解含参数的一元二次方程
含参数的一元二次不等式例题
含参数的一元二次不等式例题例题 1解不等式：x^2 2x + a > 0，其中a为参数。
解析：对于一元二次方程x^2 2x + a = 0，其判别式\Delta = 4 4a。
当\Delta 0，即4 4a 0，a > 1时，不等式的解集为R。
当\Delta = 0，即4 4a = 0，a = 1时，不等式化为(x 1)^2 > 0，解集为x ≠ 1。
当\Delta > 0，即4 4a > 0，a 1时，方程x^2 2x + a = 0的两根为x_1 = 1 \sqrt{1 a}，x_2 = 1 + \sqrt{1 a}，不等式的解集为x 1 \sqrt{1 a}或x > 1 + \sqrt{1 a}。
例题 2解不等式：ax^2 + 2x + 1 > 0，其中a为参数。
解析：当a = 0时，不等式化为2x + 1 > 0，解得x > \frac{1}{2}。
当a ≠ 0时，对于一元二次方程ax^2 + 2x + 1 = 0，其判别式\Delta = 4 4a。
若\Delta 0，即4 4a 0，a > 1，不等式的解集为R。
若\Delta = 0，即4 4a = 0，a = 1，不等式化为(x + 1)^2 > 0，解集为x ≠ 1。
若\Delta > 0，即4 4a > 0，a 1且a ≠ 0，方程ax^2 + 2x + 1 = 0的两根为x_1 = \frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}，x_2 =\frac{1 \sqrt{1 a}}{a}。
当0 a 1时，不等式的解集为x \frac{1 \sqrt{1 a}}{a}或x > \frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}。
当a 0时，不等式的解集为\frac{1 + \sqrt{1 a}}{a} x\frac{1 \sqrt{1 a}}{a}。
含参数的一元二次不等式的解法
02
形如$ax^{2} + bx + c > 0$或$ax^{2} + bx + c < 0$的不等式，其中$a \neq 0$。
通常表示为$ax^{2} + bx + c > 0$，其中$a \neq 0$，当$a < 0$时，不等式表示的为开口向下的抛物线在$x$轴上方（或下方）的部分。
研究意义
研究目的和意义
在国内外学者的研究中，一元二次不等式的解法已经得到了广泛的研究。对于不含参数的一元二次不等式，学者们已经提出了多种求解方法，如公式法、图解法等。而对于含参数的一元二次不等式，由于参数的出现使得问题变得更为复杂，因此相关的研究相对较少。目前，已有的研究主要集中在求解含参数的一元二次不等式的解集上，而对其求解方法、参数对解的影响等方面的研究尚不充分。因此，本文将深入研究含参数的一元二次不等式的解法，探讨参数对不等式解的影响，并总结出一套有效的求解策略。
未来，我们将进一步深入研究含参数的一元二次不等式问题，探讨更加高效的解法，并尝试将其应用于更广泛的领域。
我们计划利用现代数学方法和技术，对含参数的一元二次不等式问题进行深入研究，以期取得更加系统和全面的研究成果。
同时，我们也希望通过进一步的研究，能够为解决其他相关数学问题提供思路和方法上的借鉴。
工作展望
利用数轴法求解
方法比较和实例分析
04
直接求解法
直接根据一元二次不等式的解法公式，将参数代入公式进行计算。优点是简单易懂，但计算量较大，容易出现计算错误。
方法比较
分解因式法
将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式，再分别求解。优点是计算量较小，但需要一定的观察能力和分解因式技巧。
初中数学与整数有关的含参数一元二次方程的解法
初中数学与整数有关的含参数一元二次方程的解法对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，基本依据是判别式，而必须具体问题具体分析。
这里经常要用到一些整除性质。
