复系数一元二次方程求解
一元二次方程的四种解法
一元二次方程的四种解法
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龙文教育个性化辅导教案提纲
教师:陈燕玲学生：年级九日期: 星期: 时
三、本次课后作业：
四、学生对于本次课的评价：
○ 特别满意○ 满意○ 一般○ 差
学生签字:
五、教师评定：
1、学生上次作业评价: ○非常好○好○ 一般○ 需要优
化
2、学生本次上课情况评价：○非常好○好○ 一般○ 需要优
化
教师签字：
教务主任签字： ___________
龙文教育教务处。
解一元二次方程公式法
公式法是这样生产的
你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解 : a 2 ,b 9 ,c 8 .1.变形:化已知方程为一般形式;
b 2 4 a c 9 2 4 2 8 1 7 0 .
x b b 2 4 ac 2a
9 17
22 9 17 .
4
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
九年级数学(上)第二章 一 元二次方程
3.公式法(1) 一元二次方程解法
配方法
回顾与复习 1
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元 二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为 配方法(solving by completing the square)
助手 用配方法解一元二次方程的方法的
:
平方根的意义:
公式法将从这里诞生
你能用配方法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解:x29x40.
2
x2 9 x 4.
x29x292924.
x
2 9
2417
.
4
4 16
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值 一半的平方;
4.变形:方程左分解因式,右边合并 同类;
8.x1909..xx2714x;3;xx139 .43.273. 16x2+8x=3 ；
1
1 参 考 答 案 ：2 12
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
12
1
2
解:设这三个 一个连 直角续 三角偶 的 形三数 一 边的中 个 长x为间 ,为 根 三个据 连续题 偶 意得
x2 x 数 ,求2 这2 个三x角 形2 的2 .三边长.
复数范围内解一元二次方程
复数范围内解一元二次方程解一元二次方程是高中数学中的基本知识，我们首先回顾一下一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
现在我们要求解的是一元二次方程在复数范围内的解。
在实数范围内，一元二次方程的解可以通过判别式来确定：Δ = b^2 - 4ac根据判别式的值，可以得到三种情况：1.如果Δ>0，则方程有两个不相等的实数解。
2.如果Δ=0，则方程有两个相等的实数解。
3.如果Δ<0，则方程没有实数解。
然而，在复数范围内，一元二次方程的解是可以存在的。
我们来详细讨论一下复数范围内一元二次方程的解的情况。
首先，我们假设方程有解x = p + qi (p和q为实数，i是虚数单位，i^2 = -1)。
将x代入方程，可以得到：a(p + qi)^2 + b(p + qi) + c = 0ap^2 + 2apiq - aq^2 + bp + bqi + c = 0令实部和虚部分别相等，我们可以得到两个方程：ap^2 - aq^2 + bp + c = 0 (1)2apiq + bqi = 0 (2)根据(2)式可得。
如果aq = 0，则可以得到两种情况：1. 如果a = 0，则方程退化为一元一次方程bx + c = 0，解为x = -c/b。
2. 如果q = 0，则代入(1)式可以得到ap^2 + bp + c = 0，这是一个一元二次方程，可以像在实数范围内解一样求解。
如果bp + c = 0，则(1)式可以化简为ap^2 - aq^2 = 0，即p^2 = q^2、这也是一个一元二次方程，可以类似地求解。
现在我们考虑aq≠0，进一步讨论两种可能的情况：1. 如果ap^2 - aq^2 + bp + c = 0，则可以将这个方程视为一个关于p的一元二次方程，可以求得p的值。
然后，将p代入到(2)式，可以解得q的值。
2. 如果a = 0，则方程退化为一元一次方程bp + c = 0，解为p = -c/b。
1.2.2 一元二次方程的解法-配方法(解析版)
1.2.2 一元二次方程的解法-配方法考点一．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．考点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．题型1：配方法解一元二次方程1．用配方法解一元二次方程2620x x -+=，此方程可化为（ ）A ．2(3)7x -=B ．2(3)11x -=C ．2(3)7x +=D ．2(3)11x +=【答案】A 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．2222()a ab b a b ±+=±【解析】解：2620x x -+=Q ，262x x \-=-，则26929x x -+=-+，即()237x -=，故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．2．用配方法解一元二次方程23610x x +-=时，将它化为()2x a b +=的形式，则a b +的值为（ ）A ．103B ．73C ．2D ．433．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．22990x x --=化为2(1)100x -=B ．2890x x ++=化为2(4)25x +=C ．22740t t --=化为2781416t æö-=ç÷èøD ．23420x x --=化为221039x æö-=ç÷èø【答案】B【分析】根据配方的步骤计算即可解题．【解析】()2222890,89,816916,47x x x x x x x ++=+=-++=-++=故B 错误．且ACD 选项均正确，故选：B【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步骤：第一步平方项系数化1；第二步移项，把常数项移到右边；第三步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第四步左边写成完全平方式；第五步，直接开方即可．4．关于y 的方程249996y y -=，用___________法解，得1y =__，2y =__．【答案】 配方 102 98-【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．【解析】249996y y -=，24499964y y -+=+，2(2)10000y -=，2100y -=±，1002y =±+，12102,98y y ==-，故答案为：配方，102，98-．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程即可得，熟练掌握配方法是解题关键．5．用配方法解方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（ ）A ．2224()24b ac b x a a -+=B ．2224()22b b ac x a a -+=C ．2224()24b b ac x a a -+=D ．2222()22b b ac x a a ++=6．用配方法解方程22103x x -+=，正确的是（ ）A ．212251()1,,333x x x -===-B ．224(),39x x -==C ．238(29x -=-，原方程无实数解D ．