定积分和微积分基本定理知识点及题型归纳总结
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例 由曲线 围成的封闭图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
解析 由 得 则由 和 围成的封闭图形的面积为 ，故选A．
变式1（2012湖北理3）已知二次函数 的图象如图3-16所求，则它与 轴所围成图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
变式2 由曲线 和直线 所围成的图形（如图3-17中阴影部分所示）面积的最小值为（ ）
11.根据定积分的几何意义计算下列定积分．
（１） ； （２） ； （３） ；
（４） ； （５）
１２．有一条直线与抛物线 相交于Ａ，Ｂ两点，线段ＡＢ与抛物线所围成图形的面积恒等于 ，求线段ＡＢ的中点Ｐ的轨迹方程．
A. B. C. D.
变式3 求抛物线 与 围成的平面图形的面积．
变式4 求由两条曲线 和直线 所围成的面积．
最有效训练题
1.已知函数 ，则 （ ）
A. -2 B. D.
2.定积分 （ ）
A, B. C. D.
3.设 ，则 （ ）
A. B. C. D.不存在
4. ，则 的大小关系是（ ）
A, B. C. D.
该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，只要求出被积函数 的一个原函数 ．然后计算原函数 在区间 上的增量 即可，这一定理提示了定积分与不定积分之间的内在联系．
题型归纳及思路提示
题型1 定积分的计算
思路提示
对于定积分的计算问题，若该定积分具有明显的几何意义，如圆的面积等（例及其变式），则利用圆面积计算，否则考虑用牛顿-莱布尼茨公式计算．
5.曲线 与直线 所围成的平面区域的面积为（ ）
A,１ B. ２源自文库C. D.
6.由直线 与曲线 所围成的平面图形的面积为（ ）
A, B.１ C. D.
7.抛物线 与直线 围成的平面图形的面积为．
8.已知 是偶函数，且 ，则 ．
9. ．
10.已知函数 的图象是折线段ABC，其中 ．函数 的图象与 轴所围成的图形的面积为．
一般情况下，定积分 的值的几何意义是介于 轴、函数 的图像以及直线 之间各部分面积的代数和，在 轴上方的面积取正号，在 轴下方的面积取负号．
二、基本性质
性质1 .
性质2 （定积分的线性性质）.
性质3 （定积分的线性性质）.
性质4 （定积分对积分区间的可加性）
推广1
推广2 ．
三、基本定理
设函数 是在区间 上连续，且 是 是在 上的任意一个原函数，即 ，则 ，或记为 ，称为牛顿—莱布尼兹公式，也称为微积分基本定理．
评注 定积分 的几何意义是函数和直线 以及 轴所围成的图形面积的代数和，面积是正值,但积分值却有正值和负值之分，当函数时, 面积是正值，当函数 时，积分值是负值．
变式1 根据定积分的几何几何意义计算下列定积分．
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．
题型52 求曲边梯形的面积
思路提示
函数 与直线 围成曲边梯形的面积为 ，具体思路是：先作出所涉及的函数图象，确定出它们所围成图形的上、下曲线所对应函数，被积函数左、右边界分别是积分下、上限．
定积分和微积分基本定理知识点及题型归纳总结
知识点精讲
一、基本概念
1.定积分的极念
一般地，设函效 在区间[a，b]上连续.用分点 将区间 等分成 个小区间，每个小区间长度为 （ ），在每个小区间 上任取一点 ，作和式： ，当 无限接近于 （亦即 ）时，上述和式 无限趋近于常数 ，那么称该常数 为函数 在区间 上的定积分．记为： ， 为被积函数， 为积分变量， 为积分区间， 为积分上限， 为积分下限．
分析根据定积分的几何意义，利用图形的面积求解.
解析 根据定积分的几何意义，所求的定积分是直线所围成图形（如图3-14所示）的面积的代数和，很显然这是两个面积相等的等腰直角三角形，如图3-14所示，其面积代数和是0，故 ．
（2）根据定积分的几何意义，所求的定积分是曲线 和 轴围成图形（如图3-15所示）的面积，显然是半个单位圆，其面积是 ，故 ．
需要注意以下几点：
（1）定积分 是一个常数，即 无限趋近的常数 （ 时），称为 ，而不是 ．
（2）用定义求定积分的一般方法.
①分割： 等分区间 ；②近似代替：取点 ；③求和： ；④取极限：
（3）曲边图形面积： ；变速运动路程 ；变力做功
2．定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间 上函数 连续且恒有 ，那么定积分 表示由直线 和曲线 所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影部分所示)的面积，这就是定积分 的几何意义．
例计算 =．
解析 ．
A. B. C. D.
变式1
A. B. C. D.
变式2
B . C. D.
