解式系数一元二次方程与复数的几何表示
1.2复数的几种表示形式
(3) | z | | z |;
P6
arg z - arg z , ( arg z π );
| z |2 z z .
z
|z| Im z
Re z
z2
z1 z2
z1
z1 - z2
|z| z
arg z arg z
|z| z
P8
证 | z1 z2 |2 (z1 z2 )( z1 z2 ) (z1 z2 )( z1 z2 )
复数 z 的乘幂，记为 zn , 即 zn z z z .
n个
利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。
法则 设 z r ei , 则 zn (r ei )n r n ein .
三、复数的乘幂与方根
1. 复数的乘幂 棣莫弗(De Moivre)公式 由 zn (r ei )n r n ein 以及复数的三角表示式可得
欧拉
Leonhard Euler (1707～1783)
瑞士数学家、自然科学家
十八世纪数学界最杰出的人物之一。 数学史上最多产的数学家。 不但为数学界作出贡献， 而且把数学推至几乎整个物理领域。
附：人物介绍 —— 欧拉
欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家。 以每年平均 800 页的速度写出创造性论文。 一生共写下了 886 本书籍和论文。
注: 复数 0 的模为 0，辐角无意义。
一、复数的几何表示
2. 复数的模与辐角
主辐角 对于给定的复数 z 0 , 设有 满足： Arg z 且 - π π ,
则称 为复数 z 的主辐角或辐角主值，记作 arg z .
由此就有如下关系： Arg z arg z 2kπ , k 0 , 1, 2 , .
高中数学(人教A版)必修第二册《第7章 复数》填空题专项练习(含答案解析)
试卷第1页，共35页高中数学（人教A 版）必修第二册《第7章 复数》填空题专项练习（含答案解析）一、填空题1．已知复数1z ､2z 满足123,1==z z ，若1z 和2z 的幅角之差为π3，则1212-=+z z z z ___________.【分析】分别设()1113cos isin z θθ=+，222cos isin z θθ=+，可得()()1121223cos isin z z θθθθ=-+-⎡⎤⎣⎦ ，由题意可得12π3θθ-=或12π3θθ-=-，即可得12z z ，再代入1121221121221111z z z z z z z z z z z z ---==+++计算即可求解.【详解】 因为123,1==z z ，设()1113cos isin z θθ=+，222cos isin z θθ=+， 所以()()()()()111122122222223cos isin 3cos isin cos isin cos isin cos isin cos isin z z θθθθθθθθθθθθ++-==++- ()1212121222223cos cos sin sin i sin cos cos sin cos sin θθθθθθθθθθ++-⎡⎤⎣⎦=+ ()()12123cos isin θθθθ=-+-⎡⎤⎣⎦1122112211z z z z z z z z --=++ 由题意可知12π3θθ-=或12π3θθ-=-， 当12π3θθ-=时，12ππ33cos isin 332z z ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，1122112211z z z z z z z z --=====++，当12π3θθ-=-时，12ππ33cos isin 332z z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1122112211z z z z z z z z --====++综上所述：1212z z z z -+2．化简：366384500i i i ++=___________.【答案】1【分析】根据复数的乘方法则计算可得.【详解】解：因为2i 1=-，3i i =-，41i =，所以3663845004912941265421i i 1i i i 1i i ⨯⨯+⨯++=+=++=+ 故答案为：13．已知复数21iz =+，则z =__________．【分析】根据复数的除法运算可得1i z =-，结合复数的几何意义即可求出模.【详解】 由21i z =+，得22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，所以z ==4．已知2i z =+，则z =________【答案】2i -##【分析】直接根据共轭复数的概念得答案.【详解】i 2z =+试卷第3页，共35页2i z ∴=-故答案为：2i -.5．复数13i 3i+-的虚部是__________． 【答案】1【分析】根据复数除法法则化简即得结果.【详解】 因为()()()13i 3i 13i 10i i 3i 3i 3i 10+++===--+（），所以虚部为1. 故答案为：16．已知复数z 为纯虚数，若()2i i z a -=+（其中i 为虚数单位），则实数a 的值为___________. 【答案】12##【分析】 先利用复数的除法运算化简i 2i a z +=-，再根据实部等于0虚部不等于0即可求得a 的值. 【详解】由()2i i z a -=+可得()()()()()i 2i 212i i 212i 2i 2i 2i 555a a a a a a z ++-+++-+====+--+， 若212i 55a a z -+=+为纯虚数，则2105205a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩ 可得12a =， 故答案为：12.7．若关于x 的实系数一元二次方程2380-+-=x mx m 有两个共轭虚数根，则m 的取值范围是________．【答案】()4,8【分析】根据关于x 的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，由∆<0求解.【详解】因为关于x 的实系数一元二次方程2380-+-=x mx m 有两个共轭虚数根，所以()()24380m m ∆=---<，即212320m m -+<，即 ()()480m m --<，解得 48m <<，所以m 的取值范围是()4,8，故答案为：()4,88．i 是虚数单位，复数52i=-___________. 【答案】2i +##【分析】分子分母同时乘以2i +即可得解.【详解】()()()52i 52i 2i 2i 2i +==+--+. 故答案为：2i +9．若复数z 满足()1i 3i z +=+，则=z ___________.【答案】2+i +2【分析】根据复数的除法运算先求出z ，进而求出z .【详解】 由题意，()()3i 1i 3i 42i 2i 2i 1i 22z z +-+-====-⇒=++. 故答案为：2i +.10．已知方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根α，β，若3αβ-=，则m 的值是___________. 【答案】52【分析】由已知结合实系数一元二次方程两个虚根互为共轭复数，设出α的代数形式，代入计算作答.【详解】因α，β是方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根，设i(,R)a b a b α=+∈，则i a b β=-， 由3αβ-=得：|i (i)||2|3a b a b b +--==，解得3||2b =， 又2(i)(i)0a b a b m ++++=，即22()(2)i 0a b a m ab b -++++=，因R m ∈，试卷第5页，共35页于是得：22020a b a m ab b ⎧-++=⎨+=⎩，解得12a =-，52m =， 所以m 的值是52. 故答案为：5211．已知()12i i z +=（i 为虚数单位），则z =___________.【答案】1i +##【分析】根据复数代数的四则运算计算即可.【详解】()i 12i z +=,()()()()212=1111i i i i i i i i i 1z -∴==-=+++-. 故答案为：1i z =+. 12．已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i 2i a -+为实数，则i a +的模为________．【分析】 根据复数的乘除法运算求出i 2i a -+，再根据i 2i a -+为实数求出a ，从而可得出答案. 【详解】 解：()()()()()i 2i 212i i 2i 2i 2i 5a a a a ----+-==++-， 因为i 2i a -+为实数，所以20a +=，所以2a =-，则i 2i a +=-+=13．已知m R ∈，复平面内表示复数22i (56)()--++m m m m 的点在虚轴上，则m=_____________．