一元二次方程的整数解历来是数学竞赛中的热点问题之一，题型多变、难度大是这类问题的特点。
但其解法仍然是有章可循的。
一、巧用求根公式法例1、试确定m 为何值时，方程(m 2-1)x 2-6(3m-1)x ＋72＝0有两个不相等的正整数根。
解：首先，m 2-1≠0，则m ≠±1．又Δ=36(m-3)2＞0，所以m ≠3． 用求根公式可得112,1621+=-=m x m x ∵ x 1，x 2是正整数，∴ m-1=1，2，3，6；且m+1=1，2，3，4，6，12。
解得m=2．这时x 1=6，x 2=4。
评析：一般来说，利用求根公式可以先把方程的根求出来，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，这是最自然、最常规的解法。
二、巧用因式分解法例2、已知方程a 2x 2 - ( 3a 2- 8a )x + 2a 2-13a +15 = 0（其中a 是非负整数）至少有一个整数根，求a 的值。
.分析：观察本题方程，可先用因式分解法将原方程转化为两个不定方程ax －2a+3=0和ax －a + 5 =0，然后利用整除的知识，求出非负整数a 的值。
解：原方程可化为： a 2x 2－(3a 2－8a)x ＋(2a －3)(a －5)＝0方程左边分解因式,得 (ax －2a ＋3)(ax －a ＋5)＝0∴ a x 321-= ax 512-= ∵ 原方程至少有一个整数根，∴ a 的值为3，或5，或1。
例3、当k 为何整数时，关于x 的二次方程x 2－3kx +2k 2－6=0两根都为整数。
分析：利用因式分解法将原方程转化为多个不定方程，然后利用整除的知识，求出整数k的值.解：由x 2－3kx +2k 2－6=0，得 (x -2k )(x -k ) = 6∵ x 、k 为整数，∴ 原方程化为⎩⎨⎧±=-±=-322k x k x 或 ⎩⎨⎧±=-±=-232k x k x 或 ⎩⎨⎧±=-±=-612k x k x 或 ⎩⎨⎧±=-±=-162k x k x ∵ 由于x －2k 与x －k 同号，故得八个不定方程组，解得k =－1，1，－5，5。
含参数一元二次不等式
(2)若a2-1≠0，即a≠±1时，要使原不等式的解集 为R，
2 a a 2 1 0 3 1 0 a 1 必须 0 2 2 5 (a 1) 4(a 1)(1) 0
3 ∴实数a的取值范围是 a | a 1 5
例题讲解
例2．解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0. 解 原不等式可化为（x+3)(x-4)(x+a)>0 (ⅰ)当-a>4，即a<-4时，各根在数轴上的分布及 4 -3 -a x 穿线如下： ∴原不等式的解集为{x| -3<x<4或x>-a}. (ⅱ)当-3<-a<4，即-4<a<3时，各根在数轴上的分 x -a 布及穿线如下： -3 4 ∴原不等式的解集为{x| -3<x<-a或x>4}. (ⅲ)当-a<-3，即a>3时，各根在数轴上的分布及 穿线如下： ∴原不等式的解集为{x| -a<x<-3或x>4}.
y=ax2+bx+c
y
的图象
x1 o
y
x2 x
{x∣x＜x1 {x∣x1＜x＜x2 } 或 x ＞ x2 }
{ x∣x≠x0}
o x0 y x
Փ Փ
R
o x
例题讲解
例1解关于x的不等式
解 k 8k k (k 8) 2 （1）当 0,即k 8或k 0时, 方程2 x kx k 0 有两个不相等的实根 2 所以不等式 2x kx k 0的解集是 .
2 x 2 2kx k 解： 4 x 2 6 x 3 1 2 x 2 2(k 3) x 3 k 0 2 4x 6x 3
含参数的一元二次不等式
1 1 1 即 a 1时，原不等式的解集为： {x | x 1} a a 1 1即 a 1 时，原不等式的解集为： a
1 1 a
即
1 {x |1 x } 0 a 1 时，原不等式的解集为： a
含参数的一元二次不等式的解法
综上所述， (1)当 a 0 时，原不等式的解集为 (2)当 a 0 时，原不等式的解集为
2
又不等式即为 (x-2a)(x-3a)>0
故只需比较两根2a与3a的大小.
