含参一元二次方程的解法
含参一元二次方程的解法
含参一元二次方程的解法1. 一元二次方程的基本概念好嘞，咱们今天就来聊聊含参的一元二次方程。
说到这个，很多同学可能会皱眉，心想：“这又是什么东东？”其实啊，含参一元二次方程就是那种形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程，其中的 ( a, b, c ) 里有可能藏着参数。
这就像是一个神秘的盒子，里面可能装着你想要的答案，但你得找到钥匙才能打开它。
那么，为什么它们那么重要呢？想象一下，生活中遇到各种各样的问题，比如说，你想知道某个物体的落地时间，或者你想计算一下投篮的最佳角度，这时候，这个方程就像是你的小助手，帮你解决难题。
简直就像是数学界的小超人，听起来是不是很酷？2. 解方程的步骤2.1 代入参数首先，我们得明白，含参一元二次方程解起来可不是一件轻松的事儿。
咱们得先把参数代入到方程中去。
比方说，如果参数 ( a ) 是个数值，或者是某个变量的函数，记得要好好处理这些参数哦！一不小心，就可能把方程弄得一团糟，像个麻烦的小妖精一样。
2.2 使用求根公式接下来，真正的功夫来了！解一元二次方程常用的办法就是求根公式，公式是这样的： ( x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac{2a )。
看起来复杂，但没关系，咱们可以一步一步来。
首先，得计算 ( b^2 4ac ) 这个东西，听起来像是个外星人，但其实就是一个判别式，告诉你方程有没有实数解。
要是判别式大于零，那就有两个不同的实数解；如果等于零，那就只有一个解；要是小于零，那就恭喜你，方程没有实数解，像是失去了约会对象一样，心里那个失落啊。
3. 举个例子3.1 参数的具体应用咱们来举个简单的例子吧！假设你有一个方程 ( 2x^2 + 3kx + k^2 = 0 )。
在这个方程中，( k ) 就是我们的参数。
为了找到解，我们得先看看 ( k ) 的值对解有什么影响。
就像调味料，放多了或者少了，味道都不一样。
3.2 分析不同情况如果 ( k = 1 )，那么方程就变成了 ( 2x^2 + 3x + 1 = 0 )。
高中数学：含参 “一元二次不等式”的解法高中数学黄金解题模板
【高考地位】解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点. 在高考中各种题型多以选择题、填空题等出现，其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一 根据二次项系数的符号分类使用情景：参数在一元二次不等式的最高次项解题模板：第一步 直接讨论参数大于0、小于0或者等于0；第二步 分别求出其对应的不等式的解集； 第三步 得出结论.例1 已知关于x 的不等式2320ax x -+>)(R a ∈.（1）若不等式2320ax x -+>的解集为{|1}或x x x b <>，求,a b 的值．（2）求不等式ax x ax ->+-5232)(R a ∈的解集【答案】（1）1,2a b ==（2）①当0>a 时，a x x 3{>或}1-<x ②当03<<-a 时，}13{-<<x ax ③当3-=a 时，∅④当3-<a 时，}31{ax x <<-⑤ 当0=a 时，原不等式解集为{}1-<x x（2）第一步，直接讨论参数大于0、小于0或者等于0： 不等式为()0332>--+x a ax ，即()()013>+-x ax第二步，分别求出其对应的不等式的解集： 当0=a 时，原不等式的解集为{}1|-<x x ； 当0≠a 时，方程()()013=+-x ax 的根为1,321-==x ax ；所以当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13|x a x x 或； ②当03<<-a 时，13-<a，∴}13{-<<x a x③当3-=a 时，13-=a ，∴∅④当3-<a 时，13->a，∴}31{a x x <<-学*科网第三步，得出结论：综上所述，原不等式解集为①当0>a 时，a x x 3{>或}1-<x ；②当03<<-a 时，}13{-<<x a x ③当3-=a 时，∅；④当3-<a 时，}31{ax x <<-；⑤当0=a 时，原不等式解集为{}1-<x x .考点：一元二次不等式的解法.