【答案】1-或6【分析】根据复数的几何意义得对应点的坐标在虚轴上，解方程求得结果.【详解】复数对应点的坐标为2(56m m --，2)m m +，若点在虚轴上，则2560m m --=，解得1m =-或6m =．故答案为：1-或6.14．若i 是虚数单位，则12i 2i++的虚部为___________. 【答案】35## 【分析】 先化简12i 2i++，然后可求虚部. 【详解】 因为()()()()12i 2i 12i 43i 2i 2i 2i 5+-++==++-， 所以虚部为35. 故答案为：35##0.6. 15．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,5)-.则(1i)z -=___________.【答案】28i --##【分析】根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答.【详解】在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,5)-，则35i z =-，所以(1i)(1i)(35i)28i z -=--=--.故答案为：28i --16．写出一个同时满足下列条件的复数z =________.①5z =；②复数z 在复平面内对应的点在第四象限.【答案】34i z =-（答案不唯一）【分析】根据复数的几何意义以及模长公式得出答案.【详解】不妨令34i z =-，则5z ==，复数z 在复平面内对应的点()3,4-位于第四象限，满足①②，故34i z =-符合题意（答案不唯一）.故答案为：34i z =-（答案不唯一）试卷第7页，共35页17．已知复数2i 2iz -=+（i 为虚数单位），则z 的模为______． 【答案】1【分析】 利用复数的除法运算求出复数z 即可计算作答.【详解】 依题意，2(2i)34i 34i (2i)(2i)555z --===-+-，则||1z =， 所以z 的模为1.故答案为：118．已知i为虚数单位，复数11z =，在复平面中将1z 绕着原点逆时针旋转165°得到2z ，则2z =______.【答案】【分析】结合复数的几何意义，特殊角的三角函数值，即可得解．【详解】解：11z =在复平面内对应的点为(A ，所以2OA =，且OA 与x 轴正方向的夹角为60︒，将其逆时针旋转165︒后落在第三象限，且与x 轴负半轴的夹角为6016518045︒+︒-︒=︒，所以对应的点为(，所以2z =．故答案为：．19．设i 为虚数单位，则3i 1i+=+________. 【答案】2i -##【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得；【详解】解：()()()()2223i 1i 3i 33i i i 2i 1i 1i 1i 1i +-+-+-===-++-- 故答案为：2i -20．已知复数2i 1iz +=-，则复数z 的虚部为________【答案】32##【分析】根据复数除法运算得13i22z=+，进而得答案.【详解】解：()()()()2i1i2i13i13i 1i1i1i222 z++++====+ --+所以复数z的虚部为3 2故答案为：3 221．已知复数1i3iaz+=+为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数=a______．【答案】3-【分析】应用复数的除法化简z，再根据其为纯虚数可得30310aa+=⎧⎨-≠⎩，即可求参数a.【详解】由题设，1i(1i)(3i)(3)(31)i3i(3i)(3i)10a a a az++-++-===++-为纯虚数，∴30310aa+=⎧⎨-≠⎩，可得3a=-.故答案为：3-.22．复数i1i-（i是虚数单位）的共轭复数是________．【答案】11i 22 --【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的共轭复数概念求解.【详解】因为复数()()()i1ii11i1i1i1i22+==-+--+，所以复数i1i-（i是虚数单位）的共轭复数是11i22--，故答案为：11i 22 --23．若复数i(1i)z=-，则||z=___________.试卷第9页，共35页【分析】根据复数乘法整理成复数一般形式，再由复数模的定义即可求得【详解】2i(1i)=i i 1i z =--=+，所以||z24．一颗标有数字16~的骰子连续郑两次，朝上的点数依次记为a b ､，使得复数()()i 4i a b b a +-为实数的概率是___________. 【答案】112【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子连续掷两次，共有66⨯种结果，满足条件的事件是使复数()()i 4i a b b a +-为实数，进行复数的乘法运算，得到2b a =的结果，列举出所有情况，得到概率．【详解】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子连续掷两次，共有6636⨯=种结果，满足条件的事件是使复数()()i 4i a b b a +-为实数，()()22i 4i 5(4)i a b b a ab a b +-=--，要使()()i 4i a b b a +-是一个实数，有2240a b -=，224a b ∴=，2b a ∴=，或2b a =-，因为0a >，0b >，所以2b a =有1a =，2b =；2a =，4b =；3a =，6b =，共有3种结果，∴由古典概型得到概率313612P ， 故答案为：112． 25．已知复数z 满足(2i)12i z ⋅+=+，则z =_______.【答案】43i 55+ 【分析】由复数的除法运算即可求解.【详解】由(2i)12i z ⋅+=+可得()()()()212i 2i 12i 23i 2i 43i 43i 2i 2i 2i 5555z +-++-+=====+++-， 故答案为：43i 55+. 26．已知复数()()22612i z a a a a =+-+--（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数=a _______．【答案】2【分析】根据题意得2260120a a a a ⎧+-=⎨--≠⎩，再解方程即可得答案. 【详解】解：因为复数()()22612i z a a a a =+-+--（i 为虚数单位）为纯虚数所以2260120a a a a ⎧+-=⎨--≠⎩，解得2a = 故答案为：227．已知复数32i z =+（i 为虚数单位），则2z 的虚部为______．【答案】12【分析】先求出2z ，然后可得其虚部，得到答案.【详解】由复数32i z =+，则()2232i 912i 4512i z +=+-=+=所以2z 的虚部为12故答案为：1228．已知i 是虚数单位，若()2i i ,1ia b a b +=+∈+R ，则()lg a b +的值为______. 【答案】0【分析】运用复数四则运算及复数相等的定义即可得解.【详解】 因为()()2i 212i i i 312i +-+-==+i i 3122a b =-=+， 所以31,,122a b a b ==-+=，()lg 0a b +=. 故答案为: 0试卷第11页，共35页29．已知a ∈R ，复数3(3i)(12i)z a =+--+的实部与虚部相等，则=a ___________.【答案】2【分析】根据复数的相关概念列式，解方程.【详解】因为3(3i)(12i)(31)7i z a a =+--+=++，所以317a +=，解得2a =，故答案为：2.30．设i 是虚数单位，若复数()i 1ia z a =+∈+R 是实数，则a 的值为______． 【答案】2【分析】根据复数的运算法则，将原复数式子化简，因为该复数是实数，故得到使得其虚部为0即可.【详解】 复数()()()1i i=i 1i 1i 1i a a z -=++++- 1i 22a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭因为原复数是实数，故得到1022a a -=⇒= 故答案为：2 31．在复平面上，A 、B 表示复数α、β)(0α≠对应的点，若)(1i βα=+，则AOB ∠=______． 【答案】4π 【分析】利用三角形式的复数除法表示即可得出答案.【详解】0α≠，)(1i βα=+，1i cos sin 44βππα⎫∴=+=+⎪⎭， ∴AOB ∠=4π.故答案为：4π 32．若1i -是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个根，则p q ⋅=______．【答案】4-【分析】将1i -代入方程可得()()2i 0p q p +-+=，即可求出.