正态分布的种类
正态分布与标准正态分布
正态分布与标准正态分布正态分布（Normal Distribution）是一种重要的概率分布模型，常用于描述自然界中许多随机变量的分布情况。
它也被称为高斯分布（Gaussian Distribution），以数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）命名，因此也被称为高斯分布。
正态分布的概率密度函数（Probability Density Function，PDF）的图像呈钟形曲线，集中度较高，呈对称分布。
在正态分布中，平均值（μ）和标准差（σ）是两个重要的参数，决定了分布的具体形态。
标准正态分布（Standard Normal Distribution）是指均值为0，标准差为1的正态分布，其概率密度函数可以通过使用积分表格或计算机软件来获得。
标准正态分布具有许多重要的性质和应用，常用于统计推断和假设检验。
正态分布的性质：1. 对称性：正态分布是对称的，其均值处为对称轴。
2. 峰度：正态分布的峰度（kurtosis）为3，表示其相对于标准正态分布来说没有更多的峰度。
3. 均值与中位数相等：正态分布的均值和中位数相等，因此可以用均值来描述其位置。
4. 68-95-99.7规则：在正态分布中，大约68%的数据落在一个标准差范围内，约95%的数据落在两个标准差范围内，约99.7%的数据落在三个标准差范围内。
应用：正态分布广泛应用于各个领域，包括自然科学、社会科学和工程学等。
1. 统计学：正态分布是许多统计学方法的基础，如回归分析、方差分析等。
许多统计推断的方法都基于正态分布的假设。
2. 财务和经济学：金融市场中的收益率和价格变动通常服从正态分布，这对风险管理、投资组合分析等具有重要意义。
3. 生物学：许多生物学变量，如身高、体重等，符合正态分布。
研究人员可以使用正态分布来研究这些变量之间的关系。
4. 质量控制：正态分布可以用于描述产品的质量控制过程，通过控制过程的均值和标准差来确保产品的质量符合要求。
概率分布的种类与性质
概率分布的种类与性质概率分布是概率论中的重要概念，用于描述随机变量的取值与其对应的概率。
不同的随机变量具有不同的概率分布，而概率分布又可以分为多种种类。
本文将介绍常见的概率分布种类及其性质。
一、离散型概率分布离散型概率分布是指随机变量取有限个或可数个值的概率分布。
常见的离散型概率分布有以下几种：1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）伯努利分布是最简单的离散型概率分布，它描述了只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果（正面或反面）。
伯努利分布的概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，其中k=0或1，p为成功的概率。
2. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布是一种重要的离散型概率分布，它描述了n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
二项分布的概率质量函数为： P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中k=0,1,...,n，C(n,k)为组合数，p为成功的概率。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布是一种用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生次数的离散型概率分布。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中k=0,1,2,...，λ为平均发生率。
二、连续型概率分布连续型概率分布是指随机变量取值为连续区间内的概率分布。
常见的连续型概率分布有以下几种：1. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是一种简单的连续型概率分布，它在给定区间内的取值概率相等。
均匀分布的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b-a)，其中a为区间下界，b为区间上界。
2. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是一种重要的连续型概率分布，也被称为高斯分布。
正态分布具有钟形曲线，对称分布于均值周围。
正态分布的种类
3. 非正态分布的原因
非对称或非正态分布的问题是在现场经常出现的问题,其潜在的原因 如下
1) 具有自然界限的数据 2) 筛选检查时不良品的选别 3) 分布的混合 4) 输入变量与输出变量间的非线性关系 5) 输入变量间的交互作用 • 按照时间的工程变化 • 缺乏独立性或周期的变化 • 测定器精密度问题 • 具有异常点(Outliers)的数据
.
尖度(Skewness)的解释
急尖或平尖分布的平均的分布在中心,但左,右两边的尾巴比正态分布 短或长. Kurtosis称为尖度,表示分布形态的平或尖的程度
正态分布时 Kurtosis为0, 急尖分布时(+),平尖分布时(-) 值. 在左图中Kurtosis值为3.082, 是(+)值,可以看出是平尖分布
.
1) 具有自然界限的情况
在物理上或不可避地存在无法测定数据的最小值或最大值时,例如时间,
不纯度,平坦度.主要 形成左边或右边斜型的分布.
100
工程与自然界限有一定9800 距离时
빈 70
150
도
60 50
수 40
30
频 100
20
率
10
150
数
50
0
0
2
4
6
8
10 12
频 100 率 数 50
用几台机器生产时, 因特定机器的故障 等发生的分布
一般的双重峰
极端的双重峰
.
