含参数的一元二次方程的整数解问题
含参数的一元二次方程的整数解问题
第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题对于一元二次方程ax2+ bx + c=O(a丸)的实根情况，可以用判别式A=b 2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质•本讲结合例题来讲解一些主要的方法•例1 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x + 72 = 0有两个不相等的正整数根.解法1首先，m2-1丸,m工± . A=36(m-3) 2> 0,所以m工3.用求根公式可得6 12由于x i, X2是正整数，所以m-仁1 , 2 , 3, 6, m+1=1 , 2, 3, 4, 6, 12,解得m=2 .这时X1=6 , x2=4 .解法2首先，m2-1丸,m工± .设两个不相等的正整数根为X1, X2,则由根与系数的关系知m2= 3 , 4 , 5 , 7 , 9 ,10 ,13, 19,25 , 37 , 73 ,只有m2=4 , 9, 25才有可能，即m= ±2, ±3, ±5.经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的.有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法.例2已知关于x的方程a2x2-(3a 2-8a)x + 2a2-13a + 15=0(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值.分析至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根.我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来.解因为a^O,所以(3a2 - Sa) ±- 8a)2 - 4a2(2a r-13a + 15)B = 2?(3a2 -8a) ±(a2+ 2a)= 2? ，所以3a2 -Sa 4-(? 4-2a) 3”—W --------------弘'-亦+ 5Sj=------ 否------ =l_；所以只要a是3或5的约数即可，即a=1 , 3, 5 .例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x + 1 = 0有有理根，求m的值.解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数.令△=(m-1) 2-4m = n2.其中n是非负整数，于是m2-6m+1= n 2,所以(m-3)2-n2=8 ,(m-3 + n )(m-3-n) = 8.由于m-3 + n >m-3-n ,并且(m-3 + n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶数，所以m-3 + n与m-3-n同奇偶，所以"m -3+ n = 4,m = 6,n = Is in= 1所以m = E遠时方程的两个根为》说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决•例4关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值.解当a=0时，原方程变成-6x-2=0 ,无整数解.当a丸时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式A=4(a-3) 2-4a(a-2) = 4(9-4a)为完全平方数，从而9-4a是完全平方数.令9-4a=n 2，则n是正奇数，且详3(否则—0)・所以"弓由求根公式痔-- 3) ±2n 3 ±n吩=--------- H ------- =-"一所叹要使x i为整数，而n为正奇数，只能n=1 ,从而a=2 .要使X2为整数，即n-3 | 4, n可取 1 , 5, 7,从而a=2 , -4 , -10 .综上所述,a的值为2, -4 , -10 .说明本题是前面两种方法的综合”•既要用判别式是平方数，又要用直接求根•有时候，往往是几种方法一同使用•例5已知关于x的方程2x2+ (a-6)x + a=0的两根都是整数，求a的值.解设两个根为X1浓2,由韦达定理得衍+x2 - 6 - a,= a.从上面两式中消去a得X1X2+X 1+X 2= 6 ,所以（X1+ 1）（X2+1）=7 ,昕以所以a=X 1X2=0 或16 •而求解这个说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于X1 , X2的不定方程对称的不定方程往往是容易入手的•例6求所有有理数r,使得方程的所有根是整数分析首先对r=0和r 丸进行讨论.r=0时，是关于x 的一次方程；r 丸时， 的二次方程，由于r 是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做 不能奏效.可用韦达定理，先把这个有理数r 消去.解当r=0时，原方程为x-仁0 ,所以x=1 .当r 丸 时，原方程是关于x 的一元二次方程，设它的两个整数根为 x i , X 2,且 则消去r 得X 1X 2-X 1-X 2 = 2 ,所以(X i -1)(X 2-1)=3 .综上所述.当2身，X 1时，方程的所有根都是整瓠rx 2+(r+1)x + (r-1)=0关于X ，均X 1 >X 2 ,所以所以例7已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2+ 2(2a-1)x + 4(a-3)=0 至少有一个整数根，求a的值.解将原方程变形为(x + 2)2a= 2(x + 6).显然x+ 2工0,于是2(x + £)由于a是正整数，所以a >1,即(盟+ 2沪，所以X2+2X-8切,(x+ 4)(x-2) <0,所以-4 <x<2(x 左2).当x=-4 , -3 , -1 , 0, 1 , 2 时，得 a 的值为1, 6, 10, 3,14L 1.所％的値为1, X 6. 10.说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4 , 2;当a=3 , 6,10时，方程只 有一个整数根.有时候，在关于x 的一元二次方程中，如果参数: 参数来求解.例8已知方程x 2+bx+c=0 与x 2+cx + b=0各有两个整数根⑵求证：b-1 <c 命+ 1 ;⑶求b , c 的所有可能的值.解⑴由X i X 2> 0知，x i 与X 2同号.若x i > 0 ,则X 2> 0 , 这3T -b=心+知〉山斯以bUD-与君盾.所以.K J CO R 益⑵由(1)知，x i v 0, X 2V 0,所以x i W -1 , X 2W -1 .由韦达定理c-(b-1)=x 1X 2 + X i + X 2+ 1=(x1 + 1)(x2+1) >0,所以c >b-1 .同理有b * (_v -1J 弓洗详)+孟］+ Xjj + 1=(xi +r)(虬 +1丿所以c Wb+1 , 所以b-1 w c 命+1 .⑶由(2)可知，b 与c 的关系有如下三种情况次的，可以先对这个(i)c=b + 1.由韦达定理知X1X2=-(X 1 + X2)+ 1 ,所以(X1+ 1)(X2+ 1)=2 ,叫kj + ] =-2iXj + 1 = -2(z2+ 1~ -1.解得X1 + X2=-5 , X1X2=6 ,所以b=5 , c=6 .(ii)c=b .由韦达定理知X1X2=-(X 1+ X2),所以(X1 + 1)(X2 + 1)=1 ,所以X1=X2=-2 ,从而b=4 , c=4 .(iii)c=b-1.由韦达疋理知-(i| +s2) = * xj -l h 所以〔若;+1〕&；+ l) =解得篦;+誰；=5 £；爲=6,所以b = & t = 5-综上所述,共有三组解：(b , c)=(5 , 6), (4 , 4), (6, 5).。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x变式：解关于x 的不等式1、0)2)(2(>--ax x ；2、(1－ax )2<1.}2,2|{,1)5(}2|{,1)4(}2,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22|{,0)1(><>≠=><<<<=<<<x ax x a x x a ax x x a x x a x ax a 或时当时当或时当时当时当【解】由(1－ax )2<1得a 2x 2－2ax ＋1<1.即ax (ax －2)<0.(1)当a ＝0时，不等式转化为0<0，故原不等式无解．(2)当a <0时，不等式转化为x (ax －2)>0，即x (x －2a )<0.∵2a <0，∴不等式的解集为{x |2a<x <0}．}11|{1)5(1)4(}11|{10)3(}1|{0)2(}1,1|{0)1(<<>Φ=<<<<>=><<x ax a a ax x a x x a x ax x a 时，当时，当时，当时，当或时，当3、ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R)二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
一元二次方程整数根问题的解法技巧
7 7
时,
1 2
7 ( 舍去). 故所有正数 a 的和是: 1 +
①
+
2 (x + 6) ≥ 1, 解得 - 4 ≤ x ≤ 2. 取 x 的整数 (x + 2) 2 值为 x = - 4, - 3, - 1, 0, 1, 2, 分别代入 ①, 得 a 的整
26;
= [ a (a + 2) ] 2 是完全平方式, 则原方程可用十字相乘
当 2m + 1 = 49 时, m = 24, 方程两根分别为 38,
52.
