沪教版高中数学高二下册第十三章13.6 实系数一元二次方程 课件(2)
高二数学实系数一元二次方程2
1 ，求实数p的值.
例2、已知关于x的方程 x2 2ax a 2 4a 4 0 (a R) 的两根为 、 ，且 3，求实数a的值.
2 ax 例3、已知关于x的方程 (1 2i)x 2a(1 i) 0 (a R)
有实数根，求实数a的值.
； / 海南楼盘 海南买房 djm837ach 我最后一个接过碗，还没有找到合适的位置坐下，对面便传来了吆喝声，“这是谁的筐？占了老子的摊位！抓紧给老子抬了， 要不然，老子就给他蹬翻！” 我慌乱地把碗放在小桌上，急忙走了过去。 我还没开口，他就嚷起来，“谁叫你在这儿的？赶紧搬走！别妨碍老子摆摊。”这人看上去年纪与我差不多，却摆出一副黑帮 老大的架式，他的话让我听了很不顺耳。 “这明明是我的摊位，你凭什么让我搬走？!”我一气之下，不软不硬地回敬了他一句。 他看我根本不吃那一套，更加变本加厉起来，用脚踩着我的筐沿儿，用手指着我大吼道：“他娘的，你说这摊位是你的，当着 大家的面，你把它叫答应„„不然，你信不信老子给你蹬了？” 真是烧香碰着鬼了，还有这样不讲理的人！ 我的火一下子上来了，“把你的狗腿给我拿掉！不然，老子对你可就不客气了！” 他更加来劲儿了，故意用脚蹬着筐来回晃动。 那时我正是年轻，血气方刚，还经得起他的有意挑衅？狠狠地一脚踢去，把他踢倒在地。 他爬了起来，挽了挽袖子要跟我动手。 这时，小商贩们都围了上来把我俩隔开。我不知饭摊的掌柜跟他说了些什么，他便挽下袖子无精打采地走了。 我掏出两块钱给了饭摊的掌柜，饭也没吃便忙活着摆起摊来。 不一会儿，跟我打架的人和一个高个子的中年人又来到我面前。 好啊，刚才吃了亏，又找帮凶来了，我才不怕呢！我心里这么想着。 “老兄，刚才赵四做得不对，我李五给你赔礼来了。”高个子笑嘻嘻地对我说。 “老弟，我们初次见面不认识，听饭摊的王掌柜说你是肖艳的丈夫，儿子生病住了院，我们应该帮帮你才是，刚才的事你就 不要放在心上。你看，你自己守着这四筐蘑菇，要不我们哥俩帮你卖两筐？”原来他也会说人话，刚才怎么脏话连篇？ “不打不相识嘛，依我看，干脆你说个价钱，我俩每人一筐，这样行不行？”李五做起了我的思想工作。 我的心被他们说软了，于是说好八毛钱一斤，每人给了一筐。他俩高兴地抬到自己的摊位上卖了起来。 下集了，我挂念着儿子的病情，推着小车直接去了已院。值班的护士对我说，三哥刚刚送孩子出院回家了。 我的心里犹如一块石头落了地，高高兴兴地向家赶去。 回到家，妻子已做好了饭，我一边吃饭一边跟她说着今天的故事，妻子说赵四和李五就是俩个集霸，我教训赵四也给商贩们出 了口恶气。但是我毕竟还是上了他们的圈套，被他们骗了。妻子的话使我百思不得其解，人家明明是好心好意地帮我，怎么说 我被骗了呢？当她问我给他们的蘑菇的斤数时，我才恍然大悟，两筐蘑菇共少了三十六斤。这可不是个小数目，难道我又看差 秤了吗？不可能！饭摊的王掌柜给掌的秤，他不能昧着良心做坏事。那就是秤有问题，也不对呀，集市上的商贩都用这干秤做 交易，难道他们不怕舍本？ 唉——!不用管它，我毕竟在生意场上迈开了第一步，我自己也能卖东西了。我心里暗自庆幸。
1一元二次方程的解法2.公式法PPT课件(沪科版)
用公式法解一元二次方程
1．(4 分)用公式法解方程 3x2－ 2＝12x 时，a，b，c 的值分别是( B )
A．a＝3，b＝ 2，c＝12 B．a＝3，b＝－12，c＝－ 2
C．a＝3，b＝12，c＝－ 2 D．a＝3，b＝－ 2，c＝12
2．(4 分)用公式法解方程 3x2＋4＝12x，下列代入公式正确的是( D )
1．一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b_2_－__4_a_c_≥_时0 ，它
－b± b2－4ac
的根为x＝______2_a_____． 2．用公式法解一元二次方程的思路应是：(1)将方程化成一__般__情__势__；(2)
确定_____a_，__b_，__c_______的值；(3)求出_b_2_－__4_a_c_的值；(4)当b_2_－__4_a_c≥__0时， 可直接用求根公式求出它的根．
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15 (3)(x－1)(x＋3)＋5＝0.