斜型(Skewness)的解释
如柱型图,斜型分布是平均的分布从分布的中心偏向左或右,是左右 非对称的 Skewness表示数据偏移的程度
正态分布时 Skewness为0, 右边斜型分布是(+),左边斜型 分布是(-)值. 在左边图中Skewness值为2.186, 是(+)值,因此是右边斜型分布
《正态分布》说课稿
《正态分布》说课稿正态分布是统计学中非常重要的一个概念，它描述了大量随机变量的分布规律，被广泛应用于各个领域的数据分析和预测中。
本文将介绍正态分布的基本概念、性质、应用以及如何利用正态分布进行统计推断。
一、正态分布的基本概念1.1 正态分布的定义：正态分布又称高斯分布，是一种连续概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，左右对称，中间最高。
1.2 正态分布的特点：正态分布具有唯一的均值和标准差，均值决定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的宽度。
1.3 正态分布的标准化：通过标准化可以将正态分布转化为标准正态分布，即均值为0，标准差为1的正态分布。
二、正态分布的性质2.1 正态分布的均值和中位数相等：正态分布的均值和中位数相等，即曲线对称中心位置处的值。
2.2 正态分布的68-95-99.7法则：约68%的数据落在均值附近的一个标准差范围内，约95%的数据落在两个标准差范围内，约99.7%的数据落在三个标准差范围内。
2.3 正态分布的线性组合仍然是正态分布：对于正态分布的线性组合，如两个正态分布的和或差，仍然是正态分布。
三、正态分布的应用3.1 在自然科学中的应用：正态分布常用于测量误差、实验数据分析等领域，如物理学、化学等。
3.2 在社会科学中的应用：正态分布被广泛应用于人口统计、心理学研究、经济学分析等领域。
3.3 在工程技术中的应用：正态分布在质量控制、可靠性分析、风险评估等方面有重要应用。
四、利用正态分布进行统计推断4.1 正态分布的参数估计：通过样本数据估计总体的均值和标准差，得到对总体的估计。
4.2 正态分布的假设检验：利用正态分布进行假设检验，判断总体参数是否符合某种假设。
4.3 正态分布的置信区间估计：通过正态分布的性质，构建总体参数的置信区间，对总体参数进行估计。
五、结语正态分布作为统计学中重要的概念，具有丰富的性质和广泛的应用。
通过深入理解正态分布的基本概念和性质，我们可以更好地应用正态分布进行数据分析和推断，为各个领域的研究和实践提供有力支持。
什么是正态分布？
什么是正态分布？正态分布（Normal Distribution），又称高斯分布（Gaussian Distribution），是概率论和统计学中最重要的连续型概率分布之一。
它的形状呈钟形曲线，两侧尾部逐渐趋于无穷远，中间部分较为集中。
正态分布在自然界和社会科学中广泛应用，被认为是一种非常常见的分布模式。
正态分布的概率密度函数可以用以下公式表示：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-((x-μ)^2 / (2σ^2)))其中，f(x)表示在某个特定取值x处的概率密度，μ表示均值，σ表示标准差，π表示圆周率，e表示自然对数的底数。
正态分布的特点有以下几个方面：1. 对称性：正态分布的概率密度函数呈现对称的钟形曲线，均值处为曲线的中心点，两侧的概率密度相等。
2. 唯一性：正态分布由均值和标准差唯一确定，不同的均值和标准差会导致不同的正态分布。
3. 中心极限定理：当样本容量足够大时，许多随机变量的和或平均值近似服从正态分布。
这是由于中心极限定理的影响，使得正态分布在统计推断中具有重要的地位。
4. 68-95-99.7法则：在正态分布中，约有68%的数据落在均值的一个标准差范围内，约有95%的数据落在均值的两个标准差范围内，约有99.7%的数据落在均值的三个标准差范围内。
这个法则可以帮助我们对数据进行初步的分析和判断。
正态分布在实际应用中具有广泛的意义和应用价值。
例如，在自然科学中，许多测量数据都服从正态分布，如身高、体重、温度等。
在社会科学中，许多人群的特征也符合正态分布，如智力、成绩、收入等。
正态分布的特性使得我们能够对数据进行更准确的描述、分析和预测。
除了在统计学和概率论中的应用，正态分布还在其他领域有着广泛的应用。
在金融领域，股票价格的变动、利率的波动等也常常服从正态分布。
在工程领域，正态分布被用于描述产品的质量特性，以及各种测量误差的分布。
在医学领域，正态分布被用于描述人群的生理指标，如血压、血糖等。
正态分布——概念特征广泛应用
正态分布——概念特征广泛应用正态分布，也称为高斯分布或钟形曲线，是概率论中一种非常重要的分布。
它在统计分析和科学研究中得到了广泛的应用。
正态分布具有许多独特的特征，它的形状是对称的，呈现出一个钟形曲线，其均值、方差和标准差等统计量能够完全描述它的特征。
正态分布的概念：正态分布是一种连续型的概率分布，它的概率密度函数可以通过以下公式表示：f(x) = (1 / (σ * √(2 * π))) * exp(-((x - μ) ^ 2) / (2 *σ ^ 2))其中，μ表示正态分布的期望值或均值，σ表示正态分布的标准差，π是圆周率。
正态分布的特征：1.对称性：正态分布呈现出对称的特点，也就是说，在均值两侧的概率曲线是完全相同的，即左右对称。
2.唯一性：正态分布具有唯一的均值和标准差。
均值决定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的形状和宽度。
3.分布范围：正态分布的取值范围是无限的，即负无穷到正无穷。
4.弱偏态性：正态分布的偏态系数为0，即偏度为0。
偏态系数用于衡量概率分布的非对称性，当偏态系数大于0时，分布呈现正偏态，即右侧的尾部比左侧的尾部更长。
正态分布的广泛应用：1.统计学：正态分布在统计学中得到广泛的应用，特别是在参数估计和假设检验中。
许多常见的统计模型，如回归模型和时间序列模型，都是基于正态分布假设进行建模的。
2.自然科学：正态分布在自然科学中的应用非常广泛。
例如，物理学中的测量误差通常是服从正态分布的，因此在物理实验中，我们常常使用正态分布进行误差处理。
3.金融学：正态分布在金融学中扮演着重要的角色。
金融市场的大多数价格变动和收益率变动都呈现出近似正态分布的特征，这是基于大量的市场参与者和随机性的结果。