2()1839x -=-，原方程无实数解7．用配方法解下列方程：(1)2352x x -=；(2)289x x +=；(3)212150x x +-=；(4)21404x x --=；(5)2212100x x ++=；(6)()22040x px q p q ++=-³．8．ABC D 的三边分别为a 、b 、c ，若8+=b c ，21252bc a a =-+，按边分类，则ABC D 是______三角形【答案】等腰【分析】将8+=b c ，代入21252bc a a =-+中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a 与c 的值，进而求出b 的值，即可确定出三角形形状．【解析】解：∵8+=b c ∴8b c =- ，∴()288bc c c c c =-=-+，∴2212528bc a a c c =-+=-+，即2212361680a a c c -+++-=，整理得：()()22640a c -+-=，∵()260a -³，()240c -³，∴60a -=，即6a =；40c -=，即4c =，∴844b =-=，则△ABC 为等腰三角形．故答案是：等腰．【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．如果一个三角形的三边均满足方程210250x x -+=，则此三角形的面积是______10．已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ）A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【答案】C【分析】先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【解析】解：∵a 2-10a +b 2-16b +89=0，∴（a 2-10a +25）+（b 2-16b +64）=0，∴（a -5）2+（b -8）2=0，∵（a -5）2≥0，（b -8）2≥0，∴a -5=0，b -8=0，∴a =5，b =8．∵三角形的三条边为a ，b ，c ，∴b -a ＜c ＜b +a ，∴3＜c ＜13．又∵这个三角形的最大边为c ，∴8＜c ＜13．故选：C ．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．题型3：配方法的应用2-比较整式大小与求值问题11．若M =22x -12x +15，N =2x -8x +11，则M 与N 的大小关系为（ ）A ．M ≥NB ．M ＞NC ．M ≤ND ．M ＜N 【答案】A【解析】∵M=22x -12x +15，N=2x -8x +11，∴M-N=222222(21215)(811)2121581144(2)x x x x x x x x x x x -+--+=-+-+-=-+=- .∵2(2)0x -³，∴M-N ³0，∴M ³N.故选A.点睛：比较两个含有同一字母的代数式的大小关系时，当无法直接比较两者的大小关系时，可以通过求出两者的“差”，再看“差”的值是“正数”、“负数”或“0”来比较两者的大小.12．已知下面三个关于x 的一元二次方程2ax bx c 0++=，2bx cx a 0++=，2cx ax b 0++=恰好有一个相同的实数根a ，则a b c ++的值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．不确定【答案】A【分析】把x =a 代入3个方程得出a •a 2+ba +c =0，ba 2+ca +a =0，ca 2+a •a +b =0，3个方程相加即可得出（a +b +c ）（a 2+a +1）=0，即可求出答案．【解析】把x =a 代入ax 2+bx +c =0，bx 2+cx +a =0，cx 2+ax +b =0得：a •a 2+ba +c =0，ba 2+ca +a =0，ca 2+a •a +b =0，相加得：（a +b +c ）a 2+（b +c +a ）a +（a +b +c ）=0，13．已知实数m ，n ，c 满足2104m m c -+=，22112124n m m c =-++，则n 的取值范围是（ ）A ．74n ³-B ．74n >-C ．2n ³-D ．2n >-14．若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（ ）A ．0c ³B ．9c ³C ．0c ＞D ．9c ＞【答案】B【分析】把二次三项式进行配方即可解决．【解析】配方得：226(3)9x x c x c -+=--+∵2(3)0x -³，且对x 为任意实数，260x x c -+³∴90c -+³∴9c ³故选：B【点睛】本题考查了配方法的应用，对于二次项系数为1的二次三项式，加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可配成完全平方式．15．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2－2x －4y+16的值总是_______数．【答案】正【解析】x 2+y 2－2x －4y +16=（x 2－2x +1）+（y 2－4y +4）－1－4+16=（x －1）2+（y －2）2+11，由于（x －1）2≥0，（y －2）2≥0，故（x －1）2+（y －2）2+11≥11，所以x 2+y 2－2x －4y +16的值总是正数.故答案为正.点睛：要证明一个式子的值总是正数，可以用配方法将式子写成多个非负数之和与一个正数的和的形式即可证明.16．不论x ，y 为什么数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值（ ）A ．总大于7B ．总不小于9C ．总不小于﹣9D ．为任意有理数【答案】C【分析】先将原式配方，然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式的值总不小于−9即可．【解析】解：4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7＝4x 2＋8x ＋4＋3y 2−12y ＋3＝4（x 2＋2x ＋1）＋3（y 2−4y ＋1）＝4（x ＋1）2＋3（y 2−4y ＋4−4＋1）＝4（x ＋1）2＋3（y −2）2−9，∵（x ＋1）2≥0，（y −2）2≥0，∴4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7≥−9．即不论x 、y 为什么实数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值总不小于−9．故选：C ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．解决本题的关键是掌握配方法．17．若12123y z x +--==，则x 2+y 2+z 2可取得的最小值为（ ）A ．3B ．5914C ．92D ．618．关于代数式12a a ++，有以下几种说法，①当3a =-时，则12a a ++的值为-4.②若12a a ++值为2，则a =③若2a >-，则12a a ++存在最小值且最小值为0.在上述说法中正确的是（ ）A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③19．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b c p ++=，则其面积S =．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若3p =，2c =，则此三角形面积的最大值是_________．20．已知y=x，y均为实数），则y的最大值是______．21．已知152a b c +--=-，则a b c ++=____________22．已知212y x x c =+-，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，则c 的取值范围_______.