导数及其应用单元测试
高中数学选修第三章《导数及其应用》知识点归纳及单元测试

不合要求;综上, 为所求。
20.<1)解法1:∵ ,其定义域为 ,
∴ .
∵ 是函数 的极值点,∴ ,即 .
∵ ,∴ .
经检验当 时, 是函数 的极值点,
∴ .
解法2:∵ ,其定义域为 ,
∴ .
令 ,即 ,整理,得 .
∵ ,
∴ 的两个实根 <舍去), ,
当 变化时, , 的变化情况如下表:
<A) <B) <C) <D)
5.若曲线 的一条切线 与直线 垂直,则 的方程为< )
A. B. C. D.
6.曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为< )
A. B. C. D.
7.设 是函数 的导函数,将 和 的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是< )
8.已知二次函数 的导数为 , ,对于任意实数 都有 ,则 的最小值为< )A. B. C. D. b5E2RGbCAP
A
如图所示,切线BQ的倾斜角小于
直线AB的倾斜角小于 Q
切线AT的倾斜角
O 1 2 3 4 x
所以选B
11.
12.32
13.
14. (1>
三、解答题
15. 解:设长方体的宽为x<m),则长为2x(m>,高为
.
故长方体的体积为
从而
令V′<x)=0,解得x=0<舍去)或x=1,因此x=1.
当0<x<1时,V′<x)>0;当1<x< 时,V′<x)<0,
17.设函数 分别在 处取得极小值、极大值. 平面上点 的坐标分别为 、 ,该平面上动点 满足 ,点 是点 关于直线 的对称点,.求(Ⅰ>求点 的坐标; (Ⅱ>求动点 的轨迹方程. RTCrpUDGiT
一元函数的导数及其应用单元测试卷(A卷)

一元函数的导数及其应用单元测试卷(A卷)ʏ四川省广安市广安友实学校孟召臣一㊁单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分㊂在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的㊂)1.下列四个函数中,在区间[0,1]上的平均变化率最大的为()㊂A.y=xB.y=e xC.y=s i n xD.y=1x+12.当x>0时,可导函数f(x)满足: f(x)+2f1x=2x,则f'(x)=()㊂A.2+1x2B.-x2+2C.2xD.4x2+23x23.已知函数f(x)=(x2-a)e x,则 aȡ-1 是 f(x)有极值 的()㊂A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.近几年,出现了一些网络流行语,如 y y d s 内卷 躺平 等,现定义方程f(x)= f'(x)的实数根x叫做函数f(x)的 躺平点 ㊂若函数g(x)=e x-x,h(x)=l n x,φ(x)=1024x+1024的 躺平点 分别为a, b,c,则a,b,c的大小关系为()㊂A.b>a>cB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a5.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一,内容为:如果函数f(x)在闭区间[a,b]上的图像连续不间断,在开区间(a,b)内的导数为f'(x),那么在区间(a,b)内至少存在一点c,使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)成立,其中c叫做f(x)在[a,b]上的 拉格朗日中值点 ㊂根据这个定理,可得函数f(x)=l n x在[1,e]上的 拉格朗日中值点 为()㊂A.1B.eC.e-1D.e+126.已知函数f(x)=a x2+l n x,g(x)=x3-x2-3㊂若对任意的s,tɪ13,2,都有s f(s)ȡg(t)成立,则实数a的取值范围为()㊂A.2021B.2022C.2023D.[1,+ɕ)7.在数列{a n}中,a1=1,且函数f(x)= x5+a n+1s i n x-(2a n+3)x+3的导函数有唯一零点,则a10-a4+a2的值为()㊂A.2021B.2022C.2023D.20248.英国数学家布鲁克㊃泰勒(B r o o k T a y-l o r,1685年8月~1731年11月)以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世㊂根据泰勒公式,我们可知:如果函数f(x)在包含x0的某个开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数,那么对于∀xɪ(a,b),有f(x)=f(x0)0!+ f'(x0)1!(x-x0)+f''(x0)2!(x-x0)2+ + f(n)(x0)n!(x-x0)n+ ㊂若取x0=0,则f(x)=f(0)0!+f'(0)1!x+ f''(0)2!x2+ +f(n)(0)n!x n+ ,此时称该式为函数f(x)在x=0处的n阶泰勒公式㊂计算器正是利用这一公式将s i n x,c o s x,e x, l n x,x等函数转化为多项式函数,通过计算多项式函数值近似求出原函数的值,如s i n x=x-x33!+x55!-x77!+ ,c o s x=1-x22!+x44!-x66!+ ,则运用上面的想法求2c o sπ2+12s i n12的近似值为()A.0.50B.-0.46C.-0.54D.0.56二㊁多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分㊂在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求㊂全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分㊂)6 1演练篇核心考点A B卷高二数学2024年1月9.已知函数y=f(x)满足:f(1)=1,且f(x)在R上的导数f'(x)<12,则不等式f(l n x)>1+l n x2的整数解可以为()㊂A.4B.3C.2D.110.已知直线y=a与曲线y=x e x相交于A,B两点,与y=l n x x相交于B,C两点,A, B,C的横坐标分别为x1,x2,x3,则()㊂A.x2=a e x2B.x2=l n x1C.x3=e x2D.x1x3=x2211.已知函数f(x)=x l n x,若0<x1< x2,则下列选项正确的是()㊂A.x1+f(x1)<x2+f(x2)B.x2f(x1)<x1f(x2)C.当x2>x1>1e时,x1f(x1)+ x2f(x2)>x2f(x1)+x1f(x2)D.若方程f(x)=a有一个根,则a=-1e12.已知定义在R上的可导函数f(x),记g(x)=f'(x)为f(x)的导函数㊂若f(x-2024)+f(2024-x)=0,且f(x)= f(2)+f(4-x),f(1)=2023,则下列说法正确的是()㊂A.f(x)的图像关于x=2对称B.g(x)为偶函数C.g(2022)=0D.f(2023)=2023三㊁填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分㊂)13.已知2f(x)+x f'(x)=2x c o s2x+ 2(c o s x+s i n x)2,且x>0,fπ2=5,那么f(π)=㊂14.已知正实数x,y满足e x=y l n x+ y l n y,则l n x+1x-l n y的最大值为㊂15.函数f(x)=e x-1+a x2-(2a+1)x (其中a为实数),若x=1不是f(x)的极值点,则a=㊂16.函数f(x)=e2k x-l n x k x+1(kʂ0),函数g(x)=x l n x,若k f(x)ȡg(x)对∀xɪ(0,+ɕ)恒成立,则实数k的取值范围为㊂四㊁解答题(本题共6小题,共70分,解答时应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤㊂)17.(本小题10分)已知函数f(x)满足f(x)=e x x+1-x l n x+f'(1)(x3-x+3)㊂(1)求f'(1)的值;(2)求这个函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程㊂18.(本小题12分)已知在直角坐标系x O y 中矩形的四个顶点都在椭圆C:y24+x23=1上,将该矩形绕y轴旋转一周,得到一个圆柱体,当该圆柱体的体积最大时,求该圆柱体的侧面积㊂19.(本小题12分)已知函数f(x)=1-l n xx2㊂(1)求函数f(x)的零点及单调区间;(2)求证:曲线y=l n x x存在斜率为6的切线,且切点的纵坐标y0<-1㊂20.(本小题12分)已知函数f(x)= e2x-2x-1㊂(1)证明:f(x)ȡ0㊂(2)∃x0ɪ(0,+ɕ),使得f(x0)<a x0-1成立,求a的取值范围㊂21.(本小题12分)已知函数f(x)=a x-x l n x㊂(1)讨论f(x)在[1,e]上的最大值㊂(2)是否存在实数a,使得对任意x>0,都有f(x)ɤa?若存在,求a的取值范围;若不存在,说明理由㊂22.(本小题12分)已知函数f(x)=a l n x-x,a>1e,e是自然对数的底数㊂(1)若x1,x2(0<x1<x2)是函数y= f(x)的两个零点,证明:x1l n x1<2x2-x1;(2)当a=2时,若对于∀k>0,曲线C: y=m-k x2与曲线y=f(x)都有唯一的公共点,求实数m的取值范围㊂(责任编辑徐利杰)71演练篇核心考点A B卷高二数学2024年1月。
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数学选修 2-2 第一章单元测试题一、选择题 ( 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a,b) ,导函数f′(x) 在( a,b) 内的图像如图所示,则函数 f ( x)在开区间( a,b)内有极小值点()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个1 12.在区间[ 2,2] 上,函数 f ( x)=x2+px+q 与g( x)=2x+x2在1同一点处取得相同的最小值,那么f(x)在[2,2]上的最大值是()C.8D.423.点P在曲线y=x3-x+3上移动,设点P处的切线的倾斜角为α,则α 的取值范围是( )ππ3A.[0 ,2 ] B.[0 ,2 ] ∪[ 4π,π)3 π 3C.[ 4π,π ) D.[ 2,4π]14.已知函数f ( x) =2x4-2x3+3m,x∈R,若f ( x) +9≥0恒成立,则实数 m的取值范围是()3 3A.m≥2 B.m>23 3C.m≤2 D.m<2x2 25.函数f ( x) =cos x-2cos 2的一个单调增区间是 ()f x 0+3 -f x 06.设f ( x) 在x=x0 处可导,且lim Δx=1,Δx→0则 f ′(x0)等于( )A.1 B.0C.3x+97.经过原点且与曲线y=x+5相切的切线方程为()A.x+y=0B.x+25y=0C.x+y= 0 或x+25y=0D.以上皆非8.函数f ( x) =x3+ax2+bx+c,其中a,b,c为实数,当a2-3b<0 时,f ( x) 是()A.增函数B.减函数C.常数D.既不是增函数也不是减函数13 29.若a>2,则方程3x -ax +1=0 在(0,2) 上恰好有 ()A.0 个根B.1 个根C.2 个根D.3 个根1 10.一点沿直线运动,如果由始点起经过t s 后距离为s=4t 4-53t 3+2t 2,那么速度为零的时刻是( )A.1 s 末B.0 sC.4 s 末D.0,1,4 s 末x2,x∈[0,1],2f(x) d x 等于 () 11.设f ( x) =则2-x,x∈ 1,2] ,0D.不存在sin x sin x1 sin x2 12.若函数 f(x) =x,且 0<x1<x2 <1,设 a=x1 ,b=x2 ,则 a,b 的大小关系是 ( )A.a>b B.a<bC.a=b D.a、b的大小不能确定二、填空题 ( 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上 )1 3 213.若 f(x) =3x -f ′(1)x +x+5,则 f ′(1) = ________.π π14.已知函数 f(x) 满足 f(x) =f( π-x) ,且当 x∈ -2,2 时,f(x) =x+sin x,设a=f(1) ,b=f(2) ,c=f(3) ,则a、b、c 的大小关系是 ________.15.已知函数f(x) 为一次函数,其图像经过点(2,4) ,且1f(x) d x=3,则函数f(x) 的解析式为________.16.(2010 ·江苏卷) 函数2y=x(x>0)的图像在点 2(a k,a k) 处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k+1,其中k∈N*. 若a1=16,则a1+a3+a5的值是________.三、解答题 ( 本大题共 6 小题,共 70 分,解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤 )17.(10 分) 如图,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分,求k 的值.18.(12 分) 已知函数 f(x) =x4-4x3+ax2-1 在区间 [0,1] 上单调递增,在区间 [1,2) 上单调递减.(1)求 a 的值;(2)若点 A(x0,f(x0)) 在函数 f(x) 的图像上,求证:点 A关于直线x=1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上.19.(12 分) 设 x=- 2 与 x=4 是函数 f(x) =x3+ax2+bx 的两个极值点.(1)求常数 a,b;(2)试判断 x=- 2,x= 4 是函数 f(x) 的极大值还是极小值,并说明理由.20.(12 分) 已知 f(x) =ax3-6ax2+b,x∈[ -1,2] 的最大值为 3,最小值为- 29,求 a,b 的值.21.(12 分)(2010 ·重庆卷 ) 已知函数 f(x) =ax3+x2+ bx( 其中常数a,b∈R) ,g( x) =f ( x) +f′(x) 是奇函数.(1)求 f ( x)的表达式;(2)讨论 g( x)的单调性,并求 g( x)在区间[1,2]上的最大值与最小值.1-x22.(12 分) 已知函数f ( x) =ln( ax+1) +1+x,x≥0,其中a>0.(1)若 f ( x)在 x=1处取得极值,求 a 的值;(2)求 f ( x)的单调区间;(3)若 f ( x)的最小值为1,求 a 的取值范围.参考答案1.答案 A解析设极值点依次为 x1,x2,x3且 a<x1<x2<x3<b,则 f ( x) 在( a,x1) ,( x2,x3) 上递增,在 ( x1,x2) ,( x3,b) 上递减,因此,x1、x3是极大值点,只有x2是极小值点.2.答案 D3.答案 B4.答案 A1解析因为函数 f ( x)=2x4-2x3+3m,所以 f ′(x)=2x3-6x2.令 f ′(x)=0,得 x=0或 x=3,经检验知 x=3是函数的一个最27小值点,所以函数的最小值为 f (3)=3m-2.不等式 f ( x)+9≥0恒成27 3立,即 f ( x)≥-9恒成立,所以3m-2≥-9,解得 m≥2.5.