实系数一元二次方程的根
12.3 △＜0的实系数一元二次方程的根
由上面的分析，我们发现：当△＜0 时，实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)在复数集内有虚根，并且它的虚根共扼成对 出现． 当△＜0 时，实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有一对共扼
z
_ b 4ac b 2 i b 4ac b 2 i z 2a 2a ，
(z b 2 4ac b 2 ) . 2a 4a 2
（6）
利用复数相等的定义容易看出，满足（6）式的复数 z 只有两个． 因此，当△＜0 时，实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 有且只有一
南京市劳动局职业技术培训处编印
教
对共扼虚根，它们由（4）式给出． 三、例题精讲
2 例 1：解方程 x x 2 0.
z b 4ac b 2 i 2a
_
虚根
（3）
是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根． 猜想的结论是靠不住的，需要证明． 我们把（3）式代入方程来验证：
a[ z 2 b b b z ( )2 ( )2 ] c a 2a 2a
az2+bz+c=
a( z
பைடு நூலகம்
= =
b 2 4ac b 2 ) 2a 4a
10’
南京市劳动局职业技术培训处编印
教
z
案
纸
第 5 页
_ b 4ac b 2 i b 4ac b 2 i z 2a 2a ，
3.实系数一元二次方程的根与系数的关系在判别式时仍然成立，
_ b zz , a 即： _ c zz . a
六、布置作业： P295 A 组 1、2
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系设ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根为x 1,x 2,则x 1+x 2=-，x 1.x 2=.证明：ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根为x 1,x 2,一元二次方程根与系数的关系的应用： （一）已知方程，利用根与系数1、不解方程，整体代换求含x 1,x 2的代数式的值例1：设方程x 2+3x+1=0的两根为x 1,x 2,求下列各式的值：（1）x 12+x 22（2）11x +21x （3）（x 1-3）（x 2-3）（4）（x 1-x 2）2（5）｜x 1-x 2｜2、已知含x 1,x 2的代数式的值，求方程中待定字母系数的值例2：（1）已知方程x 2+kx+k=0有两个实数根，且两根的平方和为3，求k 的值。
解：依题意：△≥0，x 12+x 22=3x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1.x 2-k 2-2k=3k 2+2k-3=0(k-1)(k+3)=0 k 1=1 k 2=-3△= k2-4k ，当k 1=1时，△＜0，应舍去，当k 2=-3时，△＞0，所以k=-3当k=-3时，两根的平方和为3。
归纳小结：△≥0是实系数一元二次方程根与系数关系的前提。
（2）若方程2x 2-mx-4=0的两个实数根x 1,x 2满足11x +21x =2，求m 的值。
（3）已知方程x 2-4x+6k=0有两个实数根的平方差为8，求k 的值。
3、一元二次方程的特殊根及根的分布 （1）一元二次方程的特殊根 ①若方程两根相等，则△＝0； ②若方程两根互为倒数，则x 1.x 2=1且△＞0；③若方程两根互为相反数，则x 1+x 2=0，即b=0且△＞0；④若方程两根绝对值相等，则△＝0或b=0且△＞0； ⑤若方程有一根为0，则c=0； ⑥若方程有一根为1，则a+b+c=0； ⑦若方程有一根为-1，则a-b+c=0；练习题：（1）已知关于x 的一元二次方程x 2+(m 2-9)x+m-1=0，当两根互为相反数时，m= ,若方程两根互为倒数，m= 。
实系数一元二次方程2010
x1
x2
2m
b a
,
x1x2
m2
n2
c a
ex3:若 1 3i 是实系数一元二次方程
x2 px q 0 的一个根,求方程另一根以
Байду номын сангаас
及p,q的值.
1-i,p=-2,q=2
例2:已知方程 x2 px 1 0 p R 的两
根为x1,x2,若|x1-x2|=1,求实数p的值.
例4：已知关于x的实系数方程x2 kx k2 3k 0 有一个模为2的虚根,求实数k的值.
K=-1
实系数高次方程
一般地,n次方程有n个根,当系数为实数时,
虚根成对出现.