法因式分解为: [ ax -
《数学教学通讯》 2005 年 9 月 ( 下半月) ( 总第 238 期) ③ 令 ∃ = p t + q = n 2 ( 或 ( 2n + 1) 2 ) , 由此求出 t 后 代入原方程, 先求出两根, 再求参数. 例 5 ( 1991 年南昌市初中数学竞赛题) 已知 a 为 整数, 方程 x + ( 2a + 1) x + a = 0 有整数根 x 1、 x 2,
6 (k + 1) = 1.
解得 k = 8, 或 k = 46. 分别代入
41 130 ,2或 , - 17. 9 9
原方程可解得方程的有理根为 -
∴ x 1 = - n2, x 2 = ∴
4 4
(n + 1) 2 ,
4
x2 1
-
x2 2
=
4
(- n2) 2
-
三、 利用一元二次方程根与系数的关系求 解
= k (k + 2) ,
2
k- 1 = 1k
1
k
( 因 k 为实数, 此时不能推出 k = 1, - 1) ・・ ② - ① 消去参数 k , 得 x 1 x 2 - x 1 - x 2 = 2,
一元二次方程整数解问题
一元二次方程整数解问题
对于“一元二次方程整数解问题”，我们首先一起来理解这个问题。
一元二次方程是数学中一种基础的方程形式，形如ax²+bx+c=0，其中a，b，c为已知数，x为未知数。
而整数解，则是指这个方程的解为整数。
给定一元二次方程ax²+bx+c=0，要求其整数解，我们需要先判断此方程是否有解。
这需要用到判别式Δ=b²-4ac。
如果Δ大于等于0，方程才有解。
得出两个根分别为x1=(-b+sqrt(Δ))/2a和x2=(-b-sqrt(Δ))/2a。
然后我们需要判断这两个根是否为整数。
即判断sqrt(Δ)是否为2a的倍数。
如果是，那么这两个解就为整数解。
例如，对于一元二次方程2x²-3x-2=0，首先计算判别式Δ=(-3)²-(4*2*-2)=25，然后求解得到两个根为x1=(3+sqrt(25))/2*2=5/2和x2=(3-sqrt(25))/2*2=-1/2。
可以看到这两个解都不是整数，所以这个方程没有整数解。
再例如，对于一元二次方程x²-5x+6=0，首先计算判别式Δ=(-5)²-(4*1*6)=1，然后求解得到两个根为x1=(5+sqrt(1))/2=3和x2=(5-sqrt(1))/2=2。
可以看到这两个解都是整数，所以这个方程的整数解为3和2。
通过以上的分析，你应该对一元二次方程整数解问题有所理解了。
若方程有解并且根为整数，则该方程有整数解；若没有解或者虽有解但解不为整数，则该方程没有整数解。
这就是一元二次方程整数解问题的全部内容。
一元二次方程的整数整数解(含答案)
竞赛辅导 一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k )，通过穷举，逼近求解；从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．【例题求解】【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有个．思路点拨用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么ba ab +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、c 的值．【例3】试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根．思路点拨由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0≠r 时，由根与系数关系得到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．【例4】当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．思路点拨整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性．注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值． 思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．学历训练1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有．2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝．3．给出四个命题：①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是．4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ，则21x x -=．5．设rn 为整数，且4<m<40，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根6．已知方程015132)83(222=+-+--a a x a a ax (a ≠0)至少有一个整数根，求a 的值．7．求使关于x 的方程01)1(2=-+++k x k kx 的根都是整数的k 值．8．当n 为正整数时，关于x 的方程0763*******=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，试解此方程．9．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k 的值．10．试求所有这样的正整数a ，使得方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数解．11．已知p 为质数，使二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数，求出p 的所有可能值．12．已知方程02=++c bx x 及02=++b cx x 分别各有两个整数根1x 、2x 及1x '、2x '，且1x 2x >0，1x '2x ' >0． (1)求证：1x <0,2x <0，1x '<0,2x '< 0；(2)求证：11+≤≤-b c b ；(3)求b 、c 所有可能的值．13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程0122=+--m x mx 的根(m 为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．参考答案。
一元二次方程的整数根问题讲解