答案 A解析 f ( x)=cos2x-cos x-1,∴f′(x)=-2sin x·cos x+sin x=sin x·(1-2cos x).令 f ′(x)>0,结合选项,选A.6. 答案 D7. 答案 D8. 答案 A9. 答案 B解析 1 3 2设 f ( x ) =3x -ax +1,则2f ′(x )=x -2ax =x ( x -2a ) ,当 x ∈(0,2) 时, f ′(x )<0,f ( x ) 在(0,2) 上为减函数,又 f (0) f (2) =8 111 3-4a +1 = 3 -4a <0,f ( x ) =0 在(0,2) 上恰好有一个根,故选 B.10. 答案 D11. 答案 C解析 数形结合,如图.2f(x) d x = 1x 2d x + 2(2 -x) d x0 11 3 11 22= 3x+ 2x -2x11 1= 3+(4 -2-2+2)5= 6,故选 C .12. 答案Af ′(x) =x cos x -sin x解析 x 2, 令 g(x) =x cos x -sin x ,则g ′(x) =- x sin x +cos x -cos x =- x sin x.∵0<x<1,∴ g ′(x)<0 ,即函数 g(x) 在 (0,1) 上是减函数,得 g(x)<g(0) =0,故 f ′(x)<0 ,函数 f(x) 在(0,1) 上是减函数,得 a>b ,故选A .213. 答案 32 2解析 f ′(x) = x -2f ′(1)x + 1,令 x=1,得 f ′(1) =3.14. 答案 c<a<b解析f(2) = f( π-2) , f(3) = f( π- 3) ,因为 f ′(x) = 1+π ππcos x≥0,故f(x)在-2,2上是增函数,∵2 >π-2>1>π-3>0,∴f( π-2)>f(1)>f( π-3) ,即 c<a<b.2815.答案 f(x) =3x+3解析设函数 f(x) =ax+b(a ≠0) ,因为函数 f(x) 的图像过点(2,4) ,所以有 b=4-2a.∴1 f(x) d x= 1 (ax +4-2a) d x0 01 2 1 1=[ ax +(4 -2a)x] | 0=a+4-2a=1.2 22 8 2 8∴a=3. ∴b=3. ∴f(x) =3x+3.16. 答案21解析2 2∵y′=2x,∴过点( a k,a k)处的切线方程为y-a k=2a k( x1-a k),又该切线与 x 轴的交点为( a k+1,0),所以 a k+1=2a k,即数列{ a k}1是等比数列,首项a1=16,其公比q=2,∴ a3=4,a5=1,∴ a1+a3 +a5=21.17. 解析抛物线 y =x -x 2 与 x 轴两交点的横坐标为x 1=0,x 2=1,所以,抛物线与 x 轴所围图形面积 S = 12) d x =x 2 x 3 11 (x -x 2 -3 0=2-1 13=6.y =x -x 2,又 由此可得抛物线 y =x -x 2 与 y =kx 两交点的横y =kx ,S- 2 x 3 -坐标 x 3= , 4= - ,所以 = 1-k (x - x 2 kx) d x =1 k x - 1k -0 x 1 k 2 02313=6(1 -k) .3又 S = ,所以 (1 -k) 3=1,∴ k =1- 4.622118. 解析 (1) 由函数 f(x) =x4-4x3+ax2-1 在区间 [0,1] 单调递增,在区间 [1,2) 单调递减,∴x =1 时,取得极大值,∴ f ′(1) = 0.又 f ′(x) = 4x3-12x2+2ax ,∴4-12+2a = 0? a = 4.(2) 点 A(x0,f(x0)) 关于直线 x =1 的对称点 B 的坐标为 (2 -x0, f(x0)) ,f(2 -x0) =(2 -x0)4 -4(2 -x0)3 +4(2 -x0)2 -1= (2 -x0)2[(2 -x0) -2]2 -1= x 40-4x30+ ax20- 1=f(x0) ,∴A 关于直线 x =1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上.19.解析 f ′(x) =3x2+2ax+b.(1) 由极值点的必要条件可知:12-4a+b=0,f ′( - 2) =f ′(4) = 0,即48+8a+b=0,解得 a=- 3,b=- 24.或f ′(x) = 3x2+2ax+b=3(x +2)(x -4)=3x2-6x-24,也可得 a=- 3,b=- 24.(2) 由 f ′(x) = 3(x +2)(x -4) .当 x<- 2 时, f ′(x) > 0,当- 2<x<4 时, f ′(x) < 0. ∴x=- 2 是极大值点,而当x>4 时, f ′(x) > 0,∴x=4 是极小值点.20.解析 a≠0( 否则 f(x) =b 与题设矛盾 ) ,由f ′(x) = 3ax2-12ax=0 及 x∈[ - 1,2] ,得 x=0. (1) 当 a>0 时,列表:x ( -1,0) 0 (0,2)f ′(x) +0 -f(x) 增极大值 b 减由上表知, f(x) 在[ - 1,0] 上是增函数,f(x) 在[0,2] 上是减函数.则当 x=0 时, f(x) 有最大值,从而b=3.又f( -1) =- 7a+3,f(2) =- 16a+3,∵a>0,∴ f( -1) >f(2) .从而 f(2) =- 16a+3=- 29,得a=2.(2)当 a<0 时,用类似的方法可判断当 x=0 时 f(x) 有最小值.当x=2 时, f(x) 有最大值.从而 f(0) =b=- 29, f(2)=-16a-29=3,得a=- 2.综上, a= 2,b=3 或 a=- 2,b=- 29.21.解析 (1) 由题意得f′(x) = 3ax2+2x+b. 因此g( x) =f ( x) +f′(x)=ax3+(3 a+1) x2+( b+2) x+b.因为函数 g( x)是奇函数,所以g(-x)=- g( x),即对任意实数x,有 a(- x)3+(3 a+1)(-x)2+( b +2)( -x) +b=- [ ax3+(3 a+1) x2+( b+2) x+b] ,从而 3a+1=0,b=0,解得a=-1,b=0,因此f ( x) 的解析式为f ( x) =-x3+x2. 331(2)由(1) 知g( x) =-1x3+2x,所以g′(x) =-x2+2. 3令g′(x)=0,解得x1=-2,x2=2,则当x<-2或x> 2时,g′(x)<0,从而 g( x)在区间(-∞,-2],[ 2,+∞)上是减函数;当- 2<x< 2时,g′(x)>0 ,从而g( x) 在[ - 2, 2] 上是增函数.由前面讨论知, g( x)在区间[1,2] 上的最大值与最小值只能在x=1,2,2 时取得,而g(1)5=3,g( 2) =4 23,g(2)4=3. 因此g( x)在区间 [1,2] 上的最大值为g( 2) =4 2,最小值为3g(2)4=3.22. 分析解答本题,应先正确求出函数 f ( x)的导数f ′(x),再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解,并注意在定义域范围内求解.a 2 ax2+a-2解析 (1) f′(x) =ax+1-1+x 2=ax+1 1+x 2,∵f ( x)在 x=1处取得极值,2∴f ′(1)=0,即 a·1+a-2=0,解得 a=1.(2) f′(x) =ax2+a-22,ax+1 1+x∵x≥0, a>0,∴ ax+1>0.①当 a≥2时,在区间[0,+∞)上, f ′(x)>0,∴f( x)的单调增区间为[0,+∞).②当 0<a<2 时,由 f ′(x)>0,解得 x> 2-a a.由 f ′(x)<0,解得 x< 2-a a.∴f ( x)的单调减区间为(0, 2-a 2-a a ) ,单调增区间为 ( a,+∞ ) .(3) 当a≥2时,由 (2) ①知,f ( x) 的最小值为f (0) =1;当 0<a<2,由 (2) ②知,f ( x) 在x=2-aa 处取得最小值,且2-af ( a )< f (0) =1.综上可知,若 f ( x)的最小值为1,则 a 的取值范围是[2,+∞).。
高中数学导数及其应用多选题单元测试及解析

高中数学导数及其应用多选题单元测试及解析一、导数及其应用多选题1.已知函数()xf x e =,()1ln22x g x =+的图象与直线y m =分别交于A 、B 两点,则( )A .AB 的最小值为2ln2+B .m ∃使得曲线()f x 在A 处的切线平行于曲线()g x 在B 处的切线C .函数()()f x g x m -+至少存在一个零点D .m ∃使得曲线()f x 在点A 处的切线也是曲线()g x 的切线 【答案】ABD 【分析】求出A 、B 两点的坐标,得出AB 关于m 的函数表达式,利用导数求出AB 的最小值,即可判断出A 选项的正误;解方程()12ln 2m f m g e -⎛⎫''= ⎪⎝⎭,可判断出B 选项的正误;利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单调性,结合极值的符号可判断出C 选项的正误;设切线与曲线()y g x =相切于点()(),C n g n ,求出两切线的方程,得出方程组,判断方程组是否有公共解,即可判断出D 选项的正误.进而得出结论. 【详解】令()xf x e m ==,得ln x m =,令()1ln22x g x m =+=,得122m x e -=, 则点()ln ,A m m 、122,m B e m -⎛⎫⎪⎝⎭,如下图所示:由图象可知,122ln m AB e m -=-,其中0m >,令()122ln m h m em -=-,则()1212m h m em-'=-,则函数()y h m '=单调递增,且102h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭,当102m <<时,0h m,当12m >时,0h m.所以,函数()122ln m h m e m -=-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增, 所以,min 112ln 2ln 222AB h ⎛⎫==-=+⎪⎝⎭,A 选项正确; ()x f x e =,()1ln 22x g x =+,则()x f x e '=,()1g x x'=,曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()ln f m m '=,曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为1212122m m g e e --⎛⎫'= ⎪⎝⎭,令()12ln 2m f m g e -⎛⎫''= ⎪⎝⎭,即1212m m e -=,即1221m me -=, 则12m =满足方程1221m me -=,所以,m ∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线,B 选项正确;构造函数()()()1ln22xx F x f x g x m e m =-+=-+-,可得()1x F x e x'=-, 函数()1xF x e x '=-在()0,∞+上为增函数,由于120F e ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭,()110F e -'=>,则存在1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭,使得()10t F t e t '=-=,可得ln t t =-,当0x t <<时,()0F x '<;当x t >时,()0F x '>.()()min 1111ln ln ln 2ln 22222t t t F x F t e m e t m t m t ∴==-+-=-++-=+++-13ln 2ln 2022m m >+-=++>,所以,函数()()()F x f x g x m =-+没有零点,C 选项错误;设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点()(),C n g n , 则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()ln ln my m ex m -=-,即()1ln y mx m m =+-,同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为11ln 22n y x n =+-,所以,()111ln ln 22m nn m m ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩,消去n 得()11ln ln 202m m m --++=,令()()11ln ln 22G x x x x =--++,则()111ln ln x G x x x x x-'=--=-, 函数()y G x '=在()0,∞+上为减函数,()110G '=>,()12ln 202G '=-<,则存在()1,2s ∈,使得()1ln 0G s s s'=-=,且1s s e =. 当0x s <<时,()0G x '>,当x s >时,()0G x '<.所以,函数()y G x =在()2,+∞上为减函数,()5202G =>,()17820ln 202G =-<, 由零点存在定理知,函数()y G x =在()2,+∞上有零点, 即方程()11ln ln 202m m m --++=有解. 所以,m ∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线. 故选:ABD. 【点睛】本题考查导数的综合应用,涉及函数的最值、零点以及切线问题,计算量较大,属于难题.2.已知函数()1ln f x x x x=-+,()()1ln x x x x g --=,则下列结论正确的是( ) A .()g x 存在唯一极值点0x ,且()01,2x ∈ B .()f x 恰有3个零点C .当1k <时,函数()g x 与()h x kx =的图象有两个交点D .若120x x >且()()120f x f x +=,则121=x x 【答案】ACD 【分析】根据导数求得函数()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数,结合零点的存在性定,可判定A 正确;利用导数求得函数 ()f x 在(,0)-∞,(0,)+∞单调递减,进而得到函数 ()f x 只有2个零点,可判定B 不正确;由()g x kx =,转化为函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象的交点个数,可判定C 正确;由()()120f x f x +=,化简得到 ()121()f x f x =,结合单调性,可判定D 正确. 