例5: 2x3 4x2 bx 2 0 有一个实根为1,另
外两个根为虚根,求解方程. 1, 1 3 i
b
c
x1 x2 a , x1x2 a
解方程,因式分解
• 例1:在复数集中解方程: 2x2 4x 5 0
分解因式:2x2 4x 5
结论:
1.实系数一元二次方程ax 2 +bx+c=0若存在虚 根,那么这两根互为共轭虚根.
2.若Δ<0,设两根为x1,2=m±ni,则
实系数系数一元二次方程的虚数根
实系数一元二次方程在复数集中恒有解,特别是,当
Δ=b-2 4ac<0时,实系数一元二次方程
ax 2 +bx+c=0(a,b,c∈R,且a≠0)在复数集中有一对互
相共轭的虚数根: x b
4ac b2 i
2a
2a
容易验证,上述的两个共轭虚数根同样满足一元二 次方程中根与系数的关系,即
一元二次方程在复数集上的根
复数导学案课题：实系数一元二次方程在复数集上的根课型：新授执笔：审核: 使用时间：一、学习目标1、实系数一元二次方程在复数集上的根二、重点难点1、实系数一元二次方程在复数集上的根2、实系数一元二次方程在复数集中的解法三、学习内容1、实系数一元二次方程在复数集C上的根设a是正实数，由可知，．因此，2、一元二次方程ax2+bx+c=0,( a, b, c∈R，a≠0) (16-1-4) 的求根公式为，记判别式∆=b2-4ac．由复数集上负数开方的意义，可以得到如下结论：①②③总之，．四、探究分析1、在复数集内求下列方程的根．(1)x2+16=0；(3)x2+27=0．方法总结：2、判定下列方程根的类型，并求出方程的根．(1)2x2-5x+8=0；(2) x2-7x+4=0；(3)x2-8x+16=0；(4)2(x+1)2=-(x-3)2．方法总结：课堂训练1．把下列各数用虚单位和实数乘积表示．(1)-3的平方根；(2)-14的平方根；(3)-0.5的平方根；(4)-4π的平方根2. 在复数集中讨论下列方程的根．(1) x2-2x+3=0；(2) x2-x+6=0；(3) 2x2+2x+3=0；(4) x2-3x+6=0．．课后作业1. 在复数集内，求下列方程的根．(1)x2+9=0；(2) x2+π=0；(3) x2+49=02. 确定下述方程根的类型：(1)x2+2x+6=0；(2)x2-5x+4=0．3. 在复数集中解下列方程：(1)x2+2x+7=0；(2)2x2-3x+5=0．教学后记。
一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程是高中数学中的重要内容，它的解也是数学中的基础知识之一。
在本文中，我们将探讨一元二次方程的根与系数之间的关系。
一元二次方程的一般形式为： ax^2 + bx + c = 0 （其中，a、b、c为实数且a ≠ 0）这个方程中的根可以通过求解方程来得到。
一元二次方程的解可以分为三种情况，具体取决于判别式的值（Δ=b^2 - 4ac）。
1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。
这是最常见的情况，我们可以通过求解公式 x = (-b ± √Δ) / (2a) 来找到这两个根。
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。
这被称为方程的重根，解可以通过公式 x = -b / (2a) 求得。
3. 当Δ < 0时，方程没有实根。
在这种情况下，方程的解为复数根，我们可以用公式 x = (-b ± i√|Δ|) / (2a) 求得复数根，其中i是虚数单位。
根据以上三种情况，我们可以看出方程的根与系数之间的关系：1. 根与系数的和：根与系数的和是一个常数，可以通过视方程的一元一次项来确定。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个实根的和可以表示为 -b / a。
这是因为根的和可以通过展开方程 (x-α)(x-β) =0 和整理可得的公式(α + β) = -b / a 来求得。