【点评】（1）本题考察的是一元二次不等式和一元二次方程的关系，由题目所给条件知2320ax x -+=的两根为1x x b ==或，且0a >，根据根与系数的关系，即可求出,a b 的值．（2）本题考察的是解含参一元二次不等式，根据题目所给条件和因式分解化为()()310ax x -+>，然后通过对参数a 进行分类讨论，即可求出不等式的解集．学*科网【变式演练1】【河南省平顶山市2017-2018学年期末调研考试高二理科数学】若不等式对任意实数 均成立，则实数 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【变式演练2】已知p ：1x 和2x 是方程220x mx --=的两个实根，不等式21253||a a x x --≥-对任意实数[]1,1m ∈-恒成立；q ：不等式2210ax x +->有解，若p 为真，q 为假，求a 的取值范围．【答案】1a ≤-∴440a ∆=+>，∴10a -<<， ∴不等式2210ax x +->有解时1a >-， ∴q 假时a 的范围为1a ≤-，②由①②可得a 的取值范围为1a ≤-．学*科网考点：命题真假性的应用类型二 根据二次不等式所对应方程的根的大小分类使用情景：一元二次不等式可因式分解类型解题模板：第一步 将所给的一元二次不等式进行因式分解；第二步 比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论；第三步 得出结论.例2 解关于x 的不等式01)1(2>++-x a ax （a 为常数且0≠a ）.【答案】0<a 时不等式的解集为)1,1(a ； 10<<a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞a；1=a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ ；1>a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ a.若1>a ，110<<a ，不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ a学*科网 试题分析：21(1)10()(1)0ax a x a x x a-++>⇔-->,先讨论0a <时不等式的解集；当0a >时，讨论1与1a的大小，即分10<<a ，1=a ，1>a 分别写出不等式的解集即可. 考点：1.一元二次不等式的解法；2.含参不等式的解法.【变式演练3】已知0a <，解关于x 的不等式2(2)20ax a x ---<． 【答案】当2a <-时，2{x | x x 1}a ＜-或＞；当2a =-时，{}1x x ≠；当20a -<<时，2{x |x 1x }a＜或＞-．考点：一元二次不等式．【变式演练4】【2018重庆高三理科数学不等式单元测试卷】已知0<b<1+a ，若关于x 的不等式（x －b ）2>（ax ）2的解集中的整数恰有3个，则（ ）A ． －1<a<0B ． 0<a<1C ． 1<a<3D ． 3<a<6 【答案】C【解析】由()()22x b ax ->，整理可得（1－2a ）2x －2bx+2b >0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有1－2a <0，此时2a >1，而0<b<1+a ，故a>1， 由不等式()22212a x bx b -+-<0解得()()222222,2121b ab b ab x a a ---+<<--即111b bx a a -<<<-+要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么－3<1b a --<－2，由1b a --<－2得－b<－2（a －1），则有a<2b +1，即a<2b +1<12a ++1，解得a<3，由－3<1ba --得3a －3>b>0，解得a>1，则1<a<3．学&科网类型三 根据判别式的符号分类使用情景：一般一元二次不等式类型解题模板：第一步 首先求出不等式所对应方程的判别式；第二步 讨论判别式大于0、小于0或等于0所对应的不等式的解集；第三步 得出结论.例3 设集合A={x |x 2＋3k 2≥2k (2x －1)}，B={x |x 2－(2x －1)k ＋k 2≥0}，且A ⊆B ，试求k 的取值范围． 【答案】.010<≤-≥k k 或【解析】第一步，首先求出不等式所对应方程的判别式：B 中的不等式不能分解因式，故考虑判断式k k k k 4)(4422-=+-=∆， (1)当k =0时，R x ∈<∆,0. (2)当k ＞0时，△＜0，x R ∈.(3)当k ＜0时，k k x k k x -+≥--≤>∆或,0.第三步，得出结论：综上所述，k 的取值范围是：.010<≤-≥k k 或【点评】解含参的一元二次不等式，可先分解因式，再讨论求解，若不易分解，也可对∆进行分类，或利用二次函数图像求解.对于二次项系数不含参数且不能因式分解时，则需对判别式∆的符号分类. 【变式演练5】在区间错误!未找到引用源。