【详解】因为1i -是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个根，所以()()21i 1i 0p q -+-+=，即212i i i 0p p q -++-+=，整理得()()2i 0p q p +-+=， 所以020p q p +=⎧⎨+=⎩，解得22p q =-⎧⎨=⎩，则4p q ⋅=-. 故答案为：4-.33．已知i 是虚数单位，若复数()i 1i z =⋅+，则z =____________.【分析】化简复数，再代入模长计算公式即可.【详解】化简原式，得()2i 1i i i 1i =⋅+=+=-+z ，所以z =34．()()12i 34i +÷-=______. 【答案】12i 55-+ 【分析】根据复数的四则运算规则计算即可.【详解】根据复数的四则运算规则得，原式=()()()()12i 34i 12i 12i 12i 34i 34i 34i 555+++-+===-+--+ 故答案为：12i 55-+.试卷第13页，共35页 35．复数()i 1i +的虚部为______．【答案】1【分析】利用复数乘法计算公式化简后，即得复数的虚部.【详解】()2i 1i i i 1i +=+=-+，所以复数()i 1i +的虚部为1.故答案为：136．若复数z 满足：22240z az a -++=，且|z |a ＝_____．【答案】±1【分析】设z ＝x +y i (x ,y ∈R )是22240z az a -++=的一个根，由复数的性质可得i z x y =-是另外一个根，进而可得22||4z z z a =⋅=+，即可求a 的值．【详解】设z ＝x +y i (x ,y ∈R )是22240z az a -++=的一个根， ∴i z x y =-是22240z az a -++=的另一个根， 由22||4z z z a =⋅=+＝5，即a 2＝1，解得a ＝±1；故答案为：±1．37．已知复数z 满足：2i i 0z ++=（i 为虚数单位），则||z =___________.【分析】根据复数代数形式的乘除运算及共轭复数定义求出z ，再根据复数模的公式计算可得；【详解】解：因为2i i 0z ++=，所以2i i z +=-，所以()22i i 2i 12i i i z ++===-+--，所以12i z =--，所以z ==38．已知i 是虚数单位，复数3i 1i++＝______． 【答案】2i -##【分析】利用复数的除法法则化简复数3i 1i++即可求解. 【详解】 ()()()()23i 1i 3i 3i 3i i 2i 1i 1i 1i 2+-++--===-++-. 故答案为：2i -.39．设x ∈R ，记[]x 为不大于x 的最大整数，{}x 为不小于x 的最小整数．设集合{}|23,A z z z C =≤⎡⎤≤∈⎣⎦,{}{}|23,B z z z C =≤≤∈，则A B 在复平面内对应的点的图形面积是______【答案】5π【分析】 依题意表示出集合{}|24,A z z z C =≤<∈，{}|13,B z z z C =<≤∈，从求出A B ，再根据复数的几何意义求出复数z 的轨迹，即可得解；【详解】 解：依题意由23z ≤⎡⎤≤⎣⎦，所以24z ≤<，由{}23z ≤≤，所以13z <≤，所以{}{}|23,|24,A z z z C z z z C =≤⎡⎤≤∈=≤<∈⎣⎦，{}{}{}|23,|13,B z z z C z z z C =≤≤∈=<≤∈，所以{}|23,A B z z z C =≤≤∈设()i ,z x y x y R =+∈，由23z ≤≤，所以23≤≤，所以2249x y ≤+≤，所以复数z 再复平面内对应的点为在复平面内到坐标原点的距离大于等于2且小于等于3的圆环部分，试卷第15页，共35页所以圆环的面积()22325S ππ=-=故答案为：5π40．若|2|2z +=，则|14i |z --取值范围是______【答案】[3，7]【分析】根据复数的几何意义z 对应的点在以()2,0-为圆心，2为半径的圆上，求出z 对应的点到()1,4的距离的最值即可.【详解】根据复数的几何意义可得|2|2z +=表示z 对应的点在以()2,0-为圆心，2为半径的圆上，则|14i |z --表示z 对应的点到()1,4的距离，设为d ，则()2,0-到()1,4-5=，所以min 523d =-=，max 527d =+=，所以|14i |z --取值范围是[]3,7.故答案为：[]3,7.41．在复数范围内因式分解：41x -=______【答案】()())1i ((1i )x x x x +-+-【分析】利用二倍角公式及2i 1=-计算可得；【详解】解：()()()()()()()()422222111i 111i i x x x x x x x x x -=+-=--=+-+-故答案为：()()()()11i i x x x x +-+-42．设a ∈C ，a ≠0，化简：i 1i a a -+=______ . 【答案】－i【分析】根据复数的运算法则计算即可. 【详解】()()()()()22221i i 1i i i i i 1i 1i 1i 11a a a a a a a a a a a a -+------====-++-++，故答案为：－i.43．设m R ∈，如果复数2(i)(1i)m m ++是实数，则m =______【答案】1-【分析】根据复数代数形式的乘法及复数为实数的充要条件得到方程，计算可得；【详解】解：复数223(i)(1i)()(1)i m m m m m ++=-++是实数，310m ∴+=，解得1m =-，故答案为：1-．44．设a R ∈，复数134i z =-，22i z a =+，若12z z是纯虚数，则a =______ 【答案】83 【分析】 利用复数的除法运算化简求出12z z ，再根据纯虚数的定义即可求出. 【详解】因为134i z =-，22i z a =+， 则()()()()21222234i 2i 34i 36i 4i 8i 3846i 2i 2i 2i 444a z a a a a z a a a a a a -----+-+====-++-+++， 因为12z z 是纯虚数，所以2238044604a a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪-+-≠+⎩=+，解得83a =. 故答案为：83. 45．设a ∈R ，若(3a 2-2a -1)＋(9a 2-1)i 是纯虚数，则a ＝______.【答案】1【分析】纯虚数实部为零，虚部不为零，据此可求a 的值.【详解】由题知2232101910a a a a ⎧--=⇒=⎨-≠⎩， 故答案为：1.46．已知复数(23)z i i =-，则复数z 的虚部为______【答案】3试卷第17页，共35页【分析】根据复数的除法运算法则，计算出复数z 的值，然后求出复数z 的共轭复数z ，最后写出z 的虚部.【详解】(23)23z i i i =-=--，23z i ∴=-+， 所以复数z 的虚部为3.，答案为：3.47．已知z C ∈，若()i 2z z z z +=-=，则z =______【答案】1i -##【分析】设i z a b =+，根据已知可求出,a b .【详解】设i z a b =+，则i z a b =-， 则22z z a +==，解得1a =， 由()i 2i i 22z z b b -=⋅=-=，解得1b =-.所以1i z =-.故答案为：1i -.48．计算：12i +=_______【分析】根据复数模的计算公式计算可得；【详解】解：12i =+49．复数512i 2i z -=+的实部为______. 【答案】0【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：512i 12i (12i)(2i)5i i 2i 2i (2i)(2i)5z -----=====-+++- 所以复数512i 2i z -=+的实部为0； 故答案为：050．已知复数z 满足()1i 34i z +=-（其中i 为虚数单位），则||z =________【分析】 将式子变形再运用复数的运算法则得到341712i i z i ---==+，根据复数模的公式求得结果即可.【详解】复数z 满足()1i 34i z +=-，变形得到()()()()134********i i i i z i i i -----===+-+||z =51．设i 为虚数单位，若复数()()12i 2i z =+-，则z 的实部与虚部的和为___________.【答案】7【分析】利用复数的乘法化简复数z ，即可求得结果.【详解】因为()()12i 2i 43i z =+-=+，因此，复数z 的实部与虚部之和为437+=. 故答案为：7.52．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=___________.【答案】2i -+【分析】根据复数的乘法运算求解即可.【详解】由题意知，12z i =+，则i i (12i)2i z ⋅=⋅+=-+，故答案为：2i -+53．