9.等差数列的前n项和5
必修5《等差数列的前n项和》习题精选含答案
第1课时等差数列的前n项和课后篇巩固探究A组1.设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.63解析:S7==49.答案:C2.设S n是等差数列{a n}的前n项和,S5=10,则a3的值为()A. B.1 C.2 D.3解析:∵S5==5a3,∴a3=S5=×10=2.答案:C3.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n-37,则S n取最小值时n的值为()A.17B.18C.19D.20解析:由≤n≤.∵n∈N+,∴n=18.∴S18最小,此时n=18.答案:B4.等差数列{a n}的前n项和为S n(n=1,2,3,…),若当首项a1和公差d变化时,a5+a8+a11是一个定值,则下列选项中为定值的是()A.S17B.S18C.S15D.S14解析:由a5+a8+a11=3a8是定值,可知a8是定值,所以S15==15a8是定值.答案:C5.若两个等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为A n与B n,且满足(n∈N+),则的值是()A. B. C. D.解析:因为,所以.答案:C6.已知{a n}是等差数列,S n为其前n项和,n∈N+.若a3=16,S20=20,则S10的值为.解析:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d.∵a3=a1+2d=16,S20=20a1+d=20,∴解得d=-2,a1=20,∴S10=10a1+d=200-90=110.答案:1107.在等差数列{a n}中,前n项和为S n,若a9=3a5,则=.解析:S17=17a9,S9=9a5,于是×3=.答案:8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于.解析:设公差为d,则有5d=S偶-S奇=30-15=15,于是d=3.答案:39.若等差数列{a n}的公差d<0,且a2·a4=12,a2+a4=8.(1)求数列{a n}的首项a1和公差d;(2)求数列{a n}的前10项和S10的值.解(1)由题意知(a1+d)(a1+3d)=12,(a1+d)+(a1+3d)=8,且d<0,解得a1=8,d=-2.(2)S10=10×a1+d=-10.10.导学号33194010已知数列{a n}是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项均为正,从第7项开始变为负.求:(1)此等差数列的公差d;(2)设前n项和为S n,求S n的最大值;(3)当S n是正数时,求n的最大值.解(1)∵数列{a n}首项为23,前6项均为正,从第7项开始变为负,∴a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0,解得-<d<-,又d∈Z,∴d=-4.(2)∵d<0,∴{a n}是递减数列.又a6>0,a7<0,∴当n=6时,S n取得最大值,即S6=6×23+×(-4)=78.(3)S n=23n+×(-4)>0,整理得n(25-2n)>0,∴0<n<,又n∈N+,∴n的最大值为12.B组1.设数列{a n}为等差数列,公差d=-2,S n为其前n项和,若S10=S11,则a1=()A.18B.20C.22D.24解析:因为S11-S10=a11=0,a11=a1+10d=a1+10×(-2)=0,所以a1=20.答案:B2.(2017全国1高考)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为()A.1B.2C.4D.8解析:设首项为a1,公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+d=48,联立可得①×3-②,得(21-15)d=24,即6d=24,所以d=4.答案:C3.等差数列{a n}的前n项和记为S n,若a2+a4+a15的值为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是()A.S7B.S8C.S13D.S15解析:∵a2+a4+a15=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为常数,∴S13==13a7为常数.答案:C4.导学号33194011若等差数列{a n}的通项公式是a n=1-2n,其前n项和为S n,则数列的前11项和为() A.-45 B.-50 C.-55 D.-66解析:∵S n=,∴=-n,∴的前11项和为-(1+2+3+…+11)=-66.故选D.答案:D5.已知等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,a k+a4=0,则k=.解析:设等差数列{a n}的公差为d,则a n=1+(n-1)d,∵S4=S9,∴a5+a6+a7+a8+a9=0.∴a7=0,∴1+6d=0,d=-.又a4=1+3×,a k=1+(k-1)d,由a k+a4=0,得+1+(k-1)d=0,将d=-代入,可得k=10.答案:106.已知数列{a n}为等差数列,其前n项和为S n,且1+<0.若S n存在最大值,则满足S n>0的n的最大值为.解析:因为S n有最大值,所以数列{a n}单调递减,又<-1,所以a10>0,a11<0,且a10+a11<0.所以S19=19×=19a10>0,S20=20×=10(a10+a11)<0,故满足S n>0的n的最大值为19.答案:197.导学号33194012在等差数列{a n}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|a n|}的前n项和.解数列{a n}的公差d==3,∴a n=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由a n<0得3n-63<0,解得n<21.∴数列{a n}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设S n,S n'分别表示数列{a n}和{|a n|}的前n项和,当n≤20时,S n'=-S n=-=-n2+n;当n>20时,S n'=-S20+(S n-S20)=S n-2S20=-60n+×3-2×n2-n+1260.∴数列{|a n|}的前n项和S n'=8.导学号33194013设等差数列{a n}的前n项和为S n,且a5+a13=34,S3=9.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和公式;(2)设数列{b n}的通项公式为b n=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,因为a5+a13=34,S3=9,所以整理得解得所以a n=1+(n-1)×2=2n-1,S n=n×1+×2=n2.(2)由(1)知b n=,所以b1=,b2=,b m=.若b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列,则2b2=b1+b m,所以,即6(1+t)(2m-1+t)=(3+t)(2m-1+t)+(2m-1)(1+t)(3+t),整理得(m-3)t2-(m+1)t=0,因为t是正整数,所以(m-3)t-(m+1)=0,m=3时显然不成立,所以t==1+.又因为m≥3,m∈N,所以m=4或5或7,当m=4时,t=5;当m=5时,t=3;当m=7时,t=2.所以存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列.。
等差数列的前n项和
2
问:如果一个数列{an }的前n项和Sn pn qn r，
2
（其中p,q,r为常数，且p 0）,那么这个数列 一定是等差数列吗？
结论:如果一个数列{an }的前n项和Sn pn 2 qn r， 等差数列当且仅当r=0
（其中p,q,r为常数，且p 0）,那么这个数列是
n(a1 an ).
a1 an a2 an1 an a1
n( a1 an ) Sn . 2
等差数列的前n项和公式
公式1
n（a1 an ) Sn 2
an a1 ( n 1) d
公式2
n（n 1) Sn na1 d 2
思考：
n(a1 an ) 2、求和公式 ( ) S n 2 n( n 1) ( )S n na1 d 2
3、应用公式求和.“知三求二”，方程的思想. ①已知首项、末项用公式Ⅰ；已知首项、公差用公式Ⅱ.
②应用求和公式时一定弄清项数n. ③当已知条件不足以求出a1和d时，要认真观察，
特征：
当A 0 即d 0 时, Sn是关于n的二次函 数式,即Sn An 2 Bn的图象是抛物线 y Ax 2 Bx上的一群孤立的点.
思考：
数列an 的前n项和S n An 2 Bn( A, B为常数)，则数列an 是不是一定是等差 数列？
结论：
an 是公差为2 A的等差数列
复习
1.等差数列的定义：
an 是等差数列 an an1 d(n 2)
2.通项公式：
an a1 (n 1)d .
3.重要性质:
⑴an am (n m)d .