一元二次方程的整数根问题讲解资料编号:202209071101对于含参一元二次方程,我们经常会遇到整数根的问题.这类问题的解决,往往要借助公式法或因式分解法,用参数表示出方程的两个实数根（或表示出其中一个实数根）,然后对结果进行变形处理,并作出讨论.得出参数的值之后,需要进行检验,看参数的值是否符合题意.例1. 已知关于的一元二次方程.x ()0222=++-x m mx （1）证明:不论为何值,方程总有实数根;m （2）为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?m 分析:（1）要证明一元二次方程总有实数根,只需证明总有△≥0即可,注意△≥0是要证明的结论,不是证明的条件;（2）利用公式法或因式分解法,用参数表示出方程的根,然后对结果进行变形或作出讨论.得出参数的值后需要进行检验.（1）证明: ()[]m m 822-+-=∆()22244-=+-=m m m ∵≥0()22-m ∴△≥0∴不论为何值,方程总有实数根;m （2）解:()0222=++-x m mx()m m m m m m x 2222222-±+=-±+=∴ mm m m x m m m m m x 2222,12222221=+-+===-++=∵为整数,为正整数m 21,x x ∴或1=m 2=m 由题意可知:,∴ 12≠m2≠m ∴.1=m点评 （1）也可利用因式分解的方法求解方程,如下:由题意可知:0≠m()0222=++-x m mx()()()()02101210222=--=---=+--mx x x x mx x mx mx ∴或01=-x 02=-mx ∴. mx x 2,121==（2）若把题目改为“已知关于的方程.”结果又将如何? x ()0222=++-x m mx 例2. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.x 05242=+--m x x （1） 求实数的取值范围;m （2）若该方程的两个根都是符号相同的整数,求整数的值.m 分析:（1）根据方程有两个不相等的实数根,即,建立关于参数的不等式0>∆m 求解;（2）这里对参数的要求比较苛刻,有三点:①的值是整数;②保证方程的两m m 个根符号相同;③保证方程的两个根都是整数.注意,最后要对求出的的值进行检验.m 解:（1）由题意可得:()()025442>---=∆m 解之得:; 21>m （2）由题意可得: ⎪⎩⎪⎨⎧>->02521m m 解之得: 2521<<m ∵为整数m ∴或.1=m 2=m 当时,,解之得:,符合题意;1=m 0342=+-x x 3,121==x x当时,,解之得:,不符合题意,舍去. 2=m 0142=+-x x 32,3221-=+=x x 综上所述,整数的值为1.m 例3. 已知关于的一元二次方程.x ()01222=+++-k k x k x （1）求证:无论取何值,方程都有两个不相等的实数根;k （2）如果方程的两个实数根为,且与都为整数,求所有可能的值. 21,x x k 21x x k 分析:（1）只需证明无论取何值,都有即可;k 0>∆（2）由求根公式或因式分解的方法,求出方程的两个实数根,分别作为,共21,x x 有两种表示结果,分两种情况讨论.（1）证明: ()[]()k k k +-+-=∆22412 ()01441222>=--+=k k k ∴无论取何值,方程都有两个不相等的实数根;k （2）解:()01222=+++-k k x k x 21122112±+=±+=k k x ∴或 k k x k k x =-+=+=++=2112,12112211,21+==k x k x 当时, k x k x =+=21,1k k k x x 11121+=+=∵与都为整数 k 21x x ∴或;1-=k 1=k 当时, 1,21+==k x k x 111111121+-=+-+=+=k k k k k x x ∵与都为整数 k 21x x ∴或.0=k 2-=k综上所述,或或或.1-=k 1=k 0=k 2-=k 例4. 关于的一元二次方程.x ()01212=++--m mx x m （1）求出方程的根;（2）为何整数时,此方程的两个根都为正整数? m 解:（1）由题意可知:,.01≠-m 1≠m ()()()()()11122212114222-±=-±=--+--±=m m m m m m m m m x ∴; 111,1121=--=-+=m m x m m x （2）∵为整数,为正整数m 21,x x 121121111-+=-+-=-+=m m m m m x ∴或11=-m 21=-m ∴或.2=m 3=m。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。
例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。
当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。
当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。
所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。
例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。
解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。
含参数的一元二次方程的整数解问题
含参数的一元二次方程的整数解问题数学思维的教育第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题解法2 首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5．经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法．例2 已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．分析“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．解因为a≠0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．例3 设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值．解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令Δ=(m-1)2-4m＝n2，其中n是非负整数，于是m2-6m+1=n2，所以 (m-3)2-n2=8，(m-3＋n)(m-3-n)＝8．由于m-3＋n≥m-3-n，并且(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶数，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．例4 关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．解当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解．当a≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式Δ＝4(a-3)2-4a(a-2)＝4(9-4a)为完全平方数，从而9-4a是完全平方数．令9-4a=n2，则n是正奇数，要使x1为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而a=2．要使x2为整数，即n-3｜4，n可取1，5，7，从而a=2，-4，-10．综上所述，a的值为2，-4，-10．说明本题是前面两种方法的“综合”．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时候，往往是几种方法一同使用．例5 已知关于x的方程x2＋(a-6)x＋a=0的两根都是整数，求a的值．