【答案】c ＜−1【分析】将原式分母配方后，根据完全平方式的值为非负数，只需−c−1大于0，求出不等式的解集即可得到c 的范围．【解析】原式分母为：x 2＋2x−c ＝x 2＋2x ＋1−c−1＝（x ＋1）2−c−1，∵（x ＋1）2≥0，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，∴−c−1＞0，解得：c ＜−1．故填：c ＜−1【点睛】此题考查了配方法的应用，以及分式有意义的条件，灵活运用配方法是解本题的关键．23．（1）设220,3a b a b ab >>+=，求a b a b+-的值．（2）已知代数式257x x -+，先用配方法说明：不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？24．选取二次三项式2(0)ax bx c a ++¹中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：2242(2)2x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：2242(4)x x x x -+=+-或2242((4x x x x -+=+-+；③选取一次项和常数项配方：22242x x x -+=-．根据上述材料解决下面问题：（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方．（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值．（3）已知a 、b 、c 为三条线段，且满足()222214(23)a b c a b c ++=++，试判断a 、b 、c 能否围成三角形，并说明理由．25．若实数x ，y ，z 满足x ＜y ＜z 时，则称x ，y ，z 为正序排列．已知x =﹣m 2+2m ﹣1，y =﹣m 2+2m ，若当m 12＞时，x ，y ，z 必为正序排列，则z 可以是( )A ．m 14+B ．﹣2m +4C ．m 2D ．1A．甲B．乙C．丙D．丁故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．7．代数式243x x -+的最小值为（ ）．A ．1-B ．0C ．3D ．5【答案】A【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．【解析】代数式()2224344121x x x x x -+=-+-=--∵()220x -³，∴()2211x --³-即代数式2|431x x -+³-，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解．8．已知625N m =-，22M m m =-(m 为任意实数)，则M 、N 的大小关系为（ ）A ．M N<B ．M N >C ．M N =D ．不能确定【答案】B 【分析】求出M N -的结果，再判断即可．【解析】根据题意，可知()22226258169490M N m m m m m m -=--+=-++=-+>，所以M N >．故选：B ．【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．9．若22242021p a b a b =++++，则p 的最小值是（ ）A ．2021B ．2015C ．2016D ．没有最小值【答案】C【分析】将等式右边分组，配成两个完全平方式，即可根据平方的非负性进行解答．【解析】解：22242021p a b a b =++++2221442016a ab b =++++++()()2221442016a ab b =++++++()()22120162a b ++=++，∵()210a +³，()220b +³，∴p 的最小值为2016，故选：C ．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题的关键是将原式分组配方．10．新定义：关于x 的一元二次方程21()0a x m k -+=与22()0a x m k -+=称为“同族二次方程”．如22021(3)40x -+=与23(3)40x -+=是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程22(1)10x -+=与()()22480a x b x ++-+=是“同族二次方程”，那么代数式22021ax bx ++能取的最小值是（ ）A ．2013B ．2014C ．2015D ．2016【答案】D【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a 和b 的值，从而解得代数式的最小值．【解析】解：22(1)10x -+=Q 与2(2)(4)80a x b x ++-+=为同族二次方程．22(2)(4)8(2)(1)1a x b x a x \++-+=+-+，22(2)(4)8(2)2(2)3a x b x a x a x a \++-+=+-+++，∴42(2)83b a a -=-+ìí=+î，解得：510a b =ìí=-î．∴()22220215102021512016ax bx x x x ++=-+=-+\当1x =时，22021ax bx ++取最小值为2016．故选：D ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．二、填空题11．将一元二次方程2410x x -+=变形为()2x h k +=的形式为______三、解答题。
(2021年整理)复系数一元二次方程求根公式教学浅议
（完整）复系数一元二次方程求根公式教学浅议编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）复系数一元二次方程求根公式教学浅议）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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文／哈瀛东在初中《代数》课本中，运用配方法推导了实系数一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝0在Δ＝ｂ２－4ａｃ≥0时的求根公式①在高中《代数》下册“复数”一章中，运用配方法推导出实系数一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝0在Δ＝ｂ２－4ａｃ＜0时的求根公式②之后，结束了中学数学对一元二次方程求根公式的研究．由于中学数学未研究复系数一元二次方程的求根公式，学生在复数集中解一元二次方程方面未形成完整的知识框架;在解与复系数一元二次方程的根有关的问题时，往往用复数相等的定义解复系数一元二次方程，运算繁冗．教学中，学生也常常提出“实系数一元二次方程求根公式能否向复系数一元二次方程推广”，“是否存在复系数一元二次方程求根公式"等疑问．在多年的教学实践中，笔者认识到，在结束实系数一元二次方程求根公式的研究后，趁热打铁，安排一二个课时,以练习课的形式，引导学生推导复系数一元二次方程求根公式，明确实系数与复系数这两类一元二次方程求根公式的内在联系,在复数运算的复习中,使学生形成完整的认知结构，加深实数集扩展到复数集的合理性的理解，提高对实数集与复数集之间的辩证关系的认识．既有利于中学数学教学，又有利于学生智力的发展和创新能力的培养．在具体教学时，笔者是这样安排的．一、创设情境，激发求知欲笔者对复数运算法则及实系数一元二次方程求根公式进行简单复习之后，让学生做练习:1．求证：任一复数ｚ的平方根都可表示成±ｕ(ｕ∈Ｃ）的形式．解：设ｚ＝ｒ（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ），其平方根为（其中ｎ＝0，1)，即或＝－∴命题成立．2．解方程：ｘ２＋（2－ｉ）ｘ＋1－ｉ＝0．解:设ｘ＝ａ＋ｂｉ(ａ,ｂ∈Ｒ），代入方程并整理，得ａ２－ｂ２＋2ａ＋ｂ＋1＋（2ａｂ－ａ＋2ｂ－1)ｉ＝0．