含参一元二次方程的解法 课后练习二及详解
m1＞0
时，x 2 ＝
5 m 1
＞0，
∴x ＝
5 m 1
5m 1 m 1 ，
所以 m＞1 时原方程的解是 x ＝
5m 1
m 1 ，m＜1 时原方程无实数解．
题三：
答案：B 详解：∵关于 x 的一元二次方程 x2+2xa=0 有两个相等的实数根，∴△=22+4a=0，解得 a= 1．
题二： 题面：解方程：mx23=x2+2（m≠1）．
题三：
题面：已知关于 x 的一元二次方程 x2+2xa=0 有两个相等的实数根，则 a 的值是（ ）
A． 1
B．1
C．
D ．
重难点易错点解析 题一：
课后练习详解
答案：x=± n +p．
详解：当 n≤0 时，方程（xp）2+n=0 为一元二次方程，（xp）2+n=0
故选 B．
移项得：（xp）2=-n，两边直接开平方得：xp=± n ，
x=± n +p．
金题精讲
题一： 答案：x1=3m，x2= 2m． 详解： ∵（x3m）（x+2m）=0，∴x3m=0 或 x+2m=0，∴x1= 3m，x2= 2m．
满分冲刺
题一：
答案： x1 1，．2 x mn 详解：原方程化为 (x 1)(mx n) 0，x 1 0 或
1, x2
n m
．
题二：
答案：当 m＜1 时，无解；
当 m＞1 时，x ＝ 5m 1
详解：移项得：mx2x2m=2+31，化简得：（m1）x2=5，
5 ∵m≠1，∴x2＝ m 1 ，
含参一元二次不等式的解法与恒成立问题
含参一元二次不等式的解法与恒成立问题
一元二次不等式是几何、代数以及统计学等领域中使用最广泛的不等式之一，其解法和恒成立问题也是学习和研究的重要内容。
首先，要理解含参一元二次不等式的解法，我们需要对一元二次方程有所了解。
一元二次不等式也可以表示为一元二次方程形式，也可以将一元二次方程化为一元二次不等式形式。
一元二次方程有一般形式ax^2 + bx + c = 0,其中a,b,c均为实数，且a≠0，这个方程有两个实根，如果a,b,c满足一定条件，那么解得的方程式可以写作
x^2+px+q≥0,其中p为常数，q为常数。
在求解含参一元二次不等式的时候，要先化成一元二次方程的形式，然后根据首项系数是正还是负，分两种情况讨论，如果ax^2为正，那么此一元二次不等式在实数集上有解，只要保证满足一定条件即可；若ax^2为负，则含参一元二次不等式可以分离，而只要满足条件就必定存在解。
当求解不等式的恒成立问题时，一般的思路是先将不等式的非负部分和负部分分开，求解其左右两边的值，例如：若有ax^2+bx+c≥0，可先将其分解为ax^2+c≥0和bx≥0，然后求解其左右两边的值，根据不等式的性质，求解其两个值，确定其恒成立条件。
总之，一元二次不等式的解法及其恒成立问题是学习和研究中重要的内容，也是大家常用的不等式之一。
要正确求解，首先要正确分离不等式，然后根据不等式的性质确定相应的恒成立条件。
含参一元二次不等式解法及简单恒成立
m＜0.综上，m 的取值范围为 m≤0.
[类题通法] 不等式对任意实数 x 恒成立， 就是不等式的解集为 R， 对于一 元 二 次 不 等 式 ax2 ＋ bx ＋ c ＞ 0 ， 它 的 解 集 为 R 的 条 件 为
a＞0， 2 Δ＝b －4ac＜0；
一元二次不等式 ax2＋bx＋c≥0， 它的解集为 R
g1＜0， g－3＜0，
2 x －2x＋4＜0， 即 2 x －10x＋4＜0.
因为x2－2x＋4＜0的解集是空集，所以不存在实数x，使函数y ＝x2＋2(a－2)x＋4，对任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立．
x＜1.
1 1 当 a＜－1 时，－a＜1，∴x＞1 或 x＜－a， 综上原不等式的解集是： 当 a＝0 时，{x|x＜1}；当 a＞0
1 时， x|－a＜x＜1； 1 时，x|x＜1或x＞－a .