解设两个根为x1≥x2，由韦达定理得从上面两式中消去a得x1x2+x1+x2＝6，所以 (x1＋1)(x2+1)=7，所以a=x1x2=0或16．说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于x1，x2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的．例6 求所有有理数r，使得方程rx2+(r+1)x＋(r-1)=0的所有根是整数．分析首先对r=0和r≠0进行讨论．r=0时，是关于x的一次方程；r≠0时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效．可用韦达定理，先把这个有理数r消去．解当r=0时，原方程为x-1=0，所以x=1．当r≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为x1，x2，且x1≥x2，则消去r得x1x2-x1-x2＝2，所以(x1-1)(x2-1)=3．例7 已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2＋2(2a-1)x＋4(a-3)=0至少有一个整数根，求a的值．解将原方程变形为(x＋2)2a= 2(x＋6)．显然x＋2≠0，于是由于a是正整数，所以a≥1，即所以 x2+2x-8≤0，(x＋4)(x-2)≤0，所以-4≤x≤2(x≠-2)．当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；当a=3，6，10时，方程只有一个整数根．有时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解．例8 已知方程x2+bx+c=0与x2+cx＋b=0各有两个整数根x1，x2(2)求证：b-1≤c≤b＋1；(3)求b，c的所有可能的值．解 (1)由x1x2＞0知，x1与x2同号．若x1＞0，则x2＞0，(2)由(1)知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤-1，x2≤-1．由韦达定理c-(b-1)=x1x2＋x1＋x2＋1=(x1＋1)(x2+1)≥0，所以 c≥b-1．同理有所以 c≤b+1，所以 b-1≤c≤b+1．(3)由(2)可知，b与c的关系有如下三种情况：(i)c=b＋1．由韦达定理知x1x2=-(x1＋x2)＋1，所以 (x1＋1)(x2＋1)=2，解得x1＋x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6．(ii)c=b．由韦达定理知x1x2=-(x1＋x2)，所以 (x1+1)(x2＋1)=1，所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4．(iii)c=b-1．由韦达定理知所以综上所述，共有三组解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)．。
含参数的一元二次方程整数解
含参数的一元二次方程整数解知识定位对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b 2-4ac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质。
知识梳理1、一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0)2、根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数. 3、设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么③ ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；④ x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)；⑤ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac(a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4、方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有： C=0⇔x 1=0 ，a+b+c=0⇔x 1=1 ，a －b+c=0⇔x 1=－1.例题精讲【试题来源】【题目】b 为何值时, 方程x 2 - bx - 2 = 0 和x 2 - 2x - b (b - 1) = 0有相同的整数根?并且求出它们相同的整数根.．【答案】1；2【解析】解：设相同的整数根为x 0, 由根的定义, 知x20- bx0 - 2 = 0, ①x20- 2x0-b(b - 1) = 0. ②① - ②并整理, 得(2 - b)[x0-(1 + b)]=0,②∴b = 2 或x0 = b + 1.当b = 2 时, 两方程均为x2-2x-2 = 0, 但无整数根;当x0 = b + 1 时, 代入①或②, 解之得b = 1, 于是公共根x0 =b + 1 = 2.【知识点】含参数的一元二次方程整数解【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2=x12+1993x22，…，Sn=x1n+1993x2n，则aS1993+bS1992+cS1991=【答案】0【解析】解：∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0， ax22+bx2+c=0。
含参一元二次方程计算100题+详解
含参一元二次方程计算100题使用说明：本专题的制作目的是提高学生在含参一元二次方程这一部分的计算能力。
主要有以下几个模块：①公共根；②整数根；③有理根；④已知根的情况求参数；⑤已知根的范围求参数；⑥已知参数范围求根的范围；共100题。
建议先仔细研究方法总结、易错总结和例题解析，再进行巩固练习。
模块一公共根方法总结：①设公共根②代入两方程，联立成方程组③得到新方程④解方程⑤将公共根代入原方程易错总结：最后结果注意代入检验一下是否正确例题解析：已知两方程x2+mx+n=0，x2+nx+m=0有且仅有一个公共根，求m，n的关系．解：设a为两方程的公共根，则……【设公共根】{a2+ma+n=0①a2+na+m=0②，……【将公共根代入两方程，联立】①−②得(m−n)a+(n−m)=0，(m−n)(a−1)=0．……【得到新方程】∵有且只有一个公共根，则m−n≠0．∴a=1，即x=1．……【解出x】将x=1代入原方程得，m+n=−1且m≠n．……【得出m、n关系】巩固练习：1.已知关于x的方程x2+px+q=0与x2+qx+p=0(p≠q)有一个公共根，求(p+q)2012的值．2.已知方程x2+a1x+a2a3=0与方程x2+a2x+a1a3=0有且只有一个公共根．求证：这两个方程的另两根(除公共根外)是方程x2+a3x+a1a2=0的根．3.若方程x2+bx+1=0与方程x2−x−b=0至少有一个相同的实数根，求实数b的值．4.设c是实数，已知x2−3x+c=0的一个解的相反数是方程x2+3x−c=0的一个解，求方程x2−3x+c=0的解．5.已知a>2，b>2，试判断关于x的方程x2−(a+b)x+ab=0与x2−abx+(a+b)=0有没有公共根，请说明理由．