4.社会科学：正态分布也在社会科学中得到广泛的应用。
例如，人口统计数据、心理测量、学生考试成绩等，都可以使用正态分布进行描述。
5.质量管理：正态分布还在质量管理中发挥着重要的作用。
许多质量控制方法，如过程控制图、质量能力指数等，都基于正态分布的性质。
正态分布 课件
总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
4、正态曲线的性质
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（μ－σ，μ＋σ]
0.6826
（μ－2σ，μ＋2σ]
0.9544
（μ－3σ，μ＋3σ]
0.9974
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（4）曲线与x轴之间的面积为1.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
（5）若 固定, 随 值的变化而沿x轴平移, 故 称为位置参数
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
5、特殊区间的概率:
m-a
m+a
x=μ
若X~N ,则对于任何实数a>0,概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。
4
0.04
[0.5,1)
8
0.08
[1,1.5)
15
0.15
[1.5,2)
22
0.22
[2,2.5)
25
0.25
[2.5,3)
14
0.14
[3,3.5)
6
0.06
[3.5,4)
4
0.04
[4,4.5)
2
0.02
11
高尔顿钉板实验的 频率分布直方图
这条曲线具有 “中间高，两头低” 的特征，像这种类型的曲线, 就是（或近似地是）以下函数的图像:
glm 的用法
标题：glm的用法一、概述glm是Generalized Linear Model（广义线性模型）的缩写，是一种广泛用于统计和机器学习的模型。
它能够描述因变量和自变量之间的关系，并且能够处理多种不同类型的数据。
二、glm的种类1. 正态分布glm：适用于因变量为连续型数据，且服从正态分布的情况。
常见的模型有线性回归模型、逻辑回归模型等。
2. 二项分布glm：适用于因变量为二元分类数据的情况，如二分类逻辑回归模型。
3.泊松分布glm：适用于因变量为计数数据，且数据量较大，但每个样本的计数相对较小的情况。
三、glm的参数估计glm的参数估计通常采用最大似然估计法，通过最大化似然函数来求解参数。
对于正态分布glm，参数估计可以通过最小二乘法进行求解；对于二项分布和泊松分布glm，参数估计通常采用迭代算法进行求解。
四、glm的应用场景1. 回归分析：通过建立因变量和自变量之间的线性关系，对未知数据进行预测和解释。
2. 分类问题：利用广义线性模型的特性，对数据进行分类和预测。
3. 生存分析：用于研究生存时间与某些因素之间的关系，如疾病的发生时间与某些风险因素之间的关系。
4. 生物信息学：用于基因表达数据的分析，如基因表达与疾病之间的关系。
5. 金融领域：用于预测股票价格、市场趋势等。
五、glm的优缺点1. 优点：能够处理多种类型的数据，包括连续型数据、二元分类数据和计数数据；能够描述因变量和自变量之间的线性关系；模型简单易懂，易于实现和使用。
2. 缺点：对于非线性关系的数据处理能力较差；对于极端值或异常值的处理能力较弱；对于缺失数据的处理能力有限。
六、总结glm是一种广泛应用于统计和机器学习的模型，能够描述因变量和自变量之间的关系，并且能够处理多种不同类型的数据。
在应用过程中需要注意数据的类型和处理方式，以及模型的适用性和局限性。
高考数学知识点精讲常见随机变量的分布类型
高考数学知识点精讲常见随机变量的分布类型高考数学知识点精讲：常见随机变量的分布类型在高考数学中，随机变量的分布类型是一个重要的知识点，理解和掌握这些分布类型对于解决概率相关的问题至关重要。
下面我们就来详细讲解一下常见的随机变量分布类型。
首先，我们来认识一下什么是随机变量。
简单来说，随机变量就是把随机试验的结果用数字表示出来。
比如说掷骰子，我们可以定义随机变量 X 为骰子掷出的点数，那么 X 可能取值 1、2、3、4、5、6。
常见的随机变量分布类型主要有以下几种：一、离散型随机变量的分布1、两点分布两点分布是最简单的一种离散型随机变量分布。
比如抛一枚硬币，正面朝上记为1，反面朝上记为0，那么这个随机变量就服从两点分布。
其概率分布为 P(X ＝ 1) ＝ p，P(X ＝ 0) ＝ 1 p ，其中 0 ＜ p ＜ 1 。
2、二项分布二项分布在实际生活中有很多应用。
比如进行n 次独立重复的试验，每次试验只有两种结果（成功或失败），成功的概率为 p ，失败的概率为 1 p 。
那么成功的次数 X 就服从二项分布，记为 X ～ B(n, p) 。
二项分布的概率公式为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) ，其中 C(n, k) 表示从 n 个元素中选出 k 个元素的组合数。
举个例子，假设一批产品的次品率为 02，从这批产品中随机抽取10 个，那么抽到次品个数 X 就服从二项分布 B(10, 02) 。
3、超几何分布超几何分布与二项分布有点类似，但适用的场景略有不同。
超几何分布是从有限 N 个物件（其中包含 M 个指定种类的物件）中抽出 n 个物件，成功抽出指定种类物件的次数 X 就是超几何分布。
超几何分布的概率公式为：P(X ＝ k) ＝ C(M, k) C(N M, n k) ／C(N, n) 。
比如说在一个有 50 个球，其中 20 个红球，30 个白球的盒子中，随机抽取 10 个球，红球的个数 X 就服从超几何分布。
正态分布 课件
；
• 特别地有：P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ 0.6862 ；
• P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 0.9544 ；
• P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ 0.9974 .