将原方程化为标准形式，得 x2＋2x＋2＝0，a＝1，b＝2，c＝2，b2－4ac＝22－4×1×2＝－ 4<0，∴原方程无实数根 14.错误，b＝－7 而不是 b＝7，正确的解是 x1＝7＋611＝3，x2＝ 7－611＝－23
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14．(8 分)判断下列方程的解法有无错误，若有错误，请改正． 解方程：3(x＋1)(x－2)＝4x 解：方程变形，得 3(x2－x－2)＝4x， 即 3x2－7x－6＝0.这里 a＝3，b＝7，c＝－6. ∴x＝－7± 72＋6 4×3×6＝－76±11. ∴x1＝－3，x2＝23.
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11．当 a≠0 且 b2－4ac≥0 时，下列方程：①ax2＋bx＋c＝0；②ax2－bx＋c＝0；③ax2＋
一元二次方程的解法配方法(沪科版)课件
整理得：X2+6X－16 = 0
怎样解这
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个方程？
14
x 2 6 x 1 6 0
移项
x2 6x16
两边加上32,使左边配成
x2 2bxb2的形式
x 2 6 x 3 2 1 3 6 2
左边写成完全平方形式
(x3)2 25
降次
x35
x 3 5 ,x 3 5
得 :x12,x 学习2交 流P PT8
D .x 2 5 x 2 0 化x 为 2 .5 ） 2 （ 4 .25
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21
理一理
用配方法解方程
x28x10
解: (1)x28x10
x2 8x1
移项转化
x28x42 142 配方
x 42 15
成式
x415,x415 开方
x1415,x2415 写解
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22
比一比，赛一赛
7 2
)2=
65 4
C.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
2 D.3x2-4x-2=0化为(x- )2= 10 39
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31
典型例题
2.用配方法解方程-3x2+4x+1=0
分析：对于二次项系数是负数的一元 二次方程，用配方法解时，为了便于配方，可把二 次项系数化为1，再求解
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方程 x26x92呢？
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5
方程 x26x92呢？
方程 x26x92的左边是_完_全__平__方_形__式_，
x 3 2 2
方程可化为____________，进行降次可得__
_x___3____2__和_x____3_______2__。解得
《一元二次方程》PPT课件
的值为多少?
?
解 :∵ x 0是方程的解 代入得m2 4 0 m 2,且m 2 0 m 2 2m2 4m 3 2 22 4 2 3 3 代数式的值为3.
பைடு நூலகம் 例例题题讲讲解解
(2)关于x的 一方元程二次方程
(m 2)2 x2 3m2x m2 4 0
有一根为0,则2m2 4m 3
解:设邀请了x队参加比赛,根据题意得:
1 x(x 1) 28 2
即:x2-x=56
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
X2-x 0 2 6 12 20 30 42 56 72 90 …
由表中数值可以发现,当x=8时是方程x2-x=56的解. 是否只有x=8是方程的根呢? X= -7呢?
分析: 全部比赛共 4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队
各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共
1 x(x 1) 28 2
场.
即
x2 x 56
?
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的 长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面 积为１８m2 ，则花边多宽?
B. (x+7)(x+6)=0
C. x2－x+42=0
D. x2+x－42=0
练习
1)若a b c 0,则一元二次方程 ax2 bx c 0必有一解为_X_=_
1
2)若a b c 0,则一元二次方程 ax2 bx c 0必有一解为X_=_-_1
3)若4a 2b c 0,则一元二次方程
是 2 ___ ,等号两边是 整 __ 式。
2、和以前所学的方程比较它们叫什么方程？ 请定义。
数学：13.6《实系数一元二次方程》教案(沪教版高二下)
学习教课资源店您身旁教与学资源专家！13.6（1）实系数一元二次方程上海市新中高级中学陶志诚一、教课内容剖析本节内容是在前方学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推行和完美.为了实质应用和数学自己发展的需要，数的观点需要再一次扩大——由实数扩大到了复数，解决了负数开平方的问题。
