实系数一元二次方程的根
12.3 △＜0的实系数一元二次方程的根
由上面的分析，我们发现：当△＜0 时，实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)在复数集内有虚根，并且它的虚根共扼成对 出现． 当△＜0 时，实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有一对共扼
z
_ b 4ac b 2 i b 4ac b 2 i z 2a 2a ，
(z b 2 4ac b 2 ) . 2a 4a 2
（6）
利用复数相等的定义容易看出，满足（6）式的复数 z 只有两个． 因此，当△＜0 时，实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 有且只有一
南京市劳动局职业技术培训处编印
教
对共扼虚根，它们由（4）式给出． 三、例题精讲
2 例 1：解方程 x x 2 0.
z b 4ac b 2 i 2a
_
虚根
（3）
是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根． 猜想的结论是靠不住的，需要证明． 我们把（3）式代入方程来验证：
a[ z 2 b b b z ( )2 ( )2 ] c a 2a 2a
az2+bz+c=
a( z
பைடு நூலகம்
= =
b 2 4ac b 2 ) 2a 4a
10’
南京市劳动局职业技术培训处编印
教
z
案
纸
第 5 页
_ b 4ac b 2 i b 4ac b 2 i z 2a 2a ，
3.实系数一元二次方程的根与系数的关系在判别式时仍然成立，
_ b zz , a 即： _ c zz . a
六、布置作业： P295 A 组 1、2
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系设ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根为x 1,x 2,则x 1+x 2=-，x 1.x 2=.证明：ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根为x 1,x 2,一元二次方程根与系数的关系的应用： （一）已知方程，利用根与系数1、不解方程，整体代换求含x 1,x 2的代数式的值例1：设方程x 2+3x+1=0的两根为x 1,x 2,求下列各式的值：（1）x 12+x 22（2）11x +21x （3）（x 1-3）（x 2-3）（4）（x 1-x 2）2（5）｜x 1-x 2｜2、已知含x 1,x 2的代数式的值，求方程中待定字母系数的值例2：（1）已知方程x 2+kx+k=0有两个实数根，且两根的平方和为3，求k 的值。
解：依题意：△≥0，x 12+x 22=3x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1.x 2-k 2-2k=3k 2+2k-3=0(k-1)(k+3)=0 k 1=1 k 2=-3△= k2-4k ，当k 1=1时，△＜0，应舍去，当k 2=-3时，△＞0，所以k=-3当k=-3时，两根的平方和为3。
归纳小结：△≥0是实系数一元二次方程根与系数关系的前提。
（2）若方程2x 2-mx-4=0的两个实数根x 1,x 2满足11x +21x =2，求m 的值。
（3）已知方程x 2-4x+6k=0有两个实数根的平方差为8，求k 的值。
3、一元二次方程的特殊根及根的分布 （1）一元二次方程的特殊根 ①若方程两根相等，则△＝0； ②若方程两根互为倒数，则x 1.x 2=1且△＞0；③若方程两根互为相反数，则x 1+x 2=0，即b=0且△＞0；④若方程两根绝对值相等，则△＝0或b=0且△＞0； ⑤若方程有一根为0，则c=0； ⑥若方程有一根为1，则a+b+c=0； ⑦若方程有一根为-1，则a-b+c=0；练习题：（1）已知关于x 的一元二次方程x 2+(m 2-9)x+m-1=0，当两根互为相反数时，m= ,若方程两根互为倒数，m= 。
实系数一元二次方程2010
x1
x2
2m
b a
,
x1x2
m2
n2
c a
ex3:若 1 3i 是实系数一元二次方程
x2 px q 0 的一个根,求方程另一根以
Байду номын сангаас
及p,q的值.
1-i,p=-2,q=2
例2:已知方程 x2 px 1 0 p R 的两
根为x1,x2,若|x1-x2|=1,求实数p的值.
例4：已知关于x的实系数方程x2 kx k2 3k 0 有一个模为2的虚根,求实数k的值.
K=-1
实系数高次方程
一般地,n次方程有n个根,当系数为实数时,
虚根成对出现.
例5: 2x3 4x2 bx 2 0 有一个实根为1,另
外两个根为虚根,求解方程. 1, 1 3 i
b
c
x1 x2 a , x1x2 a
解方程,因式分解
• 例1:在复数集中解方程: 2x2 4x 5 0
分解因式:2x2 4x 5
结论:
1.实系数一元二次方程ax 2 +bx+c=0若存在虚 根,那么这两根互为共轭虚根.