等差数列前n项和的公式说课稿
等差数列前n项和的公式说课稿等差数列前n项和的公式说课稿1以下是高中数学《等差数列前n项和的公式》说课稿，仅供参考。
教学目标A、知识目标：掌握等差数列前n项和公式的推导方法;掌握公式的运用。
B、能力目标：(1)通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。
(2)利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力。
(3)通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。
C、情感目标：(数学文化价值)(1)公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。
(2)通过公式的运用，树立学生"大众教学"的思想意识。
(3)通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。
教学重点：等差数列前n项和的公式。
教学难点：等差数列前n项和的公式的灵活运用。
教学方法：启发、讨论、引导式。
教具：现代教育多媒体技术。
教学过程一、创设情景，导入新课。
师：上几节，我们已经掌握了等差数列的概念、通项公式及其有关性质，今天要进一步研究等差数列的前n项和公式。
提起数列求和，我们自然会想到德国伟大的数学家高斯"神速求和"的故事，小高斯上小学四年级时，一次教师布置了一道数学习题："把从1到100的自然数加起来，和是多少?"年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使教师非常吃惊，那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢?如果大家也懂得那样巧妙计算，那你们就是二十世纪末的新高斯。
(教师观察学生的表情反映，然后将此问题缩小十倍)。
我们来看这样一道一例题。
例1，计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.这道题除了累加计算以外，还有没有其他有趣的解法呢?小组讨论后，让学生自行发言解答。
等差数列及其前n项和
等差数列及其前n 项和1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列. (5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( ) (4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( )2.(必修5P46A2改编)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A.31 B.32 C.33 D.343.(必修5P68A8改编)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.4.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A.－12B.－10C.10D.125.(2019·上海黄浦区模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝1，前5项和S 5＝－15，则数列{a n }的公差为( ) A.－3 B.－52C.－2D.－46.(2019·苏北四市联考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8>0，且S 9<0，则S 1，S 2，…，S 9中最小的是______.考点一 等差数列基本量的运算【例1】 (1)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A.1B.2C.4D.8(2)(2019·潍坊检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝( ) A.9 B.10 C.11 D.15【训练1】 (1)等差数列log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)，…的第四项等于( ) A.3 B.4 C.log 318 D.log 324(2)(一题多解)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________.考点二 等差数列的判定与证明【例2】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.【迁移探究】 本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式.【训练2】 (2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列.考点三 等差数列的性质及应用 角度1 等差数列项的性质【例3－1】 (2019·临沂一模)在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( ) A.6 B.12C.24D.48角度2 等差数列和的性质【例3－2】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.63 B.45C.36D.27【训练3】 (1)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 015，S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6，则S 2 019＝________.(2)(2019·荆州一模)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( ) A.15B.30C.31D.64(3)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727B.1914C.3929D.43考点四 等差数列的前n 项和及其最值【例4】 (2019·衡水中学质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，常数λ>0，且λa 1a n ＝S 1＋S n 对一切正整数n 都成立. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a 1>0，λ＝100，当n 为何值时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项和最大？【训练4】 (1)等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3，a 5，a 15成等比数列，若a 5＝5，S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为( )A.3B.3或4C.4或5D.5(2)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________.【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A.100 B.99C.98D.972.(2019·淄博调研)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 6a 5＝911，则S 11S 9＝( )A.1B.－1C.2D.123.(2019·中原名校联考)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列，已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝( ) A.10 B.20 C.30 D.404.(2019·北京海淀区质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( ) A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则S n 取最大值时的n 为( )A.4B.5C.6D.4或5二、填空题6.已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为________.7.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，则a 6＝________.8.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________.三、解答题9.等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.10.已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项公式b n ＝S n n，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .11.(2019·济宁模拟)设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，则a 18＝( ) A.259B.269C.3D.28912.(2019·青岛诊断)已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n(n∈N*)，若S nT n＝2n－1n＋1，则a12b6＝( )A.154B.158C.237D.313.设数列{a n}的通项公式为a n＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.14.(2019·长沙雅礼中学模拟)设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＋a13＝26，S9＝81.(1)求{a n}的通项公式；(2)令b n＝1a n＋1a n＋2，T n＝b1＋b2＋…＋b n，若30T n－m≤0对一切n∈N*成立，求实数m的最小值.15.(多填题)设S n为等差数列{a n}的前n项和，满足S2＝S6，S55－S44＝2，则a1＝________，公差d＝________.答 案1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( ) (4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 【解析】(3)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数. (4)若公差d ＝0，则前n 项和不是二次函数. 【教材衍化】2.(必修5P46A2改编)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A.31 B.32 C.33 D.34【答案】 B【解析】 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.3.(必修5P68A8改编)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 【答案】 180【解析】 由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 【真题体验】4.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A.－12 B.－10 C.10 D.12【答案】 B【解析】 设等差数列{a n }的公差为d ，则3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即d ＝－32a 1.又a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.5.(2019·上海黄浦区模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝1，前5项和S 5＝－15，则数列{a n }的公差为( ) A.－3 B.－52C.－2D.－4【答案】 D【解析】 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，S 5＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，5a 1＋5×42d ＝－15， 解得d ＝－4.6.(2019·苏北四市联考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8>0，且S 9<0，则S 1，S 2，…，S 9中最小的是______. 【答案】 S 5【解析】 在等差数列{a n }中， ∵a 3＋a 8>0，S 9<0，∴a 5＋a 6＝a 3＋a 8>0，S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5<0，∴a 5<0，a 6>0，∴S 1，S 2，…，S 9中最小的是S 5. 【考点聚焦】考点一 等差数列基本量的运算【例1】 (1)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A.1B.2C.4D.8(2)(2019·潍坊检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝( ) A.9B.10C.11D.15【答案】 (1)C (2)B【解析】 (1)法一 设等差数列{a n }的公差为d ， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋3d ）＋（a 1＋4d ）＝24，6a 1＋6×52d ＝48，所以d ＝4. 法二 等差数列{a n }中，S 6＝（a 1＋a 6）×62＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，又a 4＋a 5＝24，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8，则d ＝4. (2)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 11＝11a 1＋11×（11－1）2d ＝22，a 4＝a 1＋3d ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－33，d ＝7， ∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10. 【规律方法】1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【训练1】 (1)等差数列log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)，…的第四项等于( ) A.3 B.4 C.log 318 D.log 324(2)(一题多解)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________. 【答案】 (1)A (2)30【解析】 (1)∵log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)成等差数列， ∴log 3(2x )＋log 3(4x ＋2)＝2log 3(3x )，∴log 3[2x (4x ＋2)]＝log 3(3x )2，则2x (4x ＋2)＝9x 2， 解之得x ＝4，x ＝0(舍去).∴等差数列的前三项为log 38，log 312，log 318， ∴公差d ＝log 312－log 38＝log 332，∴数列的第四项为log 318＋log 332＝log 327＝3.(2)法一 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 4＝4a 1＋6d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2， 所以S 6＝6a 1＋15d ＝30.法二 由{a n }为等差数列，故可设前n 项和S n ＝An 2＋Bn ， 由S 3＝6，S 4＝12可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝9A ＋3B ＝6，S 4＝16A ＋4B ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝－1，即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30.考点二 等差数列的判定与证明【例2】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式. 【答案】见解析【解析】(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式.故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.【迁移探究1】 本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由. 【答案】见解析【解析】因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0， 所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2). 所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2).又1S 1＝1a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列.所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝－12n （n －1），所以a n ＋1＝－12n （n ＋1），又a n ＋1－a n ＝－12n （n ＋1）－－12n （n －1）＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n （n －1）（n ＋1）. 