那么实系数一元二次方程 a x2b x c 0 ，当b24ac 0 时方程在复数集中解的状况相同需要进一步研究. 所以，本节课主假如探讨实系数一元二次方程在复数集中解的状况和在复数范围内怎样对二次三项式进行因式分解等问题 .二、教课目的设计理解实系数一元二次方程在复数集中解的状况；会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；理解实系数一元二次方程有虚数根时根与系数的关系，并会进行简单应用 .三、教课要点及难点在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解.四、教课器具准备电脑、实物投影仪五、教课流程设计学习教课资源店您身旁教与学资源专家！复习引入韦达求 根实系数一元二定理公式运用与深入 (例题分析、稳固练习 )讲堂小结并部署作业六、教课过程设计（一）复习引入1. 初中学习了一元二次方程ax 2 bx c 0 (a 、 b 、c R 且 a 0) 的求根公式，我们回首一下：2当b 24ac 0 时，方程有两个实数根： xbb4ac2a2a2. 上一节课学习了“复数的平方根与立方根”，大家知道 -1 的平方根是 : i .设问①： 一元二次方程 x 21 0在复数范围内有没有解？设问②： 在复数范围内怎样解一元二次方程 x 2x 1 0 ？[ 说明 ] 设问①学生能够依据“复数的平方根”知， x 即为 -1 的平方根：i ；设问②是为了引出本节课的课题：实系数一元二次方程.（二）讲解新课1 、实系数一元二次方程在复数集C 中解的状况：设一元二次方程ax2bx c 0(a 、b 、cR 且a 0) .由于 a 0 ，所以原方程可变形为x 2 b xc ，aa配方得学习教课资源店您身旁教与学资源专家！( x b )2( b )2 c ，2a2a a即( x b )2b24ac .2a4a2（ 1）当b24ac0 时，原方程有两个不相等的实数根xb b24ac2a ；2a （ 2）当b24ac0 时，原方程有两个相等的实数根xb；2a（ 3）当b24ac0时， b24ac0 ，4a2由上一堂课的教课内容知，b24ac的平方根为4a2即 x b4ac b 2i ，2a2a此时原方程有两个不相等的虚数根4ac b22ai ，x b4ac b2i .2a2a（ x b4ac b2i 为一对共轭虚数根）2a2a[ 说明 ] 实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解：当0 时，有两个实根；当0 时，有一对共轭虚根 .设问③：若 4 3i 是一个实系数一元二次方程的一个根，你能直接写出该方程的另一个根吗？为何？回到引入部分设问②：在复数范围内解一元二次方程x2x 1 0 .（x13i ，即为上节课学习过的）例 1（ 1）在复数集中解方程：3x2x 2 0；（ 2）在复数集中解对于x 的方程：x2ax 4 0(a R) .解：（ 1）由于△ =1 4 3 2230 ，所以方程3x2x 2 0的解为x1123i ， x2123i .6666（2）由于△ =16- a2，所以当△ >0，即a4或a 4 时，原方程的解为x1a a216， x2a a216.22当△ =0，即a4时，若 a4，则原方程的解为x1x2 2 ；若 a 4 ，则原方程的解为x1 x22.当△ <0，即4a 4 时，原方程的解为x a16 a2i , x2a16 a2i .12222提示学生注意：在复数集中解方程时，应先考虑△的正负.[ 说明 ] 例 1(2) 需分类议论，要求较高，建议采用，也能够换成课本上的例题1（ P91）例 2已知一元二次方程x2mx n0(m、 n R) ，试确立一组m、n 的值，使该方程分别有两个不相等的实数根、两个相等的实数根、两个虚数根，并解方程.[ 说明 ] 例 2 属于开放性问题，比较简单下手，能够让基础不理想的同学试试回答，增强互动.既然实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解，那么二次三项式a x2 b x (c、a 、b c 且R0a)在复数范围内总能够分解成两个一次因式的乘积.若方程 ax2bx c0的两个解分别为x1、2，则xax2bx c a( x x1)(x x2 ) .例 3在复数集中分解因式：（ 1） x2x 2 ； （ 2） 2x 24x 5.解：（ 1） x 2x 2= ( x17i)(x 17i) .22（ 2）（见课本 P91）提示学生注意：分解二次三项式ax 2 bx c 时，应提取二次项的系数 a .2 、实系数一元二次方程中根与系数的关系对于实系数一元二次方程ax 2 bx c 0 ，当其有实数根时， 我们在初中已经学习过x 1 x 2bx 2c了根与系数的关系：， x 1a （即韦达定理） .a设问④： 实系数一元二次方程有虚数根时，能否也知足根与系数关系？利 用 求 根 公 式 x 1a 16 a 2 i,x 2a 16 a 2 i 容 易 验 证222 2x 1 x 2b x 2c， x 1a .a例 4 已知 3i2 是对于 x 的方程 2x 2px q 0 的一个根，务实数p 、 q 的值 .解：（见课本 P91 例 2）（三）稳固练习见课本 P91 练习 （ 1）； P92 练习 （2） T1.2.3.[ 说明 ] 以上练习能够依据时间选择一部分在讲堂上达成，其他可作为课后练习.（四）讲堂小结本节课主要议论了实系数一元二次方程解的状况， 知道了在复数集中解实系数一元二次方程和在复数范围内对二次三项式进行因式分解，表现了分类议论的数学思想.（五）课后作业1．书面作业：练习册P55 习题 13．6 A 组 T1.2.3.4.5.2．思虑题：（增补题及备选题）（ 1）在复数集中分解因式： x 4 16.（ 2）方程 z25| z| 60 在复数集中解的个数为（）（ 3）在复数范围内解方程z2z)i 3i为虚数单位 ).( z2(i i参照答案：（ 1）( x 2)(x2)( x2i)( x2i )（ 2）C（ 3）原方程化简为z 2(z z)i1i ,设 z=x+yi(x 、y∈R), 代入上述方程得x 2+y2+2xi=1-i,22且 2x=-1,1∴x+y =1解得 x=-2且y=±3,2∴原方程的解是z=- 1±3i. 22[ 说明 ] 增补的思虑题，可作为学有余力的同学的能力训练题，也可作为教师的备选题．七、教课方案说明本节课由复习引入，带着问题，利用负数的开平方，展开本节课的研究.例题设计主假如为了表现以下三个问题：（ 1）在复数集中解实系数一元二次方程；（2）在复数范围内对二次三项式进行因式分解；（ 3 ）实系数一元二次方程有虚数根时，根与系数关系的初步应用.。