6.当p是什么实数时，方程x2+px−3=0与方程x2−4x−(p−1)=0有一个公共根．7.三个二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有公共根．求证:a+b+ c=0；8.若方程a2x2+ax−1=0和x2−ax−a2=0有公共根，求a的值．9.定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程x2−4x+5m=mx+5与x2+√2x+m−1=0互为“友好方程”，求m的值．10.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于x的一元二次方程x2−2x=0与x2+3x+m−1=0为“友好方程”，求m的值．11.若一元二次方程x2+kx−1=0，x2+x+(k−2)=0有相同的根，求k的值，并求两个方程的根．12.已知m为非负实数，当m取什么值时，关于x的方程x2+mx−1=0与x2+x+m−2=0仅有一个相同的实数根？13.试求满足方程x2−kx−7=0与x2−6x−(k+1)=0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异根．模块二整数根方法总结：①讨论二次项系数；（如题干限定为“方程”，则要讨论二次项系数是否为0两种情况；如题干限定为“一元二次方程”，则二次项系数必须不等于0）②根据根的情况确定参数范围及参数的取值；③求出方程的整数解。
聚焦一元二次方程的整数解问题
聚焦一元二次方程的整数解问题一元二次方程是一种形式为ax²+bx+c=0的二次方程，其中a、b、c为常数，且a≠0。
求解一元二次方程的整数解问题是数学中的一个重要课题。
在本文中，我们将讨论一元二次方程的整数解问题，并介绍一些解决这类问题的方法和技巧。
要解决一元二次方程的整数解问题，我们需要首先了解整数解的概念。
在数学中，整数解指的是使方程成立的整数。
对于一般的一元二次方程，它可能有零个、一个或两个不同的整数解。
我们可以通过因式分解、配方法、求根公式等多种方法来求解一元二次方程，但是对于整数解问题，我们需要特别注意解的整数性。
对于一般的一元二次方程ax²+bx+c=0，为了求解其整数解，可以通过观察其因式分解的形式来选择适当的方法。
首先，我们可以先对系数进行约定，确保a、b、c都是整数。
然后，我们可以考虑方程的因式分解的形式，如(x+d)(x+e)=0，其中d、e为整数。
如果方程确实可以表示为这种形式，那么我们可以利用因式分解的性质来求解。
具体地，当我们观察到方程的系数b和c满足b=-(d+e)和c=de时，我们可以得到(x+d)(x+e)=0的形式。
这时，我们就可以通过考察d和e的不同组合来找到使方程成立的整数解。
我们可以通过列举d和e的可能取值来尝试求解整数解。
例如，当c=6时，我们可以通过列出所有的因子对(1,6)(2,3)(-1,-6)(-2,-3)来尝试求解。
此外，我们还可以通过配方法来求解一元二次方程的整数解问题。
配方法的核心思想是通过添加适当的常数项将方程转化为一个可以因式分解的形式。
具体地，我们可以根据方程的系数来求得配方法的加法因子，然后将方程转化为完全平方的形式。
例如，对于方程x²+9x+18=0，我们可以观察到18=3*6、为了使方程的系数能够与3和6相加，我们可以在方程中添加3²-3²=0这一恒等式，并将方程转化为(x+3)²-9=0的形式。
一元二次方程的整数根问题的解题策略分析
一元二次方程的整数根问题的解题策略分析摘要：一元二次方程的整数根问题是初中数学竞赛常见的题型，由于这类问题涵盖了整数的性质，一元二次方程的相关知识，并且融合了许多数学思想方法而备受命题者的青睐，然而笔者发现，许多学生在解答这类问题时，仍然没有系统的思考方法，还要走很多的弯路，有时对题目甚至无从下手。
本文将常见的一元二次方程整数根问题的解法进行了整理，现分类讲解如下。
关键词：一元二次方程整数根整除根与系数关系一、利用一元二次方程两根的因式分解形式求解例1、当m是什么整数时，关于x的一元二次方程x2-mx-2m2-4=0的根为整数。
分析与解：由原方程得：x2-mx-2m2-4=4，分解因式，得(x+m)(x-2m)=4由于x、m均为整数，所以x+m、x-2m也为整数，故它们的取值有如下可能：解得，当m=0时，x=±2；当m=1时，x1=3,x2=-2；当m=-1时，x1=-3,x2=2；综上所述：当m=0、-1、1时，原方程的根为整数。
说明：当一元二次方程的根与参数都为整数时，可以利用因式分解将一元二次方程ax2+bx+c=zh整数（a≠0）化为a（x-x1）(x-x2)=整数（a≠0）的形式后再利用整除的性质求解。
二、利用一元二次方程根的判别式求解例2、m是何整数时，关于x的一元二次方程(m2-1)x2-6(3m-1)x+72=0有两个不相等的正整数根。
分析与解：由题意可知，m2-1≠0，即m≠±1，△=36（m-3）2，发现△是一个完全平方式，即方程的两根是可以表示为两个有理式：再利用整除性，要使得x1,x2都是正整数，则m-1=1、6、2、3；m+1=1、12、2、6、3、4，即可解得m=2、3，又考虑到方程是两个不相等的实数根，所以m≠3，综上所述：m=2。
说明：当判别式△是一个完全平方式或完全平方数时，即一元二次方程的根可以用有理式表示，则可直接求出方程的两根，再结合整除的性质进行求解；例3、当m是何整数时，关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整数。
一元二次方程整数根问题
总结和展望
一元二次方程是数学中重要的一种方程类型，它具有广泛的应用和实际意义。未来，我们可以更深入地研究一 元二次方程的理论和应用，探索更多有趣的问题。
数学兴趣小组
如果你对数学感兴趣，可以加入你的学校或社区的数学兴趣小组，和志同道合的伙伴一起学习和探索。
图像特征
一元二次方程的图像是抛物线， 开口方向由a的正负性决定。
实际应用
一元二次方程可以用来建模和解 决现实生活中的问题，例如物体 运动、金融分析和天文学等。
一元二次方程整数根的概念
一元二次方程的整数根是指方程的解为整数的情况。我们需要找出如何判断方程是否有整数根。
1 定理
如果一元二次方程x²+px+q=0有整数根，那么它的两个根的和p和积q都是整数。
找出一元二次方程整数根的步骤和技巧
1
Step 1
先使用整除性判别法、完全平方数判别
Step 2
2
法和勾股数判别法判断方程是否有整数 根。
如果方程有整数根，可以使用试除法找
出正负两个根的可能值。
3
Step 3
将可能值带入方程验证，如果能够满足 方程的等式，则找到了方程的整数根。
一元二次方程整数根问题的实际应用
2 推论
当p和q都是整数时，一元二次方程x²+px+q=0可能有整数根。
判断一元二次方程是否有整数根的方法
整除性判别法
若方程的常数项q是一个质数 或一个质因数个数不超过2的 合数，则该方程没有整数根。
完全平方数判别法
若方程的判别式b²-4ac是一 个完全平方数，则该方程有 整数根。
勾股数判别法
若方程的系数a、b、c都是整 数，且a、b、c的最大公约数 为1，且有一个解为a、b、c 的三元组满足勾股定理，则 该方程有整数根。
一元二次方程整数根问题
一元二次方程整数根问题整数根问题是指求解方程中的根为整数的问题。
