求实系数一元三次方程根的实用公式
一元3次方程的求根公式
一元3次方程的求根公式一元三次方程的求根公式，这可是数学世界里一个有点复杂但又超级有趣的家伙！咱先来说说啥是一元三次方程哈。
就比如说 x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 这样的式子，只有一个未知数 x ，最高次项是 3 ，这就是一元三次方程啦。
那求根公式到底是啥呢？它可不像一元二次方程的求根公式那么简单直接。
一元三次方程的求根公式叫卡尔丹公式。
这公式写出来有点长，也有点复杂，看着就让人头大。
我还记得我当年学这个的时候，那真是费了老大的劲。
老师在黑板上不停地写啊写，我在下面眼睛瞪得老大，脑子疯狂转。
当时我旁边的同桌，一个劲儿地挠头，嘴里还嘟囔着：“这咋这么难啊！” 我心里也犯嘀咕，但还是硬着头皮跟着老师的思路走。
咱来看看这个公式具体是啥样的。
一般的一元三次方程可以写成ax³ + bx² + cx + d = 0 的形式（a ≠ 0 ），然后通过一系列复杂的变换和推导，就能得到求根公式。
这里面涉及到好多计算和推理，稍不留神就容易出错。
不过啊，别被它吓到。
虽然公式复杂，但只要咱们掌握了方法，多做几道题练练手，也能慢慢搞明白。
就像我当初，课后自己做了好多练习题，一开始总是出错，不是这儿算错了，就是那儿忘变号了。
但坚持下来，慢慢地就找到感觉了。
其实在实际生活中，一元三次方程也有用武之地呢。
比如说工程计算里，设计一些复杂的结构时，可能就会用到。
学习一元三次方程的求根公式，就像是在攻克一座城堡。
有时候觉得自己怎么都攻不下来，可只要不放弃，一点一点地突破，最终还是能成功的。
希望大家在面对这个有点难啃的骨头时，都能有耐心和勇气，把它拿下！。
一元三次方程求根
[编辑本段]解一元三次方程的卡尔丹公式法卡尔丹公式法特殊型一元三次方程X^3＋pX＋q=0 (p、q∈R)。
判别式Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3。
卡尔丹公式X1=(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)；X2= (Y1)^(1/3)ω＋(Y2)^(1/3)ω^2；X3=(Y1)^(1/3)ω^2＋(Y2)^(1/3)ω，其中ω=(－1＋i3^(1/2))/2；Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2)。
标准型一元三次方程aX ^3＋bX ^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
令X=Y—b/(3a)代入上式。
可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3＋pY＋q=0。
卡尔丹判别法当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。
解一元三次方程的其他方法[编辑本段]解一元三次方程的其他方法除了上文中的卡尔丹公式解法，一元三次方程还有其它解法，列举如下：1.因式分解法因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。
当然，对一些简单的三次方程能用因式分解求解的，当然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。
例如：解方程x^3-x=0对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0；x2=1；x3=—1。
2.另一种换元法对于一般形式的三次方程，先将方程化为x^3+px+q=0的特殊型。
令x=z—p/3z，代入并化简，得：z^3-p/27z+q=0。
再令z=w，代入，得：w^2+p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程。
解出w，再顺次解出z，x。
3.盛金公式法三次方程应用广泛。
一元三次方程的求根公式
一、一元二次方程的回顾和启示学过初中数学都知道任何一个实系数一元二次方程 ax^2+bx+c=0,~a \neq 0通过配方可以得到 \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}，根据判别式 \Delta=b^2-4ac的符号，可以判断方程实根的个数，并且可以得到求根公式x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\\\Delta>0时方程有 2个不同的实根，\Delta=0时有 1个二重实根，\Delta<0时有是 1对共轭虚根 \Delta<0；计算重数的情况下都是 2个根。
