第2讲等差数列及其前n项和

第2讲 等差数列及其前n 项和

一、选择题

1.(2016·武汉调研)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( )

A.－1

B.－2

C.－3

D.－4

解析 法一 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋6d ）＝－8，a 1＋d ＝2，

解得a 1＝5，d ＝－3.

法二 a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4，

∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3.

答案 C

2.已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )

A.10

B.20

C.30

D.40

解析 设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n ，解得n ＝5，故这个数列的项数为10.

答案 A

3.已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )

A.a 1＋a 101＞0

B.a 2＋a 100＜0

C.a 3＋a 99＝0

D.a 51＝51

解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝a 1＋a 1012×101＝0.所以a 1＋a 101＝a 2

＋a 100＝a 3＋a 99＝0.

答案 C

4.设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( )

A.0

B.37

C.100

D.－37

解析 设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，

∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，

∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100.

答案 C

5.(2017·泰安模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，则当S n 取最小值时，n ＝( )

A.9

B.8

C.7

D.6

解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，

得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－11，2a 1＋12d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－13，d ＝2.

∴a n ＝－15＋2n . 由a n ＝－15＋2n ≤0，解得n ≤152.又n 为正整数，

∴当S n 取最小值时，n ＝7.故选C.

答案 C

二、填空题

6.(2016·江苏卷)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________.

解析 设数列{a n }的公差为d ，由题设得

⎩⎨⎧a 1＋（a 1＋d ）2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，

解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3， 因此a 9＝a 1＋8d ＝20.

答案 20

7.正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝

________.

解析 由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，可得数列{a 2n }是等差数列，公差d ＝

a 22－a 21＝3，首项a 21＝1，所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，∴a n ＝3n －2，∴a 7＝19. 答案 19

8.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________.

解析 法一 由已知得，a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，因为数列{a n }

为等差数列，所以d ＝a m ＋1－a m ＝1，又因为S m ＝m （a 1＋a m ）2

＝0，所以m (a 1＋2)＝0，因为m ≠0，所以a 1＝－2，又a m ＝a 1＋(m －1)d ＝2，解得m ＝5. 法二 因为S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，所以a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋

1－S m ＝3，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝na 1＋n （n －1）2

， 得⎩⎨⎧ma 1＋m （m －1）2＝0， ①（m －1）a 1

＋（m －1）（m －2）2＝－2. ② 由①得a 1＝1－m 2，代入②可得m ＝5.

法三 因为数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ，

所以数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫S n n 也为等差数列. 所以S m －1m －1＋S m ＋1

m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0， 解得m ＝5，经检验为原方程的解.

答案 5

三、解答题

9.(2016·全国Ⅱ卷)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.

(1)求{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如

[0.9]＝0，[2.6]＝2.

解 (1)设数列{a n }首项为a 1，公差为d ，

由题意有⎩⎨⎧2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25

. 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35.

(2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤2n ＋35. 当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；

当n ＝4，5时，2≤2n ＋3

5<3，b n ＝2；

当n ＝6，7，8时，3≤

2n ＋3

5<4，b n ＝3； 当n ＝9，10时，4≤2n ＋3

5<5，b n ＝4.

所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.

10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数.

(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；

(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由.

(1)证明 由题设知，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1.

两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1.

由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.

(2)解 由题设知，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1.

由(1)知，a 3＝λ＋1.令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.

故a n ＋2－a n ＝4，

由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；