x 解: 原不等式可化为： 2a ( x 3a) 0
相应方程 x 2a ( x 3a) 0 的两根为 x1 2a, x2 3a ∴(1)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 2a或x 3a
综上所述： a 0时，原不等式解集为：x | x 2a或x 3a
a 0时，原不等式解集为： | x 3a或x 2a x
(2)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 3a或x 2a
两根大小的讨论
例题讲解
含参数的一元二次不等式的解法
2 ∴(a)当 k 0 时,原不等式即为 2 x 0
解集为：x x 0
解集为：x x 2
2 x 2 8x 8 0 ∴(b)当 k 8时,原不等式即为
k 2 8k 0 即 k 0 或 k 8 （３)当
时,
k k 2 8k k k 2 8k x x 4 4
例3： 解不等式
2
x ax 4 0
2
解：∵ a 16 ∴ 当a 4,4即 0时
如何解含参一元二次方程
如何解含参一元二次方程介绍：一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的解法可以通过一系列的代数运算得到。
本文将介绍如何解含参一元二次方程，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、什么是含参一元二次方程含参一元二次方程是指在一元二次方程的基础上引入参数，参数是一个常数，可以是任意实数。
含参一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数，x为未知数。
二、解含参一元二次方程的基本步骤解含参一元二次方程的基本步骤如下：步骤一：将含参一元二次方程的公式写出来。
例如，我们考虑一个含参一元二次方程：ax^2 + bx + c = 0。
步骤二：根据一元二次方程的求解公式，计算方程的判别式Δ。
一元二次方程的判别式Δ = b^2 - 4ac。
步骤三：根据判别式的值，判断方程的根的情况。
1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
根的公式为：x1 = (-b + √Δ)/(2a)，x2 = (-b - √Δ)/(2a)。
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
根的公式为：x1 = x2 = -b/(2a)。
3. 当Δ < 0时，方程没有实数根，但可以有复数根。
步骤四：将参数代入根的公式，求解方程的根。
三、实例演示为了更好地理解和应用解含参一元二次方程的方法，我们通过一个实例进行演示。
假设我们要解方程：3x^2 + 2x + k = 0，其中k为参数。
步骤一：根据方程的形式，我们得到含参一元二次方程为：3x^2 + 2x + k = 0。
步骤二：计算方程的判别式Δ。
根据公式，Δ = 2^2 - 4*3*k = 4 - 12k。
步骤三：根据判别式的值，判断方程的根的情况。
1. 当Δ> 0时，方程有两个不相等的实数根。
此时，我们可以根据根的公式求解方程的根。
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
此时，我们也可以根据根的公式求解方程的根。
3. 当Δ < 0时，方程没有实数根，但可以有复数根。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。
例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。
当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。
当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。
所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。
例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。
解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。
3.2.3含参数的一元二次不等式的解法
2
.
.
3
x
（1）数形结合思想
例3. 关于x的不等式 2 x 9 x m ≤ 0 在区间[ 2, m≤9 3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.
2
解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，
记 g ( x) 2 x2 9 x, x [2,3],
gmin ( x) g(3) 9, m ≤ 9. （2）变量分离法(分离参数)
6.若关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根， 则a的取值范围是_________. -1<a<1
解析
令f(x)=x2+ax+a2-1,
∴二次函数开口向上，若方程有一正一负根，
则只需f(0)<0,即a2-1<0,
∴-1<a<1.
7.已知函数f(x)=-x2+2x+b2-b+1(b∈R),若当x∈[-1,1]
三、解答题 8.解不等式：
log 1 (3x 2 2 x 5) log 1 (4 x 2 x 5).
2 2
解
原不等式等价于
2 2 3 x 2 x 5 4 x x 5, ① 2 ② 4 x x 5 0, 解①得x2+3x≤0,即-3≤x≤0. 5 解②得x>1或x< . 4 5 故原不等式的解集为 {x | 3 x }. 4
a 0 2 b 4ac 0
(4)二次不等式 ax2 +bx +c ≤ 0 恒成立
a 0 2 b 4ac 0
注：“不等式ax2+bx+c>0恒成立”即是 “不 等式ax2+bx+c>0的解集是R”
含参数的一元二次不等式
-a
1 (-a)
-a
(1)-a<1（2） -a=1 (3)-a>1
例2
解不等式ax +(a-1)x-1>0(a R)
2
二次项含有参数应如何求解？
考点
含参数的一元二次不等式
y x y
x1
O
x2
x1
O
x2
ห้องสมุดไป่ตู้
x
解不等式ax2 +(a-1)x-1>0(a R)
2
,
显然
x1 x 2
a a 2 16 x2 2
∴原不等式的解集为：
a a 2 16 a a 2 16 x x 或 x 〈 2 2
成果验收
课堂练习：
若不等式（ 1-a)x2 4 x 6 0的解集是{-3<x<1}, 求实数a的值.
mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方.