高二数学下：13.6《实系数一元二次方程》教案(2)(沪教版)
13.6（2）实系数一元二次方程一、教学内容分析本节课是“实系数一元二次方程”的第二节课，上一节课主要讨论了实系数一元二次方程在复数集中解的情况.学生会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；能理解实系数一元二次方程有虚数根时的根与系数的关系，并会进行简单应用.本节课将通过练习巩固以上知识，并检验学生对以上知识的掌握程度.课本中的例题3是“实系数一元二次方程”这一节的重点和难点，本节课将引导学生进行重点探究.二、教学目标设计进一步掌握在复数集中解实系数一元二次方程和对二次三项式进行因式分解；掌握实系数一元二次方程有虚数根时的根与系数的关系及其应用.三、教学重点及难点对实系数一元二次方程有虚数根时的根与系数关系的灵活应用.四、教学用具准备电脑、实物投影仪五、教学流程设计六、教学过程设计课堂小结并布置作业复习旧知巩固练习例题精析课堂练习（一）复习旧知上一节课我们主要学习了哪些内容？我们一起来回顾一下.1.实系数一元二次方程20axbx c 在复数集C 中解的情况：（1）当240b ac 时，原方程有两个不相等的实数根242bb ac xa；（2）当240bac 时，原方程有两个相等的实数根2b xa；（3）当240bac 时，原方程有一对共轭虚根21422b ac bx i aa，22422b ac bx i a a.2、二次三项式2axbx c 在复数范围内分解因式：212()()axbx c a xx x x .3、实系数一元二次方程20axbx c 的韦达定理：12bx x a，12c x x a. 特别地，当240bac 时，12x x 和为一对共轭虚根，即21x x —，∴2121||x x x ，1212Re x x x .[说明]以上三点可以让学生回答，而第3点中的“2121||x x x ，1212Re x x x ”可以让学生在老师的引导下发现.（二）巩固练习1.已知1-i 是实系数一元二次方程20xpx q 的一个根，则p q = .2.若两个数之和为2，两个数之积为3，则这两个数分别为.3.在复数集中分解因式：2321xx = .4.若方程220()xax a R 有虚数根z ，则|z|= .参考答案：1. -4 2.12i 和12i3.12123()()3333x i x i 4.2（三）例题精析例1、已知方程210()xpx pR 的两根为1x 、2x ，若121x x ，求实数p 的值.分析：要求实数p 的值，即要利用已知条件121x x ，从而应考虑1x 、2x 为实根还是虚根，因此，应对0和0讨论.解：（见课本P92例3）[说明]对于△<0的情形，也可考虑设1(,)x a bi a bR ，则2x a bi ，由1221x x bi得12b，又由2221211||x x x a b，得32a，所以1223p x x a .设问①：若将题设中的“两根”改为“两虚根”，则如何作答？设问②：我们知道：当1x 、2x 为实数时，2212121212()()4x x x x x x x x ，而当1x 、2x 为虚数时，上式是否仍然成立？请说明理由.[说明]可以给点时间让学生思考和讨论.因为当z 为虚数时，22zz,所以当1x 、2x 为虚数时，上式不成立.可以适当修改为2221212121212|||()||()4|x x x x x x x x x x (*)该结论显然成立.设问③：大家尝试一下，能否利用上述结论(*)来解答本例？因为2222121212121()()44x x x x x x x x p，所以3p 或5p .[说明]在已知12x x 的值时，利用结论(*)可以避免对0与0的讨论.设问④：本例删除已知条件“121x x ”后，请用m 来表示12x x .将例1的“两根之差的绝对值”改为“两根的绝对值之和”，可以有以下例题. 例2、已知关于x 的方程222440xax aa ()a R 的两根为、，且3，求实数a 的值.解：2244(44)16(1)aaa a .当0，即1a 时，、为实数，且2244(2)0aa a ，所以23a，又1a，所以32a. 当0，即1a时，、为一对共轭虚数，所以23得294，所以94，所以29444a a 得72a 或12a ，因为1a，所以12a. 故32a或12a . [说明]（1）前面有例1的分析与探讨，例题2可考虑让学生自己完成.（2）提醒学生注意：对0与0的讨论.（3）例2删除已知条件“3”后，也可用a 来表示.例3、已知关于x 的方程2(12)2(1)0axi x a i ()a R 有实数根，求实数a 的值.解：设x 0是原方程的两个根，则20(12)2(1)0axi x a i ，即20(2)(22)0axx a x a i ，所以20020220ax x a x a，解该方程组得0a或3a.[说明]补充例3主要是考虑到练习册第58页习题13．6 B 组第5题与例3属同一类问题，可以视情况选用.若时间允许，例3还可以考虑在求出a 的值后，解该方程.（四）课堂练习1.若、是方程270xx 的两个根，则2= .2.见课本P93练习13.6（2）T4.[说明]练习第1题可以直接用求根公式，也可以使用结论(*).其答案是27.（五）课堂小结本节课是在复习与巩固上节课主要内容“实系数一元二次方程解的情况和韦达定理”的基础上，通过例题1和例题2，进一步探讨实系数一元二次方程有虚数根时的韦达定理的应用，应灵活利用2121||c x x x a，1212Re b x x x a.