含字母系数的一元二次方程
数学《一元二次方程》教案设计
数学《一元二次方程》教案设计只含有一个未知数(一元)，并且未知数项的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。
下面就是小编给大家带来的数学《一元二次方程》教案设计，希望能帮助到大家！数学《一元二次方程》教案1一、教材分析1、教材的地位和作用一元二次方程是中学教学的主要内容，在初中代数中占有重要的地位，在一元二次方程的前面，学生学了实数与代数式的运算，一元一次方程(包括可化为一元一次方程的分式方程)和一次方程组，上述内容都是学习一元二次方程的基础，通过一元二次方程的学习，就可以对上述内容加以巩固，一元二次方程也是以后学习(•指数方式，对数方程，三角方程以及不等式，函数，二次曲线等内容)的基础，此外，学习一元二次方程对其他学科也有重要的意义。
2、教学目标及确立目标的依据九年义务教育大纲对这部分的要求是：“使学生了解一元二次方程的概念”，依据教学大纲的要求及教材的内容，针对学生的理解和接受知识的实际情况，以提高学生的素质为主要目的而制定如下教学目标。
知识目标：使学生进一步理解和掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式。
能力目标：通过一元二次方程概念的教学，培养学生善于观察，发现，探索，归纳问题的能力，培养学生创造性思维和逻辑推理的能力。
德育目标：培养学生把感性认识上升到理性认识的辩证唯物主义的观点。
3、重点，难点及确定重难点的依据“一元二次方程”有着承上启下的作用，在今后的学习中有广泛的应用，因此本节课做为起始课的重点是一元二次方程的概念，一元二次方程(特别是含有字母系数的)化成一般形式是本节课的难点。
二、教材处理在教学中，我发现有的学生对概念背得很熟，但在准确和熟练应用方面较差，缺乏应变能力，针对学生中存在的这些问题，本节课突出对教学概念形成过程的教学，采用探索发现的方法研究概念，并引导学生进行创造性学习。
三、教学方法和学法教学中，我运用启发引导的方法让学生从一元一次方程入手，类比发现并归纳出一元二次方程的概念，启发学生发现规律，并总结规律，最后达到问题解决。
一元二次方程的解法-公式法
一元二次方程根的判别式
b 4ac
2
（1） （2）
＞0 =0 ＜0 ≥0
两个不相等实根 两个相等实根 无实数根 两个实数根
（3）
（ 4）
应用1.
不解方程判断方程根的情况：
(1) x2-2kx+4(k-1)=0 (k为常数) 解：△=4 k2-16k+16 =4( k2-4k+4) =4( k-2) 2
一般形式 缺一次项
缺常数项 缺一次项及常数项
ax2 bx c 0(a 0)
ax2 c 0(a 0, b 0, c 0)
ax2 bx 0(a 0, b 0, c 0) ax2 0(a 0, b c 0)
2
特别注意:当 b2 4ac 0 时,方程无实数解;
当b 4ac 0时, 一元二次方程才有实数根.
2
b b2 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
x2 4、写出方程的解： x1、
动手试一试吧！
1、方程3 x2 +1=2 x中， b2-4ac= 0 .
2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n= -1或4 3、练习:用公式法解方程: x2 - 2
x 8 0 2 （3） x x 1 0 2 （5） 2 x x 3 0
（1）
2
9 0 2 （4） x x 1 0 2 （6） 2 x x 3 0
（2） x
2
有两个实数根的方程的序号是（ （1） （4） （6） ）
没有实数根的方程的序号是（ （2）（3） （5）） a、c异号，一元二次方程 有两个不相等的实数根
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式Ting Bao was revised on January 6, 20021一元二次方程的根的判别式学习指导一、基本知识点：1.根的判别式：对于任何一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可以用配方法将其变形为:(x+)2=因为a≠0，所以4a2＞0，这样一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由b2－4ac来判定。
我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，用希腊字母⊿来表示，即⊿=b2－4ac。
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当⊿=b2－4ac＞0时，有两个不相等的实数根；当⊿=b2－4ac=0时，有两个相等的实数根；当⊿=b2－4ac＜0时，没有实数根。
上述性质反过来也成立。
2.判别式的应用(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)根据方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围；(3)证明方程的根的性质；(4)运用于解综合题。
二、重点与难点一元二次方程的根的判别式的性质是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有重要应用。
正确理解判别式的性质，熟练灵活地运用它，是本节的重点，同时也是难点。
三、例题解析例1不解方程，判断下列方程根的情况(1)2x2－5x+10=0(2)16x2－8x+3=0(3)(－)x2－x+=0(4)x2－2kx+4(k－1)=0(k为常数)(5)2x2－(4m－1)x+(m－1)=0(m为常数)(6)4x2+2nx+(n2－2n+5)=0(n为常数)解：(1)⊿=(－5)2－4×2×10=－55＜0∴方程没有实数根(2)⊿=(－8)2－4×16×3=0∴方程有两个相等的实数根(3)⊿=（－)2－4(－)×=5－4+8＞0∴方程有两个不相等实根(4)⊿=(－2k)2－4×1×4(k－1)=4k2－16k+16=4(k2－4k+4)=4(k－2)2≥0∴方程有实数根(5)⊿=〔－(4m－1)〕2－4×2×(m－1)=16m2－8m+1－8m+8=16m2－16m+9=4(2m－1)2+5＞0∴方程有两个不相等实根(6)⊿=(2n)2－4×4(n2－2n+5)=4n2－16n2+32n－80=－12n2+32n－80=－12(n－)2－＜0∴方程没有实数根说明：①解这类题目时，一般要先求出⊿=b2－4ac，然后对⊿=b2－4ac进行化简或变形，使⊿=b2－4ac的符号明朗化，进而说明⊿=b2－4ac的符号情况，得出结论。
一元二次方程的判别式的字母的读音。
一元二次方程的判别式的字母的读音。
一元二次方程的判别式的字母的读音在学习一元二次方程的时候，我们常常会接触到判别式这个概念。
判别式是用来判断一元二次方程的根的性质的一个重要指标，它可以告诉我们方程的解的情况。
而判别式中涉及到的字母包括a、b和c，那么这些字母究竟该如何读音呢？1. 字母a的读音在一元二次方程中，a代表二次项系数，它的读音是“啊”。
这个字母所代表的含义是方程中二次项的系数，它决定了方程的开口方向和开口的大小。
2. 字母b的读音字母b代表一元二次方程中的一次项系数，它的读音是“北”。
一次项系数决定了方程图像的平移，它可以改变函数图像在坐标系中的位置。
3. 字母c的读音字母c是一元二次方程中的常数项，它的读音是“西”。
常数项决定了函数图像在y轴上的截距，也就是函数图像在坐标系中的位置。
思考总结通过学习一元二次方程的判别式以及字母的读音，我们可以更好地理解一元二次方程的性质和解的情况。
字母a、b和c分别代表了方程中二次项系数、一次项系数和常数项，它们在方程中扮演着不同的角色。
通过判别式可以判断方程根的情况，从而更深入地理解方程的图像特征。