2.若Δ<0,设两根为x1,2=m±ni,则
实系数系数一元二次方程的虚数根
实系数一元二次方程在复数集中恒有解,特别是,当
Δ=b-2 4ac<0时,实系数一元二次方程
ax 2 +bx+c=0(a,b,c∈R,且a≠0)在复数集中有一对互
相共轭的虚数根: x b
4ac b2 i
2a
2a
容易验证,上述的两个共轭虚数根同样满足一元二 次方程中根与系数的关系,即
一元二次方程在复数集上的根
复数导学案课题：实系数一元二次方程在复数集上的根课型：新授执笔：审核: 使用时间：一、学习目标1、实系数一元二次方程在复数集上的根二、重点难点1、实系数一元二次方程在复数集上的根2、实系数一元二次方程在复数集中的解法三、学习内容1、实系数一元二次方程在复数集C上的根设a是正实数，由可知，．因此，2、一元二次方程ax2+bx+c=0,( a, b, c∈R，a≠0) (16-1-4) 的求根公式为，记判别式∆=b2-4ac．由复数集上负数开方的意义，可以得到如下结论：①②③总之，．四、探究分析1、在复数集内求下列方程的根．(1)x2+16=0；(3)x2+27=0．方法总结：2、判定下列方程根的类型，并求出方程的根．(1)2x2-5x+8=0；(2) x2-7x+4=0；(3)x2-8x+16=0；(4)2(x+1)2=-(x-3)2．方法总结：课堂训练1．把下列各数用虚单位和实数乘积表示．(1)-3的平方根；(2)-14的平方根；(3)-0.5的平方根；(4)-4π的平方根2. 在复数集中讨论下列方程的根．(1) x2-2x+3=0；(2) x2-x+6=0；(3) 2x2+2x+3=0；(4) x2-3x+6=0．．课后作业1. 在复数集内，求下列方程的根．(1)x2+9=0；(2) x2+π=0；(3) x2+49=02. 确定下述方程根的类型：(1)x2+2x+6=0；(2)x2-5x+4=0．3. 在复数集中解下列方程：(1)x2+2x+7=0；(2)2x2-3x+5=0．教学后记。
一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程是高中数学中的重要内容，它的解也是数学中的基础知识之一。
在本文中，我们将探讨一元二次方程的根与系数之间的关系。
一元二次方程的一般形式为： ax^2 + bx + c = 0 （其中，a、b、c为实数且a ≠ 0）这个方程中的根可以通过求解方程来得到。
一元二次方程的解可以分为三种情况，具体取决于判别式的值（Δ=b^2 - 4ac）。
1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。
这是最常见的情况，我们可以通过求解公式 x = (-b ± √Δ) / (2a) 来找到这两个根。
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。
这被称为方程的重根，解可以通过公式 x = -b / (2a) 求得。
3. 当Δ < 0时，方程没有实根。
在这种情况下，方程的解为复数根，我们可以用公式 x = (-b ± i√|Δ|) / (2a) 求得复数根，其中i是虚数单位。
根据以上三种情况，我们可以看出方程的根与系数之间的关系：1. 根与系数的和：根与系数的和是一个常数，可以通过视方程的一元一次项来确定。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个实根的和可以表示为 -b / a。
这是因为根的和可以通过展开方程 (x-α)(x-β) =0 和整理可得的公式(α + β) = -b / a 来求得。
2. 根与系数的积：根与系数的积也是一个常数，可以通过方程的常数项来确定。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个实根的积可以表示为 c / a。
这是因为根的积可以通过展开方程 (x-α)(x-β) = 0 和整理可得的公式(αβ) = c / a 来求得。
3. 系数的平方与根的乘积：系数的平方与根的乘积也是一个常数，它等于方程的常数项除以方程的二次项系数的平方。
即(α + β)(αβ) = c / a^2。
通过以上的分析，我们可以得出一元二次方程的根与系数之间的关系，并利用这些关系来推断方程的性质和求解方程。
一元二次方程的解法求根公式的使用技巧
一元二次方程的解法求根公式的使用技巧一元二次方程的解法是数学中的基础知识，在解决实际问题时起到了重要的作用。
其中，求根公式是一种常见的解法，它可以帮助我们快速求解一元二次方程的根。
本文将介绍一元二次方程的求根公式的使用技巧。
一、一元二次方程的形式一元二次方程通常具有以下形式：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c为实数，并且a ≠ 0。
根据这个方程的形式，我们可以使用求根公式来求解方程的根。
二、一元二次方程的求根公式一元二次方程的求根公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根，√表示开方运算。
这个公式中的分子部分可以分为两个部分，分别是-b和√(b^2 - 4ac)。
根据这个公式，我们可以通过将方程中的系数代入公式中，快速求得方程的根。
三、使用技巧在使用一元二次方程的求根公式时，有一些技巧可以帮助我们更加高效地求解方程的根。
1. 化简方程在应用求根公式之前，我们可以先对方程进行化简。
例如，如果方程的系数存在公因子，我们可以将其提取出来，以简化计算过程。
2. 辨别方程的根的性质根据一元二次方程的判别式Δ=b^2-4ac的值，我们可以判断方程的根的性质。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；- 当Δ<0时，方程没有实数根，但存在两个共轭复数根。
通过辨别方程的根的性质，我们可以在求根过程中有所侧重，提高求解的效率。
3. 使用解根公式的步骤使用一元二次方程的求根公式时，可以按照以下步骤进行：Step 1: 计算判别式Δ的值。
Δ = b^2 - 4acStep 2: 根据Δ的值进行分类讨论。
- 当Δ>0时，应用求根公式计算两个不相等的实数根；- 当Δ=0时，应用求根公式计算两个相等的实数根；- 当Δ<0时，应用求根公式计算两个共轭复数根。
Step 3: 将方程系数代入求根公式，计算出根的近似值。
一元二次方程根的分布(PPT)3-1
一、实系数一元二次方程ax2+bx+c=0 (a,b,c∈R,a≠0)的根的问题，常利用韦达 定理和判别式来解。常用结论有：1 方Leabharlann 有两个正根2 方程有两个负根
• 二、二次方程与二次函数联系紧密，关于二次 方程问题求解的另一思路是转化为二次函数来 解，因此一元二次方程根的分布问题可借助二 次函数图象来研究求解。(函数法） 抓△，对称轴的位置，特殊点的函数值
令f(x)=ax2+bx+c(a>0) 则有如下结论
1 .方程两根都大于m
思考一：他们的相同点
思考二：他们不同之处
思考三：还有哪些问题？
思考四：如何解答
•