已知复数z 的虚部为1，且||2z =，则z 在复平面内所对应的点z 到虚轴的距离为试卷第19页，共35页 ___________.【分析】由题意设z 对应点为(,1)x 且22||1z x =+，结合已知可得||=x ，即知z 在复平面内所对应的点z 到虚轴的距离.【详解】由题意，设z 对应点为(,1)x ，则22||14z x =+=，∴23x =，则||=x∴z 在复平面内所对应的点z54．在复平面xoy 内，复数12z ,z 所对应的点分别为12Z Z 、，对于下列四个式子：（1）2211 z z =；（2）1212z z z z ⋅=⋅；（3）2211OZ OZ =；（4）1212OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅，其中恒成立的是____________（写出所有恒成立式子的序号）【答案】（2）（3）【分析】结合复数运算对四个式子进行分析，由此确定正确答案.【详解】221111i,2i,2z z z =+==，所以（1）错误.()()121,1,1,1Z Z -，12120,2OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅=，所以（4）错误. 设()()1212i,i,,,,z a b z c d Z a b Z c d =+=+，()12i z z ac bd ad bc⋅=-++=12z z ⋅2）正确. 222211OZ OZ a b ==+，所以（3）正确. 故答案为：（2）（3）55．设复数z 满足1z z =+，且11z z -+是纯虚数，试写出一个满足条件的复数：z =___________.【答案】12- 【分析】设出复数z 的代数形式，由1z z =+求出z 的实部，然后由11z z -+是纯虚数列式即可计算作答.【详解】设()i ,z x y x y =+∈R ，由1z z =+，可得2222(1)x y x y +=++，解得12x =-， 又11z z -+是纯虚数，设1i(1z t t z -=∈+R 且0)t ≠，则31i i 22y ty t -+=-+，则3212ty y t ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得y =所以12z =-或12z =-.故答案为：12z =- 56．已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，下列说法正确的是______． ①如果12z z R +∈，则12,z z 互为共轭复数；②如果复数12,z z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=； ③如果2z z =，则||1z =； ④1212z z z z =．【答案】④【分析】根据复数的概念，复数的模的定义判断．【详解】12i z =+，23i z =-时，125z z R +=∈，但12,z z 不是共轭复数，①错； 如11z =，2i z =，则可得1212z z z z +=-120z z ≠，②错； 当0z =时，20z z ==，③错；只有④正确（可证明如下：设12i,i z a b z c d =+=+（,,,a b c d R ∈）．12(i)(i)()i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++===12z z=）故答案为：④．57．设m、n∈R，且2i1i1imn+=--（i为虚数单位），则im n+=_________．【答案】5【分析】利用复数相等可求得实数m、n的值，再利用复数的模长公式可求得结果.【详解】由已知可得()()()()2i1i1i11im n n n+=--=--+，得()112n mn-=⎧⎨-+=⎩，解得43mn=⎧⎨=-⎩，故i43i5m n+=-==.故答案为：5.58．设2i1iz-=+，则z=___________.【分析】根据题意，结合复数的乘除运算，以及模长公式，即可求解.【详解】根据题意，()()()()2i1i2i13i13i1i1i1i222z-⋅---====-++⋅-，故z=.59．已知复数z满足i1iz⋅=+(i是虚数单位)，则复数z的模等于_______.【分析】利用复数乘法运算求得z，进而求得z的模.【详解】i1iz⋅=+，()()()i i1i i,1i,z z z⋅⋅-=+⋅-=-60．设i是虚数单位，复数2i1iz=-，则z对应的点位于第_____象限【答案】二【分析】试卷第21页，共35页先利用复数的除法化简复数z ，再根据复数的几何意义求解.【详解】因为()()()2i 1i 1i 1i 1i z +==-+-+， 所以z 对应的点位于第二象限，故答案为：二61．复数(2i)1i z +=-，则z 的虚部是_________________． 【答案】35## 【分析】根据复数的运算求出复数z ，从而求复数z 的虚部.【详解】因为(2i)1i z +=-，所以()()()()1i 2i 1i 13i 13i 2i 2i 2i 555z ----====-++-， 所以z 的虚部是35. 故答案为：35. 62．若复数 z 满足13i 1i z +=-， 则 z =________．【分析】根据复数的运算法则，化简复数为12i z =-+，结合复数模的运算公式，即可求解.【详解】 由复数的运算法则，可得13(13)(1)24121(1i i i i i i i i )(1)2z ++⋅+-+====-+--⋅+，则z63．若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个根，则c =_______．【答案】3【分析】利用实系数方程虚根成对定理，结合韦达定理求解即可．【详解】1是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，试卷第23页，共35页可知1是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，∴(1＝c ，∴c ＝3．故答案为：3．64．复数51i +的虚部是___________.【答案】1【分析】利用2i ＝－1即可计算﹒【详解】∵5221i 1i i i 1i ⋅⋅＋＝＋＝＋，∴51i +的虚部为1．故答案为：1．65．复数13i 3i-+的虚部是___________. 【答案】−1【分析】利用复数的除法运算计算即可.【详解】()()()()1331310i i 33310i i i i i i ----===-++- 复数13i 3i-+的虚部是−1 故答案为，−166．已知复数z 满足||1z =，则|2|z -的最大值为___________．【答案】3【分析】设i z a b =+，结合已知条件求出点(,)a b 在221x y +=上运动，然后将问题转化为点(2,0)到221x y +=上一点的最大距离，再利用圆的性质即可求解.【详解】不妨设i z a b =+，由||1z =可得，221a b +=，故点(,)a b 在221x y +=上运动，又因为22i z a b -=-+，所以|2|z -=(,)a b 与点(2,0)之间的距离，从而|2|z -的最大值为点(2,0)到221x y +=上一点的最大距离，又因为221x y +=是以圆心(0,0)，半径为1的圆，故圆心(0,0)与点(2,0)之间的距离2d ==，从而|2|z -的最大值为13d +=.故答案为：3.67．若复数z 满足1z z ⋅=，则|2i |z -的最大值是______.【答案】3【分析】设i,,z a b a b R =+∈，则221a b +=，根据复数几何意义知，|2i |z -表示在复平面内，(,)a b 到(0,2)的距离，从而求得最大值.【详解】设i,,z a b a b R =+∈，则221a b +=，根据复数几何意义知，|2i |z -表示在复平面内，(,)a b 到(0,2)的距离，则最大值为213+=，故答案为：368．复数i 1ia -在复平面上对应的点位于第一象限，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】()0,+∞【分析】根据复数除法运算化简即可得出.【详解】 因为()2i 1i i 1i i i i 1a a a a ----===+-，又在复平面上对应的点位于第一象限，所以0a >. 故答案为：()0,+∞.69．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是12,z z ，则12=z z +__________．【答案】2试卷第25页，共35页【分析】由已知求得12,z z ,进一步求得12z z +.【详解】由题意可知,12i,2i z z ==-.所以()12i 2i 2z z +=+-=故答案为:2.70．若复数12z i =-（i 是虚数单位）是关于x 的方程()20x px q p q R ++=∈，的一个根，则p q +=__________.