当m=0时，1-2x<0, 1 即当x> 时，不等式恒成立,不满足题意； 2 当m≠0时，函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解，即
m 0 , 则m无解. 4 4m(1 m) 0
例1 不等式ax2 +（a-1）x+ a-1＜0对所有实数x∈R 都成立，求a的取值范围.
分析：开口向下，且与x轴无交点 。 解：由题目条件知： (1) a ＜ 0，且△ ＜ 0. 因此a ＜ -1/3。 （2）a = 0时，不等式为-x-1 ＜0 不符合题意。 1 a | a 综上所述：a的取值范围是 3
含参数的一元二次方程整数解
含参数的一元二次方程整数解知识定位对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b 2-4ac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质。
知识梳理1、一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0)2、根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数. 3、设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么③ ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；④ x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)；⑤ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac(a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4、方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有： C=0⇔x 1=0 ，a+b+c=0⇔x 1=1 ，a －b+c=0⇔x 1=－1.例题精讲【试题来源】【题目】b 为何值时, 方程x 2 - bx - 2 = 0 和x 2 - 2x - b (b - 1) = 0有相同的整数根?并且求出它们相同的整数根.．【答案】1；2【解析】解：设相同的整数根为x 0, 由根的定义, 知x20- bx0 - 2 = 0, ①x20- 2x0-b(b - 1) = 0. ②① - ②并整理, 得(2 - b)[x0-(1 + b)]=0,②∴b = 2 或x0 = b + 1.当b = 2 时, 两方程均为x2-2x-2 = 0, 但无整数根;当x0 = b + 1 时, 代入①或②, 解之得b = 1, 于是公共根x0 =b + 1 = 2.【知识点】含参数的一元二次方程整数解【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2=x12+1993x22，…，Sn=x1n+1993x2n，则aS1993+bS1992+cS1991=【答案】0【解析】解：∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0， ax22+bx2+c=0。
如何解含参一元二次方程
如何解含参一元二次方程一元二次方程是数学中的基础概念之一，解一元二次方程是数学中的一个重要问题。
在解一元二次方程时，我们需要找到方程的解，即使方程两边的值相等。
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c 为已知常数，且a不等于0。
解一元二次方程的方法有多种，下面我将介绍几种常见的解法。
1. 因式分解法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果方程的系数a、b、c 可以因式分解，即存在两个因式m和n，使得a = mn，c = mn，则方程可以写成(ax + m)(x + n) = 0。
根据乘法公式，当两个因式的乘积等于0时，至少有一个因式为0。
因此，方程的解可以通过求两个因式分别为0时的解得到。
2. 完全平方公式对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果方程的系数a、b、c 满足b^2 - 4ac = 0，即方程的判别式等于0，那么方程的解可以通过完全平方公式x = -b/2a得到。
完全平方公式是一元二次方程的特殊解法，适用于判别式等于0的情况。
3. 直接求根公式对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果方程的系数a、b、c 满足b^2 - 4ac > 0，即方程的判别式大于0，那么方程的解可以通过求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a得到。
求根公式是一元二次方程的常见解法，适用于判别式大于0的情况。
4. 配方法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果方程的系数a、b、c 满足a不等于0且方程无法直接因式分解，我们可以通过配方法将方程转化为可以因式分解的形式。
配方法的基本思想是通过变量替换将方程转化为一个完全平方的形式，从而求得方程的解。