所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列.【迁移探究2】 本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式.【答案】见解析 【解析】由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25，∴a n ＝n 2－25n . 【规律方法】1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数. (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立. 2.判定一个数列是等差数列还常用到结论：(1)通项公式：a n ＝pn ＋q(p ，q 为常数)⇔{an}是等差数列.(2)前n 项和公式：Sn ＝An 2＋Bn(A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列.问题的最终判定还是利用定义. 【训练2】 (2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列. 【答案】见解析【解析】(1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n. (2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23.＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋(－1)n ·2n ＋13＝2S n ， 故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列. 考点三 等差数列的性质及应用 角度1 等差数列项的性质【例3－1】 (2019·临沂一模)在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( ) A.6 B.12 C.24 D.48【答案】 D【解析】 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120， 由等差数列的性质，a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120， ∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48. 角度2 等差数列和的性质【例3－2】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.63 B.45 C.36 D.27【答案】 B【解析】 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列， 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45， 所以a 7＋a 8＋a 9＝45. 【规律方法】1.项的性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 2.和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 (1)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； (2)S 2n －1＝(2n －1)a n .【训练3】 (1)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 015，S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6，则S 2 019＝________.(2)(2019·荆州一模)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( ) A.15B.30C.31D.64(3)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727B.1914C.3929D.43【答案】 (1)6 057 (2)A (3)A【解析】 (1)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.设其公差为d ，则S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 015＋2 018＝3， ∴S 2 019＝3×2 019＝6 057.(2)由a 3＋a 4＋a 5＝3及等差数列的性质， ∴3a 4＝3，则a 4＝1.又a 4＋a 12＝2a 8，得1＋a 12＝2×8. ∴a 12＝16－1＝15.(3)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.考点四 等差数列的前n 项和及其最值【例4】 (2019·衡水中学质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，常数λ>0，且λa 1a n ＝S 1＋S n 对一切正整数n 都成立. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a 1>0，λ＝100，当n 为何值时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项和最大？【答案】见解析【解析】(1)令n ＝1，得λa 21＝2S 1＝2a 1，a 1(λa 1－2)＝0， 因为a 1≠0，所以a 1＝2λ，当n ≥2时，2a n ＝2λ＋S n ，2a n －1＝2λ＋S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n (n ≥2). 所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而数列{a n }为等比数列，a n ＝a 1·2n －1＝2nλ.(2)当a 1>0，λ＝100时，由(1)知，a n ＝2n100，则b n ＝lg 1a n ＝lg 1002n ＝lg 100－lg 2n＝2－n lg 2，所以数列{b n }是单调递减的等差数列，公差为－lg 2， 所以b 1>b 2>…>b 6＝lg 10026＝lg 10064>lg 1＝0，当n ≥7时，b n ≤b 7＝lg 10027<lg 1＝0，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前6项和最大. 【规律方法】 求等差数列前n 项和S n 的最值的常用方法：(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn (a ≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求S n 的最值. ①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最大值)；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最小值).【训练4】 (1)等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3，a 5，a 15成等比数列，若a 5＝5，S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为( )A.3B.3或4C.4或5D.5(2)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________. 【答案】 (1)B (2)110【解析】 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋2d ）（a 1＋14d ）＝25，a 1＋4d ＝5，由d ≠0，解得a 1＝－3，d ＝2，∴S nn＝na 1＋n （n －1）2dn＝－3＋n －1＝n －4，则n －4≥0，得n ≥4，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为3或4.(2)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝20n －n （n －1）2×2＝－n 2＋21n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2122，又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110. 【反思与感悟】1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前n 项和S n ＝An 2＋Bn 及通项a n ＝pn ＋q 来判断一个数列是否为等差数列. 2.等差数列基本量思想(1)在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a 1，d 的方程组进行求解. (2)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d .若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. (3)灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量. 【易错防范】1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了a n ＋1－a n ＝d (n ≥2)时，应注意验证a 2－a 1是否等于d ，若a 2－a 1≠d ，则数列{a n }不为等差数列.2.利用二次函数性质求等差数列前n 项和最值时，一定要注意自变量n 是正整数. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A.100 B.99 C.98 D.97【答案】 C【解析】 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧9a 1＋36d ＝27，a 1＋9d ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1， 所以a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99＝98.2.(2019·淄博调研)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 6a 5＝911，则S 11S 9＝( )A.1B.－1C.2D.12【答案】 A 【解析】 由于S 11S 9＝11a 69a 5＝119×911＝1. 3.(2019·中原名校联考)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列，已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝( ) A.10 B.20 C.30 D.40【答案】 B 【解析】 依题意，11x n ＋1－11x n＝x n ＋1－x n ＝d ， ∴{x n }是等差数列.又x 1＋x 2＋…＋x 20＝20（x 1＋x 20）2＝200.∴x 1＋x 20＝20，从而x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝20.4.(2019·北京海淀区质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( ) A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤【答案】 B【解析】 用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数， 由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996， ∴8a 1＋8×72×17＝996，解之得a 1＝65.∴a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤.5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则S n 取最大值时的n 为( )A.4B.5C.6D.4或5【答案】 B【解析】 由{a n }为等差数列，得S 99－S 55＝a 5－a 3＝2d ＝－4，即d ＝－2，由于a 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11，令a n ＝－2n ＋11<0，得n >112，所以S n 取最大值时的n 为5. 二、填空题6.已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为________. 【答案】 10【解析】 设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n 解得n ＝5，故这个数列的项数为10.7.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，则a 6＝________. 【答案】111【解析】 将a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1两边同时除以a n a n ＋1，1a n ＋1－1a n＝2.所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以1a 6＝1＋5×2＝11，即a 6＝111.8.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________. 【答案】 200【解析】 依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200.三、解答题9.等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2. 【答案】见解析【解析】(1)设数列{a n }首项为a 1，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35.当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4，5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9，10时，4≤2n ＋35<5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.10.已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项公式b n ＝S n n，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n . 【答案】见解析【解析】(1)解 设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ， 由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2， 所以S k ＝ka 1＋k （k －1）2·d ＝2k ＋k （k －1）2×2＝k 2＋k ，由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)证明 由(1)得S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)，则b n ＝S n n＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列， 所以T n ＝n （2＋n ＋1）2＝n （n ＋3）2.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·济宁模拟)设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，则a 18＝( ) A.259B.269C.3D.289【答案】 B【解析】 令b n ＝na n ，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2)， 所以{b n }为等差数列，因为b 1＝1，b 2＝4，所以公差d ＝3，则b n ＝3n －2， 所以b 18＝52，则18a 18＝52，所以a 18＝269.12.(2019·青岛诊断)已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N *)，若S n T n ＝2n －1n ＋1，则a 12b 6＝( )A.154B.158C.237D.3【答案】 A【解析】 由题意不妨设S n ＝n (2n －1)，T n ＝n (n ＋1)， 所以a 12＝S 12－S 11＝12×23－11×21＝45，b 6＝T 6－T 5＝6×(6＋1)－5×(5＋1)＝42－30＝12，所以a 12b 6＝4512＝154. 13.设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 【答案】 130【解析】 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.14.(2019·长沙雅礼中学模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 13＝26，S 9＝81. (1)求{a n }的通项公式； (2)令b n ＝1a n ＋1a n ＋2，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若30T n －m ≤0对一切n ∈N *成立，求实数m 的最小值.【答案】见解析【解析】(1)∵等差数列{a n }中，a 1＋a 13＝26，S 9＝81，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 7＝26，9a 5＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝13，a 5＝9， ∴d ＝a 7－a 57－5＝13－92＝2，∴a n ＝a 5＋(n －5)d ＝9＋2(n －5)＝2n －1. (2)∵b n ＝1a n ＋1a n ＋2＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3，∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3， ∵12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3随着n 的增大而增大，知{T n }单调递增. 又12n ＋3>0，∴T n <16，∴m ≥5，∴实数m 的最小值为5. 【新高考创新预测】15.(多填题)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，满足S 2＝S 6，S 55－S 44＝2，则a 1＝________，公差d ＝________. 【答案】 －14 4【解析】 由{a n }为等差数列，得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为a 1，公差为d 2的等差数列，∵S 55－S 44＝2，∴d2＝2⇒d ＝4，又S 2＝S 6⇒2a 1＋4＝6a 1＋6×52×4⇒a 1＝－14.。