由复数相等的定义，得面对此二元二次方程组,学生束手无策,欲进无路,欲退不愿，企盼教师指点迷津．二、适时点拨，引导学生探求新公式在学生心有余而力不足，思维受阻之际，笔者向学生指出：在一般情况下，用复数相等的定义解复系数一元二次方程，运算量大，不易操作；复系数一元二次方程也有求根公式,仿照实系数一元二次方程求根公式的推导方法以及练习题1的结论，很容易推出复系数一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝0的求根公式，有了求根公式,解题2的方程就易如反掌了!寥寥数语，激起学生强烈的求知欲望与探索，纷纷投入复系数一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝0的求根公式的推导中去．对方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝0配方，得（ｘ＋（ｂ／2ａ)）２＝(ｂ２－4ａｃ）／（2ａ)２．设Δ＝ｂ２－4ａｃ的平方根为±ｕ（ｕ∈Ｃ),则ｘ＋（ｂ／2ａ)＝±（ｕ／2ａ）,ｘ＝（－ｂ±ｕ）／2ａ．用此结论,学生很容易求得题2方程的根．∵Δ＝（2－ｉ）２－4（1－ｉ）＝－1，其平方根为±ｉ．∴方程ｘ２＋(2－ｉ）ｘ＋1－ｉ＝0的解为ｘ＝（－(2－ｉ）±ｉ）／2，即ｘ１＝－1＋ｉ,ｘ２＝－1．学生在推得复系数一元二次方程求根公式，用此公式求得曾一度束手无策的方程的解，并验根证实求根公式正确后,沉浸在胜利的喜悦中．此时，笔者不失时机引导学生梳理知识,使知识条理化,形成完整的认知结构．三、完善认知结构,提高解题能力1．引导学生总结求根公式定理复系数一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝0在复数集C中有两个根ｘ＝（－ｂ±ｕ）／2ａ．③其中，±ｕ为Δ＝ｂ２－4ａｃ的平方根．2．引导学生对比公式①、②、③的异同，完善认知结构实系数一元二次方程求根公式是复系数一元二次方程求根公式的特殊情形．即③中的ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ时,如果Δ＝ｂ２－4ａｃ＞0,则其平方根为±，方程有相异两实数根ｘ１，２＝；如果Δ＝ｂ２－4ａｃ＝0，则其平方根为0，方程有相等的实数根ｘ１＝ｘ２＝－ｂ／2ａ；如果Δ＝ｂ２－4ａｃ＜0，则其平方根为±,方程有两共轭虚根ｘ１，２＝．3．规范复数集求一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝0的根的步骤（1）计算Δ＝ｂ２－4ａｃ．（2）求Δ的平方根．如Δ为虚数，可用配方法，或复数相等的定义,也可用复数开方法则求出Δ的平方根．（3)代入公式③，求方程的根．4．巩固练习，提高解题能力（1）解方程：(2－ｉ）ｘ２＋（1－3ｉ)ｘ－（5＋10ｉ）＝0．（2）若ｚ１、ｚ２是方程ｚ２－（2ｚ０－1）ｚ＋ｚ０２－ｚ０＋1＝0的两根，其中ｚ０为常数,那么以ｚ０、ｚ１、ｚ２的对应点Ａ、Ｂ、Ｃ为顶点的三角形中，最大角为（)．Ａ．90°Ｂ．120°Ｃ．135°Ｄ．150°略解：（1）Δ＝（1－3ｉ）２＋4(2－ｉ）（5＋10ｉ）＝72＋54ｉ＝9（3＋ｉ）２,其平方根为±3(3＋ｉ）．∴方程的解为ｘ＝（－(1－3ｉ）±3(3＋ｉ））／2（2－ｉ）,即ｘ１＝1＋2ｉ，ｘ２＝－2－ｉ．如将方程二次项系数化为1，在代入求根公式时可避免复数除法，即方程两边同乘以2＋ｉ，得ｘ２＋（1－ｉ）ｘ－5ｉ＝0．∵Δ＝（1－ｉ）２＋20ｉ＝18ｉ＝9（1＋ｉ）２，其平方根为±3（1＋ｉ），∴方程的解为ｘ＝(－(1－ｉ）±3（1＋ｉ））／2，即ｘ１＝1＋2ｉ，ｘ２＝－2－ｉ．（2）∵Δ＝[－（2ｚ０－1）２－4(ｚ０２－ｚ０＋1）＝－3,其平方根为±ｉ，∴方程的根为ｚ＝（（2ｚ０－1）±ｉ）／2，即ｚ１＝ｚ０＋（（－1＋ｉ）／2），ｚ２＝ｚ０＋（（－1－ｉ）／2）．于是＝ｚ１－ｚ０＝（－1＋ｉ)／2＝ｃｏｓ（2π／3）＋ｉｓｉｎ（2π／3）．＝ｚ１－ｚ１＝（－1－ｉ）／2＝ｃｏｓ(4π／3）＋ｉｓｉｎ（4π／3）．∴∠ＢＡＣ＝2π／3＝120°，即△ＡＢＣ中最大角为120°，故选Ｂ．复系数一元二次方程求根公式教学浅议。
复常系数一元二次方程求根公式
复常系数一元二次方程求根公式大家好，我是晓晓。
今天继续给大家讲解这方面的知识，也是在上一篇文章中讲到的，当一个题目，求解时，不一定只需要求解其中一个根，可以从多个变量中求得一个根。
所以大家可以根据自己的实际情况，找到最合适，且容易记住和应用的一元二次方程解法。
今天晓晓给大家讲一种求解这种问题的方法：解复常系数一元二次方程时，求根公式：复—基。
下面我们来看一下用什么方法求复常系数值问题吧。
在方程中，每个复数和整数有两个基本未知数（即0+1),所以所有正整数加一个整数就是(0+1)这个复数。
比如，一元二次方程可以分为若干个常模中的某个具体题型（即零位不变、正位变差、负位变差等),每个基本未知数都有相应的一个根。
比如上面所讲到的10个方程中最简单的就是0-1根的存在形式。
这里我们用求一个近似根来说明（可以根据其解与一元二次方程之和大于零或小于零时）这一部分和前面所讲到“关于零位不变”等情况一起说明。
1、先让两个数值相等。
其中：当取为3、则求解一元二次方程（其中最小变量为0):其中：解析：从上面我们可以知道，用三个数乘以3和求得三个值最小值是一个常数公式。
如果其中有0、1等三个数的话，那么，可以使用以下公式求得根公式：其中：对于一个(0+1)是有限的四分位数，则这个四分位数就是其零位的复数是唯一数。
对于一个0-1位数字是三分位数的复数。
那么，就可以用这个公式先求出这个四分位数的零位最小值。
2、然后利用这个近似根公式将方程(1+2)带入之前的步骤（第一步：解一个等式并写出相关数值和运算过程）。
接下来我们以上述的题型为例，先来看看1+2在方程中的具体数值形式，再来解题。
解完题后，大家可以根据下面的步骤把题目写出来，并把它放到后面去求(0+1)这个公式当中去。
我们再来看一下在计算过程中的步骤。
首先是把(0+1)这个等式变换为任意复数或方程。
下面我们将(0+1)和(2)带入一个等式之中，然后在进行计算。
计算结果如下：通过计算，一共得到(0+1~-5)=(-3~+5)个近似根值/一个正数根；通过计算，总共得到20个近似根值，其中正数有13个，负数有6个。
复系数的一元二次方程的解法
一元二次方程)0(02≠=++a c bz az 的系数为虚数时,仍然可以用求根公式a acb －b z 242－±=求出方程的根,但是不能用“根的判别式”判别方程有无实根,也可以设方程的根为yi x z +=代入原方程,利用复数相等的充要条件,得出关于y x ,的方程（组）,从而求出y x ,的值,进而得出方程的根.例1 设k R ∈,关于x 的方程2(2)20x k i x ki ++++=有实数解,求k 的值. 分析：设出方程的实数根,代入方程,利用复数相等的充要条件建立方程组求解.解：设0x 是方程的实数根,代入方程并整理得.0)2()2(0020=++++i k x kx x由复数相等的充要条件得⎩⎨⎧=+=++02020020k x kx x .解得⎩⎨⎧-==2220k x 或⎩⎨⎧=-=2220k x . 所以k 的值为22-或22.点评：求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根,所以0)2(4)2(2≥+-+=∆ki i k ,解得32≥k 或32-≤k .事实上,由于虚数单位的特殊性,所以不能用判别式判别复系数的一元二次方程有无实数根.例2 已知关于t 的一元二次方程),(0)(2)2(2R y x i y x xy t i t ∈=-++++.（1）当方程有实根时,求点),(y x 的轨迹方程；（2）若方程有实根,求实根的取值范围.解：（1）设实根为t ,则 0)(2)2(2=-++++i y x xy t i t ，即0)()22(2=-++++i y x t xy t t ，根据复数相等的充要条件得⎩⎨⎧=-+=++00222y x t xy t t )2()1(, 由)2(得x y t -=,代入)1(得02)(2)(2=+-+-xy x y x y ,即2)1()1(22=++-y x )3(.∴所求点的轨迹方程为2)1()1(22=++-y x ,2)1()1(22=++-y x 有公共点,04≤≤-∴t ,故方程的实根的取值范围为[]0,4-.点评：本题涉及复数与解析几何的知识,综合性较强,同学们往往不易下手,有一定难度.在第)2(问求实根的取值范围时,还可以先由方程)2)(1(消去y 建立关于实数x 的二次方程,再用判别式∆求出t 的范围.通过本题,同学们要进一步认识把复数问题转化为实数问题求解的必要性,这是解决有关复数问题的常用方法.。