【详解】由函数()()1ln x x x x g --=,可得 ()1ln ,0g x x x x '=-+>,则()2110g x x x''=--<,所以()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数,又由 ()()110,12ln 202g g '=>=-+<, 所以函数()g x 在区间(1,2)内只有一个极值点,所以A 正确; 由函数()1ln f x x x x=-+, 当0x >时,()1ln f x x x x=-+,可得 ()221x x f x x -+-'=,因为22131()024x x x -+-=---<,所以 ()0f x '<,函数()f x 在(0,)+∞单调递减;又由()10f =,所以函数在(0,)+∞上只有一个零点, 当0x <时,()1ln()f x x x x =--+,可得 ()221x x f x x -+-'=,因为22131()024x x x -+-=---<,所以 ()0f x '<,函数()f x 在(,0)-∞单调递减; 又由()10f -=,所以函数在(,0)-∞上只有一个零点, 综上可得函数()1ln f x x x x=-+在定义域内只有2个零点,所以B 不正确; 令()g x kx =,即()1ln x x x kx --=,即 ()1ln (1)x x k x -=-, 设()()1ln x x x ϕ-=, ()(1)m x k x =-, 可得()1ln 1x x x ϕ'=+-,则 ()2110x x xϕ''=+>,所以函数()x ϕ'(0,)+∞单调递增, 又由()01ϕ'=,可得当(0,1)x ∈时, ()0x ϕ'<,函数()x ϕ单调递减, 当(1,)x ∈+∞时,()0x ϕ'>,函数 ()x ϕ单调递增, 当1x =时,函数()x ϕ取得最小值,最小值为()10ϕ=, 又由()(1)m x k x =-,因为1k <,则 10k ->,且过原点的直线,结合图象,即可得到函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象有两个交点,所以C 正确;由120x x >,若120,0x x >>时,因为 ()()120f x f x +=,可得()()12222222211111ln ln 1f x f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即()121()f x f x =,因为()f x 在(0,)+∞单调递减,所以 121x x =,即121=x x ,同理可知,若120,0x x <<时,可得121=x x ,所以D 正确. 故选:ACD.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略:1、分类参数法:一般命题情境为给出区间,求满足函数零点个数的参数范围,通常解法为从()f x 中分离参数,然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围;2、分类讨论法:一般命题情境为没有固定的区间,求满足函数零点个数的参数范围,通常解法为结合函数的单调性,先确定参数分类标准,在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意,将满足题意的参数的各个小范围并在一起,即可为所求参数的范围.3.已知函数()32f x x ax x c =+-+(x ∈R ),则下列结论正确的是( ).A .函数()f x 一定存在极大值和极小值B .若函数()f x 在1()x -∞,、2()x ,+∞上是增函数,则2123x x -≥ C .函数()f x 的图像是中心对称图形D .函数()f x 的图像在点00())(x f x ,(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数2()3210f x x ax =+-=',再根据极值点与导数的关系,判断AB 选项;证明()()2()333a a af x f x f -++--=-,判断选项C ;令0a c ==,求切线与()f x 的交点个数,判断D 选项.【详解】A 选项,2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立,故()0f x '=必有两个不等实根,不妨设为1x 、2x ,且12x x <,令()0f x '>,得1x x <或2x x >,令()0f x '<,得12x x x <<,∴函数()f x 在12()x x ,上单调递减,在1()x -∞,和2()x ,+∞上单调递增, ∴当1x x =时,函数()f x 取得极大值,当2x x =时,函数()f x 取得极小值,A 对, B 选项,令2()3210f x x ax =+-=',则1223ax x +=-,1213x x ⋅=-,易知12x x <,∴213x x -==≥,B对, C 选项,易知两极值点的中点坐标为(())33a a f --,,又23()(1)()333a a a f x x x f -+=-+++-,∴()()2()333a a af x f x f -++--=-, ∴函数()f x 的图像关于点(())33aa f --,成中心对称,C 对,D 选项,令0a c ==得3()f x x x =-,()f x 在(0)0,处切线方程为y x =-, 且3y xy x x =-⎧⎨=-⎩有唯一实数解, 即()f x 在(0)0,处切线与()f x 图像有唯一公共点,D 错, 故选:ABC . 【点睛】方法点睛:解决函数极值、最值综合问题的策略:1、求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小;2、求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过比较才能下结论;3、函数在给定闭区间上存在极值,一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.4.设函数()()()1f x x x x a =--,则下列结论正确的是( ) A .当4a =-时,()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为194B .当1a =时,函数()f x 的图像与直线427y =有2个交点 C .当2a =时,()f x 的图像关于点()1,0中心对称D .若函数()f x 有两个不同的极值点1x ,2x ,则当2a ≥时,()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】运用平均变化率的定义可分析A ,利用导数研究()f x 的单调性和极值,可分析B 选项,证明()()20f x f x +-=可分析C 选项,先得出1x ,2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根,结合韦达定理可分析D 选项. 【详解】对于A ,当4a =-时,()()()14f x x x x =-+,则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()119123192221412⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---,故A 错误;对于B ,当1a =时,()()23212f x x x x x x =-=-+,()()()2341311f x x x x x '=-+=--,可得下表:因为327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()10f =,()42227f =>,结合()f x 的单调性可知,方程()427f x =有两个实数解,一个解为13,另一个解在()1,2上,故B 正确; 对于C ,当2a =时,()()()()()()()231211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦, 则有()()()()()()33211110f x f x x x x x +-=---+---=,故C 正确; 对于D ,()()()1f x x x x a =--,()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++,令()0f x '=,可得方程()23210x a x a -++=,因为()()22412130a a a ∆=-+=-+>,且函数()f x 有两个不同的极值点1x ,2x ,所以1x ,2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根,则有()12122132x x a a x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--()()()()33221212121x x a x x a x x =+-++++()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦()()()22211221212221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦ ()()()()()21242212113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦因为2a ≥,所以()()120f x f x +≤,故D 正确; 故选:BCD . 【点睛】关键点点睛:本题考查利用导数研究函数的单调性,平均变化率,极值等问题,本题的关键是选项D ,利用根与系数的关系,转化为关于a 的函数,证明不等式.5.阿基米德是伟大的物理学家,更是伟大的数学家,他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究,定义了抛物线阿基米德三角形:抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C :2yx 上两个不同点,A B 横坐标分别为1x ,2x ,以,A B 为切点的切线交于P 点.则关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有( )A .若AB 过抛物线的焦点,则P 点一定在抛物线的准线上B .若阿基米德三角形PABC .若阿基米德三角形PAB 为直角三角形,则其面积有最小值14D .一般情况下,阿基米德三角形PAB 的面积212||4x x S -=【答案】ABC 【分析】设出直线AB 的斜截式方程、点,A B 的坐标,根据导数的几何意义求出切线,PA PB 的方程,进而求出点P 的坐标,将直线AB 的方程和抛物线方程联立,得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.A :把抛物线焦点的坐标代入直线AB 的斜截式方程中,根据抛物线的准线方程进行判断即可;B :根据正三角形的性质,结合正三角形的面积公式进行判断即可;C :根据直角三角形的性质,结合直角三角形的面积公式进行判断即可;D :根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】由题意可知:直线AB 一定存在斜率, 所以设直线AB 的方程为:y kx m =+,由题意可知:点221122(,),(,)A x x B x x ,不妨设120x x <<,由2'2yx y x ,所以直线切线,PA PB 的方程分别为:221112222(),2()y x x x x y x x x x -=--=-,两方程联立得:211122222()2()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎨-=-⎩, 解得:12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩,所以P 点坐标为:1212(,)2x x x x +,直线AB 的方程与抛物线方程联立得:2121220,y kx mx kx m x x k x x m y x=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩. A :抛物线C :2y x 的焦点坐标为1(0,)4,准线方程为 14y =-,因为AB 过抛物线的焦点,所以14m =,而1214x x m =-=-,显然P 点一定在抛物线的准线上,故本选项说法正确;B :因为阿基米德三角形PAB 为正三角形,所以有||||PA PB =,= 因为 12x x ≠,所以化简得:12x x =-,此时221111(,),(,)A x x B x x -, P 点坐标为:21(0,)x -, 因为阿基米德三角形PAB 为正三角形,所以有||||PA AB =,112x x =-⇒=, 因此正三角形PAB, 所以正三角形PAB的面积为11sin 6022︒==, 故本选项说法正确;C :阿基米德三角形PAB 为直角三角形,当PA PB ⊥时, 所以1212121222121122122114PAPBx x x xx x kk x x x x x x x x ++--⋅=-⇒⋅=-⇒=---, 直线AB 的方程为:14y kx =+所以P 点坐标为:1(,)24k -,点 P 到直线AB 的距离为:=||AB ===,因为12121,4x x k x x +==-,所以21AB k =+, 因此直角PAB的面积为:2111(1)224k ⨯+=≥, 当且仅当0k =时,取等号,显然其面积有最小值14,故本说法正确; D :因为1212,x x k x x m +==-,所以1||AB x x ===-,点P 到直线AB 的距离为:212== 所以阿基米德三角形PAB的面积32121211224x x S x x -=⋅-=, 故本选项说法不正确. 故选:ABC 【点睛】关键点睛:解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用,本题重点考查了数学运算核心素养的应用.6.设函数3()(,)f x x ax b a b R =++∈,下列条件中,使得()y f x =有且仅有一个零点的是( ) A .1,2a b == B .3,3a b =-=- C .0,2a b >< D .0,0a b <>【答案】ABC 【分析】求导2()3f x x a '=+,分0a ≥和0a <进行讨论,当0a ≥时,可知函数单调递增,有且只有一个零点;当0a <时,讨论函数的单调性,要使函数有一个零点,则需比较函数的极大值与极小值与0的关系,再验证选项即可得解. 