[答案] B
[解析] 仔细对照正态分布密度函数：f(x)＝ 21πσe－
(x－μ)2
2σ2 (x∈R)，注意指数 σ 和系数的分母上的 σ 要一致，以及
正态分布
• 1．当样本容量无限增大时，它的频率分 布直方图 无限接近于 一条总体密度曲 线，在总体所在系统相对稳定的情况下， 总体密度曲线就是或近似地是以下函数的 图象：
• 其中μ和σ(σ>0)为参数．我们称φμ，σ(x)的图 象为 正态分布密度曲线，简称 正态曲线 ．
• (4)曲线与x轴之间的面积为 1 ；
• (5) 当 σ 一 定 时 ， 曲 线 随 μ 的 变 化而沿 x 轴 平移；
• (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定：σ越小，
曲线越“
瘦高”，表示总体的分布越
集中 ；σ越大，曲线越“
矮胖 ”，表示
总体的分布越 分散 ．
• 4．若X～N(μ，σ2)，则对任何实数a>0，概
率P(μ－a<X≤μ＋a)＝
称 性 得 P(3<X≤4) ＝ P(6<X≤7) ， 所 以
P(6<X≤7)＝
＝0.1359.
• [点评] 解此类题首先由题意求出μ及σ的
值，然后根据三个特殊区间上的概率值及
正态曲线的特点(如对称性，与x轴围成的 面积是1等)进行求解．
• [例5] 某年级的一次信息技术测验成绩近 似服从正态分布N(70,102)，如果规定低于 60分为不及格，求：
《正态分布》说课稿
《正态分布》说课稿引言概述：正态分布是概率论和统计学中最重要的分布之一，它在自然界和社会现象中广泛存在。
本文将从定义、特征、应用等方面详细介绍正态分布的相关知识。
一、正态分布的定义和性质1.1 正态分布的定义正态分布是指在一维空间中，以均值μ和标准差σ为参数的连续概率分布。
它的概率密度函数呈钟形曲线，两侧尾部渐进于x轴，对称分布于均值μ处。
1.2 正态分布的特征正态分布具有以下特征：（1）均值和中位数相等，分布对称；（2）标准差决定了曲线的宽窄，标准差越大，曲线越宽；（3）68-95-99.7法则，约68%的数据落在均值左右一个标准差范围内，约95%的数据落在均值左右两个标准差范围内，约99.7%的数据落在均值左右三个标准差范围内。
1.3 正态分布的应用正态分布在实际应用中有广泛的用途，包括但不限于：（1）自然科学研究，如天文学、物理学等；（2）社会科学研究，如经济学、心理学等；（3）质量控制，如产品质量检测、工艺控制等；（4）统计推断，如参数估计、假设检验等。
二、正态分布的计算方法2.1 Z分数的计算Z分数是指将原始数据转化为标准正态分布的分数，计算公式为：Z = (X - μ) / σ，其中X为原始数据，μ为均值，σ为标准差。
2.2 正态分布的累积概率计算正态分布的累积概率可以通过查找标准正态分布表或使用统计软件进行计算。
标准正态分布表给出了不同Z值对应的累积概率。
2.3 正态分布的反向计算反向计算是指已知累积概率，求对应的原始数据。
可以通过查找标准正态分布表的逆查表或使用统计软件进行计算。
三、正态分布的假设检验3.1 假设检验的基本原理假设检验是统计学中常用的推断方法，用于判断样本数据与某个假设的一致性。
在正态分布中，常用的假设检验方法有单样本均值检验、双样本均值检验、方差检验等。
3.2 假设检验的步骤（1）建立原假设和备择假设；（2）选择适当的检验统计量；（3）计算检验统计量的观察值；（4）确定显著性水平，进行决策；（5）得出结论。
三大分布及构造原理
三大分布及构造原理在自然界中，存在着很多种类的分布规律，其中最常见的就是三大分布。
它们分别是均匀分布、正态分布和偏态分布。
均匀分布是指在一定范围内，各个数值的出现频率基本相同，没有明显的集中倾向。
可以用一个例子来说明，假设有一个果园，里面种植了100棵苹果树，每棵树上结出的苹果数量基本相同，这就是均匀分布。
均匀分布在很多领域都有应用，比如随机数生成、样本选择等。
正态分布是指在一定范围内，数值的出现频率呈现出钟形曲线的分布规律。
这个分布规律在自然界中非常常见，比如人的身高、体重等。
正态分布有一个重要的特点，就是均值、中位数和众数都是相等的，这意味着大部分的数据都集中在均值附近，而离均值越远的数据出现的概率越低。
偏态分布是指在一定范围内，数值的出现频率呈现出一侧高峰或两侧高峰的分布规律。
这种分布在自然界中也很常见，比如人的收入分布、物种的数量分布等。
偏态分布有两种情况，一种是正偏态分布，即右侧高峰，另一种是负偏态分布，即左侧高峰。
偏态分布的出现原因可能是由于外部环境的影响，比如资源分配的不均衡等。
这三种分布规律的存在，可以解释很多自然现象。
同时，它们也是统计学中的重要概念，可以用来描述和分析数据。
在实际应用中，我们可以根据不同的场景选择合适的分布模型，从而更好地理解和解释数据。
对于分析师来说，掌握这些分布规律的构造原理，可以帮助他们更准确地进行数据分析和预测，为决策提供科学依据。
三大分布及其构造原理是统计学中非常重要的概念，它们描述了自然界中的一些普遍规律。