记两根为x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} ,~ x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\由根的表达式可以直接验证韦达定理：两根之和 x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}以及两根之积 x_1x_2=\dfrac{c}{a}，判别式 \Delta=a^2(x_1-x_2)^2.求根公式看上去复杂，但如果把上述两式代入求根公式，就可以得到x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\left(-\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}}=\frac{x_1+x_2}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)^2}=\frac{x_1+x_2}{2}\pm\frac{x_1-x_2}{2}\\注：如果 x_1,~x_2是共轭虚根，x_1-x_2就是纯虚数，对负数 \left(\dfrac{x_1-x_2}{2}\right)^2开方不能得到 \dfrac{|x_1-x_2|}{2}.几何意义：记 s=\dfrac{x_1+x_2}{2}=-\dfrac{b}{2a}是两根的平均值，乘积为 p=x_1x_2=\dfrac{c}{a}. 如果 x_1,~x_2都是实根，则 d=\dfrac{|x_1-x_2|}{2}=\sqrt{s^2-p}是根到平均值的距离。
求实系数一元三次方程根的实用公式
求实系数一元三次方程根的实用公式在数学书籍或数学手册中，对一元三次方程求根公式的叙述都是沿用“卡丹公式”，即：对于一元三次方程：设，则它的三个根的表达式如下：其中，我们先用该公式解一个一元三次方程：。
解：p= 9，q=6，T= 3，D= 18，原方程的三个根为这样求出的三个根的表达式有两个不妥之处：其一、当时，方程有三个实根（下文给出证明），但这里的、、表达式不明确。
其二、当时，以及（如此例中的）违背了现行中等数学的表示规范，也不能具体地求出其值。
因此，用“卡丹公式”解出的一元三次方程的根，往往是不实用、不直观、不严密的。
下面我们推导一个实用的改进型求根公式。
实系数一元三次方程可写为（1）令，代入（1）得（2）其中，不失一般性，我们只要讨论实系数一元三次方程的求根公式即可。
不妨设p、q均不为零，令y=u+v（3）代入（2）得，（4）选择u、v，使得，即（5）代入（4）得，（6）将（5）式两边立方得，（7）联立（6）、（7）两式，得关于的方程组：，且问题归结于上述方程组的求解。
即求关于t的一元二次方程的两根、，设，，，又记的一个立方根为，则另两个立方根为，，其中，为1的两个立方虚根。
以下分三种情形讨论：1）若，即D>0，则、均为实数，可求得，，取，，在，组成的九个数中，有且只有下面三组满足，即、；、；、，也就是满足，方程（2）的根为，，，这是方程（2）有一个实根，两个共轭虚根，，其表达式就是前面给出的“卡丹公式”的形式，这里的根式及都是在实数意义下的。
2）若，即时，可求得，取同理，可求得方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。
3）若，即D<0时，，p<0，，则、均为虚数，求出、并用三角式表示，就有，，其中T，都是实数，同理，其中，且取，，则显然，当且仅当取，；，；，这三组时才满足，于是方程（2）得三个实根为，，，具体表示出来就为：其中当时，方程（2）有三个实根。
综上所述，实系数一元三次方程的求根公式如下：令，，，，1）当时，方程有一个实根和两个共轭虚根，2）当时，方程有三个实根，其中至少有两个相等的实根，，，3）当时，方程有三个实根，，上面提供的公式，可以求出任意实系数一元三次方程的根的具体值，是实用性的。
求根公式解一元三次方程
求根公式解一元三次方程一元三次方程，这可是个让不少同学头疼的“小怪兽”。
但别怕，咱们有求根公式这个“秘密武器”，能把它打得落花流水！还记得我上高中那会，数学老师在黑板上写下一个复杂的一元三次方程，然后神秘兮兮地说：“同学们，今天咱们来挑战这个‘大魔王’！”大家都一脸紧张又期待。
求根公式解一元三次方程，听起来就很厉害的样子。
其实它就像一把万能钥匙，能打开一元三次方程这扇神秘的大门。