注意分类讨论这一数学思想的应用，例题1和例题2都对0与0（即实根与虚根）进行了讨论，但合理利用以下等式：2221212121212|||()||()4|x x x x x x x x x x ，可以避免分类讨论.（六）课后作业1．书面作业：练习册P55 习题13．6 A 组 T6.8. P57 习题13．6 B 组 T4.5.2．思考题：（补充题及备选题）（1）若方程22810()xx a a R 有一个虚根的模为5，则实数a 的值为 . （2）已知关于x 的方程220()xx m m R 的两根为、，求. （3）已知关于x 的方程2(2)20()xki x ki kR 有实根，求实数k 的值，并解方程.参考答案：（1）9（2）2,0121,02,1m m m m mk时，原方程的两根为2,22i；（3）当22k时，原方程的两根为2,22i.当22[说明]补充的思考题，可作为学有余力的同学的能力训练题，也可作为教师的备选题．。
《一元二次方程》PPT课件
演讲人
《一元二次方程》PPT课件
1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形 式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确 定一般形式中的a、 b、 c; 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字 母或特定式子的代数式。 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开 平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适解法适用范围较大，且计算简便，是方法，配方法使 用较少。 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-
《一元二次方程》PPT课件
4ac 叫一元二次方程根的判别 式.请注意以下等价命题：
Δ<0 <=> 无实根; Δ≥0 <=> 有两个实根(等或不等)。
Δ>0 <=> 有两个不等的实根; Δ=0 <=> 有两个相等的实根;
谢谢
一元二次方程课件ppt
• 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼 房之间，开辟面积为900平方米的一块长方 形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长 和宽各为多少？
（x＋10）
x
问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间， 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且 长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次
项系数及常数项．
• 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此， 方程（8-2x） （•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括 去括号、移项等．
• 解：去括号，得： • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项，得：4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
方程
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
2x2 x 3 0 2
1
－3
3x2 5 0
3
0
－5
x2 3x 0 1
－3
0
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
一元二次方程ppt课件
一元二次方程是一个整式方程， 其一般形式为ax^2 + bx + c = 0 ，其中a、b、c是常数，且a≠0。
解释
一元二次方程只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是2。
举例
如2x^2 + 3x - 4 = 0，3x^2 - 5x + 2 = 0等。
一元二次方程的一般形式
形式
ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 、c是常数，且a≠0。
判断下列哪个方程有两个不相 等的实数根，并说明理由： x^2 + 2x + 1 = 0
综合练习题
对于任何一个一元二次方程，如 何判断它的根的情况？
根据一元二次方程的特点，如何 利用配方法求解其根？
对于一个一元二次方程，如果它 的根的判别式小于0，那么这个
方程有什么特点？
CHAPTER 07
总结与回顾
• 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解；
根的判别式的性质
• 如果Δ=0，方程有两个相同的实 数解；
• 如果Δ<0，方程没有实数解。
根的判别式的应用
通过根的判别式，我们可以快速判断一元二次方程的实数解的情况，不 需要求解方程。
在数学、物理、工程等领域中，根的判别式被广泛应用于解决涉及二次 方程的问题。
加强对一元二次方程的应用，结合实际 生活和相关学科，拓展应用领域。
进一步学习其他数学知识和方法，为后 培养自主学习和终身学习的意识，不断
续学习和工作打下坚实的基础。
学习和进步。
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感谢您的观看
公式法
通过配方法或公式法求解。
求根公式法