5. 图像法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过绘制方程的图像来求解方程。
一元二次方程的图像是一个抛物线，方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标。
解含有参数的一元二次不等式问题
解含有参数的一元二次不等式问题例1．解关于x 的不等式x 2-ax -30a 2<0．解：解方程x 2-ax -30a 2=0，得x 1=-5a ，x 2=6a ．当a >0时，-5a <6a ，解集为：{x |-5a <x <6a }；当a >0时，6a <-5a ，解集为：{x |6a <x <-5a }．当a =0时，原不等式为x 2<0，解集为：Φ．注：对含有字母的不等式，其一元二次方程的两根大小不能确定时，要注意讨论．例2．已知不等式11<-x ax 的解集为{x |x <1，或x >2}，则a 的值为 ( ) (A )a <21 (B )a >21 (C )a =21 (D )a =-21 解：原不等式整理为 011)1(<-+-x x a ． 它等价于[(a -1)x +1](x -1)<0，由于原不等式的解集为{x |x <1，或x >2}，∴a -1<0．∴a <1且-211=-a ，得a =21． 故选 (C )． 注：含有字母的不等式在进行变换时，要特别注意首项系数的正负，因为它能左右不等式解集的正确与否．例3．解关于x 的不等式1-x x <1-a (a ∈R )． 解：∵x -1的值的符号无法确定，所以不能直接去分母，可将原不等式变形为1-x x -(1-a )<0，即11--+x a ax <0． (1)当a >0时，不等式两侧同除以a ，得011<--+x a a x ， 它等价于01)1(<⎪⎭⎫ ⎝⎛---a a x x ． ∵a >0，a a a 111-=--<0，∴11<-aa ． 这时不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-11x a a x ． (2)当a =0时，原不等式为011<-x ，则解集为{x |x <1}． (3)当a <0时不等式的两边同除以a ，则011>---x a a x ， 当a <0时，0111>-=--a a a ，∴11>-aa ． 这时不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->1,1x a a x x 或． 综上所述，可得当a >0时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-11x a a x ； 当a =0时，原不等式的解集为{x |x <1}；当a <0时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->1,1x a a x x 或． 注：不等式的两边不能盲目乘以或除以一个字母或含有未知数的因式，除非已知它们的正负．例4．已知集合A ={x |x 2-3x -10}，B ={x |2m -1<x <3m +2}且A B =∅，求实数m 的取值范围．分析：将A 化为{x |x ≤-2或x ≥5}，由于A B =∅，所以可分为B ≠∅或B =∅两种情况求解． 解：A ={x |x ≤-2或x ≥5}，当B ≠∅时，∵A B =∅，∴⎩⎨⎧≤+-≥-523212m m ．由此得 -21≤m ≤1． 当B =∅时，此时A ∅=∅，∴2m -1≥3m +2．由此得到m ≤-3．综上所述，可得实数m 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤--≤121,3m m m 或． 例5．已知集合A ={x |x 2-5x +4≤0}与B ={x |x 2-2ax +a +2≤0，a ∈R }满足B ⊆A ，求a 的取值范围． 解：由已知，得A ={x |x 2-5x +4≤0}={x |1≤x ≤4}，记f (x )=x 2-2ax +a +2，它的图象是一条开口向上的抛物线．(1)若B =∅，显然有B ⊆A ，此时抛物线与x 轴无交点，故∆=4a 2-4(a +2)<0，∴-1<a <2． (2)若B ≠∅，再设抛物线与x 轴交点的横坐标为x 1，x 2且x 1<x 2．欲使B ⊆A ，应有[x 1，x 2]⊆[1，4]，观察图形可知，需⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤≥++⋅-=≥++⋅-=≥+-=∆422102424)4(02121)1(0)2(44222a a a f a a f a a ，解得2≤a ≤718． 综合(1)、(2)得a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-7181a a ． 1 x 1 x 2 4 y x O。
含参数的一元二次不等式的解法
(x2 2x)m 2x2 4x 4
g(1) 0
g(1)
0
【3】若不等式 (m-2)x2+2(m-2)x-4<0 对于
x∈[-1,1]恒成立,则实数m 的取值范围是_______.
令 f (x) (m 2)x2 2(m 2)x 4,
m 2 0
解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，
记 g(x) 2x2 9x, x [2,3],
则问题转化为 m≤g(x)min
gmin ( x) g(3) 9, m ≤ 9.