咱们先来说说一元三次方程一般的形式：ax³ + bx² + cx + d = 0（a ≠ 0）。
那求根公式呢，看起来有点复杂，一堆字母和符号，不过别怕，咱们一步步来拆解。
这求根公式里涉及到不少计算和推导，需要咱们有耐心和细心。
就像做一道美味的菜肴，每一步都要精心准备。
比如说，要先计算出一些中间量，像Δ 等等。
给大家举个例子吧。
假设有个方程 x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 。
咱们先用求根公式里的方法，计算出相应的数值。
这过程就像是在搭积木，一块一块，小心翼翼。
在计算的过程中，可不能马虎。
一个小数点，一个正负号，都可能让结果相差千里。
这就好比在走钢丝，得保持平衡，不能有一点偏差。
当咱们终于算出结果，那种成就感，就像在沙漠里走了很久终于找到了绿洲。
不过，掌握求根公式解一元三次方程，不是一蹴而就的。
得不断练习，不断琢磨。
有时候，可能会被难题卡住，感觉就像走进了一个迷宫。
但只要不放弃，坚持探索，总会找到出口。
就像我当初，为了搞懂一道一元三次方程的题目，在自习室里苦思冥想了好几个小时。
草稿纸用了一张又一张，笔都快写没水了。
最后，当我终于算出正确答案的时候，那种喜悦，简直无法形容。
总之，求根公式解一元三次方程虽然有点难，但只要咱们用心去学，多做练习，就一定能攻克这个难关。
相信自己，咱们都是数学小能手！现在，大家是不是对求根公式解一元三次方程没那么害怕啦？那就赶紧拿起笔，去挑战更多的题目吧！。
一元三次方程的解法详细
详细一元三次方程023=+++d cx bx ax 的解法先把方程023=+++d cx bx ax 化为03=++q px x 的形式： 令ab y x 3-=，则原式变成 0)3()3()3(23=+-+-+-d ab yc a b y b a b y a 0)3()932()273(222332223=+-++-+-+-d a b y c a b a by y b a b a y b a by y a 03932273232223223=+-++-+-+-d a bc cy a b y a b by a b y a b by ay 0)3272()3(2323=-++-+a bc a b d y a b c ay 0)3272()3(233223=-++-+a bc a b a d y a b a c y 如此一来二次项就不見了，化成03=++q py y ，其中223a b a c p -=，2333272a bc a b a d q -+=。
---------------------------对方程03=++q py y 直接利用卡尔丹诺公式：3323321)3()2(2)3()2(2p q q p q q y +--+++-= 33223322)3()2(2)3()2(2p q q p q q y +--⋅+++-⋅=ωω 33233223)3()2(2)3()2(2p q q p q q y +--⋅+++-⋅=ωω 其中i 31+-=ω。
32)3()2(pq +=∆是根的判别式：Δ＞0时，有一个实根两个虚根；Δ＝0时，有三个实根，且其中至少有两个根相等；Δ＜0时，有三不等实根。
附：方程03=++q py y （2）求根公式的推导过程： 不妨设p 、q 均不为零，令v u y += （3）代入（2）得，0)3)((33=+++++q p uv v u v u （4）选择u 、v ，使得0p 3uv =+，即3p uv -= （5） 代入（4）得，q v u -=+33 （6）将（5）式两边立方得，27333p v u -= （7） 联立（6）、（7）两式，得关于3u 、3v 的方程组：32733333p uv p v u q v u -=⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+ ，且 于是问题归结于求上述方程组的解，即关于t 的一元二次方程02732=-+p qt t 的两根3u 、3v 。
一元三次方程函数求根公式
一元三次方程函数求根公式一元三次方程函数求根公式，这可是数学世界里一个相当有趣的话题。
咱先来说说啥是一元三次方程。
简单来讲，就是形如$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$（其中$a\neq 0$）这样的式子。
那为啥要研究它的求根公式呢？就好比你要打开一个神秘的宝箱，求根公式就是那把关键的钥匙。
话说我之前教过一个学生，叫小李。
这孩子特别聪明，就是遇到一元三次方程的时候有点犯迷糊。
有一次，我在黑板上写了一道一元三次方程的题目，小李看了半天，眉头皱得紧紧的，就像打了个死结。