当Δ=b^2-4ac≥0时，方程有 实数解。此时，x=(b±√Δ)/(2a)。
沪教版高中数学高二下册第十三章13.6 实系数一元二次方程 课件 (共10张PPT)
例3、
例4、
有些烦恼都是自找的，因为怀里揣着过去而放弃了 努力。有些痛苦也是自找的，因为无所事事而一直 来的憧憬里。决定一个人成就的，不是靠天，也不 气，而是坚持和付出，是不停地做，重复的做，用 当你真的努力了付出了，你会发现自己潜力无限！ 事，到了明天就是小事，再深的痛，过去了就把它 就算全世界都抛弃了你，——你依然也要坚定前行 你就是自己最大的底气。埋怨只是一种懦弱的表现 才是人生的态度。不安于现状，不甘于平庸，就可 于进取的奋斗中奏响人生壮美的乐间。原地徘徊一 抵不上向前迈出第一步；心中想过无数次，不如撸 干一次。世界上从不缺少空想家，缺的往往是开拓 和勤勉的实干。不要被内心的犹疑和怯懦束缚，行 你终将成为更好的自己。人生就要活得漂亮，走得 自己不奋斗，终归是摆设。无论你是谁，宁可做拼 败者，也不要做安于现状的平凡人。不谈以前的艰
一、复习 1、一元二次方 程 a x 2 b x c 0 ( a 、 b 、 c R 且 a 0 ) 的求根公式 当 b24ac0时，方程有两个实数根：x b b2 4ac
2a 2a
2、-1的平方根是: i
设问①：一元二次方 程x2 1 0 在复数范围内有没有解？
设问②：在复数范围内如何解一元二次方程x2 x10？
二、新课
1、实系数一元二次方程在复数集C中解的情况：
设一元二次方程 a x 2 b x c 0 ( a 、 b 、 c R 且 a 0 )
原方程可变形为
x2
b a
x
c a
即
(x b )2 2a
b2 4ac
4a2
（1）当b24ac0时，原方程有两个不相等的实数根
x b b2 4ac 2a 2a
（2）当b24ac0时，原方程有两个相等的实数根
高二数学实系数一元二次方程2
；
mqx59jop
也快回去收拾去哇！”耿英说：“大壮你等等！”俩人耳语几句，大壮点点头，又和大家招招手就回去了。耿直俏皮地瞪着眼 儿问：“姐，你和大壮哥哥说什么悄悄话啦？”耿英笑着说：“嗨，什么悄悄话啊，俺告诉他，咱们今儿个很忙，晚上还要去 看姥爷和舅舅他们呢，叫他一整天都别来打搅咱们！”耿直眨眨眼做个鬼脸儿，俏皮地说：“唔，俺相信！”大家返回来。耿 老爹转身关上院门，一边往里走一边对郭氏说：“咱俩就别管了，让娃娃们收拾去哇！”又对兄妹五个说：“收拾完了往屋里 抬的时候喊爹啊！”说着，推着妻子回屋里去了。走到堂屋门口时，郭氏回过头来再看看那个装饰得像模像样的寿棺，对丈夫 说：“你一定得给俺说清楚了，这到底是怎么回子事情！”“好好好，你先回去做饭，俺们一定给你说清楚！”耿老爹说着， 硬推着妻子回屋里去了。院子里，兄妹五人开始收拾。耿英吩咐妹妹端来半盆儿清水和一块儿毛巾，尽量地将模特儿的头脸给 擦洗干净了。耿正对耿直和尚武说：“咱们把这几条褥子再铺回寿棺里边哇！”耿英说：“不用铺那么多，有一条就行了！留 下篷布、那块白布、那些白纱和那个幡，其余的东西，你们都搬到西屋里去哇！”看看擦洗干净的模特儿已经完全干了，耿英 就把它“舒舒服服”地安放在寿棺里的褥子上，又给它盖上白布，再将招魂幡和白纱轻轻地放在上面。耿正检查一下被窃贼们 搁在一旁的棺盖，发现那些用来固定的大铁钉已经被翘坏了几个，干脆就将所有的铁钉子全部敲打一番拔掉了。然后，大家将 没有了大铁钉的棺盖抬起来盖好了，再用大红色篷布将它掀一掀，抬一抬的，周周正正地包裹起来，最后用一条细细的麻绳儿 简单地扎系了一番。大家互相看看，都满意地点点头。耿正对耿兰说：“你去告诉爹，咱们收拾好啦，再问问娘放到哪里？” 耿老爹很快就出来了，但耿兰没有出来。耿英看到爹的脸色有些阴沉，就问：“娘和你说什么了？”耿老爹说：“她非要现在 就知道事情的原委，可爹怎么能和她说得清楚呢！她就饭也不做，一直坐在那里抹眼泪呢。正好兰兰进去了，俺就让她帮着你 娘做饭去了。俺已经答应你娘，等咱们吃了饭以后，就告诉她！唉，本来想着稍微晚些时候再跟你娘和兰兰说这些的，现在看 来，也只能是提前了。”听耿老爹如此说，耿正、耿英、耿直和尚武也都面露难色而又无可奈何。看到大家都这样，耿老爹说： “唉，也不用发愁了，迟早总得说啊。早说了也好，可以早点儿安心！来，咱们先把这个远路风尘回来的“寿喜”放到东房里 哇！”说着话打开东房门观察一番里面的家什儿摆放状态，回身招呼仍然还愣在那里的四个娃儿：“来，咱们把南边靠后墙那 个角落里拾掇开哇！那个地儿好，晒不着阳婆，好保存呢！”于是，大
高二数学：13.6《实系数一元二次方程》名师课件(2)(沪教版下)
.
（2）已知关于x的方程 x2 2x m 0(m R)的两根为
、 ，求 .
（3）已知关于x的方程 x2 (k 2i)x 2 ki 0(k R) 有实根，求实数k的值，并解方程.
2 =
.
2.见课本P93练习13.6（2）T4.
（五）课堂小结
（六）课后作业 1．书面作业：练习册P55 习题13．6
P57 习题13．6 2．思考题：（补充题及备选题）
A组 T6.8. B组 T4.5.
（1）若方程 2x2 8x a 1 0(a R)有一个虚根的模为
5，则实数a的值为
例2、已知关于x的方程 x2 2ax a2 4a 4 0(a R)
的两根为 、，且 3，求实数a的值.
例3、已知关于x的方程ax2 (1 2i)x 2a(1 i) 0(a R) 有实数根，求实数a的值.
（四）课堂练习
1.若、是方程 x2 x 7 0的两个根，则
x1
x2
b a
特别地，
c x1 x2 a
当 b2 4ac 0时，x1和x2 为一对共轭虚根，即
—
x2 x1
∴ x1 x2 | x1 |2 x1 x2 2 Re x1
（二）巩固练习
1.已知1-i是实系数一元二次方程x2 px q 0
的一个根，则 p q= .
2.若两个数之和为2，两个数之积为3，则这两个数
分别为
.
3.在复数集中 x2 ax 2 0(a R)有虚数根z，则|z|= .