通过研究和应用这些分布规律，我们可以更好地理解和解释数据，为科学研究和决策提供有力支持。
在实际应用中，我们应该根据具体情况选择合适的分布模型，并结合实际情况进行数据分析和预测。
正态分布的种类
平尖
分布的形态比较平 , 两 侧尾部较短
立状
测定设备的精度低时可 能得到这种数据
多重 Mode (Multiple Modes)
用2台机器生产时, 机器的性能不同时 发生的分布 用几台机器生产时, 因特定机器的故障 等发生的分布
一般的双重峰
极端的双重峰
斜型(Skewness)的解释
如柱型图,斜型分布是平均的分布从分布的中心偏向左或右,是左右 非对称的 Skewness表示数据偏移的程度
规格外的制品 废弃时左,右边 斜型分布
测定值的最初分布
规格 下限 规格 上限
规格外的制品 再作业,调整时 左,右边斜型分布 两侧规格外的 制品选别时平 尖分布 规格内的制品 有意选别时剩 下多重分布
3) 分布混合时
实际的工程并不只受同一条件的约束,因多样作业条件或多数原因输入 的提供,有可能存在分布的混合.这种相异的根源是输出非对称的原因, 因此我们应该集中找出潜在原因
正态分布时 Kurtosis为0, 急尖分布时(+),平尖分布时(-) 值. 在左图中Kurtosis值为3.082, 是(+)值,可以看出是平尖分布
3. 非正态分布的原因
非对称或非正态分布的问题是在现场经常出现的问题,其潜在的原因 如下 1) 2) 3) 具有自然界限的数据 筛选检查时不良品的选别 分布的混合
工程与自然界限有一定距离时
150
150
频 100 率 数
50
100 90 80 빈 70 60 도 50 수 40 30 20 10 0
2
4
6
8
10
12
频 率 数
100
0 0 2 4 6 8 10 12
图形和分布知识点总结
图形和分布知识点总结一、图形1.1 基本概念图形是将数据用直观的图形形式表示出来的方式。
通过图形，我们可以更直观地了解数据的分布、趋势和关系。
常见的图形包括直方图、折线图、饼图、散点图等。
1.2 常见的图形类型1.2.1 直方图直方图是一种用矩形条表示频数分布的图形。
它将数据按照大小分成一定数量的组，然后用矩形条表示每一组的频数。
直方图的宽度表示组距，高度表示频数。
直方图常用于表示连续数据的分布情况，例如身高、体重等。
通过直方图，我们可以直观地看出数据的分布情况，如是否服从正态分布、是否存在偏斜等。
1.2.2 折线图折线图是一种用折线表示数据变化趋势的图形。
它通常用于表示随时间变化的数据趋势，比如股票价格、气温变化等。
通过折线图，我们可以清晰地看出数据的趋势和周期性变化。
1.2.3 饼图饼图是一种用扇形表示部分与整体比例关系的图形。
它通常用于表示不同部分在整体中的比重，如不同种类产品的销售比例、不同地区的人口比例等。
通过饼图，我们可以直观地比较各部分的大小和比例。
1.2.4 散点图散点图是一种用点表示两个变量之间关系的图形。
它通常用于表示两个变量之间的相关性，如收入与消费、温度与销售量等。
通过散点图，我们可以直观地判断两个变量之间的相关性和趋势。
1.3 图形的应用图形在统计学中有着广泛的应用。
通过图形，我们可以更直观地了解数据的分布和关系，帮助我们进行数据分析和决策。
图形也常用于数据的展示和报告中，使得数据更易于理解和传达。
二、分布2.1 基本概念分布是指将数据按照数值或类别进行分类和统计的过程，从而得到数据的频数分布。
分布可以帮助我们了解数据的集中趋势、离散程度和分布规律。
2.2 常见的分布类型2.2.1 正态分布正态分布是一种呈钟形对称的连续分布。
正态分布的特点是均值、中位数和众数相等，且数据集中在均值周围，分布呈对称性。
正态分布在自然界和社会现象中很常见，如身高、体重、考试成绩等。
2.2.2 均匀分布均匀分布是一种各取值概率相等的离散分布。
正态分布的种类
0
0
2
4
6
8
10 12
工程与自然界限相近时
0
0
2
4
6
8
10 12 A
9
2) 因筛选检查,选别时
超过规格上,下限的数据选别后删除或通过再作业调查(斜型,平尖) 有意地选别良品后剩下的数据(多重峰)时发生非正态分布
测定值的最初分布
规格 下限
规格 上限
A
规格外的制品 废弃时左,右边 斜型分布
规格外的制品 再作业,调整时 左,右边斜型分布
正态分布时 Kurtosis为0, 急尖分布时(+),平尖分布时(-) 值. 在左图中Kurtosis值为3.082, 是(+)值,可以看出是平尖分布
A
7
3. 非正态分布的原因
非对称或非正态分布的问题是在现场经常出现的问题,其潜在的原因 如下
1) 具有自然界限的数据 2) 筛选检查时不良品的选别 3) 分布的混合 4) 输入变量与输出变量间的非线性关系 5) 输入变量间的交互作用 6) 按照时间的工程变化 7) 缺乏独立性或周期的变化 8) 测定器精密度问题 9) 具有异常点(Outliers)的数据
A
8
1) 具有自然界限的情况
在物理上或不可避地存在无法测定数据的最小值或最大值时,例如时间,
不纯度,平坦度.主要 形成左边或右边斜型的分布.
