一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)

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一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)

【学习目标】

1、学会用韦达定理求代数式的值。

2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。

3、理解并掌握应用韦达定理构造方程,解方程组。

4、能应用韦达定理分解二次三项式。 知识框图

求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程

方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解 【内容分析】

韦达定理:对于一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠,如果方程有两个实数根12,x x ,那么

1212,b c

x x x x a a

+=-=

说明:(1)定理成立的条件0∆≥ (2)注意公式重12b

x x a

+=-的负号与b 的符号的区别 根系关系的三大用处 (1)计算对称式的值

例 若12,x x 是方程2

220070x x +-=的两个根,试求下列各式的值:

(1) 22

12x x +;

(2)

12

11x x +; (3) 12(5)(5)x x --; (4) 12||x x -.

解:由题意,根据根与系数的关系得:12122,2007x x x x +=-=-

(1) 2222

121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=

(2)

1212121122

20072007

x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=- (4) 22212121212||()()4(2)4(2007)22008x x x x x x x x -=

-=+-=---=说明:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:

222121212()2x x x x x x +=+-,

121212

11x x x x x x ++=,22

121212()()4x x x x x x -=+-,

2121212||()4x x x x x x -=+-,2212121212()x x x x x x x x +=+,

33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等.韦达定理体现了整体思想.

【课堂练习】

1.设x 1,x 2是方程2x 2-6x +3=0的两根,则x 12+x 22

的值为_________

2.已知x 1,x 2是方程2x 2

-7x +4=0的两根,则x 1+x 2= ,x 1·x 2= ,

(x 1-x 2)2

3.已知方程2x 2

-3x+k=0的两根之差为212

,则k= ;

4.若方程x 2

+(a 2

-2)x -3=0的两根是1和-3,则a= ;

5.若关于x 的方程x 2+2(m -1)x+4m 2

=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m 的值为 ;

6. 设x 1,x 2是方程2x 2

-6x+3=0的两个根,求下列各式的值: (1)x 12x 2+x 1x 22

(2) 1x 1 -1x 2

7.已知x 1和x 2是方程2x 2-3x -1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:

22

21x 1x 1+

(2)构造新方程

理论:以两个数为根的一元二次方程是。

例 解方程组 x+y=5

xy=6 解:显然,x ,y 是方程z 2

-5z+6=0 ① 的两根 由方程①解得 z 1=2,z 2=3 ∴原方程组的解为 x 1=2,y 1=3

x 2=3,y 2=2 显然,此法比代入法要简单得多。 (3)定性判断字母系数的取值范围

例 一个三角形的两边长是方程的两根,第三边长为2,求k 的取值范围。

解:设此三角形的三边长分别为a 、b 、c ,且a 、b 为的两根,则c=2

由题意知

△=k 2

-4×2×2≥0,k ≥4或k ≤-4

为所求。

【典型例题】

例1 已知关于x 的方程2

2

1(1)104

x k x k -++

+=,根据下列条件,分别求出k 的值. (1) 方程两实根的积为5; (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =.

分析:(1) 由韦达定理即可求之;(2) 有两种可能,一是120x x =>,二是12x x -=,所以要分类讨论.

解:(1) ∵方程两实根的积为5

∴ 2

22121[(1)]4(1)034,41215

4

k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨

⎪=+=⎪⎩ 所以,当4k =时,方程两实根的积为5. (2) 由12||x x =得知: ①当10x ≥时,12x x =,所以方程有两相等实数根,故3

02

k ∆=⇒=

; ②当10x <时,12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-,由于

3

02

k ∆>⇒>

,故1k =-不合题意,舍去.

综上可得,3

2

k =

时,方程的两实根12,x x 满足12||x x =. 说明:根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值,务必要注意方程有两实根的条件,即所求的字母应满足0∆≥.

例2 已知12,x x 是一元二次方程2

4410kx kx k -++=的两个实数根.

(1) 是否存在实数k ,使12123

(2)(2)2

x x x x --=-

成立?若存在,求出k 的值;若不存在,请您说明理由.

(2) 求使

12

21

2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值. 解:(1) 假设存在实数k ,使12123

(2)(2)2

x x x x --=-成立. ∵ 一元二次方程2

4410kx kx k -++=的两个实数根

∴ 2

400(4)44(1)160

k k k k k k ≠⎧⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎩,

又12,x x 是一元二次方程2

4410kx kx k -++=的两个实数根

∴ 1212114x x k x x k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩

∴ 222

121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+-

939

425

k k k +=-

=-⇒=,但0k <.

∴不存在实数k ,使12123

(2)(2)2

x x x x --=-

成立.

(2) ∵ 222121212211212()44

224411

x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-

++

∴ 要使其值是整数,只需1k +能被4整除,故11,2,4k +=±±±,注意到0k <,

要使

12

21

2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---. 说明:(1) 存在性问题的题型,通常是先假设存在,然后推导其值,若能求出,则说明存在,否则即不存在.

(2) 本题综合性较强,要学会对

4

1

k +为整数的分析方法.

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