2. 根与系数的积：根与系数的积也是一个常数，可以通过方程的常数项来确定。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个实根的积可以表示为 c / a。
这是因为根的积可以通过展开方程 (x-α)(x-β) = 0 和整理可得的公式(αβ) = c / a 来求得。
3. 系数的平方与根的乘积：系数的平方与根的乘积也是一个常数，它等于方程的常数项除以方程的二次项系数的平方。
即(α + β)(αβ) = c / a^2。
通过以上的分析，我们可以得出一元二次方程的根与系数之间的关系，并利用这些关系来推断方程的性质和求解方程。
一元二次方程的解法求根公式的使用技巧
一元二次方程的解法求根公式的使用技巧一元二次方程的解法是数学中的基础知识，在解决实际问题时起到了重要的作用。
其中，求根公式是一种常见的解法，它可以帮助我们快速求解一元二次方程的根。
本文将介绍一元二次方程的求根公式的使用技巧。
一、一元二次方程的形式一元二次方程通常具有以下形式：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c为实数，并且a ≠ 0。
根据这个方程的形式，我们可以使用求根公式来求解方程的根。
二、一元二次方程的求根公式一元二次方程的求根公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根，√表示开方运算。
这个公式中的分子部分可以分为两个部分，分别是-b和√(b^2 - 4ac)。
根据这个公式，我们可以通过将方程中的系数代入公式中，快速求得方程的根。
三、使用技巧在使用一元二次方程的求根公式时，有一些技巧可以帮助我们更加高效地求解方程的根。
1. 化简方程在应用求根公式之前，我们可以先对方程进行化简。
例如，如果方程的系数存在公因子，我们可以将其提取出来，以简化计算过程。
2. 辨别方程的根的性质根据一元二次方程的判别式Δ=b^2-4ac的值，我们可以判断方程的根的性质。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；- 当Δ<0时，方程没有实数根，但存在两个共轭复数根。
通过辨别方程的根的性质，我们可以在求根过程中有所侧重，提高求解的效率。
3. 使用解根公式的步骤使用一元二次方程的求根公式时，可以按照以下步骤进行：Step 1: 计算判别式Δ的值。
Δ = b^2 - 4acStep 2: 根据Δ的值进行分类讨论。
- 当Δ>0时，应用求根公式计算两个不相等的实数根；- 当Δ=0时，应用求根公式计算两个相等的实数根；- 当Δ<0时，应用求根公式计算两个共轭复数根。
Step 3: 将方程系数代入求根公式，计算出根的近似值。
一元二次方程根的分布(PPT)3-1
一、实系数一元二次方程ax2+bx+c=0 (a,b,c∈R,a≠0)的根的问题，常利用韦达 定理和判别式来解。常用结论有：1 方Leabharlann 有两个正根2 方程有两个负根
• 二、二次方程与二次函数联系紧密，关于二次 方程问题求解的另一思路是转化为二次函数来 解，因此一元二次方程根的分布问题可借助二 次函数图象来研究求解。(函数法） 抓△，对称轴的位置，特殊点的函数值
令f(x)=ax2+bx+c(a>0) 则有如下结论
1 .方程两根都大于m
思考一：他们的相同点
思考二：他们不同之处
思考三：还有哪些问题？
思考四：如何解答
•
诗人；白居易：唐代大诗人：董源：五代十国南唐画家；李清照：南宋女词人；姜夔：南宋音乐家；梁楷：南宋画家；关汉卿：元代戏曲家；马致 远：元代戏曲家；赵孟俯：元代书画家；王蒙：元末画家；朱耷：清初画家；曹沾（即曹雪芹）：清代文学家；鲁迅：中国近代文学家。[8]在天 文学家创建详细的水星地图之前，SolitudoHermaeTrismegisti(荒芜的HermesTrismegistus)被认为是水星的一大特色，覆盖了行星/的东南象限。 墨丘利，是在古斯塔夫·霍尔斯；股票入门基础知识 股票入门基础知识 特的音乐，行星组曲中运动的四棱使者。“信使 ”号撞击水星美国航天局日宣布，“信使”号水星探测器燃料即将耗尽，可能将于日以撞击水星的方式结束使命。