等差数列前n项和公式(优质课)教案
等差数列的前n 项和 （优质课）教案教学目标：教学重点： 掌握等差数列前n 项和通项公式及性质，数列最值的求解，与函数的关系 教学难点： 数列最值的求解及与函数的关系教学过程：1. 数列的前n 项和一般地，我们称312...n a a a a ++++为数列{}n a 的前n 项和，用n S 表示；记法：123...n n S a a a a =++++ 显然，当2n ≥时，有1n n n a S S −=− 所以n a 与n S 的关系为n a = ①1S ()1n =②()12n n S S n −−≥2. 等差数列的前n 项和公式()()11122n n n a a n n S na d +−==+ 3. 等差数列前n 项和公式性质（1） 等差数列中，依次()2,k k k N +≥∈项之和仍然是等差数列，即23243,,,,...k k k k k k k S S S S S S S −−− 成等差数列，且公差为2k d（2） n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 （3） 等差数列{}n a 中，若(),n m a m a n m n ==≠，则0m n a +=；若(),,n m S m S n m n ==≠则()m n S m n +=−+（4） 若{}n a 和{}n b 均为等差数列，前n 项和分别是n S 和n T ，则有2121n n n n a S b T −−=（5） 项数为2n 的等差数列{}n a ，有()1,n n n S n a a +=+有S 偶 -S 奇 =nd ，S S 奇 /偶 =1nn a a + 4. 等差数列前n 项和公式与函数的关系等差数列前n 项和公式()112n n n S na d −=+可以写成2122n d d S n a n ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭ 若令1,,22d dA aB =−=类型一： 数列及等差数列的求和公式例1.已知数列{}n a 的前n 项和22,n S n n =+ 求{}n a解析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，121n n n a S S n −=−=+当1n =时，上式成立所以21n a n =+答案：21n a n =+练习1. 已知数列{}n a 的前n 项和22,n S n n =+求2a 答案：25a =练习2：已知数列{}n a 的前n 项和22,n S n n =+求10a 答案：1021a =例2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，131,,15,22m a d S ==−=−求m 及m a 解析：()131..15222m m m S m −⎛⎫=+−=− ⎪⎝⎭，整理得27600,m m −−= 解得12m =或5m =−（舍去）()12311211522m a a ⎛⎫∴==+−⨯−=− ⎪⎝⎭答案：1212,4m a ==−练习3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11,512,1022n n a a S ==−=−，求d答案：171d =−练习4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，524,S =求24a a + 答案：24485a a +=例3.在等差数列{}n a 中，前n 项和为n S (1) 若81248,168,S S ==求1a 和公差d(2) 若499,6,a a ==−求满足54n S =的所有n 的值解析：（1）由等差数列前n 项和公式有11182848,1266168,8,4a d a d a d +=+=∴=−=（2）由4919,6,18,3a a a d ==−∴==−所以()()11813542n S n n n =+−−=即213360n n −+= 解得4n =或9n = 答案：（1）18,4a d =−= （2）4n =或9n =练习5.设n S 是等差数列{}n a 的前项和，1532,3,a a a ==则9S =___________ 答案：54−练习6.在等差数列{}n a 中，241,5,a a ==则{}n a 的前5项和 5S = ______________ 答案：15类型二： 等差数列前n 项和公式的性质 例4.在等差数列{}n a 中， （1） 若41720a a +=，求20S（2） 若共有n 项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n 项和286n S = ，求n （3） 若10100100,10S S ==求110S解析：（1）由等差数列的性质，知()1204172012020202002a a a a S a a +=+=∴=+= （2）由题意得，知123412321,67,n n n n a a a a a a a a −−−+++=+++= 由等差数列的性质知()121324311488,22n n n n n n a a a a a a a a a a a a −−−+=+=+=+∴+=∴+=又()12n n nS a a =+ ，即 222862n ⨯=26n ∴= （4） 因为数列{}n a 是等差数列，所以10,2010302010090110100,,...,,S S S S S S S S S −−−−成等差数列，首项为10100S =，设其公差为d ，则100S 为该数列的前10项和，()()10010201010090109 (10100102)S S S S S S d ⨯∴=+−++−=⨯+=解得22d =−，又110S 为该数列的前11项和，故()110111011100221102S ⨯=⨯+⨯−=− 答案：（1）20200S = （2）26n = （3）110110S =−练习7.（2014山东淄博一中期中）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若4813S S =，则816S S 等于（）A.19 B.13 C.310 D.18答案：C练习8.（2014山东青岛期中）已知等差数列{}n a 的公差0d >，()122013...2013t a a a a t N ++++=∈ 则t = （）A.2014B.2013C.1007D.1006 答案：C例5.已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且21n n S nT n =+则33a b =（） A.32 B.43 C.53 D. 127解析：当n 为奇数时，等差数列{}n a 的前n 项和()1122n n n n a a S na ++== 同理12n n T nb +=令5n =得33533552555513a a Sb b T ⨯====+ 答案：C练习9.已知是{}n a 等差数列，n S 为其前n 项和，n N +∈若32016,20a S ==则10S 的值为______ 答案：110练习10.已知等差数列{}n a 的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为35，则这个数列的项数为______________ 答案：20类型三：等差数列前n 项和公式的最值及与函数的关系 例6.已知数列{}n a 的前项和为2230n S n n =− （1） 这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式 （2） 求使得n S 最小的n 值解析：（1）因为()14322n n n a S S n n −=−=−≥当1n =时1123028a S ==−=−也适合上式，所以这个数列的通项公式为432n a n =−又因为()()()1432413242n n a a n n n −−=−−−−=≥⎡⎤⎣⎦ 所以{}n a 是等差数列（2）2215225230222n S n n n ⎛⎫=−=−− ⎪⎝⎭因为n 是正整数，所以当7n =或8时n S 最小，最小值为-112答案：（1）是；432n a n =−（2）当7n =或8时n S 最小，最小值为-112练习11.已知等差数列{}n a 的前n 项和为715,7,75n S S S ==，n T 为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求数列{}n T 的通项公式答案：2944n n T n =− 练习12.等差数列{}n a 中，若61024,120S S ==，求15S =_____________ 答案：15330S =例7.已知等差数列{}n a 中，19120,,a S S <=求使该数列前n 项和n S 取得最小值的n 的值 解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则由题意得111199812121122a d a d +⨯⨯⨯=+⨯⨯⨯ 即21112121330,10,00228n d a d a d a d S n d ⎛⎫=−∴=−<∴>∴=−− ⎪⎝⎭ 0n d S >∴有最小值；又,10n N n +∈∴=或11n =时，n S 取最小值答案：10n =或11n =时，n S 取最小值练习13.已知等差数列{}n a 中，128,4a d =−=则使前n 项和n S 取得最小值的n 值为（） A.7 B.8 C.7或8 D.6或7 答案：C练习14.数列{}n a 满足211n a n =−+，则使得其前n 项和取得最大值的n 等于（） A.4 B.5 C.6 D.7 答案：B1. 四个数成等差数列，S 4＝32，a 2a 3＝13，则公差d 等于( )A ．8B ．16C ．4D ．0 答案：A2. 设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0 C ．S 9>S 5 D ．S 6与S 7均为S n 的最大值． 答案：C3. 已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18 答案：B4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.101100 答案：A5. 在等差数列{a n }中，若S 12＝8S 4，且d ≠0，则a 1d等于( )A.910B.109 C ．2 D.23 答案：A6. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 答案：D7. (2014·福建理，3)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 答案：C_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固 1. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝( ) A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 答案：C2.数列{a n }是等差数列，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列的前20项和等于( ) A ．160 B ．180 C ．200 D ．220 答案：B3.等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 2＋a 8＋a 11是一个定值，则下列各数中也为定值的是( )A ．S 7B ．S 8C ．S 13D ．S 15 答案：C4. 已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案：C5. 在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＝12，a n ＝3，S n ＝152，则a 1＝________，n ＝________.答案：2 ，36. 设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________.答案：257. 设{a n }是公差为－2的等差数列，若a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99的值为________． 答案：－828.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案：89. 已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{1a 2n －1a 2n ＋1}的前n 项和．答案：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝05a 1＋10d ＝－5，解得a 1＝1，d ＝－1.由{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝1(3－2n )(1－2n )＝12(12n －3－12n －1)， 从而数列{1a 2n －1a 2n ＋1}的前n 项和为12(1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1)＝n 1－2n. 10. 设{a n }是等差数列，前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n 的值． 答案：(1)设公差为d ，则a 20－a 10＝10d ＝20， ∴d ＝2.∴a 10＝a 1＋9d ＝a 1＋18＝30， ∴a 1＝12.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋2(n －1)＝2n ＋10. (2)S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (2n ＋22)2＝n 2＋11n ＝242， ∴n 2＋11n －242＝0， ∴n ＝11.能力提升11. 在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝15，a 100＋b 100＝139，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为( )A ．0B ．4 475C ．8 950D ．10 000 答案：C12. 等差数列{a n }中，a 1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值为4，则抽取的项是( )A ．a 8B ．a 9C ．a 10D ．a 11 答案：D13. 一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 等于( )A ．12B ．16C ．9D ．16或9答案：C14. 已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为( ) A ．24 B ．26 C ．27 D ．28 答案：B15. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )A ．－6B ．－4C ．－2D ．2 答案：A16. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A.310B.13C.18D.19 答案：A17. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过点O )，则S 200＝( )A ．100B ．101C ．200D ．201 答案：A18. 已知等差数列{a n }的前n 项和为18，若S 3＝1，a n ＋a n －1＋a n －2＝3，则n ＝________. 答案：2719. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－8，则通项公式a n ＝________.答案：⎩⎪⎨⎪⎧－7 (n ＝1)2n －1 (n ≥2)20. 设{a n }是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n 项和最大时，n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案： A21. 等差数列{a n }中，d <0，若|a 3|＝|a 9|，则数列{a n }的前n 项和取最大值时，n 的值为______________． 