复系数的一元二次方程的解法
2.复系数的一元二次方程一元二次方程)0(02≠=++a c bz az 的系数为虚数时,仍然可以用求根公式a acb －b z 242－±=求出方程的根,但是不能用“根的判别式”判别方程有无实根,也可以设方程的根为yi x z +=代入原方程,利用复数相等的充要条件,得出关于y x ,的方程（组）,从而求出y x ,的值,进而得出方程的根.例1 设k R ∈,关于x 的方程2(2)20x k i x ki ++++=有实数解,求k 的值. 分析：设出方程的实数根,代入方程,利用复数相等的充要条件建立方程组求解.解：设0x 是方程的实数根,代入方程并整理得.0)2()2(0020=++++i k x kx x由复数相等的充要条件得⎩⎨⎧=+=++02020020k x kx x .解得⎩⎨⎧-==2220k x 或⎩⎨⎧=-=2220k x . 所以k 的值为22-或22.点评：求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根,所以0)2(4)2(2≥+-+=∆ki i k ,解得32≥k 或32-≤k .事实上,由于虚数单位的特殊性,所以不能用判别式判别复系数的一元二次方程有无实数根.例2 已知关于t 的一元二次方程),(0)(2)2(2R y x i y x xy t i t ∈=-++++.（1）当方程有实根时,求点),(y x 的轨迹方程；（2）若方程有实根,求实根的取值范围.解：（1）设实根为t ,则 0)(2)2(2=-++++i y x xy t i t ，即0)()22(2=-++++i y x t xy t t ，根据复数相等的充要条件得⎩⎨⎧=-+=++00222y x t xy t t )2()1(, 由)2(得x y t -=,代入)1(得02)(2)(2=+-+-xy x y x y ,即2)1()1(22=++-y x )3(.∴所求点的轨迹方程为2)1()1(22=++-y x ,2)1()1(22=++-y x 有公共点,04≤≤-∴t , 故方程的实根的取值范围为[]0,4-.点评：本题涉及复数与解析几何的知识,综合性较强,同学们往往不易下手,有一定难度.在第)2(问求实根的取值范围时,还可以先由方程)2)(1(消去y 建立关于实数x 的二次方程,再用判别式∆求出t 的范围.通过本题,同学们要进一步认识把复数问题转化为实数问题求解的必要性,这是解决有关复数问题的常用方法.。
公式法解一元二次方程的例题20道
公式法解一元二次方程的例题20道一元二次方程是中学数学学习中的重要内容，公式法是解一元二次方程的一种常见方法。
通过求根公式，可以解任意形式的一元二次方程，这在代数学习中具有重要意义。
接下来，我将结合公式法解一元二次方程的例题，带你一起深入理解这一知识点。
1. 解题思路在使用公式法解一元二次方程时，我们首先要将方程化为标准形式：$ax^2+bx+c=0$，然后利用求根公式：$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$来求得方程的解。
在实际解题中，我们需要注意判别式$\Delta=b^2-4ac$的正负与零，以确定方程的解的个数及性质。
2. 例题1已知一元二次方程$2x^2-5x+2=0$，求方程的根。
解：根据公式法，首先计算判别式$\Delta=(-5)^2-4\times2\times2=1$，由于$\Delta>0$，则方程有两个不相等的实根。
代入求根公式，得$x_1=\frac{5+\sqrt{1}}{4}=\frac{7}{4}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{1}}{4}=\frac{3}{2}$。
方程的解为$x_1=\frac{7}{4}$，$x_2=\frac{3}{2}$。
3. 例题2求一元二次方程$3x^2-4x+1=0$的根。
解：计算判别式$\Delta=(-4)^2-4\times3\times1=0$，由于$\Delta=0$，则方程有两个相等的实根。
代入求根公式，得$x_1=x_2=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
方程的解为$x_1=x_2=\frac{2}{3}$。
4. 例题3已知一元二次方程$4x^2-12x+9=0$，求方程的根。
解：计算判别式$\Delta=(-12)^2-4\times4\times9=-48$，由于$\Delta<0$，则方程没有实数根，只有一对共轭复数根。
代入求根公式，得$x_1=\frac{12+\sqrt{-48}}{8}=1+\frac{\sqrt{3}}{2}i$，$x_2=\frac{12-\sqrt{-48}}{8}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}i$。
复数解一元二次方程
复数解一元二次方程一元二次方程是数学中最基础的几何问题，它是求解一个实数或复数解时最常见的方程类型。
一元二次方程可以表达为：ax2+bx+c=0。
复数解一元二次方程的根为两个复数，即：p+qi和p-qi，其中p=b24ac2a， q=b24ac2a。
要求复数解一元二次方程的根，我们需要先解出其特征方程的解，即求解ax2+bx+c=0的根，它的特征方程可以写为：x2+bx+c=0，其中b=b24ac。
求解特征方程的根可以使用直接开方法，即它的根可以写为：x1=b+√b24ac2a，x2=b-√b24ac2a。
这里b24ac称为判别式，若判别式小于0，则一元二次方程没有实数解，只有复数解。
由特征方程的两个根可以计算出一元二次方程的复数解，其计算公式为：p+qi=x1+x2，p-qi=x1-x2。
其中p=b24ac2a， q=b24ac2a。
以ax2+bx+c=0为例来说明复数解一元二次方程的计算过程：（1）减小问题：将一元二次方程转化为特征方程，即求解x2+bx+c=0的根。
（2）计算特征方程的根：x1=b+√b24ac2a，x2=b-√b24ac2a。
（3）计算一元二次方程的复数解：p+qi=x1+x2，p-qi=x1-x2。
其中p=b24ac2a， q=b24ac2a。
从上述步骤可以看出，求解一元二次方程的复数解非常容易，只需要先求解其特征方程的根，然后用上述公式进行计算即可得到复数解。
另外，复数解一元二次方程还有另一重要的作用，就是当一元二次方程没有实数解时，复数解能够将其实际的解隐藏起来，从而使求解过程变得更容易。
总之，复数解一元二次方程是数学中重要的问题，它不仅可以揭示一元二次方程的复数解，而且可以隐藏一元二次方程实际解的复杂性。
因此，如果要求解一元二次方程，复数解是一个非常重要的方法，值得我们进一步探讨。
谈复系数一元二次方程
一．一元二次方程是指一个变量的二次多项式方程，即形如ax2+bx+c=0的方程。
一元二次方程的解析解法主要是利用了求根公式，即利用delta=b2-4ac，其中delta为判别式。
当delta>0时，有两个不等实数根；当delta=0时，有一个重根；当delta<0时，根不存在。
一元二次方程也可以采用图形法求解，即将一元二次方程折成一元一次方程，再将它画在x-y坐标系上，把它表示成一条抛物线。
当抛物线有两个不等实数根时，它的图像有两个不等实数根；当抛物线有一个重根时，它的图像有一个重根；当抛物线无根时，它的图像无根。
一元二次方程的解法还可以采用特殊技巧求解，如分解因式法、立体图形法等。
总结：一元二次方程是指一个变量的二次多项式方程，它可以采用解析解法、图形法和特殊技巧求解。