当 a＝－1 时，{x|x≠1}；当－1＜a＜0 当 a＜－1
4 、 已 知 关 于 x 的 不 等 式 ax 2 ＋ bx ＋ c ＜ 0 的 解 集 是 1 x |x ＜－2 或 x ＞－ 2 ，求 ax 2－bx ＋c＞0 的解集．
二、不等式恒成立
关于 x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m ＜x 2＋1 对 x ∈R 恒成立， 求实数 1、 m 的取值范围．源自 a＝－3， 得 b＝2，
代入所求不等式，得 2x2－3x＋1＞0. 1 由 2x －3x＋1＞0⇔(2x－1)(x－1)＞0⇔x＜ 或 x＞1. 2
2
∴bx ＋ax＋1＞0
2
1 的解集为－∞，2∪(1，＋∞)．
[类题通法] 1．一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根， 也是函数 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标． 2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象在 x 轴上方的部分，是由 不等式 ax2＋bx＋c＞0 的 x 的值构成的； 图象在 x 轴下方的部分， 是由不等式 ax2＋bx＋c＜0 的 x 的值构成的， 三者之间相互依存、 相互转化．
含参一元二次方程的解法-讲义
学科：数学专题：含参一元二次方程的解法重难点易错点解析当系数中含有字母时，注意有实解的判断。
题一题面：(x －m )2=n ．(n 为正数)金题精讲题一题面：解关于x 的一元二次方程1. x 2＋2mx =n ．(n ＋m 2≥0)．2. x 2－2mx ＋m 2－n 2=0．3. .04222=-+-b a ax x 4. abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab =0．(ab ≠0)解含参的一元二次方程：配方法、因式分解满分冲刺题一题面：解关于x 的一元二次方程1. ()()()b a a c x c b x b a ≠=-+-+-022. ()()()01222≠--=-b a x b a x 3. ()()()0222222≠+-=-++b a b a bx a b ax解含参的一元二次方程：因式分解题二题面：解关于x 的方程kx 2－(k ＋1)x ＋1=0．解含参的方程，分类讨论。
题三题面：已知关于x 的方程x 2－2ax －a ＋2b ＝0，其中a ，b 为实数．(1)若此方程有一个根为2a (a ＜0)，判断a 与b 的大小关系并说明理由；(2)若对于任何实数a ，此方程都有实数根，求b 的取值范围．一元二次方程的解，判别式。
讲义参考答案重难点易错点解析题一 答案：.,21m n x m n x +-=+=金题精讲题一答案：1. .,2221n m m x n m m x +--=++-= 2. x 1＝m ＋n ，x 2＝m －n .3. .2,221b a x b a x +=-= 4. ⋅==ba x ab x 21, 满分冲刺题一答案：(1)121,c a x x a b -==- (2) 12,1a ab x a x b+==- (3)当b=0时，120x x ==；当b ≠0时，无实根。
题二答案：k ＝0时，x ＝1；k ≠0时，.1,121==x kx 题三答案：解：(1)∵方程x 2－2ax －a ＋2b ＝0有一个根为2a ，∴4a 2－4a 2－a ＋2b ＝0． 整理，得2a b =． ∵0<a ，∴2a a <，即b a < (2)△＝4a 2－4(－a ＋2b )＝4a 2＋4a －8b ．∵对于任何实数a ，此方程都有实数根，∴对于任何实数a ，都有4a 2＋4a －8b ≥0，即a 2＋a －2b ≥0．∴对于任何实数a ，都有⋅+≤22a a b∵,81)21(21222-+=+a a a 当21-=a 时，22a a +有最小值81-． ∴b 的取值范围是81-≤b。
含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a Θ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ； 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且；当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x变式：解关于x 的不等式1、0)2)(2(>--ax x ；2、(1－ax )2<1. }2,2|{,1)5(}2|{,1)4(}2,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22|{,0)1(><>≠=><<<<=<<<x ax x a x x a ax x x a x x a x ax a 或时当时当或时当时当时当【解】由(1－ax )2<1得a 2x 2－2ax ＋1<1.即ax (ax －2)<0.(1)当a ＝0时，不等式转化为0<0，故原不等式无解．(2)当a <0时，不等式转化为x (ax －2)>0，即x (x －2a )<0.∵2<0，∴不等式的解集为{x |2}11|{1)5(1)4(}11|{10)3(}1|{0)2(}1,1|{0)1(<<>Φ=<<<<>=><<x a x a a ax x a x x a x ax x a 时，当时，当时，当时，当或时，当 3、ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R)二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。
例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。
当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。
当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。
所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。
例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。
解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。
3.2.3含参数的一元二次不等式的解法
2
.
.
3
x
（1）数形结合思想
例3. 关于x的不等式 2 x 9 x m ≤ 0 在区间[ 2, m≤9 3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.
2
解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，
记 g ( x) 2 x2 9 x, x [2,3],
gmin ( x) g(3) 9, m ≤ 9. （2）变量分离法(分离参数)
6.若关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根， 则a的取值范围是_________. -1<a<1
解析
令f(x)=x2+ax+a2-1,
∴二次函数开口向上，若方程有一正一负根，
则只需f(0)<0,即a2-1<0,
∴-1<a<1.
7.已知函数f(x)=-x2+2x+b2-b+1(b∈R),若当x∈[-1,1]
三、解答题 8.解不等式：
log 1 (3x 2 2 x 5) log 1 (4 x 2 x 5).