【详解】3()f x x ax b =++,求导得2()3f x x a '=+当0a ≥时,()0f x '≥,()f x ∴单调递增,当x →-∞时,()f x →-∞;当x →+∞时,()f x →+∞;由零点存在性定理知,函数()f x 有且只有一个零点,故A ,C 满足题意;当0a <时,令()0f x '=,即230x a +=,解得13ax -=-,23a x -= 当x 变化时,()'f x ,()f x 的变化情况如下表:x,3a ⎛⎫--∞- ⎪ ⎪⎝⎭3a-- ,33a a ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭3a- ,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()'f x+-+()f x极大值 极小值故当3ax -=-,函数()f x 取得极大值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭, 当3a x -=,函数()f x 取得极小值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭又当x →-∞时,()f x →-∞;当x →+∞时,()f x →+∞; 要使函数()f x 有且只有一个零点,作草图或则需0303a f a f ⎧⎛--<⎪ ⎪⎝⎨-⎪<⎪⎩,即20332033a a b a a b ⎧-<⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩,即2033a ab -<<,B 选项,3,3a b =-=-,满足上式,故B 符合题意;则需0303a f a f ⎧⎛-->⎪ ⎪⎝⎨-⎪>⎪⎩,即20332033a ab a a b ⎧->⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩,即2033a ab ->>,D 选项,0,0a b <>,不一定满足,故D 不符合题意;故选:ABC 【点睛】思路点睛:本题考查函数的零点问题,如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线,并且有()()0f a f b <,那么,函数()y f x =在区间(),a b 内有零点,即存在(),c a b ∈,使得()0f c =,这个c 也就是方程()0f x =的根,考查学生的逻辑推理与运算能力,属于较难题.7.关于函数()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+,下列结论正确的有( ) A .()f x 在(0,)+∞上是增函数 B .()f x 存在唯一极小值点0x C .()f x 在(,)π-+∞上有一个零点 D .()f x 在(,)π-+∞上有两个零点 【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 求得()'f x 与()f x '',再根据()0f x ''>在(,)π-+∞恒成立,确定()'f x 在(,)π-+∞上单调递增,及(0,)x ∈+∞()0f x '>,且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--,使0()=0f x ',从而判断A ,B 选项正确;再据此判断函数()f x 的单调性,从而判断零点个数.【详解】由已知()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+得()cos x f x e x '=+,()sin xf x e x ''=-,(,)x π∈-+∞,()0f x ''>恒成立,()'f x 在(,)π-+∞上单调递增,又3423()0,()0,(0)20422f e f e f ππππ--'''-=-<-=>=>(0,)x ∴∈+∞时()(0)0f x f ''>>,且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--,使0()=0f x ',即00cos x e x =-,所以()f x 在(0,)+∞上是增函数,且()f x 存在唯一极小值点0x ,故A,B 选项正确. 且()f x 在0(,)x π-单调递减,0(,)x +∞单调递增,又()00f eππ--=+>,000000()sin sin cos )04x f x e x x x x π=+=-=-<,(0)10=>f ,所以()f x 在(,)π-+∞上有两个零点,故D 选项正确,C 选项错误.故选:ABD. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.8.设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+,已知()f x 有且只有一个零点,下列结论正确的有( ) A .a e =B .()f x 在区间()1,e 单调递增C .1x =是()f x 的极大值点D .()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点,转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根,即ln ln x ax a=只有一个正根.利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质,可得a e =,判断A ,然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质,求出()'f x ,令()0f x '=,利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ,并证明出()'f x 的正负,得()f x 的单调性,极值最值.判断BCD .【详解】()f x 只有一个零点,即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根,x a a x =,取对数得ln ln x a a x =,即ln ln x ax a=只有一个正根. 设ln ()xh x x =,则21ln ()x h x x-'=,当0x e <<时,()0h x '>,()h x 递增,0x →时,()h x →-∞,x e >时,()0h x '<,()h x 递减,此时()0h x >,max 1()()h x h e e==. ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根.则ln 1a a e =或ln 0a a<,解得a e =或0a <,又∵1a >,∴a e =.A 正确;()x e f x e x =-,1()x e f x e ex -'=-,1()0x e f x e ex -'=-=,11x e e x --=,取对数得1(1)ln x e x -=-,易知1x =和x e =是此方程的解.设()(1)ln 1p x e x x =--+,1()1e p x x-'=-,当01x e <<-时,()0p x '>,()p x 递增,1x e >-时,()0p x '<,()p x 递减,(1)p e -是极大值,又(1)()0p p e ==, 所以()p x 有且只有两个零点,01x <<或x e >时,()0p x <,即(1)ln 1e x x -<-,11e x x e --<,1e x ex e -<,()0f x '>,同理1x e <<时,()0f x '<,所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增,在(1,)e 上递减,所以极小值为()0f e =,极大值为(1)f ,又(0)1f =,所以()f e 是最小值.B 错,CD 正确. 故选:ACD . 【点睛】关键点点睛:本题考用导数研究函数的零点,极值,单调性.解题关键是确定()'f x 的零点时,利用零点定义解方程,1()0x e f x e ex -'=-=,11x e e x --=,取对数得1(1)ln x e x -=-,易知1x =和x e =是此方程的解.然后证明方程只有这两个解即可.9.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+,其导函数()f x '满足()1f x x'<,且()11f =,则下列结论正确的是( ) A .()2f e > B .10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭C .()1,x e ∀∈,()2f x <D .1,1x e ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭, ()120x f x f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭-【答案】BCD 【分析】令()()ln F x f x x =-,求导得:'1()()0F x f x x'=-<,可得函数的单调性,再结合(1)1f =,可得(1)1F =,对选项进行一一判断,即可得答案;【详解】令()()ln F x f x x =-,∴'1()()0F x f x x'=-<, ()F x ∴在(0,)+∞单调递减, (1)1f =,(1)(1)1F f ∴==,对A ,()(1)()11()2F e F f e f e <⇒-<⇒<,故A 错误; 以B ,111(1)()110eF F f f e e ⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故B 正确; 对C ,(1,)()(1)()ln 1x e F x F f x x ∈∴<⇒-<,()1ln f x x ∴<+,(1.),ln (0,1)x e x ∈∈, 1ln (1,2)x ∴+∈,()2f x ∴<,故C 正确;对D ,111,1,,()x x F x F e x x ⎛⎫⎛⎫∈>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1ln ln f x x f x x ⎛⎫⇒->+ ⎪⎝⎭1()2ln f x f x x ⎛⎫⇒-> ⎪⎝⎭,1,1,ln (1,0)x x e ⎛⎫∈∴∈- ⎪⎝⎭,1()2f x f x ⎛⎫∴->- ⎪⎝⎭1()20f x f x ⎛⎫⇒-+> ⎪⎝⎭,故D 正确; 故选:BCD. 【点睛】根据条件构造函数,再利用导数的工具性研究函数的性质,是求解此类抽象函数问题的关键.10.已知函数1()2ln f x x x=+,数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足12a =,()()*1N n n a f a n +=∈,则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是( )A .21a a <B .1n a >C .100100S <D .112n n n a a a +⋅+<【答案】AB 【分析】A .计算出2a 的值,与1a 比较大小并判断是否正确;B .利用导数分析()f x 的最小值,由此判断出1n a >是否正确;C .根据n a 与1的大小关系进行判断;D .构造函数()()1ln 11h x x x x =+->,分析其单调性和最值,由此确定出1ln 10nn a a +->,将1ln 10n na a +->变形可得112n n a a ++>,再将112n n a a ++>变形可判断结果.【详解】A 选项,3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=,A 正确;B 选项,因为222121()x f x x x x='-=-,所以当1x >时,()0f x '>,所以()f x 单增,所以()(1)1f x f >=,因为121a =>,所以()11n n a f a +=>,所以1n a >,B 正确; C 选项,因为1n a >,所以100100S >,C 错误;D 选项,令1()ln 1(1)h x x x x =+->,22111()0x h x x x x-='=->, 所以()h x 在(1,)+∞单调递增,所以()(1)0h x h >=,所以1ln 10nna a +->,则22ln 20n n a a +->,所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭,即112n n a a ++>,所以112n n n a a a ++>,所以D 错误. 故选:AB. 【点睛】易错点睛:本题主要考查导数与数列的综合问题,属于难题.解决该问题应该注意的事项: (1)转化以函数为背景的条件时,应该注意题中的限制条件,如函数的定义域,这往往是很容易被忽视的问题;(2)利用函数的方法研究数列中的相关问题时,应准确构造相应的函数,注意数列中相关限制条件的转化.。
第3章第四单元测试六(导数及其应用)理

单元测试六(导数及其应用)(理)一.单项选择题(本题8小题,每小题5分,计40分)1.函数32)(sin x y =的导数是 ( C )(A )222sin sin 3x x x ⋅⋅ (B )22)(sin 3x (C )2226(sin )cos x x x ⋅ (D )22cos sin 6x x ⋅2.(原创题)函数()x f =x,则12007'12008f ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=B A 0 B 1 C 2008 D 20073.(改编题)设()0cos f x x = ,()()x f x f '01= ,()()x f x f '12=, …,()()x f x f n n '1=+ n +∈N ,()2008f x =BA sinxB cosxC -sinxD -cosx4.已知函数()x f ,(R x ∈)上任一点(0x ,()0x f )处的切线斜率为k=()()20012+-x x ,则该函数的单调递减区间为BA [)∞+- 1B (]2 ∞-C ()1-∞- 和(1 2)D [)∞+ 2 5.若曲线xy 1=有一切线与直线012=+-y x 垂直,则切点为( A ) (A ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,2 (B ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22,22(C ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22,2 (D ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22,2 6.若)(x f 是在()l l ,-内的可导的偶函数,且)(x f '不恒为零,则)(x f ' ( B )(A ) 必定是()l l ,-内的偶函数 (B ) 必定是()l l ,-内的奇函数 (C ) 必定是()l l ,-内的非奇非偶函数 (D ) 可能是奇函数,也可能是偶函数7.nx x x x x f )1()1()1()1(1)(32++⋯+++++++= ,则)0('f 等于( )A.nB.1-nC.!nD.21n (n +1) 答案.D 提示:令221032)1()1()1()1(1)(x a x a a x x x x x f n ++=++⋯+++++++=n n x a +⋯+,1232132)('-+⋯+++=n n x na x a x a a x f ,1)0('a f = ,又a 1=1+2+3+…+n=21n (n+1)8(理科)曲线)50)...(2)(1(---=x x x x y 在原点处的切线,方程为 ( ) A 、x y 1275= B 、x y 250= C 、x y 100= D 、x y !50= 答案:D提示:本题考查导数的运算,51502551...(1)(2)...(50)y x x x =-⨯++-⋅--'504951502551...50!y x x =-⨯⨯++ ,∴0'50!x y == ,∴在原点处的切线方程为50!y x =⋅,故选D 项。
高中数学《导数及其应用》单元测试

已知函数 f (x) ex a(x2 x ln x) ,其中 e 为自然对数的底数. x
(1)当 a e 时,求函数 f (x) 的单调区间; (2)若函数 f (x) 在 (0,1) 内存在极值,求实数 a 的取值范围.