诗人；白居易：唐代大诗人：董源：五代十国南唐画家；李清照：南宋女词人；姜夔：南宋音乐家；梁楷：南宋画家；关汉卿：元代戏曲家；马致 远：元代戏曲家；赵孟俯：元代书画家；王蒙：元末画家；朱耷：清初画家；曹沾（即曹雪芹）：清代文学家；鲁迅：中国近代文学家。[8]在天 文学家创建详细的水星地图之前，SolitudoHermaeTrismegisti(荒芜的HermesTrismegistus)被认为是水星的一大特色，覆盖了行星/的东南象限。 墨丘利，是在古斯塔夫·霍尔斯；股票入门基础知识 股票入门基础知识 特的音乐，行星组曲中运动的四棱使者。“信使 ”号撞击水星美国航天局日宣布，“信使”号水星探测器燃料即将耗尽，可能将于日以撞击水星的方式结束使命。“信使”号于年8月升空，经过 约年半的飞行于年月进入绕水星运行轨道。美国航天局副局长约翰·格伦斯菲尔德对“信使”号给予高度评价，认为该任务第一次让人们真正认识 了水星。他说，尽管“信使”号的旅程即将结束，但分析其所获数据的旅程才刚刚开始，这些数据将帮助解开水星的各种谜团。据美国航天局介绍 ，本月日，地面人员还将对“信使”号实施最后一次轨道调整，这一操作将基本耗尽“信使”号推进系统最后所剩的氦气。此后“信使”号将飞向 水星表面，预计将在月日以每秒.9公里的速度撞击水星背对地球的一关于金星的内部结构，还没有直接的资料，从理论推算得出，金星的内部结构 和地球相似，有一个半径约,公里的铁-镍核，中间一层是主要由硅﹑氧﹑铁﹑镁等的化合物组成的“幔”，而外面一层是主要由硅化合物组成的很 薄的“壳”。科学家推测金星的内部构造可能和地球相似，依地球的构造推测，金星地函主要成分以橄榄石及辉石为主的矽酸盐，以及一层矽酸盐 为主的地壳，中心则是由铁镍合金所组成的核心。金星的平均密度为.g/cm，次于地球与水星，为八大行星（冥王星已于年划归为矮行星，故称八 大行星）中第三位的。一个直径千米的铁质内核，熔化的石头为地幔填充大部分的星球。厚得多。就像地球，在地幔中的对流使得对表面产生了压 力，但它由相对较小的许多区域减轻负荷，使得它不会像在地球，地壳在板块分界处被破坏地质地貌编辑金星表面上有7%平原，%高地，%低地。在 金星表面的大平原上有两个主要的大陆状高地。北边的高地叫伊师塔地（IshtarTerra），拥有金星最高的麦克斯韦山脉（大约比喜马拉雅山高出 两千米），它是根据詹姆斯·克拉克·麦克斯韦命名的。麦克斯韦山脉（MaxwellMontes）包围了拉克西米高原（La
一元二次方程实数根
一元二次方程实数根
一元二次方程实数根是数学中的一个重要概念，它涉及到代数方程解
的求解和实数的性质等知识点。
下面将对此进行详细的介绍。
一、定义
一元二次方程的一般形式为：ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
当方程存在实数解时，这个方程就叫做一元二次方程实数根。
二、判别式
为了求解一元二次方程实数根，我们需要首先计算出它的判别式，即：Δ=b²-4ac
若Δ>0，则方程有两个不相等的实数根；
若Δ=0，则方程有两个相等的实数根；
若Δ<0，则方程没有实数根，但有复数根。
其中，Δ又被称为二次方程的根号下判别式。
三、求解
如果方程有实数根，那么我们可以使用求根公式来求解：
x1,x2=(-b±√Δ)/2a
其中x1、x2分别是方程的两个实数根，±看判别式的正负号而定。
四、性质
1. 方程的系数a、b、c可以解释为抛物线的形态、位置和大小等性质。
2. 当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 方程有两个实数根的条件是Δ>0；有一个实数根的条件是Δ=0；没有实数根的条件是Δ<0。
4. 当Δ>0时，x1和x2是两个不相等的实数，且它们的和等于-b/a，积等于c/a；当Δ=0时，它们相等，等于-b/2a。
5. 方程的根可以用Vieta公式表示：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
以上就是对于一元二次方程实数根的介绍，相信大家对此有了更加深入的理解和掌握。
在实际应用中，了解和灵活运用这些知识点可以帮助我们更好地解决实际问题。
高二数学实系数一元二次方程1
上海市新中高级中学 陶志诚
一、复习 1、一元二次方程ax2 bx c 0(a、b、c R且a 0)
的求根公式 当 b2 4ac 0时，方程有两个实数根：x b b2 4ac
2a 2a
2、-1的平方根是: i
设问①：一元二次方程 x2 1 0在复数范围内有没有解？
x2 ax 4 0(a R)
例2、已知一元二次方程x2 mx n 0(m、n R)，
试确定一组m、n 的值，使该方程分别有两个
不相等的实数根、两个相等的实数根、两个虚
数根，并解方程.
例3、在复数集中分解因式：
（1）x2 x 2； （2）2x2 4x 5
.
2、实系数一元二次方程中根与系数的关系：
设问②：在复数范围内如何解一元二次方程x2 x 1 0？
二、新课
1、实系数一元二次方程在复数集C中解的情况：
设一元二次方程 ax2 bx c 0(a、b、c R且a 0)
原方程可变形为
x2
b a
x
c a
即
(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
（1）当 b2 4acBiblioteka 0时，原方程有两个不相等的实数根
实系数一元二次方程ax2 bx c 0(a、b、c R且a 0)
根与系数的关系： x1 x2
b a
，x1 x2
c a
例4、已知3i 2是关于x的方程 2x2 px q 0 的一个根，求实数p、q的值.
三、课堂练习 见课本P91练习13.6（1）； P92练习13.6（2）T1.2.3.
四、课堂小结
五、课后作业 1.书面作业：练习册P55 习题13．6 A组 T1.2.3.4.5.
一元二次方程根的判别式、根与系数关系(201910)
例4：求证关于x的方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根。
证明：△=[-（m+2）] 2-4（2m+1）=m2 -4m+8=（m-2）2 + 4 ∵不论m为何实数（m-2）2≥0 ∴（m-2）2+4一定是正数 既△＞0 ∴方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根
例5：已知a是实数且方程x²+2ax+1=0 ①有两个不相等的实根。试判别方程 （2a 2-1）x²+2ax+2a 2-1=0 ②没有实根
例3：当m为何值时，方程（m-1）x²+2mx+m+3=0
①﹑无实根 ②﹑有实根
③﹑只有一个实根
④﹑有两个实根 ⑤﹑有两个不等实根 ⑥﹑有两个相等实根
分析 （1）﹑只需△<0 （2）、分情况讨论 ① m-1=0 ② △≥0 且m-1≠0 （3）﹑当m-1=0时 （4）、 △≥0 且 m-1≠0 （5）、△＞0 且 m-1≠0 （6）、 △=0 且 m-1≠0
一元二次方程根的判别式、 根与系数的关系
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式是一个比较重要的知识点，它的应用很广泛，既可以 用来判断一元二次方程根的情况，还是后续知识点的基础和准备。另一方面， 根的判别式也能独立形成综合题。
一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0（a≠0）的判别式：△=b 2－4ac
解：∵方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根 ∴Δ 1=4a²-4＞0 既a²＞1 方程②中a＞1 ∴ 2a²-1＞1≠0 既方程②为一元二次方程 Δ 2=4a²-4（2a-1）2=-4（4a-1）（a-1） ∵a²＞1 ∴a²-1＞0 ∴（4a²-1）＞0 2=-4（4a²-1）（a²-1）<0 ∴方程②无实根
复数集内非实系数一元二次方程的根的问题
小结：数集从实数扩大到复数，数 的性质发生变化，在实数范围内成 立的性质不一定在复数范围成立。 因此，凡是涉及到复数的有关问题 决不能照搬实数的情况。
例.已知2i 3是关于x的方程 2 x px q 0的一个根，求实数
2Hale Waihona Puke p，q的值。[解析] x＝2i-3 是方程的实根，代入方程并整理得 (10-3p+q)＋(2p-24)i＝0.