个人观点对于一元二次方程来说，判别式是一个非常重要的概念，它对我们理解方程的根和图像特征起着至关重要的作用。
而字母a、b和c的读音则是帮助我们更好地记忆和理解这些概念的一种方式。
通过了解这些内容，我们可以更深入地理解数学的美妙之处。
总结回顾通过本文的阐述，我们深入探讨了一元二次方程判别式中的字母读音问题。
我们了解了字母a、b、c的读音分别是“啊”、“北”、“西”，并梳理了它们在方程中的作用和意义。
个人观点部分共享了作者对这一主题的理解和看法，最后总结了文章的重点内容。
希望本文能帮助您更深入地理解一元二次方程的判别式。
在写作中，我们应该从简到繁地探讨主题，引导读者深入理解。
文章内容应该包含总结和回顾性的内容，以便读者全面、深刻和灵活地理解主题。
文章格式可以参考知识的标准，使用序号标注内容，并多次提及指定的主题文字。
含字母参数的一元二次不等式的解法
含字母参数的一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法是解不等式中最基本﹑最重要的内容，很多解不等式题都需要转化为一元二次不等式来解决，特别是含参数的一元二次不等式解法在近几年高考中屡屡出现，应给与予足够的重视与强化。
下面分类介绍含参数的一元二次不等式的解法。
一﹑ 两根中有参数例1解关于x 的不等式<0 (.解：方程=0的根为x=或x=.1) 当a<0或a>1时，有，此时不等式的解集为2) 当0<a<1时，有a>，此时不等式的解集为{x| <x<a};3) 当a=0或a=1时，有=a ，此时不等式的解集为.综上，当a<0或a>1时，原不等式的解集为当0<a<1时，原不等式的解集为{x| <x<a};当a=0或a=1时，原不等式的解集为.评注：一元二次不等式的解集与它对应的方程的两根的大小有关，若两根中含有参数并其大小不确定时，要分类讨论，分界数就是使两根相等的参数的取值。
二﹑判别式中有参数例2解关于x 的不等式，解：1)当<0, 即a>1时，对所有实数x ，都有，此时不等式的解集为R ；2)当=0，即a=1时，不等式的解集为{x|x≠1};3)当>0,即0<a<1时,方程的根为此时不等式的解集为{x|综上，当a>1时，原不等式的解集为R ；当a=1时，原不等式的解集为{x|x≠1};当0<a<1时，原不等式的解集为{x|。
评注：一元二次不等式，当二次项的系数符号确定时，他的解集与其判别式的符号有关，要求出其解集，一般分为：>0，=0与<0三种情况。
三﹑二次项系数中有参数例3 已知a >0，解关于x 的不等式：解：原不等式等价于（1） 当>0，即a >1时，<0 ②等价于x ≥0,或x ≤, x ≥0.（2） 当=0, 即a =1时，②等价于x ≥0, x ≥0.（3） 当<0, 即0<a <1时，②等价于0≤x ≤, ∴0≤x ≤.综上,当0<a <1时 ,原不等式的解集为{x ∣0≤x ≤};当a ≥1时, 原不等式的解集为{x ∣x≥0}.例4 已知m ，解关于的不等式：(m+3)>0解：（1）当m+3>0,即m>-3时,. 若>0,即-3<m<6时，方程(m+3)=0的两根为或, 不等式的解集为{x ∣x>，2a 2a 2a 2a ∆∆∆21a -∴21a -221a a -221aa -∆或x<}；若=0,即m=6时,原不等式变为,解集为若<0,即m>6时, 不等式的解集为R.(2) 当m+3=0,即m=-3时, 原不等式变为-6x-5>0, 解集为{x|x<}.(3) 当m+3<0,即m<-3时, =4(6-m)>0,< ,不等式的解集为{x ∣<x<}.综上所述, 当m<-3时, 原不等式解集为{x ∣<x<},当m=-3时, 原不等式解集为{x|x<},当-3<m<6时,原不等式的解集为{x ∣x>，或x<},当m=6时, 原不等式的解集为当m>6时, 原不等式的解集为R.评注:由以上两例可知,解不等式应按以下步骤进行分类讨论:1.若a 的符号不确定应先分a>0,a=0,a<0三种情况讨论.2.若a ≠0,就确定方程是否有解,有几解,即分 >0, =0, <0 三种情况讨论.3. 若方程有两不同解,则需比较这两根的大小.四 ﹑与含参数的一元二次不等式的解有关的问题例5 已知不等式对任意实数x 恒成立,求实数的取值范围.解:满足题意当且仅当m=0或,即m=0或,所以实数m 的取值范围是-1<m ≤0.例6 设均是非零实数，不等式和的解集分别为集合M 和N ，那么“”是“M=N”的( ).A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件解：如果>0,则“M=N”，如果<0，则“M≠N”.∴“”不是“M=N”的充分条件；反之，若M=N=，即说明二次不等式的解集为空集，与它们的系数比无任何关系，只需要判别式小于零。
一元二次方程的解法总结
一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法和分解法）一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式:ax²+bx+c=0(a,b，c为常数，x为未知数，且a≠0）.顶点式: y=a（x—h）²+k（a≠0，a、h、k为常数）交点式：y=a（x—x₁）（x—x₂）(a≠0）［有交点A（x₁，0)和B（x₂，0)的抛物线，即b²-4ac≥0］ .直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x—m）²=n(n≥0）的方程，其解为x=m±配方法：1.将此一元二次方程化为ax²+bx+c=0的形式（此一元二次方程满足有实根）2.将二次项系数化为13.将常数项移到等号右侧4。
等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.将等号左边的代数式写成完全平方形式6。
左右同时开平方7.整理即可得到原方程的根公式法:1。
化方程为一般式：ax²+bx+c=0 (a≠0）2。
确定判别式，计算Δ(=b²—4ac)；3。
若Δ〉0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x=若Δ=0,该方程在实数域内有两个相等的实数根:x₁=x₂=若Δ〈0,该方程在实数域内无实数根因式分解法:因式分解法又分“提公因式法”;而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
用因式分解法解一元二次方程的步骤1. 将方程右边化为0;2. 将方程左边分解为两个一次式的积;3. 令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；4. 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
用待定系数法求二次函数的解析式（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0）.(2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时,可设解析式为顶点式：y=a（x-h）²+k（a≠0)。
一元二次方程根的判别式
解：b2 4ac (2) 2 4 1 m 4 4m 0 ∴ m 1 注意：一元二次方程有实根， 说明方程可能有两个不等实根 或两个相等实根的两种情况。
2、关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两 个不等的实根，则k的取值范围是 （ B Ａ） A.k>-1 B. k>-1 且k≠ 0
（1） 2 x 5 x 7 0 ；
2
（2） 3x x 0 ；
2
2 x （3） 4kx 2k 3 。
提示：步骤：第一步：写出判别式△；第二步 根据△的正负写结论。
解： （1）因为△=b -4ac=5 -4×2×7=-31<0, 所以原方程无解。
因为△ = b2 4ac=1 0 ，所以原方 （2） 程有两个不等的实根。
m 1
x1 1
； 当 m 3 时， x
1
3.
