8下一元一次不等式知识点及典型例题

一元一次不等式考点一、不等式的概念1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

5、用数轴表示不等式的方法考点二、不等式基本性质1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。

②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；考点三、一元一次不等式1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1考点四、一元一次不等式组1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

5、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

6、不等式与不等式组不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。

③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。

④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

7、不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

一不等式的概念：例判断下列各式是否是一元一次不等式？二不等式的解：三不等式的解集：例：判断下列说法是否正确，为什么？（1）X=2是不等式x+3＜2的解。

（3）X=2是不等式3x＜7的解。

（2）不等式3x＜7的解是x＜2。

（4）X=3是不等式3x≥9的解四一元一次不等式：例判断下列各式是否是一元一次不等式例五．不等式的基本性质问题例1 指出下列各题中不等式的变形依据例2 用>”或<”填空，并说明理由例3 把下列不等式变成x>a x<a的形式。

例4 已知实数a/b/c/在数轴上的对应点如图，则下列式子正确的是（）A cb>abB ac>abC cb<abD c+b<a+b例将下列不等式的解集在数轴上表示出来。

例１）求x+3＜6的所有正整数解例2）求10-4（x-3）≥2（x-1）的非负整数解，并在数轴上表示出来。

题型二：不等式与方程的综和题例1，关于Ｘ的不等式２ｘ－ａ≤－１的解集如图，求ａ的取值范围。

例2，不等式组{1591+++xxmx的解集是ｘ＞２，则ｍ的取值范围是？例3，若关于Ｘ、Ｙ的二元一次方程组{3135=+=-+yxpyx的解是正整数，求整数Ｐ的值。

题型三确定方程或不等式中的字母取值范围例1，ｋ为何值时方程５ｘ－６＝３（ｘ＋ｋ）的值是非正数例2，已知关于x的方程3k－5x＝－9的解是非负数，求k的取值范围例3，已知在不等式３ｘ－ａ≤０的正整数解是１，２，３，求ａ的取值范围。

例4，若方程组{kyxyx=-=+34532的解中x>y，求K的范围。

范围。

例7，若（a+1）x ＞a+1的解是x ＜1,求a 的范围。

例8，若{148-+x x a x 的解集为＞３，求ａ的取值范围。

例10，如果{0908≥--a x b x 的整数解为１、２、３，求整数ａ、ｂ的值。

题型五 求最小值问题题型六不等式解法的变式应用例1，根据下列数量关系，列不等式并求解 。

X 除以2的商加上2，至多为5。

A 与b 两数和的平方不可能大于3。

例2，ｘ取何值时，２（ｘ－２）－（ｘ－３）－６的值是非负数？题型七 解不等式方程例1，求方程４ｘ＋ｙ－２０＝０的正整数解。

例2，已知{ax a x >--<-223无解，求ａ的取值范围。

题型八 比较两个代数式值的大小一、选择题1，在平面直角坐标系中，若点P(m－3，m＋1)在第二象限，则m的取值范围为( )A．－1＜m＜3 B．m＞3 C．m＜－１D．m＞－１2，已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．3，四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S，如图3所示，则他们的体重大小关系是（）A、B、C、D、4，把不等式组的解集表示在数轴上正确的是（）5.不等式的解集是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．6.若不等式组有实数解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7，若，则的大小关系为（）A．B．C．D．不能确定8，不等式—x—5≤0的解集在数轴上表示正确的是（）9，不等式＜的正整数解有( )（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个10，把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是（）A．B．C．D．12，不等式组的解集在数轴上可表示为（）A B C D13，实数在数轴上对应的点如图所示，则，，的大小关系正确的是（）A．B．C．D．14，如图，a、b、c分别表示苹果、梨、桃子的质量．同类水果质量相等，则下列关系正确的是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b15，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）16，把不等式组的解集表示在数轴上，正确的为图3中的（）A．B．C．D．17，用表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（）19，在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（）二、填空题1，已知3x+4≤6+2(x-2),则的最小值等于________.2，如图，已知函数和的图象交点为，则不等式的解集为．3，不等式组的解集为．4，不等式组的整数解的个数为．5，.已知关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是．6.不等式组的解集是．7.已知不等式组的解集为－1＜x＜2，则(m＋n)2008＝__________．三、简答题1，解不等式组2，不等式组并写出该不等式组的最大整数解. 3，若不等式组的整数解是关于x的方程的根，求a的值。