我跟他说：“别着急，咱们一步步来。
” 我先给他讲了一元二次方程的求根公式，他一听就懂，还挺得意。
可当我说到一元三次方程的时候，他那眼神又迷茫了。
咱们接着说一元三次方程的求根公式。
这公式看起来挺复杂的，叫卡尔丹公式。
它的形式是这样的：假设方程$x^3 + px + q = 0$，令$x = u + v$，代入方程后得到：$(u + v)^3 + p(u + v) + q = 0$展开并整理得到：$u^3 + v^3 + 3uv(u + v) + p(u + v) + q = 0$再令$3uv = -p$，就可以得到一个关于$u^3$和$v^3$的二元方程组。
解这个方程组，就能得到$u^3$和$v^3$的值，进而求出$u$和$v$，最终得到方程的根。
听起来是不是有点晕？其实啊，多做几道题，多琢磨琢磨，也就慢慢明白了。
就像小李，一开始晕头转向的，后来我给他布置了几道练习题，让他自己去琢磨。
他一开始做得磕磕绊绊，还老出错。
但是这孩子有股子不服输的劲儿，错了就改，不会就问。
经过几天的努力，他终于掌握了一元三次方程的求根方法。
有一天，他兴冲冲地跑来找我，说：“老师，我现在不怕一元三次方程啦！” 看着他那开心的样子，我也打心眼里高兴。
总之，一元三次方程的求根公式虽然复杂，但只要咱们有耐心，多练习，就一定能掌握。
别被它一开始的样子吓到，就像小李一样，勇敢地去面对，总会找到解决的办法。
方程求根公式法范文
方程求根公式法范文方程求根公式法是一种利用代数方法来求解方程根的方法。
它基于代数学中的根与系数之间的关系，通过一定的变形和运算找到方程的根。
这种方法通常适用于一次、二次、三次和四次方程。
本文将详细介绍这些方程的求根公式和求解方法。
一次方程的求根公式法：一次方程的标准形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，且a≠0。
方程的根可以通过简单的代数运算得到：x=-b/a这个根就是方程的解。
对于一次方程来说，求解过程非常简单。
二次方程的求根公式法：二次方程的标准形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知数，且a≠0。
对于这种方程，可以使用求根公式来计算根的值：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)其中±表示两个根，一个取加号，一个取减号。
这个公式被称为二次方程的求根公式。
需要注意的是，方程有三种可能的情况：1. 如果b^2 - 4ac > 0，方程有两个实数根；2. 如果b^2 - 4ac = 0，方程有一个实数根；3. 如果b^2 - 4ac < 0，方程没有实数根，但有两个虚数根。
三次方程的求根公式法：三次方程的标准形式为ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c和d为已知数，且a≠0。
对于这种方程，可以使用卡尔达诺公式来计算根的值：x=(q+∛(q^2+p^3))^1/3+(q-∛(q^2+p^3))^1/3-b/(3a)其中，p = (3ac - b^2)/(9a^2) 和 q = (9abc - 27a^2d -2b^3)/(54a^3)。
这个公式被称为三次方程的求根公式。
四次方程的求根公式法：四次方程的标准形式为ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其中a、b、c、d和e为已知数，且a≠0。
四次方程的求根公式较为复杂，可以使用费拉里公式来计算根的值。
费拉里公式涉及复数和虚数的运算，因此在计算过程中需要使用复数计算的相关知识。
一元三次方程求根公式的解法
一元三次方程求根公式的解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。
归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。
归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。
方法如下：（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知 (5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A 和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)可化为(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。