“信使”号于年8月升空，经过 约年半的飞行于年月进入绕水星运行轨道。美国航天局副局长约翰·格伦斯菲尔德对“信使”号给予高度评价，认为该任务第一次让人们真正认识 了水星。他说，尽管“信使”号的旅程即将结束，但分析其所获数据的旅程才刚刚开始，这些数据将帮助解开水星的各种谜团。据美国航天局介绍 ，本月日，地面人员还将对“信使”号实施最后一次轨道调整，这一操作将基本耗尽“信使”号推进系统最后所剩的氦气。此后“信使”号将飞向 水星表面，预计将在月日以每秒.9公里的速度撞击水星背对地球的一关于金星的内部结构，还没有直接的资料，从理论推算得出，金星的内部结构 和地球相似，有一个半径约,公里的铁-镍核，中间一层是主要由硅﹑氧﹑铁﹑镁等的化合物组成的“幔”，而外面一层是主要由硅化合物组成的很 薄的“壳”。科学家推测金星的内部构造可能和地球相似，依地球的构造推测，金星地函主要成分以橄榄石及辉石为主的矽酸盐，以及一层矽酸盐 为主的地壳，中心则是由铁镍合金所组成的核心。金星的平均密度为.g/cm，次于地球与水星，为八大行星（冥王星已于年划归为矮行星，故称八 大行星）中第三位的。一个直径千米的铁质内核，熔化的石头为地幔填充大部分的星球。厚得多。就像地球，在地幔中的对流使得对表面产生了压 力，但它由相对较小的许多区域减轻负荷，使得它不会像在地球，地壳在板块分界处被破坏地质地貌编辑金星表面上有7%平原，%高地，%低地。在 金星表面的大平原上有两个主要的大陆状高地。北边的高地叫伊师塔地（IshtarTerra），拥有金星最高的麦克斯韦山脉（大约比喜马拉雅山高出 两千米），它是根据詹姆斯·克拉克·麦克斯韦命名的。麦克斯韦山脉（MaxwellMontes）包围了拉克西米高原（La
一元二次方程实数根
一元二次方程实数根
一元二次方程实数根是数学中的一个重要概念，它涉及到代数方程解
的求解和实数的性质等知识点。
下面将对此进行详细的介绍。
一、定义
一元二次方程的一般形式为：ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
当方程存在实数解时，这个方程就叫做一元二次方程实数根。
二、判别式
为了求解一元二次方程实数根，我们需要首先计算出它的判别式，即：Δ=b²-4ac
若Δ>0，则方程有两个不相等的实数根；
若Δ=0，则方程有两个相等的实数根；
若Δ<0，则方程没有实数根，但有复数根。
其中，Δ又被称为二次方程的根号下判别式。
三、求解
如果方程有实数根，那么我们可以使用求根公式来求解：
x1,x2=(-b±√Δ)/2a
其中x1、x2分别是方程的两个实数根，±看判别式的正负号而定。
四、性质
1. 方程的系数a、b、c可以解释为抛物线的形态、位置和大小等性质。
2. 当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 方程有两个实数根的条件是Δ>0；有一个实数根的条件是Δ=0；没有实数根的条件是Δ<0。
4. 当Δ>0时，x1和x2是两个不相等的实数，且它们的和等于-b/a，积等于c/a；当Δ=0时，它们相等，等于-b/2a。
5. 方程的根可以用Vieta公式表示：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
以上就是对于一元二次方程实数根的介绍，相信大家对此有了更加深入的理解和掌握。
在实际应用中，了解和灵活运用这些知识点可以帮助我们更好地解决实际问题。
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即原方程有两个根： x1 = 1 + 2i x 2 = 1 − 2i (2)因为∆=b2-4ac=1-24=-23<0，所以方程有一对共轭复根： 1 1 (1 ± −23) = (1 ± 23i) x1,2=
2 2
即原方程有两个根： 1 23 1 23 x1 = + i x1 = − i 2 2 2 2
22
（ （、 、 ）、 、 ）
2+3i,求: (1)另外一个根;
，
b c x1 ⋅ x 2 = x1 + x 2 = − a a (2)如果a=2,求出b,c.