或 m 3
结束寄语
同学们：
学无止境！ 没有最好,只有更好！！！ 再见
个相等的实数根；
1 （3）当 16m 1 0 ，即 m 16 时，方程没有
实数根.
问题三：解含有字母系数的方程。
2 ax 5x 5 0 。 解方程：
提示：分类讨论：当 a=0 时，方程变为：
5 x 5 0
当 a≠0 时，方程为一元二次方程，再利用△确 定方程的根的个数，用求根公式求出解。
（1）解：
b 2 4ac 3(m 1) 4m(2m 3) (m 3) 2
2
∵方程有两个不相等的实数根，
2 ∴ (m 3) 0 且 m 0
∴ m 3且 m 0 ∴ m 的取值范围是 m 3 且 m 0
2022人教版数学《一元二次方程根的判别式 参考教案2》配套教案(精选)
一、教学内容分析“一元二次方程的根的判别式”从定理的推导到应用都比较简单，教材中都没有很明显的涉及，但是在中考中年年都要用到，在整个中学数学中占有重要的地位。
既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。
通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简洁美。
教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用 教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。
教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。
二、学情分析学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对24b ac -的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究24b ac -作用，它是前面知识的深化与总结。
从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。
所以可以通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。
三、教学目标依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，本节课的教学目标是： 知识和技能：1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程；2、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证；3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围； 过程和方法：1、培养学生的探索、创新精神；2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。
情感态度价值观：1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；2、加深师生间的交流，增进师生的情感；3、培养学生的协作精神。
四、教学策略：本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性。
用公式法求解一元二次方程
用公式法求解一元二次方程 一、公式法公式法：求根公式：一般地，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当b 2－4ac ≥0时，它的根是：2b x a-±=．上面这个式子称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.【知识拓展】(1)求根公式专指一元二次方程的求根公式，只有确定方程是一元二次方程时，才可以使用．(2)应用公式法解一元二次方程时，要先把方程化成一般形式，确定二次项系数、一次项系数、常数项，且要注意它们的符号．(3)b 2－4ac ≥0是公式使用的前提条件，是公式的重要组成部分．一元二次方程的求根公式的推导：一元二次方程的求根公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的过程．∵a ≠0，∴方程的两边同除以a 得20b cx x a a++=．配方得22222b b c b x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵a ≠0，∴a 2＞0，∴4a 2＞0．∴当b 2－4ac ≥时，2244b ac a-是一个非负数．此时两边开平方得22b x a a+=，∴2b x a-±=【知识拓展】(1)被开方数b2－－4ac有意义．(2)由求根公式可知一元二次方程的根是由其系数a ，b ，c 决定的，只要确定了a ，b ，c 的值，就可以代入公式求一元二次方程的根．【新课导读·点拨】因为a ＝1，b ＝－1，c ＝－90，所以119212x ±==⨯．故x 1＝10，x 2＝－9(不符合实际，舍去)．所以全校有10个队参赛．【例1】解下列方程．(1)x 2－2x ＝0； (2)3x 2＋4x ＝－1； (3)2x 2－4x ＋5＝0． 分析：解：(1)x 2－2x －2＝0，∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝(－2)2－4X1×(－2)－12＞0，∴2222x ±±==，∴11x =+11x =- (2)原方程可化为3x 2＋4x ＋1＝0，∵a ＝3，b ＝4，c ＝1，∴b 2－4ac ＝42－4×3×1＝4＞0， (3)2x 2－4x ＋5＝0，∵a ＝2，b ＝－4，c ＝5，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×2×5＝－24＜0， ∴该方程没有实数根．二、一元二次方程根的判别式定义：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况可由b 2－4ac 来判定.我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“△”来表示，读作：“delta(德尔塔)”．对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根． 反之亦成立．【知识拓展】(1)根的判别式是△＝b 2－4ac ，而不是24b =-(2)根的判别式是在一元二次方程的一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况，要注意方程中各项系数的符号．(3)如果一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b 2－4ac ≥0．探究交流已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有实数根，当m取最大值时，求该一元二次方程的根．分析：根据根的判别式的意义可得△＝4－4m≥0，解得m≤1，所以m的最大值为1，此时方程为x2＋2x＋1＝0，然后运用公式法解方程．解：∵关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有实数根，∴△＝4－4m≥0，∴m≤1，∴m的最大值为1，当m＝1时，一元二次方程变形为x2＋2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1．【例2】一元二次方程x2＋x＋3＝0的根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2－4ac的值的符号就可以了．∵a＝1，b＝1，c＝3，∴△＝b2－4ac＝12－4×1×3＝－11＜0，∴此方程没有实数根．故选C．##整理归纳##$$练习$$##题型##单选##题干##(2013·珠海中考)已知一元二次方程：①x2＋2x＋3＝0，x2－2x－－3＝0．