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数学选修 1-1 第三章《导数及其应用》测试答案
19.(本小题满分 12 分)
【答案】(1) y 3 x2 1 x3 ,定义域为 (0, 6) ;(2) 4 . 48
【解析】(1)因为该正三棱柱形的容器的底面边长为 x ,
所以该正三棱柱形的容器的高为 3 6 x 3 (6 x) ,(2 分) 32 6
所以该正三棱柱形的容器的容积 y 1 x2sin60 3 (6 x) ,(4 分)
所以函数 y 3 x2 1 x3 (0 x 6) 在 (0, 4) 上单调递增,在 (4, 6) 上单调递减, 48
所以当 x 4 时,函数 y 3 x2 1 x3 (0 x 6) 取得最大值,(10 分) 48
故
ymax
3 42 4
1 43 8
4 ,故该正三棱柱形的容器的容积的最大值为 4 .(12
D. (,1]
12.已知函数 f (x) ax 1 (a 1) ln x 1 在 (0,1] 上的最大值为 3 ,则实数 a x
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A. 2
B. e
C. 3 或 e
D. e2
二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.已知函数
f (x)
1 4
x4
2 3
x3
6 ,则 lim x0
D. f (3)
2.某物体的位移 s (米)与时间 t (秒)的关系式为 s t 2 t ,则该物体在 t 2 时的瞬时速度为
单元过关检测-导数及其应用

单元过关检测三 导数及其应用一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.[2022·江苏灌云一中月考]已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足f (x )=f ′(2)x 2-3x ,则f (1)的值为( )A .-2B .-3C .2D .32.[2022·广东光明月考]已知函数f (x )=x 2e x -2e x ,若曲线y =f (x )在x =1处的切线与直线2x -ay +3=0垂直,则a =( )A .-2eB .-2e C.e 2D .2e 3.设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),若函数f (x )在x =1处取得极大值,则函数y =-xf ′(x )的图象可能是( )4.[2022·湖南师大附中月考]已知函数f (x )=x 3+3mx 2+nx +m 2在x =-1处取得极值0,则m +n =( )A .4B .11C .4或11D .3或95.[2022·山东新泰一中月考]若函数f (x )=-x 2+4x +b ln x 在区间(0,+∞)上是减函数,则实数b 的取值范围是( )A .[-1,+∞)B .(-∞,-1]C .(-∞,-2]D .[-2,+∞)6.[2022·湖北武汉一中月考]已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足xf ′(x )<f (x ),若a =f (1),b =f (ln 4)ln 4,c =f (3)3,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .a >b >c B .c >a >bC .b >a >cD .a >c >b7.若函数f (x )=3x -x 3在区间(a -5,2a +1)上有最小值,则实数a 的取值范围是( )A .(-1,4]B .(-1,4)C.⎝⎛⎦⎤-1,12D.⎝⎛⎭⎫-1,12 8.[2022·湖南湘潭月考]已知函数f (x )=e x -ax 2+2ax 有两个极值点,则a 的取值范围是( )A .(e ,+∞) B.⎝⎛⎭⎫e 2,+∞C .(e 2,+∞) D.⎝⎛⎭⎫e 22,+∞二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.[2022·广东东莞模拟]下图是函数f (x )的导函数f ′(x )的图象,则下列结论正确的是( )A .f (0)>f (1)B .x =1是f (x )的极小值点C .x =-1是f (x )的极小值点D .x =-3是f (x )的极大值点10.已知函数f (x )=x ln(x +1),则( )A .f (x )在(0,+∞)上单调递增B .f (x )有极小值C .f (x )在点(1,f (1))处的切线斜率为12+ln 2 D .f (x )为奇函数11.[2022·山东淄博实验中学月考]已知函数y =f (x )在R 上可导,其导函数f ′(x )满足(f ′(x )-f (x ))(x +1)>0,g (x )=f (x )e x ,则( ) A .函数g (x )在(-∞,-1)上为增函数B .x =-1是函数g (x )的极小值点C .函数g (x )必有2个零点D .e 2f (e)>e e f (2)12.[2022·福建宁德模拟]若以函数y =f (x )的图象上任意一点P (x 1,f (x 1))为切点作切线l 1,y =f (x )图象上总存在异于P 点的点Q (x 2,f (x 2)),使得以Q 为切点的切线l 2与l 1平行,则称函数f (x )为“和谐函数”,下面函数中是“和谐函数”的有( )A .y =x 3-3xB .y =3x +1xC .y =sin xD .y =(x -2)2+ln x三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.函数f (x )=3x 2-3ln x 的单调递减区间是________.14.函数f (x )=1-cos x sin x的图象在点⎝⎛⎭⎫π2,1处的切线方程为________________. 15.已知函数f (x )=x -x cos x ,则f (x )在区间[0,π]上的最大值是________.16.[2021·新高考Ⅱ卷]已知函数f (x )=|e x -1|,x 1<0,x 2>0,函数f (x )的图象在点A (x 1,f (x 1))和点B (x 2,f (x 2))的两条切线互相垂直,且分别交y 轴于M ,N 两点,则|AM ||BN |取值范围是________.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知f (x )=e x -ax .(1)求f (x )与y 轴的交点A 的坐标;(2)若f (x )的图象在点A 处的切线斜率为-1,求f (x )的极值.18.(12分)已知函数f (x )=ax 2ln x -bx 2-c 在x =1处取得极值3-c ,其中a ,b ,c 为常数.(1)试确定a,b的值;(2)若对任意x>0,不等式f(x)≥2c2有解,求c的取值范围.19.(12分)[2022·山东济南模拟]已知函数f(x)=ln x-ax2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a>0时,求f(x)在区间[1,2]上的最大值.20.(12分)已知函数f(x)=(x-2)e x+ax2-bx,其图象在点(0,f(0))处的切线斜率为-3.(1)求b的值;(2)若f(x)>-e-1在x∈R上恒成立,求实数a的取值范围.21.(12分)[2022·河北沧州模拟]已知函数f(x)=ln x+ax(a∈R).(1)当a=-1时,求f(x)的极值;(2)若f(x)在(0,e2)上有两个不同的零点,求a的取值范围.22.(12分)已知函数()()2ln 3,R f x x a x a =++∈.(1)讨论()f x 的单调性;(2)对任意的()20,e 1x x f x x >≤-恒成立,求a 的取值范围..。
第三章.导数及其应用测试卷(含详细答案)

单元综合测试三(第三章)时间:90分钟 分值:150分第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.已知f (x )=(x +a )2,且f ′(12)=-3,则a 的值为( ) A .-1 B .-2 C .1D .2解析:f (x )=(x +a )2,∴f ′(x )=2(x +a ). 又f ′(12)=-3,∴1+2a =-3,解得a =-2. 答案:B2.函数y =sin x (cos x +1)的导数是( ) A .y ′=cos2x -cos x B .y ′=cos2x +sin x C .y ′=cos2x +cos xD .y ′=cos 2x +cos x解析:y ′=(sin x )′(cos x +1)+sin x (cos x +1)′=cos 2x +cos x -sin 2x =cos2x +cos x .答案:C3.函数y =3x -x 3的单调递增区间是( ) A .(0,+∞) B .(-∞,-1) C .(-1,1)D .(1,+∞)解析:f ′(x )=3-3x 2>0⇒x ∈(-1,1).答案:C4.某汽车启动阶段的路程函数为s (t )=2t 3-5t 2+2,则t =2秒时,汽车的加速度是( )A .14B .4C .10D .6解析:依题意v (t )=s ′(t )=6t 2-10t ,所以a (t )=v ′(t )=12t -10,故汽车在t =2秒时的加速度为a (2)=24-10=14.答案:A5.若曲线f (x )=x sin x +1在x =π2处的切线与直线ax +2y +1=0互相垂直,则实数a 的值为( )A .-2B .-1C .1D .2解析:f ′(x )=x cos x +sin x ,f ′(π2)=1, ∴k =-a2=-1,a =2. 答案:D6.已知P ,Q 为抛物线x 2=2y 上两点,点P ,Q 的横坐标分别为4,-2,过P ,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A ,则点A 的纵坐标为( )A .1B .3C .-4D .-8解析:如图所示,由已知可设P (4,y 1),Q (-2,y 2), ∵点P ,Q 在抛物线x 2=2y 上,∴⎩⎨⎧42=2y 1, ①(-2)2=2y 2, ②∴⎩⎨⎧y 1=8,y 2=2,∴P (4,8),Q (-2,2).又∵抛物线可化为y =12x 2,∴y ′=x . ∴过点P 的切线斜率为y ′|x =4=4,∴过点P 的切线为y -8=4(x -4),即y =4x -8. 又∵过点Q 的切线斜率为y ′|x =-2=-2.∴过点Q 的切线为y -2=-2(x +2),即y =-2x -2.联立⎩⎨⎧y =4x -8,y =-2x -2,解得x =1,y =-4.∴点A的纵坐标为-4. 答案:C7.若函数y=a(x3-x)的递增区间是(-∞,-33),(33,+∞),则a的取值范围是()A.a>0 B.-1<a<0 C.a>1 D.0<a<1解析:依题意y′=a(3x2-1)>0的解集为(-∞,-33),(33,+∞),故a>0.答案:A8.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是()A.0≤a≤21 B.a=0或a=7C.a<0或a>21 D.a=0或a=21解析:f′(x)=3x2+2ax+7a,当Δ=4a2-84a≤0,即0≤a≤21时,f′(x)≥0恒成立,函数f(x)不存在极值点.故选A.答案:A9.已知函数f(x)=x3-3x,若对于区间[-3,2]上任意的x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是()A.0 B.10C.18 D.20解析:f′(x)=3x2-3,令f′(x)=0,解得x=±1,所以1,-1为函数f(x)的极值点,因为f(-3)=-18,f(-1)=2,f(1)=-2,f(2)=2,所以在区间[-3,2]上,f(x)max=2,f(x)min=-18,所以对于区间[-3,2]上任意的x1,x2,|f(x1)-f(x2)|≤20,所以t≥20,从而t的最小值为20.答案:D10.设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()A.∀x∈R,f(x)≤f(x0)B.-x0是f(-x)的极小值点C.-x0是-f(x)的极小值点D.-x0是-f(-x)的极小值点解析:取函数f(x)=x3-x,则x=-33为f(x)的极大值点,但f(3)>f(-33),∴排除A.取函数f(x)=-(x-1)2,则x=1是f(x)的极大值点,f(-x)=-(x+1)2,-1不是f(-x)的极小值点,∴排除B;-f(x)=(x-1)2,-1不是-f(x)的极小值点,∴排除C.故选D.答案:D11.若函数y=f(x)满足xf′(x)>-f(x)在R上恒成立,且a>b,则()A.af(b)>bf(a) B.af(a)>bf(b)C.af(a)<bf(b) D.af(b)<bf(a)解析:设g(x)=xf(x),则g′(x)=xf′(x)+f(x)>0,∴g(x)在R上是增函数,又a>b,∴g(a)>g(b)即af(a)>bf(b).答案:B12.设函数f (x )满足x 2f ′(x )+2xf (x )=e x x ,f (2)=e 28,则x >0时,f (x )( )A .有极大值,无极小值B .有极小值,无极大值C .既有极大值又有极小值D .既无极大值也无极小值解析:由题意知f ′(x )=e x x 3-2f (x )x =e x -2x 2f (x )x3.令g (x )=e x-2x 2f (x ),则g ′(x )=e x -2x 2f ′(x )-4xf (x )=e x -2(x 2f ′(x )+2xf (x ))=e x -2e xx =e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-2x .由g ′(x )=0得x =2,当x =2时,g (x )min =e 2-2×22×e 28=0,即g (x )≥0,则当x >0时,f ′(x )=g (x )x 3≥0,故f (x )在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值.答案:D第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(每小题5分,共20分)13.若抛物线y =x 2-x +c 上一点P 的横坐标为-2,抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点,则c 的值为________.解析:∵y ′=2x -1,∴y ′|x =-2=-5. 又P (-2,6+c ),∴6+c-2=-5.∴c =4. 答案:414.如果函数f (x )=x 3-6bx +3b 在区间(0,1)内存在与x 轴平行的切线,则实数b 的取值范围是________.解析:存在与x 轴平行的切线,即f ′(x )=3x 2-6b =0有解,∵x ∈(0,1),∴b =x 22∈(0,12).答案:{b |0<b <12}15.已知a ≤4x 3+4x 2+1对任意x ∈[-1,1]都成立,则实数a 的取值范围是________.解析:设f (x )=4x 3+4x 2+1,则f ′(x )=12x 2+8x =4x (3x +2),令f ′(x )=0,解得x 1=0,x 2=-23.又f (-1)=1, f (-23)=4327,f (0)=1,f (1)=9,故f (x )在[-1,1]上的最小值为1,故a ≤1.答案:(-∞,1]16.设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)的导数为f ′(x ),f ′(0)>0,若∀x ∈R ,恒有f (x )≥0,则f (1)f ′(0)的最小值是________.解析:二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)的导数为f ′(x )=2ax +b ,由f ′(0)>0,得b >0,又对∀x ∈R ,恒有f (x )≥0,则a >0, 且Δ=b 2-4ac ≤0,故c >0,所以f (1)f ′(0)=a +b +c b =a b +c b +1≥2acb 2+1≥2ac4ac +1=2,所以f (1)f ′(0)的最小值为2.答案:2三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分)17.(10分)已知函数f (x )=ln(2x +a )+x 2,且f ′(0)=23.(1)求f (x )的解析式;(2)求曲线f (x )在x =-1处的切线方程. 解:(1)∵f (x )=ln(2x +a )+x 2,∴f ′(x )=12x +a ·(2x +a )′+2x =22x +a +2x .