变式3 设函数 ，若 ，则 的值为．
变式4 设函数 的定义域为R, 若对于给定的正数 ，定义函数 ，则当函数 时，定积分 的值为
（ ）
A. B. C. D.
例 根据定积分的几何意义计算下列定积分
（1） ； （2）
A. B. C. D.
解析 由 得 则由 和 围成的封闭图形的面积为 ，故选A．
变式1（2012湖北理3）已知二次函数 的图象如图3-16所求，则它与 轴所围成图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
变式2 由曲线 和直线 所围成的图形（如图3-17中阴影部分所示）面积的最小值为（ ）
11.根据定积分的几何意义计算下列定积分．
（１） ； （２） ； （３） ；
（４） ； （５）
１２．有一条直线与抛物线 相交于Ａ，Ｂ两点，线段ＡＢ与抛物线所围成图形的面积恒等于 ，求线段ＡＢ的中点Ｐ的轨迹方程．
A. B. C. D.
变式3 求抛物线 与 围成的平面图形的面积．
变式4 求由两条曲线 和直线 所围成的面积．
最有效训练题
1.已知函数 ，则 （ ）
A. -2 B. D.
2.定积分 （ ）
A, B. C. D.
3.设 ，则 （ ）
A. B. C. D.不存在
4. ，则 的大小关系是（ ）
A, B. C. D.
该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，只要求出被积函数 的一个原函数 ．然后计算原函数 在区间 上的增量 即可，这一定理提示了定积分与不定积分之间的内在联系．
题型归纳及思路提示
题型1 定积分的计算
思路提示
对于定积分的计算问题，若该定积分具有明显的几何意义，如圆的面积等（例及其变式），则利用圆面积计算，否则考虑用牛顿-莱布尼茨公式计算．
5.曲线 与直线 所围成的平面区域的面积为（ ）
A,１ B. ２源自文库C. D.
6.由直线 与曲线 所围成的平面图形的面积为（ ）
A, B.１ C. D.
7.抛物线 与直线 围成的平面图形的面积为．
8.已知 是偶函数，且 ，则 ．
9. ．
10.已知函数 的图象是折线段ABC，其中 ．函数 的图象与 轴所围成的图形的面积为．
一般情况下，定积分 的值的几何意义是介于 轴、函数 的图像以及直线 之间各部分面积的代数和，在 轴上方的面积取正号，在 轴下方的面积取负号．
二、基本性质
性质1 .
性质2 （定积分的线性性质）.
性质3 （定积分的线性性质）.
性质4 （定积分对积分区间的可加性）
推广1
推广2 ．
三、基本定理
设函数 是在区间 上连续，且 是 是在 上的任意一个原函数，即 ，则 ，或记为 ，称为牛顿—莱布尼兹公式，也称为微积分基本定理．
评注 定积分 的几何意义是函数和直线 以及 轴所围成的图形面积的代数和，面积是正值,但积分值却有正值和负值之分，当函数时, 面积是正值，当函数 时，积分值是负值．
变式1 根据定积分的几何几何意义计算下列定积分．
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．
题型52 求曲边梯形的面积
思路提示
函数 与直线 围成曲边梯形的面积为 ，具体思路是：先作出所涉及的函数图象，确定出它们所围成图形的上、下曲线所对应函数，被积函数左、右边界分别是积分下、上限．
定积分和微积分基本定理知识点及题型归纳总结
知识点精讲
一、基本概念
1.定积分的极念
一般地，设函效 在区间[a，b]上连续.用分点 将区间 等分成 个小区间，每个小区间长度为 （ ），在每个小区间 上任取一点 ，作和式： ，当 无限接近于 （亦即 ）时，上述和式 无限趋近于常数 ，那么称该常数 为函数 在区间 上的定积分．记为： ， 为被积函数， 为积分变量， 为积分区间， 为积分上限， 为积分下限．
分析根据定积分的几何意义，利用图形的面积求解.
解析 根据定积分的几何意义，所求的定积分是直线所围成图形（如图3-14所示）的面积的代数和，很显然这是两个面积相等的等腰直角三角形，如图3-14所示，其面积代数和是0，故 ．
（2）根据定积分的几何意义，所求的定积分是曲线 和 轴围成图形（如图3-15所示）的面积，显然是半个单位圆，其面积是 ，故 ．
需要注意以下几点：
（1）定积分 是一个常数，即 无限趋近的常数 （ 时），称为 ，而不是 ．
（2）用定义求定积分的一般方法.
①分割： 等分区间 ；②近似代替：取点 ；③求和： ；④取极限：
（3）曲边图形面积： ；变速运动路程 ；变力做功
2．定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间 上函数 连续且恒有 ，那么定积分 表示由直线 和曲线 所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影部分所示)的面积，这就是定积分 的几何意义．
例计算 =．
解析 ．
A. B. C. D.
变式1
A. B. C. D.
变式2
B . C. D.
变式3 设函数 ，若 ，则 的值为．
变式4 设函数 的定义域为R, 若对于给定的正数 ，定义函数 ，则当函数 时，定积分 的值为
（ ）
A. B. C. D.
例 根据定积分的几何意义计算下列定积分
（1） ； （2）