答案：5或622. 设等差数列的前n 项和为S n .已知a 3＝12，S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由．答案：(1)依题意⎩⎨⎧S 12＝12a 1＋12×112d >0S13＝13a 1＋13×122d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d >0， ①a 1＋6d <0. ②由a 3＝12，得a 1＋2d ＝12. ③将③分别代入②①，得⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >03＋d <0，解得－247<d <－3.(2)由d <0可知{a n }是递减数列，因此若在1≤n ≤12中，使a n >0且a n ＋1<0，则S n 最大． 由于S 12＝6(a 6＋a 7)>0，S 13＝13a 7<0，可得 a 6>0，a 7<0，故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大． 23. 已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 答案：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3.解得d ＝－2. 从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n . 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.进而由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35. 又k ∈N *，故k ＝7为所求． 24. 在等差数列{a n }中：(1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10； (2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n . 答案：(1)解法一：由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 10＝2a 1＋13d ＝58a 4＋a 9＝2a 1＋11d ＝50， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝4.∴S 10＝10a 1＋10×(10－1)2×d ＝10×3＋10×92×4＝210. 解法二：由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 10＝(a 1＋a 10)＋4d ＝58a 4＋a 9＝(a 1＋a 10)＋2d ＝50， ∴a 1＋a 10＝42，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5×42＝210. 解法三：由(a 5＋a 10)－(a 4＋a 9)＝2d ＝58－50，得d ＝4由a 4＋a 9＝50，得2a 1＋11d ＝50，∴a 1＝3.故S 10＝10×3＋10×9×42＝210. (2)S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝42，∴a 4＝6. ∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 4＋a n －3)2＝n (6＋45)2＝510. ∴n ＝20.25.已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n . 答案：a 1＝S 1＝101，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－32n 2＋2052n )－[－32(n －1)2＋2052(n －1)] ＝－3n ＋104.又n ＝1也适合上式．∴数列通项公式a n ＝－3n ＋104.由a n ＝－3n ＋104≥0，得n ≤1043， 即当n ≤34时，a n >0；当n ≥35时，a n <0.①当n ≤34时，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－32n 2＋2052n . ②当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a 34－(a 35＋a 36＋…＋a n ) ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝2S 34－S n＝32n 2－2052n ＋3 502.故T n ＝⎩⎨⎧ －32n 2＋2052n (n ≤34)32n 2－2052n ＋3 502 (n ≥35).。
求前n项和的几种方法
求前n 项和的几种方法求数列前N 项和的方法1. 公式法（1）等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公（2q=11q S ≠，（31、=S n 3、=S n [例1][例2]设2. 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①[例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1答案：当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n =11-x [4x(1-x n )1-x +1-（4n-3）x n ]3. 倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把[例5]求4. [例6]5. （1（3（5）)2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n (6)n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 [例9]求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.[例10]在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.[例11]求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵ n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1 -+-+-+-∴6. [[例7. [例练习：求5，55，555，…，的前n 项和。
等差数列前n项和的公式管理材料
讲课材料
3
探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有 多少颗宝石？
借助几何图形之 直观性，使用熟悉的 几何方法：把“全等 三角形”倒置，与原 图补成平行四边形。
讲课材料
4
探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有 多少颗宝石？
1 2 3
21 20 19
获得算法：
s21
(1
而a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3，
所以4（a1+an）=88，所以a1+an=22，
所以Sn=
n（a1 2
=a n1）1n=286，所以n=26.
故所求的项数为26.
讲课材料
21
练习：1、等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S8=132，Sm=690， Sm-8=270（m＞8），则m为（ ）
讲课材料
19
【变式1】等差数列{an}中，a2+a7+a12=24，求S13.
【解题提示】利用等差数列的性质
Sn=n（a1 an） n（am anm1）.
2
2
【解析】因为a1+a13=a2+a12=2a7，又a2+a7+a12=24，所
以
1（3 a1 a13）
2
a7=8，所以S13=
=13×8=104.
讲课材料
20
【变式2】已知等差数列{an}的前4项和为25，后4项和为63，前n项和 为286，求项数n.
【审题指导】题目给出前4项和与后4项和，可利用等差数
列项数（下标）的“等和”性质：
Sn=n（a1 an） n（a m来求a n得m.1）
等差数列的前n项和·例题解析
等差数列的前n 项和·例题解析【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．解 依题意，得10a d =140a a a a a =5a 20d =1251135791＋＋＋＋＋＋101012()-⎧⎨⎪⎩⎪ 解得a 1=113，d=－22．∴ 其通项公式为a n =113＋(n －1)·(－22)=－22n ＋135∴a 6=－22×6＋135＝3说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a 1、d ，再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a 6=a 1＋5d ，也可以不必求出a n 而直接去求，所列方程组化简后可得＋＋相减即得＋，a 2a 9d =28a 4d =25a 5d =36111⎧⎨⎩ 即a 6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例2】 在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．解 由已知，第一个数列的通项为a n ＝3n －1；第二个数列的通项为b N =5N －3若a m ＝b N ，则有3n －1＝5N －3即＝＋ n N 213()N - 若满足n 为正整数，必须有N ＝3k ＋1(k 为非负整数)．又2≤5N －3≤197，即1≤N ≤40，所以N ＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66∴ 两数列相同项的和为2＋17＋32＋…＋197=1393【例3】 选择题：实数a ，b ，5a ，7，3b ，…，c 组成等差数列，且a ＋b ＋5a ＋7＋3b ＋…＋c ＝2500，则a ，b ，c 的值分别为[ ]A ．1，3，5B ．1，3，7C ．1，3，99D ．1，3，9解 C 2b =a 5a b =3a 由题设＋⇒又∵ 14＝5a ＋3b ，∴ a ＝1，b ＝3∴首项为1，公差为2又＋∴＋·∴＝S =na d 2500=n 2 n 50n 1n n n n ()()--1212 ∴a 50=c=1＋(50－1)·2=99∴ a ＝1，b ＝3，c ＝99【例4】 在1和2之间插入2n 个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．解 依题意2＝1＋(2n ＋2－1)d ①前半部分的和＝＋＋②后半部分的和′＝＋·＋·－③S (n 1) d S (n 1)2(d)n+1n+1()()n n n n ++1212 由已知，有′化简，得解之，得④S S n nd n nd nd nd n n ++=+++-=+-=111121229131222913()()()() nd =511 由①，有(2n ＋1)d=1 ⑤由④，⑤，解得，d =111n =5 ∴ 共插入10个数．【例5】 在等差数列{a n }中，设前m 项和为S m ，前n 项和为S n ，且S m ＝S n ，m ≠n ，求S m+n ．解 S (m n)a (m n)(m n 1)d (m n)[a (m n 1)d]m+n 11∵＝＋＋＋＋－＝＋＋＋－1212且S m ＝S n ，m ≠n∴＋－＝＋－整理得－＋－＋－ma m(m 1)d na n(n 1)d (m n)a (m n)(m n 1)=011112122d 即－＋＋－由≠，知＋＋－＝(m n)[a (m n 1)d]=0m n a (m n 1)d 0111212∴S m+n ＝0【例6】 已知等差数列{a n }中，S 3=21，S 6=64，求数列｛|a n |｝的前n 项和T n ．分析 n S =na d a n 11等差数列前项和＋，含有两个未知数，n n () 12d ，已知S 3和S 6的值，解方程组可得a 1与d ，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出T n 来．解 d S na d 3a 3d =21ba 15d =24n 111设公差为，由公式＝＋得＋＋n n ()-⎧⎨⎩12 解方程组得：d ＝－2，a 1＝9∴a n ＝9＋(n －1)(n －2)＝－2n ＋11由＝－＋＞得＜，故数列的前项为正，a 2n 110 n =5.5{a }5n n 112其余各项为负．数列{a n }的前n 项和为：S 9n (2)=n 10n n 2＝＋－－＋n n ()-12∴当n ≤5时，T n ＝－n 2＋10n当n ＞6时，T n ＝S 5＋|S n －S 5|＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n∴T n ＝2(－25＋50)－(－n 2＋10n)＝n 2－10n ＋50即－＋≤－＋＞∈T =n 10n n 5n 10n 50 n 6n *n 22⎧⎨⎪⎩⎪N说明 根据数列{a n }中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|a n |｝的前n 项和．【例7】 在等差数列{a n }中，已知a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34，求前20项之和．解法一 由a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34得4a 1＋38d ＝34又＝＋×S 20a d 20120192＝20a 1＋190d＝5(4a 1＋38d)=5×34=170解法二 S =(a +a )202=10(a a )20120120×＋ 由等差数列的性质可得：a 6＋a 15=a 9＋a 12＝a 1＋a 20 ∴a 1＋a 20=17S 20＝170【例8】 已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3·a 7=－12，a 4＋a 6=－4，求它的前20项的和S 20的值．解法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，由已知可得(a 2d)(a bd)12 a 3d a 5d = 4 1111＋＋＝－①＋＋＋－②⎧⎨⎩由②，有a 1＝－2－4d ，代入①，有d 2=4再由d ＞0，得d ＝2 ∴a 1=－10最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S 20＝180解法二 由等差数列的性质可得：a 4＋a 6＝a 3＋a 7 即a 3＋a 7＝－4又a 3·a 7=－12，由韦达定理可知：a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的二根解方程可得x 1=－6，x 2＝2∵ d ＞0 ∴{a n }是递增数列∴a 3＝－6，a 7=2d =a =2a 10S 1807120--a 373，＝－，＝ 【例9】 等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S T n n a b n n =+231100100，则等于 [ ]A 1B C D ．．．．23199299200301 分析 n S =n(a +a )n n 1n 该题是将与发生联系，可用等差数列的前项和公式把前项和的值与项的值进行联系．a b S T n n n n 1001002312=+ 解法一 ∵，∴∴S n a a T n b b S T a a b b a a b b n n n n n n n n n n n n =+=+=++++=+()()11111122231∵2a 100＝a 1＋a 199，2b 100＝b 1＋b 199∴××选．a b a b 100100199199=a b =21993199+1=199299C 11++ 解法二 利用数列{a n }为等差数列的充要条件：S n ＝an 2＋ bn∵S T n n n n =+231可设S n ＝2n 2k ，T n ＝n(3n ＋1)k∴∴××a b S S T T n k n k n n k n n kn n n n a b n n n n n n =--=--+---+=--=--=--=--1122100100221311311426221312100131001199299()()()[()] 说明 该解法涉及数列{a n }为等差数列的充要条件S n =an 2＋bn ，由已知，将和写成什么？若写成，＋，S T n n n n =+231S T S =2nk T =(3n 1)k n n n n k 是常数，就不对了．【例10】 解答下列各题：(1)已知：等差数列{a n }中a 2＝3，a 6＝－17，求a 9；(2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；(3)已知：等差数列{a n }中，a 4＋a 6＋a 15＋a 17＝50，求S 20；(4)已知：等差数列{a n }中，a n =33－3n ，求S n 的最大值．分析与解答(1)a =a (62)d d =562＋－＝－--1734a 9=a 6＋(9－6)d=－17＋3×(－5)=－32(2)a 1=19，a n+2=89，S n+2＝1350∵∴＋×＋S =(a +a )(n +2)2n 2=2135019+89=25 n =23a =a =a 24d d =3512n+21n+2n+2251 故这几个数为首项是，末项是，公差为的个数．211112*********23 (3)∵a 4＋a 6＋a 15＋a 17=50又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21∴a 4＋a 17=a 6＋a 15=25S =(a +a )2020120××210250417=+=()a a (4)∵a n =33－3n ∴a 1＝30S=(a+a)n2n1n·×=-=-+=--+()()633232632 322123218222n nn n n∵n∈N，∴当n=10或n=11时，S n取最大值165．