又∵f ′(0)=23,∴2a =23,解得a =3. 故f (x )=ln(2x +3)+x 2.(2)由(1)知f ′(x )=22x +3+2x =4x 2+6x +22x +3,且f (-1)=ln(-2+3)+(-1)2=1, f ′(-1)=4×(-1)2+6×(-1)+22(-1)+3=0,因此曲线f (x )在(-1,1)处的切线方程是y -1=0(x +1),即y =1.18.(12分)已知函数f (x )=13x 3+ax +b (a ,b ∈R )在x =2处取得极小值-43.(1)求函数f (x )的增区间;(2)若f (x )≤m 2+m +103对x ∈[-4,3]恒成立,求实数m 的取值范围.解:(1)由已知得f (2)=-43,f ′(2)=0,又f ′(x )=x 2+a ,所以83+2a +b =-43,4+a =0,所以a =-4,b =4,则f (x )=13x 3-4x +4,令f ′(x )=x 2-4>0,得x <-2或x >2,所以增区间为(-∞,-2),(2,+∞).(2)f (-4)=-43,f (-2)=283,f (2)=-43,f (3)=1,则当x ∈[-4,3]时,f (x )的最大值为283,故要使f (x )≤m 2+m +103对∈[-4,3]恒成立,只要283≤m 2+m +103,所以实数m 的取值范围是m ≥2或m ≤-3.19.(12分)已知函数f (x )=e x (ax +b )-x 2-4x ,曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =4x +4.(1)求a ,b 的值;(2)讨论f (x )的单调性,并求f (x )的极大值. 解:(1)f ′(x )=e x (ax +a +b )-2x -4.由已知得f (0)=4,f ′(0)=4,故b =4,a +b -4=4,所以a =4,b =4.(2)由(1)知,f (x )=4e x (x +1)-x 2-4x , f ′(x )=4e x(x +2)-2x -4=4(x +2)(e x-12).令f ′(x )=0,得x =-ln2或x =-2.从而当x ∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f ′(x )>0;当x ∈(-2,-ln2)时,f ′(x )<0.故f (x )在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减.当x =-2时,函数f (x )取得极大值, 极大值为f (-2)=4(1-e -2).20.(12分)已知函数f (x )=x -a ln x (a ∈R ).(1)当a =2时,求曲线y =f (x )在点A (1,f (1))处的切线方程. (2)求函数f (x )的极值.解:函数f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1-ax . (1)当a =2时,f (x )=x -2ln x ,f ′(x )=1-2x (x >0),所以f (1)=1,f ′(1)=-1,所以y =f (x )在点A (1,f (1))处的切线方程为y -1=-(x -1),即x +y -2=0.(2)由f ′(x )=1-a x =x -ax ,x >0可知:①当a ≤0时,f ′(x )>0,函数f (x )为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;②当a>0时,由f′(x)=0,解得x=a;因为x∈(0,a)时,f′(x)<0,x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-a ln a,无极大值.综上:当a≤0时,函数f(x)无极值,当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-a ln a,无极大值.21.(12分)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快,欲将这种食品价格控制在适当范围内,决定给这种食品生产厂家提供政府补贴,设这种食品的市场价格为x 元/千克,政府补贴为t 元/千克,根据市场调查,当16≤x ≤24时,这种食品日供应量p 万千克,日需量q 万千克近似地满足关系:p =2(x +4t -14)(t >0),q =24+8ln 20x .当p =q 时的市场价格称为市场平衡价格.(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数,并求出函数的值域;(2)为使市场平衡价格不高于20元/千克,政府补贴至少为多少元/千克?解:(1)由p =q 得2(x +4t -14) =24+8ln 20x (16≤x ≤24,t >0), 即t =132-14x +ln 20x (16≤x ≤24). ∵t ′=-14-1x <0,∴t 是x 的减函数. ∴t min =132-14×24+ln 2024=12+ln 2024=12+ln 56; t max =132-14×16+ln 2016=52+ln 54, ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12+ln 56,52+ln 54.(2)由(1)知t =132-14x +ln 20x (16≤x ≤24).而当x =20时,t =132-14×20+ln 2020=1.5(元/千克),∵t 是x 的减函数,∴欲使x ≤20,必须t ≥1.5(元/千克). 要使市场平衡价格不高于20元/千克,政府补贴至少为1.5元/千克.22.(12分)已知函数f (x )=ln x -12ax 2-2x .(1)若函数f (x )在x =2处取得极值,求实数a 的值. (2)若函数f (x )在定义域内单调递增,求实数a 的取值范围. (3)当a =-12时,关于x 的方程f (x )=-12x +b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b 的取值范围.解:(1)由题意,得f ′(x )=-ax 2+2x -1x(x >0), 因为x =2时,函数f (x )取得极值,所以f ′(2)=0,解得a =-34,经检验,符合题意.(2)函数f (x )的定义域为(0,+∞),依题意,f ′(x )≥0在x >0时恒成立,即ax 2+2x -1≤0在x >0时恒成立,则a ≤1-2x x 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫1x -12-1在x >0时恒成立,即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫1x -12-1min (x >0),当x =1时,⎝⎛⎭⎪⎫1x -12-1取最小值-1,所以a 的取值范围是(-∞,-1].(3)当a =-12时,f (x )=-12x +b , 即14x 2-32x +ln x -b =0.设g (x )=14x 2-32x +ln x -b (x >0), 则g ′(x )=(x -2)(x -1)2x, 当x 变化时,g ′(x ),g (x )的变化情况如下表:x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4) g ′(x ) + 0 - 0 + g (x )极大极小所以g (x )极小值=g (2)=ln2-b -2, g (x )极大值=g (1)=-b -54, 又g (4)=2ln2-b -2,因为方程g (x )=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根, 则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0,g (2)<0,g (4)≥0,解得ln2-2<b ≤-54,所以实数b 的取值范围是(ln2-2,-54).。
导数自测

导数及其应用单元综合测试题1、函数f(x)=31x 3+ax+1在(-∞,-1)上为增函数,在(-1,1)上为减函数,则f(1)为( ) A 37 B.1 C.31D.-1 2、已知二次函数的导数为,,对于任意实数有则的最小值( )A. B. C. D.3、设函数是上以5为周期的可导偶函数,则曲线在的切线的斜率为( ) A. B. C. D.4设在内单调递增,,则是的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5、曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭,处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A .19B .29 C .13D .23 6、在函数x x y 83-=的图象上,其切线的倾斜角小于4π的点中,坐标为整数的点的个数是( ) A .3 B .2 C .1 D .07、若函、已知对任意实数x ,有()()()()f x f x g x g x -=--=,,且0x >时,()0()0f x g x ''>>,,则0x <时( )A .()0()0f x g x ''>>,B .()0()0f x g x ''><,C .()0()0f x g x ''<>,D .()0()0f x g x ''<<,8.数432()2f x x ax x =-+-有且仅有一个极值点,求实数a 的取值范围9、已知函数在区间上的最大值与最小值分别为,,则___.10、已知曲线xx y 1+=,则==1|'x y _____________。
11、P 是抛物线2x y =上的点,若过点P 的切线方程与直线121+-=x y 垂直,则过P 点处的切线方程是____________。
12.若函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值,则常数c 的值为 ; 13、设,.令,讨论在内的单调性。
第五章一元函数的导数及其应用单元综合测试卷(原卷版)

第五章 一元函数的导数及其应用 单元综合测试卷第Ⅰ卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若函数()f x 在1x =处的导数为2,则()()011lim2x f x f x ∆→+∆-=∆ ( ) A .2 B .1 C .12 D .62.已知函数()()22cos f x t g x x ==,,则( )A .()()0,2sin f x g x x ''==-B .()()2,2sin f x t g x x =-''=C .()()02sin f x g x x ''==,D .()()2,2sin f x t g x x =''=3.2022年2月,第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行,中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩,彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力.设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l (单位:m )与时间t (单位:s )之间的关系为()2322l t t t =+,则当3s t =时,该运动员的滑雪速度为( ) A .7.5m /s B .13.5m /s C .16.5m /s D .22.5m /s4.函数()f x 的定义域为开区间(),a b ,导函数()f x '在(),a b 内的图象如图所示,则函数()f x 在开区间(),a b 内有极小值点( )A .1个B .2个C .3个D .4个5.函数(=cos2ln y x x ⋅的图像可能是( ) A . B .C .D .6.设定义在[)0,∞+上的函数()0f x ≠恒成立,其导函数为()f x ',若()()()()1ln 10f x x f x x '-++<,则( ) A .()()2130f f >>B .()()2130f f <<C .()()2310f f >>D .()()2310f f <<7.给定函数()()1e x f x x =-,则下列结论不正确的是( )A .函数()f x 有两个零点B .函数()f x 在()1,+∞上单调递增C .函数()f x 的最小值是1-D .当1a =-或0a ≥时,方程()f x a =有1个解8.若120x x a <<≤都有211212ln ln x x x x x x -<-成立,则a 的最大值为( )A .12 B .1 C .e D .2e二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
第3章导数及其应用(单元测试)(原卷版).pdf

第三单元导数及其应用单元测试【满分:100分时间:90分钟】一、选择题(本大题共18小题,每小题3分,共54分)1.(云南省玉溪市第一中学2019届调研)函数的最小值为()A.B.C.D.2.(山东省聊城市2019届三模)函数的图象在处的切线方程为()A.B.C.D.3.(广东省揭阳市2019年二模)以下四个数中,最大的是()A.B.C.D.4.(河北省石家庄市2019届模拟)已知当,时,,则以下判断正确的是()A.B.C.D.与的大小关系不确定5.(辽宁省朝阳市重点高中2019届模拟)已知函数(表示不超过实数的最大整数),若函数的零点为,则()A.B.-2 C.D.6.(甘肃省兰州市第一中学2019届模拟)定义在上的函数满足,,则关于的不等式的解集为() A.B.C.D.7.(湖南省长沙市第一中学2019届模拟)若不等式对成立,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.8.(2019年山西省忻州市一中模拟)定义在上的可导函数满足,且,当时,不等式的解集为( ) A.B.C.D.9.(湖南省长沙市第一中学2019届模拟)已知函数是自然对数的底数)与的图象上存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.10.(辽宁省丹东市2019届质量测试)当是函数的极值点,则的值为()A.-2 B.3 C.-2或3 D.-3或211.(山东省淄博市部分学校2019届模拟)已知函数的图象如图所示,令,则下列关于函数的说法中正确的是()A.若函数的两个不同零点分别为,则的最小值为B.函数的最大值为 2C.函数的图象上存在点,使得在点处的切线与直线平行D.函数图象的对称轴方程为12.(重庆南开中学2019届模拟)若函数的图象不经过第四象限,则正实数的取值范围为( ) A.B.C.D.13.(江西省上饶市横峰中学2019届模拟)已知函数,若有3个零点,则的取值范围为( )A.(,0) B.(,0) C.(0,) D.(0,)14.(山东省泰安市教科研中心2019届模拟)若函数存在唯一的零点x0,且x0>0,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.15.(福建省龙岩市2019届模拟)若直线y=a分别与直线y=2x-3,曲线y=e x-x(x≥0)交于点A,B,则|AB|的最小值为()A.B.C.e D.16.(福建省厦门第一中学2019届模拟)已知函数有两个零点,,则下列判断:①;②;③;④有极小值点,且.则正确判断的个数是()A.4个B.3个C.2个D.1个17.(江西省新八校2019届第二次联考)已知函数,要使函数恒成立,则正实数应满足()A.B.C.D.18.(河南省洛阳市2019届模拟)已知函数,若的解集为,且中恰有两个整数,则实数的取值范围为()A.B.C.D.二、填空题(本大题共4小题,共16分)19.(天津市南开区2019届模拟)已知函数,则的值为___________。
广州大学附属中学高二第一学期《导数及其应用》单元测试题(理)