1.对于实系数一元二次方程
ax bx c 0 ( a, b, c R, a 0 )
2
0 时方程有两相异实根 0
0
x1, 2
b 2a
时方程有两相等实根 x1, 2
b 2a
b i 时方程有两共轭虚数 x1,2 2a
（2）对于系数不全是实数的方程一般 情况下：首先考虑因式分解；然后考虑 用复数相等的条件来求解；求根公式也 是一种方法。 （3）对于不全是实数的一元二次方程 2 ax bx c 0 的几个结论： 判别式失效； 求根公式、韦达定理仍然适用， 但根不一定是共轭复数。
10 3 p q 0 由复数相等的条件得 2 p 24 0
p 26 解得 q 12
例．已知关于 x 的方程 x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0 有实根， 求这个实根以及实数 k 的值．
[解析] 设 x＝x0 是方程的实根，代入方程并整理得
(x2 0＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
2 x 0＋kx0＋2＝0， 由复数相等的条件得 2x0＋k＝0，
x0＝ 2 x0＝－ 2， 解得 或 k＝－2 2 k＝2 2.
∴方程的实根为 x＝ 2或 x＝－ 2， 相应的 k 的值为 k＝－2 2或 k＝2 2.
一元二次方程的根与系数的关系与解决实际问题(解析版)
第3天一元二次方程的根与系数的关系与解决实际问题【知识回顾】1．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：△当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；△当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；△当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．2．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，12bx xa+=-，12cx xa⋅=．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：△不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．△已知方程及方程的一个根，求另1一个根及未知数．△不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．△判断两根的符号．△求作新方程．△由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．3．由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．一．选择题（共10小题）1．（2020·云南一模）若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，则11+αβ的值是（）A．13-B．13C．﹣3D．3【答案】B【解析】△α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，△α+β＝﹣2，αβ＝﹣6，则11+-21 +===-63αβαβαβ，故选B．2．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）下列一元二次方程两实数根和为-42的是（）A．2240x x--=B．2440x x-+= C．24100x x++=D．2450x x-=+【答案】D【解析】A中1222 1x x -+=-=，故错误；B中12-44 1x x+=-=，故错误；C中24164024＜0b ac∆=-=-=-，故错误；D中124-4 1x x+=-=，故准确；故答案选D．3．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）方程22310m m-+=和方程224m m-=-所有实数根之和为（）A．72B．32C．32-D．92【答案】B【解析】34△方程22310m m -+=根的判别式2=(-3)42110∆-⨯⨯=＞△方程22310m m -+=有两个实数根△两根之和为32△方程224m m -=-的根的判别式2=(-2)414-120∆-⨯⨯=＜△方程224m m -=-无实数根△方程22310m m -+=和方程224m m -=-所有实数根之和为32故选：B 4．（2020·渠县第四中学期中）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两根，则x 1＋x 2－x 1·x 2的值是（ ）A ．1B ．3C ．－1D ．－3 【答案】B【解析】由题意知：122x x +=，12-1x x ⋅=，△原式＝2－（－1）＝3故选B ．5．（2020·江苏如东二模）若x 1，x 2是方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两个根，则x 1+x 2﹣x 1•x 2的值是（ ） A ．﹣5B ．﹣1C ．5D ．15【答案】C【解析】根据题意得x 1+x 2=3，x 1x 2=﹣2，所以x 1+x 2﹣x 1•x 2=3﹣(﹣2)=5．故选：C ．6．（2020·内蒙古海勃湾期末）一元二次方程2310x x -+=的两个根为12,x x ，则2121232x x x x ++-的值是（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】D【解析】 1x 为一元二次方程2310x x -+=的根，21131x x ∴=-，2121232x x x x ∴++-=()12121212313233x x x x x x x x -++-=++-．根据题意得123x x +=，121=x x ，212123233137x x x x ∴++-=⨯+-=．故选：D ．7．（2020·银川市第十五中学一模）已知关于x 的方程x 2－4x ＋c ＋1＝0有两个相等的实数根，则常数c的值为( )A．－1B．3C．1D．0【答案】B【解析】△方程x2−4x+c+1=0有两个相等的实数根，△△=(−4)2−4(c+1)=12−4c=0，解得：c=3.故答案选B.8．（2019·广东郁南月考）某中学要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（毎两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，求参加的球队支数，如果设参加的球队支数为x，则可列方程为（）A．12x（x+1）=21B．x（x+1）=21C．12x（x﹣1）=21D．x（x﹣1）=21【答案】C【解析】解：设邀请x个队，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：12x（x-1）=21，故选：C．9．（2020·深圳市宝安区北亭实验学校）若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的一根，则这个三角形的周长为( )67A ．7B ．3或7C ．15D ．11或15【答案】C【解析】x 2−10x+21=0，(x−3)(x−7)=0，则x−3=0，x−7=0，解得：x=3或7， 当x=3时，2+3=5<6，不能组成三角形，故x=3不合题意舍去，当x=7时，2+6=8>7，可以组成三角形，则三角形的周长为2+6+7=15，故答案选C.10．（2020·湖南隆回一模）扬帆中学有一块长30m ，宽20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm ，则可列方程为（ ）A ．