(完整版)一元二次方程整数根问题的十二种思维

一元二次方程整数根问题的十二种思维策略

一.利用判别式

例1.（2000年黑龙江中考题）当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440

mx x 与2244450x mx m m 的根都是整数。

解：∵方程2440mx x 有整数根，

∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1

又∵方程2244450x mx m m 有整数根

∴22164(445)0m m m V 得5

4

m 综上所述，－45

≤m ≤1

∴x 可取的整数值是-1，0，1

当m=-1时，方程为－x 2-4x+4=0 没有整数解，舍去。

而m ≠0∴ m=1

例2．（1996年四川竞赛题）已知方程210x mx m 有两个不相等的正整数根，求m 的值。解：设原方程的两个正整数根为x 1，x 2，则m=－(x 1+x 2)为负整数.

∴244m m V 一定是完全平方数

设2244m m k （k 为正整数）

∴22(2)8

m k 即：(2)(2)8

m k m k ∵m+2+k ≥m+2-k,且奇偶性相同

∴24

22m k m k 或22

24

m k m k 解得m=1＞0（舍去）或m=－5。

当m=－5时，原方程为x 2-5x+6=0，两根分别为x 1=2，x 2=3。

二.利用求根公式

例3．（2000年全国联赛）设关于x 的二次方程2222(68)(264)4

k k x k k x k 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。

解：22222(264)4(4)(68)4(6)k k k

k k k V 由求根公式得222642(6)2(68)

k k

k x k k 即12

2

41,142x x k k 由于x ≠-1，则有1224

4,21

1k k x x 两式相减，得122

421

1x x 即12(3)

2x x 由于x 1，x 2是整数，故可求得

122,4x x 或122,2x x 或121,5x x 分别代入，易得

k=3

10，6，3。三.利用方程根的定义例4.b 为何值时，方程

220x bx 和22(1)0x x b b 有相同的整数根？并且求出它们的整数根？

解：两式相减，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b)

当b ≠2时,x=1+b,代入第一个方程,得2(1)

(1)20b b b 解得b=1,x=2

当b=2时,两方程无整数根.

∴b=1,相同的整数根是

2 四.利用因式分解

例5.（2000年全国竞赛题）已知关于

x 的方程2(1)210a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数

a 有___________个. 解: 当a=1时,x=1

当a ≠1时,原方程左边因式分解

,得(x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0 即得122

1,11x x a

∵ x 是整数∴ 1-a=±1,±2,∴a=-1,0,2,3

由上可知符合条件的整数有5个.

例6.(1994年福州竞赛题) 当m 是什么整数时,关于x 的方程2(1)10

x

m x m 的两根都是整数?

解：设方程的两整数根分别是x 1，x 2，由韦达定理得121x x m L ①121x x m L ②

由②①消去m ，可得12212

x x x x 12(1)(1)3131(3)

x x 则有121113x x 或1211

13

x x 解得：1224x x 或120

2

x x 由此128x x 或0，分别代入②，得7m 或1

m 五.利用根与系数的关系

例7.(1998年全国竞赛题) 求所有正实数a,使得方程240x ax a 仅有整数根.

解：设方程的两整数根分别是x 1，x 2，且12

x x 由根与系数的关系得

120x x a L ①1240x x a L ②

由①得22a

x a ③

将③代入②得1214a x x x a

12142

a

a x x x ∴148

x 显然x 1≠4，故x 1可取5，6，7，8。

从而易得a=25，18，16。

六.构造新方程

例8.(1996年全国联赛)方程()(8)10x a x 有两个整数根,求a 的值. 解：原方程变为2(8)(8)(8)10

x a x 设y=x-8，则得新方程为2(8)10

y a y 设它的两根为y 1，y 2，则12128,1

y y a y y ∵x 是整数，∴y 1，y 2也是整数，则y 1，y 2只能分别为1，-1或-1，1即y 1+y 2=0 ∴a=8。

七.构造等式

例9.(2000年全国联赛C 卷) 求所有的正整数a,b,c,使得关于x 的方程

222320,320,320x ax b x bx c x cx a 的所有的根都是正整数. 解：设三个方程的正整数解分别为123456,,,,,x x x x x x ，则有21232()()

x ax b x x x x 23432()()

x bx c x x x x 25632()()

x cx a x x x x 令x=1，并将三式相加，注意到x i ≥1（i=1，2，…6），有1234563()(1)(1)(1)(1)(1)(1)0000a b c x x x x x x 但a ≥1，b ≥1，c ≥1，又有 3-（a+b+c ）≤0，∴ 3-（a+b+c ）=0

故a=b=c=1

八.分析等式

例10.(1993年安徽竞赛题) n 为正整数，方程2(31)360x x n 有一个整数根，则n=__________.

解：不妨设已知方程的整数根为α，则

2(31)360

a a n 整理。得263()

a a a n 因为a 为整数，所以26a a 为整数

3()a n 也一定是整数，要使3()a n 为整数，必有a n 由此得260a a ，即260

n n 解得n=3或-2（舍去）

∴ n=3。

九.反客为主

例11.(第三届《祖冲之杯》竞赛题)求出所有正整数a,使方程22(21)4(3)0

ax a x a 至少有一个整数根.

解：由原方程知x ≠2，不妨将方程整理成关于的一元一次方程2(44)212

x x a x 得2212

1(2)x a x （因为是正整数）