2 2
解
原不等式等价于
2 2 3 x 2 x 5 4 x x 5, ① 2 ② 4 x x 5 0, 解①得x2+3x≤0,即-3≤x≤0. 5 解②得x>1或x< . 4 5 故原不等式的解集为 {x | 3 x }. 4
a 0 2 b 4ac 0
(4)二次不等式 ax2 +bx +c ≤ 0 恒成立
a 0 2 b 4ac 0
注：“不等式ax2+bx+c>0恒成立”即是 “不 等式ax2+bx+c>0的解集是R”
如何解含参一元二次方程
如何解含参一元二次方程一元二次方程是数学中的基础概念之一，解一元二次方程是数学中的一个重要问题。
在解一元二次方程时，我们需要找到方程的解，即使方程两边的值相等。
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c 为已知常数，且a不等于0。
解一元二次方程的方法有多种，下面我将介绍几种常见的解法。
1. 因式分解法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果方程的系数a、b、c 可以因式分解，即存在两个因式m和n，使得a = mn，c = mn，则方程可以写成(ax + m)(x + n) = 0。
根据乘法公式，当两个因式的乘积等于0时，至少有一个因式为0。
因此，方程的解可以通过求两个因式分别为0时的解得到。
2. 完全平方公式对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果方程的系数a、b、c 满足b^2 - 4ac = 0，即方程的判别式等于0，那么方程的解可以通过完全平方公式x = -b/2a得到。
完全平方公式是一元二次方程的特殊解法，适用于判别式等于0的情况。
3. 直接求根公式对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果方程的系数a、b、c 满足b^2 - 4ac > 0，即方程的判别式大于0，那么方程的解可以通过求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a得到。
求根公式是一元二次方程的常见解法，适用于判别式大于0的情况。
4. 配方法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果方程的系数a、b、c 满足a不等于0且方程无法直接因式分解，我们可以通过配方法将方程转化为可以因式分解的形式。
配方法的基本思想是通过变量替换将方程转化为一个完全平方的形式，从而求得方程的解。
5. 图像法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过绘制方程的图像来求解方程。
一元二次方程的图像是一个抛物线，方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标。
含参数的一元二次不等式的解法微课课件
原不等式解集为
xk4k28kxk
k28k
4
k 8
(3)当 (4)当
xk4k28kxk4k28k
k 8时,不等式解集为
x x 2
时,不等式解集为
(2)当
时8,不k等式0解集为
综上所述， (1)当
k0
时,不等式解集为
x x 0
(5)当
k 时 ,0不等式解集为
xk4k28kxk4k28k
a
（2）当 a0 时，有：
（a）当 （b）当 （c）当
1 1 a
即 a 1
时，原不等式的解集为：
{x | 1 x 1} a
1 1 即 a 1 时，原不等式的解集为：
a
1 1 即 0a1 时，原不等式的解集为： {x | 1 x 1}
a
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
01
a2x(a1)x10.
02
综上所述，
例3:解关于 的不等式：
人教版高中数学必修五第三章
含 参 数 的 一 解元 法二 次 不 等 式 的
授课人：广东省阳东广雅中学
杨学武
温故知新
a x 2 + b x + c > 0 或 a x 2 + b x + c < 0 (a > 0 )
根据二次函数的图
象以及不等号的方
向，写出不等式的
0
（2）求对应方程的根：
1 一．
因式分解求方程的根，
m m 0 时 ， 不 等 式 的 解 集 为 { x |x 2 或 x 2 }
m
课堂小结
对含参数的一元二次不 等式解法，其分类讨论 的依据
含参的一元二次不等式的解法
含参的一元二次不等式的解法一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的二次函数的不等式，其中a, b, c是实数，且a ≠ 0。
解一元二次不等式的方法与解一元二次方程类似，但是需要注意的是，不等式的解是满足不等式条件的解集。
下面将介绍一元二次不等式的解法，包括图像法、开方法、配方法、代数法等。
一、图像法：对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以首先绘制二次函数y = ax^2 + bx + c的图像，并找出函数图像在x轴上方（或下方）的区间。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以绘制出y = x^2 - 4x + 3的图像。
首先，找到抛物线的顶点，顶点就是不等式解的中心点。
顶点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为y = f(-b/(2a))。
