第2节 等差数列及其前n项和

解析 (3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数. (4)若公差d＝0，则前n项和不是二次函数. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×
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2.(老教材必修5P46AT2改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于_同__一__个__常__数___，那
么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).
a＋b
(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝____2____.
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数列；当d＝0时，{an}是常数列. 4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数). 5.用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：
“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”.
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诊断自测
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1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
30，则S8等于( )
A.31
B.32
C.33
D.34
解析 由已知可得a51a＋1＋5d10＝d2＝，30， 解得da＝1＝－23643，，∴S8＝8a1＋8×2 7d＝32. 答案 B
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3.(老教材必修5P68T8改编)在等差数列{an}中a3＋a4＋a5＝6，则S7＝( )
第2节 等差数列及其前n项和
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考试要求 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能利用等差数列的有关知识解 决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.
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知识梳理
1.等差数列的概念
2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝__a_1_＋__(_n_－__1_)d___.
(2)前n项和公式：Sn＝_n_a_1_＋__n_（__n_－2__1_）__d__＝
n（a1＋an） _______2__________.
3.等差数列的性质
A.－29
2 B.9
C.－23
2 D.3
解析 因为 S10＝12×10×(a1＋a10)＝12×10×(a1＋10)＝70，所以 a1＝4，因为 a10
＝a1＋9d＝10，所以 d＝23.
答案 D
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6.(2019·全国Ⅲ卷)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.若 a1≠0，a2＝3a1，则SS150＝ ________. 解析 由a1≠0，a2＝3a1，可得d＝2a1， 所以 S10＝10a1＋10× 2 9d＝100a1， S5＝5a1＋5×2 4d＝25a1，所以SS150＝4. 答案 4
(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( ) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( ) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.( ) (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( )
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(1)通项公式的推广：an＝am＋___(_n_－__m__)d____ (n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则_a_k_＋__a_l＝__a_m_＋__a_n__.
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(3)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为_m__d_ 的等差数列. (4)若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，则数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等 差数列. (5)若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，则数列Snn也为等差数列.
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考点一 等差数列基本量的运算
【例1】 (1)(一题多解)(2019·江苏卷)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项 和.若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________. (2)(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则( )
A.8
B.12
C.14
D.18
解析 a3＋a4＋a5＝3a4＝6，∴a4＝2，S7＝12×7×(a1＋a7)＝7a4＝14.
答案 C
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4.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )
A.－12
B.－10
C.10
D.12
解析 设等差数列{an}的公差为 d，则 3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即 d＝－32
a1.又 a1＝2，∴d＝－3，
∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10. 答案 B
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5.(2020·东营模拟)已知等差数列{an}，a10＝10，其前 10 项和 S10＝70，则公差 d ＝( )
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[常用结论与微点提醒] 1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等
差数列，且公差为p. 2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存
在最小值. 3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减
A.an＝2n－5
B.an＝3n－10
C.Sn＝2n2－8n D.Sn＝12n2－2n
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解析 (1)法一 由 S9＝27⇒9（a12＋a9）＝27⇒a1＋a9＝6⇒2a5＝6⇒a5＝3，即 a1 ＋4d＝3. 又a2a5＋a8＝0⇒2a1＋5d＝0， 解得a1＝－5，d＝2. 故 S8＝8a1＋8×（82－1）d＝16. 法二 同法一得a5＝3. 又a2a5＋a8＝0⇒3a2＋a8＝0⇒2a2＋2a5＝0⇒a2＝－3. ∴d＝a5－3 a2＝2，a1＝a2－d＝－5.