与I的差的绝对值都小于ε，则称I为f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫abf(x)dx，其中a、b和I分别为定积分的下限、上限和值。

2. 定积分的几何意义：定积分的值等于由曲线y=f(x)与直线x=a、x=b 以及x轴所围成的曲边梯形的面积。

3. 定积分的性质：定积分的性质包括线性性质、积分中值定理、积分上限函数与被积函数的联系等。

4. 定积分的计算方法：主要包括基本初等函数的积分公式和不定积分的性质及计算方法，如换元法、分部积分法等。

例题：
1. 计算定积分∫10(x^2+1)dx的值。

2. 计算定积分∫π20(sinx+cosx)dx的值。

3. 计算定积分∫10|x-1|dx的值。

4. 计算定积分∫10x^2dx的值。

5. 计算定积分∫21(1/x)dx的值。

定积分知识总结(总9页)

定积分知识总结(总9页)1. 定积分的定义定积分是数学中的一个概念，它表示将一个函数沿着一条给定的路径积累起来的总和。

在数学上，定积分是描述函数在一定区间上的面积、体积、虚功等概念的一种工具。

（1）可加性：若f(x)在[a,b]、[b,c]上可积，则：∫(a,c)f(x)dx=∫(a,b)f(x)dx+∫(b,c)f(x)dx∫(a,b)f(x)dx≥03. 函数可积的充分条件Riemann可积的充分条件有：（1）区间[a,b]上f(x)存在上下积分，且上下积分相等；（2）对任意ϵ>0，可找到划分P及加细之后的划分P1，使得S(P1,f)-s(P1,f)<ϵ，其中S(P1,f)表示P1的上和式，s(P1,f)表示P1的下和式。

4. 定积分的计算方法定积分可以通过换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼茨公式等数学方法进行计算。

（1）求曲线下面的面积；（2）求曲线绕x轴或y轴旋转的体积；（3）求物理问题中的虚功；（4）求平均值、方差等统计量。

6. 常用定积分公式$\int x^ndx={x^{n+1}}/{n+1}+C$$\int\sin xdx=-\cos x+C$7. 例题（1）计算定积分: $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx$解：$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx=\left . -\cos x \right |\begin{matrix} 0\\\frac{\pi}{2} \end{matrix} =1$8. 求导与积分的对应关系如果函数f(x)在区间[a,b]上可导，则：$\int_{a}^{b}f'(x)dx = f(b)-f(a)$微积分是数学的一个分支，其中包括微分和积分两个部分。

微积分对象是函数的导数和原函数。

定积分是微积分中的积分部分，用于计算函数在一定区间内的积累量。

因此，微积分中的求导和积分是密不可分的，两者相辅相成，是微积分学中的核心概念。

高中数学知识点归纳定积分基础知识

高中数学知识点归纳定积分基础知识高中数学的定积分是数学中非常重要的一个概念，它是微积分的核心内容之一。

在学习定积分的过程中，我们需要了解一些基础知识，本文将对高中数学中定积分的基础知识进行归纳总结。

一、定积分的概念定积分是积分学中重要的概念之一，它可以看作是函数在一个区间上的加权平均。

定积分的定义是：设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，将[a,b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，然后在每个小区间上取一点ξ_i，构成一个积分和S_n，当n趋向于无穷大时，若极限存在且与ξ_i的选法无关，则称该极限为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫(a,b)f(x)dx。

二、定积分的计算方法在计算定积分时，可以使用不同的方法，具体的计算方法如下：1. 几何意义法：根据定积分的几何意义，可以将定积分看作是曲线与坐标轴所围成的面积。

根据几何图形的性质，可以求得定积分的值。

2. 定积分的性质法：根据定积分的性质，可以利用一些性质对定积分进行化简。

比如定积分的线性性质、区间可加性等。

3. 换元法：对于一些较复杂的函数，可以通过变量代换的方法将其化简为简单的形式，然后进行定积分的计算。

4. 分部积分法：对于一些乘积形式的函数，可以通过分部积分的方法将其化简为简单的形式，然后进行定积分的计算。

5. 积分表法：对于一些常见的函数，可以通过积分表中的公式直接进行定积分的计算。

三、定积分的应用领域定积分在数学中有广泛的应用领域，具体包括以下几个方面：1. 几何应用：定积分可以用来计算曲线与坐标轴所围成的面积、曲线的弧长、曲线的平均值等。