()()3302020304x x --=⨯⨯B ．()()130********x x --=⨯⨯8C ．130********x x +⨯=⨯⨯ D ．()()33022020304x x --=⨯⨯ 【答案】D【解析】 设花带的宽度为xm ，则可列方程为330220203(4())0x x --=⨯⨯， 故选D ．二．填空题（共5小题） 11．（2020·江苏高淳期末）一元二次方程x 2+mx+2m=0的两个实根分别为x 1，x 2，若x 1+x 2=1，则x 1x 2=______.【答案】-2．【解析】根据题意得x 1+x 2=-m=1，x 1x 2=2m ，所以m=-1，所以x 1x 2=-2．12．（2020·温州市第二十三中学）已知关于x 的方程260x x a ++=有一个根是-2，则方程的另一个根是___________．【答案】-4【解析】因为已知关于x 的方程260x x a ++=有一个根是-2，9 所以由12b x x a+=-得2226,4x x -+=-∴=-． 故答案为-4． 13．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）若,a b 是方程2220060x x +-=的两根，则23a a b ++= ．【答案】2004．【解析】2220060x x +-=的两根△a+b=-2，222006a a +=，△223=2+a =2006-2=2004++++a a b a a b故答案为：200414．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）如果关于x 的一元二次方程()20ax b ab =>的两个根分别是11x m =+与224x m =-，那么b a的值为__________. 【答案】4【解析】方程化为一般式为：ax 2-b=0x 1+x 2=m+1+2m -4=0 △x 1·x 2=（m+1）（2m -4）=-b a △10解方程△，得m=1把m=1代入△，得b a=-2×（-2）=4. 故答案为：4.15．（2019·上海交大附中）设方程( 1) (11)(11)(21)x x x x ++++++(1)(21)0x x ++=的两根为12,x x ，则()()1211x x ++=______． 【答案】2003【解析】(1)(11)(11)(21)1)(20(1)x x x x x x ++++++++=， 221211x x x ∴++++23223122210x x x ++++=， 23662630x x ∴++=．△3a =，66b =，263c =，224664326343563156b ac ∆=-=-⨯⨯=-=12000>， 1212263223x x b a a x c x =-=∴+=-=，． ()()()1212122631112213x x x x x x ++=+++=-+=2003． 故答案为：2003． 三．解析题（共5小题）1116．（2019·广东郁南月考）关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】(1)△Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，△－8k ＋4≥0，△k ≤12； (2)△x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，△2(k －1)＝1－k 2，△k 1＝1，k 2＝－3.△k ≤12，△k ＝－3. 17．（2020·甘肃省庆阳市第五中学期末）已知关于x 的一元二次方程()222120x k x k k -+++=有两个实数根12,x x ．（1）求实数k 的取值范围．（2）是否存在实数k ，使得()22121216x x x x +-=成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）14k ≤；（2）存在这样的实数k ，k 的值为3-． 【解析】（1）由题意得：方程的根的判别式[]22(21)4(2)0k k k ∆=-+-+≥，12 解得14k ≤； （2）由一元二次方程根与系数的关系得：2121221,2x x k x x k k +=+=+，则()()2222121211221223x x x x x x x x x x +-=++-， ()212123x x x x =+-， ()()222132k k k =+-+， 221k k =-+，当()22121216x x x x +-=时，22116k k -+=， 即22150k k --=，因式分解得：(3)(5)0k k +-=，解得3k =-或154k =>（不符题意，舍去）， 故存在这样的实数k ，k 的值为3-．18．（2020·四川南充月考）关于x 的方程2220x mx m m -+-=有两个不相等的实数根12,x x .（1）求m 的取值范围.（2）若221212x x +=，求211214x x x x +-的值.13【答案】（1）0m >；（3）0【解析】（1）△1a =，2b m =-，2c m m =-，△()()2224241b ac m m m =-=--⨯⨯- 40m =>△0m >；（2）由根与系数的关系，得：212122x x m x x m m +==-，，△221212x x +=，△()21212212x x x x +-=，△()224212m m m --=， △2+60m m -=，解得2m =或3m =-（舍去），△原方程为2420x x -+=，△212112420x x x x =-+=，，△211214220x x x x +-=-+=．19．（2020·湖南茶陵期末）已知关于x 的一元二次方程240x x m -+=．14（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程的两个实根为12,x x ，且满足12326x x +=，求实数m 的值．【答案】（1）4m ≤；（2）12=-m ．【解析】（1）△原方程有实数根，△方程的根的判别式1640m ∆=-≥，解得4m ≤；（2）由一元二次方程的根与系数的关系得：12441x x -+=-=， 又121211322()246x x x x x x +=++=⨯+=，12x ∴=-，将12x =-代入原方程得：2(2)4(2)0m --⨯-+=，解得12=-m ．20．（2020·渠县第四中学期中）某商场试销一件成本为60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y ＝kx ＋b ，且x ＝65时，y ＝55；x ＝75时，y ＝45．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)若该商场想获得利润500元，求销售单价．【答案】（1）y ＝－x ＋120(60≤x≤120)；（2）销售单价为70元或110元．【解析】解：(1)根据题意，得6555 7545k bk b+=⎧⎨+=⎩解得1120 kb=-⎧⎨=⎩△一次函数关系式为y＝－x＋120(60≤x≤120)．(2)(－x＋120)(x－60)＝500，整理得x2－180x＋7700＝0．解得x1＝70，x2＝110，答：当销售单价为70元或110元时，该商场获得500元利润．15。
一元二次方程的实数根与系数的关系
一元二次方程的实数根与系数的关系一元二次方程，听起来像是数学老师的专属词汇，其实它在我们生活中也常常出现。
比如，咱们在街头看到的一个漂亮的拐角，或者是手机屏幕上滑动的那一瞬间，都是有数学原理在背后默默支撑着。
今天就来聊聊这个一元二次方程的实数根和系数之间那点儿关系，听起来高大上，其实说白了就是个有趣的故事。
让我们把焦点放在一元二次方程上。
简单来说，它的形式就是 (ax^2 + bx + c = 0)。