《导数及其应用》单元测试题(理科)(满分150分 时间:120分钟 )一、选择题(本大题共8小题,共40分,只有一个答案正确) 1.函数()22)(x x f p =的导数是( )(A) x x f p 4)(=¢ (B) x x f 24)(p =¢ (C) x x f 28)(p =¢ (D) x x f p 16)(=¢ 2.函数xe x xf -×=)(的一个单调递增区间是( )(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,03.已知对任意实数x ,有()()()()f x f x g x g x -=--=,,且0x >时,()0()0f x g x ¢¢>>,,则0x <时( )A .()0()0f x g x ¢¢>>,B .()0()0f x g x ¢¢><,C .()0()0f x g x ¢¢<>,D .()0()0f x g x ¢¢<<,4.=-+òdx xx x )111(3221( ) (A)872ln +(B)872ln - (C)452ln + (D)812ln +5.曲线12e x y =在点2(4e ),处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.29e 2B.24eC.22eD.2e6.设()f x ¢是函数()f x 的导函数,将()y f x =和()y f x ¢=的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )7.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x 都有()0f x ³,则(1)'(0)f f 的最小值为( ) A .3 B .52 C .2 D .328.设2:()e ln 21xp f x x x mx =++++在(0)+¥,内单调递增,:5q m -≥,则p 是q 的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件二.填空题(本大题共6小题,共30分)9.用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,则该长方体的长、宽、高各为 时,其体积最大.10.将抛物线22x y =和直线1=y 围成的图形绕y 轴旋转一周得到的几何体的体积等于11.已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ,则M m -=__.12.对正整数n ,设曲线)1(x x y n -=在x =2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则数列1n a n ìüíý+îþ的前n 项和的公式是 13.点P 在曲线323+-=x x y 上移动,设在点P 处的切线的倾斜角为为a ,则a 的取值范围是 14.已知函数53123-++=ax x x y (1)若函数在()+¥¥-,总是单调函数,则a 的取值范围是 . (2)若函数在),1[+¥上总是单调函数,则a 的取值范围 . (3)若函数在区间(-3,1)上单调递减,则实数a 的取值范围是 .三.解答题(本大题共6小题,共12+12+14+14+14+14=80分) 15.设函数()e e xxf x -=-. (1)证明:()f x 的导数()2f x ¢≥;(2)若对所有0x ≥都有()f x ax ≥,求a 的取值范围.16.设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为11()x f x (,)、22()x f x (,),该平面上动点P 满足•4PA PB =uuu r uuu r,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点,.求(1)求点A B 、的坐标; (2)求动点Q 的轨迹方程.17.已知函数c bx x ax x f -+=44ln )((x>0)在x = 1处取得极值-3-c ,其中a,b,c 为常数。
2020届人教A版_导数及其应用_单元测试(2)

导数及其应用学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题 1.函数的单调递增区间是( )A .B .C .D .【答案】C【解析】本题考查导数的运算和导数的应用:利用导数求单调区间.不等式的解法. 函数()3ln f x x x =+的定义域为(0,);+∞()ln 1f x x '=+,由不等式()ln 10f x x '=+> 解得1;x e >则函数()3ln f x x x =+的单调递增区间是1(,).e+∞故选C2.已知函数()3232f x x x mx m =-+--,若存在唯一的正整数0x ,使得()00f x >,则m 的取值范围为( )A .()0,1B .1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C .2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D .2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由题意设()()()323,2g x x x h x m x -+=+,则()()2'3632g x x x x x =-+=--,()g x ∴在()(),0,2,-∞+∞递减,在()0,2上递增,且()()()32030,22324g g g ===-+⋅=,在一个坐标系中画出两个函数图象如图:存在唯一的正整数0x ,使得()00f x >,即()()00g x h x >∴由图得02x =,则()()()(){22 11m g h g h >>≤,即0{44 133m mm>>-+≤,解得21,3m m ≤<∴的取值范围是2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭,故选C.【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质、导数的应用及不等式的整数解、数形结合思想的应用,属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换,充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简,并迎刃而解.3.已知函数()f x 在R 上满足f(x)=2f(4-x)-2x 2+5x ,则曲线()y f x =在点(2,f(2) ) 处的切线方程是( )A .y=-xB .y x =C .y=-x +4D .y=-2x+2 【答案】A【解析】因为解:∵f(x )=2f (4-x )-2x 2+5x , ∴f(4-x )=2f (x )-(4-x )2+5(4-x ) ∴f(2-x )=2f (x )-x 2+8x+4-5x将f (4-x )代入f (x )=2f (4-x )-2x 2+5x得f (x ),y=f (x )在(2,f (2))处的切线斜率为y′=-1. ∴函数y=f (x )在(2,f (2))处的切线方程为.y=-x 答案A4.已知函数f (x )=x 33+12ax 2+2bx +c 的两个极值分别为f (x 1), f (x 2),若x 1, x 2分别在区间(0,1)与(1,2)内,则b −2a 的取值范围是( )A .(2,7)B .(−4,−2)C .(−5,−2)D .(−∞,2)∪(7,+∞) 【答案】A 【解析】 【分析】先根据导函数的两个根的分布建立a 、b 的约束条件,然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可. 【详解】 ∵函数f (x )=x 33+12ax 2+2bx +c∴f′(x)=x2+ax+2b=0的两个根为x1,x2,∵x1,x2分别在区间(0,1)与(1,2)内∴{f′(0)>0f′(2)>0 f′(1)<0⇒{b>0a+b+2>0 a+2b+1<0做出可行域如图所示,令z=b−2a,平移直线b=2a+z.经过点A(-1,0)时,z最小为:2;经过点B(-3,1)时,z最大为:7∴b−2a∈(2,7),故选:A.【点睛】本题考查的是线性规划问题,解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化,即数形结合思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=−13x3+81x−286,则该生产厂家获取的最大年利润为()A.300万元B.252万元C.200万元D.128万元【答案】C【解析】【分析】求得函数的导数,得到函数的单调性,进而求解函数的最大值,即可得到答案.【详解】由题意,函数y=−13x3+81x−286,所以y′=−x2+81,当0<x<9时,y′>0,函数f(x)为单调递增函数;当x>9时,y′<0,函数f(x)为单调递减函数,所以当x=9时,y有最大值,此时最大值为200万元,故选C.本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题,其中解答中熟记函数的导数在函数中的应用,准确判定函数的单调性是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.6.函数f (x )=(x +1)(x 2-x +1)的导数是 ( ) A .x 2-x +1B .(x +1)(2x -1)C .3x 2D .3x 2+1【答案】C 【解析】7.定义在[a,3]上的函数f(x)=e x −1e x−2x (a >0)满足,f(a +1)⩽f (2a 2),则实数a 的取值集合是( ) A .(0,√62] B .(1,√62) C .[2√33,√62] D .[1,√62] 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导得到函数的单调性,将不等式转化为a +1≤2a 2≤3结合a >0,解得a 的范围. 【详解】函数f(x)=e x −1e x −2x (a >0),对函数求导得到f ′(x )=e x +e −x −2≥2√e x ⋅e −x −2=0故函数在所给区间上是单调递增的,f(a +1)⩽f (2a 2)等价于a +1≤2a 2≤3 结合a >0,解得1≤a ≤√62故答案为:D. 【点睛】这个题目考查了导数在研究函数单调性中的应用,通过研究函数单调性将函数值的大小转化为自变量的大小关系,进而得到结果.8.已知f ′(x )是函数f (x )的导函数,且对任意的实数x 都有f ′(x )=e x (2x −2)+f (x )(e 是自然对数的底数),f (0)=1,若方程f (x )=k 有三个不同的实数根,则实数k 的取值范围是( )A .(−∞,0]B .(0,4e ) C .(4e ,+∞) D .[e,+∞)【解析】分析:因为f′(x )=e x (2x −2)+f (x ),所以f′(x )e x −(e x )′f (x )e 2x=2x −2,从而有[f (x )e x]′=2x −2,也就是f (x )=e x (x 2−2x +c ),结合f (0)=1得到c =1,从而利用导数研究y =f (x )的图像后利用直线y =k 与其有两个不同的交点即可得到k 的取值范围. 详解:因为f′(x )=e x (2x −2)+f (x ),所以f′(x )e x −(e x )′f (x )e 2x=2x −2,也就是[f (x )e x]′=2x −2,从而f (x )=e x (x 2−2x +c ),又f (0)=1,故c =1.f′(x )=e x (x 2−1), 当x ∈(−∞,−1)时,f′(x )>0,f (x )为增函数; 当x ∈(−1,1)时,f′(x )<0,f (x )为减函数; 当x ∈(1,+∞)时,f′(x )>0,f (x )为增函数,所以当f (1)<k <f (−1)即0<k <4e 时,直线y =k 与y =f (x )的图像有三个不同的交点,即方程f (x )=k 有三个不同的解.故选B .点睛:当函数及其导数满足等式关系时,我们需要根据关系式的形式构建新函数,使得它的导数就是前述的关系式.另外,方程的零点的个数的讨论可以转化为定函数的图像与水平动直线的位置关系讨论.9.已知曲线f(x)=lnx+x 2a 在点(1,f (1))处的切线的倾斜角为3π4,则a 的值为( ) A .1 B .﹣4 C .﹣12 D .﹣1【答案】D 【解析】分析:求导f′(x)=1x +2x a,利用函数f (x )在x=1处的倾斜角为3π4得f′(1)=﹣1,由此可求a 的值. 详解: 函数f(x)=lnx +x 2a(x >0)的导数f′(x)=1x +2x a,∵函数f (x )在x=1处的倾斜角为3π4∴f′(1)=﹣1, ∴1+2a =﹣1,∴a=﹣1. 故选:D .点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出切点P(x 0,y 0)及斜率,其求法为:设P(x 0,y 0)是曲线y =f(x)上的一点,则以P 的切点的切线方程为:y −y 0=f′(x 0)(x −x 0).若曲线y =f(x)在点P(x 0,f(x 0))的切线平行于y 轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为x =x 0.10.已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-,且当(]0,4x ∈时, ()()ln 2x f x x=,关于x 的不等式()()20fx af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解,则实数a 的取值范围是( )A .1ln6,ln23⎛⎤- ⎥⎝⎦B .1ln2,ln63⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C .1ln2,ln63⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D .1ln6,ln23⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-,所以()()()888f x f x f x T =-=-⇒= ,因为关于x 的不等式()()20fx af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解,所以关于x 的不等式()()20fx af x +>在0,4()上有且只有2个整数解,因为()21ln2e 02x f x x x -==⇒=' ,所以()f x 在e 0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,且()2,e f x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭,在e ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递减,且()3ln22,4e f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,因此()0f x >,只需()f x a >-在0,4()上有且只有2个整数解,因为()()ln61ln233f f =>= ,所以ln3ln3ln2ln266a a >-≥⇒-<≤-,选C. 点睛:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等. 11.函数()y f x =的导函数()y f x ='的大致图象如下图所示,则函数()y f x =的图象可能是( )A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意函数y=f(x)的导函数的大致图象如图所示可得,导函数的符号为负,正,负,正;对应函数的单调性为:减函数,增函数,减函数,增函数。
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高二数学选修1-1《导数及其应用》单元测试卷班级: 姓名: 座号: 成绩:一、选择题(共7个小题,每小题6分)1、一个物体的运动方程为21s t t =-+,其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是 ( )A .5米/秒B .6米/秒C .7米/秒D .8米/秒2、函数()3f x x x =+的单调递增区间是 ( )A .()0,+∞B .(),1-∞C .(),-∞+∞D .()1,+∞3、已知()3232f x ax x =++且()14f '-=,则实数a 的值等于 ( )A .193B .163C .133D .1034、函数()()22f x x π=的导数是 ( )A .()4f x x π'=B .()24f x x π'=C .()28f x x π'=D .()16f x x π'=5、“函数()00f x '=”是“可导函数()f x 在点0x x =处取到极值”的 条件。