4.解方程。

5.参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程的解为（2）解不等式≥9；（3）若≤a对任意的x都成立，求a的取值范围4，解不等式组并把解集表示在下面的数轴上.5，解不等式组6，解不等式组：并判断是否满足该不等式组．7，解不等式3x-2<7,将解集在数轴上表示出来,并写出它的正整数解．8，解不等式组，并写出它的所有整数解.9，解不等式组并求出所有整数解的和．不等式复习1 一：知识点回顾1、一元一次不等式（组）的定义：2、一元一次不等式（组）的解集、解法：3、求不等式组的解集的方法 ： 若a ＜b ，当时，x ＞b ；（同大取大） 当时，x ＜a ；（同小取小）当时，a ＜x ＜b ；（大小小大取中间） 当时无解，（大大小小无解）二：小试牛刀1、不等式8-3x ≥0的最大整数解是_______________.6、如图，直线y kx b =+经过点(12)A --，和点(20)B -，，直线2y x =过点A ，则不等式20x kx b <+<的解集为（ ） A ．2x <-B ．21x -<<-C ．20x -<<D ．10x -<<7、不等式组的解集为x ＜2，试求k 的取值范围______8、由 x ＞y 得 ax ≤ay 的条件是（ ）A.a ＞0B.a ＜0C.a ≥0D.a ≤0 9、由 a ＞b 得 am 2＞bm 2 的条件是（ ）A.m ＞0B.m ＜0C.m ≠0D.m 是任意有理数三：例题讲解1、已知关于x 的不等式2x+m>-5的解集如图所示，则m 的值为（ ） A, 1 B, 0 C, -1 D, 32、不等式2x+1<a 有3个正整数解，则a 的取值范围是？3、关于x 的不等式组⎩⎨⎧>->-010x a x 的整数解共有3个，则a 的取值范围是多少？4、若方程组⎩⎨⎧=-=+3,23x y k y x 解满足1,1><y x 且，求整数k 的取值范围。

5、若不等式组无解，求a 的取值范围.6、 已知不等式组2665ax ax b ->⎧⎨-<⎩的解集是1＜x ＜b ．则a ＋b 的值？7、某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A 、B 两种产品共50件，已知生产一件A 种产品用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B 种产品用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元。

（1）按要求安排A 、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；（2）设生产A 、B 两种产品总利润为y 元，其中一种产品生产件数为x 件，试写出y 与x 之间的函数关系式，并利用函数的性质说明那种方案获利最大？最大利润是多少？10，若方程组212x y x y m +=⎧⎨-=⎩的解x 、y 的值都不大于1，求m 的取值范围。

11，、不等式组 的整数解共有5个，则a 的取值范围是⎩⎨⎧->-≥-1230x a x一辆汽车不空也不满，请问有多少辆汽车？13、某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共100件，学校计划租用甲乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多载40人和10件行李；乙种汽车每辆最多载30人和20件行李。

（1）设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的方案（2）如果甲乙两种汽车每辆的租车费分别为2000，1800元，请你选择最省钱的一种租车方案。