在这个例子中，a = 1，b = -4，c = 3，所以顶点的横坐标为x = -(-4)/(2*1) = 2，纵坐标为y = f(-4/(2*1)) = f(2) = 2^2 - 4*2 + 3= -1。
然后，可以找到函数图像在x轴上方的区间，即函数图像在x < 1和x > 3时，都在x轴上方。
根据图像可知，在x < 1和x > 3时，x^2 - 4x + 3 > 0。
所以，不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解为x < 1或x > 3。
二、开方法：对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以考虑将不等式转化为以x为未知数的一元二次方程，并求解方程的根，在不等式的根之间的区间满足不等式。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以通过因式分解或配方法得到方程(x - 1)(x - 3) > 0。
根据求解一元二次方程的方法，可以得到方程的两个根为x = 1和x = 3。
含参数的一元二次不等式的解法
2 ax 例1 解关于 x 不等式： a 2 x 1 0
分析：
2 a 2 4 a a 40 本题二次项系数含有参数， ， 2
故只需对二次项系数进行分类讨论。
综上所述 a 2 a 2 4 a 2 a 2 4 或x 1 当a 0时，解集为 x | x 2a 2a 1 2 当a 0时，不等式的解集为 x | x ； 2 2 a 2 a 2 4 a 2 a 4 x 3 当a 0时，解集为 x | 2 a 2 a
2
分析：
本题中由于的x 系数大于0, 故只需考虑 与 根 的情况。 解：
2
a 2 16
当 0即a 4,4 时，解集为R
当＝0即a 4时，解集为 x x R且x a ； 2
二、对判别式的符号讨论，即 0, 0, 0; 例2、解不等式x ax 4 0
含参一元二次不等式的讨论级别如下框架进行 当a=0时，不等式就成为一次不 0 结论 等式或更低次数的不等式，解集 结论 很显然的，但是这种情况容易丢 a 0 0
x1 x2 结论 0 失，所以在解题时 x1 x2 结论
a 0
优先考虑
结论
0 结论 0 结论 x1 x2 结论 0 x1 x2 结论
1 当a 1或0 a 1时，原不等式的解集为 x | a x a 当a 1或a -1时，原不等式的解集为 1 当 1 a 0或a 1时，原不等式的解集为 x | x a a
变式训练3：
解不等式x 5ax 6a 0，a 0
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学科：数学
专题：含参一元二次方程的解法
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
当系数中含有字母时，注意有实解的判断。
题一
题面：(x －m )2
=n ．(n 为正数)
金题精讲
题一
题面：解关于x 的一元二次方程
1. x 2＋2mx =n ．(n ＋m 2≥0)．
2. x 2－2mx ＋m 2－n 2=0．
3. .0422
2
=-+-b a ax x 4. abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab =0．(ab ≠0)
解含参的一元二次方程：配方法、因式分解
满分冲刺
题一
题面：解关于x 的一元二次方程
1. ()()()b a a c x c b x b a ≠=-+-+-0
2 2. ()()()01222≠--=-b a x b a x
3. ()()()
0222222≠+-=-++b a b a bx a b ax
解含参的一元二次方程：因式分解
题二
题面：解关于x 的方程kx 2－(k ＋1)x ＋1=0．
解含参的方程，分类讨论。
题三
题面：已知关于x 的方程x 2－2ax －a ＋2b ＝0，其中a ，b 为实数．
(1)若此方程有一个根为2a (a ＜0)，判断a 与b 的大小关系并说明理由；
(2)若对于任何实数a ，此方程都有实数根，求b 的取值范围．
一元二次方程的解，判别式。
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一 答案：.,21m n x m n x +-=+=
金题精讲
题一
答案：1. .,2221n m m x n m m x +--=++-=
2. x 1＝m ＋n ，x 2＝m －n .
3. .2
,221b a x b a x +=-= 4. ⋅==b
a x a
b x 21, 满分冲刺
题一
答案：(1)121,c a x x a b -==- (2) 12,1a ab x a x b
+==- (3)当b=0时，120x x ==；当b ≠0时，无实根。
题二
答案：k ＝0时，x ＝1；k ≠0时，.1,121==x k
x 题三
答案：解：(1)∵方程x 2－2ax －a ＋2b ＝0有一个根为2a ，∴4a 2－4a 2－a ＋2b ＝0． 整理，得2
a b =
． ∵0<a ，∴2a a <，即b a < (2)△＝4a 2－4(－a ＋2b )＝4a 2＋4a －8b ．
∵对于任何实数a ，此方程都有实数根，
∴对于任何实数a ，都有4a 2＋4a －8b ≥0，即a 2＋a －2b ≥0．
∴对于任何实数a ，都有⋅+≤2
2a a b ∵,8
1)21(21222-+=+a a a 当21-=a 时，22a a +有最小值8
1-． ∴b 的取值范围是81-≤b。