当抛物线有两个不等实数根时，它的图像有两个不等实数根；当抛物线有一个重根时，它的图像有一个重根；当抛物线无根时，它的图像无根。
二．特殊解法的基本思想是利用一元二谈次方程的性质，将它转换成一元一次方程，然后用一元一次方程的求解方法求出原方程的解。
一元二次方程的解法有一种叫做判别式的方法，它的基本思想是将一元二次方程分解成一元一次方程，然后利用判别式的性质，求出原方程的解。
判别式的形式是b2-4ac，它的值可以用来判断一元二次方程的解的个数，即：当b2-4ac>0时，一元二次方程有两个不同的实数根；当b2-4ac=0时，一元二次方程有一个实数根；当b2-4ac<0时，一元二次方程没有实数根。
总之，一元二次方程是一个非常常见的数学问题，它的求解方法有一般解法、特殊解法和判别式法，它们各有特点，要根据实际情况选择适当的求解方法。
三．一元二次方程的复系数是指一元二次方程中系数的种类及其大小，它由三个系数决定，即ax^2+bx+c，其中a、b、c可以是任意实数，特别是a≠0时，复系数由a、b、c的大小共同决定。
根据a、b、c的大小可以将一元二次方程分为四类，它们分别是：1、a>0时，两个根都为正，两个根之差越来越小，复系数为正。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法汇总1．直接开方法解一元二次方程(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：（点击图片可放大阅览）要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2.因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤:①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、用直接开平方法解一元二次方程（点击图片可放大阅览）【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．举一反三：（点击图片可放大阅览）类型二、因式分解法解一元二次方程（点击图片可放大阅览）【总结升华】若把各项展开，整理为一元二次方程的一般形式，过程太烦琐．观察题目结构，可将x+1看作m，将(2-x)看作n，则原方程左端恰好为完全平方式，于是此方程利用分解因式法可解．举一反三：【变式】方程(x-1)(x+2)＝2(x+2)的根是________．【答案】将(x+2)看作一个整体，右边的2(x+2)移到方程的左边也可用提取公因式法因式分解．即(x-1)(x+2)-2(x+2)＝0，(x+2)[(x-1)-2]＝0．∴ (x+2)(x-3)＝0，∴ x+2＝0或x-3＝0．∴ x1＝-2 x2＝3．（点击图片可放大阅览）【总结升华】如果把视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x、y 的值，然后计算，但实际上如果把看成一个整体，那么原方程便可化简求解。
复系数一元二次方程求解
复系数方程的求解知识点：1.复系数方程的一般求解方法；2.复系数方程与实系数方程解的关联性；教学过程：1.系数为复数的方程统称为复系数方程；2.复系数方程的一般求解方程方法为待定系数法；3.复系数一元二次方程的根满足韦达定理；4.复系数一元n 次方程有且仅有n 个根（k 重根按k 个根记），此结论由高斯在1797年的博士论文中严格证明。
并称为代数基本定理．．．．．．。
例1.解关于x 的方程：（1）2340x i --=（2）2(1)0x i x i -++=（3）2(1)(1)260i x i x i +----=（4）2(3)430x i x i -+++=（5）22252(2)0x x x x i -++--=例2.设方程20x px k -+=有一个根是12i +。
（1）若p R ∈，求实数k 的值；（2）若4p =，求复数k 的值；例3.解关于x 的方程(1)(1)0,n n x x n N +--=∈。
例4.设1,,x u vi u v R =+∈是关于x 的方程20,,ax ibx c a b R ++=∈的根，求方程的另一个根；例5.设k R ∈，关于x 的方程2(2)20x k i x ki ++++=有实数解，求k 的值，并求方程的根。
例6.已知关于x 的方程222(1)(1)0a i x a i a i +++++=有实数解，求实数a 积方程的根。
例7.已知关于x 的方程09)6(2=+++-ai x i x ,a R ∈有实数根b 。
（1）求实数,a b 的值；（2）若复数z 满足02=----z bi a z ，求z 为何值时，z 有最小值，并求出z 的值。
例8.关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中，12,,z z m 均是复数，且i z z 20164221+=-. 设这个方程的两个根为α、β，且满足72||=-βα.求|m |的最大值和最小值。
例9.已知方程6310x x ++=，求证：在复平面上连结(1,0)与以方程根为顶点的多边形各顶点的所有线段之积等于3．例10.已知c o s c o s c o s s i n，利用复数求证：++=++=x y z x y zx y z++=。
一元二次方程的基本概念与常见求解方法
一元二次方程的基本概念与常见求解方法知识点睛一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，最高次数的项系数不为 0 的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式2(0)0ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1）要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．一元二次方程最高次数的项系数不为0．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式2(0)0ax bx c a ++=≠． 要特别注意对于关于 x 的方程2(0)0ax bx c a ++=≠．当0a ≠时，方程是一元二次方程；当00a b =≠且时，方程是一元一次方程． （3）关于x 的一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠的项与各项的系数．ax 2 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适用于解形如 (ax +b )2 = ()00a c ≠， 的一元二次方程． （2）配方法：解形如2 )00(ax bx c a ++=≠的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：① 二次项系数化为1．② 常数项右移．③ 配方 (两边同时加上一次项系数一半的平方)．④ 化成 (x +m )2 = n 的形式．⑤ 若0n ≥，直接开平方得出方程的解。