下列说法正确的是( )A．99帮有实数解B．①无实数解，②有实数解C．①有实数解，②无实数解D．①②都无实数解##答案##B##解析##方程①的判别式△=4-12=－8，则①没有实数解；②的判别式△=4+12=16，则②有实数解.故选B.$$更多练习$$##题型##主观填空题##题干##(2011·上海中考)如果关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0(c 是常数)没有实数根，那么c 的取值范围是______． ##答案## c ＞9##解析##∵关于xx 2－6x ＋c ＝0(c 是常数)没有实数根，∴△＝(－6)2－4c ＜0，即36－4c ＜0，c ＞9##题型## 主观题 ##题干##(2012·珠海中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0． (1)当m ＝3时，判断方程的根的情况； (2)当m ＝3时，求方程的根． ##答案##解：(1)当m ＝3时，△＝b 2－4ac ＝22－4×3＝－8＜0，∴原方程无实数根. (2)当m ＝－3时，原方程变形为x 2＋2x －3＝0.∵b 2－4ac ＝4＋12＝16，2122x -±==-±，∴x 1＝1，x 2＝－3.##题型## 主观题 ##题干##(2013·乐山中考)已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k ＝0． (1)求证方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．##答案##(1)证明：∵△＝(2k ＋1)2－4(k 2+k)＝1＞0，∴方程有两个不相等的实根.(2)解：一元二次方程x 2－(2k+1)x ＋k 2＋k ＝0的解为212k x +±=，即x 1＝k ，x 2＝k＋1，不妨设AB ＝k ，AC ＝k ＋1，当AB ＝BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k ＝5；当AC ＝BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k ＋1＝5，解的k ＝4.所以k 的值为5或4.$$典型$$ ##典例精析##类型一 用公式法解一元二次方程 【例1】用公式法解下列方程． （1）x 2＋2x －2＝0；(2) 23x+=；（3）21028n n -+=分析：方程(1)(3)可直接确定a ，b ，c 的值，方程(2)需先化为一般形式，再确定a ，b ，c 的值．解：(1)∵a ＝1，b ＝2，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝22－4×1×(－2)＝12＞0，∴212x -±==-±11x =-+，11x =--(2)将方程化为一般形式，得230x -+=．∵a ＝1，b =-，c ＝3，∴(224241340b a c -=-⨯⨯=-<∴原方程没有实数根．（3）∵a ＝1，b =-，18c =，∴221441028b ac ⎛⎫-=--⨯⨯= ⎪⎝⎭，∴224n ±==，∴124n n ==.规律方法小结：(1)用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定a ，b ，c 的值．(2)b 2－4ac ≥0是公式中的一个重要组成部分，b 2－4ac ＜0时，原方程没有实数根．(3)当b2－4ac ＝0时，应把方程的根写成122bx x a==-，的形式，用以说明一元二次方程有两个相等的根，而不是一个根．类型二不解方程判定根的情况【例2】不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)x2－x－1＝0；(2)2x2＋3x＝－2；(3)－2x2－3x＋4＝0．解：(1)∵a＝1，b＝－1，c＝－1，∴△＝b2－4ac＝1＋4＝5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．(2)原方程可变形为2x2＋3x＋2＝0，∵a＝2，b＝3，c＝2，∴△＝b2－4ac＝9－16＝－7＜0，∴原方程没有实数根．(3)原方程可变形为2x2＋3x－4＝0，∵a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．类型三几何图形中的方案设计问题【例3】(2012·湘潭中考)如图2所示，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2．(所备材料全部用完)分析：设未知数，将矩形的长和宽表示出来，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．解：设AB＝x m，则BC＝(50－2x)m．根据题意可得x(50－2x)＝300，解得x1＝10，x2＝15．当x＝10时，BC＝50－2×10＝30＞25，不符合题意，舍去，当x＝15时，BC＝50－2×15＝20＜25，符合题意，故AB＝15 m，BC＝20 m.答：可以围成AB的长为15 m，BC的长为20 m的矩形．【解题策略】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列方程求解，注意围墙MN最长可利用25 m，舍掉不符合题意的数据．类型四用公式法解含字母系数的一元二次方程【例4】解关于x的方程x2－2mx＋m2－2＝0．解：∵a＝1，b＝－2m，c＝m2－2，∴()222212mb mx ma--±-±±====±⨯∴1x m =+2x m =- 【解题策略】要熟练运用公式法求一元二次方程的解，准确确定a ，b ，c 的值是解题的关键．类型五 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围．【例5】k 取何值时，关于x 的一元二次方程kx 2－12x ＋9＝0． (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根? (3)没有实数根?分析：(1)当△＝b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当△＝b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；(3)当△＝b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．分别求出是的取值范围即可．解题时注意二次项系数k ≠0． 解：方程是一元二次方程，则k ≠0． (1)若方程有两个不相等的实数根，则△＝ b 2－4ac ＝144－36k ＞0，解得k ＜4．所以k ＜4且k ≠0． (2)若方程有两个相等的实数根，则△＝b 2－4ac ＝144—36k ＝0，解得k ＝4． (3)若方程没有实数根，则△＝b 2－4ac ＝144－36k ＜0，解得k ＞4．类型六 设计方案解决几何图形面积问题【例6】(2013·连云港中考)小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪? (2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2．”他的说法对吗?请说明理由．分析：(1)设剪成的较短的一段长x cm ，则较长的一段长(40－x)cm ，这样就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58 cm 2建立方程求出其解即可；(2)设剪成的较短的一段长优咖，则较长的一段长(40－m)cm ，这样就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48 cm 2建立方程，如果方程有解就说明小峰的说法错误，否则正确． 