【答案】3【分析】把12i x =+代入方程20x px q ++=，化简方程，利用相等复数的概念得到p q 、的值，即得p q +的值.【详解】由复数12z i =+（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，所以()()212i 12i 0p q ++++=，即()()342i 0p q p +-++= 所以30420p q p +-=⎧⎨+=⎩，故3p q += 故答案为：371．已知复数z 满足i i z z+=，则z =_________. 【答案】11i 22- 【分析】利用给定等式用i 表示出复数z ，再进行复数除法运算即可得解.【详解】因复数z 满足i i z z+=，则i i z z =+，整理得(1i)i z -+=， 则i i (1i)1i 11i 1i (1i)(1i)222z ⋅---====--+-+--， 所以11i 22z =-.故答案为：11i 22- 72．i 为虚数单位，若复数()()1i i 2m ++是纯虚数，则实数m 等于________．【答案】2【分析】计算求出复数，根据纯虚数的定义可得.【详解】()()()()2i 2i 2i 221i 1i i 2m m m m m =+-++++++=，因为()()1i i 2m ++是纯虚数，所以20210m m -=⎧⎨+≠⎩，解得2m =. 故答案为：2.73．设i 是虚数单位，计算：43i 12i +=-__________.【答案】12i +##【分析】 计算出43i +，再利用复数的运算法则进行计算【详解】()()()512i 43i 12i 12i 12i 12i ++===+--+ 故答案为：12i +74．i 是虚数单位，复数74i 12i+=+______ 【答案】32i -##【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】()()()()2274i 12i 74i 714i 4i 8i 1510i 32i 12i 12i 12i 14i 5+-+-+--====-++--， 故答案为：32i -.75．已知i 为虚数单位，则复数()()2i 1i z =+-的虚部为__________.【答案】1-.【分析】应用复数乘法化简复数，即可知虚部.试卷第27页，共35页【详解】由题设，()()2i 1i 3i z =+-=-，∴虚部为1-.故答案为：1-.76．设复数2cos isin 66z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，那么z 的共轭复数z 的代数形式是______．i【分析】计算i z =，再计算共轭复数得到答案.【详解】2cos isin i 6π6πz ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故i z .i .77．复数12的三角形式是______． 【答案】cos i 33πsin π+ 【分析】直接利用辅助角公式计算得到答案.【详解】1cos isin 233ππ+=+. 故答案为：cos i 33πsin π+. 78cos isin 3cos isin 121266ππππ⎫⎛⎫+⋅+⎪ ⎪⎭⎝⎭． 【答案】33i +##【分析】直接利用复数的三角运算性质求解即可【详解】原式cos isin 33i 126126ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦ 故答案为：33i +79．设12cos isin 33z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2sin icos 66z ππ⎫=+⎪⎝⎭，则12z z ⋅的三角形式为___________.22cos isin33ππ⎫+⎪⎭【分析】先将12,z z化简，然后计算12z z⋅，再转化为三角形式即可【详解】因为12cos isin133zππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，21sin i cos662zππ⎫⎫+==⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以12(1z z⎫⋅=⎪⎪⎝⎭2=+=12⎫-⎪⎪⎭22cos isin33ππ⎫=+⎪⎭，22cos isin33ππ⎫+⎪⎭80．已知复数z的模为10，虚部为6，则复数z为______．【答案】86i±+【分析】若复数iz a b+＝【详解】设6iz a+＝，则1010886iz a z⇒⇒±⇒±+＝＝＝﹒故答案为：86i±+81．设复数iz x y=+，x，y∈R，且x y=，则满足1z=的复数z共有______个．【答案】4【分析】方法一(代数运算)：联立方程组求解；方法二(几何意义)：利用复数的几何意义求解﹒试卷第29页，共35页【详解】方法一(代数运算)：由1z ＝，得221x y ＋＝．又x y ＝，联立，解得z ±＝， 故答案为：4方法二(几何意义)：由1z ＝，知复数z 在复平面内对应的点构成一个单位圆．又x y ＝，故复数z 在复平面内对应的点落在直线y x ±＝上，显然直线y x ±＝与单位圆有四个交点， 故答案为：482．若复数cos 1isin z θθ=++，则z 的最大值为______．【答案】2【分析】根据复数模的运算公式，结合余弦函数的性质进行求解即可.【详解】z =cos 1θ=时，max 2z =，故答案为：2 83．已知复数z 的实部为1，2z =，则z =______．【答案】1【分析】利用复数的模的概念即得.【详解】由题可设1i z b =+，又2z =，2，解得b =∴z =1.故答案为：1.84．已知复数z 满足实部为3，虚部为2-，则复数z 在复平面上对应的点关于虚轴对称的点所对应的复数是______．【答案】32i --＃＃2i 3--【分析】由题可得32i z =-，结合条件即得.【详解】由题可得32i z =-，∴复数z 在复平面上对应的点关于虚轴对称的点所对应的复数为32i --.故答案为：32i --.85．已知z C ∈，且i 1z +≤，则z 的取值范围为______.【答案】[]0,2【分析】将问题转化为到定点(0,1)的距离小于或等于1的动点所成图形，再应用数形结合法求z 的取值范围.【详解】若i z x y =+且,x y R ∈，则问题转化为到(0,1)的距离小于或等于1的动点(,)x y 所在区域， ∴(,)x y 在以(0,1)为圆心，半径为1的圆上或内，如下图示：∴z 的取值范围为[]0,2.故答案为：[]0,286．若复数z 满足：()3i i 2i z z z z -⋅++=+，则z =______.试卷第31页，共35页【答案】12-± 【分析】设()i ,z a b a b R =+∈，根据题设等量关系及复数的乘除运算可得22121a b a ⎧+=⎨=-⎩求a 、b ，写出复数z .【详解】设()i ,z a b a b R =+∈，原式化为222i 1i a b a ++=-，则221,21,a b a ⎧+=⎨=-⎩解得1,2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴12z =-.故答案为：12-± 87．当实数m =______时，复数()()223i 456i z m m m m =-+-++⎡⎤⎣⎦为纯虚数.【答案】4【分析】由纯虚数的概念可得22340560m m m m ⎧--=⎨--≠⎩，求解即可. 【详解】由()223456i z m m m m =--+--为纯虚数，∴22340560m m m m ⎧--=⎨--≠⎩，解得4m =. 故答案为：488．已知复数153i z =-，242i z =-+，那么12z z +的共轭复数为______.【答案】1i +##【分析】应用复数的加法及共轭复数的概念，即可得12z z +的共轭复数.【详解】1253i 42i 1i z z +=--+=-，∴12z z +的共轭复数为1i +.故答案为：1i +89．已知复数12i z =+，212i z =+在复平面内对应的点分别为A 、B ，则向量AB 对应的复数z 在复平面内所对应的点在第______象限.【答案】二【分析】由题设写出A 、B 的点坐标，进而得到AB 的点坐标，即可判断其对应点所在象限.【详解】由题意，(2,1),(1,2)A B ，故(1,1)AB =-，∴AB 对应的复数z 在复平面内所对应的点在第二象限.故答案为：二90．复数31i 1i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭的值等于______. 【答案】i -【分析】根据复数的运算直接化简即可.【详解】 由()()()()1i 1i 1i 2i i 1i 1i 1i 2+++===--+， 故331i 1i i i +⎛⎫⎪⎭= ⎝=--， 故答案为：i -.91．复数()52i 34i -+的模为______.【答案】10【分析】由复数的乘法运算可得()52i 34i 2(3i 4)-+=--，再求模即可.