2. 物理应用：在物理学中，定积分可以用来求解物体在一定时间内的位移、速度、加速度等。

3. 统计学应用：在统计学中，定积分可以用来计算概率密度函数下的概率、求解统计分布的期望值等。

4. 经济应用：在经济学中，定积分可以用来计算收入曲线下的总收入、成本曲线下的总成本等。

总结：高中数学中的定积分是微积分学习的重要内容，通过学习定积分的基础知识，我们可以更好地理解和应用定积分。

高数定积分知识点总结

高数定积分知识点总结一、定积分的定义定积分是微积分中的一个重要概念，它是对一个函数在一个区间上的积分结果进行计算的过程。

在数学上，定积分是用来计算曲线下面的面积或者函数在某一区间上的平均值的方法。

定积分可以写成以下形式：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx \]其中，$ f(x) $是被积函数，$ a $和$ b $是积分区间的端点。

定积分的计算过程就是求解被积函数在给定区间上的曲线下面的面积。

定积分在物理学、工程学和经济学等领域都有着广泛的应用，是微积分中不可或缺的重要工具。

二、定积分的性质1. 定积分的可加性如果函数$ f(x) $在区间$[a, b]$上是可积的，那么对于任意的$ c $满足$ a \leq c \leq b $，都有：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx \]这个性质表明了定积分的可加性，即在一个区间上进行积分的结果可以根据任意划分点$ c $进行分割。

2. 定积分的线性性对于任意的实数$ \alpha, \beta $和函数$ f(x), g(x) $，如果$ f(x), g(x) $在区间$[a, b]$上是可积的，那么有：\[ \int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x))dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)dx \]这个性质表明了定积分的线性性，即在一个区间上进行线性组合的函数的积分等于线性组合的函数的积分的线性组合。

3. 定积分的保号性如果在区间$[a, b]$上有$ f(x) \geq 0 $，那么有：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx \geq 0 \]这个性质表明了定积分的保号性，即当被积函数在一个区间上非负时，其积分结果也是非负的。

定积分知识点总结大一

定积分知识点总结大一定积分知识点总结定积分是微积分中的重要概念，它在数学、物理等各个领域中具有广泛的应用。

在大学一年级的学习中，我们需要掌握定积分的基本性质、计算方法和应用等方面的知识。

本文将对定积分的相关知识点进行总结和介绍。

一、定积分的基本性质1. 定积分的定义：设函数f(x)在区间[a, b]上有界，将[a, b]划分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，任取xi*在第i个小区间中值，如果极限存在且与划分方式无关，那么该极限值称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫(a到b)f(x)dx。

2. 定积分的几何意义：定积分表示曲线f(x)和x轴之间的有向面积。

3. 定积分的性质：a. 线性性质：∫(a到b)[k*f(x)+g(x)]dx = k*∫(a到b)f(x)dx + ∫(a 到b)g(x)dx，其中k为常数。

b. 区间可加性：∫(a到b)f(x)dx = ∫(a到c)f(x)dx + ∫(c到b)f(x)dx，对于[a, c, b]上的任意点c成立。

c. 保号性：若对于[a, b]上的任意点x，有f(x) ≥ 0，则∫(a到b)f(x)dx ≥ 0。

d. 平均值定理：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则存在ξ∈(a, b)，使得∫(a到b)f(x)dx = f(ξ)(b-a)。

e. 积分中值定理：若函数f(x)在区间[a, b]上连续且非负，则存在ξ∈(a, b)，使得∫(a到b)f(x)dx = f(ξ)(b-a)，其中ξ为[a, b]上的某点。