在这儿，(a)、(b)、(c) 是系数，而(x) 是我们要找的根。
要是没有这几个小家伙的配合，方程就成了无本之木，空中楼阁。
想想看，系数就像是调料，少了盐就没滋味，多了糖又显得腻味。
说到底，数学也需要点儿人情味嘛。
我们来聊聊什么叫实数根。
简单说，就是方程的解，能够给我们带来真实的、能触摸到的结果。
咱们常说“鱼和熊掌不可兼得”，这在一元二次方程中可不一定。
只要系数们的配合得当，根就能如期而至。
不过，假如 (b^2 4ac) 小于零，哎呀，那就麻烦了，方程就没有实数根，仿佛在说：“我不想跟你见面。
”这个时候，数学就像个小孩子，心情不好就不想和你玩。
说到这里，不妨想象一下，如果 (b^2 4ac) 大于零，那就意味着方程有两个不同的实数根，简直就像是双胞胎兄弟，活泼又有趣，随时都能给你带来惊喜。
再如果这个值等于零，哎，那就成了一对恋人，甜蜜而单一，只有一个实数根。
实数根的出现真是让人捉摸不定，有时像个谜题，有时又像个明信片，带着期待送到我们手中。
再看看系数们的故事，(a) 是领导，得稳重，不能太小，太小就像一棵苗，根基不稳。
可是，(a) 太大了，又会让我们觉得沉重，像是背着一座大山。
接着是 (b)，它就像是我们生活的调味剂，过于酸涩或甜腻都会让人觉得难受，正好得掌握个平衡。
而 (c)像是情感的积累，带着过去的故事，轻描淡写却意义非凡。
每个系数都有自己的个性，彼此之间的互动又让这个方程充满了戏剧性。
其实啊，数学的美在于它的对称。
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
之差的绝对值．因而应用此类关系式可以确定抛物线的解析式．
思考题：1、已知x 1，x 2是一元二次方程2x 2-2x+m+1=0的两个实数根， （1）、求m的取值范围 （2）、如果x 1，x 2满足7+4 x 1﹒x 2＞x 1 2+x 2 2 且m为整数，求m的
值。
2、已知x 1，x 2是关于x的一元二次方程x 2+2mx+m-1=0的两个负实数根， 且 X 1 2+x 2 2 =8。求m的值
分析：本题要求已知一元二次方程x 2＋px＋q＝0中的字母系数p、q的值，只要 利用题目的条件，把p、q的关系式列出，再通过变形得到关于p、q的方程组， 解此方程组即可求出p、q．
解：设方程的两实数根分别为x 1、x 2则由根与系数的关系，得
X 1＋x 2＝－p，x 1·x 2＝q， ……① 又由题意得(x 1＋x 2) 2＝x 1·x 2＋7 ……②
三：以两个数为根作一元二次方程
以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0
例3：分别以x 2+3x-2=0的两根和与两根积为根的一元二次方程是： 分析：本题求一个已知两个根的一元二次方程，关键是要求出两个根的和与两根的积。
四、不解方程，求与根有关的代数式的值
例2：m为何实数时，方程4x 2＋(m－2)x＋m－5＝0的根都小于零？ 分析：要使原方程的根都小于零，必需Δ ≥0， x 1＋x 2<0 ， x 1·x 2＞0
例3：如果两圆圆心距等于2，半径分别为R，r，且R，r是方程4x 2－20x＋ 21＝0的两个根，判断两圆的位置关系．
综合应用，主要是与三角、几何和函数等知识综合应用
论文：浅谈一元二次方程的整数根问题
此文发表在《中学数学杂志》2012年第6期（总第272期、教研版）上浅谈一元二次方程的整数根问题在各级各类的初中数学竞赛中,一元二次方程的整数根问题备受命题者的青睐,本文介绍几种求一元二次方程的整数根的方法以及与此有关的问题的解法.1、整系数一元二次方程整数根的求法：➊利用判别式：整系数一元二次方程有整数解时，判别式是完全平方数，利用这条性质可以确定整参数的值，但需验证这些值是否使方程的根为整数。
例1、设m 是整数，4<m<40,方程x 2-2(2m-3)x+4m 2-14m+8=0有两个整数根，求m 的值。
解：已知方程的判别式⊿=4(2m+1),它是一个完全平方数，所以2m+1也是一个完全平方数。
又∵4<m<40，∴9<2m+1<81,从而2m+1=25或49, ∴m=12或者24。
代入已知方程，得：x=16,26或x=38,52.综上所述，所求m 的值为12，24。
➋利用韦达定理：利用韦达定理处理二次方程有两整数根，其思路是由x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=c a消去其中的参数，得整数根x 1,x 2的一个不定方程，解这个不定方程可求得其整数根，从而可确定方程中参数的值，最后需验证所求的参数值满足⊿≥0。
例2、求一切实数k,使得关于x 的方程:5x 2-5kx+66k-1=0的两根均为正整数。
解：设x 1,x 2是方程的正整数解，则⎩⎨⎧x 1+x 2=kx 1x 2=66k-15消去k,得：5x 1x 2=66(x 1+x 2)-1 ∴(5x 1-66)(5x 2-66)=4351=19×229不妨设x 1≤x 2,则 ⎩⎨⎧5x 1-66=195x 2-66=229∴x 1=17, x 2=59. ∴k=x 1+x 2=76 又⊿=25k 2-20(66k-1)=25×762-20×(66×76-1)=2102>0∴k=76为所求。
复数集内实系数一元二次方程的根的问题
1、在复数范围内求解方程(求根公式或因பைடு நூலகம்分解)
2、有关结论
(1)实系数一元二次方程在复数范围内定有两个根
•
•• 0，方程有两个不相等的实数根x1、2 0，方程有两个相等的实数根x1、2
b
b2a 2a
2a
(2)0，0方时程，有虚一数对根共成轭对虚且根x共1、2 轭 2ba
2、实系数一元二次方程根与系数的关系
3、在复数范围内分解因式
例2、已知3i 2是关于x的方程2 x 2 px q 0
的一个根,求实数p, q的值．
解：x1 2 3i是方程的一个虚根
方程2x2 px q 0的另一虚根是x2 2 3i
x1 x1
x2 x2
p 4 2
q 13 2
在实数集内，若实系数一元二次方程ax2 bx c 0
有根x1、x2 ,则ax2 bx c可因式分解为a(x x1)(x x2 )
在复数集内，若实系数一元二次方程ax2 bx c 0
有根x1,x2 ,则ax2 bx c可因式分解为a(x x1)(x x2 )
p8 q 26
韦达定理依然成立
四、课堂练习
ex1、在复数集中解方程：
(1) x 2 2 0
(2) x 2 x 1 0
(3) x 2 2ix 2 0
ex 2、 在 复 数 集 中 分 解 因 式：
(1) x 2 6 ( x 6i)( x 6i)
(2) x 4 16 (x 2i)( x 2i)( x 2)( x 2)
c语言求一元二次方方程的所有根(实根和复根)
c语言求一元二次方方程的所有根(实根和复根)文章标题：深度剖析：C 语言求解一元二次方程的所有根一、引言在实际的编程开发中，求解一元二次方程是一个常见的需求。
无论是对于数学和物理计算的模拟，还是在工程技术的应用中，我们都需要一个高效、精确地求解一元二次方程的方法。
在本文中，我们将重点探讨如何利用C 语言来求解一元二次方程的全部根，包括实根和复根。
二、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式可以表示为：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c 分别为方程的系数，x 表示未知数。
在实际编程中，我们需要根据给定的系数来求解方程的根。