（3）公式法：设一元二次方程为2 )00(ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：2124b ac x x ∆=-，， 是方程的两根，则：1. ∆ > 0 ⇔ 方程 2)00(ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 x = 2. ∆ = 0 ⇔ 方程 2 )00(ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 122b x x a==-； 3. ∆ < 0 ⇔ 方程2 )00(ax bx c a ++=≠ 没有实数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：① 把方程化为一般形式．② 确定 a 、b 、c 的值．③ 计算24b ac -的值．④ 若 240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤ 若240b ac -<，则方程无实数根．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：① 将方程化为一元二次方程的一般形式；② 把方程的左边分解为两个一次因式的积；③ 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④ 解出这两个一元一次方程得到原方程的解． 一元二次方程解法的灵活运用直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如 ax 2 = b 或 (x +a )2 = b (0)b ≥ 或 (ax +b )2 =(cx +d )2 的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（2）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx +c = 0(a 、b 、c 为常数，0a ≠) 转化为它的简单形式 Ax 2 = B ，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．（3）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算 24b ac -的值．（4）因式分解法：适用于右边为 0(或可化为 0)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．【例 1】（1） 若 x 2a +b -3x a-b +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，求 a 、b 的值．（2） 若 n (n ≠0) 是关于 x 的方程 x 2 +mx +2n = 0 的根，则 m +n 的值为 ( )A. 1B. 2C. -1D. -2（3） 已知 43x =，则2421x x x ++的值是 .（4） 当 111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，(.n x = （ n 为自然数）【例 2】（1） 用直接开平方法解方程：2269(5) 2x x x -+=-． （2） 用配方法解方程：22310x x ++=．（3） 用分解因式法解方程：2()2136x x -=-． （4） 用公式法解方程：161432)2(2x x x x ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭例 3】（1） 解关于 x 的方程： 21 213()()0m x m x m -+-+-=． （2） 解关于 x 的方程22656223200x xy y x y --++-=． 【例 4】（1）如果方程 22()2020x px q x qx p p q -+=-+=≠和 有公共根，则该公共根为 ．（2）若方程2222100ax ax x ax a +-=--=和有公共根，求a 的值例 5】（1） 解方程：22132(10)|2|x x ---+=．（2） 解方程：221|4|x x +-=．练习2 高次方程和无理方程知识点睛1.特殊高次方程的解法:一般的高次方程没有统一的求解方法. 对于一些特殊的高次方程, 可通过降次, 转化为一元二次方程或一元一次方程求解，转化的方法有因式分解法（因式定理）、换元法、变换主元法等.2. 特殊分式方程的解法:求解分式方程总的原则是通过去分母或换元, 使其转化为整式方程, 然后再求解. 在这个过程中离不开分式的恒等变形, 如通分、约分及降低分子的次数等等, 这就有可能使方程产生增根（或遗根）.3. 特殊无理方程的解法:解无理方程的基本思路是把根式转化为有理方程求解. 转化过程中常用的方法有: 乘方、配方、因式分解、等价变换、换元、增元、对偶、利用比例性质等. 如果变形过程是非等价变形（如方程两边平方）, 可能产生增根, 因此应注意验根.精讲精练【例 6】（1） 解方程：43225122560x x x x --++=．（2）解关于 x 的方程 ()()322212 0x t x tx t t +--+-=．（3）解方程 321010x x ++++=【例 7】（1）解方程：(8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1)= 29 ；（2）解方程： x x x x x x +-=------2221120102910451069． （3）解方程：222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+．【例 8】（1）解方程：()()222323322x x x x x =+-++--． （2）解方程：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭． （3）方程()()3232232?47615180x x x x x x x x -+---++-+=全部实根是 ．【例 9】（12=．（2）解方程 266 0x x --+=．【例 10】（1）已知 2x =，求．（2）无理方程 221518x x -=-的解是 。
复系数一元二次方程求根公式
复系数一元二次方程求根公式1. 引言大家好，今天咱们来聊聊一个非常有意思的话题，那就是复系数一元二次方程求根公式。
说到这个，可能很多人都会觉得这话题听起来有些高深，甚至有点“难如登天”。
其实不然，今天我就想用一种轻松幽默的方式，带大家一起深入了解这个公式，让大家不再畏惧它，甚至觉得它有点可爱。
2. 什么是复系数一元二次方程2.1 定义首先，我们得先弄清楚什么叫复系数一元二次方程。
简单来说，这就是形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程，其中 ( a, b, c ) 可以是复数。
你看，是不是听起来挺酷的？这就像是在说，一个方程可以有多种颜色的解，真是花样百出！2.2 实际例子想象一下，你在一场派对上，看到一群小伙伴聚在一起讨论复数和方程，可能会觉得他们在讲外星人的语言。
不过，别怕！其实，复系数一元二次方程就像那种混合口味的冰淇淋，既有甜的，又有酸的，还可能有点苦的，但整体上依旧很好吃。
比如，方程( (1+i)x^2 + (2i)x + 3 = 0 )，这就是个典型的复系数方程，真是太有趣了！3. 求根公式3.1 公式解析那么，如何求解这样一个方程呢？这就要用到我们著名的求根公式啦！公式的样子是：( x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac{2a )。
听起来有点复杂，但别担心，我们来一点点剖析。
首先，注意这个“±”符号，它就像是给你两个选择的魔法钥匙，你可以随心所欲地选出你想要的根。
3.2 方程的魅力而这里的“平方根”部分 ( b^2 4ac )，被称为判别式，决定了方程的解的性质。
要是判别式大于零，那我们就能找到两个不同的实数根；要是等于零，那恭喜你，你找到的是一个重根；如果小于零，那就会出现复数根，像是在方程的世界里开了个新天地！真是精彩纷呈，犹如一场数学的魔术表演。
4. 实际应用4.1 生活中的方程说到实际应用，复系数一元二次方程可不是在书本里孤芳自赏哦，它在很多领域都发挥着重要作用，比如工程、物理、经济等等。
一元二次方程求复根的公式
一元二次方程求复根的公式摘要：一、一元二次方程的基本概念二、一元二次方程求复根的公式三、公式的应用举例四、结论正文：一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是指形如ax+bx+c=0 的方程，其中a、b、c 为常数，且a≠0。
在这个方程中，a、b、c 称为方程的系数，x 称为未知数。
一元二次方程的解为满足方程的实数或复数，通常我们通过求根公式来求解。