二、定积分的计算方法1. 利用基本积分表：根据不同的函数形式，可以利用基本积分表中给出的积分公式快速计算定积分。

2. 分部积分法：将不定积分中的积分符号拆分成被积分函数和微分函数两部分，并运用分部积分公式进行计算。

3. 换元积分法：通过变量代换，将被积函数转化为简化形式的积分，然后进行计算。

4. 几何意义法：利用定积分的几何意义，可以通过几何图形的面积或曲线的长度等来计算定积分。

定积分知识点总结高中

定积分知识点总结高中一、定积分的概念定积分是微积分中的重要概念之一，它是对一个区间上函数的积分进行求解的一种方法。

在数学上，定积分可以用来求解曲线与坐标轴所围成的图形的面积、求解物体的质量、求解物体的质心和求解函数的平均值等。

二、定积分的符号表示定积分的符号表示为∫abf(x)dx，其中∫表示积分的意思，a和b分别表示积分的区间，f(x)表示被积函数，而dx表示自变量。

三、定积分的基本性质1. 定积分的区间可以是一个闭区间也可以是一个开区间。

2. 定积分的积分域是一段区间上的一个函数。

3. 定积分的值只与积分的上限和下限以及积分函数的具体形式有关，与被积函数在区间上函数值的具体大小无关。

四、定积分的计算方法1. 定积分的计算方法有多种，其中最常用的方法有两种：换元积分法和分部积分法。

2. 换元积分法是将定积分中的自变量进行替换，从而使积分的形式更容易计算。

3. 分部积分法是将被积函数进行分解，从而使积分的形式更容易计算。

五、定积分的应用1. 定积分可以用来求解曲线与坐标轴所围成的图形的面积。

这是定积分最基本的应用之一。

2. 定积分可以用来求解物体的质量。

例如，如果我们知道一个物体的密度分布函数，在定积分的帮助下可以求解出物体的总质量。

3. 定积分可以用来求解物体的质心。

通过定积分可以计算出物体在某一方向上的平均位置。

4. 定积分可以用来求解函数的平均值。

通过定积分可以求解被积函数在一段区间上的平均值。

六、定积分的图形表示1. 在定积分的图形表示中，定积分表示的是曲线与坐标轴所围成的图形的面积。

2. 定积分的图形表示与被积函数在指定区间上的图像有关，可以通过被积函数的图像来判断定积分的正负值，从而得到面积的正负值。

七、定积分的应用实例1. 一块形状不规则的地块的面积可以通过定积分来求解。

2. 一根线密度不均匀的杆子的质量可以通过定积分来求解。

3. 一个质点在一段区间内的平均位置可以通过定积分来求解。

第五章-定积分总结

有效沟通，架起家校合作桥梁在家庭教育中，家长与学校之间的沟通是至关重要的。

有效的沟通可以帮助家长了解学校的教育理念和教学情况，帮助学校了解学生在家庭中的情况和需求，从而促进家校合作，共同促进学生的成长和发展。

架起家校合作的桥梁，加强家长与学校之间的沟通，是非常重要的。

有效的沟通需要双方都有一定的意识和技巧。

家长要重视和主动参与学校的家长会、家长学堂等活动，了解学校的教学管理、教师教学进程和教育理念，并与教师和学校管理者建立良好的关系。

学校也要重视家长的参与和意见，主动与家长沟通，了解家庭的情况，尊重家长的选择。

只有双方都重视起家校合作，才能够建立起有效的沟通桥梁。

家长应该了解学校的教学情况，主动了解学生的学习情况。

家长可以通过参加家长会、家长学堂等方式了解学校的教学理念和教学方式，同时关注学生的在校表现、学习习惯等方面的情况。

在了解学校的情况的基础上，家长可以有针对性地对学生进行家庭教育，帮助他们更好地适应学校的教学要求。

也可以对学校进行合理的建议，共同促进学校的发展和改进。

双方应该保持常态化的沟通，建立稳定的合作桥梁。

只有通过不断的沟通和交流，双方才能够建立起稳定的合作关系。

家长应该与学校保持密切的联系，了解学校的最新情况，及时反馈学生在家庭中的情况和需求。

学校也应该与家长保持密切的联系，了解学生的情况和家庭的需求，及时对家长提出的问题进行解决。

通过这种双向的沟通和反馈，才能够建立起稳定的、顺畅的合作桥梁。

有效的家校沟通是架起家校合作桥梁的重要基础。

只有双方都重视和主动参与家校沟通，才能够建立起稳定、顺畅的合作关系，共同促进学生的成长和发展。

希望家长和学校能够共同努力，为孩子们提供更好的教育服务。

定积分知识点总结

定积分知识点总结一、定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是求解曲线下面积的一种方法。

当我们要计算一个曲线在两个点之间的面积时，可以使用定积分来求解。

定积分通常由一个区间上的函数来定义，它表示这个函数在这个区间上的面积。

二、定积分的符号表示定积分通常用符号∫关于x代表积分，下限和上限之间的函数表示要积分的函数，dx表示积分变量。

即∫ab f(x)dx表示在区间[a, b]上的函数f(x)的定积分。

三、定积分的性质1. 线性性质：若f(x)和g(x)是[a, b]上的可积函数，k1和k2是常数，则有∫ab(k1f(x)+k2g(x))dx=k1∫abf(x)dx+k2∫abg(x)dx。