三、求解实根1. 判断判别式我们需要计算一元二次方程的判别式Δ，判别式可以根据系数 a、b、c 计算得出：Δ = b^2 - 4ac2. 根据判别式的不同情况进行分类讨论- 当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根，可以通过以下公式求解： x1 = (-b + √(Δ)) / (2a)x2 = (-b - √(Δ)) / (2a)- 当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根，可以通过以下公式求解： x = -b / (2a)- 当Δ < 0 时，方程没有实根，但是可以求得一对共轭复根，可以通过以下公式求解：实部 Re = -b / (2a)虚部Im = √(|Δ|) / (2a)四、求解复根1. 使用复数的数据类型在 C 语言中，我们可以使用复数的数据类型来表示和求解复根。
C 语言中复数的表示形式为“_Imaginary”。
2. 求解共轭复根当一元二次方程的判别式Δ < 0 时，我们需要求解一对共轭复根。
可以使用以下公式来求解：z1 = Re + Im * Iz2 = Re - Im * I五、总结与回顾通过对 C 语言求解一元二次方程实根和复根的分析，我们可以得出以下结论：- 利用 C 语言的数学库函数和复数数据类型，可以精确、高效地求解一元二次方程的全部根；- 对于不同情况下的判别式，我们可以灵活地应用不同的求根公式，得到实根或者共轭复根；- 在实际的编程开发中，我们需要考虑对参数的检验和异常处理，以保证程序的稳定性和准确性。
二次函数根和系数关系
一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理，其逆定理也成立，它是由16世纪的法国数学家韦达发现的．它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系，它形式简单但内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用．【知识要点】，，的两根为，那么，1．如果方程(a≠O)这就是一元二次方程的根与系数的关系．2．如果两个数的和为m，积为n，则以这两个数为根的一元二次方程为．3．若已知一元二次方程的一个根，可不直接解原方程，利用根与系数关系，求出另一根．4．求一元二次方程根的对称式的值，关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式．若，则方时：≠O)有两根(1)5，．当一元二次方程(a，，则方程有两个正根；(3)程有一正一负根；(2)若若，，则方程有两个负根．【趋势预测】利用根与系数关系，可以解决许多有关方程的问题，有些非方程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程，然后用一元二次方程的知识来解．因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面：①求方程中字母系数的值或取值范围；②求代数式的值；③结合根的判别式，判断根的符号特征；④构造一元二次方程解题；⑤证明代数等式，不等式；⑥与一元二次方程的整数根有关的问题．【范例解读】已知二次方程(ac≠0)有两异号实根m和·陕西题1 (1997) n，且m<n，( )那么，二次方程的根的情况是(A) (B)有两个正根有两个负根无实数根(D)(C)两根异号的判别式的符号．如果由判别式符号确定方程首先考虑方程分析．有实根，还要通过根与系数关系来确定两根的正负号．解∵m，n异号且m<n，，．，从而∴m<0，n>0方程的判别式：，故方程必有两实根．，则由根与系数关系得，设这两个实根为，均为负数，故选(A)，可知．，的两个实根，c和(1997题2·上海) 若a和b是方程d是方程是方程f的两个实根，e和的两个实根，则的值为_____________．，-2q，将，c+d＝-2p3＝，ef＝3，a+b＝3 分析由已知可得ab＝，cd(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)展开，把上列数值代入，可得所求值．但若全部展开，结果很繁，因此考虑局部展开，分步代入．解由方程根与系数关系得，，则-2qc+d＝-2p33，cd＝，ef＝，a+b＝，ab=3，不解方程，求β>α的两根，是方程β，α已知) ·祖冲之杯(19963题．的值．分析待求式中α，β是不对称的，但根与系数的关系具有对称性，应设法构造一个与待求式相对应的代数式一起辅助解决问题．解由根与系数的关系得α+β=7，αβ＝8，，∴．，故，．因α>β，令，从而记，．∴，其中m已知，，n·江苏题4 (2000) 为实数，则__________.分析根据两个方程系数的特点，可作恰当的变形，使两个方程具有相同的结构．把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程，然后用根与系数关系来求值．解由已知等式可变形成与，，的关系没有给定，故应分两种情况：由于m；时，①当．是方程的两个根，则由根与系数关系，②当时，可知m，．得．∴或综合①，②得.的两个实根为α，β，题5(1996·江苏) 设为根的一元二次方程；(1)求以，为根的一元二次方程仍是若以，求所有这样的一元二次方程．(2) ，根据方程根与系数关系求的值，由此即可作出新方程；根据新方和分析程的一次项系数等于-p，常数项等于q，可求得p，q的值．解(1)由根与系数β＝q，关系得α+β＝p，α，∴．所求方程是；由题意得(2) 则根据七种情况的值依次得以下七个方程：，，，，，，．.其中仅无实数根，舍去故所有这样的一元二次方程有六个，分别为：．，，，，，题6(2000·全国) 设关于x的二次方程的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．分析根据方程系数的特点，可先用十字相乘法求出方程两根，然后利用两根都是整数设法先消去是求得两根后，再求出是的值．解原方程可化为．∵(k-4)(k-2)≠0，∴解得方程两根为，，，∴，∴．消去k ，得，由于都是整数，故，．3 对应的k的值分别为6，【方法指引】1．构造对偶式法．对一个已知代数式或一个已知命题，我们构造一个与之对应的代数式或对应的命题，然后一起参与运算(通常是加、减、乘、除)，从而使问题获得巧解．这种方法称为构造对偶式法．常用的构造方法有利用倒数关系、有理化因式、配对等．2．解一元二次方程的整数根问题的基本方法有：(1)直接求解法．若根可用有理式表示，则先求出根，再结合整除性求解．(2)利用判别式法．在二次方程有根的前提下通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举法讨论，不等式分析求解．(3)运用根与系数的关系．由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解．(4)巧换主元法．若运用相关方法直接求解困难时，可选择换主元的方法，结合整除知识求解．【综合能力训练】，另两边长恰好是方程的两根，那么mABC．△的一边长为5的取值1 范围是________________．k2的两实根，且．设是方程，，则的值是( )(A)-3或1 (B)-3不小于的一切实数(C)1 (D)，它也是方程的两个根，α，3β．若方程的两根为．则p=_____________，则的值是≠1，及，且有( )．若4ab(D) (C)(A) (B)是方程sinB°，若90sinA和．在5Rt△ABC中，∠C＝的两根，求∠A和∠B的度数及k的值．的方程x值，使关于的根都是整6．求满足如下条件的所有k 数。
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即原方程有两个根： x1 = 1 + 2i x 2 = 1 − 2i (2)因为∆=b2-4ac=1-24=-23<0，所以方程有一对共轭复根： 1 1 (1 ± −23) = (1 ± 23i) x1,2=
2 2
即原方程有两个根： 1 23 1 23 x1 = + i x1 = − i 2 2 2 2
22
（ （、 、 ）、 、 ）
2+3i,求: (1)另外一个根;
，
b c x1 ⋅ x 2 = x1 + x 2 = − a a (2)如果a=2,求出b,c.