【例11】求证：前n项和为4n2＋3n的数列是等差数列．证设这个数列的第n项为a n，前n项和为S n．当n≥2时，a n＝S n－S n-1∴a n＝(4n2＋3n)－[4(n－1)2＋3(n－1)]=8n－1当n=1时，a1=S1=4＋3=7由以上两种情况可知，对所有的自然数n，都有a n=8n－1又a n+1－a n＝[8(n＋1)－1]－(8n－1)＝8∴这个数列是首项为7，公差为8的等差数列．说明这里使用了“a n=S n－S n-1”这一关系．使用这一关系时，要注意，它只在n≥2时成立．因为当n＝1时，S n-1=S0，而S0是没有定义的．所以，解题时，要像上边解答一样，补上n＝1时的情况．【例12】证明：数列{a n}的前n项之和S n＝an2＋bn(a、b为常数)是这个数列成为等差数列的充分必要条件．证⇒由S n＝an2＋bn，得当n≥2时，a n＝S n－S n-1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)=2na＋b－aa1＝S1＝a＋b∴对于任何n ∈N ，a n ＝2na ＋b －a且a n －a n-1=2na ＋(b －a)－2(n －1)a －b ＋a＝2a(常数)∴{a n }是等差数列．⇐若{a n }是等差数列，则S na d =d n(a d)=d 2n 11＝＋··＋－n n n n n n a d ()()()-++-1212221 若令，则－，即d d 22=a a =b 1 S n =an 2＋bn综上所述，S n =an 2＋bn 是{a n }成等差数列的充要条件．说明 由本题的结果，进而可以得到下面的结论：前n 项和为S n =an 2＋bn ＋c 的数列是等差数列的充分必要条件是c ＝0．事实上，设数列为{u n }，则：充分性＝＋是等差数列．必要性是等差数列＝＋＝． c =0S an b {u } {u }S an bn c 0n 2n n n n 2⇒⇒⇒⇒【例13】 等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n(m ＞n)，求前m ＋n 项和S m+n ．解法一 设{a n }的公差d按题意，则有S na d m S ma d n (m n)a d =n m n 1m 11＝＋＝①＝＋＝②①－②，得－·＋·－n n m m m n m n ()()()()--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-+-121212 即＋－∴··a d =11m n S m n a m n m n d m n a m n d m n ++=++++-=+++-+12121211()()()()() =－(m ＋n)解法二 设S x ＝Ax 2＋Bx(x ∈N)Am Bm n An Bn m 22＋＝①＋＝②⎧⎨⎪⎩⎪①－②，得A(m 2－n 2)＋B(m －n)＝n －m∵m ≠n ∴ A(m ＋n)＋B=－1故A(m ＋n)2＋B(m ＋n)＝－(m ＋n)即S m+n ＝－(m ＋n)说明 a 1，d 是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再 解决其它问题，但本题关键在于求出了＋＝－，这种设而不a d 11m n +-12解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴．解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设S x =Ax 2＋Bx ．(x ∈N)【例14】 在项数为2n 的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n 之值是多少？解 ∵S 偶项－S 奇项=nd∴nd=90－75=15又由a 2n －a 1＝27，即(2n －1)d=27nd 15 (2n 1)d 27n =5＝－＝∴⎧⎨⎩【例15】 在等差数列{a n }中，已知a 1＝25，S 9＝S 17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．解法一 建立S n 关于n 的函数，运用函数思想，求最大值．根据题意：＋×，＝＋×S =17a d S 9a d 1719117162982∵a 1=25，S 17＝S 9 解得d ＝－2∴＝＋－－＋－－＋S 25n (2)=n 26n =(n 13)169n 22n n ()-12∴当n=13时，S n 最大，最大值S 13＝169解法二 因为a 1=25＞0，d ＝－2＜0，所以数列{a n }是递减等差数列，若使前项和最大，只需解≥≤，可解出．n a 0a 0n n n+1⎧⎨⎩ ∵a 1＝25，S 9＝S 17∴×＋××＋×，解得－9252d =1725d d =29817162∴a n =25＋(n －1)(－2)=－2n ＋27∴－＋≥－＋＋≥≤≥∴2n 2702(n 1)270n 13.5n 12.5n =13⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎩即前13项和最大，由等差数列的前n 项和公式可求得S 13=169． 解法三 利用S 9=S 17寻找相邻项的关系．由题意S 9=S 17得a 10＋a 11＋a 12＋…＋a 17=0而a 10＋a 17=a 11＋a 16=a 12＋a 15=a 13＋a 14∴a 13＋a 14＝0，a 13=－a 14 ∴a 13≥0，a 14≤0∴S13=169最大．解法四根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的n．∵{a n}是等差数列∴可设S n＝An2＋Bn二次函数y=Ax2＋Bx的图像过原点，如图3．2－1所示∵S9＝S17，∴对称轴x=9+172=13∴取n=13时，S13＝169最大。
等差数列的前N项和公式
等差数列的前N项和公式等差数列是指数列中任意两个相邻项之差保持不变的数列。
前N项和指的是数列前N项之和。
首先，我们来推导等差数列的通项公式。
设等差数列的第一项为a1，公差为d，第n项为an。
根据等差数列的定义可知，第2项为a2 = a1 + d，第3项为a3 = a1 + 2d，以此类推，第n项为an = a1 + (n-1)d。
我们可以把等差数列展开，得到：a1,a1+d,a1+2d,a1+3d,...,a1+(n-2)d,a1+(n-1)d将这些项相加，得到：S=(a1+a1+d+a1+2d+a1+3d+...+a1+(n-2)d+a1+(n-1)d)我们可以将等差数列中的每一项按照公差d进行分组，得到：S=(a1+a1+(n-1)d)+(a1+d+a1+(n-2)d)+(a1+2d+a1+(n-3)d)+...+(a1+(n-2)d+a1+d)+(a1+(n-1)d+a1)根据等差数列的恒等差性质，每一组中的两项之和都等于2a1+(n-1)d。
因此，上式可以进一步化简为：S=n(2a1+(n-1)d)这就是等差数列的前N项和公式，也被称为等差数列求和公式。
为了更好地理解该公式，我们可以举一个具体的例子。
假设有一个等差数列：2,5,8,11,14，求前四项的和。
首先，确定已知量：a1=2(第一项)d=5-2=3(公差)n=4(前四项)代入前N项和公式，可得：S=4(2+(4-1)3)=4(2+3*3)=4(2+9)=4*11=44因此，2,5,8,11的和为44除了使用前N项和公式，我们还可以利用等差数列的性质进行计算。
等差数列可以通过两种方法计算前N项的和：方法一：逐项相加。
通过将每一项相加，可以得到等差数列的前N项和。
在大多数情况下，这种方法适用于较小的N。
方法二：首项加末项乘N除以2、由于等差数列的第一项和最后一项之和等于N，将这两项相加，并乘以N除以2，即可得到前N项和。
这个方法适用于所有的等差数列。
2020高中数学 检测(九)等差数列的前n项和 5
课时跟踪检测（九） 等差数列的前n 项和层级一 学业水平达标1．已知数列{a n ｝的通项公式为a n ＝2－3n ，则｛a n ｝的前n 项和S n 等于( ）A ．－错误!n 2＋错误!B ．－错误!n 2－错误!C 。
32n 2＋错误! D.错误!n 2－错误!解析：选A ∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1，∴S n ＝n －1＋2－3n2＝－错误!n 2＋错误!.2．若等差数列｛a n }的前5项的和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7等于( ）A ．12B ．13C ．14D ．15解析：选B ∵S 5＝5a 3＝25,∴a 3＝5。
∴d ＝a 3－a 2＝5－3＝2.∴a 7＝a 2＋5d ＝3＋10＝13。
故选B 。
3．设等差数列{a n ｝的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36,则a 7＋a 8＋a 9等于（ )A．63 B．45C．36 D．27解析：选B ∵a7＋a8＋a9＝S9－S6,而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列,所以S3＋（S9－S6）＝2（S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.4．设等差数列{a n｝的前n项和为S n，若S13>0,S14<0，则S n取最大值时n的值为（）A．6 B．7C．8 D．13解析：选B 根据S13〉0,S14<0，可以确定a1＋a13＝2a7〉0，a1＋a14＝a7＋a8<0，∴可以得到a7>0，a8〈0，∴S n取最大值时n的值为7.故选B.5．已知等差数列{a n｝和{b n｝的前n项和分别为S n和T n，且错误!＝错误!，则错误!＝（)A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析：选D ∵等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，错误!＝错误!,∴错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.故选D。
等差数列的前n项和公式课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和公式
课程目标
学法指导
1．借助教材实例了解 1．等差数列是“中心对称”的，因此在求和的时
等差数列前n项和公式 候可以从中心对称的角度来思考，这就是倒序相
的推导过程．
加法的本质，采取图示的方法有助于理解公式的
2．借助教材掌握a1， 推导．也正是因为中心对称的缘故，等差数列的
(C )
A．5114
B．581
C．9136
D．9132
(3)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S10＝100，S100＝10，试求
S110．
[分析] (1)求 n 想到 Sn＝na1＋2 an＝nam＋2an－m＋1⇒Sn－Sn－4＝an＋an －1＋an－2＋an－3，a1＋a2＋a3＋a4⇒a1＋an.
(2)求值想＋an＝ap＋aq⇒abnn＝ SS2′2nn－－11.
(3)求 S110 想到 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成公差为 n2d 的等差数列 ⇒S10＝100，S100＝10⇒项数和公差．
[解析] (1)Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80． S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40． 两式相加得 4(a1＋an)＝120，∴a1＋an＝30． 由 Sn＝na1＋ 2 an＝210，∴n＝14． (2)由已知SSn′n＝7nn＋＋32，ab77＝SS1′133＝9136.
解得da＝ 1＝－122，， ∴an＝－2n＋14．
②由①得 Sn＝n12＋124－2n＝－n2＋13n＝－n－1232＋1469. 当 n 取与123最接近的整数，即 6 或 7 时，Sn 有最大值，最大值为 S6 ＝S7＝－72＋13×7＝42．
等差数列的概念及前n项和
等差数列的概念及前n 项和考点解析及例题讲解1. 等差数列的前n 项和公式等差数列各项的和等于首末两项的和乘项数除以2． 一般地，数列{a n }的前n 项和记作S n ，即S n = a 1+a 2+a 3+…+a n ．可以得到等差数列的前n 项和公式S n = n (a 1+ a n ) 2． 因为a n = a 1+(n －1)d ，所以上面公式又可写成S n = n a 1 + n ( n － 1 ) 2d ． 在这两个公式中，都包含四个变量，只要知道其中任意三个，就可求出第四个．例1 在小于100的正整数集合中，有多少个数是7的倍数？并求它们的和．解 在小于100的正整数集合中，以下各数是7的倍数7，7×2，7×3，…，7×14．即7，14，28， (98)显然，这是一个等差数列．其中a 1=7，d =7，项数为不大于1007的最大整数值，即n =14，a 14= 98．因此S 14 = 14× ( 7 + 98 )2= 735． 即在小于100的正整数的集合中，有14个数是7的倍数，它们的和等于735．例2 在等差数列-5，-1，3，7，…中．前多少项的和是345？ 解 这里a 1=－5，d =－1－(－5)=4，S n =345． 根据等差数列的前n 项和公式得345 = －5n + n ( n － 1 ) 2×4， 整理得2n 2 －7n －345 = 0，解得n 1=15，n 2= - 232 (不合题意，舍去)．所以n = 15 ．即这个数列的前15项的和是345基础知识训练6.设等差数列{}n a 的前n 项和为958224S a a a S n ，则，若-=+等于（ ）（A ）72 （B ）60 （C ）48 （D ）361. 在等差数列中：（1）已知n a d a ，则，421===_________;（2）已知n d a a n ，则，，22111====_________.2. 已知等差数列{}n a 满足==+=+653426104S a a a a 项和，则它的前，________.3. 已知等差数列{}n a 有7212201918321=++-=++a a a a a a ，，则其前20项的和等于____.4. 在数列{}n a 中，==+∈+=++1074110)(2a a a N n a a n n ，则，且______.5. 在等差数列{}n a 中，若.512115481a a a a a ，，求，==+6. 在等差数列{}n a 中，.2191的最大值项和，试求其前，n S n d a -== 综合知识训练1. 若等差数列{}n a 的前三项和等于，则且21316a a S ==（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42. 等差数列{}n a 的前n 项何为的值为，则，，若43253S a a S n ==（ ）（A ）12 （B ）14 （C ）16 （D ）183. 设{}n a 是公差为正数的等差数列，若此数列前3项的和为9，前3项的积为24，则2013a =（ ）（A ）2011 （B ）2012 （C ）2013 （D ）2014 4. n S 是等差数列的前n 项和，1821a a a ++为一个确定的常数，则以下也为确定常数的是（ ）（A ）11S （B ）13S （C ）15S （D ）以上都不正确5. 若数列为等差数列，=++++==2064212121a a a a d a ，则，（ ） （A ）50 （B ）55 （C ）25 （D ）21506. 若数列为等差数列，且==+57320a a a ，则（ ）（A ）5 （B ）10 （C ）15 （D ）207. 设数列的首项=∈+==++1211)(32a N n a a a n n ，则，且满足_____.8. 已知数列的通项=-+-=111212a a n a n ，则_______.9. 一个四边形的内角度数成等差数列，且最小角是 30，则最大角是{}n a {}n a {}n a {}n a。
等差数列的前n项和
探究 2
通过探究 1，你能推导出等差数列{an}的求和公式吗？
Sn＝a1＋a2＋„＋an， ①
【提示】
把数列{anቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ各项顺序倒过来相加得 Sn＝an＋an－1＋„＋a2＋a1， ②
①＋②得 2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋„＋(an＋a1)＝n(a1＋an)， a1＋ann 则 Sn＝ . 2
na1＋an 求和公式 2 Sn＝
Sn＝
nn－1 na1＋ 2 d
1．设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，已知 a2＝3，a6＝11，则 S7 等于( A．13
【解析】
)
B．35
C．49
D．63
a2＋a6＝a1＋a7＝14，
7a1＋a7 ∴S7＝ ＝49. 2
【答案】 C
2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则 Sn＝
a1＝1， n＋1 解得 1 所以{an}的通项公式为 an＝ 2 . d＝ ， 2
2 2 2 (2)因为 bn＝ ＝ － ， nn＋1 n n＋1 所以
2 2 2 2 2 2 2n Sn＝ 1－2 ＋ 2－3 ＋„＋n－n＋1＝ . n ＋ 1
又由 an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解之得 d＝－171. (2)法一 设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则 55－1 S5＝5a1＋ 2 d＝24，即得 5a1＋10d＝24， 24 ∴a1＋2d＝ 5 . 24 48 a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2× 5 ＝ 5 .