一元三次方程的求根公式
一元三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”一元三次方程的一般形式是x3+sx2+tx+u=0如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。
所以我们只要考虑形如x3=px+q的三次方程。
假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。
代入方程，我们就有a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q整理得到a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，3ab+p=0。
这样上式就成为a3-b3=q两边各乘以27a3，就得到27a6-27a3b3=27qa3由p=-3ab可知27a6 + p = 27qa3这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。
进而可解出b和根x.除了求根公式和因式分解外还可以用图象法解，中值定理。
很多高次方程是无法求得精确解的，对于这类方程，可以使用二分法，切线法，求得任意精度的近似解。
参见同济四版的高等数学。
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。
我归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。
归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。
方法如下：（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)可化为(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)后记：一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。
一元三次方程的解法求根公式
一元三次方程的解法求根公式一元三次方程是形如ax^3+bx^2+cx+d=0的方程，其中a、b、c、d都是已知的实数系数，x是未知数。
求出这个方程的解法也就是求出它的根公式。
一元三次方程的求根公式较为繁琐，分为两种情况：情况一：方程的三个根都是实数设方程的三个根为x1、x2、x3，那么解法如下：1.计算p和q：p = b/aq = c/a2.计算x和y：x = (q/2)^3 + (p/3)q - (1/3)(b/a)^2y = (q/2)^2 - (2/3)(b/a)3.计算r和θr = [(-x)^2 + (-y)^3]^(1/2)θ = arctan[(-y)/(-x)]4.计算方程的三个根：x1 = 2r*cos(θ/3) - p/3x2 = 2r*cos((θ+2π)/3) - p/3x3 = 2r*cos((θ+4π)/3) - p/3其中，π为圆周率，arctan是反正切函数，cos是余弦函数。
情况二：方程的一个根是实数，另外两个根是共轭复数设方程的一个实根为x1，另外两个根为x2=a+bi和x3=a-bi，那么解法如下：1.计算p和q：p = b/aq = c/a2.计算r和θ：r = [p^2/3 + (q-2p^3/27)^(1/2)]^(1/3)θ = arctan[(3q-p^2)/(2p^(3/2))]3.根据实根x1和复根的关系，可以得到：a = -p/3b = (x1-a)*√(3*r^2-p)/2c = -(x1-a)*√(3*r^2-p)/24.方程的三个根就可以表示为：x1x2 = a + bix3 = a - bi其中，√是平方根函数。
以上就是一元三次方程解法求根公式的全过程。
需要注意的是，在实际应用中，由于计算过程中可能存在大量的乘方和根号，为了避免精度误差，可以采用数值计算方法来求解方程的根。
一元三次方程求实根
一元三次方程求实根
一元三次方程的一般形式为ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c和d为实数且a不等于0。
要求一元三次方程的实根，可以通过多种方法，包括因式分解、求根公式、牛顿迭代法等。
下面我将从这几个角度来详细解答你的问题。
首先，我们可以尝试因式分解。
但是一元三次方程的因式分解通常比较复杂，因此这种方法并不总是适用。
其次，我们可以使用求根公式。
一元三次方程的求根公式并不像一元二次方程那样简单，但是它确实存在。