100
工程与自然界限有一定9800 距离时
빈 70
150
도
60 50
수 40
30
频 100
20
率
10
150
数
50
0
0
2
4
6
8
13种常见的统计分布
9
属性
F分布 F Distribution
连续型分布 用于方差的齐性检验和方差分析
理解
10
属性
Γ分布 Γ Distribution or Gamma Distribution
连续型分布 正偏态分布，常用于正偏态分布的拟合
11
属性
圆形分布 Circular Distribution
离散型分布 用于产品质量检测及流行病学
应用 条件
描述了由有限个物件中抽出 n个物件，成功抽出指定种类 的物件的次数（不归还） 在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品， 抽检n件时所得次品数X=k，则P(X=k)=C(k M）·C(n-k N-M)/C(n N）， C（a b）为古典概型的组合形式，a为 下限，b为上限
4
属性
Poisson分布 Poisson Distribution
离散型分布 研究稀有事件 （即小概率）的频数分布
单位时间内某事件发生次数的分布，如细菌、血细胞等单
应用
位面积内计数结果的分布 人群中某些发病率很低的传染病、某些恶性肿瘤的患病数 放射医学中放射性核素计数的数据处理 某些疾病的地区或家庭聚焦性
2
属性
负二项分布 Negative Binomial Distribution
离散型分布 用于昆虫学、寄生虫学、微生物学及流行病学
应用 条件
实验包含一系列独立的实验 每个实验都有成功、失败两种结果 成功的概率是恒定的 实验持续到r次成功，r可以为任意正数
3
属性
超几何分布 Hypergeometric Distribution
5
属性
均匀分布 Uniform Distribution
正态分布的种类.ppt
3. 非正态分布的原因
非对称或非正态分布的问题是在现场经常出现的问题,其潜在的原因 如下
1) 具有自然界限的数据 2) 筛选检查时不良品的选别 3) 分布的混合 4) 输入变量与输出变量间的非线性关系 5) 输入变量间的交互作用 6) 按照时间的工程变化 7) 缺乏独立性或周期的变化 8) 测定器精密度问题 • 具有异常点(Outliers)的数据
右边斜型
左边斜型
斜型时,为更加准确 地计算SIGMA水平,使 用Box-Cox 后,求 SIGMA水平
均匀在中心散布左面称为, 均匀在中心散布右边称为,
右边斜型
左面斜型
尖度(Kurtosis)
离散型 (Granularity)
急尖
散布的形状比正态散 布尖,两头尾部较长.
平尖
散布的形状比较平,两 头尾部较短
因不同的机器
因不同时间
因使用不同原资材
1.5
lognorm1
2.5 因不同作业者 分布混合时,发生这种非正态
分布
急尖
平尖
다중모드
4) 输入,出变量间为非线性时
对输入变量X,输出变量Y具有非线性关系时,即使输入变量管理为正态 输出变量分布也有可能表现为非正态
X 的周边分布 (正态曲线)
Y 的周边分布 ( 右边斜型 )
非正态散布的品种和原因
1. 正态分布的理解 2. 非正态分布的种类 3. 非正态分布的原因
1.正态散布的(Normal Distribution)的了解
“规范的”“天然的”“正常的”表明Normal的意义,正态散布是最正 常的数据散布形状.数据脱离正态散布时,能够判别为这种工程是改进 的目标.