六.小结
共轭复数的概念与求解 判断实系数一元二次方程的根类型 在复数集内解实系数一元二次方程
七.作业
课本117第 课本117第3题,119页第2题 ,119页第2
解 (1)因为x2=-16，所以x= ± 4i； (2)因为x2=-2/7，所以x=
±
14 7
例5： 判定下列方程根的类型． (1)2x (1)2x2-5x+8=0； (2) x2-7x+4=0； +8=0； +4=0； (3)x2-8x+16=0； (4)2(x+1)2=-(x-3)2． (3)x +16=0； (4)2(x =(-5)28=-39<0，所以原方程有一对共轭复根； 解 (1)∆=(-5)2-4×2×8=-39<0，所以原方程有一对共轭复根； (2)∆=(-7)2-4×1×4=33>0，所以原方程有两个相异实根； =(-7)24=33>0，所以原方程有两个相异实根； (3)∆=(-8)2-4×1×16=0，所以原方程有两个相等实根； =(-8)216=0，所以原方程有两个相等实根； (4)整理原方程，得2(x2+2x+1)=-(x2-6x+9), 即 (4)整理原方程，得2(x +2x+1)=3x2-2x+11=0； +11=0； ∆=(-2)2-4×3×11=-128<0, =(-2)211=所以原方程有一对共轭复根．
课堂练习1 课堂练习1
1：求下列复数的共轭复数． (1)1-3i；(2)4i+3；(3)-4i；(4)0；(5) -7+i．
2：已知z的共轭复数 z，求z： (1)0.5； (2) 9i； (3) -4+0.5i; (4)4-0.5i
例3：
已知2 x + (2 y − 1)i = 3 + 2i, 其中x、y ∈ R，求x与y。
例6：在复数集中讨论下列方程的根． (1) x2-2x+3=0； +3=0； (2) x2-x+6=0； +6=0； (3) 2x2+2x+3=0； (4) x2-3x+6=0． 2x +2x+3=0； +6=0．
解(1)因为∆=b2-4ac=4-12=-8<0，所以方程有一对共轭复根：
1 1 (2 ± −8) = (2 ± 2 2i ) x1,2= 2 2
−b± ∆ 2a
∆ = 0有两相等实根
∆<0
−b 2a
− b ± | ∆ |i 2a
有两虚根
四.实系数一元二次方程的根
方程 （1） （2） （3）
∆>0
ax + bx + c = 0 （
2
a ≠ 0、a b c ∈） 、 R
有两实根
−b± ∆ 2a
∆ = 0有两相等实根
∆<0
−b 2a
有两共轭虚根
.
z = a + bi ⇔ z = a − bi
例1：求下列复数的共轭复数． z1=2+3i；z2=-3-5i；z3=-6i+4；z4=2.5i；z5=9． 解: z1=2-3i；z2=-3+5i；z3=6i+4；z4=-2.5i；z5=9． 例2：已知z的共轭复数 z，求z： z1=1-i；z2=-1+i；z3=2i 解: 因为z=z 所以z1=1+i；z2=-1-i；z3=-2i．
方程2x=5在整数集Z 方程2x=5在整数集Z中无解
扩充后的有理数集Q 扩充后的有理数集Q中则有解
方程2x 2在有理数集Q 方程2x = 2在有理数集Q中无解
在实数集R 在实数集R中则有解
方程 （1） （2） （3）
∆>0
ax + bx + c = 0 （
2
a ≠ 0、a b c ∈） 、 R
有两实根
课堂练习2 课堂练习2
1．判断下列方程根的类型 x2+2x+6=0 x2-5x+4=0 2．在复数内求下列方程的根 x2+2x+7=0 x2-3x+5=0
五.两根和与积(推广) 两根和与积(推广)
已知方程
ax + bx = 0 a 0 ∈ a bc ∈ R ax +bx + c+ c =≠0a bac ≠ 0R 其中一个根为复数
∆ −b ± i 2a 2a
因为x2=-1,所以在复数集内负数是可以开方的, − b ± ∆ i2 − b ± i ∆ −b± ∆ = = 开方的结果是一个纯虚数,因此实系数一元二次 2a 2a 2a 方程在复数集内总存在根
例4： 在复数集内求下 列方程的根． (1)x2+16=0 (1)x (2)x2+2/7=0． (2)x2+2/7=0．
解: 根据共轭复数的性质，得
2x=3, 2y-1=-2.
解之得x=1.5,y=-0.5
练一练
已知x + (4 y + 1)i = −4 − 3i, 其中x、y ∈ R，求x与y。
三.方程求解
方程x+5=3在自然数集N 方程x+5=3在自然数集N中无解 扩充后的整数集Z 扩充后的整数集Z中有解
谢 谢
热烈欢迎各位 专家和领导 莅临指导
实系数一元二次方程的根
泗阳中等专业学校 周其兵
一.知识目标
掌握共轭复数的概念并能求解复数的共轭 复数 会判断实系数一元二次方程的根类型 能在复数集内解实系数一元二次方程
二.共轭复数
共轭复数:实部相同, 共轭复数:实部相同,虚部相反的两个复数叫做共轭 复数
记作