六.小结
共轭复数的概念与求解 判断实系数一元二次方程的根类型 在复数集内解实系数一元二次方程
七.作业
课本117第 课本117第3题,119页第2题 ,119页第2
解 (1)因为x2=-16，所以x= ± 4i； (2)因为x2=-2/7，所以x=
±
14 7
例5： 判定下列方程根的类型． (1)2x (1)2x2-5x+8=0； (2) x2-7x+4=0； +8=0； +4=0； (3)x2-8x+16=0； (4)2(x+1)2=-(x-3)2． (3)x +16=0； (4)2(x =(-5)28=-39<0，所以原方程有一对共轭复根； 解 (1)∆=(-5)2-4×2×8=-39<0，所以原方程有一对共轭复根； (2)∆=(-7)2-4×1×4=33>0，所以原方程有两个相异实根； =(-7)24=33>0，所以原方程有两个相异实根； (3)∆=(-8)2-4×1×16=0，所以原方程有两个相等实根； =(-8)216=0，所以原方程有两个相等实根； (4)整理原方程，得2(x2+2x+1)=-(x2-6x+9), 即 (4)整理原方程，得2(x +2x+1)=3x2-2x+11=0； +11=0； ∆=(-2)2-4×3×11=-128<0, =(-2)211=所以原方程有一对共轭复根．
课堂练习1 课堂练习1
1：求下列复数的共轭复数． (1)1-3i；(2)4i+3；(3)-4i；(4)0；(5) -7+i．
2：已知z的共轭复数 z，求z： (1)0.5； (2) 9i； (3) -4+0.5i; (4)4-0.5i
例3：
已知2 x + (2 y − 1)i = 3 + 2i, 其中x、y ∈ R，求x与y。
例6：在复数集中讨论下列方程的根． (1) x2-2x+3=0； +3=0； (2) x2-x+6=0； +6=0； (3) 2x2+2x+3=0； (4) x2-3x+6=0． 2x +2x+3=0； +6=0．
解(1)因为∆=b2-4ac=4-12=-8<0，所以方程有一对共轭复根：
1 1 (2 ± −8) = (2 ± 2 2i ) x1,2= 2 2
−b± ∆ 2a
∆ = 0有两相等实根
∆<0
−b 2a
− b ± | ∆ |i 2a
有两虚根
四.实系数一元二次方程的根
方程 （1） （2） （3）
∆>0
ax + bx + c = 0 （
2
a ≠ 0、a b c ∈） 、 R
有两实根
−b± ∆ 2a
∆ = 0有两相等实根
∆<0
−b 2a
有两共轭虚根
.
z = a + bi ⇔ z = a − bi
例1：求下列复数的共轭复数． z1=2+3i；z2=-3-5i；z3=-6i+4；z4=2.5i；z5=9． 解: z1=2-3i；z2=-3+5i；z3=6i+4；z4=-2.5i；z5=9． 例2：已知z的共轭复数 z，求z： z1=1-i；z2=-1+i；z3=2i 解: 因为z=z 所以z1=1+i；z2=-1-i；z3=-2i．
方程2x=5在整数集Z 方程2x=5在整数集Z中无解
扩充后的有理数集Q 扩充后的有理数集Q中则有解
方程2x 2在有理数集Q 方程2x = 2在有理数集Q中无解
在实数集R 在实数集R中则有解
方程 （1） （2） （3）
∆>0
ax + bx + c = 0 （
2
a ≠ 0、a b c ∈） 、 R
有两实根
课堂练习2 课堂练习2
1．判断下列方程根的类型 x2+2x+6=0 x2-5x+4=0 2．在复数内求下列方程的根 x2+2x+7=0 x2-3x+5=0
五.两根和与积(推广) 两根和与积(推广)
已知方程
ax + bx = 0 a 0 ∈ a bc ∈ R ax +bx + c+ c =≠0a bac ≠ 0R 其中一个根为复数
∆ −b ± i 2a 2a
因为x2=-1,所以在复数集内负数是可以开方的, − b ± ∆ i2 − b ± i ∆ −b± ∆ = = 开方的结果是一个纯虚数,因此实系数一元二次 2a 2a 2a 方程在复数集内总存在根
例4： 在复数集内求下 列方程的根． (1)x2+16=0 (1)x (2)x2+2/7=0． (2)x2+2/7=0．
解: 根据共轭复数的性质，得
2x=3, 2y-1=-2.
解之得x=1.5,y=-0.5
练一练
已知x + (4 y + 1)i = −4 − 3i, 其中x、y ∈ R，求x与y。
三.方程求解
方程x+5=3在自然数集N 方程x+5=3在自然数集N中无解 扩充后的整数集Z 扩充后的整数集Z中有解
谢 谢
热烈欢迎各位 专家和领导 莅临指导
实系数一元二次方程的根
泗阳中等专业学校 周其兵
一.知识目标
掌握共轭复数的概念并能求解复数的共轭 复数 会判断实系数一元二次方程的根类型 能在复数集内解实系数一元二次方程
二.共轭复数
共轭复数:实部相同, 共轭复数:实部相同,虚部相反的两个复数叫做共轭 复数
记作