二、一元二次方程求复根的公式在一元二次方程中，求复根的公式为：x, x = (-b ±sqrt(b - 4ac)) / 2a其中，sqrt 表示平方根，b - 4ac 称为判别式，它决定了一元二次方程的根的情况：1.当b - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实根；2.当b - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实根；3.当b - 4ac < 0 时，方程无实根，但有两个共轭复根。
三、公式的应用举例假设我们要求解方程2x - 3x + 1 = 0 的复根，首先计算判别式：b - 4ac = (-3) - 4 ×2 ×1 = 9 - 8 = 1 > 0由于判别式大于0，因此方程有两个不相等的实根，分别为：x = (-(-3) + sqrt(1)) / (2 ×2) = (3 + 1) / 4 = 1x = (-(-3) - sqrt(1)) / (2 ×2) = (3 - 1) / 4 = 1/2所以，方程2x - 3x + 1 = 0的复根为1和1/2。
四、结论一元二次方程求复根的公式为我们提供了求解一元二次方程复数的方法，通过这个公式，我们可以计算出满足方程的复数解。
复常系数一元二次方程求根公式
当Ｉ｜｝＝ｌ时／厕＝（Ａ２＋曰２）｛［嘲（，ｒ＋导）＋汹ｎ（，ｒ＋导）］，
＝一（Ａ２＋Ｂ２）｛（嘲詈幽洒詈），
浮 因ｏｏｓ２口＝２ａⅨ产口一１＝ｏ咂｜２口一ｓｉＩｌ２口 嘲＝ 浮 口一２
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所以厅而＝±（Ａ２＋∽｛·（Ａ２＋Ｂ２）一｛（
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２
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足埋４征万程【１）甲，兵根 １。 当△１＝０
或｛以９２（”ｘ，ｙ））＋＝０Ａ０９２
定理１在方程（１）中，若ｄ＝等，其根 ｌｏ当Ａ。＞０时，方程有两复根
收稿日期：１９９８—１０—２１
万方数据
３２
南都学坛（自然科学版）第１９卷１９９９年第３期
————————＿——————－———－————————————————一＿———————＿——————————●＿———＾————————————————————————————————●＿——————————一
２一ｉ＋——广。，ｚ２。一ｉ一—Ｆ ｑ —ｂ＂４－√Ａ１．
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≯当Ａｌ－０时，方程有两相等复根
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这里定△１理＝４２ｃ在＋ｂ方２一程ｎ２（．１）中，若ｃ：竿，其根
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ｚ当△孑ｚｚ３ｔ＝＜０＝一时 一号，号＋方一！程 ［篁｛有 ；［两 ｛至；复；圣根～琶／√，，：：７了：而而一一吉吉（（６６一＋蒜蒜］］ｉｉ
复常系数一元二次方程求根公式
复常系数一元二次方程求根公式
汤光宋
【期刊名称】《南都学坛》
【年(卷),期】1999(019)003
【摘要】借助两种方法:特征方程法与公式法,推导出复常系数一元二次方程的求根公式,直接应用所得的求根公式求相应方程的根,显得格外简捷.
【总页数】5页(P31-35)
【作者】汤光宋
【作者单位】江汉大学数学系,武汉,430010
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.从主动获取走向自觉内化——《一元二次方程求根公式》实验教学的实践与探索
2.何必舍近求远——用一元二次方程的求根公式比用韦达定理证明|x1-x2|=√Δ/|a|更简捷
3.一元二次方程求根公式的教学考建议
4.一元二次方程求根公式的教学考建议
5.何必舍近求远——用一元二次方程的求根公式比用韦达定理证明∣xi-
x2∣=√?/∣a∣更简捷
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复系数方程的求解
知识点：
1.复系数方程的一般求解方法；
2.复系数方程与实系数方程解的关联性；
教学过程：
1.系数为复数的方程统称为复系数方程；
2.复系数方程的一般求解方程方法为待定系数法；
3.复系数一元二次方程的根满足韦达定理；
4.复系数一元n次方程有且仅有n个根（k重根按k个根记），此结论由高斯在1797年的博士论文中严格证明。
并称为代数基本定理
．．．．．．。
例1.解关于x的方程：
（1）2340
--=
x i
（2）2(1)0
-++=
x i x i
（3）2
i x i x i
+----=
(1)(1)260
（4）2(3)430
-+++=
x i x i
（5）22
-++--=
252(2)0
x x x x i
例2.设方程20x px k -+=有一个根是12i +。
（1）若p R ∈，求实数k 的值；
（2）若4p =，求复数k 的值；
例3.解关于x 的方程(1)(1)0,n n x x n N +--=∈。
例4.设1,,x u vi u v R =+∈是关于x 的方程20,,ax ibx c a b R ++=∈的根，求方程的另一个根；
例5.设k R ∈，关于x 的方程2(2)20x k i x ki ++++=有实数解，求k 的值，并求方程的根。
例6.已知关于x 的方程222(1)(1)0a i x a i a i +++++=有实数解，求实数a 积方程的根。
例7.已知关于x 的方程09)6(2=+++-ai x i x ,a R ∈有实数根b 。
（1）求实数,a b 的值；
（2）若复数z 满足02=----
z bi a z ，求z 为何值时，z 有最小值，并求出z 的值。
例8.关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中，12,,z z m 均是复数，且i z z 20164221+=-. 设这个方程的两个根为α、β，且满足72||=-βα.求|m |的最大值和最小值。
例9.已知方程6310x x ++=，求证：在复平面上连结(1,0)与以方程根为顶点的多边形各顶点的所有线段之积等于3．
例10.已知c o s c o s c o s s i n x y z x y z ++=++=，利用复数求证：c o s 2c o s 2x y z ++=。
例11.已知复数z 满足109111010110z z i zi ++-=，求证：||1z =。
作业：
1.解下列方程：
（1）2
z z =；（2）24||30z z -+=；（3）2250z zi --=；（4）2(3)430z i z i --+-=
2.已知关于x 的方程2(12)(31)0x i x m i ++--=有实根,试求纯虚数m 的值.
3.已知复数z 1满足：)(22,34)21(*11N n i z z i z i n n ∈+=-+=++.
(1)求复数z 1（2）求满足n z 13≤的最大正整数n.
4.已知关于x 的方程2430x zx i -++=有实数解，求复数z 的模的最小值；
5.设复数α、β对应于复平面上的点A 、B ，且04222=+-βαβα，13=+-i α，O 为原点，求OAB ∆的最大面积。
6.设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为,,,,2021z z z 求复数1995
201995219951,,,z z z 所对应的不同的点的个数；
7.关于x 的方程2120x z x z m +++=，12,,z z m C ∈的两个根,αβ满足||αβ-=，若212416200z z i ---=。
求||m 的最值。
8.已知方程2(4)40,x i x ai a R ++++=∈有实数根b ，且z a bi =+，求复数(1)(0)z ci c ->的辐角主值的取值范围。
9.如果复数||1w =，求证：关于x 的方程*1(),1n ix w n N ix
+=∈-的所有根都不是相等的实数。
10.设,,0p q C q ∈≠，关于x 的方程220x px q ++=的两个根的模相等，求证：p q
是实数。