正太分布的知识点总结
正太分布的知识点总结一、正态分布的定义正态分布又叫高斯分布，其数学表达式为：P(x) = (1 / (σ * √(2*π))) * exp(-((x-μ)^2) / (2 * σ^2))其中，P(x)表示随机变量x的概率密度函数，μ是正态分布的均值，σ是标准差，π是圆周率。
二、正态分布的性质1. 对称性：正态分布是以均值为中心对称的。
2. 集中趋势：均值μ决定了正态分布的集中趋势，即大多数数据分布在均值附近。
3. 标准差：标准差σ决定了正态分布的数据分散程度，即σ越小，数据越集中；σ越大，数据越分散。
4. 68-95-99.7法则：大约68%的数据分布在均值的一个标准差范围内，大约95%的数据分布在均值的两个标准差范围内，大约99.7%的数据分布在均值的三个标准差范围内。
三、正态分布的应用1. 统计学：正态分布广泛应用于统计学中，用于描述人口的身高、智力分布等现象。
在假设检验和参数估计中也有重要应用。
2. 自然科学：在自然现象中，许多现象都能够很好地拟合成正态分布，例如物理学中的测量误差、生物学中的生长速度等。
3. 工程学：在工程学中，正态分布用于描述机械零部件的尺寸、材料的强度等参数。
4. 金融学：在金融市场中，股票价格的波动、交易量等经常符合正态分布，因此正态分布在金融学中有广泛的应用。
四、正态分布的参数估计和假设检验1. 参数估计：根据样本数据估计总体的均值和标准差，通常使用样本均值和样本标准差来估计总体的均值和标准差。
2. 假设检验：假设检验是统计学中常用的推断方法，正态分布在假设检验中有重要的应用。
常用的假设检验有单样本均值检验、双样本均值检验、方差检验等。
五、正态分布的标准化正态分布的标准化是将原始数据转换成标准正态分布的过程，这是为了便于比较和计算。
标准化的方法是将原始数据减去均值，然后除以标准差，即：Z = (X - μ) / σ。
六、正态分布的优缺点1. 优点：正态分布具有较好的数学性质，有严格的完全性和唯一性定理，因此在统计学中有广泛的应用。
生物统计学课件--3正态分布和抽样分布备课讲稿
正态分布密度函数在直角坐标上的图象称正态曲线
x
决定正态曲线最高点横坐标的值，决定正态曲线最 高点纵坐标的值和曲线的开张程度， 越小，曲线越 陡峭，数据越整齐。
N（ ，2 ） N（156，4.82），N（15，4）
正态曲线有一组而不是一条
2、正态分布的累积函数
f (x)
1
x2
e2
2
三、标准正态分布
称=0，=1时的正态分布为标准正态分布，记为N（0，1）。
1、标准正态分布的密度函数和累积函数
密度函数：
(u)
1
u 2
e2
2
其中：-∞ u∞
累积函数：
(u)P(Uu) 1
u u2
e 2du
2
标准正态分布的分布曲线
u 标准正态分布的累积分布曲线
u
服从正态分布，且有：
x ,
2 x
2
n
即： X N(,2 )
n
将平均数标准化，则：u
x
， u服从N（0，1）
n
例：假如某总体由三个数字2、4、6组成，现在从该总体中做放回式抽样，
样本容量
样本
样本数
n=1
2
4
6
31
平均数
2
4
6
n=2
2 2 ，2 4 ，4 2，2 6，6 2， 4 4， 4 6，6 4，6 6
310=59049
n=20
5904959049
2、标准差未知时的样本平均数的分布----t 分布 若总体的方差是未知的，即标准差 未知，可以用样 本的标准差 s代替总体的标准差 ，
则变量
正态分布标准差是
正态分布标准差是
正态分布，又称高斯分布，是概率论中非常重要的一种连续概率分布。
在自然
界和社会现象中，许多随机变量都服从正态分布。
正态分布的形状呈钟形曲线，左右对称，均值、中位数和众数相等，因此具有很好的对称性。
标准差是描述一组数据离散程度的统计量，它衡量的是每个数据点与平均值的
偏离程度。
在正态分布中，标准差的大小决定了曲线的宽窄程度，也反映了数据的集中程度和分散程度。
在正态分布中，约68%的数据落在平均值加减一个标准差的范围内，约95%的数据落在平均值加减两个标准差的范围内，约99.7%的数据落在平均值加减三个标
准差的范围内。
因此，标准差的大小直接影响了数据集中在平均值附近的程度。
当标准差较小时，数据集中在平均值附近，曲线较为陡峭；当标准差较大时，
数据分布较为分散，曲线较为平缓。
因此，标准差的大小直接影响了正态分布曲线的形状。
在实际应用中，正态分布的标准差常常用来衡量数据的稳定性和可靠性。
例如，在质量控制中，产品尺寸的标准差可以反映产品的质量稳定程度；在金融领域，股票收益率的标准差可以反映投资风险的大小。
总之，正态分布的标准差是描述数据分布的重要统计量，它直接影响了数据的
集中程度和分散程度，反映了数据的稳定性和可靠性。
在实际应用中，我们需要根据具体情况合理选择标准差的大小，以更好地理解和分析数据的特征，为决策提供科学依据。
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立状
测定设备的精度低时可 能得到这种数据
多重 Mode (Multiple Modes)
用2台机器生产时, 机器的性能不同时 发生的分布
用几台机器生产时, 因特定机器的故障 等发生的分布
一般的双重峰
极端的双重峰
斜型(Skewness)的解释
如柱型图,斜型分布是平均的分布从分布的中心偏向左或右,是左右 非对称的 Skewness表示数据偏移的程度
正态分布是平均为 μ,标准偏差为 σ的概率密度函数.度数在中心附近最多, 离中心越远越少.是通常出现的形态,是自然的变动
正态性(适合度)验证
大家为了判断得到的数据是否为正态分布,可以在MINITAB使用 如下分析方法
Stat > Basic Statistics > Normality Test
打开 A05_非正态分布.mtw
右边斜型
左边斜型
斜型时,为更加准确 地计算SIGMA水平,使 用Box-Cox 后,求 SIGMA水平
平均在中心分布左边称为, 平均在中心分布右边称为,
右边斜型
左边斜型
尖度(Kurtosis)
离散型 (Granularity)
急尖
分布的形态比正态分 布尖,两侧尾部较长.