【答案】 C
2.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＋a3＋a5＝3，则 S5＝( A．5 B．7 C．9 D．11
(完整版)数列前n项和的求法总结
数列前n 项和的求法总结核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。
当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。
一． 公式法（1） 等差数列前n 项和： S n=n(a 1+a n )2=na 1+n(n+1)2d（2） 等比数列前n 项和： q =1时， S n=na 1；q ≠1时， S n =a 1（1−q n ）1−q（3） 其他公式： S n=1+2+3+⋯+n =12n (n +1)S n =12+22+32+⋯+n 2=16n(n +1)(2n +1)S n =13+23+33+⋯+n 3=[12n (n +1)]2例题1：求数列 112，214，318，……，(n +12n )，…… 的前n 项和S n解：点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。
练习：二.倒序相加法如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。
我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
例题1：设等差数列{an }，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2解：Sn =a1+a2+a3+...+an①倒序得：Sn =an+an-1+an-2+…+a1②①+②得：2Sn =(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1∴2Sn =n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。
山东省东营市河口区一中2025届高考数学二模试卷含解析
山东省东营市河口区一中2025届高考数学二模试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x ∈N |x 2＜8x }，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则()AB C ⋃＝（ ）A ．{2，3，4，5}B ．{2，3，4，5，6}C ．{1，2，3，4，5，6}D ．{1，3，4，5，6，7}2．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ） A ．–10B ．14-C ．–18D ．–203．已知定义在[)1,+∞上的函数()f x 满足()()33f x f x =，且当13x ≤≤时，()12f x x =--，则方程()()2019f x f =的最小实根的值为（ ）A ．168B ．249C ．411D ．5614．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．552，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是（ ） A 25B 45C ．3D ．46．已知函数()ln af x x a x =-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D ．[)1,e - 7．若i 为虚数单位，则复数112iz i+=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知实数,x y 满足约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值为（ ）A ．-5B ．2C ．7D ．119．若31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A ．85B ．84C ．57D ．5610．如图所示程序框图，若判断框内为“4i <”，则输出S =（ ）A ．2B ．10C ．34D ．9811．已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，e ）B ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．（0，1）12．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
等差数列的前n项和性质及应用
3、三种题型
数列{an}为等差数列
题型(一)——等差数列前n项和旳有关计算
知三求二
★注意 a a 旳整体代换
1
n
题型(二)——已知Sn，求通项公式an
an＝SS1n－Sn－1
n＝1， n＞1，n∈N*.
题型(三)——等差数列前n项和Sn旳最值问题
4．求等差数列前n项和旳最值措施 (1)二次函数法：用求二次函数旳最值措施来求其 前n项和旳最值，但要注意n∈N*，结合二次函数 图象旳对称性来拟定n旳值，愈加直观． (2)通项法：当 a1＞0，d＜0，aann≥＋1≤0 0 时，Sn 取 得最大值；当 a1＜0，d＞0，aann≤ ＋1≥0 0 时，Sn 取 得最小值．
例3.一种等差数列旳前10项旳和为100, 前100项旳和为10,则它旳前110项旳和 为 －110 .
例4.两等差数列{an} 、{bn}旳前n项和分
别是Sn和Tn,且 Sn 7n 1
求 a5 和 an . b5 bn
Tn 4n 27
a5 64 an 14n 6 b5 63 bn 8n 23
性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m= 0
性质4:(1)若项数为偶数2n,则
S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中
间两项), 此时有:S偶－S奇= nd
,
S奇 S偶
an an1
2024年10月9日星期三
性质4:(1)若项数为奇数2n－1,则 S2n-1=(2n－ 1)an (an为中间项),
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
an 0
an1
第四章时等差数列的前n项和公式完整版课件
一、等差数列前n项和公式的推导
问题1 如图，从第1行到第n行一共有多少个点？
提示 方法一 对项数分奇数、偶数讨论，认清当项数为奇数时，通
过“落单”中间一项或最后一项，转化成项数为偶数来研究.
通过计算发现，无论项数是奇
，可
见，结果与项数的奇偶无关.
方法二 (如图)在原式的基础上，再加一遍1＋2＋3＋…＋n，
反思感悟 由Sn求通项公式an的步骤 (1)令n＝1，则a1＝S1，求得a1. (2)令n≥2，则an＝Sn－Sn－1. (3)验证a1与an的关系： ①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1， ②若a1不适合an，则an＝SS1n， －nS＝n－11，，n≥2.
课堂小结
1.知识清单： (1)等差数列前n项和公式的推导过程. (2)等差数列前n项和有关的基本运算. (3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列. 2.方法归纳：倒序相加法、公式法、整体代换法. 3.常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论.
(3)a1＝56，an＝－32，Sn＝－5，求 n 和 d.
解 由题意得，Sn＝na1＋ 2 an＝n65－ 2 32＝－5， 解得n＝15. 又 a15＝56＋(15－1)d＝－32， 所以 d＝－16， 所以 n＝15，d＝－16.
三、利用等差数列前n项和公式判断等差数列
问题4 等差数列前n项和Sn＝na1＋nn2－1 d是关于n的二次函数，它可 以写成什么形式？
学习目标
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列前n项和公式. 3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由
其中三个求另外两个.
内容索引
一、等差数列前n项和公式的推导 二、等差数列中与前n项和有关的基本运算 三、利用等差数列前n项和公式判断等差数列
等差数列前n项和高考试题精选
等差数列前n项和高考试题精选一．选择题（共20小题）1．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．82．等差数列{a n}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{a n}的前9项和等于（）A．﹣18 B．9 C．18 D．363．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4+a9=10，则S12等于（）A．30 B．45 C．60 D．1204．等差数列{a n}中，a3=5，a4+a8=22，则{a n}的前8项的和为（）A．32 B．64 C．108 D．1285．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a9=24，则S9=（）A．36 B．72 C．144 D．706．在等差数列{a n}中，a9=a12+3，则数列{a n}的前11项和S11=（）A．24 B．48 C．66 D．1327．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S6=24，S9=63，则a4=（）A．4 B．5 C．6 D．78．一已知等差数列{a n}中，其前n项和为S n，若a3+a4+a5=42，则S7=（）A．98 B．49 C．14 D．1479．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=6，a2=1，则公差d等于（）A．B．C．D．210．已知等差数列{a n}的前n项和S n，其中且a11=20，则S13=（）A．60 B．130 C．160 D．26011．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若4S6+3S8=96，则S7=（）A．48 B．24 C．14 D．712．等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a10=20，则S13=（）A．6 B．130 C．200 D．26013．在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a3+a4+a8=25，则S9=（）A．60 B．75 C．90 D．10514．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（）A．5 B．4 C．3 D．215．已知等差数列{a n}，a1=50，d=﹣2，S n=0，则n等于（）A．48 B．49 C．50 D．5116．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4=﹣4，S6=6，则S5=（）A．1 B．0 C．﹣2 D．417．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4，a6是方程x2﹣18x+p=0的两根，那么S9=（）A．9 B．81 C．5 D．4518．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=15，a2=5，则公差d等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．219．等差数列{a n}中，a1+a3+a5=39，a5+a7+a9=27，则数列{a n}的前9项的和S9等于（）A．66 B．99 C．144 D．29720．等差数列{a n}中，a2+a3+a4=3，S n为等差数列{a n}的前n项和，则S5=（）A．3 B．4 C．5 D．6二．选择题（共10小题）21．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7=．22．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=4，S3=3，则公差d=．23．已知等差数列{a n}中，a1=1，a2+a3=8，则数列{a n}的前n项和S n=．24．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若公差d=2，a5=10，则S10的值是．25．设{a n}是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9=．26．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=9﹣a6，则S8=．27．设数列{a n}是首项为1的等差数列，前n项和S n，S5=20，则公差为．28．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则d=，S6=．29．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=4，则S7=．30．已知等差数列{a n}中，a2=2，a12=﹣2，则{a n}的前10项和为．等差数列前n项和高考试题精选参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2017•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．2．（2017•于都县模拟）等差数列{a n}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{a n}的前9项和等于（）A．﹣18 B．9 C．18 D．36【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，∴a3+a7=4，∴{a n}的前9项和S9===．故选：C．3．（2017•江西模拟）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4+a9=10，则S12等于（）A．30 B．45 C．60 D．120【解答】解：由等差数列的性质可得：．故选：C．4．（2017•尖山区校级四模）等差数列{a n}中，a3=5，a4+a8=22，则{a n}的前8项的和为（）A．32 B．64 C．108 D．128【解答】解：a4+a8=2a6=22⇒a6=11，a3=5，∴，故选：B．5．（2017•宁德三模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a9=24，则S9=（）A．36 B．72 C．144 D．70【解答】解：在等差数列{a n}中，由a2+a4+a9=24，得：3a1+12d=24，即a1+4d=a5=8．∴S9=9a5=9×8=72．故选：B．6．（2017•湖南一模）在等差数列{a n}中，a9=a12+3，则数列{a n}的前11项和S11=（）A．24 B．48 C．66 D．132【解答】解：在等差数列{a n}中，a9=a12+3，∴，解a1+5d=6，∴数列{a n}的前11项和S11=（a1+a11）=11（a1+5d）=11×6=66．故选：C．7．