（三）例题
例1、已知方程x2 px 1 0( p R) 的两根为
数学13.6实系数一元二次方程教案2沪教版高中二级第二学期
13.6（2）实系数一元二次方程一、教学内容分析本节课是“实系数一元二次方程”的第二节课，上一节课主要讨论了实系数一元二次方程在复数集中解的情况.学生会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；能理解实系数一元二次方程有虚数根时的根与系数的关系，并会进行简单应用.本节课将通过练习巩固以上知识，并检验学生对以上知识的掌握程度.课本中的例题3是“实系数一元二次方程”这一节的重点和难点，本节课将引导学生进行重点探究.二、教学目标设计进一步掌握在复数集中解实系数一元二次方程和对二次三项式进行因式分解；掌握实系数一元二次方程有虚数根时的根与系数的关系及其应用.三、教学重点及难点对实系数一元二次方程有虚数根时的根与系数关系的灵活应用.四、教学用具准备电脑、实物投影仪五、教学流程设计六、教学过程设计（一）复习旧知上一节课我们主要学习了哪些内容？我们一起来回顾一下. 1.实系数一元二次方程20axbx c ++=在复数集C 中解的情况：（1）当240bac ∆=->时，原方程有两个不相等的实数根2b x a-±=；（2）当240bac ∆=-=时，原方程有两个相等的实数根2b x a=-； （3）当240bac ∆=-<时，原方程有一对共轭虚根122b x a a =-+，222b x i a a=--.2、二次三项式2axbx c ++在复数范围内分解因式：212()()ax bx c a x x x x ++=--.3、实系数一元二次方程20axbx c ++=的韦达定理： 12b x x a +=-，12cx x a⋅=. 特别地，当240bac ∆=-<时，12x x 和为一对共轭虚根，即21x x =—，∴2121||x x x ⋅=，1212Re x x x +=.[说明]以上三点可以让学生回答，而第3点中的“2121||x x x ⋅=，1212Re x x x +=”可以让学生在老师的引导下发现. （二）巩固练习1.已知1-i 是实系数一元二次方程20xpx q ++=的一个根，则p q ⋅= .2.若两个数之和为2，两个数之积为3，则这两个数分别为 .3.在复数集中分解因式：2321xx -+= .4.若方程220()xax a R -+=∈有虚数根z ，则|z|= .参考答案： 1. -42. 1和13. 113()()3333x x i ---+（三）例题精析 例1、已知方程210()xpx p R -+=∈的两根为1x 、2x ，若121x x -=，求实数p 的值.分析：要求实数p 的值，即要利用已知条件121x x -=，从而应考虑1x 、2x 为实根还是虚根，因此，应对0∆≥和0∆<讨论. 解：（见课本P92例3）[说明]对于△<0的情形，也可考虑设1(,)x a bi a b R =+∈，则2x a bi =-，由1221x x bi -==得12b =±，又由2221211||x x x a b =⋅==+，得2a =±，所以122p x x a =+==设问①：若将题设中的“两根”改为“两虚根”，则如何作答？ 设问②：我们知道：当1x 、2x 为实数时，12x x -==1x 、2x 为虚数时，上式是否仍然成立？请说明理由.[说明]可以给点时间让学生思考和讨论.因为当z 为虚数时，22z z ≠,所以当1x 、2x 为虚数时，上式不成立.可以适当修改为12x x -===该结论显然成立.设问③：大家尝试一下，能否利用上述结论(*)来解答本例？因为2222121212121()()44x x x x x x x x p =-=-=+-=-，所以p =或p =[说明]在已知12x x -的值时，利用结论(*)可以避免对0∆≥与0∆<的讨论.设问④：本例删除已知条件“121x x -=”后，请用m 来表示12x x -.将例1的“两根之差的绝对值”改为“两根的绝对值之和”，可以有以下例题. 例2、已知关于x 的方程222440x ax a a -+-+=()a R ∈的两根为α、β，且3αβ+=，求实数a 的值.解：2244(44)16(1)a a a a ∆=--+=-.当0∆≥，即1a ≥时，α、β为实数，且2244(2)0a a a αβ=-+=-≥，所以23a αβαβ+=+==，又1a ≥，所以32a =. 当0∆<，即1a <时，α、β为一对共轭虚数，所以23αβα+==得294α=，所以94αβ=，所以29444a a -+=得72a =或12a =， 因为1a <，所以12a =. 故32a =或12a =.[说明]（1）前面有例1的分析与探讨，例题2可考虑让学生自己完成. （2）提醒学生注意：对0∆≥与0∆<的讨论. （3）例2删除已知条件“3αβ+=”后，也可用a 来表示αβ+.例3、已知关于x 的方程2(12)2(1)0axi x a i ++--=()a R ∈有实数根，求实数a 的值.解：设x 0是原方程的两个根，则20(12)2(1)0ax i x a i ++--=，即2000(2)(22)0ax x a x a i +-++=，所以200020220ax x a x a ⎧+-=⎨+=⎩， 解该方程组得0a =或a =[说明]补充例3主要是考虑到练习册第58页习题13．6 B 组第5题与例3属同一类问题，可以视情况选用.