对于一元二次方程，其解可以通过求根公式得到，即：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)要使方程的解为整数，那么√(b^2 - 4ac) 必须是一个整数，并且分子(-b ± √(b^2 - 4ac))能够被2a整除。
现在我们来讨论一元二次方程整数根问题的求解方法。
首先，我们需要判断方程是否有整数解。
根据韦达定理，一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的两个根x1和x2的和等于-b/a，两个根的乘积等于c/a。
因此，如果b^2 - 4ac是一个完全平方数，并且b也能够被2a整除，那么方程就存在整数解。
接下来，我们需要找出满足上述条件的完全平方数以及能够整除b的2a的因子。
对于完全平方数的判断，一种常见的方法是通过试除法，即从1开始逐个尝试将数字平方，并与b^2 - 4ac进行比较。
如果找到一个平方数等于b^2 - 4ac，则方程存在整数解；否则，方程不存在整数解。
对于能够整除b的2a的因子的查找，我们可以通过因式分解的方式来获取对应的因子。
具体步骤如下：1.判断方程是否有整数解：- 计算判别式D = b^2 - 4ac；-判断D是否为完全平方数：（此处省略使用试除法判断完全平方数的具体步骤）；-判断b是否能够被2a整除；2.若方程有整数解，则寻找满足条件的解：-进行因式分解：将2a进行因式分解，找出所有的因子；-判断每个因子能否整除b；-若能整除b，则代入一元二次方程并计算解；通过上述步骤，我们可以找到一元二次方程的整数根。
需要注意的是，在实际求解过程中，可能会遇到以下情况：-判别式D不是一个完全平方数；-方程的系数a和b的范围较大；-存在复数解或实数解而非整数解；对于D不是完全平方数的情况，方程不存在整数解。
此时，我们可以考虑使用其他方法，如试除法、辗转相除法等寻找方程的实数或复数解。
一元二次方程的整数整数解(含答案)-
一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k )，通过穷举，逼近求解；从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．【例题求解】【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有 个．思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】 已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么ba ab +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨 由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、c 的值．【例3】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根． 思路点拨 由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0≠r 时，由根与系数关系得到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．【例4】 当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性．注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】 若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值． 思路点拨 因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．学历训练1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有 ．2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝ ．3．给出四个命题：①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是 ．4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ，则21x x -= ．5．设rn 为整数，且4<m<40，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根6．已知方程015132)83(222=+-+--a a x a a ax (a ≠0)至少有一个整数根，求a 的值．7．求使关于x 的方程01)1(2=-+++k x k kx 的根都是整数的k 值．8．当n 为正整数时，关于x 的方程0763*******=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，试解此方程．9．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k 的值．10．试求所有这样的正整数a ，使得方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数解．11．已知p 为质数，使二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数，求出p 的所有可能值．12．已知方程02=++c bx x 及02=++b cx x 分别各有两个整数根1x 、2x 及1x '、2x '，且1x 2x >0，1x '2x ' >0． (1)求证：1x <0,2x <0，1x '<0,2x '< 0；(2)求证：11+≤≤-b c b ；(3)求b 、c 所有可能的值．13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程0122=+--m x mx 的根(m 为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．参考答案。
一元二次方程的整数解问题
张雪云（四川省成都外国语学校 ６１１７００）张雪云四川省资阳市人，研究生学历，中学一级，四川省赛课一等奖，主要研究方向：数学学科教学。
含未知参数的一元二次方程无法直接求具体解，即使通过求根公式也只能得到含参数的两个根和判别式，无法得到方程参数的值．但是在若题目中隐含方程有根的条件，可以通过该条件得到判别式不小于零的约束，根据这个约束条件可得方程的未知参数的范围．由于求根公式带有除法运算，如果已知方程的根为整数，那么求根公式的分母必须是分子的约数．通过题目中隐含的这两个条件，通常可得方程的解和未知参数只能是可数的几个值，只需要把这几个值通过枚举的方式列出来就是题目的解．下面就常见题型、常用技巧以及求解问题所用的知识点作细致的讨论．１．分解因式 因式分解是得到含参一元二次方程的根的最快捷的方式．能够因式分解的一元二次方程我们首选因式分解，它的核心在于利用质因数分解或分离常系数法求解，再利用整数的性质及整除性理论解决问题．例１ 已知一元二次方程（ｍ－２）ｘ２－（２ｍ－５）ｘ＋（ｍ－３）＝０的根都是整数，求整数ｍ的值．分析 用因式分解得到两根为１和ｍ－３ｍ－２，题中要求方程的根和参数ｍ都是整数，因此我们对ｍ－３ｍ－２分离常数，用整数的性质及整除性理论即可解决问题．解 根据题意得ｍ≠１且Δ＝１＞０，因式分解，得（ｘ－１）［（ｍ－２）ｘ－（ｍ－３）］＝０，解得ｘ１＝１，ｘ２＝ｍ－３ｍ－２＝１－１ｍ－２，因为ｍ为整数且根都为整数，所以ｍ－２＝±１，可得ｍ的值为２或０．