2. 区间可加性：若f(x)在[a, b]和[b, c]上都可积，则有∫ac f(x)dx=∫ab f(x)dx+∫bc f(x)dx。

3. 积分的保号性：若在[a, b]上有f(x)≥0，则∫ab f(x)dx≥0。

4. 积分的单调性：若在[a, b]上有f(x)≥g(x)，则∫ab f(x)dx≥∫ab g(x)dx。

五、定积分的计算方法1. 几何法：通过几何图形的面积来计算定积分，通常使用在能够用几何图形表示的函数上，例如多项式函数。

2. 积分表法：通过积分表中的已知积分公式，来计算定积分，通常用于一些常见函数。

3. 定积分的换元积分法：通过变量替换的方法来进行定积分的计算，通常适用于需要进行一定变量替换后才能计算的函数。

4. 定积分的分部积分法：通过分部积分的方法来进行定积分的计算，通常适用于需要进行一定的分部积分后才能计算的函数。

六、定积分的应用定积分在数学和物理学中有着极其重要的应用，例如计算曲线下面积、求解函数的平均值、求解体积、求解质量、质心和弧长等。

在数学中，定积分是微积分的基础，它还被广泛应用于概率统计、微分方程、傅立叶变换等领域。

在物理学中，定积分被用来求解各种场和力的功、能量、质心等问题。

定积分知识点总结396

定积分知识点总结3961. 定积分的概念定积分是函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的积分，表示为∫[a,b] f(x) dx。

其含义为将区间 [a, b] 划分成 n 个小区间，然后在每个小区间上取一个代表点 xi，利用这些代表点折线逼近函数曲线下方的面积，然后求和，将 n 趋于无穷大时所得到的极限就是定积分。

2. 定积分的性质（1）定积分的可加性：∫[a,b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[a,b] g(x) dx（2）定积分的线性性：∫[a,b] (k·f(x)) dx = k·∫[a,b] f(x) dx（3）定积分的保号性：若在区间 [a, b] 上有f(x) ≥ 0，则∫[a,b] f(x) dx ≥ 0（4）定积分的估值性：若在区间 [a, b] 上有f(x) ≤ g(x)，则∫[a,b] f(x) dx ≤ ∫[a,b] g(x) dx3. 定积分的计算方法（1）定积分的计算基本原则是将区间 [a, b] 分成若干个子区间，然后在每个子区间上取代表点，利用这些代表点折线逼近函数曲线下方的面积，最后求和得到近似解，然后通过极限来求得定积分的真实值。

（2）对于一些简单的函数，可以直接利用积分表求得定积分的解析解。

例如，对于多项式、三角函数、指数函数等常见函数，都可以直接在积分表中查找对应的积分公式进行计算。

4. 定积分的应用定积分在实际生活中有着广泛的应用，常见的应用包括：（1）计算曲线与坐标轴所围成的图形的面积。

这是定积分最基本的应用之一，可以用来计算椭圆、抛物线、双曲线等图形的面积。

（2）计算质心。

利用定积分可以求得图形的质心坐标，对于物体的平衡问题具有重要的意义。

（3）计算弧长。

利用定积分可以求得曲线的弧长，对于工程领域的曲线设计有重要的应用。

（4）计算体积。

利用定积分可以求得旋转曲线所围成的立体的体积，对于工程、物理等领域有着重要的应用。

(完整版)定积分知识点总结,推荐文档

多加了 k 个新分店，则
S( , f ) S( ', f ) S( , f ) k || ||, S( , f ) S( ', f ) S( , f ) k || ||,
这里 M m, M , m 分别为 f 在[a,b]上的上、下确界.
推论 2 设 f(x)在[a,b]上有界. 对于任意两个分割 , ' ，有
定理对于 f(x)在[a,b]上的有界函数，则有
lim S( , f ) I , lim S( , f ) I.
|| ||0
|| ||0
3.函数可积分条件设 f(x)在[a,b]上有界，下列命题等价：
(1)f(x)在[a,b]可积；
(2) I I;
n
(3)对于[a,b]上的任何一个分割
n
n
S ( , f ) M i (xi xi1), S ( , f ) mi (xi xi1)
i 1
i 1
S( , f ) 称为 f(x)相应于分割 π 的达布上和， S( , f ) 称为 f(x)相应于分割 π 的达布下
和
特别地，当 f(x)连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最
原函数，则上述公式化为
b f (x)dx f ( )(b a), (a,b) a
这一类公式称之为积分中值公式，它显示出一个函数的定积分可以通过其自身进行
表达和估算.
上述公式的几何意义可以从面积的意义来考察：设 f(x)是[a,b]上的正值连续函数，则公式左边的面积与右边表达式所代表的举矩形面积相等，而矩形的高 f ( ) 正是 f(x) 在
b
1 定积分中变量替换公式设要计算积分 f (x)dx ，这里 f(x)是在区间[a,b]内连续的.

(整理)定积分笔记.