（1）变量分离法(分离参数)
【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将 不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不 等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归 为解关于参数的不等式的问题．
4
8
fmax( x) f (3) m 9 ≤ 0, o
m ≤ 9.
（2）转换求函数的最值
. 2
3x
.
例3. 关于x的不等式 2x2 9x m ≤ 0 在区间[ 2,
3]上恒成立,则实数m的取值范围是_m__≤__9__.
解：构造函数 f (x) 2x2 9x m, x [2,3],
(5)当
a 1 时，原不等式的解集为
x
1 a
x
1
例1 不等式ax2 +（a-1）x+ a-1＜0对所有实数x∈R 都成立，求a的取值范围.
分析：开口向下，且与x轴无交点 。 解：由题目条件知：
(1) a ＜ 0，且△ ＜ 0.
3.2含参数一元二次不等式解法
(2)当a＝0时，原不等式化为x2＜0，
不等式的解集为{x|a＜x＜－2a}.
纵上所述，原不等式的解集为： a＞0时，{x|－2a＜x＜a}
a＝0时，∅
a＜0时，{x|a＜x＜－2a}
2.解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0.
解：(1)当a＝0时，原不等式可化为－x＋2<0，解 集为{x|x>2}． (2)当a>0时，原不等式化为(ax－1)(x－2)<0，
【解】
①当a2－1＝0，即a＝±1时，
若a＝1，则原不等式为－1＜0，恒成立.
若a＝－1，则原不等式为2x－1＜0，不恒成立.
②当a2－1≠0，即a≠±1时，原不等式的解集为R的条
件是
3 解得 a 1 5
3 综上所述 a 1时，上述不等式解集为全体实数 5
变式：如果kx2+2kx-(k+2)＜0恒成立，则实数k的取 值范围是 (
1 (3)若 0＜ a＜ 1 时，x－ (x－ 1)<0， a
1 原不等式的解为 1＜ x＜ . a
综上所述，当 a＜0 时，解集为
1 xx＜a 或 x＞ 1 ；
当 a＝0 时，解集为 { x|x＞ 1}；
1 当 0＜ a＜1 时，解集为x1＜ x＜a .
2 b 4ac 0
对于一元二次不等式ax2+bx+c<0,它的解 集为R的条件为： a 0
2 b 4ac 0
例3： 当a为何值时，不等式
(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解集是全体实数.
若ax2＋bx＋c＜0恒成立，则先考虑a＝0的
情形，然后按照 求解.
含参一元二次方程的解法
含参一元二次方程的解法引言一元二次方程是高中数学中的重要概念。
当方程中含有参数时，解方程的过程可能会增加一些复杂性。
本文将介绍含参一元二次方程的解法，并给出一些简单的策略来解决这类问题。
含参一元二次方程的一般形式含参一元二次方程的一般形式为：$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a$、$b$和$c$是参数，$x$是未知数。
解法示例为了更好地理解含参一元二次方程的解法，我们将举一个具体的例子。
假设我们要解以下含参一元二次方程：$kx^2 + 5x + 2 = 0$，其中$k$是参数，$x$是未知数。
步骤1：将方程的一般形式与具体的方程进行对比。
我们可以看到，$a=k$，$b=5$，$c=2$。
将方程的一般形式与具体的方程进行对比。
我们可以看到，$a=k$，$b=5$，$c=2$。
步骤2：使用一般的解法来求解方程。
为了解方程，我们可以使用二次方程的求根公式：使用一般的解法来求解方程。
为了解方程，我们可以使用二次方程的求根公式：$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$代入具体的参数值，我们得到：$$x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4(k)(2)}}{2k}$$步骤3：简化方程。
我们可以继续化简得到：简化方程。
我们可以继续化简得到：$$x=\frac{-5\pm\sqrt{25-8k}}{2k}$$这就是含参一元二次方程的解。
解方程的策略当解含参一元二次方程时，以下是一些简单的策略，可以帮助你更好地解决问题：1. 确定参数的范围：在求解含参一元二次方程之前，先确定参数的范围，可以帮助你有一个更清晰的方向。
2. 根据参数的值分情况讨论：对于不同的参数取值，方程的解可能会有所不同。
将参数的取值范围划分为几个不同的区间，并分别进行讨论和求解。