平尖
分布的形态比较平,两 侧尾部较短
0
2
4
6
8
10 12
工程与自然界限相近时
0
0
2
4
6810 12 Nhomakorabea) 因筛选检查,选别时
超过规格上,下限的数据选别后删除或通过再作业调查(斜型,平尖) 有意地选别良品后剩下的数据(多重峰)时发生非正态分布
测定值的最初分布
规格 下限
规格 上限
规格外的制品 废弃时左,右边 斜型分布
规格外的制品 再作业,调整时 左,右边斜型分布
非正态分布的种类和原因
1. 正态分布的理解 2. 非正态分布的种类 3. 非正态分布的原因
1.正态分布的(Normal Distribution)的理 解“标准的”“自然的”“正常的”表示Normal的含义,正态分布是最正
常的数据分布形态.数据脱离正态分布时,可以判断为这种工程是改善 的对象.
正态分布以平均为轴相对 称,具有钟形的图表.又称 高斯分布.
正态分布时 Kurtosis为0, 急尖分布时(+),平尖分布时(-) 值. 在左图中Kurtosis值为3.082, 是(+)值,可以看出是平尖分布
3. 非正态分布的原因
非对称或非正态分布的问题是在现场经常出现的问题,其潜在的原因 如下
1) 具有自然界限的数据 2) 筛选检查时不良品的选别 3) 分布的混合 4) 输入变量与输出变量间的非线性关系 5) 输入变量间的交互作用 6) 按照时间的工程变化 7) 缺乏独立性或周期的变化 8) 测定器精密度问题 9) 具有异常点(Outliers)的数据
非线性关系曲线
输入变量与输出变量 的非线性关系可能影 响尖度.特别是在化学 工程经常出现
5) 输入变量间具有交互作用时
输入变量X’s全部是正态分布时如果它们之间有交互作用时输入变量Y 有可能是非对称的.如下例:某一工程使用的粘接剂的粘性低,温度高 时收率下降,粘性高,温度高时收率也上升,存在这种交互作用时收率 的分布是非正态分布.
35
输 30 出
25
收率的分布 (右边斜型)
80% 相对粘性
粘性的分布 (正态分布)
输入
30% 相对粘性
50도
75도
输入
温度的分布
(正态分布)
6) 按时间工程变化时
按时间作业条件变化,因此制品品质变化时,有可能带来右边斜型 或左边斜型的结果
30
Y
的
25
周
边
分
20
布
工程输出 (右边斜型)
10
20
时间
因不同的机器
因不同时间
因使用不同原资材
1.5
lognorm1
2.5 因不同作业者 分布混合时,发生这种非正态
分布
急尖
平尖
다중모드
4) 输入,出变量间为非线性时
对输入变量X,输出变量Y具有非线性关系时,即使输入变量管理为正态 输出变量分布也有可能表现为非正态
X 的周边分布 (正态曲线)
Y 的周边分布 ( 右边斜型 )
1) 具有自然界限的情况
在物理上或不可避地存在无法测定数据的最小值或最大值时,例如时间,
不纯度,平坦度.主要 形成左边或右边斜型的分布.
100
工程与自然界限有一定9800 距离时
빈 70
150
도
60 50
수 40
30
频 100
20
率
10
150
数
50
0
0
2
4
6
8
10 12
频 100 率 数 50
0
30
40
50
例:工具的磨损
镀金工程
使用热器具的工程
两侧规格外的 制品选别时平 尖分布
规格内的制品 有意选别时剩 下多重分布
3) 分布混合时
实际的工程并不只受同一条件的约束,因多样作业条件或多数原因输入 的提供,有可能存在分布的混合.这种相异的根源是输出非对称的原因, 因此我们应该集中找出潜在原因
log2
1.5 1.0 0.5 0.0
0.5
左,右边斜型 例如
P-Value 0.824
进行正态性验证后 P-Value大于0.05 时此分布可以假定为正态的.即母集团 是正态分布时上述Sample是正态分布 的概率是82.4%.
2. 非正态分布的种类
但在现场我们经常遇到非正态分布的情况. 因此要正确理解非正态分布的形态及形状,这样才有助于问题的解决.
斜型(Skewness)
正态分布时 Skewness为0, 右边斜型分布是(+),左边斜型 分布是(-)值. 在左边图中Skewness值为2.186, 是(+)值,因此是右边斜型分布
尖度(Skewness)的解释
急尖或平尖分布的平均的分布在中心,但左,右两边的尾巴比正态分布 短或长. Kurtosis称为尖度,表示分布形态的平或尖的程度