第三节定积分一、定积分的定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点把区间分成个小区间，各小区间的长度依次为，，在各小区间上任取一点()，作乘积并作为，记，如果不论对怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法，只要当时，和总趋于确定的极限我们称这个极限为函数在区间上的定积记为：二、定积分的性质性质1：性质2：(为常数)性质3：假设，性质4：性质5：在区间上，则性质6：设及分别是函数在区间上的最大值及最小值，则性质7(定积分中值定理)如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一个点，使积分中值公式的几何解释：在区间上至少存在一个点，使得以区间为底边，以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为的一个矩形的面积。

三、微积分的基本公式1．原函数存在定理：如果在上连续，则变上限积分的函数在可导，还是在上的一个原函数。

2．微积分基本公式（牛顿—莱布尼茨公式）如果是连续函数在区间上的一个原函数，则场。

微积分基本公式表明：一个连续函数在区间上的定积分等于它的任意一个原函数在区间上的增量。

求定积分问题转化为求原函数的问题。

第四节定积分的积分方法与无穷区间上的广义积分一、定积分的积分方法1、定积分的换元积分法例1求4⎰.解一2d 1t tt +⎰12(1)d 1t t =-+⎰2(ln 1)t t C =-++=ln 1C++于是440ln(1=-+⎰= 42ln3- .解二设t =，即2(0)x t t =>. 当0x =时,0t =;当 4x = 时，2t =.于是4222002d 12(1)d 2(ln 1)2(2ln 3)11t t t t t t t ==-=-+=-++⎰⎰⎰.一般地，定积分换元法可叙述如下，设()f x 在[,]a b 上连续,而()x x ϕ=满足下列条件：（1）()x x ϕ=在[,]αβ上有连续导数；（2）(),()a b ϕαϕβ==,且当 t 在[,]αβ上变化时,()x t ϕ=的值在[,]a b 上变化，则有换元公式：()d [()]()d b af x x f t t tβαϕϕ'=⎰⎰.例2求ln 0x⎰.解t =，即222ln(1),d d 1tx t x t t =+=+.换积分限：当 0x = 时，0t =, 当 ln2x =时，1t =,于是ln 11220021d 2(1)d 11t x t t t t t =⋅=-++⎰⎰⎰10π2(arctan )22t t =-=-.例3 求24d a ax x ⎰.解设sec x a t =，则 d sec tan d x a t t t =. 换积分限:当x a =时，0t =; 2x a = 时，π3t =,于是π234440tan d sec tan d sec a aa t x a t t t x a t =⎰⎰ =π23201sin cos d t t t a ⎰π2321sin d(sin )t t a =⎰21a =.3π30sin 3t =.例4 求π20d 1sin x I x =+⎰.解一（换元法）令2222d tan ,sin ,d 211x t t t x x t t ===++，所以，当0x =时，0t =；当π2x =时，1t =，于是111220002d 2d 2112(1)1t I t t t t t ===-=++++⎰⎰. 解二（凑微分法）ππ220222d d (sin cos )(tan 1)cos 2222x xI x x x x ==++⎰⎰ππ2202d tan12221(tan 1)tan 122x x x ==-=++⎰.注意:求定积分一定要注意定积分的存在性.2、定积分的分部积分法设()u x ,()v x 在[a,b]上有连续导数，则有d d b bb aaau v uv v u=-⎰⎰.[,]a b该公式称为定积分分部积分公式，使用该公式时要注意，把先积出来得那一部分代上下限求值，余下的部分继续积分.这样做比完全把原函数求出来再代上下限简便一些.例5 求π220cos d x x x⎰.解ππ22220cos d d(sin )x x x x x =⎰⎰ππ22200sin 2sin d x x x x x=-⎰ππ22222000ππ2d(cos )2cos 2cos d 44x x x x x x π=+=+-⎰⎰π2220ππ2sin 244x=-=-.例6 求e 1eln d x x⎰.解e 1e111eeln d ln d ln d x x x x x x=+⎰⎰⎰.因为11e x <<时, ln 0x <,这时ln ln x x =-;x ≥1时,ln x ≥0,这时ln ln x x=.于是e 1e111eeln d ln d ln d x x x x x x=-+⎰⎰⎰分别用分部积分求右端两个积分得11111111e e e e1112ln d ln d ln 1e e e x x x x x x x x -=-+=+=-⎰⎰,e e e111ln d ln 1x x x x x =-=⎰,最后得e 1e2ln d 2e x x =-⎰.二、无穷区间上的广义积分设函数f (x) 在区间[a , )+∞上连续，取b >a ，如果极限lim()bab f x dx→+∞⎰存在，则称此极限为函数f (x) 在无穷区间[ a, )+∞上的广义积分，记作()a f x dx+∞⎰即()af x dx+∞⎰=lim ()ba b f x dx→+∞⎰这时也称广义积分()af x dx+∞⎰收敛。