( )A .充分不必要B .必要不充分C .充要D .既不充分也不必要6、已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为 ( ) A .1 B .2 C .3 D .47、设()0sin f x x =,()()10f x f x '=,()()21f x f x '=,,()()1n n f x f x +'=,n ∈N ,则()2005f x = ( )A .sin xB .sin x -C .cos xD .cos x -二、填空题(共3个小题,每小题6分)8、曲线31y x x =++在点()1,3处的切线方程是 .9、已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切,则a = .10、三次函数()3f x ax x =+在(),-∞+∞内是增函数,则a 的取值范围是 .三、解答题(共2个小题,每题20分)11、已知函数()32f x x ax bx c =+++,当1x =-时,取得极大值7;当3x =时,取得极小值.试求a 、b 、c 的值及这个极小值.12、设函数3()3(0)f x x ax b a =-+>.(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,求,a b 的值;(Ⅱ)求函数()f x 的单调区间与极值点.高二数学选修1-1《导数及其应用》单元测试卷参考答案1-5 ACDCB 6-7 AC 8. 410x y --= 9. 1410. 0a > 11、解:()32f x x ax bx c =+++,∴()232f x x ax b '=++由题意知,1-和3是方程2320x ax b ++=的两个实数根 ∴2133133a b ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩,解得:39a b =-⎧⎨=-⎩()17f -=∴()()()()3211319157f c c -=--⨯--⨯-+=+=∴2c =∴极小值()32333393225f =-⨯-⨯+=-12、(Ⅰ)()'233f x x a =-,∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,∴()()()'203404,24.86828f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎩⎪⎩⎩(Ⅱ)∵3()3(0)f x x ax b a =-+>,由()'0f x x =⇒=当(,x ∈-∞时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,当(x ∈时,()'0f x <,函数()f x 单调递减,当)x ∈+∞时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,∴此时x =()f x 的极大值点,x =()f x 的极小值点.知识改变命运。
高中数学选修2第五章 一元函数的导数及其应用 单元测试(含解析)

高中数学选修2第五章一、单选题1.现有一球形气球,在吹气球时,气球的体积V (单位:L )与直径d (单位:dm )的关系式为V =πd 36,当d =2dm 时,气球体积的瞬时变化率为( )A .2πB .πC .π2D .π42.若点P 是曲线y =lnx ―x 2上任意一点,则点P 到直线l :x +y ―6=0的距离的最小值为( )A .22B .32C .522D .9223.函数f (x )=13a x 3+12a x 2―2ax +2a +1的图象经过四个象限的一个充分必要条件是( )A .―43<a <―13B .―1<a <―12C .―2<a <0D .―65<a <―3164.根据公式sin3α=3sin α―4sin 3α,sin10°的值所在的区间是( )A .(17,16)B .(16,15)C .(15,14)D .(14,13)5.已知函数f (x )=ax +ln a ,g (x )=x +e x ―ln x ,若关于x 的不等式f (x )>g (x )在区间(0,+∞)内有且只有两个整数解,则实数a 的取值范围为( )A .(e ,e 2]B .(e ,e 22]C .(e 2,e 3]D .(e 22,e 33]6.设函数 f (x )=e xx―t (ln x +x +2x ) 恰有两个极值点,则实数 t 的取值范围是( )A .(―∞,12]B .(12,+∞)C .(12,e 3)∪(e3,+∞)D .(―∞,12]∪(e3,+∞)7.已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数, f (―1)=0 ,当 x <0 时, x f ′(x )+f (x )<0 ,则使得 f (x)>0 成立的 x 的取值范围是( ) A .(―∞,―1)∪(0,1)B .(―1,0)∪(1,+∞)C .(―∞,―1)∪(―1,0)D .(0,1)∪(1,+∞)8.函数 f (x )=|x |ex ,方程 [f (x )]2―(m +1)f (x )+1―m =0 有4个不相等实根,则 m 的取值范围是( )A .(e 2―e e 2+e,1)B .(e 2―e +1e 2+e ,+∞)C .(e 2―e +1e 2+e ,1)D .(e 2―e e 2+e,+∞)二、多选题9.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充分不必要条件是( )A.0≤a≤21B.1≤a≤20C.a<0D.a=21 10.已知函数f(x)=e xx2―x+1,则下列结论正确的是( )A.函数f(x)存在极大值和极小值B.函数f(x)不存在最小值与最大值C.当x∈[0,3]时,函数f(x)最大值为eD.当x∈[12,e]时,函数f(x)最小值为e2311.已知函数f(x)=14x 4+12a x2+ax,则下面说法正确的是( )A.存在实数a,使f(x)有最小值且最小值小于0B.对任意实数a,f(x)有最小值且最小值不小于0C.存在正实数a和实数x0,使f(x)在(―∞,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增D.对任意负实数a,存在实数x0,使f(x)在(―∞,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增12.若f(x)图象上存在两点A,B关于原点对称,则点对[A,B]称为函数f(x)的“友情点对”(点对[A,B]与[B,A]视为同一个“友情点对”)若f(x)={x3e x,x≥0ax2,x<0恰有两个“友情点对”,则实数a的值可以是( )A.0B.―12018C.―1eD.―12021三、填空题13.函数f(x)=12x―x3在区间[―3,3]的最小值是 .14.设曲线y=e ax+sine在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a= .15.关于x的方程kx―lnxx =2在区间[1e,e]上有两个实根,则实数k的最小值是 .16.已知函数f(x)=x3―a e x,若函数f(x)有三个极值点x1,x2,x3(x1<x2<x3),若x3≥3x2,则实数a的取值范围是 .四、解答题17.求下列函数的导数:(1)f(x)=(1+sin x)(1―4x);(2)f(x)=xx+1―2x.18.已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.19.已知函数f (x )=x 3+a x 2+x (a ∈R )(1)若函数f (x )存在两个极值点,求a 的取值范围;(2)若f (x )≥xlnx +x 在(0,+∞)恒成立,求a 的最小值.20.设f n (x )=x+x 2+…+x n ﹣1,x≥0,n ∈N ,n≥2.(Ⅰ)求f n ′(2);(Ⅱ)证明:f n (x )在(0,23)内有且仅有一个零点(记为a n ),且0<a n ﹣12<13(23)n .21.已知函数f (x )=lnx+a (x 2﹣3x+2),其中a 为参数.(1)当a=0时,求函数f (x )在x=1处的切线方程; (2)讨论函数f (x )极值点的个数,并说明理由;(3)若对任意x ∈[1,+∞),f (x )≥0恒成立,求实数a 的取值范围.22.设函数 f (x )=1x ―eex ,g (x )=a (x 2―1)―lnx ( a ∈R , e 为自然对数的底数).(1)证明:当 x >1 时, f (x )>0 ; (2)讨论 g (x ) 的单调性;(3)若不等式 f (x )<g (x ) 对 x ∈(1,+∞) 恒成立,求实数 a 的取值范围.参考答案1.A2.B解:已知函数y=lnx―x2,可得y′=1x―2x,(x>0),直线l:x+y―6=0的斜率为-1,令y′=―1,即1x―2x=―1,可得(x―1)(2x+1)=0,因为x>0,可得x=1,则y=―1,即平行于直线l:x+y―6=0且与曲线y=lnx―x2相切的切点坐标为P(1,―1),由点到直线的距离公式,可得点P到直线l的距离为d=|1―1―6|2=32.3.D。
《导数及其应用》单元测试题

《导数及其应用》单元测试题班别_________姓名_______ 学号______成绩______一、选择题(本大题共有10小题,每小题4,共40分)1. f(x)=x 3, 0'()f x =6,则x 0= ( )B. C.± D. ±12.若函数f(x)=2x 2+1,图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy), 则x y∆∆=( )A. 4B. 4ΔxC. 4+2Δx D . 2Δx3.若()()()k x f k x f x f k 2lim ,20000--='→则的值为 ( ) A .-2 B. 2 C.-1 D. 14.曲线y=x 3+x-2在点P 0处的切线平行于直线y=4x ,则点P 0的坐标是 ( )A .(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或(1,0) D.(-1,-4)5.函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是 ( )A .5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -166.设y=x-lnx ,则此函数在区间(0,1)内为 ( )A .单调递增B 、有增有减C 、单调递减D 、不确定7. 已知f(x)=3x ·sinx ,则f’(1)= ( ) A .31+cos1 B. 31sin1+cos1 C. 31sin1-cos1 D.sin1+cos18. 若函数()f x 在区间(,)a b 内函数的导数为正,且()0f b ≤,则函数()f x 在(,)a b 内有 ( )A. f(x) 〉0B. f(x)〈 0C. f(x) = 0D. 无法确定9. 抛物线y =(1-2x)2在点x =32处的切线方程为 ( )A. y=0 B .8x -y -8=0 C.x =1 D . y=0或者8x -y -8=010.函数()12ln 2+=x y 的导数是 ( ) A.1242+x xB. 1212+x C.()10ln 1242+x x D. ()e x x22log 124+二、填空题(每小题4分,共20分)11.若f(x)=x 3+3ax 2+3(a +2)x +1有极大值和极小值,则a 的取值范围是_________12.若函数a x x y +-=2323在[-1,1]上有最大值3,则该函数在[-1,1]上的最小值是______13.函数y=(1-sinx)2的导数是='y ________________14.函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是____.15.点P 在曲线323+-=x x y 上移动,设在点P 处的切线的倾斜角为为α,则α的取值范围是三、解答题:本大题5小题,共40分,解答写出文字说明、证明过程或演算步骤)。
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导数及其应用单元测试(文科)
一、选择题
1.已知函数,则()
A.43 B.92 C.29 D.34
2.已知函数,则是()
A. B.
C.D.
3.若曲线y=x4的一条切线与直线x+4y―8=0垂直,则的方程为()
A.4x―y―3=0 B.x+4y―5=0 C.4x―y+3=0 D.x+4y+3=0 4.设a∈R,若函数,x∈R有大于零的极值点,则()
A.B.C.a<-3 D.a>-3
5.如果函数的图象如图,那么导函数的图象可能是()
6.对于R上可导的任意函数,若满足,则必有()
A.B.
C.D.
二、填空题
7.函数的单调增区间是________.
8.函数的值域是________.
9.函数的定义域为开区间(a,b),导函数在(a,b)内的图象如图所示,则函数
在开区间(a,b)内有极小值点________个.
10.对于x∈[-1,1]总有成立,则a=________.
三、解答题
11.已知函数,求导函数,并确定的单调区间.
12.已知函数.
(Ⅰ)设a>0,讨论的单调性;
(Ⅱ)若对任意x∈(0,1)恒有,求a的取值范围.
13.设函数
(Ⅰ)若当x=―1时,取得极值,求a的值,并讨论的单调性;
(Ⅱ)若存在极值,求a的取值范围,并证明所有极值之和大于.
14.已知a是实数,函数.如果函数在区间[―1,1]上有零点,求a的取值范围.
参考答案
1.D
解析:,∴
2.D
解析:.
3.A
解析:与x+4y―8=0垂直,∴k=4
y'=4x3,4x3=4,∴x=1,∴切点为(1,1),
故直线方程为y―1=4(x―1),即4x―y―3=0
4.D
解析:,
令,解得
为使函数有大于零的极值点,,∴,即a>-3
检验可知是函数的极值点.
5.A
解析:原函数由左至右依次单,单减,单增,单减,故导函数符号依次为正、负、正、负.
6.C
解析:,∴x>1有,x<1有
x>1,,∴x∈(1,+∞)时,
x<1,∴x∈(-∞,1)时
∴
注:,时,. 7.(-∞,-2)和(0,+∞)
解析:
得x<-2或x>0
∴的单调增区间是(-∞,-2)和(0,+∞).
8.
解析:
=1
令,得,x
2
的符号如图.
故时,x>0时
时,
∴函数在和(1,+∞)↑,在上↓
又x<0时,∴如图.
,∴的值域为
9.1
解析:的变号零点是的极值点,如图,
极值点有3个,极小值点左侧,右侧,这样的极值点只有一个.
10.4
解析:,
(1)a≤0时,
∴在[―1,1]上单减,∴
为使恒成立须使a≥2,
故这种情形无解.
(2)a>0时解得
当时,函数在[―1,1]上有两个极值点,其中
是极小值点,
,
∴为使恒成立,只需
a=4时,,∴a=4合题意.
11.解析:
令,得x=b―1
当b―1<1,即b<2时,的变化情况如下表:
当b-1>1,即b>2时,的变化情况如下表:
所以,当b<2时,
函数在(-∞,b―1)上单调递减,在(b―1,1)上单调递增,
在(1,+∞)上单调递减.
当b>2时,
函数在(-∞,1)上单调递减,在(1,b―1)上单调递增,
在(b―1,+∞)上单调递减.
当b―1=1,即b=2时,,
所以函数在(―∞,1)上单调递减,在(1,+∝)上单调递减.
12.解析:
(Ⅰ)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).
对求导数得.
(i)当a=2时,,在(-∞,0),(0,1)和(1,+∞)均大于0,
所以在(-∞,1),(1,+∝)为增函数.
(ii)当0<a<2时,,在(-∞,1),(1,+∞)为增函数.
(iii)当a>2时,,
令,解得,.
当x变化时,和的变化情况如下表:
在,,(1,+∞)为增函数,
在为减函数.
(Ⅱ)
(i)当0<a≤2时,由(Ⅰ)知:对任意x∈(0,1)恒有.
(ii)当a>2时,取,则由(Ⅰ)知
(iii)当a≤0时,对任意x∈(0,1),恒有且,得
.
综上当且仅当a∈(-∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有.
13.解析:
(Ⅰ),依题意有,故.
从而
的定义域为,当时,;
当时,;当时,.
从而,分别在区间,单调增加,在区间单调减少.
(Ⅱ)的定义域为(-a,+∞),.
方程2x2+2ax+1=0的判别式Δ=4a2―8.
(i)若Δ<0,即,在的定义域内,故无极值.
(ii)若Δ=0,则或.
若,,.
当时,,当时,
,
所以无极值.
若,,,也无极值.
(iii)若Δ>0,即或,
则2x2+2ax+1=0有两个不同的实根,
.
当时,x 1<-a ,x 2<-a ,从而在的定义域没有零
点,
故无极值.
当时,x 1>-a ,x 2>-a ,
在
的定义域内有两个不同
的零点,
由根值判别方法知有在x=x 1,x=x 2取得极值.
综上,存在极值时,a 的取值范围为
.
的极值之和为
.
14.解析:若a=0,
,显然在[―1,1]上没有零点,所以a ≠0
令Δ=4+8a(3+a)=8a 2
+24a+4=0得
当时,恰有一个零点在[―1,1]上;
当 即1<a <5时,
也恰有一个零
点在[―1,1]上; 当
在[―1,1]上有两个零点时,则
或
解得a ≥5或
因此a的取值范围是 a>1或.。