例２ 已知一元二次方程ａ２ ｘ２－（４ａ２＋ａ）ｘ＋３ａ２＋７ａ－６＝０至少有一个整数根，求自然数ａ的值．分析 此题相对例１而言，只是方程较为复杂，我们仍然用因式分解分解方程，求出含参解，用整数的性质及整除性理论解决问题．解 因为ａ２ ｘ２－（４ａ２＋ａ）ｘ＋３ａ２＋７ａ－６＝０是一元二次方程，所以ａ≠０，因式分解，得［ａｘ－（ａ＋３）］［ａｘ－（３ａ－２）］＝０，解得ｘ１＝１＋３ａ，ｘ２＝３－２ａ，因为ａ为自然数，当ｘ１为整数根时，ａ＝１或３，当ｘ２为整数根时，ａ＝１或２．综上所述，ａ的值为１或２或３．例３ 当整数ｍ为何值时，关于ｘ的方程２ｘ２＋３ｍｘ＋ｍ２＝３有整数解．分析 此题相对例１、例２而言，共同之处是方程左边能因式分解，不同之处是方程的右边是一个不为０的常数３，从而不能解出含参解，针对这种情况，我们对质因数３进行分解，利用参数和根都为整数的条件用枚举的方法一一枚举．解 因式分解，得（ｘ＋ｍ）（２ｘ＋ｍ）＝３，因为ｍ，ｘ都是整数，所以ｘ＋ｍ＝３，２ｘ＋ｍ＝１，｛ｘ＋ｍ＝－３，２ｘ＋ｍ＝－１，｛·１３·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版ｘ＋ｍ＝１，２ｘ＋ｍ＝３，｛ｘ＋ｍ＝－１，２ｘ＋ｍ＝－３，｛即ｘ＝－２，ｍ＝５，｛ｘ＝２，ｍ＝－５，｛ｘ＝２，ｍ＝－１，｛ｘ＝－２，ｍ＝１，｛所以ｍ＝±１或±５．注 当方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）可分解为（ｘ－ｍ）（ｘ－ｎ）＝ｋ（ｍ，ｎ，ｋ均为整数）时，可以将整数ｋ分解为两个整数ｋ１，ｋ２的乘积形式，即ｘ－ｍ＝ｋ１，ｘ－ｎ＝ｋ２｛或ｘ－ｍ＝ｋ２，ｘ－ｎ＝ｋ１，｛一一枚举求解．例４ 关于ｘ的一元二次方程（ｍ２－６ｍ＋８）ｘ２＋（２ｍ２－６ｍ－４）ｘ＋ｍ２－４＝０的两根都是整数，求实数ｍ的值．分析 本题的参数ｍ没有限定为整数的条件，因此我们考虑把参数ｍ消去，列出解的关系式，和例３一样利用质因数分解，通过枚举一一解出答案．解 因式分解，得［（ｍ－２）ｘ＋（ｍ＋２）］［（ｍ－４）ｘ＋（ｍ－２）］＝０，求得两根为ｘ１＝－１－４ｍ－２，ｘ２＝－１－２ｍ－４．显然ｘ１≠－１且ｘ２≠－１，则ｍ－２＝－４ｘ１＋１，ｍ－４＝－２ｘ２＋１，两式相减，得２＝－４ｘ１＋１＋２ｘ２＋１，整理化简，得ｘ２（ｘ１＋３）＝－２，因为ｘ１，ｘ２为整数，则ｘ１＝－５，ｘ２＝１，｛ｘ１＝－４，ｘ２＝２，｛ｘ１＝－２，ｘ２＝－２，｛ｘ１＝－１，ｘ２＝－１，｛（舍），所以ｍ＝３或６或１０３．２．韦达定理 当方程无法因式分解时，可考虑选择韦达定理进行参数枚举或消去参数．特别注意：用韦达定理一定要检验Δ≥０．例５ 已知ａ为正整数，关于ｘ的方程ｘ２＋（ａ＋１６）ｘ＋４２＝０的根都是整数，求ａ的值．分析 此题无法因式分解，我们可通过韦达定理得到根与系数的关系，利用参数和根为整数的约束条件分解质因数，直接枚举参数的值，从而解决问题．解 设方程的两根为ｘ１，ｘ２，则根据题意，得ｘ１＋ｘ２＝－（ａ＋１６）＜０，ｘ１ｘ２＝４２＞０，｛则ｘ１，ｘ２都是负整数，４２可分解为－１×（－４２）＝－２×（－２１）＝－３×（－１４）＝－６×（－７），所以ｘ１＋ｘ２＝－４３，－２３，－１７，－１３，所以ａ＝２７，７，１，－３，又因为ａ为正整数且Δ≥０，所以ａ＝２７，７，１．例６ 关于ｘ的方程ｋｘ２＋（２ｋ＋１）ｘ＋２ｋ－１＝０的根都是整数，求ｋ的值．分析 此题方程类型未明确，因此我们先对ｋ＝０和ｋ≠０两种情况进行讨论．当ｋ＝０时，方程转化为一元一次方程，易判断根的情况，进行取舍；当ｋ≠０时，通过韦达定理得到根的关系式，但此题的参数没有约束条件，和例５的情况不一样，因此我们考虑消去参数得到和、积关系式，对和、积关系式进行变形处理后，利用根为整数的条件分解质因数或分离常数求解．解 （１）当ｋ＝０时，ｘ－１＝０，ｘ＝１成立．（２）当ｋ≠０时，设两根为ｘ１，ｘ２，由韦达定理，得ｘ１＋ｘ２＝－（２ｋ＋１）ｋ＝－２－１ｋ，ｘ１ｘ２＝２ｋ－１ｋ＝２－１ｋ，烅烄烆①②由②－①，得 ｘ１ｘ２－ｘ１－ｘ２＝４，所以（ｘ１－１）（ｘ２－１）＝５，因为方程的根为整数，所以ｘ１－１＝１，－１，５，－５，ｘ２－１＝５，－５，１，－１，｛所以ｘ１＋ｘ２＝８或－４，·２３·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期所以ｋ＝－１１０或１２，当ｋ＝－１１０时，Δ＝４２５＞０，成立；当ｋ＝１２，Δ＝４＞０，成立，所以ｋ＝－１１０或１２．综上所述，ｋ＝－１１０或１２或０．３．判别式法 不能因式分解，也无法用韦达定理消去参数，或者解为有理数时，可选择判别式法，通过计算Δ，若有整数解必然有Δ是个完全平方数，来解出参数．例７ 已知整数ｍ，ｎ满足２ｍ２＋ｎ２＋３ｍ＋ｎ－１＝０，求ｍ，ｎ的值．分析 可以把已知等式看做以ｍ为主元的一元二次方程，ｎ为其参数，根据方程有解可以得到Δ≥０，然后求解关于ｎ的不等式方程，从而得到参数的取值范围，又根据参数ｎ为整数的条件直接枚举，即可解决问题．解 将２ｍ２＋ｎ２＋３ｍ＋ｎ－１＝０看做关于ｍ的一元二次方程，即２ｍ２＋３ｍ＋ｎ２＋ｎ－１＝０，要使方程有实数解，则必有Δ＝－８ｎ２－８ｎ＋１７≥０，所以ｎ＋１２（）２≤１９８，即－１９８槡－１２≤ｎ≤１９８槡－１２，又因为ｎ为整数，所以ｎ＝－２，－１，０，１，当ｎ＝－２时，ｍ１＝－１，ｍ２＝－１２（舍去）；当ｎ＝－１时，ｍ无整数解；当ｎ＝０时，ｍ无整数解；当ｎ＝１时，ｍ１＝－１，ｍ２＝－１２（舍去）；综上所述，ｍ＝－１，ｎ＝－２或１．注 对于二元方程可看做关于一个元的二次方程，由ｍ，ｎ为实数，则Δ≥０，从而求出ｎ的取值范围，应有“多元转为少元”的意识．例８ 已知关于ｘ的方程ｘ２－８ｘ－ｎ２＋８ｎ＋３３＝０的根都是整数，求整数ｎ的值．分析 此题如果我们继续用例７的方法，即Δ≥０，我们发现时ｎ２－８ｎ－１７≥０，解集为ｎ≥槡３３＋４或ｎ≤－槡３３＋４，若用枚举的方法将非常繁琐，因此我们可以令ｎ２－８ｎ－１７＝ｔ ２，通过配方和因式分解，结合质因数分解来解决问题．解 因为方程ｘ２－８ｘ－ｎ２＋８ｎ＋３３＝０有解，所以Δ＝４ｎ２－３２ｎ－６８≥０，又因为方程的根都是整数，所以Δ＝４（ｎ２－８ｎ－１７）为完全平方数，即ｎ２－８ｎ－１７为完全平方数．设ｎ２－８ｎ－１７＝ｔ ２，ｔ为自然数，所以（ｎ－４）２－ｔ ２＝３３，即（ｎ－４＋ｔ）（ｎ－４－ｔ）＝３３，注意到ｎ－４＋ｔ≥ｎ－４－ｔ，所以ｎ－４＋ｔ＝３３，ｎ－４－ｔ＝１，｛或ｎ－４＋ｔ＝１１，ｎ－４－ｔ＝３，｛或ｎ－４＋ｔ＝－３，ｎ－４－ｔ＝－１１，｛或ｎ－４＋ｔ＝－１，ｎ－４－ｔ＝－３３，｛解得ｎ＝２１，ｔ＝１６，｛或ｎ＝１１，ｔ＝４，｛或ｎ＝－３，ｔ＝４，｛或ｎ＝－１３，ｔ＝－１６，｛所以ｎ＝２１，１１，－３，－１３．注 当方程存在有理数解时，令Δ＝ｔ ２，其中ｔ为自然数，此时分两种情况：如果判别式Δ为二次式，通过配方和因式分解，结合质因数分解等数论方法求解；如果判别式Δ为一次式，将原参数用ｔ表示，解出两根关于ｔ的表达式，从而求出ｔ．·３３·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版。
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数学思维的教育
第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问
题