【详解】()52i 34i 2(3i 4)-+=--，∴|2(3i 4)|210--==.故答案为：1092．在复平面内，复数53i z =--对应的点的坐标为______.【答案】()5,3--【分析】试卷第33页，共35页复数z ＝a ＋b i 对应的点为(a ，b )【详解】∵53i z =--，∴对应的点的坐标为(－5，－3)，故答案为：(－5，－3)93．复数isin 200cos100z =-︒+︒在复平面上对应的点在第______象限．【答案】二【分析】判断复数的实部和虚部的正负后可得．【详解】由已知cos100sin100︒=-︒<，sin 200sin 200-︒=︒>，实部小于0，虚部大于0，对应点在第二象限．故答案为：二．94．1001i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭______.【答案】1【分析】根据复数的除法和乘方运算规则计算即可得出结果.【详解】根据复数的运算规则知，()()()()100100100251i 1i 1i i 111i 1i 1i ⎡⎤+++⎛⎫====⎢⎥ ⎪--+⎝⎭⎢⎥⎣⎦故答案为：1.95．()()()1i 2i 33i -+-=______.【答案】612i -##【分析】根据复数的运算规则计算.【详解】根据复数的运算规则得，()()()()()1i 2i 33i 3i 33i 612i -+-=--=-故答案为：612i -.96．23i ÷=______.【答案】2i 3-## 【分析】根据复数的除法运算即可得出答案.【详解】 解：26i 2i 23i 3i 93-÷===-. 故答案为：2i 3-. 97．()()2i 12i +-+=______.【分析】利用复数的乘法运算即可求解.【详解】()()()()22i 12i 2i 4i 2i 2241i 43i +-+=--++=--+-=-+， 故答案为：43i -+.98．()()()2i 62i 56i +--++=______.【答案】19i +##【分析】直接根据复数的加减法运算计算即可得出答案.【详解】解：()()()()()2i 62i 56i 265126i 19i +--++=-++++=+. 故答案为：19i +.99．()()53i 53i -++=______.【答案】10【分析】根据复数的加法运算，即可求出结果.【详解】()()()()53i 53i 553i 3i 10-++=++-=.故答案为：10.100．已知1i +为方程20ax x b ++=（a ，b 为实数）的根，则a b +=____________. 【答案】32- 【分析】试卷第35页，共35页 利用根与系数关系求得,a b ，由此求得a b +.【详解】依题意1i ±是方程20ax x b ++=的根， 所以111i 1i 22a a ++-==-⇒=-， ()()1i 1i 21bb a +-==⇒=-， 所以32a b +=-. 故答案为：32-。
《复数》知识要点梳理
《复数》 知识要点梳理一、数的发展和复数的概念 1.数的发展过程N →Z →Q →R →C ，其中N Z Q R C 苘苘.2.复数的分类注：若R ——实数集，C ——复数集，P ——虚数集，S ——纯虚数集，则==∅R P C R P S P C ，，苘.3.复数的三种形式（1）代数形式：i()z a b a b =+∈R ，.注：若无a b ∈R ，这一条件，就不能视a b ，为z 的实部、虚部. （2）几何形式：用点()Z a b ，表示i()z a b a b =+∈R ，. （3）向量形式：用OZ 表示i()z a b a b =+∈R ，. （4）三种形式的一一对应关系：4.复数相等（1）i i a b c d a c +=+⇔=，且()b d a b c d =∈R ，，，. （2）12z z =⇔对应点1Z 与2Z 重合1OZ ⇔与2OZ 重合. 5.共轭复数i a b +与i()a b a b -∈Z ，互为共轭复数.（1）几何特征：非零复数12z z ，互为共轭复数⇔对应点12Z Z ，（或对应向量1OZ ，2OZ ）关于实轴对称.（2）代数特征：①22i z z a z z b +=∈-=R ，为纯虚数或零；②z z =. 6.复数的模复数i()z a b a b =+∈R ，的模z =二、复数的运算与性质 1.复数的运算及其几何意义（1）对于代数形式的加、减、乘、除四则运算法则，要特别注意复数的除法可以用“分母实数化”理解.（2）复数的加减法满足交换律、结合律.（3）复数的乘除法满足交换律、结合律及对加法的分配律.（4）复数的混合运算顺序也是先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. （5）复数加法、减法的几何意义，即向量加法、减法的平行四边形法则或三角形法则. 2.重要性质或结论（1）共轭复数的运算性质①1212z z z z ±=±.②1212z z z z =. ③1122z z z z ⎛⎫=⎪⎝⎭.④()()n nz z n =∈Z . ⑤z z =.⑥z z z ∈⇔=R .⑦若z 为纯虚数z z ⇔=-.⑧22z z z z ==. （2）复数模的运算性质 ①z z =.②22z z z z ==. ③1212z z z z =.④11222(0)z z z z z =≠. ⑤nnz z =（当z ≠0时，n ∈Z ）. ⑥121212z z z z z z -±+≤≤.注：性质⑥通常叫做三角形不等式，其几何意义为三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. ⑦22221212122()z z z z z z ++-=+.注：性质⑦的几何意义为平行四边形两对角线平方和等于四条边的平方和. （３）复数与点的轨迹①两点间的距离公式：12d z z =-. ②线段的中垂线：12z z z z -=-.③圆的方程：z p r -=（以点p 为圆心，r 为半径）.④椭圆：122z z z z a -+-=（2a 为正常数，122a z z >-）. ⑤双曲线：122z z z z a ---=（2a 为正常数，122a z z <-）. ⑥圆的内部：z p r -<（以点p 为圆心，r 为半径）.⑦闭圆环：12r z p r -≤≤（以点p 为圆心，12rr ，为半径）. （4）常用的重要结论 ①z z z ∈⇔=R .②z 是纯虚数的充要条件是0z z +=且z ≠0. ③22(i)(i)()i i(i)a b a b a b a b b a +-=++=-，. ④4414243i1i i i 1i i()nn n n n +++===-=-∈N ，，，.⑤21i 1i(1i)2i i i 1i 1i+-±=±==--+，，.⑥i 的平方根是22⎛⎫±+⎪ ⎪⎝⎭，-i 的平方根是122⎛⎫±-+ ⎪ ⎪⎝⎭；的立方根是11i 122-±-，；的立方根是1122-±，.⑦设12ω=-±，，则31313223311k k k ωωωωωωωωωω+++======，，；，； 210ωω++=，120k k k ωωω++++=.（k ∈Z ）⑧非零复数1i z a b =+，2i()z c d a b c d =+∈R ，，，，对应的向量1212120OZ OZ ac bd z z z z ⇔+=⇔-=+⊥（矩形的对角线相等）.三、复系数一元二次方程及性质1.实系数一元二次方程20(ax bx c a b c ++=∈R ，，且0)a ≠及性质（1）0∆≥时，方程有实根：122b x a-±=，；0∆<时，在复数集C 中，方.（2）根与系数的关系：无论0∆≥还是0∆<，总有112b c x x x x a a+=-=，. （3）虚根成对出现的性质：当∆＜0时，12x x =且221212c x x x x a===. 2.虚系数一元二次方程20(0ax bx c a a b c ++=≠，，，至少有一个为虚数）及性质 （1）求根公式仍适用；（2）根与系数的关系仍适用； （3）判别式判断实根情况失效； （4）虚根成对出现的性质失效. 四、复数复习注意点１.复数有关的证明问题（1）i 0()z a b b a b =+∈⇔=∈R R ，. （2）20z z ∈⇔R ≥. （3）z z z ∈±=R . 2.证明复数是纯虚数的方法（1）z a b =+i 是纯虚数0a ⇔=且0()b a b ≠∈R ，. （2）z 是纯虚数0z z ⇔+=且z ≠0. （3）z 是纯虚数20z ⇔<.３.数的概念扩展到复数后，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等.再如下列结论，当z ∈C 时都可以举出结论不成立的例证（由于前4个结论都较容易给出反例，我们不再给出，只对（5）、（6）进行分析）： （1）(1)m nz z m n z =⇒=≠；（2）22121200z z z z +=⇔+=；（3）22z z =；（4）z a a z a <⇔-<<.（5）()()mnm n aa m n =∈Q ，对虚数a 不再适用，如，求值20051i 22⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭.错解：31i 122⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，200520053311i12222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥∴-+=-+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦。