解：(1)设剪成的较短的一段长x cm ，则较长的一段长(40－x)cm ， 由题意，得22405844x x -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得x 1＝12，x 2＝28．当x ＝12时，40－x ＝40－12＝28，当x ＝28时，40－x ＝40－28＝12＜28(舍去)． ∴较短的一段长12 cm ，较长的一段长28 cm.(2)设剪成的较短的一段长m cm ，则较长的一段长(40－m)cm ，由题意，得22404844m m -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得m 2－40m ＋416＝0，∵△＝(－40)2－4×416＝－64＜0，∴原方程无解．∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2．类型七 分类讨论求方程的根【例7】解关于x 的方程(k －1)x 2＋(k －2)x －2k ＝0．(23k >)分析：解含有字母系数的方程，往往要按字母的取值分类讨论．此题有两种情况，k ＝1和k ≠1，当且仅当k ≠1时，二次项系数不为零，才能用一元二次方程的求根公式来解．解：当k ＝1时，原方程为－x －2＝0，∴x ＝－2． 当k ≠1时，∵a ＝k －1，b ＝k －2，c ＝－2k ，∴b 2－4ac ＝(k －2)2－4(k －1)(－2k)＝9k 2－12k ＋4＝(3k －2)2≥0， ∴21xk =-，∴11kx k =-，22x =-【解题策略】当二次项系数中含有参数时，要讨论；次项系数是否为零．类型八 应用根的判别式判断三角形的形状【例8】已知a ，b ，c 分别是伽c 的三边长，当m ＞0时，关于x 的一元二次方程()()220cx m b x m ++--=有两个相等的实数根，则△ABC 是什么形状的三角形?分析：由方程有两个相等的实数根可得根的判别式为0，得到与m 有关的等式，由m ＞0得a ，b ，c之间的关系，从而判定三角形的形状． 解：将方程化为一般形式()()20b c x c b m +-+-=．因为原方程有两个相等的实数根， 所以()()()240b c c b m ∆=--+-=，即4m(a 2＋b 2－c 2)＝0，又因为m ＞0，所以a 2＋b 2－c 2＝0，即a 2＋b 2＝c 2．根据勾股定理的逆定理知△ABC 是直角三角形．类型九 探索含字母系数的一元二次方程的根的情况【例9】已知关于z 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝o(a ≠0)．(1)当a ，c 异号时，试说明该方程必有两个不相等的实数根；(2)当a ，c 同号时，该方程要有实数根，还需要满足什么条件?请你写出一个a ，c 同号，且有实数根的一元二次方程，并解这个方程．分析：(1)只需说明b 2－4ac ＞0即可．(2)是一个开放性问题，写出的方程满足a ，c 同号，且b 2－4ac ≥0即可．解：(1)因为a ，c 异号，所以ac ＜O ，所以－4ac ＞0，所以b 2－4ac ＞0， 所以，当a ，c 异号时，该方程必有两个不相等的实数根．(2)当a ，c 同号时，该方程要有实数根，还需满足条件b 2－4ac ≥0． 例如方程x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝1．【解题策略】(2)中并不是任意的方程都可以，它满足的条件是a ，c 同号且b 2－4ac ≥0，而这样的方程有无数个，我们可以选取一些解答较方便的方程。
含字母系数的一元二次方程-初中数学知识点
含字母系数的一元二次方程
1．含字母系数的一元二次方．
一元二次方程问题的基础，是方程概念、方程的四种常见解法，以及由公式法引申出来的根与系数的关系，
代入法是解决一元二次方程问题的基本方法。
代入法的应用，主要反应在以下几个方面:概念问题，限制二次项系数不能为零，这是容易出现失误的地方;
根的合理应用，代入方程，可以保证等式的成立;求根公式的运用，首先是根的判别式的作用,确定方程是否
有实数根，然后，决定是否运用求根公式。
当我们在无法判断判别式的情况下，求出了某些字母的值，就需
要我们反过来代入判别式,以验证字母的值是否符合题意。
运用根与系数的关系的关系，同样面临这样的情况，应当引起我们的关注。
有时，一元二次方程会和实际问题相互结合，需要我们验证字母值的合理性。
我们应该明确:细心解题，是
十分宝贵的学习素质。
以下，我们通过典型例题,体验解决这类问题的方式、方法。
例1.已知关于x的方程()
22
+++-=有实数根，求的取值范围;
x k x k
2130
分析:直接运用判别式就可以。
例2、已知关于x的一元二次方程()22
1230
-+--+=有一根是0 ,求m的值及这个方程的另一个
m x x m m
根.
分析:利用根的定义，代入原方程;注意，保证二次项系数不为零。
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新人教版21章一元二次方程知识点及典型题目总结
一元二次方程知识题型总结一、知识与技能的总结（一）概念一元二次方程--“整式方程”;“只含一个未知数,且未知数的最高次数是2"．一元二次方程的一般形式-—，按未知数x降幂排列方程的根（解）—-是使方程成立的未知数的取值，了解一元二次方程的根的个数．（二）一元二次方程的解法-—把一元二次方程降次为一元一次方程求解1．直接开平方法-—适用于的方程．2．配方法——适用于所有的一元二次方程；（1）“移项”-—使得（2)“系数化1”——使得（3）“配方”——使得(4)“求解”—-利用解方程3．公式法—-适用于的方程．反映了一元二次方程的根与系数的关系，（1）一元二次方程首先必须要把方程化为一般形式，准确找出各项系数a、b、c；（2）先求出的值，若,则代入公式．若,则；4．因式分解法--适用于的方程．用因式分解法解一元二次方程的依据是：．通过将二次三项式化为两个一次式的乘积，从而达到降次的目的，将一元二次方程转化为求两个方程的解．（三）其它知识方法1．根的判别式: ，（1）若，则方程有解；（2）若，则方程有解;(3）若，则方程有解;2．换元法（1）；（2）(3)．3．可化为一元二次方程的分式方程解方程二、典型题型的总结（一）一元二次方程的概念1．(一元二次方程的项与各项系数）把下列方程化为一元二次方程的一般形式：(1）；(2);（3）；（4) ；（5）；2．（应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值)（1)= 时,关于的方程是一元二次方程。
(2)若分式，则3．（由方程的根的定义求字母或代数式值）(1）关于的一元二次方程有一个根为0，则(2）已知关于的一元二次方程有一个根为1,一个根为,则，(3）已知2是关于的方程的一个根,则的值是(4)已知c为实数,并且关于的一元二次方程的一个根的相反数是方程的一个根，则方程的根为,c=（二）一元二次方程的解法4．开平方法解下列方程：(1）（2)（3) （4)（5）；（6)；（7）．（8)5．用配方法解下列各方程：（1）; (2）;（3) (4）（5）；（6）．6．用公式法解下列各方程:（1）; （2）；(3）；（4）．（5）(6）（7）（8）（9）7．用因式分解法解下列各方程：(1）；（2）(3）（4）（5) （6）(7）；(8）．（9）(10）(11）8．用适当方法解下列方程（解法的灵活运用）：(1）（2）（3）（4）（5）9．解关于x的方程（含有字母系数的方程）：(1）（2）(3)（）(4）（三）一元二次方程的根的判别式10．不解方程，判别方程根的情况：(1）4 —-(2）-—（3）—-11．为何值时，关于x的二次方程（1）满足时，方程有两个不等的实数根(2）满足时，方程有两个相等的实数根(3）满足时，方程无实数根12．已知关于的方程,如果，那么此方程的根的情况是（）．A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．没有实根D．不能确定13．关于的方程的根的情况是（）．A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．没有实根D．不能确定14．已知关于的方程有实根，则的取值范围是（）．A．B．且C．D．15．已知,且方程有两个相等实根,那么的值等于（）．A．B．C．3或D．316．若关于的方程有实根,则的非负整数值是（）．A．0,1 B．0，1，2 C．1 D．1，2，317．已知关于ｘ的方程有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程的根．18．方程有实数根，求正整数a.19．对任意实数m，求证：关于x的方程无实数根。