对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．本讲
结合例题来讲解一些主要的方法．
例1 m是什么整数时，方程
(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0
有两个不相等的正整数根．
解法1首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得
由于x1，x2是正整数，所以
m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，
解得m=2．这时x1=6，x2=4．
解法2首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知
所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即
m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，
只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5．
经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．
说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法．
例2 已知关于x的方程
a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0
(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．
分析“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．
解因为a≠0，所以
所以
所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．
例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程
mx2-(m-1)x＋1＝0
有有理根，求m的值．
解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令
Δ=(m-1)2-4m＝n2，
其中n是非负整数，于是
m2-6m+1=n2，
所以 (m-3)2-n2=8，
(m-3＋n)(m-3-n)＝8．
由于m-3＋n≥m-3-n，并且
(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)
是偶数，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以
说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．
例4 关于x的方程
ax2+2(a-3)x+(a-2)=0
至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．
解当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解．
当a≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式
Δ＝4(a-3)2-4a(a-2)＝4(9-4a)
为完全平方数，从而9-4a是完全平方数．令9-4a=n2，则n是正奇数，
要使x1为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而a=2．要使x2为整数，即n-3｜4，n可取1，5，7，从而a=2，-4，-10．
综上所述，a的值为2，-4，-10．
说明本题是前面两种方法的“综合”．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时候，往往是几种方法一同使用．
例5 已知关于x的方程
x2＋(a-6)x＋a=0
的两根都是整数，求a的值．
解设两个根为x1≥x2，由韦达定理得
从上面两式中消去a得
x1x2+x1+x2＝6，
所以 (x1＋1)(x2+1)=7，
所以a=x1x2=0或16．
说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于x1，x2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的．
例6求所有有理数r，使得方程
rx2+(r+1)x＋(r-1)=0
的所有根是整数．
分析首先对r=0和r≠0进行讨论．r=0时，是关于x的一次方程；r≠0时，是关于x 的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效．可用韦达定理，先把这个有理数r消去．
解当r=0时，原方程为x-1=0，所以x=1．
当r≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为x1，x2，且x1≥x2，则
消去r得
x1x2-x1-x2＝2，
所以(x1-1)(x2-1)=3．
例7已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程
ax2＋2(2a-1)x＋4(a-3)=0
至少有一个整数根，求a的值．
解将原方程变形为
(x＋2)2a= 2(x＋6)．
显然x＋2≠0，于是
由于a是正整数，所以a≥1，即
所以 x2+2x-8≤0，
(x＋4)(x-2)≤0，
所以-4≤x≤2(x≠-2)．
当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，
说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；当a=3，6，10时，方程只有一个整数根．有时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解．
例8 已知方程x2+bx+c=0与x2+cx＋b=0各有两个整数根x1，x2
(2)求证：b-1≤c≤b＋1；
(3)求b，c的所有可能的值．
解 (1)由x1x2＞0知，x1与x2同号．若x1＞0，则x2＞0，
(2)由(1)知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤-1，x2≤-1．由韦达定理
c-(b-1)=x1x2＋x1＋x2＋1
=(x1＋1)(x2+1)≥0，
所以 c≥b-1．
同理有
所以 c≤b+1，
所以 b-1≤c≤b+1．
(3)由(2)可知，b与c的关系有如下三种情况：
(i)c=b＋1．由韦达定理知
x1x2=-(x1＋x2)＋1，所以 (x1＋1)(x2＋1)=2，
解得x1＋x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6．
(ii)c=b．由韦达定理知
x1x2=-(x1＋x2)，
所以 (x1+1)(x2＋1)=1，
所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4．
(iii)c=b-1．由韦达定理知
所以
综上所述，共有三组解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)．。