(易错题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测卷(答案解析)(3)
一、选择题1．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则a bi +=（ ）AB ．2 CD ．5 2．复数(34)i i +的虚部为A ．3B ．3iC ．4D ．4i3．已知i 是虚数单位，复数1i1i -+（ ）． A ．1B ．1-C ．iD ．i -4．对于复数z a bi =+（,,a b R ∈i 为虚数单位），定义||||z a b =+‖‖，给出下列命题：①对任何复数z ，都有0z ≥‖‖，等号成立的充要条件是0z =；②z z =‖‖‖‖：③若12z z =，则12=±z z ：④对任何复数1z 、2z 、3z ，不等式131223z z z z z z -≤-+-恒成立，其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．当复数2(32)()z x x x i x =-+-∈R 的实部与虚部的差最小时，1zi =-（ ） A ．33i -+ B ．33i +C ．13i -D ．13i --6．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝﹣3+i （期中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面对应的点是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．满足条件4z i z i ++-=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）． A ．椭圆B ．两条直线C ．圆D ．一条直线8．满足条件3z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．线段9．复数z 满足(1)35i z i -⋅=+，则||z = A ．2B．CD10．已知a ∈R ，复数12i z a =+，212i z =-，若12z z 为纯虚数，则复数12z z 的虚部为( ) A ．1B ．iC ．25D ．011．设i 是虚数单位，则复数734ii++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( ) A ．34B ．43C ．43-D ．34-二、填空题13．设11()()()()11n ni i f n n i N i+-=+∈-+，则集合{|()}x x f n =的子集个数是___________. 14．已知,z w C ∈，1z w +=，224z w +=，则zw 的最大值为______.15．已知复数12,z z 满足122,3z z ==，若它们所对应向量的夹角为60︒，则1212z z z z +=-___ 16．复数z 满足21z i -+=，则z 的最大值是___________． 17．若复数23z i =+，则1iz+=__________． 18．已知复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，（i 为虚数单位)，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.19．已知z C ∈，||1z =，则2|21|z z ++的最大值为______．20．如果复数z 满足336z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是__________三、解答题21．（1）在复数范围内解方程：23||()2iz z z i i-++=+（i 为虚数单位）； （2）设系数为整数的一元二次方程20ax bx c ++=的两根恰为（l ）中方程的解，求||||||a b c ++的最小值；22．已知关于x 的实系数方程20x px q -+=，其中p q 、为实数. (1)若12x i =+是该方程的根，求p q +的值； (2)若22p q +=，求该方程两根之积的最大值.23．在复数范围内分解因式：42625x x -+= ________. 24．已知是复数，和均为实数（为虚数单位）.(1)求复数； (2)求的模.25．证明：在复数范围内，方程()()255112iz i z i z i-+--+=+（为虚数单位）无解． 26．已知z 是复数，i z 2+、iz -2均为实数（i 为虚数单位），且复数2)(ai z +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于,a b 的方程组，解得,a b 的值，进而可得答案. 【详解】因为(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，结合,a b ∈R ，所以有110b a b +=⎧⎨-=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以2a bi i +=+==故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.2．A解析：A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简得答案． 【详解】 ∵i （3+4i ）=-4+3i ， ∴i （3+4i ）的虚部为3． 故选A. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．D解析：D 【解析】()()()()1i 1i 1i 12i 12ii 1i 1i 1i 112------====-++-+，故选D. 4．C解析：C 【分析】在①中，当z ＝0时，‖z ‖＝0；反之，当‖z ‖＝0时，z ＝0；在②中，z ＝a +bi ，z =a ﹣bi ，从而‖z ‖＝‖z ‖＝|a |+|b |；在③中，当z 1＝2+3i ，z 2＝3+2i 时，不成立；④由绝对值的性质得到‖z 1﹣z 3‖≤‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖恒成立． 【详解】由复数z ＝a +bi （a 、b ∈R ，i 为虚数单位），定义‖z ‖＝|a |+|b |，知： 在①中，对任何复数，都有‖z ‖≥0，当z ＝0时，‖z ‖＝0；反之，当‖z ‖＝0时，z ＝0， ∴等号成立的充要条件是z ＝0，故①成立；在②中，∵z ＝a +bi ，z =a ﹣bi ，∴‖z ‖＝‖z ‖＝|a |+|b |，故②成立； 在③中，当z 1＝2+3i ，z 2＝3+2i 时，‖z 1‖＝‖z 2‖，但z 1≠±z 2，故③错误； ④对任何复数z 1，z 2，z 3，设z 1＝a 1+b 1i ，z 2＝a 2+b 2i ，z 3＝a 3+b 3i ， 则‖z 1﹣z 3‖＝|a 1﹣a 3|+|b 1﹣b 3|，‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖＝|a 1﹣a 2|+|a 2﹣a 3|+|b 1﹣b 2|+|b 2﹣b 3|， |a 1﹣a 3|≤|a 1﹣a 2|+|a 2﹣a 3|， |b 1﹣b 3|≤|b 1﹣b 2|+|b 2﹣b 3|，∴‖z 1﹣z 3‖≤‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖恒成立．故④成立． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意绝对值性质、复数概念及性质的合理运用．5．C解析：C 【解析】 【分析】实部与虚部的差为242x x -+。
复数的几何表示
辐角：表示复数在复平面上的旋转角度
复数的几何运算
03
加法运算
举例：例如z1=3+4iz2=1+2i则z1+z2=4+6i
定义：两个复数相加相当于在复平面内将它们的向量相加
规则：平行四边形法则即以实部和虚部分别为邻边作平行四边形其对角线即为相加后的复数
几何意义：表示在复平面内将z1和z2对应的点相加得到的结果对应的点就是z1+z2
复数的几何表示
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目录