（2017•商丘三模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S6=24，S9=63，则a4=（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S6=24，S9=63，∴，解得a1=﹣1，d=2，∴a4=﹣1+2×3=5．故选：B．8．（2017•葫芦岛一模）一已知等差数列{a n}中，其前n项和为S n，若a3+a4+a5=42，则S7=（）A．98 B．49 C．14 D．147【解答】解：等差数列{a n}中，因为a3+a4+a5=42，所以3a4=42，解得a4=14，所以S7==7a4=7×14=98，故选A．9．（2017•南关区校级模拟）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=6，a2=1，则公差d等于（）A．B．C．D．2【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=6，a2=1，∴，解得，d=．故选：A．10．（2017•锦州一模）已知等差数列{a n}的前n项和S n，其中且a11=20，则S13=（）A．60 B．130 C．160 D．260【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴2a3=a3，即a3=0又∵a11=20，∴d=S13=•（a1+a13）=•（a3+a11）=•20=130故选B．11．（2017•龙门县校级模拟）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若4S6+3S8=96，则S7=（）A．48 B．24 C．14 D．7【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵4S6+3S8=96，∴+=96，化为：a1+3d=2=a4．则S7==7a4=14．故选：C．12．（2017•大连模拟）等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a10=20，则S13=（）A．6 B．130 C．200 D．260【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a10=20，∴S13=（a1+a13）=（a4+a10）=20=130．故选：B．13．（2017•大东区一模）在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a3+a4+a8=25，则S9=（）A．60 B．75 C．90 D．105【解答】解：∵等差数列{a n}中，S n为其前n项和，a3+a4+a8=25，∴3a1+12d=25，∴，∴S9==9a5=9×=75．故选：B．14．（2017•延边州模拟）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，∴，解得a3=﹣2，d=4．故选：B．15．（2017•金凤区校级四模）已知等差数列{a n}，a1=50，d=﹣2，S n=0，则n等于（）A．48 B．49 C．50 D．51【解答】解：由等差数列的求和公式可得，==0整理可得，n2﹣51n=0∴n=51故选D16．（2017•唐山一模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4=﹣4，S6=6，则S5=（）A．1 B．0 C．﹣2 D．4【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S4=﹣4，S6=6，∴d=﹣4，d=6，解得a1=﹣4，d=2．则S5=5×（﹣4）+×2=0，故选：B．17．（2017•南关区校级模拟）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4，a6是方程x2﹣18x+p=0的两根，那么S9=（）A．9 B．81 C．5 D．45【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a4，a6是方程x2﹣18x+p=0的两根，那∴a4+a6=18，∴S9===81．故选：B．18．（2017•宜宾模拟）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=15，a2=5，则公差d 等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=15，a2=5，∴，解得a1=7，d=﹣2，∴公差d等于﹣2．故选：B．19．（2017•西宁模拟）等差数列{a n}中，a1+a3+a5=39，a5+a7+a9=27，则数列{a n}的前9项的和S9等于（）A．66 B．99 C．144 D．297【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1+a3+a5=39，a5+a7+a9=27，∴3a3=39，3a7=27，解得a3=13，a7=9，∴数列{a n}的前9项的和：S9===．故选：B．20．（2017•大庆二模）等差数列{a n}中，a2+a3+a4=3，S n为等差数列{a n}的前n 项和，则S5=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2+a3+a4=3，S n为等差数列{a n}的前n项和，∴a2+a3+a4=3a3=3，解得a3=1，∴S5==5a3=5．故选：C．二．选择题（共10小题）21．（2017•榆林一模）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7=49．【解答】解：∵a2+a6=a1+a7∴故答案是4922．（2017•宝清县校级一模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=4，S3=3，则公差d=3．【解答】解：由等差数列的性质可得S3===3，解得a2=1，故公差d=a3﹣a2=4﹣1=3故答案为：323．（2017•费县校级模拟）已知等差数列{a n}中，a1=1，a2+a3=8，则数列{a n}的前n项和S n=n2．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=1，a2+a3=8，∴2×1+3d=8，解得d=2．则数列{a n}的前n项和S n=n+=n2．故答案为：n2．24．（2017•淮安四模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若公差d=2，a5=10，则S10的值是110．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若公差d=2，a5=10，∴a5=a1+4×2=10，解得a1=2，∴S10=10×2+=110．故答案为：110．25．（2017•盐城一模）设{a n}是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9=63．【解答】解：∵{a n}是等差数列，a4+a5+a6=21，∴a4+a5+a6=3a5=21，解得a5=7，∴=63．故答案为：63．26．（2017•乐山三模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=9﹣a6，则S8= 72．【解答】解：由题意可得a3+a6=18，由等差数列的性质可得a1+a8=18故S8=（a1+a8）=4×18=72故答案为：7227．（2017•凉山州模拟）设数列{a n}是首项为1的等差数列，前n项和S n，S5=20，则公差为．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=1，S5=20，∴5+d=20，解得d=．故答案为：．28．（2017•鹿城区校级模拟）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则d=3，S6=48．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵，∴+d=20，解得d=3．∴S6==48．故答案为：3，48．29．（2017•金凤区校级一模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=4，则S7= 28．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=4，∴S7=（a1+a7）=7a4=28．故答案为：28．30．（2017•衡阳三模）已知等差数列{a n}中，a2=2，a12=﹣2，则{a n}的前10项和为6．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2=2，a12=﹣2，∴，解得a1=2.4，d=﹣0.4，∴{a n}的前10项和为：=6．故答案为：6．。
等差数列的前n项和公式的性质ppt课件
可编辑课件
22
『变式探究』
1．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足 an＋2－2an＋1＋an＝0，n∈N*. (1)求数列{an}的通项； (2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.
解析：(1)由an＋2－2an＋1＋an＝0得，2an＋1＝an＋an＋2，
所以数列{an}是等差数列，d＝ a 4 a 1 = －2，
Sna 1a 2a 5(a 6a 7a n) (a 1a 2a 3a n)2 (a 1a 2a 5)
n 9n40 Sn＝2－25＋9·5＋n－52＋2 2n－10＝n2－9n＋40.
由①，②可得
Sn＝－n2－n2＋9n＋9n，40，
1≤n≤5 n≥6
可编辑课件
，n∈N*.
24
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
可编辑课件
25
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
且
Sn Tn
7n 2 n3
，则
a5 b5
65 12
.
可编辑课件
13
『变式探究』
1.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和
Bn，且
An Bn
7n 45，则使得 n3
a b
n n
为整数的正整数n的
个数是( D )
A．2
B．3
C．4
D．5
可编辑课件
14
【题型分类 深度剖析】
题型1：等差数列前n项和性质的简单应用
一般地若数列abn那么数列a为等差数列那么是什么数列为等差数列即等差数列a项的平均值组成的数列仍然是等差数列且公差是数列aa0b2011201120112009200720092007知识探究二等差数列前n项和的性质思考1
等差数列的前n项和
等差数列的前n项和等差数列是一种常见的数列，其特点是每一项与前一项之差都相等。
求等差数列的前n项和是一个常见的数学问题。
本文将着重介绍等差数列的概念、求解前n项和的公式以及实际应用。
一、等差数列的概念等差数列又称为等差数列，是指数列中的每一项与前一项之差都相等的数列。
通常用字母a表示首项，字母d表示公差，n表示项数。
等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d其中an表示第n项，a表示首项，d表示公差。
举个例子，如果一个等差数列的首项为1，公差为2，那么该数列的前几项分别为1, 3, 5, 7, 9...二、等差数列前n项和的求解求解等差数列的前n项和是一个常见的数学问题。
对于首项为a、公差为d的等差数列，前n项和Sn可以通过以下公式来计算：Sn = (n/2)(a + an) = (n/2)(2a + (n-1)d)其中Sn表示前n项和，n表示项数，a表示首项，d表示公差。
例如，求解等差数列1, 3, 5, 7, 9的前3项和，可以使用上述公式进行计算：Sn = (3/2)(1 + 5) = 3*(6/2) = 9因此，等差数列1, 3, 5的前3项和为9。
三、等差数列前n项和的实际应用等差数列的前n项和在实际应用中有着广泛的用途。
以下是几个常见的应用场景：1. 金融投资：在金融投资中，等差数列的前n项和可以用来计算投资利息或回报。
假设每年的回报率为r%，首次投资金额为a元，那么第n年的总金额为Sn = a*(1+r)^n。
其中，(1+r)^n是一个公差为r的等比数列，可以将其转换为等差数列，并使用前n项和公式进行计算。
2. 资源分配：在资源分配问题中，等差数列的前n项和可以用来计算每个参与者的分配数量。
假设有n个参与者，资源总量为Sn，按比例进行分配，那么每个参与者的分配数量为an = Sn*(a1/a)。
其中a1为首项，a为总和。
3. 时间管理：在时间管理中，等差数列的前n项和可以用来计算每个任务的时间分配。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复习练习 3.时钟在1点钟的时候敲一下, 在2点钟的时候 敲2下, ……在12点钟时候敲12下, 中间每半点 钟也敲一下, 一昼夜内它一共敲多少下?
解:(1)设每月存入A元,存期n个月后的本息 和为an元， 则an=A(1+n·2.1‰), 据题意S36=20000，
36 35 A·2.1‰=20000 即36A(1+2.1‰)+ 2
解得A≈535元.
解:(2)由于教育储蓄的存款总额不超过2万元, 所以3年期教育储蓄每月至多可存入 这样，3年后的本息和为
学习目标: 1.掌握等差数列的求和公式. 2.能够利用求和公式解决有关应用问 题. 3.会处理an与Sn的递推关系式.
例1.根据市场调查结果, 预测某种家用商品从 年初开始的几个月内累积的需求量Sn(万件) 近似地满足Sn=(21n－n2－5) (n=1 , 2 , … 12 ) , 按此预测, 在本年度内, 需求量超过 1.5万件的月份是 ( ) A.5月, 6月 B. 6月, 7月 C.7月, 8月 D. 8月, 9月
例2.教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存 款, 它享受整存整取利率, 利息免税, 教育储蓄 的对象为在校小学四年级(含四年级)以上的 学生, 假设零存整取3年期教育储蓄的月利率 为2.1‰. (1)欲在3年后一次支取本息合计2万元, 每月 大约存入多少元? (2)零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多 少元? 此时3年后本息合计约为多少(精确到1 元)? 注：教育储蓄起存金额50元，存款总额不 超过2万元.
例3.已知Sn=2an+2,求an. 变式1.已知a1+2a2+3a3+…+nan=n,求an.
S n 2 ,求an. 变式2.已知a1=1, 的递推关系式？
20000 ≈555(元) 36
555(1+2.1‰)+555(1+2×2.1‰)+…+555(1+36×2.1‰)
36 35 =555(36+36×2.1‰+ ×2.1‰) 2 ≈20756(元)
答：欲在3年后一次支取本息合计2万元, 每月大约存入535元.3年期教育储蓄每月至 多存入555元,3年后本息合计约为20756元.
4.有若干台型号相同的联合收割机, 收割一片 土地的小麦, 若同时投入工作至收割完毕需24 小时, 但它们是每隔相同的时间顺序投入工作 的, 每一台投入工作后都一直工作到小麦割完, 如果第一台收割时间是最后一台的5倍, 求用 这种方法收割完这片土地上的小麦需用多少 时间?
2.2.3 等差数列的前n项和(5)