3. 测试特殊取值：当参数取特殊值时，方程的解可能具有特殊的性质。
测试这些特殊取值，可以帮助你更好地理解方程的解，并找到一些简化解法。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法基础知识：1.一元二次不等式的形式：02>++c bx ax 与02<++c bx ax （a≠0） 2. 只考虑0>a 的情形。
当a ＜0时，将不等式两边乘－1就化成 了“a＞0”。
3.一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系：从函数的观点来考虑。
设二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象是抛物线L ，则不等式ax 2+bx+c ＞0，ax 2+bx+c ＜0的解集分别是抛物线L 在x 轴上方，在x 轴下方的点的横坐标x 的集合；二次方程ax 2+bx+c=0的根就是抛物线L 与x 轴的公共点并灵活地应用它。
它是函数与方程思想的应用范例。
应用这“三个二次”的关系，不但能直接得到“二次不等式的解集表”，而且还能解决“二次问题”的难题。
5.一元二次不等式的解法步骤。
1）化为一般式ax 2+bx+c ＞0 (a ＞0)或ax 2+bx+c ＜0 (a ＞0)。
这步可简记为“使a ＞0”。
2）.计算△=b 2－4ac ，判别与求根：解对应的二次方程ax 2+bx+c=0，判别根的三种情况，△≥0时求出根。
3）.写出解集：用区间或用大括号表示解集。
注意：1.解题策略：使a 值为正，求得两根，“＞”则两根之外；“＜”则两根之内。
2.不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。
二次不等式的解集求法可用数轴标根。
二、关于含参数（单参）的一元二次不等式的解法（一）．二次项系数为常数1.解关于x 的不等式：x 2－(m ＋2)x ＋2m ＜0。
2.解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x （二）．二次项系数含参数3. 解关于x 的不等式：mx 2－(m ＋1)x ＋1＜0。
4.解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax5.解关于x 的不等式：.012<-+ax ax练习 解不等式：mx 2-2x+1＞0.三．正反思维：已知一元二次不等式解集，求参数问题思考1：能否写出一个解集为(－2，1)的一元二次不等式？这样的不等式有几个？ 思考2：若不等式2x 2－ax ＋b ＞0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，求a 、b 值。
一元二次不等式题型总结
一元二次不等式题型归纳总结：题型一 解含参一元二次不等式问题1、若二次项有参数，讨论等于0、大于0、小于02、判断相应方程是否有根，即求∆，讨论000<∆>∆=∆、、，（若可以因式分解，则不需求∆）3、方程若无实根或有一根，则直接写出解集；若有两根需讨论根的大小。
例1．解关于x 的不等式2ax －(a ＋1)x ＋1＜0.解：①当a ＝0时，不等式即－x ＋1＜0，解集为{x|x ＞1}．②当a ＞0时，不等式化为0)1)(1(<--ax x 即0)1)(1(<--ax x ，当a 11=，即1=a 时，不等式的解集为φ；当a 11>，即a ＞1时，不等式的解集为{x|a 1＜x ＜1}；当a 11<，即0＜a ＜1时，不等式的解集为{x|1＜x ＜a1}；③当a ＜0时，不等式化为0)1)(1(<--ax x 即0)1)(1(>--ax x ，∵a＜0，∴a 1＜1， ∴不等式的解集为{x|x ＜a1或x ＞1}．综上所述：当a ＝0时，解集为{x|x ＞1}；当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x|1＜x ＜a1}．当a ＞1时，不等式的解集为{x|a1＜x ＜1}；当a ＜0时，不等式的解集为{x|x ＜a 1或x ＞1}．例2.解关于x 的不等式：2ax －2x ＋1＞0.解：①当a ＝0时，不等式即－2x ＋1＞0，∴解集为{x|x ＜21}； ②当a ＞0时，a 44-=∆当0>∆即0＜a ＜1时 ，由于方程2ax －2x ＋1=0的两根分别为a a -+11、a a --11且aaa a -->-+1111∴不等式解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+>--<a a x a a x x 1111或 当0<∆即1>a 时，不等式解集为R.