人教版数学九年级上册 第21章 一元二次方程 求一元二次方程中字母系数的值或范围 专题练习 含
第21章一元二次方程求一元二次方程中字母系数的值或范围专题练习1. 若方程(m－1)x|m|＋1－2x＝3是关于x的一元二次方程，则有( )A．m＝1 B．m＝－1 C．m＝±1 D．m≠±12．已知(m－3)x2＋m＋2x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是( )A．m≠3 B．m≥3 C．m≥－2 D．m≥－2且m≠33. 已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为( )A．－1 B．0 C．1 D．24. 若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是( )A．0 B．－1 C．2 D．－35. 若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是( ) A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥16. 关于x的方程ax2－(3a＋1)x＋2(a＋1)＝0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1－x1x2＋x2＝1－a，则a的值是( )A．1 B．－1 C．1或－1 D．27. 于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两个根是－2和1，则n m的值为( )A．－8 B．8 C．16 D．－168. 关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－1＝0的两个实数根分别是x1、x2，且x21＋x22＝7，则(x1－x2)2的值是.9. 已知关于x的方程x m－3－2x＋1＝0是一元二次方程，则m＝.10. 一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x(x－1)化成一般形式后，一次项的系数为－1，求m的值．11. 已知关于x 的一元二次方程(k ＋4)x 2＋3x ＋k 2＋3k －4＝0的一个根为0，求k 的值及另一个根．12. 已知关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋4(k －12)＝0.(1)求证：这个方程总有两个实数根；(2)若等腰三角形ABC 的一边长a ＝4，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个实数根时，求△ABC 的周长．13. 已知：关于x的方程kx2－(3k－1)x＋2(k－1)＝0.(1)求证：无论k为何实数，方程总有实数根；(2)若此方程有两个实数根x1、x2，且|x1－x2|＝2，求k的值．参考答案： 1---7 BDADB BC 8. 13 9. 510. 解：2x 2－(m ＋1)x ＋1＝x(x －1)，2x 2－(m ＋1)x －x 2＋x ＋1＝0，x 2－mx ＋1＝0，即一般形式为x 2－mx ＋1＝0.则题意得，－m ＝－1，则m ＝1.11. 解：把x ＝0代入(k ＋4)x 2＋3x ＋k 2＋3k －4＝0，得k 2＋3k －4＝0，解之，得k 1＝1，k 2＝－4，∵k ＋4≠0，∴k≠－4，∴k ＝1，∴这个一元二次方程为5x 2＋3x ＝0，∴另一个根为－ 35.12. (1)证明： Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×4(k－12)＝4k 2－12k ＋9＝(2k －3)2≥0，∴这个方程总有两个实数根 ；(2)解：若底边长为a ，则b ＝c ，Δ＝(2k －3)2＝0，∴k ＝32，易得x 1＝x 2＝2，有b ＋c ＝a ，不能构成三角形；若腰长为a ，显然4是该方程的一个根，代入求得k ＝52，从而解得x 1＝2，x 2＝4，∴三边长为4,4,2.故△ABC 的周长为10.13. (1)证明：①当k ＝0时，方程是一元一次方程，有实数根；②当k≠0时，方程是一元二次方程，∵Δ＝[－(3k －1)]2－4k×2(k－1)＝(k ＋1)2≥0，∴无论k 为何实数，方程总有实数根；(2)解：∵此方程有两个实数根x 1、x 2，∴x 1＋x 2＝3k －1k ，x 1x 2＝2k －1k.∵|x 1－x 2|＝2，∴(x 1－x 2)2＝4，∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4，即9k 2－6k ＋1k 2 －4×2k －1k＝4.解得： k ＝1或k ＝－13.经检验符合题意．∴k 的值是1或－13.。
字母系数
一元二次方程中字母系数的求解思路(河北星星老师) 字母系数的确定是难点。
一直以来，学生解答一元二次方程问题的错误主要集中在含有字母系数的一元二次方程这类题型上，也正是这个原因，各省市的中考命题总爱在此设下陷阱，为增加同学们的免疫力，给同学们打以下预苗：一．如果题目中没有指明方程的次数和根的个数，应注意二次项系数可能为零。
例：m为何值时，关于x的方程mx2+(2m-1)x+m+2=0有实数根？分析：由于题设对含字母系数的方程次数未做任何规定，因此，“关于x的方程mx2+(2m-1)x+m+2=0有实数根”可理解为“一元二次方程mx2+(2m-1)x+m+2=0有实数根”和“一元一次方程mx2+(2m-1)x+m+2=0有实数根”两种情况。
解：分两种情况，1(1)当m≠0时，由△≥（2m-1）2-4m(m+2)≥0,即m≤121且m≠0时，原方程有两个实数根。
∴当m≤12（2）当m=0 时，原方程为-x+2=0.看得出方程有一个实数根。
说明：当二次项系数中含有字母且对方程没有作明确规定时，求解时一定要对“方程的次数”做以讨论，否则将进入陷阱。
二．当题目中指明是二次方程或有两个实数根，应注意二次项系数不能为零。
例：已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1,x2，求k的取值范围1且k≠0 解：由题目意可知：k≠0, △＞0,（2k-1）2-4k2解得k＜4说明：不能只考虑△＞0，而忽视了二次项系数k≠0这一隐含条件。
否则原二次方程的二次项消失，变成了一次方程，与已知条件有两个不相等的实数根相违背。
三．运用根的判别式解一元二次方程时，注意方程有实根的隐含条件△≥0。
例：若关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2-1=0两实根的平方和等于9，求x的值。
分析：条件已明确一元二次方程有两实数根，因而必须满足△≥0，然后再根据韦达定理解题。
解：设方程的两根为x1,x2，由韦达定理得，x1+x2=-(2k-1), x1x2=k2-1. ∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=［-(2k-1)］2-2(k2-1)=9整理得，k2-2k-3=0, k1=-1 ,k2=3 注意到二次方程有两个实根。
一元二次方程知识点以及考点分析(可编辑修改版)
x2
b 2a
；
当 b2 4ac 0 时，方程无实数根.