01
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02
复数的几何定义
03
复数的几何运算
04
复数的几何意义
05
复数的几何应用
06
复数的几何表示的扩展
添加目录项标题
01
复数的几何定义
02
复数平面的坐标系
实轴和虚轴：复数平面的水平轴表示实数垂直轴表示虚数
点的表示：每个复数z可以表示为平面上的一点(,b)其中是实部b是虚部
模长：复数z的模长定义为√(^2 + b^2)表示点(,b)到原点的距离
幅角：复数z的幅角定义为rctn(b/)表示点(,b)与实轴正方向的夹角
复数在平面上的表示
实部为横坐标虚部为纵坐标
复数平面的表示方法有多种
复数由实部和虚部组成
复数可以用平面上的点来表示
复数的模和辐角
复数的模：表示复数在复平面上的距离
除法运算
定义：复数 + bi 与 c + di 的除法运算可以通过乘以共轭数的方式进行
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应用：在电路分析、信号处理等领域中复数的除法运算有广泛应用
复数与方程知识点总结
复数与方程知识点总结一、复数的基本概念1. 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的表示形式复数可以表示为代数形式、三角形式和指数形式，分别为a+bi、r(cosθ+isinθ)和re^(iθ)。
3. 复数的运算复数的加法、减法、乘法和除法分别满足交换律、结合律和分配律。
4. 复数的共轭复数a+bi的共轭是a-bi，其性质是共轭的共轭是其本身，共轭的乘积等于模的平方。
5. 复数的模和幅角复数a+bi的模是√(a²+b²)，幅角是arctan(b/a)，它们表示了复数的大小和方向。
6. 复数的数轴表示复数a+bi可以在复数平面上用点(a,b)表示，它可以与直角坐标系和极坐标系相对应。
二、方程的基本概念1. 方程的定义方程是含有未知数的等式，它的解是使得等式成立的值，通常用字母x、y表示未知数。
2. 一元一次方程一元一次方程是形如ax+b=0的方程，其中a、b是已知实数，x是未知数，它的解可以用等式变形和解方程法得到。
3. 一元二次方程一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知实数，x是未知数，它的解可以用公式法和配方法得到。
4. 多项式方程多项式方程是包含多项式的方程，它可以是一元或多元的，是代数学中研究的重要对象。
5. 方程的解方程的解是使得方程成立的值，它可以是实数、复数或其他对象，解的个数和性质与方程的形式和系数有关。
6. 方程的应用方程在代数、几何、物理、化学和工程等领域中有广泛的应用，它是解决实际问题的重要工具。
三、复数方程的解法1. 一元一次复数方程一元一次复数方程是形如az+b=c的方程，其中a、b、c、z是已知复数，它的解可以用代数法和几何法得到。
2. 一元二次复数方程一元二次复数方程是形如az²+bz+c=0的方程，其中a、b、c、z是已知复数，它的解可以用公式法和配方法得到。
高一：复数与一元二次方程
复数与一元二次方程学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长知识定位复数在过去几年里是代数的重要内容之一，涉及的知识面广，对能力要求较高，是高考热点之一。
但随着新教材对复数知识的淡化，高考试题比例下降，因此考生要把握好复习的尺度。
从近几年的高考试题上看：复数部分考查的重点是基础知识题型和运算能力题型。
基础知识部分重点是复数的有关概念、复数的代数形式、三角形式、两复数相等的充要条件及其应用，复平面内复数的几何表示及复向量的运算。
主要考点为复数的模与辐角主值，共轭复数的概念和应用。
若只涉及到一、二个知识点的试题大都集中在选择题和填空题；若涉及几个知识点的试题，往往是中、高档题目，解答此类问题一般要抓住相应的概念进行正确的变换，对有些题目，往往用数形结合可获得简捷的解法。
有关复数n 次乘方、求辐角（主值）等问题，涉及到复数的三角形式，首先要将所给复数转化为三角形式后再进行变换。
复数的运算是高考中复数部分的热点问题。
主要考查复数的代数和三角形式的运算，复数模及辐角主值的求解及复向量运算等问题。
知识梳理知识梳理1. 复数的平方根与立方根 1、复数的平方根如果),,,(,R d c b a di c bi a ∈++满足：di c bi a +=+2)(，则称bi a +是di c +的一个平方根。
【注】（1）一个非零复数的平方根都有相应的两个复数；（2）复数的平方根一般不要记为z 。
2、复数的立方根若复数21,z z 满足231z z =，则称1z 是2z 的立方根。
【注】1的立方根有三个：1，ω，2ω（其中i 2321+-=ω），满足210ωω++=。
知识梳理2. 实系数的一元二次方程的根的分布1.实系数的一元二次方程02=++c bx ax （a 、b 、c R ∈，且0≠a ） (1)当042>-=∆ac b 时，方程有两个不相等的实数根；(2)当042=-=∆ac b 时，方程有两个相等的实数根； (3)当042<-=∆ac b 时，方程在复数集范围内有一组共轭虚根i ab ac a b a i b ac b x 2422422-±-=-±-=21x x =—，∴2121||x x x ⋅=，1212Re x x x +=.这时两根仍然满足韦达定理：a b x x -=+21，acx x =⋅21 【注】（1）实系数一元二次方程有虚根必定成对出现，并且共轭。
复数知识点总结数学
复数知识点总结数学一、复数的定义1. 复数的引入复数是在解决二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 时引入的，因而对于该方程抽象出来的解 -b/2a 即不存在，于是引入了虚数单位 i（i^2 = -1）。
因此，考虑了实数范围外的概念：负数的平方根。
2. 复数的定义复数由实部和虚部组成，一般表示为 a+bi，其中a为实部，bi为虚部。
当a=0时，复数为纯虚数；当b=0时，复数为实数。
3. 复数的性质复数具有共轭、实部、虚部等性质。
共轭：复数 a+bi 的共轭为 a-bi；实部：复数 a+bi 的实部为 a；虚部：复数 a+bi 的虚部为 b。
4. 复数的绝对值和幅角复数 a+bi 的绝对值定义为|a+bi| = √(a²+b²)；复数 a+bi 的幅角定义为 arg(a+bi) =arctan(b/a)。
二、复数的运算1. 复数的加法和减法复数的加法和减法都是按照实部和虚部进行赋值运算。
2. 复数的乘法复数的乘法是按照展开式进行计算的，需要注意 i² = -1。
3. 复数的除法复数的除法需要将分母有理化，然后乘以共轭复数得到结果。
4. 复数的乘方和开方复数的乘方需要注意按照展开式进行计算；复数的开方需要注意共轭复数和幂次根的计算。
三、复数的代数方程1. 一元二次方程一元二次方程的解一般为复数，根据判别式可以判断方程有几个实根、虚根或不等实根。
2. 一元高次方程一元高次方程的根可能为复数，可以根据综合定理推导出复数根的情况。
3. 复数系数方程对于复数系数方程，可以使用复数的性质进行求解，得到复数解。
四、复数平面1. 复数的几何表示在复数平面中，实部和虚部分别对应坐标轴上的 x 轴和 y 轴，复数 a+bi 对应于点 (a,b)。
2. 复数的运算复数的几何表示可以利用向量的方法进行解释，加法和乘法对应于向量的平移和旋转。
3. 复数的几何性质复数的绝对值对应于复数到原点的距离，复数的幅角对应于复数到 x 轴的角度。
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新知探索
(1)复平面的定义 复平面 建立了直角坐标系表示复数的平面叫作___________ ，x 虚轴 实轴 ，y轴叫作________. 轴叫作_______ 实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示
纯虚数．
虚轴
实轴
例3
（教材93）
(1)在复平面画出分别表示以下复数
z1 ,
z4 的点 P1 , P4
z1 1, z 2 i, z3 4 3i, z 4 4 3i
(2)表示以上复数的点中是否有两个点关于实轴对称？它们所代
表的复数有什么关系？
共轭复数关于实轴对称
复数模的定义
例求出下列复数的模
模的性质
即 实数的模就是它的绝对值
本章总结： 1.复数的概念 2.复数的四则运算（乘法，除法很重要） 3.解实系数一元二次方程及复数的几何表示
提升练习
(2)
2－i 2 ＋ (1 － i) ； 2 （3－4i）（1＋i）
1 11 － i. 10 5
一，复习重要公式
新知探索
一.在复数范围内解实系数一元二次方程
0 0
x
x
b 2a
两个不同的实数根
b 2a
两个相同的实数根
0
x
两个共轭虚根
小试牛刀
在复数范围内解方程：
变式训练
注意：在以后的解方程中，如果没 有说明在复数范围内解方程，我们 默认在实数范围内求解
二 .复数的几何表示