当0=∆即1=a 时，不等式解集为{x|x≠1}； ③当a ＜0时，044>-=∆a ，此时aaa a --<-+1111 ∴不等式的解集⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+>>--a a x a a x 1111 综上所述当a ＝0时，不等式的解集为解集为{x|x ＜21} 当0＜a ＜1时 不等式解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+>--<a a x a a x x 1111或 当1=a 时，不等式解集为{x|x≠1}当1>a 时，不等式解集为R.当a ＜0时，不等式的解集⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+>>--a a x a a x 1111 练习（1）解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0. （2）解关于x 的不等式3x 2－mx －m ＞0.题型二 逆向求值问题例3已知关于x 的不等式2x ＋ax ＋b ＜0的解集为{x|1＜x ＜2}， 求关于x 的不等式2bx ＋ax ＋1＞0的解集． 解:∵2x ＋ax ＋b ＜0的解集为{x|1＜x ＜2}， ∴1,2是2x ＋ax ＋b ＝0的两根．由根与系数的关系得 －a ＝1＋2，b ＝1×2，得 a ＝－3，b ＝2， 代入所求不等式，得22x －3x ＋1＞0. 由22x －3x ＋1＞0⇔(2x －1)(x －1)＞0⇔x ＜21或x ＞1. ∴2bx ＋ax ＋1＞0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧1＞x 或21＜x（把根代入对应方程或利用韦达定理求系数的值）练习：已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是{x |x <－2或x >－12}，求不等式ax 2－bx ＋c >0的解集．题型三 分式不等式的解法0)()(>x g x f 与⎩⎨⎧>>0)(0)(x f x g 或⎩⎨⎧<<0)(0)(x f x g 同解；与0)()(>x g x f 同解； 0)()(<x g x f 与⎩⎨⎧><0)(0)(x f x g 或⎩⎨⎧<>0)(0)(x f x g 同解；与0)()(<x g x f 同解； 0)()(≥x g x f 与⎩⎨⎧≥>0)(0)(x f x g 或⎩⎨⎧≤<0)(0)(x f x g 同解；与⎩⎨⎧≥≠0)()(0)(x g x f x g 同解 ；0)()(≤x g x f 与⎩⎨⎧≥<0)(0)(x f x g 或⎩⎨⎧≤>0)(0)(x f x g 同解；与⎩⎨⎧≤≠0)()(0)(x g x f x g 同解 例4 (1)x ＋21－x <0；(2)x ＋1x －2≤2. 解:(1)由x ＋21－x <0得x ＋2x －1>0，等价于(x ＋2)(x －1)>0，∴原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．(2)法一：移项得x ＋1x －2－2≤0，左边通分并化简有－x ＋5x －2≤0，即x －5x －2≥0，它的同解不等式为⎩⎨⎧≥--≠-0)2)(5(02x x x ∴x <2或x ≥5. ∴原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}．法二：原不等式可化为x －5x －2≥0，此不等式等价于⎩⎨⎧x －5≥0，x －2>0，① 或 ⎩⎨⎧x －5≤0，x －2<0，②解①得x ≥5，解②得x <2，∴原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}．注：1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．练习：解下列不等式： (1)x ＋23－x ≥0；(2)2x －13－4x >1.题型四 不等式恒成立求参数问题（一）利用二次函数的判别式对于二次函数()0)(2≠++=a c bx ax x f ，有0)(>x f 对R x ∈恒成立⇔⎩⎨⎧><∆00a ； 0)(<x f 对R x ∈恒成立⇔⎩⎨⎧<<∆00a；0)(≥x f 对R x ∈恒成立⇔⎩⎨⎧>≤∆00a ； 0)(≤x f 对R x ∈恒成立⇔⎩⎨⎧<≤∆00a；（注：讨论二次项的系数是否为0）（二）转化为求函数的最值1、直接利用二次函数单调性求最值2、先分离参数（把不等式中的参数t 与未知数x 分离出来, 得到)(x f t >或)(x f t <），再利用单调性求最值。