公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定 a, b, c 的值；③代入 b2 4ac 中计算其值，
判断方程是否有实数根；④若 b2 4ac 0 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的 一元二次方程。） （4）因式分解法： ①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式至少有一个为 0，即：
（3） 8x 2
10x 3
0 （ x1
1 4 , x2
3 2
）
（2） y 2 4 y 45 0 （ y1 9, y2 5 ） （4） 7x 2 21x 0 （ x1 0, x2 3 ）
（5） 6x 2 3 3x 2 2x
6 （ x1
3 2
, x2
2 3
）
（6） (x 5)2
2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值
(1) m 为何值时，关于 x 的方程 (m 2)x m2 (m 3)x 4m 是一元二次方程。（ m 2 ）
（2）若分式 x 2 7x 8 0 ，则 x x 1
（x 8）
3．由方程的根的定义求字母或代数式值
(1)关于 x 的一元二次方程 (a 1)x 2 x a 2 1 0 有一个根为 0，则 a
3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（ a ），增长率（ x ），变化的次数（ n ），
变化后的基数（ b ）,这四者之间的关系可以用公式 a(1 x)n b 表示。
4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。 （五）新题型与代几综合题 （1）有 100 米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于 600 平方米，在场地的北面有一堵 50 米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长 40 米、宽 10 米的仓库，但面积只有 400 平方米，不合要求，问 应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？ （2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与 寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？（36 岁）
一元二次方程(讲义)
是一元二次方程的重要组成部分。
方程，只有当时，才叫做一元二次方程。
如果且，它就是一元二次方程了。
解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：（1）一元二次方程的条件是确定的，如方程（），把它化成一般形式为，由于，所以，符合一元二次方程的定义。
（2）条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。
如“关于的一元二次方程”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。
（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。
如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程；当时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。
ax2+bx+c=0 (a≠0)1）．提问a＝0时方程还是一无二次方程吗?为什么?(如果a＝0、b≠就成了一元一次方程了)。
2）．讲解方程中ax2、bx、c各项的名称及a、b的系数名称．3）．强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列：特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。
1．说出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项：（1）x2十3x十2＝O （2）x2—3x十4＝0； (3)3x2-5＝0（4）4x2十3x—2＝0； (5)3x2—5＝0； (6)6x2—x=0。
2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项：(1)6x2＝3-7x； (3)3x(x-1)＝2(x十2)—4；(5)(3x十2)2＝4(x-3)2一、关于一元二次方程概念的题目（一）选择题1．下列方程中有（）是一元二次方程（1）（2）（3）（4）（5）（6）（A）（1）（5）（6）（B）（1）（4）（5）（C）（1）（3）（4）（D）（2）（4）（5）2．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（）（A）（B）（C）或（D）且（二）填空题已知关于的方程当时，方程为一元二次方程，当时，方程为一元一次方程。
一元二次方程判别式以及根与系数关系
一元二次方程判别式以及根与系数关系知识总结1．一元二次方程的根的判别式(1)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况由b 2－4ac 来确定．我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用“Δ”来表示，即Δ＝b 2－4ac .注意：要想利用根的判别式求解方程，首先要将方程化为一元二次方程的一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，以便确定a ，b ，c 并代入b 2－4ac 计算． (2)一元二次方程的根的情况与根的判别式的关系①利用根的判别式判定根的情况．一般地，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根．②根据方程根的情况，确定Δ的取值范围．当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当方程没有实数根时，Δ＜0.注意：①如果说一元二次方程有实数根，那么应该包括有两个不相等实数根或有两个相等的实数根两种情况，此时b 2－4ac ≥0，切勿丢掉等号．②当b 2－4ac ＜0时，方程在实数范围内无解(无实数根)，但在复数范围内方程仍有两个解，这将在高中阶段学习．【例1】不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)2x 2＋3x －4＝0；(2)3x 2＋2＝26x ；(3)ax 2＋bx ＝0(a ≠0)；(4)ax 2＋c ＝0(a ≠0)．（3）利用根的判别式确定方程中字母系数的取值范围若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，则b 2－4ac ＞0；若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，则b 2－4ac ＝0.从而根据关于字母系数的方程或不等式求出字母系数的值或取值范围．在运用时应注意前提条件：必须是一元二次方程且符合其一般形式．【例2】已知关于x 的方程kx 2－4kx ＋k －5＝0有两个相等的实数根，求k 的值，并解这个方程．【例3】当k 取何值时，关于x 的一元二次方程kx 2＋9＝12x ，(1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？2．一元二次方程的根与系数的关系（1）如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a.这个关系通常称为韦达定理．(1)在实数范围内运用根与系数的关系时，必须注意两个条件： ①方程必须是一元二次方程，即二次项系数a ≠0；②方程有实数根，即Δ≥0.因此，解题时要注意分析题中隐含条件Δ≥0和a ≠0.(2)如果方程x 2＋px ＋q ＝0的两根是x 1，x 2，这时韦达定理应是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q .【例4】不解方程，说明一元二次方程2x 2＋4x ＝1必有实数根，并求出两根之和与两根之积．（2）利用根与系数的关系确定一元二次方程若x 1，x 2满足x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a，那么x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根． 注意：(1)利用这一性质比较容易检验一元二次方程的解是否正确．(2)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0. 【例5】已知一个关于x 的一元二次方程，它的两根为2和6，请你写出这个一元二次方程．总结：已知两根求一元二次方程，其一般步骤是：①先根据两根分别求出两根之和与两根之积；②把两根之和、两根之积代入一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0，求出所要求的方程．【例6】求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x 2＋2x －3＝0各根的负倒数．（3）利用一元二次方程根与系数的关系求关于两根x 1，x 2的代数式的值已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则求含有x 1，x 2的代数式的值时，其方法是把含x 1，x 2的代数式通过转化，变为用x 1＋x 2，x 1x 2的代数式进行表示，然后再整体代入求出代数式的值．解决此类问题时经常要运用到以下代数式及变形：①21x ＋22x ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2；②1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2；③(x 1＋a )(x 2＋a )＝x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2；④|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.【例7】已知方程2x 2＋5x －6＝0的两个根为x 1，x 2，求下列代数式的值．(1)(x 1－2)(x 2－2)；(2)x 2x 1＋x 1x 2.（4）已知含未知常数m 的一元二次方程两根关系式，求未知常数m 。