14、为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m2，该村农户共有492户．(1)满足条件的方案共有几种?写出解答过程．(2) 通过计算判断，哪种建造方案最省钱．例3 若不等式-3x+n>0的解集是x<2，则不等式-3x+n<0的解集是_______．例5某童装加工企业今年五月份，•工人每人平均加工童装150套，最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60%．为了提高工人的劳动积极性，按照完成外商订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革．•改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资200元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元．（1）•为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准450元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元（精确到分）？（2）根据经营情况，企业决定每加工1套童装奖励5元．•工人小张争取六月份工资不少于1200元，问小张在六月份应至少加工多少套童装？A B C D．如图所示，O是原点，实数a，b，c•在数轴上对应的点分别为A，B，C，则下列结）元，一张彩色底片0.68元，扩印一张照片这张照片上的同学最少有（）20．王女士看中的商品在甲，乙两商场以相同的价格销售，两商场采用的促销方式不同：在甲商场一次性购物超过100元，超过的部分八折优惠；在乙商场一次性购物超过50元，超过的部分九折优惠，那么她在甲商场购物超过多少元就比在乙商场购物优惠？21．甲，乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，•各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，•超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超过部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元（x>300）．（1）请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；（2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．22．福林制衣厂现有24名制作服装工人，•每天都制作某种品牌衬衫和裤子，每人每天可制作衬衫3件或裤子5条．（1）若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等，则应安排制作衬衫和裤子各多少人？（2）已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，•若该厂要求每天获得利润不少于2100元，则至少需要安排多少名工人制作衬衫？23．某零件制造车间有工人20名，•已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，•每制造一个乙种零件可获利260元，在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，•其余工人制造乙种零件．（1）请写出此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的关系式；（2）若要使每天所获利润不低于24000元，•你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适？24．足球比赛的记分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1•场得0分，一支足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛8场，负了1场，得17分，请问：（1）前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？（3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛得分不低于29分，•就可以达到预期目标，请你分析一下，在后面的6场比赛中这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标？25．宏志高中高一年级近几年招生人数逐年增加，去年达到550名，•其中面向全省招收的“宏志班”学生，也有一般普通班学生．由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可以招20%，•“宏志班”学生可多招10%，问今年最少可招收“宏志班”学生多少名？一元一次不等式和一元一次不等式组一．填空题：1．若x <y ，则2-x 2-y ；（填“<、>或=”号）2．若93b a -<-，则b a _____3；（填“<、>或=”号） 3．不等式x 2≥2+x 的解集是_________； 4．当y _______时，代数式423y -的值至少为1；5．不等式0126<-x 的解集是___ ___； 6．不等式17>-x 的正整数解为： ；7．若一次函数62-=x y ，当x ___ __时，0>y ；8．x 的53与12的差不小于6，用不等式表示为__________________； 9．不等式组⎩⎨⎧>+<-023032x x 的整数解是______________； 10．若关于x 的方程组⎩⎨⎧-=++=+134123p y x p y x 的解满足x >y ，则P 的取值范围是_________； 二．选择题：（每小题3分，共30分）11．若a >b ,则下列不等式中正确的是 （ ）（A ） 0<-b a （B ） b a 55-<- （C ） 88-<+b a （D ） 44b a < 12．在数轴上表示不等式x ≥2-的解集，正确的是 （ ）（A ） （B ） （C ） （D ）13．已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为 （ ）（A ） x ≥1- （B ） 1>x（C ） 13-≤<-x （D ） 3->x14．不等式)2(2-x ≤2-x 的非负整数解的个数为（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 415．下列不等式求解的结果，正确的是⎧-≤3x ⎧->5x（C ）不等式组⎩⎨⎧-<>75x x 无解 （D ）不等式组⎩⎨⎧->≤310x x 的解集是103≥≤-x 16．把不等式组⎩⎨⎧≤->+0101x x 的解集表示在数轴上，正确的是图中的 （ ）17．如图⑴所示，天平右盘中的每个破码的质量都是1g ，则物体 A 的质量m (g)的取值范围．在数轴上：可表示为图中的 ( ）18．已知关于x 的不等式3)1(>-x a 的解集为ax -<13，则a 的取值范围是（ ） （A ） 0>a （B ） 1>a （C ） 0<a （D ） 1<a19．一次函数323+-=x y 的图象如图所示，当33<<-y 时，x 的取值范围是（ ） （A ） 4>x （B ） 20<<x（C ） 40<<x （D ） 42<<x 20．观察下列图像，可以得出不等式组⎩⎨⎧>+->+015.0013x x 的解集（ ） （A ） 31<x （B ） 031<<-x （C ） 20<<x （D ） 231<<-x 三．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来：21． 4352+>-x x 22．)1(2)3(410-≤--x x23． ⎩⎨⎧+≥--≥+x x x x 2236523 24．⎪⎩⎪⎨⎧->+≥--13214)2(3x x x x 25． x 为何值时,代数式5123--+x x 的值是非负数？26、已知：关于x 的方程m x m x =--+12的解是非正数，求m 的取值范围．27．我市移动通讯公司开设了两种通讯业务，A 类是固定用户：先缴50元基础费，然后每通话1分钟再付话费0.4元；B 类是“神州行”用户：使用者不缴月租费，每通话1分钟会话费0.6元（这里均指市内通话）；若果一个月内通话时间为x 分钟，分别设A 类和B 类两种通讯方式的费用为元元和21y y ，（1）写出1y 、2y 与x 之间的函数关系式；（2）一个月内通话多少分钟，用户选择A 类合算？还是B 类合算？（3）若某人预计使用话费150元，他应选择哪种方式合算？28．有一群猴子，一天结伴去偷桃子，在分桃子时，如果每个猴子分了3个，那么还剩59个；如果每一个猴子分5个，就都能分得桃子，但剩下一个猴子分得的桃子不够5个，你能求出有几只猴子，几个桃子吗选作：某校初三年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人；已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元.（1）该校初三年级共有多少人参加春游？（2）请你帮该校设计一种最省钱．．．的租车方案．。