一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
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一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
【学习目标】
1、学会用韦达定理求代数式的值。
2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。
3、理解并掌握应用韦达定理构造方程,解方程组。
4、能应用韦达定理分解二次三项式。 知识框图
求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程
方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解 【内容分析】
韦达定理:对于一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠,如果方程有两个实数根12,x x ,那么
1212,b c
x x x x a a
+=-=
说明:(1)定理成立的条件0∆≥ (2)注意公式重12b
x x a
+=-的负号与b 的符号的区别 根系关系的三大用处 (1)计算对称式的值
例 若12,x x 是方程2
220070x x +-=的两个根,试求下列各式的值:
(1) 22
12x x +;
(2)
12
11x x +; (3) 12(5)(5)x x --; (4) 12||x x -.
解:由题意,根据根与系数的关系得:12122,2007x x x x +=-=-
(1) 2222
121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=
(2)
1212121122
20072007
x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=- (4) 22212121212||()()4(2)4(2007)22008x x x x x x x x -=
-=+-=---=说明:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:
222121212()2x x x x x x +=+-,
121212
11x x x x x x ++=,22
121212()()4x x x x x x -=+-,
2121212||()4x x x x x x -=+-,2212121212()x x x x x x x x +=+,
33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等.韦达定理体现了整体思想.
【课堂练习】
1.设x 1,x 2是方程2x 2-6x +3=0的两根,则x 12+x 22
的值为_________
2.已知x 1,x 2是方程2x 2
-7x +4=0的两根,则x 1+x 2= ,x 1·x 2= ,
(x 1-x 2)2
=
3.已知方程2x 2
-3x+k=0的两根之差为212
,则k= ;
4.若方程x 2
+(a 2
-2)x -3=0的两根是1和-3,则a= ;
5.若关于x 的方程x 2+2(m -1)x+4m 2
=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m 的值为 ;
6. 设x 1,x 2是方程2x 2
-6x+3=0的两个根,求下列各式的值: (1)x 12x 2+x 1x 22
(2) 1x 1 -1x 2
7.已知x 1和x 2是方程2x 2-3x -1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
22
21x 1x 1+
(2)构造新方程
理论:以两个数为根的一元二次方程是。
例 解方程组 x+y=5
xy=6 解:显然,x ,y 是方程z 2
-5z+6=0 ① 的两根 由方程①解得 z 1=2,z 2=3 ∴原方程组的解为 x 1=2,y 1=3
x 2=3,y 2=2 显然,此法比代入法要简单得多。 (3)定性判断字母系数的取值范围
例 一个三角形的两边长是方程的两根,第三边长为2,求k 的取值范围。
解:设此三角形的三边长分别为a 、b 、c ,且a 、b 为的两根,则c=2
由题意知
△=k 2
-4×2×2≥0,k ≥4或k ≤-4
∴
为所求。
【典型例题】
例1 已知关于x 的方程2
2
1(1)104
x k x k -++
+=,根据下列条件,分别求出k 的值. (1) 方程两实根的积为5; (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =.
分析:(1) 由韦达定理即可求之;(2) 有两种可能,一是120x x =>,二是12x x -=,所以要分类讨论.
解:(1) ∵方程两实根的积为5
∴ 2
22121[(1)]4(1)034,41215
4
k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨
⎪=+=⎪⎩ 所以,当4k =时,方程两实根的积为5. (2) 由12||x x =得知: ①当10x ≥时,12x x =,所以方程有两相等实数根,故3
02
k ∆=⇒=
; ②当10x <时,12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-,由于
3
02
k ∆>⇒>
,故1k =-不合题意,舍去.
综上可得,3
2
k =
时,方程的两实根12,x x 满足12||x x =. 说明:根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值,务必要注意方程有两实根的条件,即所求的字母应满足0∆≥.
例2 已知12,x x 是一元二次方程2
4410kx kx k -++=的两个实数根.
(1) 是否存在实数k ,使12123
(2)(2)2
x x x x --=-
成立?若存在,求出k 的值;若不存在,请您说明理由.
(2) 求使
12
21
2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值. 解:(1) 假设存在实数k ,使12123
(2)(2)2
x x x x --=-成立. ∵ 一元二次方程2
4410kx kx k -++=的两个实数根
∴ 2
400(4)44(1)160
k k k k k k ≠⎧⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎩,
又12,x x 是一元二次方程2
4410kx kx k -++=的两个实数根
∴ 1212114x x k x x k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩
∴ 222
121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+-
939
425
k k k +=-
=-⇒=,但0k <.
∴不存在实数k ,使12123
(2)(2)2
x x x x --=-
成立.
(2) ∵ 222121212211212()44
224411
x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-
++
∴ 要使其值是整数,只需1k +能被4整除,故11,2,4k +=±±±,注意到0k <,
要使
12
21
2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---. 说明:(1) 存在性问题的题型,通常是先假设存在,然后推导其值,若能求出,则说明存在,否则即不存在.
(2) 本题综合性较强,要学会对
4
1
k +为整数的分析方法.