中考数学专题复习含字母系数一元二次方程和二次函数
2016年中考数学专题复习一含字母系数的一元二次方程与函数知识考点：⑴ 理解二次函数与一元二次方程之间的关系；⑵ 会结合方程根的性质、一元二次方程根的鉴识式，判断抛物线与x 轴的交点情况；⑶ 会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。
注意事项：⑴注意题中的“要点字”：① 方程与一元二次方程；②函数与二次函数；③有实根与有两个实根等等；④有两个实根与有两个不等实根；⑤有交点与有两个交点、与x 轴交点和与坐标轴交点等等。
⑵ 利用“△ ”时，要注意二次项系数：a≠0？⑶ 利用韦达定理时，要注意查验：△ ≥0；⑷ 几何问题与实责问题中，要注意根可否切合本质意义等等。
温故知新1. (2015 凉·山州）关于x 的一元二次方程 (m﹣ 2)x2+2x+1=0 有实数根，则m 的取值范围是（）．．．．．．A. m≤3＜ 3 ＜ 3 且 m≠2 D. m≤3且 m≠22.（ 2010 ·安徽芜湖）关于x 的方程 (a － 5)x2－ 4x－ 1＝0 有实数根，则 a 知足（）．．．．．．A ． a≥ 1B． a＞ 1 且 a≠ 5 C． a≥1 且 a≠ 5 D ． a≠ 53.（ 2014?莱芜）若关于2 2k= ．x 的方程 x +（ k﹣ 2） x+k =0 的两根互为倒数，则4.关于 x 的方程( k 1)x2 2kx k 1 0⑴当 k 为何值时，方程有两个不相等实数根；⑵当k 为何值时，方程的两个实数根中，一根是另一根的 3倍 .5.已知关于x 的一元二次方程mx23(m 1)x 2m 30⑴若该方程有两个不相等实数根，求m 的取值范围；⑵在⑴的条件下，当关于x 的抛物线y mx23(m 1)x 2m 3（其中x 4 ）与x轴的交点横坐标都是整数，求m 的值 . 历年荆州中考题：1.（2013?荆州22题）已知：关于x 的方程 kx2﹣（ 3k﹣ 1） x+2（ k﹣ 1）=0．．（1）求证：无论 k 为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根 x1， x2，且 |x1﹣x2 |=2，求 k 的值．2.（ 2012 ·荆州 22 题） 23． (本题满分 10)已知： y 关于 x 的函数 y＝ (k－ 1)x2－ 2kx＋k＋ 2 的图．．与 x 轴有交点．(1)求 k 的取值范围；(2) 若 x1，x2是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标，且知足( k－1)x1 2＋ 2kx2＋k＋ 2＝ 4x1x2．①求 k 的值；②当 k≤x≤k＋2 时，请结合函数图象确定y 的最大值和最大值．3.（ 2006 ·荆州 16 题）已知关于 x 的二次方程 (1 2k) x 22 k x1 0 有实数根，则 k 的取值范围是.4. 2007 ·荆州 12题）若 x 0是方程 (m 2) x23x m 2 2m 8 0的解，则 m ＝。
一元二次方程的解法情况总结
一元二次方程的解法(直接开平方法、配方法、公式法和分解法)一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式：ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，x为未知数，且a≠0）。
顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0)[有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线，即b²-4ac≥0] .直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)²=n(n≥0)的方程，其解为x=m±配方法:1.将此一元二次方程化为ax²+bx+c=0的形式(此一元二次方程满足有实根)2.将二次项系数化为13.将常数项移到等号右侧4.等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.将等号左边的代数式写成完全平方形式6.左右同时开平方7.整理即可得到原方程的根公式法：1.化方程为一般式：ax²+bx+c=0 （a≠0）2.确定判别式，计算Δ（=b²-4ac）；3.若Δ>0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x=若Δ=0，该方程在实数域内有两个相等的实数根:x₁=x₂=若Δ<0，该方程在实数域内无实数根因式分解法：因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
用因式分解法解一元二次方程的步骤1. 将方程右边化为0；2. 将方程左边分解为两个一次式的积；3. 令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；4. 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0)。
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（6）含字母系数的一元一次方程
班别______姓名________
一、性质：一般地，当
（1）a ≠0⇔方程ax=b 有且只有一解；
（2）a=0且b=0⇔方程ax=b 有无数多个解；
（3）a=0且b ≠0⇔方程无解。
二、例题
例1 解关于x 的方程（m-1）x – 1=3x + 4
解：整理，得 （m – 4）x=5，当m ≠4时，x=
45-m ；当m=4时，原方程无解。
例2 解关于y 的方程（k 2+2k+3）y + 4=3（y+2）+k
解：整理，得（k 2
+2k ）y=2 + k ∴ k （k+2）y=2+k
当k=－2时，方程有无数多个解；
当k ≠－2时，得ky=1
∴当k ≠－2且k ≠0时，方程的解为y=
k
1 当k=0时，原方程无解
当k=－2时，方程有无数多个解。
例3 b （b ≠0）为何值时，关于x 的方程（b+1）x=2bx –3b 2
的解为负数。
解：整理，得（1 - b ）x= –3b 2 当b ≠1时，方程有解x = b
b --132
，由于b ≠0分子（–3b 2）为负，只需分母为正，即b ﹤1时，方程的解为负数。
例4 某施工队第一组原有96人现调出16人到第二组，调整人数后，第一组人数是第二组人数的k （k 是不等于1的正整数）倍还多6人，问第二组原有多少人。
解：设第二组原有x 人。
调整后，第一组有96 – 16 = 80（人），第二组有x+16（人）。
根据题意，得
80=k （x+16）+6
整理，得 kx=74 – 16k
k 是不等于1的正整数，∴x=k
k 1674-
因为x 为所求人数，必须为正整数，而k 是不等于1人正整数，故74 – 16K 也是正整数，k 只能取2、3、4。
代入计算得k 为3、4均不适合。
∴当k=2时，得第二组原有x=2
21674⨯-=21（人） 评注 ： 对含字母系数的一元一次方程中的字母系数要讨论，如果是应用问题，还得根．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．据实际意义，对字母系数的取值范围进行取舍．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
三、练习
1、选择题：设关于x 的方程a （x - a ）+b （x+b ）=0有无穷多个解，则（ ）
（A ）a+b=0 （B ）a-b=0 （C ）ab=0 （D ）
0=b a 2、填空：若方程249x+8
a ∣x ︱－1=0解小于零，则a 的取值范围是________. 3、解下列关于x 的方程：
（1）x+b a b ax +=； （2）=+n x m m
n x -；
（3）x=b a a b a bx -++； （4）（=-x m
n n m )m n n m +
4、k 为何值时，方程（m – 3）（m - 4）x=（m – 3）（m+2）的解是负数？
5、解关于x 的方程m+122++=+m x m mx。