若时间允许，例3还可以考虑在求出a 的值后，解该方程.（四）课堂练习 1.若α、β是方程270xx -+=的两个根，则2αβ-= .2.见课本P93练习13.6（2）T4.[说明] 练习第1题可以直接用求根公式，也可以使用结论(*).其答案是27.（五）课堂小结本节课是在复习与巩固上节课主要内容“实系数一元二次方程解的情况和韦达定理”的基础上，通过例题1和例题2，进一步探讨实系数一元二次方程有虚数根时的韦达定理的应用，应灵活利用2121||c x x x a =⋅=，1212Re bx x x a-=+=. 注意分类讨论这一数学思想的应用，例题1和例题2都对0∆≥与0∆<（即实根与虚根）进行了讨论，但合理利用以下等式：12x x -===.（六）课后作业1．书面作业：练习册P55 习题13．6 A 组 T6.8.P57 习题13．6 B 组 T4.5.2．思考题：（补充题及备选题） （1）若方程22810()x x a a R -++=∈有一个虚根的模为，则实数a 的值为 . （2）已知关于x 的方程220()xx m m R ++=∈的两根为α、β，求αβ+.（3）已知关于x 的方程2(2)20()x k i x ki k R ++++=∈有实根，求实数k 的值，并解方程.参考答案：（1）9（2）2,0101m m m αβ≤≤⎧⎪+=<⎨⎪>⎩-；（3）当k=2i-.当k=-2i[说明]补充的思考题，可作为学有余力的同学的能力训练题，也可作为教师的备选题．。
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59.不要让追求之舟停泊在幻想的港湾，而应扬起奋斗的风帆，驶向现实生活的大海。 7、虚弱的人会游说各地的不幸，而坚强的人只会在沉默中变得更强。 15.这个世界本就邋遢，所以没有什么可怕。每个人都有无法发泄的苦涩，都有无力排解的抑郁，而生活在这里的我们，哪一个不是拼尽全力 ，甚至不择手段地活着。
8、生活是一个过程。您不必太在意结果。心态不好的人会看过去，心态好的人会看未来。放开过去的所有无助。 75.你看着天空，才发现从七岁起陪着你的那个天空，一直都在你的头顶。然后，你最后一次的想，会不会云层的上头，真的有那一个城堡。 却又突然间觉得自己的这个想法很可笑。你终于是明白，原来生活比你想象的是艰难很多。
问题3：
❖ 当实系数一元二次方程有一对共轭虚根 时，根与系数的关系还成立吗？
x
1
x
1
x2 x2
c a
b a
√
例4.3i-2是关于x的方程2x2+px+q=0 的一个根，求实数p、q的值.
问题4：根与方程的关系
❖知道方程，可以求根 ❖知道根，如何得到方程？
例5. 1+2i是实系数一元二次方 程的一个根，则这个方程可以 是？
98.哪怕此刻的生活有多糟糕，也总会有好转的一天。走过的生活并不完美，太完美的也就不是生活了！每人每天都在做一件事情：为了未来 而奋斗！固然结果不同，皆因我们平时的努力，每个今天我们都尽十分的努力，未来的成功就是必然！
7、虚弱的人会游说各地的不幸，而坚强的人只会在沉默中变得更强。 24.现实逼我去选择，就算还是很迷茫，未来的路我还是要自己扛。 9、耻辱到处都伴随着可耻的行为。——欧里庇得斯 75.你看着天空，才发现从七岁起陪着你的那个天空，一直都在你的头顶。然后，你最后一次的想，会不会云层的上头，真的有那一个城堡。 却又突然间觉得自己的这个想法很可笑。你终于是明白，原来生活比你想象的是艰难很多。
总结（在复数范围内）
❖实系数一元二次方程的根的求解 ❖根与因式分解的关系 ❖根与系数的关系 ❖根与方程
类比
提出 问题
解决 问题Байду номын сангаас
关 x 的 于 x 2 方 （ 2 i） x 程 m i 0
有实根，求实数m的值
21、婚姻需要爱情之外的另一种纽带，最强韧的一种不是孩子，不是金钱，而是关于精神的共同成长，那是一种伙伴的关系。在最无助和软 弱时候，在最沮丧和落魄的时候，有他(她)托起你的下巴，扳直你的脊梁，命令你坚强，并陪伴你左右，共同承受命运。那时候，你们之间的 感情除了爱，还有肝胆相照的义气，不离不弃的默契，以及铭心刻骨的恩情。
实系数一元二次方程（1） a2 xbx c0
（ a 、 b 、 c R 且 a 0 ）
解方程（x∈C）
(1)x2 4x30 (2)2x2 2x10
问:1：在复数集中，解方程
a2 x b c x 0 ( a 、 b 、 c R ,a 0 )
当△ <0时，求根公式？
例1.在复数集中解方程： 2x2-4x+5=0
小结：
❖ 在复数集中，实系数一元二次方程总有解(根) ❖ 根的情况可由△的符号决定
❖ 特别地，当△<0时，有一对共轭虚根
问题2:根与因式分解的关系
❖ 求出方程 a2 xbx c0的根x1,x2
a 2 x b c x a (x x 1 )x ( x 2 )
例3.（1）x2-x+2 （2）2x2-4x+5
76.身如流水，日夜不停流去，使人在闪灭中老去。心如流水，没有片刻静止，使人在散乱中活着。 74.每次转变，总会迎来很多不解的目光，有时甚至是横眉冷对千夫指。但对顺境逆境都心存感恩，使自己用一颗柔软的心包容世界。柔软的 心最有力量。
12.你不怕困难，困难就怕你。 15、当谈到快乐的事情时，这个世界是美好的！当您遇到不满意的事物时，这个世界就在痛苦中！面对无助，这个世界很涩！当涉及到愤怒 的事情时，世界是辛辣的！世界就是这样，它将让您品尝到世界上的各种口味！