一元三次方程的求根公式是一个较为复杂的公式，可以用来计算实数根和复数根。
如果方程的系数都是实数，并且无法因式分解，那么可以使用求根公式来求解实根。
另外，我们还可以使用数值方法，比如牛顿迭代法。
牛顿迭代法是一种通过不断逼近函数零点的方法，可以用来求解复杂方程的根。
通过不断迭代，可以逼近方程的实根。
总之，求解一元三次方程的实根是一个复杂而繁琐的过程，需
要根据具体的方程来选择合适的方法。
在实际应用中，通常会结合多种方法来求解一元三次方程的实根，以确保得到准确的结果。
希望我的回答能够帮助到你。
一元三次方程求根公式推导方法
一元三次方程求根公式推导方法宝子，今天咱们来唠唠一元三次方程求根公式的推导，这可有点小烧脑，但超有趣呢。
一元三次方程的一般形式是ax³+bx²+cx + d = 0。
咱们先想法子把它简化一下。
通过一个小技巧，设x = y - b/(3a)，把这个代入原方程，就能得到一个关于y 的方程，这个方程就没有二次项啦，形式变成了y³+py+q = 0，这里的p和q呢是根据原来方程的系数a、b、c、d算出来的。
那接下来咋整呢？咱们引入两个新的变量，设y = u+v。
把y = u + v代入y³+py+q = 0就得到(u + v)³+ p(u + v)+q = 0。
展开这个式子就有u³+v³+3uv(u + v)+p(u + v)+q = 0。
咱们再让3uv = - p，这样就可以把式子简化一下。
由3uv = - p可以得到v = - p/(3u)。
再把v = - p/(3u)代入u³+v³+q = 0这个式子，就得到u³ - p³/(27u ³)+q = 0。
这时候把u³看成一个整体，设u³ = t，那么方程就变成了t²+qt - p³/27 = 0，这就是一个一元二次方程啦。
一元二次方程求根公式咱都很熟啦，就可以求出t的值。
求出t之后呢，再把t开立方得到u的值，然后根据v = - p/(3u)求出v的值。
最后把u和v加起来就是y的值啦，再把y = x + b/(3a)代回去，就求出x的值了。
宝子，一元三次方程求根公式推导虽然有点绕，但就像玩一个很有挑战性的游戏一样。
每一步都像是解开一个小谜题，当最后得到求根公式的时候，就有一种超级成就感呢。
希望你也能感受到这个推导过程的乐趣呀。
一元三次方程最简单三个公式
一元三次方程最简单三个公式一元三次方程啊，这可是数学里有点难度但又很有趣的一部分！咱先来说说一元三次方程一般形式：ax³ + bx² + cx + d = 0 （a ≠ 0）。
要解决它，还真得靠几个公式帮忙。
第一个公式叫卡尔丹公式。
这个公式看起来有点复杂，但是别怕，咱们一点点来。
假设方程 x³ + px + q = 0 ，那它的解就是x =³√[ -q/2 +√((q/2)² + (p/3)³) ] + ³√[ -q/2 - √((q/2)² + (p/3)³) ] 。
是不是看着有点晕？我给您举个例子哈。
比如说有个方程 x³ + 3x + 2 = 0 ，这里 p = 3，q =2 。
咱们就照着公式来，先算里面的那些根号里的东西，然后一步步得出解。
第二个公式是盛金公式。
这个公式相对来说可能更好理解一点。
假设一元三次方程是 ax³ + bx² + cx + d = 0 ，先算 A = b² - 3ac ，B = bc -9ad ，C = c² - 3bd 。
然后根据不同的情况，有不同的解的表达式。
第三个公式呢，是根与系数的关系。
假设方程的三个根是x1 、x2 、x3 ，那就有 x1 + x2 + x3 = -b/a ，x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a ，x1x2x3 = -d/a 。
记得我当年教学生的时候，有个学生怎么都搞不明白这些公式。
我就一点点给他讲，从最基本的概念开始，让他自己动手去算一些简单的例子。
一开始他总是出错，急得满头大汗。
我就鼓励他别着急，慢慢来。
后来啊，经过反复练习，他终于掌握了，那高兴劲儿，就像解开了一个超级大谜团一样！其实啊，学习一元三次方程的这些公式，就像是在解谜。
每一步的计算，每一个符号的处理，都是在寻找那个最终的答案。
4.2一元三次方程的求根公式
1一元三次方程的求根公式1、一般三次方程320ax bx cx d 。
上式除以a ,并设3b x y a ， 则化为如下的形式：30y py q ， 2232332792,327ac b a d abc b p q a a ，则三个根为： 113b x y a ； 223b x y a ； 333b x y a。
2、30y py q 的三个根为：1y ；22y23y 。
其中12；212 。
判别式：2323q p 。
一元三次方程的卡尔丹公式与盛金公式（使用MathType5.2软件公式编辑器编辑的精华版）一元三次方程的解法的历史人类很早就掌握了一元二次方程的解法，但是对一元三次方程的研究，则是进展缓慢。
古代中国、希腊和印度等地的数学家，都曾努力研究过一元三次方程，但是他们所发明的几种解法，都仅仅能够解决特殊形式的三次方程，对一般形式的三次方程就不适用了。
在十六世纪的欧洲，随着数学的发展，一元三次方程也有了固定的求解方法。
在很多数学文献上，把三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”，这显然是为了纪念世界上第一位发表一元三次方程求根公式的意大利数学家卡尔丹诺。
那么，一元三次方程的通式解，是不是卡尔丹诺首先发现的呢？历史事实并不是这样。
数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛·冯塔纳（Niccolo Fontana）。
冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才，成为十六世纪意大利最有成就的学者之一。
由于冯塔纳患有“口吃”症，所以当时的人们昵称他为“塔尔塔里亚”（Tartaglia）， 也就是意大利语中“结巴”的意思。
后来的很多数学书中，都直接用“塔尔塔里亚”来称呼冯塔纳。
经过多年的探索和研究，冯塔纳利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法。
这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲。
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求实系数一元三次方程根的实用公式
在数学书籍或数学手册中，对一元三次方程求根公式的叙述都是沿用“卡丹公式”，即：对于一元三次方程：
设，
则它的三个根的表达式如下：
其中，
我们先用该公式解一个一元三次方程：。
解： p=- 9，q=6，∴T=- 3，D=- 18，
∴原方程的三个根为
这样求出的三个根的表达式有两个不妥之处：
其一、当时，方程有三个实根（下文给出证明），但这里的、
、表达式不明确。
其二、当时，以及（如此例中的）违背了现行中等数学的表示规范，也不能具体地求出其值。
因此，用“卡丹公式”解出的一元三次方程的根，往往是不实用、不直观、不严密的。
下面我们推导一个实用的改进型求根公式。
实系数一元三次方程可写为（1）
令，代入（1）得（2）
其中，
不失一般性，我们只要讨论实系数一元三次方程的求根公式即可。
不妨设p、q均不为零，令y=u+v（3）
代入（2）得，（4）
选择u、v，使得，即（5）
代入（4）得，（6）
将（5）式两边立方得，（7）
联立（6）、（7）两式，得关于的方程组：
，且
问题归结于上述方程组的求解。
即求关于t的一元二次方程的两根、，
设，，，
又记的一个立方根为，则另两个立方根为，，
其中，为1的两个立方虚根。
以下分三种情形讨论：
1）若，即D>0，则、均为实数，
可求得，，
取，，
在，组成的九个数中，
有且只有下面三组满足，
即、；、；、，
也就是满足，
∴方程（2）的根为，，，这是方程（2）有一个实根，两个共轭虚根，，
其表达式就是前面给出的“卡丹公式”的形式，
这里的根式及都是在实数意义下的。
2）若，即时，
可求得，取
同理，可求得
∴方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。
3）若，即D<0时，
，∴p<0，，
则、均为虚数，求出、并用三角式表示，
就有，，
其中T，都是实数，
同理，
其中，且
取，，则
显然，当且仅当取，；，；，
这三组时才满足，
于是方程（2）得三个实根为，，，具体表示出来就为：
其中
当时，方程（2）有三个实根。
综上所述，实系数一元三次方程的求根公式如下：令，，，
，
1）当时，方程有一个实根和两个共轭虚根，
2）当时，方程有三个实根，其中至少有两个相等的实根，
，，
3）当时，方程有三个实根，
，
上面提供的公式，可以求出任意实系数一元三次方程的根的具体值，是实用性的。
这里用以下几个解一元三次方程的实例来说明该公式的应用。
例一、解方程。
解： p=- 27，q=54，∴D=0，
∴原方程的根为，。
例二、解方程。
解： p=9，q=4，∴D=31>0，
∴原方程有一个实根和两个共轭虚根：
例三、解方程。
解： p=- 9，q=6，∴D=- 18<0，∴原方程有三个实根：
通过差表或计算器、计算机可计算得：
这在工程技术上是极其有用的。