(整理)数学定积分知识总结
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定积分
1. 概念: 定积分源自于求曲边梯形的面积, 它的
计算形式为:0
1
()l i m ()n
b
k k a
k f x dx f x λξ→==∆∑⎰, 结果是一个数值, 其值的大小取决于两个因素（被积函数与
积分限）．
2. 几何意义: 是曲线[](),y f x a b
=介于之间与x 轴所围的面积的代数和; 3. 经济意义: 若()f x 是某经济量关于x 的变化率（边际问题）, 则()b
a f x dx ⎰是x 在区间[],a
b 中的该
经济总量．
4. 性质: 本章共列了定积分的八条性质, 其中以下几条在计算定积分中经常用到.
（1）()
()b
a
a
b
f x dx f x dx =-⎰⎰; （2）[]()()()()b
b
b
a
a
a
f x
g x d x f x d x
g x d x
±=
±⎰
⎰⎰; （3）()()b b a a
kf x dx k f x dx =⎰⎰; （4）()()()b
c b a
a
c
f x d x f x d x
f x d x
=
+⎰⎰⎰; （5）0
0()2()
a
a
a
f x f x dx f x dx f x -⎧⎪
=⎨⎪⎩⎰⎰为奇函数时（）（）为偶函数时.
1．公式: 若()f x 在[],a b 上连续, ()F x 是()f x 的一个原函数, 则
()()()
b
a
f x d x F b F a =-⎰. 2．换元法: 若()f x 在[],a b 连续, ()x t ϕ=在[],c d 上有连续的导数'()
t ϕ, 且()t ϕ单调, 则有 ()
()(())'()b
d
x t a
c
f x dx
f t t dt ϕϕϕ=⋅⎰
⎰
．
3. 分部积分法: 若()u x 与()v x 在[],a b 上有连续的导数, 则有
()()()()()()b
b
a a
b u x dv x u x v x v x du x a =⋅-⎰⎰. 1.
=⎰
__4
2
a π_____；
2. 定积分1
1
212
1x e dx x
⎰ = ___e e -_____；
3. 若广义积分
20
11k dx x +∞
=+⎰ ， 其中k 为常数，则k = __π2
_____； 4. 定积分
1
3
21
sin x
xdx -=⎰__0____ ；
5.
1
21
1x
dx x -=+⎰___0___； 6. 30
(sin )x
t t dt '=⎰__3sin x x _____ ；
7. 广义积分
21
1
dx x
+∞
=⎰
__1_____ ； 8. ()b
a
d f x dx dx =⎰ __0______；
9. 设 )(x f 在 [,]a b 上连续，则
()()b
b
a
a
f x dx f t dt -=⎰⎰ __0_____ ；
10. 若函数 )(x f 在 [,]a b 上连续，)(x h 可导，则
()
()h x a
d f t dt dx
=⎰
_)()]([x h x h f '⋅_____ ；
11. 当 =x _0___ 时，⎰-=x
t dt te x F 0
2
)( 有极值；
12. 设 0
()x
t f x te dt =⎰ ，则 (0)f ''= __1_______ ；
13. 若
2kx e dx +∞
-=⎰ ，则 k = ___21_______ ； 14.
2
1
(ln )e
dx x x +∞
=⎰
_1_______ ；
15. 2
1
31
x
x e dx -=⎰__0_________ ；
二
1.
arctan x
xdx =⎰ ( B )
(A)
1112
-+x
(B) 21
arctan ln(1)2x x x -+ (C) 1112++x (D) 2
11
x
+ 2. 下列积分可直接使用牛顿─莱不尼兹公式的有 ( A )
(A)53201x dx x +⎰
(B)1-⎰ (C)4
32
2(5)x
dx x -⎰ (D)11ln e
e
dx x x ⎰ 3. 设 )(x f 为连续函数，则
()x
a
f t dt ⎰为 ( C )
(A) ()f t 的一个原函数 (B) ()f t 的所有原函数 (C) )(x f 的一个原函数 (D) )(x f 的所有原函数
4.
11
()()22
x
f t dt f x =
-⎰
，且 (0)1f =，则 ()f x = ( A ) (A) 2
x e (B)
12x e (C) 2x e (D) 21
2
x e 5.
1
21
1
dx x -=⎰ ( D ) (A) -2 (B) 2 (C) 0 (D) 发散
三、
1．求下列各函数的导数:
（1）211
()1x
F x dt t =+⎰
解：.11
11)(212x
dt t dx d x F x +=+='⎰ （2）0
2()cos x
F x t tdt =⋅⎰ 求'()F π
解：.cos )('.cos cos )cos (cos )(2220202
02ππππ-===-=-==
'⎰⎰⎰F x x tdt t dx d tdt t dx d tdt t dx d x F x x x （3）2
2
()1t
x x
te F x dt t =+⎰
解：⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+++=+=
x t
x t x t x t x x t dt t te dx d dt t te dx d dt t te dt t te dx d dt t te dx d x F 02
020202211)11(1)('222 2
223222221)(121)()(12
2x xe x e x x xe x dx d x e x x
x x x +-
+=+-⋅+= 2．求下列各极限: